séries entières

Séries entières

Essaidi Ali

19 février 2016

1 Séries entières dans le domaine complexe :

1.1 Séries entières :Définition 1.1 Soit (an) ∈ CN. On appelle série entière associée à la suite (an) la série de fonctions

∑anz

n.les nombres an, n ∈ N s’appellent coefficients de la série entière

∑anz

n.L’ensemble {z ∈ C/

∑anz

n converge} s’appelle le domaine de convergence de la série entière∑anz

n.

Remarques :— Soit une série entière

∑anz

n. Si la variable z est :

1. complexe alors la série entière∑anz

n est dite aussi série entière complexe.

2. réelle alors la série entière∑anz

n est dite série entière réelle. On la note∑anx

n au lieu de∑anz

n.Si, en plus, ses coefficients sont réelles alors elle est dite série entière réelle à valeurs réelles.

— Le domaine de convergence d’une série entière n’est jamais vide. En effet, il contient 0.— Les propriétés sur les séries de fonctions restent valables pour les séries entières.

Proposition 1.1 L’ensemble des séries entières muni des opérations :Somme :

∑anz

n +∑bnz

n =∑

(an + bn)zn.Multiplication par un scalaire : λ

∑anz

n =∑

(λan)zn.

Produit :∑anz

n ×∑bnz

n =∑( ∑

p+q=n

apbq

)zn.

est une C-algèbre commutative.

Remarque : L’ensemble des séries entières réelles à valeurs réelles muni de ces opérations est une R-algèbre commutative.

1.2 Rayon de convergence :Théorème 1.1 (Lemme d’Abel) Soit une série entière

∑anz

n et ρ > 0.Si la suite (anρ

n) est bornée alors ∀z ∈ C tel que |z| < ρ, la série∑anz

n est absolument convergente. En particulier, ∀z ∈ Ctel que |z| < ρ, la série

∑anz

n est convergente.

Définition 1.2 Soit une série entière∑anz

n.On appelle rayon de convergence de la série entière

∑anz

n l’élément R de R+ ∪ {+∞} défini par :

R = sup{ρ ≥ 0/la suite (anρn) soit bornée}

Remarques :— ∀(an) ∈ CN, 0 ∈ {ρ ≥ 0/la suite (anρ

n) soit bornée} donc toute série entière admet un rayon de convergence.— Soit k ∈ N et λ ∈ C∗. Les séries

∑anz

n,∑

anxn,∑|an|xn,

∑n≥k

anzn,∑

λanzn,∑n≥k

anzn−k et

∑anz

n+k ont

même rayon de convergence.— Deux séries entières qui ne diffèrent que d’un nombre fini de coefficients ont même rayon de convergence.— Soit une série entière

∑anz

n de rayon de convergence R et u ∈ C.

1. Si |u| < R alors la suite (anun) est bornée.

2. Si |u| = R alors la suite (anun) peut être bornée ou non. En particulier, (anR

n) n’est pas forcément bornée.

3. Si |u| > R alors la suite (anun) n’est pas bornée.

— Soit∑anz

n de rayon de convergence R.

1

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

1. Si an → 0 alors R ≥ 1.

2. Si la suite (an) est bornée et an 6→ 0 alors R = 1.

3. Si |an| → +∞ alors R ≤ 1.

Exemples :— On a ∀ρ ≥ 0, ρ

n

n! → 0 donc la suiteÄρn

n!

äest bornée donc {ρ ≥ 0/la suite

Äρn

n!

äsoit bornée} = [0,+∞[ d’où le rayon

de convergence de la série entière∑ zn

n! est R = +∞.— On a ∀ρ ≥ 0, (ρn) est bornée ⇐⇒ ρ ≤ 1 donc {ρ ≥ 0/la suite (ρn) soit bornée} = [0, 1] d’où le rayon de convergence

de la série entière∑zn est R = 1.

Proposition 1.2 Soient∑anz

n une série entière de rayon de convergence R et u ∈ C.— Si |u| < R alors la série numérique

∑anu

n est absolument convergente. En particulier, convergente.— Si |u| > R alors la série numérique

∑anu

n diverge grossièrement.

Notations : Soit R ∈ R∗+ ∪ {+∞} :— Cas complexe : Si a ∈ C, on note D(a,R) = {z ∈ C/|z − a| < R} donc si R = +∞ alors D(a,R) = C, sinonD(a,R) est le disque ouvert de centre a et de rayon R.

— Cas réel : Si a ∈ R, on note D(a,R) = {x ∈ R/|x − a| < R} donc si R = +∞ alors D(a,R) = R, sinonD(a,R) =]a−R, a+R[, c’est l’intervalle ouvert de centre a et de rayon R.

Remarques : Soient∑anz

n une série entière de rayon de convergence R et u ∈ C.— D(0, R) s’appelle le disque ouvert de convergence de la série

∑anz

n si elle est complexe ou l’intervalle ouvert deconvergence si elle est réelle.

— Si R = 0 alors la série ne converge qu’en 0.— Si R = +∞ alors la série entière

∑anz

n converge absolument sur C si elle est complexe et converge absolument surR si elle est réelle.

— Si la série numérique∑anu

n converge alors |u| ≤ R.— Si la série numérique

∑anu

n diverge alors |u| ≥ R.— Si la série numérique

∑anu

n est semi-convergente alors R = |u|.— On suppose que R < +∞. Si |u| = R alors la série numérique

∑anu

n peut converger ou diverger. En effet, lesséries entières

∑zn,

∑ zn

n et∑ zn

n2 ont même rayon de convergence R = 1. La première diverge pour |z| = 1, ladeuxième converge pour |z| = 1 avec z 6= 1 et diverge pour z = 1 et la troisième converge pour tout |z| = 1. Le cercleC(0, R) = {z ∈ C/|z| = R} s’appelle cercle d’incertitude.

Proposition 1.3 Si∑anz

n est une série entière et α ∈ R alors les séries entières∑anz

n et∑nαanz

n ont même rayon deconvergence.

Définition 1.3 Soit∑anz

n une série entière. La série entière∑n≥1

nanzn−1 s’appelle la série entière dérivée de

∑anz

n.

Remarque : Une série entière et sa série entière dérivée ont même rayon de convergence.

1.3 Calcul du rayon de convergence :Proposition 1.4 (Règle de D’Alembert) Soit une série entière

∑anz

n telle que ∀n ∈ N, an 6= 0.

Si limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = l ∈ R̄ alors le rayon de convergence de∑anz

n est R = 1l avec la convention 1

0 = +∞ et 1+∞ = 0.

Remarques : Soit une série entière∑anz

n de rayon de convergence R.— Le résultat reste vrai si on suppose que la suite (an) ne s’annule pas à partir d’un certain rang.— Si la suite (an) s’annule une infinité de fois alors la règle de D’Alembert ne marche pas. On applique alors les tests de

convergence des séries numériques pour déterminer les valeurs de z pour lesquelles la série∑anz

n converge ou divergepour encadre R et déduire sa valeur.


n et∑bnz

n deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb.— Si an = O(bn) ou an = o(bn) alors Rb ≤ Ra.— Si an ∼ bn alors Rb = Ra.

Remarque : Soient∑anz

n et∑bnz

n deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb.Si an = O(bn) et bn = O(an) alors Ra = Rb


n et∑bnz

n deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb.

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— Si R est le rayon de convergence de∑

(an + bn)zn alors R ≥ min(Ra, Rb) et on a ∀|z| < min(Ra, Rb),+∞∑n=0

(an +

bn)zn =+∞∑n=0

anzn +

+∞∑n=0

bnzn.

Si en plus, Ra 6= Rb alors R = min(Ra, Rb).

— Si R′ est le rayon de convergence de∑( ∑

p+q=n

apbq

)zn alors R′ ≥ min(Ra, Rb) et on a ∀|z| < min(Ra, Rb),

+∞∑n=0

( ∑p+q=n

apbq

)zn =

+∞∑n=0

anzn

+∞∑n=0

bnzn.

Remarque :— Soit

∑anz

n et∑

bnzn deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb.

— Le rayon de convergence de∑

(an + bn)zn peut être > min(Ra, Rb). En effet, le rayon de convergence de∑n!zn

est 0 alors que celui de∑

(n!− n!)zn est +∞ > 0.

— Le rayon de convergence de∑( ∑

p+q=n

apbq

)zn peut être > min(Ra, Rb). En effet, les rayons de convergences

de∑zn et 1− z+ 0 + · · · sont 1 et +∞ respectivement alors que celui de leur produit est +∞ car (1− z)

∑zn =

1 + 0 + · · · .— Si

∑n≥n0

anzn et

∑n≥n1

bnzn sont deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb alors ∀|z| <

min(Ra, Rb) :(+∞∑n=n0

anzn

)(+∞∑n=n1

bnzn

)=

+∞∑n=n0+n1

( ∑p+q=n

apbq

)zn =

+∞∑n=n0+n1

(n−n1∑p=n0

apbn−p

)zn =

+∞∑n=n0+n1

(n−n0∑q=n1

an−qbq

)zn.

— Généralement, si∑n≥n0

anzϕ(n) et

∑n≥n1

bnzψ(n) sont deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb

alors ∀|z| < min(Ra, Rb),

(+∞∑n=n0

anzϕ(n)

)(+∞∑n=n1

bnzψ(n)

)=

+∞∑n=n0+n1

( ∑p+q=n

apbqzϕ(p)+ϕ(q)

).

Formules importantes : Soit une série entière∑anz

n de rayon de convergence R et de somme f .

— On pose ∀n ∈ N, Sn =n∑k=0

ak. Alors ∀|z| < min(R, 1),f(z)

1− z=

+∞∑n=0

Snzn.

— On pose ∀n ∈ N, Tn =n∑k=0

(−1)kak. Alors ∀|z| < min(R, 1),f(z)

1 + z=

+∞∑n=0

(−1)nTnzn.

1.4 Somme d’une série entière :Proposition 1.7 Si

∑anz

n est une série entière de rayon de convergence R > 0 alors ∀0 < r < R, la série entière∑anz

n

converge normalement sur D(0, r). En particulier, ∀0 < r < R, la série entière∑anz

n converge uniformément sur D(0, r).

Remarque : En général, on n’a pas convergence uniforme sur le disque ouvert de convergence D(0, R). En effet, pour∑zn,

on a R = 1 et ‖zn‖∞,D(0,1) = 1 6→ 0 donc la série∑zn ne converge pas uniformément sur D(0, 1).

Corollaire 1.8 Si∑anz

n est une série entière de rayon de convergence R > 0 alors sa somme f est continue sur D(0, R).

Proposition 1.9 Soit∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f .Si la série

∑|an|Rn converge alors la série entière

∑anz

n converge normalement sur D(0, R). En particulier,∑anz

n

converge uniformément sur D(0, R) et f est continue sur D(0, R).

2 Séries entières dans le domaine réel :

2.1 Somme d’une série entière réelle :Remarque : Soit (an) ∈ RN décroissante de limite nulle. On a ∀x ∈ [0, 1], la suite (anx

n) est décroissante de limite nulle donc∀x ∈ [0, 1],

∑(−1)nanx

n converge d’où∑

(−1)nanxn converge simplement sur [0, 1].



On a, la majoration du reste, ∀n ∈ N,∀x ∈ [0, 1],

∣∣∣∣∣∣+∞∑

k=n+1

(−1)kakxk

∣∣∣∣∣∣ ≤ an+1xn+1 ≤ an+1 → 0 donc la suite des reste de∑

(−1)nanxn converge uniformément sur [0, 1] vers 0 d’où la série entière

∑(−1)nanx

n converge uniformément sur [0, 1].

En particulier, le rayon de convergence de∑

(−1)nanxn est ≥ 1 et la fonction f(x) =

+∞∑n=0

(−1)nanxn est continue sur [0, 1].

Proposition 2.1 Si∑anx

n est une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 alors sa somme f est continue sur

]−R,R[ et on a ∀x ∈]−R,R[,

∫ x

0

f(t)dt =+∞∑n=0

ann+ 1

xn+1.

Exemples d’application :

1. On a ∀|x| < 1,1

1− x=

+∞∑n=0

xn donc ∀|x| < 1, ln(1 − x) = −∫ x

0

dt

1− t= −

+∞∑n=0

xn+1

n+ 1= −

+∞∑n=1

xn

nou encore

∀|x| < 1, ln(1 + x) =+∞∑n=1

(−1)n−1

nxn.

La suite(1n

)est décroissante et tend vers 0 donc la fonction f : x 7→

+∞∑n=1

(−1)n−1

nxn est continue sur [0, 1].

On a ∀x ∈ [0, 1[, f(x) = ln(1 + x), f et x 7→ ln(1 + x) sont continues sur [0, 1] donc ∀x ∈ [0, 1], ln(1 + x) = f(x) =+∞∑n=0

(−1)n−1

nxn. En particulier, ln(2) = ln(1 + 1) = f(1) =

+∞∑n=1

(−1)n−1

n.

2. On a ∀|x| < 1,1

1 + x2=

+∞∑n=0

(−1)nx2n donc ∀|x| < 1, arctan(x) =

∫ x

0

dt

1 + t2=

+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1.

La suiteÄ

12n+1

äest décroissante et tend vers 0 donc la fonction f : x 7→

+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1est continue sur [0, 1].

On a ∀x ∈ [0, 1[, f(x) = arctan(x), f et arctan sont continues sur [0, 1] donc ∀x ∈ [0, 1], arctan(x) = f(x) =+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1. En particulier,

π

4= arctan 1 = f(1) =

+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1.

3. On a ∀|x| < 1,1

1− x2=

+∞∑n=0

x2n donc ∀|x| < 1, argthx =

∫ x

0

dt

1− t2=

+∞∑n=0

x2n+1

2n+ 1.


n est une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 alors sa somme f est de classe C 1 sur

]−R,R[ et on a ∀x ∈]−R,R[, f ′(x) =+∞∑n=1

nanxn−1 =

+∞∑n=0

(n+ 1)an+1xn.

Exemples d’application : On a ∀|x| < 1 :

1.1

(1− x)2=

Å1

1− x

ã′=

(+∞∑n=0

xn

)′=

+∞∑n=1

nxn−1 =+∞∑n=0

(n+ 1)xn.

2.1

(1− x)3=

1

2

Å1

(1− x)2

ã′=

1

2

(+∞∑n=1

nxn−1

)′=

+∞∑n=2

n(n− 1)

2xn−2 =

+∞∑n=0

(n+ 1)(n+ 2)

2xn =

+∞∑n=0

C2n+2x

n.


n est une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 alors sa somme f est de classe C∞ sur

]−R,R[ et on a ∀x ∈]−R,R[,∀k ∈ N, f (k)(x) =+∞∑n=k

k!Cknanxn−k =

+∞∑n=0

k!Ckn+k an+kxn.

Exemple d’application : On a ∀k ∈ N,∀|x| < 1,1

(1− x)k+1=

1

k!

Å1

1− x

ã(k)=

+∞∑n=k

Cknxn−k =

+∞∑n=0

Ckn+kxn.

Corollaire 2.4 Si∑anx

n est une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme f alors ∀n ∈ N, an =f(n)(0)n! .

Corollaire 2.5 Soient∑anx

n et∑bnx

n deux séries entières réelles de rayons de convergence > 0 et de sommes respectivesf et g.Si ∃ε > 0 tel que ∀x ∈]− ε, ε[, f(x) = g(x) alors ∀n ∈ N, bn = an.



2.2 Fonctions réelles développables en séries entières :Définition 2.1 Soit I un intervalle non vide de R et f : I → C. On dit que f est développable en série entière :

— Sur ]−r, r[ avec r > 0 s’il existe une série entière∑anx

n de rayon de convergenceR ≥ r telle que ∀x ∈]−r, r[, f(x) =+∞∑n=0

anxn.

— En 0 s’il existe r > 0 tel que f soit développable en série entière sur ]− r, r[.— En x0 ∈ I si l’application x 7→ f(x0 + x) est développable en série entière en 0.

Remarque : D’après la définition précédente, on ne s’intéressera, dans la suite, qu’ aux développements en séries entières en 0.Exemples :

— L’application x 7→ 11−x est développable en série entière sur ]− 1, 1[ et on a ∀|x| < 1,

1

1− x=

+∞∑n=0

xn.

— L’application x 7→ ln(1+x) est développable en série entière sur ]−1, 1[ et on a ∀|x| < 1, ln(1+x) =+∞∑n=1

(−1)n−1

nxn.

— L’application arctan est développable en série entière sur ]− 1, 1[ et on a ∀|x| < 1, arctanx =+∞∑n=1

(−1)n

2n+ 1x2n+1.

— L’application argth est développable en série entière sur ]− 1, 1[ et on a ∀|x| < 1, argthx =+∞∑n=1

x2n+1

2n+ 1.

Proposition 2.6 Soit I un intervalle non vide de R tel que 0 ∈ I et f : I → C.Si f développable en série entière en 0 alors f admet un développement limité d’ordre n en 0 pour tout n ∈ N.

Si, de plus, f(x) =+∞∑k=0

akxk au voisinage de 0 alors ∀n ∈ N, f(x) =

n∑k=0

akxk + o(xn).

Proposition 2.7 Soit I un intervalle non vide de R, r > 0 et f : I → C.Si f est développable en série entière sur ]− r, r[ alors :

— f est C∞ sur ]− r, r[.— Le développement en série entière de f sur ]− r, r[ est unique.

— ∀x ∈]− r, r[, f(x) =+∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn.

— Toutes les dérivées et primitives de f sont développables en séries entières sur ]− r, r[.

Corollaire 2.8 Soit I un intervalle non vide de R, r > 0 et f : I → C développable en série entière sur ]− r, r[.

On pose ∀x ∈]− r, r[, f(x) =+∞∑n=0

anxn.

Si f est paire (resp. impaire) sur ]− r, r[ alors ∀n ∈ N, a2n+1 = 0 (resp. ∀n ∈ N, a2n = 0).

Définition 2.2 Soit I un intervalle non vide de R tel que 0 ∈ I et f : I → C de classe C∞ au voisinage de 0.La série entière

∑ f(n)(0)n! xn s’appelle la série de Taylor de f en 0.

Remarques : Soit I un intervalle non vide de R tel que 0 ∈ I , r > 0 et f : I → C de classe C∞ au voisinage de 0.— Si f est développable en série entière sur ] − r, r[ alors la série de Taylor de f en 0 est de rayon de convergence ≥ r et

de somme f sur ]− r, r[.— Si le rayon de convergence de la série de Taylor de f en 0 est nul alors f n’est pas développable en série entière en 0.— Si la série de Taylor de f en 0 converge sur ] − r, r[ alors f n’est pas forcément développable en série entière sur

]− r, r[. En effet, pour la fonction f(x) =

ßexp

(− 1x2

)si x 6= 0

0 si x = 0, on a ∀n ∈ N,∃Pn ∈ R[X],∀x ∈ R∗, f (n)(x) =

Pn(1x

)exp

(− 1x2

)donc ∀n ∈ N, lim

x→0f (n)(x) = 0 d’où f est C∞ sur R et ∀n ∈ N, f (n)(0) = 0.

Si f était développable en série entière en 0 alors ∃ε > 0 tel que ∀x ∈] − ε, ε[, f(x) =+∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn = 0. Absurde,

car ∀x ∈ R∗, f(x) 6= 0 d’où f n’est pas développable en série entière en 0.

— Pour montrer que f est développable en série entière sur ]−r, r[, on montre que ∀x ∈]−r, r[, limn→+∞

(f(x)−

n∑k=0

f (k)(0)

k!xk

)=

0.



Proposition 2.9 — La fonction x 7→ ex est développable en série entière sur R et on a ∀x ∈ R, ex =+∞∑n=0

xn

n!.

— Les fonctions ch et sh sont développables en séries entières sur R et on a ∀x ∈ R, ch(x) =+∞∑n=0

x2n

(2n)!et sh(x) =

+∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!.

— ∀a > 0, la fonction x 7→ ax est développable en série entière sur R et on a ∀x ∈ R, ax =+∞∑n=0

lnn a

n!xn.

Proposition 2.10 Les fonctions cos et sin sont développables en séries entières sur R et on a ∀x ∈ R, cos(x) =+∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n

et sin(x) =+∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1.

Proposition 2.11 Soit α ∈ R. La fonction f(x) = (1 + x)α est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et on a ∀x ∈

]− 1, 1[, (1 + x)α = 1 ++∞∑n=1

α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn.

Corollaire 2.12 ∀x ∈]− 1, 1[ :

—1√

1− x=

+∞∑n=0

(2n)!

22n(n!)2xn.

—1√

1− x2=

+∞∑n=0

(2n)!

22n(n!)2x2n.

— arcsin(x) =+∞∑n=0

(2n)!

22n(2n+ 1)(n!)2x2n+1.

—1√

1 + x2=

+∞∑n=0

(−1)n(2n)!

22n(n!)2x2n.

— argsh(x) =+∞∑n=0

(−1)n(2n)!

22n(2n+ 1)(n!)2x2n+1.


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