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Astelab 2003 2 - 1

Calcul de SDF et SRE : Comparaison entre la méthode analytique et la méthode numérique

SDF and SRE: Analytic and numeric methodology comparison

Pierre Sedevcic

Technicatome / Metravib - Lyon

Résumé Il existe principalement aujourd’hui 2 méthodes de synthèse utilisées dans le cadre d’une démarche de personnalisation : La méthode analytique, dans laquelle les calculs sont réalisés à partir de données représentatives statistiquement de l’environnement (par exemple une densité spectrale d’accélération de la vibration), La méthode numérique, dans laquelle les calculs sont réalisés à partir d’un signal vibratoire quelconque défini dans le domaine des temps. C’est dernière n’est pas véritablement une nouvelle méthode mais les progrès de l’informatique et plus particulièrement ceux relatifs au temps de calcul, permettent aujourd’hui une utilisation de ces méthodes sur des calculateurs courants, ce qui était impensable il y a quelques années. En effet, la méthode numérique est plus lourde en temps de calcul que la méthode analytique réalisée à partir de DSP ou de définition de balayage sinus. En revanche, elle présente l’immense avantage de permettre à l’utilisateur de s’affranchir de quelques-unes des simplifications théoriques inhérentes à l’utilisation de modèle analytique. L’utilisateur peut ainsi employer des courbes de Wöhler ou Basquin multi-dimensionnelles pour intégrer des paramètres supplémentaires influents sur l’endommagement (par exemple, la température) ou travailler sur des environnements complexes non forcément modélisables (mélange d’aléatoire non gaussien, sinus et transitoire) sans être obliger de segmenter ou d’effectuer de dangereuses approximations. Après une présentation de la méthode numérique et de ses avantages et inconvénients, une comparaison est réalisée à partir de données enregistrées sur véhicule automobile lors de roulages sur piste d’essai.

1. PRINCIPES DE LA METHODE NUMERIQUE 1.1. Grandeurs caractéristiques Soit un échantillon parallélépipède de dimension A, B et C, tel que représenté figure 1.

Figure 1 Si on applique une force F perpendiculairement à la surface AB de cet échantillon, on obtient une contrainte ó telle que :

ó = F / AB

ó est en N/m2 ou Mpa

ÄC

B

A

F F

C


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L’application de cette contrainte conduit à une déformation å définie comme une extension ; å est exprimé par le

rapport entre l’allongement ÄC et la longueur C :

å = ÄC / C

å est sans dimension Il existe également une relation entre ó et å . Il s’agit du module d’élongation E (ou module d’Young) défini par la 1ère expression de Hooke :

E = ó / å E est en N/m2

1.2. Effort statique et dynamique Dans la pratique beaucoup de pièces sont soumises à un effort statique auquel se superpose un effort dynamique. La contrainte se décompose alors en une précontrainte constante ómoy à laquelle s’ajoute une contrainte dynamique óalt tel que représentée dans la figure 2.

Figure 2

1.3. Etapes de calcul 1.3.1. Obtention de l’élongation et calcul de la contrainte Comme indiqué dans le paragraphe précédent, la loi de Hooke permet de poser que:

ó = E x å Dans le cas d’un calcul de fatigue classique, il suffit donc de mesurer l’élongation de la pièce å (généralement par jauge de contrainte) et de calculer la contrainte ó. On prend pour hypothèse que le matériau est un métal et que l'on effectue les essais à température ambiante et constante : E est alors constant et en conséquence les contraintes et les déformations sont proportionnelles. Attention, le comportement à température ambiante est totalement différent du comportement en plus haute température pour lequel la déformation est fonction de la contrainte mais aussi du temps d’exposition et de cette température.


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Figure 3

La figure 3 représente un exemple de mesure d’élongation.

Dans le cas de la personnalisation, il n’est pas mesuré une élongation (réponse du système étudié) mais une excitation (entrée du système étudié) tel que représenté figure 4.

Figure 4 En effet, lorsqu’une vibration aléatoire à moyenne nulle est appliquée à un système mécanique linéaire à un degré de liberté, de fréquence propre fp et d’amortissement î, on obtient la réponse du système mécanique, caractérisée par le déplacement z(t) entre la masse et son support. Le système étant considéré comme linéaire, la contrainte σ calculée avec le modèle est proportionnelle au déplacement relatif. Nous obtenons donc par l’utilisation de ce modèle 1 ddl une élongation puis une contrainte (réponse du système ) à partir d’une accélération ou une vitesse ou un déplacement (excitation). Hypothèses prises : Ø Module d’Young constant (acier, température ambiante) Ø Système modélisé en 1ddl

t

ãe Excitation

Système 1ddl variant en fonction de fp

t

σ

Réponse


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1.3.2. Comptage des cycles de contrainte Une fois parfaitement définie la contrainte en fonction du temps, il s’agit de compter les nombres de cycles de cette contrainte et mieux encore, décomposer ceux-ci en 2 parties, ceux relatifs aux efforts statiques et ceux relatifs aux efforts dynamiques. Plusieurs méthodes existent telles que le comptage Pic Vallée, le comptage Level Crossing, mais nous utilisons plus particulièrement la méthode de comptage Rainflow développé par un groupe de travail normatif (norme AFNOR A03-406). Celle -ci a été particulièrement étudiée pour une application dans le domaine du dommage par fatigue et décompose les efforts statiques et dynamiques, ce qui n’est pas le cas du Pic Vallée et du Level Crossing. Le principe du comptage est donc de discrétiser le signal temporel en une somme de cycles ou ½ cycles : Chaque cycle est définit par un couple de valeurs, correspondant d’une part à son amplitude moyenne (ou précontrainte) et d’autre part à son amp litude alternée (ou contrainte dynamique) tel que représenté figure 5. Attention, l’aspect temporel disparaît (plus de chronologie) et seules restent les informations relatives aux amplitudes.

Figure 5 Chaque cycle (ou demi -cycle) correspondant à un couple (ómoy, óalt) est compté et indiqué dans une matrice Rainflow et qui se présente comme dans la figure 6. Ni est le nombre de cycle (ou demi -cycle) pour un couple (ómoyi, óalti).

Figure 6 La matrice Rainflow correspondante au signal de la figure 3, est présentée figure 7. Un code de couleur indique l’ordre de grandeur du nombre de cycles pour chaque couple (ómoyi, óalti). La couleur indique l’importance du nombre de cycles.

óalt

ómoy

ómoy

ni

ómoyi 0

óalt i

óaltmax

óalt

ómoymax ómoymin


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Figure 7 Hypothèses prises : Ø Endommagement de même nature en traction et en compression (non-dissociation des deux cas, tant en

statique qu’en dynamique) 1.3.3. Prise en compte des contraintes statiques Afin de calculer un endommagement par fatigue du à une contrainte, nous utilisons des courbes de Wöhler. Néanmoins ces courbes sont tracées pour une sollicitation alternée pure, soit uniquement dynamique. Mais nous avons vu que dans la pratique beaucoup de pièces sont soumises à un effort statique auquel se superpose un effort dynamique et c’est ce que nous donne la matrice Rainflow. Il est important de prendre en compte cette contrainte moyenne non nulle, car elle modifie sensiblement la durée de vie, en particulier quand elle est relativement grande par rapport à la contrainte alternée. Il faut donc calculer une contrainte alternée pure équivalente à notre couple (ómoy, óalt) et nous utilisons pour cela un diagramme de corrections appelé également diagramme de Haig. Il existe différentes représentations de ce diagramme : • Parabole de Gerber, • Droite de Goodman, • Goodman modifié, • Droite de Soderberg • Modification de Langer, • Modification de Sines. Un exemple de diagramme de Haig, la parabole de Gerber, est représenté en figure 8.


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Figure 8 A partir d’un couple de valeur (ómoyi, óalti) on obtient un point sur une parabole de Gerber qui nous indique alors une contrainte alternée pure óalt pure équivalente. Dans l’exemple de la figure 8, on peut voir qu’une contrainte dynamique óalt2 inférieure à une autre óalt1, mais située sur la même parabole, peut donner la même contrainte alternée pure si sa composante statique ómoy2 est à contrario supérieure à la composante statique ómoy1 de la deuxième.

1.3.4. Calcul de l’endommagement Le calcul d’endommagement est effectué à partir du nombre de cycles à un niveau de contrainte óalt pure équivalente et d’un ensemble de courbes, appelées Courbes de Wöhler ou courbe S-N (Stress-Number of cycles). Il existe plusieurs types de représentation, en log-lin, log-log, par exemple représentation de Basquin. Un exemple pour de l’acier et de l’aluminium est donnée en figure 9.

Figure 9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0

20

40

60

80

100

120

σσ m

σσ alt

σσmoy1

σσalt1

σσalt2

σσalt pure

σσ moy2

0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5

1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7 1E+8 1E+9

A C I E R

A L U

σσ

N

Limite de fatigue

Zone oligocyclique Zone d’endurance limitée

Zone d’endurance illimitée

óR

óD


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La représentation d’une courbe de Wöhler peut-être découpée en 3 zones : • Le domaine oligocyclique qui correspond aux contraintes les plus grandes, supérieures à la limite d’élasticité du

matériau où N varie de ¼ cycle jusqu’à 104 ou 105 cycles (acier doux) suivants les auteurs. • Le domaine d’Endurance Limitée où la rupture apparaît d’une manière certaine sous une contrainte plus faible que

la limite d’élasticité du matériau avec N compris entre 104 à 105 (borne basse) et 106 à 107 (borne haute). • Le domaine d’endurance illimitée où la courbe tend vers une limite parallèle à l’axe des cycles. En théorie pour les

métaux ferreux, il n’y a jamais rupture par fatigue quel que soit le nombre de cycles appliqués à un niveau de contrainte inférieur à la contrainte limite de fatigue σD.

Ces valeurs ne sont données qu’à titre indicatif afin d’illustrer le propos et ne sont pas à généraliser à tous les matériaux. Par ailleurs, il est à noter que la courbe de Wöhler est une courbe statistique (valeur moyenne) , ce qui implique que l’atteindre indique seulement une probabilité de casser 1 pièce sur 2. Ce qui veut dire que la limite d’endurance est la contrainte alternée óalt pure pour laquelle il y a rupture de 50% des pièces après N cycles et que la limite de fatigue est la plus grande amplitude de contrainte pour laquelle il n’y a pas de rupture après un nombre infini de cycles. 1.3.5. Loi de Miner Grâce aux courbes de Wöhler, nous obtenons un endommagement Di pour un nombre de cycles ni à un niveau de contrainte óalt pure que nous appellerons maintenant ói. Or, à partir du compteur Rainflow, nous avons un ensemble de ni cycles à un niveau de contrainte ói. Nous utilisons alors la loi de Miner relative au cumul des dommages. Cette loi nous indique que si une pièce subit ni cycles à un niveau de contrainte ói, elle reçoit un endommagement élémentaire Di tel que

Di = ni / Ni

avec Ni le nombre de cycles à la rupture pour un niveau de contrainte ói.

Figure 10 Si on observe la figure 10, on peut se représenter ce dommage élémentaire comme une valeur sans dimension qui représenterait un pourcentage de participation au dommage. On obtient par exemple 1 soit 100% d’endommagement si ni et Ni sont égaux. Si n i est égal à la moitié de Ni , on obtient alors 50% d’endommagement. Ce calcul est réalisé pour l’ensemble des ni cycles à un niveau de contrainte ói, et la loi de Miner nous indique alors qu’il y a sommation des dommages et que D = Σ Di avec rupture si D ≥ 1 Nous avons alors un dommage D pour la contrainte calculée avec le modèle, relatif à une fréquence propre et un amortissement caractéristiques du système à un degré de liberté utilisé dans le modèle.

σσi

σ

ni

Ni Nombre de cycles

Di


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1.3.6. Itération sur les fréquences propres En résumé, à partir d’une mesure d’excitation et d’un modèle 1 ddl et en fonction d’une fréquence propre (voir figure 4), nous avons obtenu une élongation puis une contrainte (réponse du système ), puis un compteur Rainflow, puis une valeur de dommage. Il s’agit maintenant d’itérer sur l’ensemble des fréquences propres souhaitées. Généralement, les N fréquences propres fp sont définies à partir d’une fréquence basse et d’une fréquence haute dépendantes des modes supposés du matériel, et d’une loi de répartition (linéaire ou logarithmique). On obtient alors pour chaque fréquence propre une valeur de dommage, ce qui nous donne donc un spectre de dommage par fatigue appelé SDF. Le principe est le même pour le calcul de spectre de réponse extrême SRE où l’on recherche les extrema sur les contraintes calculées en sortie du modèle pour chaque fréquence propre. Attention, les SDF et SRE sont calculés pour un amo rtissement î donné.

Fréquence propre

Dommage

SDF

fpi

D


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2. COMPARAISONS

2.1. Mesures en roulage stabilisé Il a été réalisé une mesure en roulage stabilisé dont les signaux temporels et le spectre sont présentés figure 11.

Figure 11 Un calcul de Kurtosis glissant (courbe rouge dans l’aire supérieure) indique une valeur sensiblement constante de 3 ,caractéristique d’un signal relativement stationnaire et gaussien.. On peut également illustrer cette conclusion par un calcul d’histogramme représenté en figure 12.

Figure 12


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Les résultats de calculs des SRE, SDF et DSP équivalente avec les deux méthodes, sont représentés figure 13. Les résultats calculés à partir de la méthode analytique sont en bleu, les résultats calculés à partir de la méthode numérique sont en rouge.

Figure 13 Si on analyse ces résultats, on constate que les écarts entre les deux méthodes sont relativement faibles : Ø Pour le SRE (courbes du haut), un écart moyen inférieur à un rapport 1,1 et un pic d’un rapport 1,4 à 46 Hz

(soit un écart maximum de 1,5 g), Ø Pour le SDF (courbes médianes), un écart moyen inférieur à un rapport 2 ce qui est insignifiant pour un

dommage, Ø Pour la DSP équivallente, un écart moyen inférieur à un rapport 1,3 avec uniquement un pic à 1,7.

Ces résultats sont très logiques. La méthode analytique extrapole ses données à partir d’une représentation statistique supposée qu’est la DSP alors que la méthode numérique se base exclusivement sur le signal disponible en entrée. Par exemple, la méthode analytique va supposer la présence de pics qui ne figuraient pas dans le signal d’entrée ce qui provoque un SRE légèrement supérieur à celui obtenu par la méthode numérique. Mais globalement et au vu des hypothèses faites par ailleurs, on peut affirmer que les résultats sont extrêmement semblables.


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2.2. Mesures en piste spéciale avec obstacles Il a été réalisé également une mesure en roulage sur piste avec obstacles dont le signal et le spectre sont présentés figure 14.

Figure 14 Un calcul de Kurtosis glissant (courbe rouge dans l’aire supérieure) indique une valeur oscillant entre 2 et 4 avec des pics jusqu’à 20 caractéristique d’un signal non stationnaire. Si nous calculons l’histogramme, nous obtenons (figure 15) une représentation d’un signal non gaussien.

Figure 15


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Les résultats de calculs des SRE, SDF et DSP équivalente avec les deux méthodes, sont représentés figure 15. Comme précédemment les résultats calculés à partir de la méthode analytique sont en bleu, les résultats calculés à partir de la méthode numérique sont en rouge.

Figure 16 Si on analyse ces résultats, on constate que les écarts entre les deux méthodes sont maintenant très importants : Ø Pour le SRE (courbes du haut), un écart moyen d’un rapport 2,3 et un pic d’un rapport 2,4 à 46 Hz (soit un

écart de 16,1 g), Ø Pour le SDF (courbes médianes), un écart moyen d’un rapport 100 et un pic d’un rapport 300, Ø Pour la DSP équivallente, un écart moyen d’un rapport 3 avec des pics à 6.

On voit dans ce cas, l’erreur commise par l’utilisation en méthode analytique d’une DSP calculée sur un signal non gaussien, non stationnaire.

3. CONCLUSIONS Cette présentation a pour but de démontrer la possible mise en œuvre d’une méthode de traitement numérique dans le cadre de la personnalisation. Cette solution est maintenant rendue possible par les progrès de l’informatique et plus particulièrement de la puissance de calcul disponible sur les calculateurs de bureau. Cette méthode permet de s’affranchir d’un certain nombre d’hypothèses et contraintes inhérentes aux méthodes analytiques. Par ailleurs, elle ouvre la voie vers de nouveaux domaines d’applications telle que les matériaux à hautes températures ou élastomères grâce à des intégrations de courbes de Wöhler 2D, des modules d’Young non constant, dissociation de la traction et de la compression, etc…

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