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Logique combinatoire 1 Sciences de l'ingénieur

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Logique combinatoire

1

Sciences de l'ingénieur

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Représentation binaire

Un ordinateur est une machine qui manipule des chiffres binaires.

Une variable binaire ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1.

Ces valeurs peuvent représenter : un interrupteur ouvert ou fermé, un transistor passant ou bloqué, la présence ou l’absence d’une tension...

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Représentation binaire

Une variable E peut être complémentée,elle est alors notée Ē ou ¬E (E barre).

Compléter la table de vérité ci-contre : E Ē

0

1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction OUI (YES)

La sortie S est égale à la valeur de l'entrée.Représentation graphique :

Équation logique : S = eTable de vérité :

e S

0

1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction NON (NOT)

La sortie S est égale à la valeur inverse de l'entrée.Représentation graphique :

Équation logique : S = ēTable de vérité : e S

0

1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction ET (AND)

La sortie S est vraie si toutes les entrées ei sont vraies.si e1 = 1 ET e2 = 1 alors S = 1 Représentation graphique :

Équation logique : S = e1.e2Table de vérité : e1 e2 S

0 0

0 1

1 0

1 1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction OU (OR)

La sortie S est vraie si au moins une des entrées ei est vraie.si e1 = 1 OU e2 = 1 alors S = 1Représentation graphique :

Équation logique : S = e1+e2Table de vérité : e1 e2 S

0 0

0 1

1 0

1 1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction NON-ET (NAND)

La sortie S est vraie si au moins une des entrées ei est fausse.si e1 = 0 OU e2 = 0 alors S = 1Représentation graphique :

Équation logique : S = ¬(e1.e2)Table de vérité : e1 e2 S

0 0

0 1

1 0

1 1

c

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction NON-OU (NOR)

La sortie S est vraie si toutes les entrées ei sont fausses.si e1 = 0 ET e2 = 0 alors S = 1Représentation graphique :

Équation logique : S = ¬(e1+e2)Table de vérité : e1 e2 S

0 0

0 1

1 0

1 1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction OU Exclusif (XOR)

La sortie S est vraie si toutes les entrées ei ont des valeurs distinctes.si e1 ≠ e2 alors S = 1Représentation graphique :

Équation logique : S = e1Åe2 = e1.ē2 + ē1.e2 Table de vérité : e1 e2 S

0 0

0 1

1 0

1 1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Fonction NON-OU Exclusif (XNOR)

La sortie S est vraie si toutes les entrées ei sont identiques.si e1 = e2 alors S = 1Représentation graphique :

Équation logique : S = ¬(e1Åe2) = ē1.ē2 + e1.e2 Table de vérité : e1 e2 S

0 0

0 1

1 0

1 1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Propriétés des opérateurs

• involution (double complémentation)¬ā = a• commutativitéa.b = b.a a+b = b+a aÅb = bÅa• associativitéa.(b.c) = (a.b).c a+(b+c) = (a+b)+c aÅ(bÅc) = (aÅb)Åc• distributivitéa.(b+c) = a.b + a.c a + b.c = (a+b).(a+c)

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Exercices

a.1 = a.0 = a.a = a.ā =

a+1 = a+0 = a+a = a+ā =

aÅ1 = aÅ0 = aÅa = aÅā =

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Élément neutre : a.1 = a a+0 = a aÅ0 = a

Élément absorbant : a.0 = 0 a+1 = 1

Complément : a.ā = 0 a+ā = 1 aÅā = 1

Idempotence : a.a = a a+a = a

aÅ1 = ā aÅa = 0

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Théorèmes de DE MORGAN*

¬(ab) = ā + ƀ¬(a+b) = ā.ƀ

Exercice : simplifier les équations logiques suivantes1. a.(ā+b) 2. ā.b.c + a.b.c

Exercice : démontrer a + ā.b = a + b

* Augustus De Morgan (1806-1871) : Logicien et Mathématicien Anglais

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Création d’un logigramme

S = ( a + b.c ).d

&a + b.c

dS>1b.c

a

&cba

d

Règle de construction : Toujours partir de la sortie, rechercherl’opérateur logique qui sépare l’équation

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

&ab >1c & Sb.c a + b.c

= c.(a + b.c)

Simplification : S = a.c + b.c.cS = a.c + b.cS = c. (a + b)

Recherche d'équation

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Exercice 1

• Donner l’équation logique de F à partir de la table de vérité ci-contre :

• Simplifier l’équation• Produire le logigramme

a b c F

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

.ā ƃ.c

.ā ƃ.c

a.b.c

a b c F

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

F = .ā ƃ.c + .ā ƃ.c + a.b.cF = .ā ƃ.(c + c) + a.b.cF = .ā ƃ.1 + a.b.cF = .ā ƃ + a.b.c

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

Exercice 2

• Donner l’équation de F• Produire la table de vérité• Compléter le chronogramme de F

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Logique combinatoire

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Sciences de l'ingénieur

F = (a + c).ƃ = (a + c) + b

a b c F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1