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COURS DE QUALITE – METROLOGIE

Sept 2019 rev2 Chapitre 1-1

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François REYNES Responsable Métrologie [email protected]

L’ensemble des Documents, Cours, TDs sont mis à disposition sur le site-blog : https://formationmetrologie.home.blog



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La Metrologie : Interprétation des résultats de mesurage Incertitudes de mesurage

0. Introduction – Métrologie : une matière pluridisciplinaire La métrologie : c’est tout simplement la « science de la mesure », correcte mais d’une concision redoutable. Ce qui fait penser que la métrologie est réservée à des laboratoires de pointes ou à des entreprises dans des secteurs très spécifiques; et que le métrologue est soit un physicien des grandeurs de mesures, soit un technicien en charge de la mesure… Le diagramme présenté ci dessous est une représentation relativement intuitive de ce qu’est la métrologie : les concepts sont représentés dans des rectangles qui sont reliés entre eux par des flèches accompagnées de phrases de liaisons. Ce « concept map » (diagramme conceptuel) nous montre bien que la métrologie est une matière pluridisciplinaire : elle nécessite des compétences en Qualité, en Mathématiques, en Statistique, en physique, en instrumentation, en gestion, en production, etc… sans parler des compétences humaines pour former et convaincre chaque acteur de l’utilité de maîtriser la mesure.



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0. Introduction – Métrologie : une fonction transversale La norme ISO 9001, relatives aux systèmes de management de qualité, propose un découpage selon un cycle PDCA en en 4 phases qui s’enchaîne logiquement avec un objectif d’amélioration du fonctionnement de l’organisation en place. La norme positionne la métrologie comme un processus transversale dans l’organisme : elle a une incidence direct sur la qualité des produits, mais aussi dans la gestion des risques de produire un produit inadapté. Que ce soit dans la norme ISO 9001 ou NF EN ISO 10012, la métrologie est directement placé sur un axe qui va de la « demande du client » à la fourniture du « produit, service», mais aussi sur la lignes des processus générant l’amélioration continue de la qualité.



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Interprétation des résultats de mesurage Incertitudes de mesurage

I. Introduction et quelques définitions Processus [ ISO 9000 ] (Process) « Ensemble d’activités corrélée ou interactives qui transforme des éléments d’entrée en élément de sortie » Mesurande [NF X 07-001] (measurand) « Grandeur que l’on veux mesurer. … Note : La spécification d'un mesurande nécessite la connaissance de la nature de grandeur et la description de l'état du phénomène, du corps ou de la substance dont la grandeur est une propriété, incluant tout constituant pertinent, et les entités chimiques en jeu. » Le mot « mesurande » ne figure pas dans les dictionnaires. Il s’agit en fait de la grandeur qui est mesurée en y associant les facteurs d’influences qui peuvent avoir de l’importance pour la valeur finale du résultat de mesurage. Exemple : Longueur d’une cale acier donné à 20°C Mesurage [NF X 07-001] (measurement) « processus consistant à obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur»

Bien que figurant dans les dictionnaires, le mot mesurage n’est pourtant pas d’un usage courant pour le grand public : il préfère utiliser le mot « mesure ». Pourquoi utiliser le mot « mesurage » et non « mesure » ? L ‘explication se trouve dans les notes explicatives qui se trouvent situées au début du VIM: « Le mot « mesure » a dans la langue française courante plusieurs significations. Aussi n’est-il pas employé seul dans le présent vocabulaire. C’est également la raison pour laquelle le mot « mesurage » a été introduit pour qualifier l’action de mesurer. » Processus de mesure [ ISO 10012 ] (measuring process) « Ensemble d’opérations effectuées pour déterminer la valeur d’une grandeur » Si on compare sur les définitions données dans les deux normes, le processus de mesurage n’est autre que le mesurage. Il donne un résultat qui restera indépendant de la méthode employée. Exemple : une mesure de température peut se faire avec différents types de thermomètres (sonde pt100, dilatation de liquide, infrarouge …), la température (le mesurande) reste la même …

Un peu de théorie



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Grandeurs d’influences [NF X 07-001] (Influences quantity) « grandeur qui, lors d’un mesurage direct, n’a pas d’effet sur la grandeur effectivement mesurée, mais a un effet sur la relation entre l’indication et le résultat de mesure » Il s’agit de grandeurs physiques qui, lorsqu’elle varie peuvent perturber / parasiter le résultat de mesurage Et elles vont provoquer des erreurs de mesure ( variation ou décalage de la mesure ) Erreur de mesure [NF X 07-001] measurement error « différence entre la valeur mesurée d’une grandeur et une valeur de référence » Vous avez peut-être des difficultés à comprendre cette définition mais les définitions ci-dessous devraient vous aider : - Le « mesurande » , c’est le terme employé par les métrologues pour désigner la grandeur qu’il souhaitent mesurer

- Le «résultat d’un mesurage», c’est la valeur numérique de la grandeur - « Erreurs de mesure »

Y = y ± ε unité

II. Interprétation statistique des résultats de mesurage En disposant de n résultats de mesurage obtenus par la même méthode sur une grandeur, comment avoir des informations sur la fréquence d’apparition de ces mesures ??? Comment se présente la dispersion de ces mesures ???

Avoir une représentation graphique des résultats de mesurage



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II.1. Avoir une représentation graphique des résultats de mesurage II.1.1. Histogramme des effectifs En disposant de n résultats de mesurage obtenus par la même méthode sur une grandeur, cette série de mesurage peut être représenté par un graphique appelé histogramme des effectifs. L’histogramme des effectifs est une construction graphique représentant le nombre de donnée pour un intervalle. Chaque colonne (sur l’axe horizontal X) est une « classe » ou « catégorie ». Le nombre de résultats correspondant à la « classe » est un « effectif » : la hauteur du rectangle (sur l’axe vertical Y) est proportionnel au nombre de données appartenant à cette « classe ».

Cette représentation graphique donne la répartition des mesures mais reste dépendante du nombre de mesurage effectué. Pour faciliter les comparaisons, on utilisera l’histogramme des fréquences.



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II.1.2. Histogramme des fréquences Pour faciliter les comparaisons, l’histogramme est « normalisée » en prenant la surface de chaque rectangle égale à :

Fréquence f = Effectif de la classe . Nombre total de résultats

L’histogramme obtenu s’appelle histogramme des fréquences. Sa surface est égale à 1. Voir en Annexe 6 E1 & Annexe 7 E1

II.1.3. Courbe de distribution : d’une représentation graphique à un modèle mathématique

Lorsque le nombre n de mesure augmente indéfiniment, l’ensemble des résultats de mesurage représente une population statistique. Pour n infini, la fréquence tend vers une valeur parfaitement définie dans chaque classe. L’histogramme des fréquences a donc, pour n infini, une limite qui est l’histogramme de la population. En diminuant la classe à l’infini, l’histogramme devient donc une courbe continue y = f(X) qui est appelée courbe de distribution de X

En pratique, les courbes de distribution sont inconnues puisqu’elles correspondent à un cas limite :

� Nombre infini de résultats � Sensibilité infini de l’instrument de mesure

Cependant un certain nombre de courbes de distribution permettent de décrire correctement des situations expérimentales : Il s’agit des lois de probabilité utilisées dans l’estimation de l’incertitude.



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II.1.4. Lois de probabilité / distribution

La loi statistique la plus utilisée est la loi normale, car celle-ci permet d’effectuer une interprétation statistique de nombreuses variables dans des domaines aussi différents que les domaine scientifiques, techniques, la métrologie, les sciences humaines … Tout processsus ( de mesure, de production, …) soumis simultanément à plusieurs facteurs d’influence, génère une distribution normale (Théorème central limite) La loi normale est caractérisée par l’expression mathématique suivante :

²2)²(

2)( σ

σπ

xx

en

xy−−

=

x est la valeur moyenne σ est l’écart-type ( s( x ) )

La valeur moyenne x fixe la position de la distribution et l’écart-type σ son étalement Des calculs statistiques sur une loi normale montrent qu’il y a 68.3% pour que la moyenne d’une série de mesure ait une valeur « vraie » dans l’intervalle x ± σ. On dit aussi que la mesure a un niveau de confiance de 68.3 % pour l’intervalle x ± σ Mais donner un résultat en affirmant qu’il y a 68.3 % de chance d’être vrai, et donc 31.7 % d’être erroné, n’est certainement pas suffisant lors de la caractérisation d’une grandeur. Il est donc nécessaire de prendre un intervalle plus grand. On définit alors un intervalle de confiance par :

x ± k . σ avec k : facteur de confiance (ou d’élargissement)

Les niveaux de confiance sont obtenus par calculs statistiques et des tables permettent d’avoir directement les résultats.

Tableau des niveaux de confiance de la loi normale

Niveau de confiance (%) Facteur d’élargissement k

68.27 1 90 1.645 95 1.96 95.45 2 99 2.576 99.73 3



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II.2. Caractérisation de la mesure et de ses erreurs Lorsqu’on effectue n mesurages d’une grandeur X, appelées xi ( 1 ≤ i ≤ n ), ceux-ci sont généralement différent de la valeur nominale de x. De nombreux facteurs vont concourir à rendre les résultats de mesure incertains : l’incertitude instrumentale, la sensibilité des instruments aux conditions d’environnement ( température, pression, humidité, etc. ), la nature de l’échantillon, les facteurs humains, etc. D’une manière générale, l’ensemble de ces grandeurs d’influence génère des erreurs sur le résultat. Plus ces erreurs sont importantes, plus la valeur mesurée sera éloignée de la valeur « vraie » du mesurande et aura tendance à « varier » Erreur de mesure [NF X 07-001] measurement error « différence entre la valeur mesurée d’une grandeur et une valeur de référence »

Valeur mesurée = Valeur de référence (« Vraie ») + erreurs de mesure



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En fonction qu’elles « décalent » ou qu’elles « font varier », on va séparer définir deux catégories d’erreurs

Valeur mesurée = Valeur de référence (« Vraie ») + erreurs de mesure

Erreur systèmatique [NF X 07-001] (Systematic error) « Composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, demeure constante ou varie de façon prévisible» Pour la variable xi, dont la valeur de référence est xr, le mesurage donne une valeur qui s’écarte systématique de la valeur « vraie » On devra procéder à l’application de corrections sur le résultat de mesurage :

xr = xl + C avec

xr : Valeur de référence xl : Resultat de lecture (ou moyenne des résultats) C : Correction

Erreur aléatoire [NF X 07-001] (Random error) « composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, varie de façon imprevisible» Pour nous aider à la compréhension de cette définition, la norme européenne «Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure» [NF ENV 13005 § 3.2.2. ] nous définit l’origine des erreurs aléatoires: « L’erreur aléatoire provient probablement de variations temporelles et spaciales non prévisibles ou stochastiques de grandeurs d’influence. Les effets de telles variations, …, entraînent des variations pour les observations répétées du mesurande ». Les erreurs aléatoires proviennent de l’influence de facteurs imprévisibles lors de la mesure. Les valeurs mesurées sont alors plus ou moins dispersés.

Valeur mesurée = Valeur « Vraie » + erreurs systématiques ± erreurs aléatoires

Biais de mesure et Incertitude de mesure :

la quantification des erreurs

Biais de mesure [NF X 07-001] (measurement bias) « estimation d’une erreur systématique » Le « biais de mesure» est la différence entre les valeurs mesurée et la valeur vraie (Erreur systématique) Incertitude de mesure [NF X 07-001] (Uncertainty of measurement) « paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées » L’incertitude de mesure (représentée par la lettre U) est une plage de valeurs caractérisant la dispersion d’un mesurage (Erreur aleatoire), de telle sorte qu’il y ait de fortes chances que la valeur vraie s’y trouve incuse.



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II.2.3. Erreur accidentelle Elle résulte d’une fausse manœuvre, d’un mauvais emploi, ou de dysfonctionnement de l’instrument de mesure. Elles ne sont généralement pas prises en compte dans la détermination des erreurs de mesurage. Un certain nombre de méthode statistique permettent de déterminer quelles valeurs sont ou ne sont pas aberrante. La plus connue est le test de Grubbs et de Cochran (que nous verrons en Semestre 3) II.3. Modélisation du résultat de mesurage II.3.1 Un modèle simple … En fonction des différents facteurs d’influences, le résultat de mesurage peut donc être modélisé par l’équation suivante :

Résultat de mesurage = Valeur vraie + Erreur systématique ± Erreur aléatoire

Ou

Résultat de mesurage = Valeur vraie + Biais de mesure ± Incertitude de mesure

II.3.2 Un outil d’analyse des facteurs d’influence : Le 5M Un mesurage peut être assimilé à un processus permettant d’obtenir une valeur numérique d’un mesurande. Ce processus étant perturbé par un certain nombre de facteurs d’influence, celui-ci est souvent représenté selon la technique dite des « 5M » (diagramme causes/effets, diagramme Ishikawa, « Fishbone diagram », « sapin à 5 branches » …). Ce diagramme est un outil graphique permettant d’identifier les éléments qui interviennent dans le processus de mesure, et de les classer selon catégories :

- Main d’œuvre : la personne effectuant la mesure - Milieu : l’environnement de la mesure (Température, hygromètrie …) - Moyen de mesure : la performance de l’instrument de mesure - Méthodes : le mode opératoire - Matière : le mesurande lui-même

Ou plus sobrement :



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II.4. Quantification de la mesure et de ses erreurs

On peut caractériser la mesure et ses erreurs (aléatoire et systèmatique) au moyen de différents outils statistiques : � La moyenne arithmétique

des n mesurages x1, x2…xi…xn faits pour caractériser une grandeur X :

En retranchant la valeur de référence xR de la grandeur X à la moyenne x des mesures, on peut déterminer une estimation de l’erreur systèmatique εS. Remarque : Si l'erreur systématique est négligeable (ce que l'on suppose pour la suite), alors x → xR quand n → ∞ (xR = valeur de référence).

� L’étendue E

C'est l'intervalle entre la plus petite et la plus grande valeur. On dit d'un phénomène qu'il présente une « forte dynamique » lorsque l'étendue (ou la dispersion) est grande. � L’ecart type σ

défini comme étant la racine carrée de la moyenne du carré de l'écart entre la mesure et la valeur réelle xR:

Mais généralement, xR est inconnu, on en a juste une estimation par la moyenne x On peut alors calculer une estimation de l'écart type notée s(xi) ou s :

� L’ecart type σ Mais lors de la caractérisation de la grandeur X, il a été effectué n mesurage et la moyenne x est representative du mesurande. L’ecart-type de la moyenne est donné par :

n

s )x( =s

� La Variance V

est égale au carré de l'écart-type : V = σ² Remarque 1: En fait, le mot variance (et sa racine carrée, l'écart type) est souvent employé plus généralement pour caractériser la dispersion d'un jeu de n valeurs d’une variable Z, même si cette variable n’est pas constante, et s'écrit alors:

On devrait donc, dans le cas précédent, parler de variance de l'erreur (ou écart type de l'erreur), mais ce n'est jamais le cas…



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III. Comment évaluer l’incertitude des résultats de mesure Incertitude de mesure [NF X 07-001] (Uncertainty of measurement) « paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées »

Pour connaître l’incertitude liée à un résultat, des règles claires, reconnues internationalement existent , ; elles sont décrites dans le « Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure », document connu sous son acronyme GUM et publié sous la forme d’une norme française NF ENV 13005 (X 07-020). La méthode « GUM » est issue de la métrologie et consiste à modéliser le processus de mesure : On va composer l’incertitude de mesure à partir des incertitudes intervenant dans le processus de mesures. Ces règles expliquent comment :

� Definir le mesurande et analyser le processus de mesure � Evaluer les incertitudes-types des facteurs d’influence � Calculer l’incertitude composée � Calculer l’incertitude élargie � Prendre en compte des erreurs systématiques � Exprimer le résultat de mesure

III.1. Définir le mesurande, identifier les composantes d’incertitude, établir le modèle mathématique III.1.1. Définir le mesurande Définir le mesurande est une opération essentielle, de nombreuses sources d’incertitude pouvant provenir d’une définition incomplète du mesurande ou bien encore des différences que l’on introduit entre ce que l’on souhaite mesurer et la grandeur qui est réellement mesurée. Bien souvent, il faudra définir de nombreuses conditions qui permettent l’observation « répétable » du mesurande, telles que la méthode de mesure, la température, la pression, l’hygromètrie, etc.



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III.1.2. Analyser le processus de mesure Expression de l’équation physique de la mesure Dans de nombreux cas, le mesurande Y est mesurée indirectement par l’intermédiaire de n grandeurs X1, X2, … Xn On établit la relation physique qui relie grandeurs d’entrée X1, X2, …,Xn intervenant dans le processus de mesure. Cette relation fonctionnelle s’exprime sous la forme :

Y = f (X1, X2, … , Xn)

C’est définir le modèle mathématique propre au processus de mesure. Parmi les Xi figurent les facteurs correctifs ainsi que des grandeurs qui prennent en compte toutes les autres sources de variabilité telles que : les différents observateurs, les instruments, … La fonction f n’exprime donc pas simplement une loi physique, mais le processus de mesure et en particulier, la fonction doit contenir tous les facteurs qui contribuent significativement à l’incertitude du résultat final. Un « outil qualité » pour analyser les processus de mesure : III.1.3. La méthode des 5M Pour nous aider, on exploite la technique dite des « 5M » qui caractérise tous les processus de mesures. Elle va nous permettre, à partir d’une réflexion et d’une très bonne connaissance du processus de mesure, de déterminer ces différents facteurs.

Pour cela, on analyse successivement chaque « branche » du diagramme pour voir quelle est la contribution sur le résultat de mesure

- du matériel (appareil, étalon …), - de la méthode (nombre de mesures, points de mesures …) - du milieu environnant (température, hygrométrie, pression …) - de la main d’œuvre (nombre d’opérateur, lecture des mesures, manipulation …) - de la matière (positionnement, échantillonnage …)

On utilisera le diagramme 5M pour classer ces différents facteurs, mais aussi pour avoir une représentation plus « visuelle » des sources d’erreurs liées au processus de mesure

Main d'oeuvre Milieu Matiere

Moyen Methodes



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III.2. Evaluer les incertitudes type des valeurs d’entrée Lorsque le modèle du processus de mesure aura été établi, tout le problème du métrologue est d’identifier la totalité des paramètres xi qui ont une incidence sur le résultat du mesurage et de quantifier leur incertitude type. Pour évaluer la valeur numérique de incertitudes types associées à chacune des composantes de l’incertitude, deux méthodes peuvent être employées :

� La méthode de type A qui se fonde sur l’application de la statistique. Elle est utilisée pour quantifier une partie de l’erreur aléatoire ainsi que les incertitudes de répétabilité de mesurage

� La méthode de type B qui se recouvre tout ce qui n’est pas statistique (facteurs d’influence, résolution …)

Remarque : Incertitude : « paramètre … qui caractérise la dispersion des valeurs …attribuées au mesurande »

� On peut considérer que si l’on avait suffisamment de ressources (temps et argent) toutes les composantes pourrait - être évaluées avec une méthode de type A.

� La méthode de type B requièrent de l’expérience et des compétences techniques. III.2.1. Méthode de type A La méthode de type A consiste à quantifier l’incertitude type au moyen d’une analyse statistique. C’est à dire de réaliser une série de n mesurages xi et d’en déterminer l’ecart-type expérimental. L’incertitude type u(xi) est alors égale à l’écart-type expérimental :

Remarque : Les incertitudes types de type A permettent de regrouper plusieurs grandeurs dont l’effet est difficilement quantifiable isolément (fidélité de l’instrument de mesure, élément relatif à l’opérateur … « les phénomènes stochastiques ») III.2.2 Méthode de type B (lorsque l’on ne peut / veut pas utiliser une méthode expérimentale …) La méthode de type B est utilisée pour estimer les incertitudes types u(xn ) des différents composantes xn à partir d’un « jugement scientifique fondé sur toutes les informations disponibles au sujet de la variabilité possible de Xi » (NF ENV 13005). Estimer une l’incertitude type nécessite :

- de choisir a priori en fonction de ses connaissances, de son expérience, quelle loi de distribution représente le mieux la grandeur d’entrée considérée

- de définir l’étendue des variations possibles pour la grandeur d’entrée considérée Celles-ci sont parfois plus difficiles à quantifier car étant intimement liées à l’expérience du métrologue et à la maîtrise du processus de mesure. C’est pourquoi, le tableau suivant résume différent cas pratiques : la première colonne précise le type de composante, la seconde la loi de distribution retenue a priori et la troisième colonne indique les calculs à effectuer.



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Composante Distribution a priori Incertitude type Méthode de calcul

Quantification de la résolution d’un indicateur

Uniforme

U(xi) = a / √3 Si la quantification de la résolution est q a = q/2

Hystérésis : h est la différence maximal entre les indications obtenus par valeurs croissantes et décroissantes

Uniforme

U(xi) = a / √3 a = h/2

Instrument vérifié conforme à une classe ou connaissance d’une EMT sur l’instrument

Uniforme

U(xi) = a / √3 La tolérance est définie par ±a

Effet de grandeur d'influence variant entre deux extremum de façon sensiblement sinusoidale ( température dans un local régulé, ...)

Dérivée d’arc sinus

U(xi) = a / √2

Si les variations sont désigné par deux extremum Vmax et Vmin : a = 1/2 (Vmax – Vmin)

Effet mettant en œuvre plusieurs phénomènes physique ; ou non maitrisé

Normale

U(xi) = a / 3 Les variations de l’effet sont défini par ±a

Composante asymétrique de type erreur de parallelisme entre l'objet mesuré et l'instrument de mesure en métrologie

Triangle rectangle

U(xi) = a / √4.5

Si l’ecart de parallélisme est notée e : a = e/2

Versement du contenu d'une fiole jaugée en chimie ( la quantité versée est toujours inférieure au contenu de la fiole )

Triangle rectangle

U(xi) = a / √4.5

Si l’ecart de versement est notée e : a = e/2



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III.3. Calcul de l’incertitude composée III.3.1. Loi de propagation des incertitudes Après avoir : � Défini le mesurande et établi le modèle mathématique � Évalué les incertitudes types des grandeurs d’entrée On va pouvoir déterminer l’ « incertitude-type composée » uc(y) au moyen de la loi de propagation des incertitudes :

∑ ∑∑−

= +== ∂∂

∂∂+

∂∂=

1

1 11

2

2

2);(2)(

n

i

ji

j

n

ij i

n

i

xi

i

c xxux

f

x

fu

x

yyu

La loi est composée de deux termes bien distincts :

- Le premier terme permettant de calculer la variance u²(y) à partir des grandeurs d’entrée xi - Le second terme (composé des termes de covariance u(xi ; xj) ) qui tient en compte du fait que les

grandeurs d’entrées xi et xj peuvent être dépendante entre elles III.3.2. Hypothèse 1 : grandeurs d’entrée non corrélée Les grandeurs d’entrée x1, x2, … , xn sont non corrélées. C’est à dire que les grandeurs pour lesquelles la valeur prise par l’une n’a aucun effet sur la valeur prise par l’autre. Dans ce cas, les termes de covariance sont nuls et l’écriture de la loi de propagation se simplifie :

∑=

∂∂=

n

i

xic ux

yyu

1

22

2 )(

III.3.3. Hypothèse 2 : grandeurs d’entrée corrélées Dans le cas de grandeurs d’entrée corrélées, il existe un terme de covariance pour chaque couple de grandeurs corrélées. (C’est le cas, par exemple, si on utilise le même instrument de mesures pour déterminer de certaines grandeurs d’entrée ; le même étalon physique …) L’estimation des covariances passe par l’estimation d’un coefficient de corrélation r(xi,xj) liant l’incertitude type xi à l’incertitude type xj

)()();();( jijiji xuxuxxrxxu ××=

L’équation de propagation des incertitudes peut alors s’écrire :

∑∑∑−

= +==

××∂∂

∂∂+

∂∂=

1

1 11

2

2

2)()();(2)(

n

i

jiji

j

n

ij i

n

i

xi

i

c xuxuxxrx

f

x

fu

x

yyu

Le coefficient de corrélation r peut varier de -1 à +1

- Si xi et xj sont totalement non corrélées, alors r(xi,xj) = 0 : cf hypothèse 1

- Si xi et xj sont liées par une relation linéaire, on obtient r(xi,xj) = 1 La loi de propagation des incertitudes peut alors s’écrire :

2

1

2 )(

∂∂= ∑

=

n

i

xi

i

c ux

yyu



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IV. Calcul de l’incertitude élargie U On peut utiliser l’incertitude type composée pour exprimer l’incertitude sur le résultat de mesure. Mais si la distribution des erreurs répond à une loi normale (et le « théorème centrale limite » nous prouve que c’est généralement le cas), il n’y a que 68.3% de chance pour que la moyenne d’une série de mesure ait une valeur « vraie » dans l’intervalle y ± uc. Il va donc falloir choisir un facteur d’élargissement k en fonction du niveau de confiance requis pour que la valeur de la grandeur soit comprise dans un intervalle y ± k.uc On peut utiliser le tableau des niveaux de confiance de la loi normale, pour déterminer la valeur de k

Niveau de confiance (%) Facteur d’élargissement k

68.27 1 90 1.645 95 1.96

95.45 2 99 2.576

99.73 3

Et ainsi déterminer U = k . uc Actuellement, dans les certificats d’étalonnage édités à l’entête du COFRAC, le facteur d’élargissement k varie dans une plage allant de 2 à 3, pour un niveau de confiance de 95.45 % à 99.73% Cette valeur est aussi la plus fréquemment rencontrée dans toute l’Europe. V. Expression finale du résultat de mesurage V.1. Prise en compte des erreurs systématiques Dans le cas où les facteurs de nature systématique existent, on devra impérativement procéder à l’application de corrections sur le résultat de mesurage :

xr = xl + C avec

xr : Valeur de référence xl : Resultat de lecture (ou moyenne des résultats) C : Correction des erreurs systèmatiques



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V.2. Expression finale du résultat : le problème de l’arrondissage V.2.1 Position du problème Les valeurs numériques de l’estimation Y, mesurées directement ou calculées, comporte souvent un nombre incompatible avec l’incertitude de mesure. L’expression finale du résultat de mesurage ne doit pas être donnée avec un nombre excessif de chiffres. Il est donc nécessaire de procéder à un arrondissage du résultat, de manière à ne conserver que les chiffres significatifs. V.2.2. Règles d’arrondissage Les règles d’arrondissage, proposées par la normalisation sont résumées dans le tableau ci dessous

V.2.3. Arrondissage et incertitude Les limites d’incertitude doivent comporter au plus deux chiffres significatifs. Elles sont arrondies, le cas échéant, et, pour plus de sécurité, l’arrondissage se fait par excès. V.2.4. Arrondissage et résultat de mesure Pour la valeur numérique du résultat le dernier chiffre à retenir est celui qui a la même position que le deuxième chiffre significatif dans l’expression de l’incertitude. V.3. Expression finale du résultat de mesurage Le résultat d’un mesurage doit comporter 5 éléments :

Y = ( y - C ) ± U uSI (k=2) 1 2 3 4 5

1. y = Valeur numérique avec un nombre correct de décimales 2. C = Facteur de correction des erreurs systématiques 3. U = Incertitude élargie 4. Unité

5. Le facteur d’élargissement k



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Y = y ± U uSI ( k=2 )



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Annexe 1

Histogramme des effectifs / fréquences

EXCEL / FREQUENCE : un outil précieux FREQUENCE calcule la nombre d'apparition des valeurs dans une plage de valeurs, puis renvoie des nombres sous forme de matrice verticale. En d’autres termes calcul les effectifs en fonction des classes. Syntaxe FREQUENCE(tableau_données;matrice_intervalles) Arguments

o tableau_données représente une matrice de valeurs dont vous souhaitez calculer le nombre d’apparitions (Résultats de mesurage)

o matrice_intervalles représente une matrice d'intervalles (Classe) dans lesquels vous voulez regrouper les valeurs de l'argument « tableau_données » .

L'illustration suivante montre la méthodologie à suivre pour déterminer le tableau des effectifs sur excel.

Formules matricielles et modalités de saisie Une formule matricielle peut effectuer plusieurs calculs et renvoyer des résultats simples ou multiples. Les formules matricielles interviennent sur deux ensembles de valeurs ou plus appelés arguments matriciels. Chaque argument matriciel doit avoir le même nombre de lignes et de colonnes. Vous créez des formules matricielles de la même façon que d'autres formules, sauf que vous devez appuyer sur CTRL+MAJ+ENTRÉE pour taper la formule.



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Annexe 1 – Exercice 1

E1-1 A partir des résultats ci-joint, et de l’ordinogramme § II.1 , rédiger un tableau reprenant les « effectifs » en fonction des « classes »

Valeurs mesurées 7,162 7,164 7,154 7,156 7,168 7,153 7,167 7,160 7,159 7,160 7,157 7,157 7,165 7,160 7,163 7,166 7,162 7,166 7,161 7,161 7,161 7,167 7,171 7,155 7,162 7,160 7,161 7,161 7,159 7,162 7,164 7,163 7,165 7,164 7,163 7,166 7,169 7,158 7,170 7,163 7,159 7,162 7,158 7,163 7,162 7,161 7,163 7,164 7,165 7,165

E1-2 Tracer l’histogramme des effectifs. Peut-on y reconnaitre une loi / courbe de distribution ? Laquelle ?



- 27 -

Annexe 2 - Ecart-type expérimental Annexe 2.1. Cas d’une limitation du nombre de mesures et d‘une certitude de loi normale (de Gauss). Si, pour des raisons techniques, économiques … le nombre de mesure est inférieur à 6, l’incertitude type u(xi) est calculée à partir de l’étendue E des mesurages. C’est-à-dire la différence entre les valeurs extrêmes xmin et xmax.

u(xi) = E = xmax - xmin Q Q

Annexe 3 - Quelques rappels : Les dérivés

Fonction y = f(x) Dérivé partiel ∂y/∂x

y = a ∂y/∂x = 0

y = x ∂y/∂x = 1

y = a x ∂y/∂x = a

y = 1/x ∂y/∂x = -1/x²

y = xn ∂y/∂x = n xn-1

y = √x ∂y/∂x = 1 / 2√x

y = g(x) + h(x) ∂y/∂x = ∂g(x)/∂x + ∂h(x)/∂x

y = g(x) . h(x) ∂y/∂x = ∂g(x)/∂x . h(x) + ∂h(x)/∂x . g(x)

y = g(x) / h(x) ∂y/∂x = [ ∂g(x)/∂x . h(x) - ∂h(x)/∂x . g(x) ] / h²(x)

y = 1 / g(x) ∂y/∂x = - ∂g(x)/∂x / g(x)²

Annexe 4 - Loi de propagation des incertitudes

Annexe 4 – E1 Application de la loi de propagation des incertitudes - Pour les grandeurs x1 et x2, déterminer uc²(y) en fonction des relation mathématique « type » ci dessous :

Relation « type » uc² (y)

y = x1 + x2

y = x1 - x2

y = x1 . x2

y = k . x1

y = x1 x2

n 2 3 4 5 Q 1.128 1.653 2.059 2.326


Chapitre 1-1

- 28 -

Annexe 6 - Ex 1 : Incertitude de mesure de la mesure du truc par un truc

Phase 1-1 : Définition du mesurande

Mesure d’une épaisseur de caoutchouc dans une salle de TD. Phase 1-2 : Choix des ressources

Principe de mesure Mesure directe au moyen d’un mesureur d’épaisseur. Aucune correction n’est effectuée sur la mesure. La mesure est estimée à la demi graduation par les étudiants. Les résultats de mesure sont définis dans le tableau ci dessous

Valeurs mesurées Etudiant n°1 Valeurs mesurées Etudiant n°2 5.310 5.310 5.320 5.325 5.315 5.310 5.320 5.320 5.315 5.315 5.320 5.320 5.315 5.315 5.315 5.320 5.310 5.310 5.315 5.320 5.320 5.315 5.325 5.325 5.315 5.310 5.320 5.315 5.315 5.315 5.320 5.315 5.310 5.310 5.320 5.315 5.310 5.310 5.325 5.320 (Ou il est possible d’utiliser les résultats obtenus par les étudiants) Conditions ambiantes La mesure est effectuée dans une salle de TD dont la température varie de 15°C (hiver) à 35°C (été), une hygrométrie de (50±20) %HR. La mesure est effectuée dans une région géographique où la pression atmosphérique est de (1.013 ± 0.200) bar Description du matériel Mesureur d’épaisseur (Comparateur sur socle) de marque ROCH de type Standard. Capacité 10 mm Touches planes diamètre 30 mm Référence normative : NF E 11-056 Le mesureur d’épaisseur a été vérifié et déclaré Conforme aux spécifications du constructeur à une température de référence de 20°C.

Compétences acquises : Estimation d’une incertitude (Grandeurs d’entrée non corrélée)

Outils nécessaires : Méthode GUM


Chapitre 1-1

- 29 -

Extrait des spécifications techniques du constructeur

Capacité Résolution Touche Diamètre touche

Coef. de dilation linéaire

Exactitude

0 … 10 mm 0.01 mm Bombées Ø 10 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.02 mm 0 … 10 mm 0.01 mm Bombées Ø 20 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.03 mm 0 … 10 mm 0.01 mm Bombées Ø 30 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.05 mm 0 … 10 mm 0.01 mm Planes Ø 10 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.01 mm 0 … 10 mm 0.01 mm Planes Ø 20 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.02 mm 0 … 10 mm 0.01 mm Planes Ø 30 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.02 mm 0 … 25 mm 0.01 mm Planes Ø 30 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.05 mm 0 … 50 mm 0.01 mm Planes Ø 30 mm 11,5 10-6 °C-1 ± 0.10 mm

Description du mesurande Pastille de caoutchouc de Diamètre 44 mm, de dureté SHORE 30 et de coefficient de dilatation linéaire 120 10-6 °C-1

Phase 1-3 : Expression du modèle mathématique de la mesure

1/ Modélisez la mesure sous la forme d’une équation simple. Phase 1-4 : Analyse du processus de mesure

Déterminez au moyen du « diagramme cause-effet », les facteurs d’influences. 1/ Détaillez ces facteurs d’influence sur un diagramme « 5M »

Phase 2-1 : Evaluation des incertitudes types des valeurs d’entrée 1/ Déterminez les différentes composante d’incertitude, le mode d’estimation de ces composantes, la loi de distribution « à priori » pouvant être associée, l’incertitude type quantifiée. 2/ Justifiez vos choix pour chaque composante d’incertitude 3/ Compléter le tableau récapitulatif de ces différents éléments quantifiés

Phase 3-1: Incertitude type composée 1/ Formulez la loi de propagation des incertitudes pour le cas présent 2/ Calculez L’incertitude type composée uc =

Phase 4-1 : Incertitude élargie

1/ Déterminez et justifier le choix du facteur d’élargissement 2/ Calculez l’incertitude élargie U =

Phase 5-1 : Prise en compte des erreurs systèmatiques

1/ Justifié votre choix de correction des erreurs systèmatiques. 2/ Déterminez chaque composante d’erreurs systématiques et quantifiez celle-ci.

Phase 5-2 : Expression final du résultat de mesurage

1/ Exprimer le résultat final


Chapitre 1-1

- 30 -

Annexe 7 – Exercices sur : Histogramme et Lois statistiques …

Choix « a priori » d’une loi de distribution … Une démonstration par expérimentation …

Ex 0 Analyse statistique d’un phénomène physique : la température Dans le diagramme 5M, l’un des facteurs d’influence les plus représentatifs de la branche « Milieu » est le facteur température : quelle est la loi de distribution qui correspond le mieux à cette grandeur physique ? Pour cela nous allons effectuer un enregistrement de la température dans deux locaux différents :

- un laboratoire climatisé à (20 ± 1 )°C - une salle de TD

Les résultats sont présentés dans un tableau sous format Excel disponible sur le site (voir page 1) Ex 1 Température dans un Laboratoire de métrologie (Le mien) Au moyen d’une climatisation, la température dans un laboratoire est régulée à :

20 ± 1 °C. Un enregistrement des températures a été effectué sur une période de 4 heures. E1-1 A partir des résultats ci-joint, et de l’ordinogramme § II.1 , rédiger un tableau reprenant les « effectifs » en fonction des « classes » E1-2 Tracer l’histogramme des effectifs. Peut-on y reconnaitre une loi / courbe de distribution ? Laquelle ? Ex 2 Température dans une salle de TD / TP Dans une salle de TD , quatre enregistrements ont été effectués sur une période de 24 h. Ces quatre enregistrement de température ont été effectués à 4 périodes de l’année : hiver / printemps / été / automne. E2-1 Tracer quatre histogrammes des effectifs correspondant aux quatres enregistrements. Quelle est la répartition des valeurs de température pour ces quatre histogrammes ? Peut-on y reconnaitre des lois / courbes de distribution ? Lesquelles ? E2-2 Tracer un histogramme des effectifs en reprenant la totalité des résultats des quatre enregistrements. E2-3 En fonction de la loi de distribution, calculer la valeur d’un écartype s , ainsi que la valeur moyenne des températures Tmoy. E2-4 Déterminer le nombre de température situé dans l’intervalle [ Tmoy – s ; Tmoy + s] et calculer le pourcentage de valeurs situés dans cet intervalle par rapport au nombre total de mesure. E2-5 Interpréter ce résultat

Compétences acquises : Correspondance d’une loi statistique par rapport à un phénomène physique

Outils nécessaires : Outil statistique Loi de distribution Histogramme

COURS DE QUALITE - METROLOGIE F REYNES

Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 33 -

Instruments de mesures I. Instrument de mesure ou moyen d’essai I.1. Instrument de mesure

Instrument de mesure [NF X 07-001] (measuring instrument) « Dispositif destiné à être utilisé pour faire des mesurages, seul ou associé à un ou plusieurs dispositifs annexes » La fonction d’un instrument de mesure a pour objet :

- l’information liée à une valeur d’une grandeur (capteur) - le traitement de cette information ( ampli, filtre, … « dispositifs annexes ») - L’affichage du résultat de mesure

I.2. Moyen d’essai Pas de définition normative Le moyen d’essai sert à produire la grandeur physique à observer. - Si le moyen d’essai ne comporte pas d’instrument de mesure, celui-ci est utilisé à titre qualitatif. On devra effectuer un contrôle fonctionnel de celui-ci. - Si le moyen d’essai comporte un (des) instrument(s) de mesure, celui-ci est utilisé à titre quantitatif. Et on devra considérer individuellement chaque instrument de mesure pour effectuer leur caractérisation. Exemple : une enceinte thermostatique sert à générer une température régulés. Les systèmes de régulation devront quand même être considérés comme des instruments de mesure

Thermomètre : Instrument de mesure de mesure de température


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 34 -

II. Caractéristiques d’un Instrument de mesure II.1. Un peu de vocabulaire … Résolution [NF X 07-001] (resolution) « plus petite variation de la grandeur mesurée qui produit une variation perceptible de l’indication correspondante » Pour beaucoup d’utilisateurs d’instruments de mesure, la résolution de celui-ci ( surtout s’il est pourvu d’un afficheur numérique) détermine l’incertitude de mesure, l’erreur de l’instrument de mesure … Ceci est faux. Indication [NF X 07-001] (indication) « valeur fournie par un instrument de mesure ou un système de mesure » Intervalle nominal des indications [NF X 07-011] (Nominal indication Range) « ensemble des valeurs comprises entre deux indications extrêmes arrondies ou approximatives, que l’on obtient pour une position particulière des commandes d’un instrument de mesure ou d’un système de mesure et qui sert à désigner cette position » Processus de mesure : ce sont les limites d’utilisation de l’instrument de mesure pour que ses caractéristiques ne soit pas modifiés. La valeur maximale de l’interval nominal des indications définie la Pleine Echelle ( PE ) Processus d’essai : Il existe sous la dénomination Domaine Nominale d’Utilisation Etendue de mesure [NF X 07-001] (range of a nominal indication interval) « valeur absolue de la différence entre les valeurs extrêmes d’un intervalle nominal des indications » Processus de mesure : C’est la plage entre la valeur minimale et la valeur maximale du mesurande . Processus d’essai : Il correspond à la désignation Domaine d’Utilisation

Mais aussi … Domaine de non détérioration Lorsque les valeurs du mesurande dépassent le domaine nominal mais restent inférieurs au domaine de non-détérioration, les caractéristiques de l’instrument sont modifiées de manière réversible. Après retour dans le domaine nominal d’utilisation, les caractéristiques ne sont pas modifiées. Domaine de non destruction lorsque les valeurs, du mesurande ou des grandeurs d’influences, dépassent le domaine de non-détérioration mais restent inférieurs au domaine de non-destruction les caractéristiques sont modifiées de manière irréversible. Après retour dans le domaine nominal d’utilisation, les caractéristiques sont modifiées de façon permanente.


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 35 -

Erreur d’indication [Ancienne norme NF X 07-001] (error of indication) « indication d’un instrument de mesure moins une valeur vraie de la grandeur correspondante » [Ancienne norme NF X 07-001] Biais instrumental [NF X 07-001] [erreur de justesse] (instrumental bias) « différence entre la moyenne d'indications répétées et une valeur de référence » Qui corresponds à l’ « erreur de justesse » dans le VIM de 1993 Incertitude instrumentale [NF X 07-001] [erreur de fidelite] (instrumental measurement uncertainly) « composante de l'incertitude de mesure qui provient de l'instrument de mesure ou du système de mesure utilisé » Qui corresponds à l’ « erreur de fidelité » dans le VIM de 1993

Classe d'exactitude [NF X 07-001] (accuracy class) « classe d'instruments de mesure ou de systèmes de mesure qui satisfont à certaines exigences métrologiques destinées à maintenir les erreurs de mesure ou les incertitudes instrumentales entre des limites spécifiées dans des conditions de fonctionnement spécifiées » La classe d’exactitude peut être définie sur différents paramètres de l’instrument de mesure :

� Biais instrumental (Justesse) � Incertitude instrumentale (Fidelite) � Incertitude d’interpolation des résultats (lors d’un étalonnage avec correction par droite de

régression linéaire) � …

Et peut prendre différente forme :

� Pourcentage de la Pleine Echelle ( ± 00 % PE ) � Pourcentage de la valeur indiquée ( ± 00 % Vi) � Valeur individuelle ( ± 00 uSI ) � Ou une combinaison des 3 qui permet de couvrir la majorité des exactitudes : ± (00 % PE + 00

% Vi + 00 uSI) Dans la pratique, la classe d’exactitude est définie pour déterminer la conformité de l’IME et ainsi maintenir un niveau de qualité définie


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 36 -

Calibrage [Ancienne norme NF X 07-001] (gauging) « Positionnement matériel de chaque repère (éventuellement de certains repères principaux seulement) d’un instrument de mesure en fonction de la valeur correspondante du mesurande. » Ajustage [Ancienne norme NF X 07-001] (adjustment) « Opération destinée à amener un instrument de mesure à un état de fonctionnement convenant à son utilisation. Note : l’ajustage peut-être automatique, semi automatique ou manuel. » Réglage [Ancienne norme NF X 07-001] (user adjustement) « Ajustage utilisant uniquement les moyens mis à disposition de l’utilisateur » II.2. Caractérisation des Erreurs Depuis des décennies, l’opération qui consiste à quantifier les erreurs d’un instrument de mesure est appelée soit « étalonnage » soit « vérification ». On pourrait donc penser qu’ils sont synonymes. En fait, il s’agit de deux opérations distinctes qui fournissent au métrologue des informations très différentes. Ces deux opérations ont cependant un point commun : la comparaison technique de l’IME à une grandeur de référence (un étalon) afin de quantifier les différentes erreurs de celui-ci. C’est seulement après que l’on va décider s’il est nécessaire d’étalonner, de vérifier metrologiquement, d’ajuster, de réparer … un instrument de mesure ; en fait, d’effectuer sa « confirmation métrologique ». II.2.1. Etalons, Raccordement, Traçabilité aux étalons primaires Etalon [NF X 07-011] (measurement standard etalon) « Mesure matérialisée, appareil de mesure, matériau de référence ou système de mesure destiné à définir, réaliser, conserver ou reproduire une unité ou une (ou plusieurs) valeur(s) d’une grandeur pour servir de référence » Qu’est-ce qu’un raccordement aux étalons nationaux ? Le raccordement peut être défini comme l’ensemble des comparaisons technique permettant d’effectuer une chaîne ininterrompue jusqu’au étalons nationaux. Chaque comparaison technique est effectuée par rapport à un étalon de qualité métrologique supérieure, de telle sorte que l’incertitude de l’ensemble de la chaîne reste compatible avec les besoins liés aux caractéristiques de la mesure. Il s’établit ainsi une chaîne de comparaison technique permettant de lier la mesure aux étalons nationaux. Il s’agit de la traçabilité aux étalons nationaux.


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 37 -

La figure, représentée dans la figure ci-dessous, permet de visualiser comment un système de comparaison technique interne d’une entreprise peut être reliée à la structure métrologique existant dans le pays. II.2.2. Comment établir la traçabilité aux étalons nationaux ?

Exigences Techniques et Documentaires Traçabilité métrologique [NF X 07-001] (traceabilty) « Propriété d'un résultat de mesure selon laquelle ce résultat peut être relié à une référence par l'intermédiaire d'une chaîne ininterrompue et documentée d'étalonnages dont chacun contribue à l'incertitude de mesure. … Note 2 : La traçabilité métrologique nécessite l'existence d'une hiérarchie d'étalonnage » La traçabilité doit-être établie par les éléments suivants :

� Une chaîne ininterrompue de comparaisons reliant les mesures à des étalons reconnus (nationaux ou internationaux) qui doit permettre la référence aux unités du Système International d’unité (Chaine de raccordement)

� Des incertitudes de mesure cohérentes attachées à chaque étape de la chaîne de raccordement

� Des procédures documentées et validées doivent-être précisées pour chaque étape

� Les compétences techniques des intervenants à chaque étape de la chaîne doivent-être

démontrées

� Documents relatifs aux comparaisons techniques (Certificat d’étalonnage ou Constat de vérification)

Comparaison technique existant dans l'entreprise

Structure métrologique

existant dans le pays

Produits

Tolérance sur le produit

Instrument de mesure

Etalon N° 1

Etalon N° 2

ETALON PRIMAIRE

Etalon - B

Etalon - A

EX

IGE

NC

ES

T

EC

HN

IQU

ES

E

XIG

EN

CE

S

DO

CU

ME

NT

AIR

ES


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 38 -


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 39 -

II.2.3. La Confirmation Métrologique : Valider la conformité d’un IME Confirmation métrologique [NF EN ISO 10012] (metrological confirmation) « Ensemble d’opérations nécessaires pour assurer qu’un équipement de mesure répond aux exigences correspondant à l’utilisation prévue » La confirmation métrologique comprend toutes les processus et actions qui permettent de démontrer que L’IME est apte à effectuer la mesure pour lequel il est utilisé. Il est composé de l’étalonnage ou la vérification, tout ajustage ou réparation nécessaire, ainsi que tout verrouillage et étiquetage requis… Elle n'est considérée achevée qu'à partir du moment où l'aptitude de l'équipement de mesure à l'utilisation prévue est démontrée et documentée. Etalonnage [NF X 07-001] (Calibration) « opération qui, dans des conditions spécifiées, établit en une première étape une relation entre les valeurs et les incertitudes de mesure associées qui sont fournies par des étalons et les indications correspondantes avec les incertitudes associées, puis utilise en une seconde étape cette information pour établir une relation permettant d'obtenir un résultat de mesure à partir d'une indication » [Ancienne norme NF X 07-001] « Ensemble des opérations établissant, dans des condition spécifiées, la relation entre les valeurs d’une grandeur indiquées par un appareil de mesure » « et les valeurs correspondantes de la grandeurs réalisées par des étalons. » En pratique, le résultat d’un étalonnage permet soit de déterminer les corrections à appliquer aux indications, soit d’attribuer aux indications les valeurs correspondantes du mesurande. Cette opération permet : � d’assurer la traçabilité de l’équipement étudié � de rendre significatives les indications de l’instrument de mesure � de suivre l’évolution de l’instrument de mesure : l’analyse des différents étalonnages effectués à périodicité

fixe permet de gérer la « Dérive » de l’instrument de mesure � de réduire l’incertitude finale sur la mesure du produit : L’analyse des résultats d’étalonnage permet

d’éliminer partiellement l’écart résiduel par rapport à la valeur conventionnellement vraie. Afin d’assurer la traçabilité des mesurages effectués, un « certificat d’étalonnage » sera éditée. Celui-ci est régit par la norme NF X 07-012 « Métrologie dans l’entreprise – certificat d’étalonnage » qui définit le contenu du « certificat d’étalonnage » : � sur le plan administratif

� Identification du laboratoire � titre du document (Certificat d’étalonnage) � numéro d'identification du document � date de l'étalonnage ; � identification de l'instrument : � nom et type de l'instrument, � numéro de série, � numéro d'identification interne ; � identification du demandeur de l'étalonnage ; � nombre de pages du document et de ses annexes ; � nom, titre et signature du responsable de l’étalonnage

� sur le plan technique � Indications relatives aux étalons utilisés et à leurs raccordements � conditions d'étalonnage (conditions d'environnement) � méthode d'étalonnage (si cette méthode est décrite dans une procédure d'étalonnage,

il sera alors fait mention du numéro d'identification de celle-ci) � déroulement des opérations � résultats et incertitudes associées


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 40 -

Confirmation Métrologique : Ordinogramme


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 41 -

II.3.2. Vérification Vérification [NF EN ISO 9000] (Vérification) « Confirmation par des preuves tangibles que les exigences spécifiées ont été satisfaites » Vérification [NF X 07-001] (Vérification) « Fourniture de preuves tangibles qu'une entité donnée satisfait à des exigences spécifiées » La vérification permet de s’assurer que les écarts entre les valeurs indiquées par un instrument de mesure et les valeurs conventionnellement vraies correspondantes sont tous inférieurs aux tolérances fixées pour cet instrument de mesure. Dans le cadre de la gestion d’un parc d’instrument de mesure, le résultat d'une vérification permet d'affirmer que le moyen de mesure satisfait ou non aux tolérances qui autorisent sa mise ou sa remise en service. Cet examen permet de : � d’assurer la traçabilité de l’équipement étudié � disposer, à tout moment, d'un instrument de mesure apte à une utilisation donnée � créer ainsi un climat de confiance parmi les utilisateurs � maintenir un niveau de qualité défini, en utilisant des moyens de mesure conformes à leurs tolérances

d'emploi. Afin d’assurer la traçabilité des mesurages effectués, un « constat de vérification » sera éditée. Celui-ci est régit par la norme NF X 07-011 « Métrologie dans l’entreprise – constat de vérification » qui définit le contenu du « constat de vérification », � sur le plan administratif

� Identification du laboratoire � titre du document (Constat de vérification) � numéro d'identification du document � date de la vérification ; � identification de l'instrument : � nom et type de l'instrument, � numéro de série, � numéro d'identification interne ; � identification du demandeur de la vérification ; � nombre de pages du document et de ses annexes ; � nom, titre et signature du responsable de la vérification

� sur le plan technique � Indications relatives aux étalons utilisés et à leurs raccordements � conditions de vérification (conditions d'environnement) � méthode de vérification (si cette méthode est décrite dans une procédure de

vérification, il sera alors fait mention du numéro d'identification de celle-ci) � déroulement des opérations � résultats et incertitudes associées � résultat des opérations qui découlent de la confrontation à la prescription décision de

conformité pris


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 42 -


Chapitre 2-0

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II.2.6. Exploitation des résultats d’un étalonnage L’analyse des résultats d’étalonnage permet d’éliminer partiellement l’erreur de justesse de l’instrument de mesure; et ainsi réduire l’incertitude de mesurage. Etalonnage en 1 point de mesure Dans le cas où l’instrument de mesure est une valeur matérialisée d’une grandeur (Ex :cales métalliques, masses …), l’étalonnage permet d’attribuer une valeur « étalon » à une valeur nominale de grandeur indiqué sur l’instrument de mesure. Lors de l’utilisation de l’instrument de mesure, on pourra exploiter le certificat d’étalonnage et utiliser la valeur « étalon » à la place de la valeur nominale. Ce qui permettra de limiter les incertitudes de mesurage. III.1.5.2. Etalonnage en n points de mesure Dans le cas où l’instrument de mesure possède une étendue de mesure déterminée, l’étalonnage sera effectué en n points de mesures. C’est ici que vient la problématique de l’analyse des résultats : Quelles techniques employer pour analyser les résultats d’étalonnage afin de transformer les valeurs indiquées par l’instrument de mesure en des valeurs « étalons » ? Ou encore déterminer une valeur « étalon » alors que le point de mesure se situe entre deux points d’étalonnages ? Et cela en minimisant les erreurs liées à cette « transformation » . La solution … l’interpolation : c’est une opération mathématique par laquelle on calcule la position d’un point dans une courbe pour laquelle on ne dispose pas l’équation. La courbe étant défini par une ensemble de points, on est donc contraint d’estimer localement son équation. A partir des résultats d’étalonnage, on peut déterminer n couple de valeurs (xi , yi), et tracer un graphique Y = f(X) représentant les valeurs « étalons » yi en fonction des valeurs indiquée sur l’instrument de mesure xi.

Les points paraissent alignés ?

Méthode de modélisation : Interpolation par

régression linéaire simple

Méthode de modélisation : Interpolation polynomial

OUI NON


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 44 -

Méthode 1 : La régression linéaire simple Lors d’un étalonnage il arrive fréquemment que les valeurs de mesure semblent alignés. La régression linéaire simple nous permet de matérialiser le fait que les points d’étalonnage sont « approximativement » alignées en identifiant la « meilleure droite » passant au travers du nuage de points. Cette droite, dite des « moindres carrés », sera caractérisée par une ordonnée à l’origine a0 et une pente a1 selon la relation affine Y = a0 + a1 X. Passer au plus près, selon la méthode des moindres carrés , c’est rendre minimale la somme :

∑=

n

i 1

0i1i )² a - xa - y(

où ( yi – a1xi – a0 )² représente le carrée de la distance verticale du point (xi , yi) à la droite considérée comme la « meilleure ». Il est ensuite possible de quantifier la validité de cette relation grâce au coefficient de corrélation linéaire R².

)²]y( - ²y )²][nx( - ²x [n

) y )( x ( - ) yx ( n

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

∑∑∑∑

∑∑∑=R

Plus R² est proche de 1 , plus la modélisation est appropriée. En pratique on estime que la modélisation

est valide si le coefficient de corrélation R² est supérieur à 23 .

y = 1,1289x - 0,5371

R2 = 0,9914

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 45 -

Méthode 2 : L’interpolation linéaire ou polynomial Pour certains domaines de mesures spécifiques (anémométrie, débitmètrie gazeuse / liquide, Hygromètrie …) ou certains instruments de mesure (capteurs de force, capteurs endommagés … ), il arrive parfois que la régression linéaire simple génèrent des erreurs d’interpolation importantes. L’ Interpolation linéaire Dans le cas d’une interpolation linéaire. Dans le cas d'une interpolation linéaire on considère dans ce cas que la courbe est localement une droite, dont on détermine l'équation à l'aide des coordonnées des deux points p1 et p2 de coordonnées respectives (x1,y1) et (x2,y2) les plus proches du point recherché :

12

12

xxyy

pente −−=

Ordonné origine = y1 – pente . x1

L'équation permettant de retrouver le point recherché est la suivante :

y = pente . x + ordonnée à l’origine

y = 0,9479x + 1,3414

R2 = 0,8062

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7

Y

X


Chapitre 2-0

Sept2019 – Rev 2 - 46 -

L’interpolation polynomiale

Une interpolation polynomiale consiste à utiliser un polynôme pour estimer localement l’équation représentant la courbe afin de déterminer la valeur entre les échantillons. Etant donné un ensemble de n+1 points (xi,yi) (xi distincts 2 à 2), nous devons trouver un polynôme p de degré n qui vérifie :

p (xi) = yi ; i = 0, 1, … , n Le théorème de l'unisolvance précise qu'il n'existe qu'un seul polynôme p de degré n défini par un ensemble de n+1 points :

p (x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x2 + a1x +a0 Afin que le polynome passe par l'ensemble des points à interpoler, il faut intégrer p(x). On obtient un système d'équations linéaires d'inconnus ai dont l'écriture matricielle est la suivante : [ X ] [ A ] = [ Y ]

Pour construire p(x), nous devons résoudre ce système afin d'obtenir les valeurs des ai ( par inversion de la matrice pleine et produit de matrices) : [ A ] = [ Y ] [ X ]-1

y = -0,0023x6 + 0,05x5 - 0,4018x4 + 1,4817x3 - 2,8409x2 + 5,1733x - 2,61

R2 = 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

Remarque : La problématique de l’analyse des résultats lors d’un étalonnage, ainsi que la mise en application « sur le terrain » fait généralement choisir, au métrologue en « culotte courte », la vérification périodique de ses instruments de mesures


Chapitre 2-0

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Annexe 1

La régression linéaire simple

EXCEL / DROITEREG : un outil précieux DROITEREG calcule les statistiques pour une droite par la méthode des moindres carrés, puis renvoie une matrice décrivant cette droite. L'équation de la droite est la suivante : y = mx + b où la valeur dépendante y est une fonction des valeurs indépendantes x. Syntaxe DROITEREG(y_connus;x_connus;constante;statistiques) Arguments o y_connus présentation sous forme de tableau des n valeurs yi = f (xi) o x_connus présentation sous forme de tableau des n valeurs xi o constante

Si l'argument constante est VRAI ou omis, la constante b est calculée normalement. Si l'argument constante est FAUX, b est égal à 0 et les valeurs m sont ajustées de sorte que y = mx.

o Statistiques représente une valeur logique indiquant si des statistiques de régression supplémentaires doivent être renvoyées.

Si l'argument statistiques est VRAI, la fonction DROITEREG renvoie des statistiques de régression supplémentaires et la matrice renvoyée devient : {mn.mn-1.....m1.b; sen.sen-1.....se1.seb; r2.sey; F.df; ssreg.ssresid}. Si l'argument statistiques est FAUX ou omis, la fonction DROITEREG renvoie uniquement les coefficients m et la constante b. Les statistiques de régression supplémentaires sont les suivantes :

Statistique

Description

se1 Valeur d’erreur type correspondant au coefficient m Seb La valeur d'erreur type correspondant à la constante b Sem La valeur d'erreur type correspondant à la constante m R² Le coefficient de corellation. Compare les valeurs y estimées

aux valeurs y réelles et varie entre 0 et 1. Sey L'erreur type pour la valeur y estimée. F La statistique F ou valeur F observée. Utilisez ce paramètre

pour déterminer si la relation observée entre les variables dépendantes et indépendantes est due au hasard.

Df Les degrés de liberté. Ils vous aident à trouver les valeurs critiques de la statistique F dans une table statistique. Comparez les valeurs trouvées dans la table à la statistique F renvoyée par la fonction DROITEREG pour déterminer le niveau de confiance du modèle.

Ssreg La somme de régression des carrés. Ssresid La somme résiduelle des carrés.


Chapitre 2-0

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L'illustration suivante montre la méthodologie à suivre pour calculer une régression linéaire sur Excel.

Formules matricielles et modalités de saisie

Une formule matricielle peut effectuer plusieurs calculs et renvoyer des résultats simples ou multiples. Les formules matricielles interviennent sur deux ensembles de valeurs ou plus appelés arguments matriciels. Chaque argument matriciel doit avoir le même nombre de lignes et de colonnes. Vous créez des formules matricielles de la même façon que d'autres formules, sauf que vous devez appuyer sur CTRL+MAJ+ENTRÉE pour taper la formule.


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Annexe 2

L’interpolation polynomiale

EXCEL / INVERSEMAT et PRODUITMAT : des outils précieux INVERSEMAT renvoie la matrice inverse de la matrice spécifiée. Syntaxe INVERSEMAT(matrice) Argument o Matrice représente une matrice numérique comportant un nombre égal de lignes et de colonnes. matrice

peut être donné sous la forme d'une plage de cellules (par exemple A1:C3), d'une constante matricielle (par exemple {1.2.3;4.5.6;7.8.9}) ou d'un nom se référant à l'un ou l'autre de ces types de données.

Notes o Si une des cellules de cette matrice est vide ou contient du texte, INVERSEMAT renvoie la valeur d'erreur

#VALEUR! o INVERSEMAT renvoie également la valeur d'erreur #VALEUR! si la matrice ne comporte pas un nombre

égal de lignes et de colonnes. o Les formules qui renvoient des matrices doivent être tapées sous forme de formules matricielles.

Exemples o Considérons une matrice constituée de deux lignes et de deux colonnes. Supposons que la plage A1:B2

contient les lettres a, b, c et d, représentant chacune une des quatre valeurs de la matrice. La matrice inverse de A1:B2 est obtenue comme indiqué dans le tableau suivant :

Colonne A Colonne B

Ligne 1 d/(a*d-b*c) b/(b*c-a*d)

Ligne 2 c/(b*c-a*d) a/(a*d-b*c)

PRODUITMAT calcule le produit de deux matrices. Le résultat est une matrice comportant le même nombre de lignes que matrice1 et le même nombre de colonnes que matrice2. Syntaxe PRODUITMAT(matrice1;matrice2) Arguments o matrice1, matrice2 représentent les matrices dont vous souhaitez obtenir le produit.

Notes o Le nombre de colonnes de l'argument matrice1 doit être identique au nombre de lignes de l'argument

matrice2, et les deux matrices ne doivent contenir que des nombres. o Les arguments matrice1 et matrice2 peuvent être des plages de cellules, des constantes matricielles ou des

références. o Si certaines cellules sont vides ou contiennent du texte, ou que le nombre de colonnes de matrice1 est

différent du nombre de lignes de matrice2, PRODUITMAT renvoie la valeur d'erreur #VALEUR! o La matrice a résultant du produit matriciel de deux matrices b et c est donnée par la formule :

∑=

=n

k

kiikji cba1

.

dans laquelle i est le numéro de ligne et j, le numéro de colonne.


Chapitre 2-0

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Annexe 3

L’interpolation polynomiale pour les plus fainéants

EXCEL / Ajout d’une courbe de tendance sur un graphique

Il est possible d’ajouter une courbe de tendance à une série de données représenté sous la forme d’un graphique :

o Cliquez sur la série de données à laquelle vous voulez ajouter une courbe de tendance o Dans le menu Graphique, cliquez sur Ajouter une courbe de tendance. o Sous l'onglet Type, cliquez sur le type de courbe de régression ou de moyenne mobile souhaité. o Si vous avez sélectionné Polynomiale, tapez dans la zone Ordre la puissance la plus élevée pour la

variable indépendante. o Si vous avez sélectionné Moyenne mobile, tapez dans la zone Période le nombre de périodes à utiliser

pour calculer la moyenne mobile.