E.N.P.E.I Série n�2 Année universitaire 13/14

Chaire de MathématiqueAnalyse complexe

Limites.Continuité.Dérivabilité.HolomorphieAnalyse III

Exercice 1 : Calculer les limites suivantes:

a) limz�!2i

�iz4 + 3z2 � 10i

�b) lim

z�!ei�=4z2

z4 + z + 1c) lim

z�!i=2

(2z � 3) (4z + i)(iz � 1)2

d) limz�!i

z2 + 1

z6 + 1e) lim

z�!1+i

�z � 1� iz2 � 2z + 2

�2f) lim

z�!ei�=3

�z � ei�=3

� z

z3 + 1

Exercice 2 :

1. Si l�on considère que la branche de f(z) =pz2 + 3 pour laquelle f(0) =

p3; calculer lim

z�!0

pz2 + 3� 2z � 1 :

2. Montrer que si l�on considère que la branche de f(z) = arg tanh z; telle que f(0) = 0 alors limz�!�i

f(z) =

3i�=4:

Exercice 3 : A l�aide de la dé�nition, déterminer les dérivées des fonctions suivantes aux points indiqués:

� f(z) = 3z2 + 4iz � 5 + i; z0 = 2 � f(z) = 3z�2; z0 = 1 + i � f(z) = 2z � i3 + 2i

; z0 = �i

Exercice 4 : Montrer que la fonction (z2z) n�est dérivable en aucun points de C� f0g :Etudier la dérivabilité en 0:Que peut-on dire de la fonction jzj2 :

Exercice 5 : Montrer que si w = f(z) = u+ iv est holomorphe dans un domaine D de C alors

f 0(z) =dw

dz=@w

@x=1

i

@w

@y

et que@w

@z= 0:

Exercice 6 : Exprimer les conditions de Cauchy-Riemann en coordonées polaires.

Exercice 7 : Etudier sur C l�holomorphie des fonctions:

� z2z; � zez; � jzj z; � jzjRe(z); � ez2 :

Exercice 8 :Etudier l�harmonicité des fonctions:

� x2 + 2x� y2 � 2ex cos y � arctan yx

� ln(x2 + y2)

Exercice 9 : Déterminer les conjuguées harmonique des fonctions suivantes:

� u = x+ y � u = sinx sinh y � u = x2 � y2 � x � u = 3x+ 2xy

Exercice 10 : Trouver toutes les fonctions conjuguées harmoniques qui correspondent aux formes suivantes:

� u = F�x2 + y2

�� u = F (ax+ by) � u = F (xy) � u = F (y=x)

1

Exercice 11 : Pour tout z = x+ iy; x; y 2 R; on pose f(z) = x+ iy2:

1. Prouver que f est R�di¤érentiable. Quelle est sa di¤érentielle?

2. Existe t-il un ouvert non vide U de C tel que f soit holomorphe sur U:

Exercice 12 : Soient U un ouvert connexe non vide de C et f une fonction holomorphe sur U: Prouverque les conditions suivantes sont équivalentes:

1. f est constante.

2. P = Re(f) est constante.

3. Q = Im(f) est constante.

4. f est holomorphe sur U:

5. jf j est constante.

Exercice 13 : Soient U un ouvert connexe de C et f; g deux fonctions holomorphes sur U telle que f(z)+g(z) 2 R pour tout z 2 U: Prouver qu�il existe c 2 R tel que f(z) = c+ g(z) pour tout z 2 U:

Exercice 14 : Soient U un ouvert connexe de C et f; g deux fonctions holomorphes sur U: On suppose quegne s�annule pas dans U et que f(z)g(z) 2 R pour tout z 2 U: Prouver qu�il existe c 2 R tel que f(z) = cg(z)pour tout z 2 U:

Exercice 15 : Soient U � C un ouvert connexe, f holomorphr sur U; F 2 C1 (R;R) tels que Re(z) =F [Im(z)] pour tout z 2 U: Que dire de f?

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