séries entières - fonctions développables en série entière

8/20/2019 Séries Entières - Fonctions Développables en Série Entière

http://slidepdf.com/reader/full/series-entieres-fonctions-developpables-en-serie-entiere 1/4

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Enoncés 1

Fonctions développables en série entière

Exercice 1 [ 00992 ] [correction]Soient a > 0 et f : [−a, a] →R de classe C∞ pour laquelle il existe A,K > 0vérifiant pour tout n ∈N

f (n)∞ Kn!An

Montrer que f est développable en série entière en 0.

Exercice 2 Centrale MP [ 03303 ] [correction]Soit f : ]−R, R[ →R (avec R > 0) de classe C∞ vérifiant

∀n ∈N, ∀x ∈ [0, R[ , f (n)(x) 0

Montrer la convergence de la série 1

n!f (n)(0)xn

pour tout x ∈ ]−R, R[.

Exercice 3 [ 00993 ] [correction][Fonction absolument monotone]Soit f : R → R de classe C∞ telle que f (n) 0 pour tout n ∈N.Montrer que f est développable en série entière en 0.

Exercice 4 [ 00994 ] [correction]Soient a > 0 et f : ]−a, a[ →R de classe C∞ telle que f (n) 0 pour tout n ∈N.Montrer que f est égale à la somme de sa série de Taylor en 0.

Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02851 ] [correction]Soient a > 0 et f ∈ C∞(]−a, a[ ,R) telle que

∀n ∈N, ∀x ∈ ]−a, a[ , f (n)(x) 0

a) Si |x| < r < a, montrerf (x) −n

k=0

f (k)(0)

k! xk

x

r

n+1

f (r)

b) Montrer que f est développable en série entière sur ]−a, a[.c) Montrer que x → tan x est développable en série entière sur ]−π/2, π/2[.

Exercice 6 [ 03358 ] [correction]Montrer que la fonction

f : x →

x2 + x + 1

admet un développement en série entière de rayon de convergence R 1.

Exercice 7 Centrale MP [ 03302 ] [correction]Etablir que la fonction

x → 1

1 − shx

est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.



[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Corrections 2

Corrections

Exercice 1 : [énoncé] x0 (x−t)n

n! f (n+1)(t)dt |x|n+1

(n+1)!

f (n+1)∞ K |xA|n+1

. Pour |x| a et

|x| < 1/A,

x

0(x−t)n

n! f (n+1)(t)dt −−→n∞

0 et donc f est égale à la somme de sa série

de Taylor au voisinage de 0.

Exercice 2 : [énoncé]Pour x ∈ [0, R[, la série

1n!

f (n)(0)xn est une série à termes positifs. Par laformule de Taylor avec reste intégral

f (x) =n

k=0

f (k)(0)

k! xk +

x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t) dt

et puisque le reste intégral est positif, on a

nk=0

f (k)(0)

k! xk f (x)

Puisque ses sommes partielles sont majorées, la série à termes positifs 1n!f (n)(0)xn est convergente.

Pour x ∈ ]−R, 0], on a f (n)(0)

n! xn

= f (n)(0)

n! |x|n

et la série

1n!

f (n)(0)xn est absolument convergente donc convergente.

Exercice 3 : [énoncé]Pour tout a et x ∈ R,

f (x) =n

k=0

f (k)(a)

k! (x − a)k +

xa

(x − t)n

n! f (n+1)(t) dt

Pour x a, la série numérique de terme général f (k)(a)

k! (x − a)k est une sériemajorée par f (x) et à termes positifs, elle est donc convergente ce qui assure

f (n)(a)

n! (x − a)n −−→

n∞0

Pour x 0, x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t) dt

0x

(t − x)n

n! f (n+1)(0)dt =

(−x)n+1

(n + 1)! f (n+1)(0) −−→

n∞0

en exploitant la remarque initiale avec 0 et −x pour a et x.Pour x 0,

x

0

(x − t)n

n! f (n+1)(t)dt

xn+1

(n + 1)!f (n+1)(x) → 0

en exploitant la remarque initiale avec x et 2x pour a et x.Finalement f est égale à la somme de sa série de Taylor en 0 sur R.

Exercice 4 : [énoncé]Pour tout x ∈ ]−a, a[,

f (x) =

nk=0

f (k)(0)

k! xk +

x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t)dt

Pour x 0, la série de terme général f (k)(0)

k! xk est une série majorée par f (x) et àtermes positifs, elle est donc convergente ce qui assure

f (n)(0)

n! xn −−→

n∞0

Pour x ∈ ]−a, 0], x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t)dt

0x

(t − x)n

n! f (n+1)(0)dt =

(−x)n+1

(n + 1)! f (n+1)(0) −−→

n∞0

donc f est égale à la somme de sa série de Taylor en 0 sur ]−a, 0]

Pour tout x

∈ ]0, a[, x0 (x−t)n

n! f (n+1)(t)dt converge quand n

→ +

∞. Or x

0

(x − t)n

n! f (n+1)(t)dt =

xn

n!

10

(1 − θ)nf (n+1)(θx)dθ

donc si x < y ∈ ]0, a[, on a pour tout θ ∈ [0, 1], l’inégalité

f (n+1)(θx) f (n+1)(θy)

de par la croissance de f (n+1). On en déduit x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t)dt

xn

yn

y0

(y − t)n

n! f (n+1)(t)dt




or y0

(y−t)n

n! f (n+1)(t)dt converge quand n → +∞ et xn

yn → 0 donc x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t)dt −−→

n∞0

et finalement f est aussi égale à la somme de sa série de Taylor en 0 sur ]0, a[.

Exercice 5 : [énoncé]a) Par la formule de Taylor avec reste intégral

f (x)−n

k=0

f (k)(0)

k! xk =

x0

(x − t)n

n! f (n+1)(t) dt =

t=xu

xn+1

n!

10

(1 − u)nf (n+1)(xu) du

Puisque x |x| r, on a xu ru puis f (n+1)(xu) f (n+1)(ru) car f (n+1) estcroissante puisque de dérivée f (n+2) 0.On en déduit

f (x) −

nk=0

f (k)(0)

k! xk

|x|n+1

rn+1

f (r) −

nk=0

f (k)(0)

k! rk

Or la somme

nk=0

f (k)

(0)k! rk est positive et majorée par f (r) doncf (x) −n

k=0

f (k)(0)

k! xk

x

r

n+1f (r)

b) Puisque |x/r| < 1,n

k=0

f (k)(0)

k! xk −−−−−→

n→+∞f (x)

Ainsi f est développable en série entière sur ]−a, a[ car égale à la somme de sasérie de Taylor sur ]−a, a[.c) Posons f (x) = tan x. Par récurrence sur n ∈N, on montrer que

f (n)

(x) = P n(tan x) avec P n un polynôme dont la parité est celle de n + 1.On en déduit alors que f (n)(x) 0 pour tout x ∈ [0, π/2[.

En reprenant l’étude qui précède, on obtient f (x) =+∞n=0

f (n)(0)n!

xn pour tout

x ∈ [0, π/2[.Par imparité de f , f (2 p)(0) = 0 et par un argument de parité

f (x) =+∞ p=0

f (2 p+1)(0)

(2 p + 1)! x2 p+1

pour tout x ∈ ]−π/2, π/2[.

Exercice 6 : [énoncé]On a

(1 − x)(1 + x + x2) = 1 − x3

donc pour x ∈ ]−1, 1[,

f (x) =

√ 1

−x3

√ 1 − x = (1

−x3)1/2(1

−x)−1/2

est développable en série entière sur ]−1, 1[ par produit de fonctions qui le sont.

Exercice 7 : [énoncé]Posons

f (x) = 1

1 − shx

La fonction f est définie et de classe C∞ sur ]−∞, R[ avec R = argsh1.Soit x ∈ ]−R, R[. Puisque |shx| < 1, on peut écrire

f (x) = 11 − shx

=+∞n=0

shnx

Chacune des fonctions x → shnx est développable en série entière sur R ce quipermet d’écrire

shnx =+∞k=n

an,kxk

Puisque les coefficients du développement en série entière de la fonction sh sonttous positifs, on a aussi an,k 0 pour tout n, k. Pour x ∈ ]−R, R[, on peut doncécrire

f (x) =

+∞n=0

+∞k=n

an,kxn

Puisque la série kn

|an,kxn| = kn

an,k |x|n converge et puisque la série

n0

+∞k=n

|an,kxn| = n0

(sh |x|)n converge aussi, on peut par le théorème de Fubini

échanger les deux sommes ce qui donne

f (x) =+∞k=0

kn=0

an,k

xn




Ainsi la fonction f est développable en série entière sur ]−R, R[. Le rayon deconvergence de la série entière ainsi introduite est alors au moins égale à R et enfait exactement égal à R car f diverge vers +∞ en R− et ne peut donc êtreprolongée par continuité en R.

séries entières - fonctions développables en série entière

Documents