semiconducteurs dopes - pagesperso-orange.fr6/45 utilisation des semiconducteurs pour la logique ( )...

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SEMICONDUCTEURS DOPESEmmanuel Rosencher

0: Courbure de bandeA: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs

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COURBURE DE BANDE

On superpose un potentiel extérieur qui varie peu sur une distanceinteratomique (formalisme de la fonction enveloppe):

( )rrφ

( ) ( )rqrW ˆˆˆ rr φ−=Perturbation:

( ) ( )rqErkEc

22

m2k

ccrrr h φ−+≈,

( ) ( )rqErkEvm22k2

vvrrr h φ−−≈,

Perturbation d’ordre 1 pour un paquet d’ondes électroniques centrés en k et r:

( ) ( ) ( )rErrH knnm22k2

nknnm2

2pkn0

rrr rhrr

r,,

ˆ,

~~~~̂ Ψ

+=Ψ

=Ψ

Électron de la bande n décrit par l’hamiltonien de masse effective

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrkErrqrWH knnknnm2

2pkn0

rrrrrr rrr

r,,

ˆ,

~,~ˆ~ˆ~̂ Ψ=Ψ

−=Ψ+ φ

Nouvelle équation de Schrödinger:

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Structure de bande

( )c

22

m2k

cEkE h+=

Champ électrique perturbateur

( )rqHH 0 φ−= ˆˆ ( ) ( )rqEr,kEc

22

m2k

c φ−+= h

cE

vE

+ = ( )rEc

( )rEv

( )rφ

( ) ( )rqErE cc φ−=

( ) ( )rqErE vv φ−=

DIAGRAMME DE BANDE

cristalm2

2p0 VH += ˆˆ

Hamiltonien de l’électron dans le cristal

nm2

2p0H ˆ~̂ =

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LE NIVEAU DE FERMI EST CONSTANT DANSTOUTE STRUCTURE A L’EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE

+

-FE

+

-

( )( ) ( )

kTFErqcE

kTFErcE

eNeNrn cc

−−− −−==

rrr

φ

( )( ) ( )

kTFErqvE

kTFErvE

eNeNrp cv

−−− ++==

rrr

φ

FE

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DEPLETION - ACCUMULATION

( )( ) ( )

kTrq

kTrq

kTFEcE

eneeNrn 0c

rrr

φφ ++−==

−

0<φ

0>φ 0qE <−= φ

0qE >−= φ

0n

0p

( )( ) ( )

kTrq

kTrq

kTFEvE

epeeNrp 0v

rrr

φφ −−+==

−

accumulation

déplétion

( ) ( ) kTEvc

geNNrprn/−

=rr…et toujours à l’équilibre thermodynamique

FE

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UTILISATION DES SEMICONDUCTEURS POUR LA LOGIQUE

( )( )

kTrq

enrn 0

rr

φ+= !!!!!1840 103e −− ≈

En imposant des variations de potentiel dans un semiconducteur, on peut moduler la densité locales de porteurs et donc la conductivitéélectrique sur des dizaines d’ordre de grandeurs !!!

( ) Volt1rq −=rφ

K300àmeV25kT =

µm1≈

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SEMICONDUCTEURS DOPESEmmanuel Rosencher

A: Éléments de théorie du dopage n et dopage pB: Niveau de Fermi et densité de porteurs dans les bandesC: DégénérescenceD: Impuretés et compensationE: Zone de charges d’espace et jonction SchottkyF: Techniques de dopage des semiconducteurs

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Tableau de Mendeleev

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Tableau de Mendeleev

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Niveaux donneurs hydrogénoïdes

P+ Si

Si

Si

SiSi

Si SiSi

−+ +→ eDD0

RyRyE 2R

eff2

R0c m1

mm

Dεε

==∆DE∆

Le électron sur un niveau donneur hydrogénoïde se comporte comme un électron dans un atome d’hydrogène:• de masse mC• dans un milieu d’indice effectif εR• avec comme origine des énergies, la bas de la bande de

conduction du semiconducteur

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Atome d’hydrogène dans la bande de conduction d’un semiconducteur

( ) ( ) ( )rErrV Dr1

4q

atm2 0R

2

0

2Ψ=Ψ

−

+∆− εεπ.h

Hamiltonien de masse effective

RyRyE 2R

eff2

R0c m1

mm

Dεε

==∆( ) ( ) ( )rEEr cDccr1

4q

m2 0R

2

c

2Ψ∆−=Ψ

−

∆− ~~. εεπ

h

Niveaux hydrogénoïdes et Hamiltonien de masse effective

Atome d’hydrogène dans le vide

( ) ( )rRyrr1

4q

m2 0

2

0

2Ψ=Ψ

−∆− επ.h

eV613Ry2

4q

2m

0

2

2 .≈

= επh

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Niveaux accepteurs hydrogénoïdes

Le électron sur un niveau accepteur hydrogénoïde se comporte comme un électron dans un atome d’hydrogène:• de masse -mv• dans un milieu d’indice effectif εR• avec comme origine des énergies, le haut de la bande de

valence du semiconducteur

B- Si

Si

Si

SiSi

Si SiSi

δ+−− →+ AeA0

+− +→ hAA0

RyRyE 2R

eff2

R0v m1

mm

Aεε

==∆

AE∆

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EXEMPLE : HYDROGENOÏDE DANS LE SILICIUM

45453030Théorique

65464944 Exp.

GaBAsPImpureté

0v m50m .=

13R =ε

0c m30m .=

Plus l’impureté est grosse,

plus le cristal est déformé,

plus le niveau est profond

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SEMICONDUCTEURS DOPES


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Probabilités d’occupation des niveaux hydrogénoïdes

Combien d’électrons ont quitté les niveaux hydrogénoïdes donneurs?

( )D

0D

kTFEDE

21

NN

e1

1DF Ef == −

+

( )( )DFD0DDD Ef1NNNN −=−=+

kTDEFE

e21

1DD NN

−+

+ =

Combien d’électrons occupent les niveaux hydrogénoïdes accepteurs?

( )AA

kTFEAE

41

NN

e1

1AF Ef

−

− ==

+

( )AFAA EfNN =+

kTFEAE

41 e1

1AA NN −

+

− =

FE

( )EfF

E

cEDE

FE

( )EfFVEAE

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Niveau de Fermi EF dans le cas le plus généralpour un semiconducteur non dégénéré

Neutralité +− +=+ DA NpNn

kTFEcE

eNn c

−−=

kTFEvE

eNp v

−

=

Occupation des bandes

kTDEFE

e21

1DD NN

−+

+ =

kTFEAE

41e1

1AA NN −

+

− =Occupation des niveauxhydrogénoïdes

kTEE Fc >>−si

semiconducteur non dégénéré si kTEE vF >>−

Une équation à une inconnue : FE

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Un exemple typique où la connaissance de l’équation maîtresse…

… n’a aucun intérêt physique !

kTDEFE

kTFEvE

kTFEAE

41

kTFEcE

e21

1Dv

e1

1Ac NeNNeN

−

−

−

−

++

−+=+

Equation à une inconnue EF

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Semiconducteur dopé n :régime d’ionisation totale des porteurs (1)

( ) 0Ef DF ≈ kTEE FD >>− (Cond 1)

La température est suffisamment haute pour que tous les niveaux donneurs soient ionisés

DDA NpNpnNn +≈+==+ +−

2inpn =

2n4NN 2

i2

DDn++

=

Cas1: Le gap du semiconducteur est suffisamment élevés (ou la température suffisamment basse) pour que la densité de porteurs intrinsèques soient négligeables

iD nN >> Cond 2 DNn =

Régime d’épuisement des donneursFE

DE

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Semiconducteur dopé nrégime d’ionisation totale des porteurs (2)

eldegTT >1ln

EEdégel

DNcN

DckT−

−=avec

Cond 3: non dégénérescence

cF EE <<

Cond 1

kTEE FD >>−

cD NN < Limitation fondamentale dela microélectronique !!!Dans Si, ND < 3 1019 cm-3

Dc

NN

cF lnkTEE −=DNn =

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Cas 2: Di Nn >> (Cond 4)

kT2gE

eNNnpn vci−

===

Régime intrinsèque(c.à.d indépendant du dopage)

Cond 4 iTT > ( )Dvc

gN/NNln

2/EikT =avec

c

vvc

N

N2

kT2

EEFi lnE += +

Semiconducteur dopé nrégime intrinsèque

FEDE

2n4NN 2

i2

DDn++

=

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Semiconducteur dopé nrégime de gel des porteurs

igel TTT <<<Cond 5:

np<< += DNn

kTDEFE

kTFEcE

e21

1Dc NeN

−

−

+

−=FE solution de

DcDc

NN2

2kT

2EE

F lnE −= +

kT2DEcE

cD en2

NN−

−= Régime exponentiellement activé

PC

FEDE

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cE

DE

iE

TiTgelT dégelT

T/1gelT/1dégelT/1iT/1

n

DN

épuisementgel intrinsèque

intrinsèque

épuisement

gel

LES DIFFERENTS REGIMES THERMIQUES

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1.30.08720010000.21 (Mg)0.12 (Si)≈ 10-61.40.131.30.190.133.2GaN

0.460.03540085000.026 ( C)0.006 (Si)2.1 1060.530.0670.490.0740.0671.42GaAs

1.50.06350015000.045 (B)0.45 (P)1.1 10100.811.180.490.160.190.981.12Si

0.60.037190039000.01 (B)0.012 (P)2.4 10130.180.220.280.0440.0821.640.67Ge

µtµe∆Ε∆Enimdtmdemhhmlhm transm longEg

trous 300K

Électr. 300KtrouElectr.trous mtelectron me

Conductivitéthermique(W/cm.°C)

Energiedu

phonon optique

(eV)

mobilité(cm2/V.s)

Profondeur accepteur

(eV)

Profondeur donneur

(eV)

Concentration intrinsèque

(cm -3)

masses effectives de

densité d'états

masses effectives de conduction

Gap (eV)

PARAMETRES DE QUELQUES SEMICONDUCTEURS

gel à 300 K !

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Comportement de différents semiconducteurs

0 200 400 600 800 1000

1E15

1E16

1E17Nd = 1016 cm-3

GaN

Si

GaAs

Den

sité

(cm

-3)

Température (K)

0 200 400 600 800 1000

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0 Nd = 1016 cm-3

Si GaN

GaAs

Niv

eau

de

Fer

mi (

eV)

Température (K)

Si = 4 meV

Sb= 39 meV

Si = 120 meV

25/45

100 200 300 400 500 600

1000000

1E7

1E8

1E9

1E10

1E11

1E12

1E13

1E14

1E15

1E16

GaAs

Si

Ge

Intr

insi

c ca

rrie

r den

sity

(cm

-3)

Temperature (K)

Pourquoi le Germanium a disparu …

jamais isolantà 300 K!

→ pas d’application en logique

Totalementisolant à 300K→micro-onde

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27/45

Semiconducteur dégénérés:

( ) ( )dEEEfn F ρ∫=

Probabilité d’occupation

Nombre d’états accessibles

( ) ( )F

e1

1F EEYEf

kTFEE −≈= −

+

( ) dEEEnF

C2c

2

E

E

21c

23m2

21 ∫ −

= /

/

hπ

( ) c2/3m2

21

c EEE2c

2−

=

hπρ

( ) 23cF

23m2

31 EEn

2c

2/

/−

=

hπ

La densité de porteurs est indépendante de la température(régime métallique)

E

FEcE

( )EfF

cD NN >

28/45

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

Ferm

i lev

el (e

V)

Normalized carrier density (n/Nc)

bande de conduction

Évolution du niveau de Fermi en fonction de la densité de porteurs

dégénérescence

Évolution lente du niveau de Fermi avec la densité

Seuil des MOS +++

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DEFAUTS PROFONDS DANS LES SEMICONDUCTEURS

Liaisons pendantes Impuretés métalliques

Au

Le niveau de Fermi est bloqué sur le niveau d’impureté: Au, Cu = silicon killerPas de porteurs libres dans le semiconducteur → semi-isolant (GaAs:Cr)

FE

31/45

DEFAUTSPROFONDS

DANS Si et

GaAs

32/45



33/45

métal

vide

eV14.≈eV43.≈

Jonction Schottky

eV30.≈eV40.≈

eV70.≈

silicium métal silicium

msφ eV40a .≈φ

Marché: Capteur hyperfréquence (radar)Alimentation à hachageÉlectronique non linéaire (varactor)…

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++ + ++ ++

++DN

++ + ++ ++

Zone de charges d’espace: concept

aφφ =

neutre+++++++++++++

W

aCQ φ=

SWNqQ D=

WS

sc0C εε≈DNq

asc0W φεε≈

cm/Fd1085.8 140

−=ε317

D cm10N −=Volt1a =φ

13sc =ε

µm1.0W ≈ Origine de la micro-électronique !!!

0=φneutre

35/45

µm1≈

Zone de charge d’espace: outil logique

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+++ + ++ + ++

W Calcul de la zone de charge d’espace: principe

Gauss

Courbure de bande

Répartition des charges

Électrostatique

( )sc0

xqdxd E

εερ=

E

( )xEdxd −=φ

φ

( )xρ

ρDN

W

The

rmod

ynam

ique

(Fer

mi)

( ) ( )xqExE cc φ−=aφ

FE

( )kT

rq

ceNφ

=

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Calcul de la zone de charge d’espace Calcul exact (1)

( ) ( )( )

−≈−=

++ kT

xqe1NxnNx DD

φρ(1)

Thermodynamiquedes semiconducteurs

( )R0xq

dxd E εε

ρ=(2)Poisson

( )xEdxd −=φ(3)Electrostatique

−−=

+ kTq

R0D

22

e1Nq

dxd

φ

εεφ( )xφ solution de :

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Approximation de la zone désertée (2)

( ) ( )( )

−=−=

+ kTxq

e1NxnNx DD

φρ

( ) DNx ≈ρ

( ) 0x ≈ρ

( ) 0x <φpour

pour ( ) 0x ≈φ

( )R0

xqdxd E

εερ=

( ) 0x <φpour

pour ( )Wx≥

( ) )( WxxER0DNq −= εε

( ) 0xE = ( ) 0x ≈φ

( )Wx0 <<

( )xEdxd −=φ pour

pour Wx≥

( ) 22

Nq WxxR0

D )( −−= εεφ

( ) 0x =φ

Wx0 <<

Pour 0x = ( ) 22

Nqa W0

R0Dεεφφ −==

DaR0

Nq2

Wφεε

=

39/45

0 1 2 3 4 5

0.01

0.1

1

10 1014 cm-3

1016 cm-3

1020 cm-3

1018 cm-3

Spa

ce c

harg

e la

yer

thic

knes

s (µ

m)

Surface potential (V)

effet tunnel

Largeur de zone de charges d’espace

Loi de Schottky-Mott

Sir Neville Mott

Walter Schottky

aVW∝

40/45

Longueur de Debye

−−=

+ kTq

R0D

22

e1Nq

dxd

φ

εεφ( )xφ solution de :

Que se passe-t-il près de φ(x) ≈0 ? φφ εε qkT1Nq

dxd

R0D

2

2

/+≈

( )xφ

( )xE

0( ) xdex λφ −−∝

Variation exponentielle dela courbure de bande

Variation exponentielle dela densité de porteurs

( )qkT

DNqR0

dεελ =

Longueur de Debye

1E15 1E16 1E17

0.01

0.1

Deb

ye le

ngth

(µm

)

Carrier density (cm-3)

41/45



42/45

SiO2

n Si

photoresist

UV light

MaskP ion beam

Recuit - diffusion

Dopage local

43/45

ND xt ∂∂

∂∂ −=Φ

Loi de Fick

0N xt =Φ+ ∂∂

∂∂

Équation de continuité

Exemple de solution

( ) 0Nt0xN == ,

( ) 00t0xN ==> ,

( ) 0txN =∞→ ,NDN 2x

2t ∂

∂∂∂ =

3.684.7P

3.51.0B

EA (eV)D0 (cm2/s)

kTAE0 eDD

/−=

Arrhenius

Diffusion du dopant

( )

=

tDx

0 erfcNtxN ,

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

1E13

1E14

1E15

1E16

1E17

1E18

1E19

1E20

Con

cent

ratio

n (c

m-3

)

Profondeur (µm)

103 s

104 s

105 s

T = 1250 K

Tendance: Recuit rapide

44/45

Contact ohmiquenm51−

n

n+

Resistance vs dopage Si

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