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Schémas volumes finis positifs pour le modèle de Keller-Segeldégénéré et anisotrope

Mazen SAAD

Ecole Centrale de NantesLaboratoire de Mathématiques Jean Leray

Journée Nantes-Rennes d’Analyse

Rennes 28 janvier 2016

Outline

1 Modèles en BiomathématiquesLes bactériesLe modèle de Keller-SegelCicatrisation osseuseTraitement de cancer par Biochimiothérapie

2 Volumes Finis vs Eléments finis

3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson

4 Schéma monotone pour Keller-Segel

5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée

6 Schéma CVFE pour Keller-Segel

Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 2 / 45

Modèles en Biomathématiques

Table of Contents

1 Modèles en BiomathématiquesLes bactériesLe modèle de Keller-SegelCicatrisation osseuseTraitement de cancer par Biochimiothérapie







Modèles en Biomathématiques

Chimiotaxie

Chimiotaxie: Mouvement dirigé d’organismes vivants en réponse à des signauxchimiques.

Capacité des organismes vivants, tels que les cellules, à détecter des signaux dansl’environnement et d’adapter en conséquence leur mouvement.

Ce comportement leur permet de localiser les nutriments, éviter les prédateurs ... Il peuts’agir d’attraction ou de répulsion.

Rôle important dans de nombreux domaines de la biologie tels que l’immunologie, lacroissance du cancer et la cicatrisation des plaies.


Modèles en Biomathématiques Les bactéries

Exemple 1. Les bactéries

Les bactéries ”Bacillus subtilis”setrouvent dans le sol.

Le chimio-attractant est l’oxygèneconsommé par les organismes vivants.

C’est un transport des bactéries vers lesnutriments.

organisme ”Dictyostelium Discoideum”

se trouvant dans un milieu humide

cette amibe secrète un chimio-attractantpour s’agglomérer


Modèles en Biomathématiques Le modèle de Keller-Segel

Modélisation

Le modèle de Keller-Segel est le plus populaire pour le contrôle chimique des mouvementscellulaires.

E.F. Keller and L.A. Segel. Te Keller-Segel model of chemotaxis (1970).

• Evolution de la densité cellulaire (u) :

∂t u −

Terme diffusif︷︸︸︷div(Λ(x)a(u)∇u) +

Terme chimiotaxie︷︸︸︷div(Λ(x)χ(u)∇v) = 0

• Evolution de la concentration du chimio-attractant (v):

∂t v − div(M(x)∇v) = αu − βv︸︷︷︸production et mortalité

a(u) : coefficient de diffusion.

χ(u) : sensitivité des cellules envers le chimio-attractant.

Λ(x) et M(x) : tenseurs anisotropes et hétérogènes.


Modèles en Biomathématiques Le modèle de Keller-Segel

Modélisation

Le modèle de Keller-Segel est le plus populaire pour le contrôle chimique des mouvementscellulaires.

E.F. Keller and L.A. Segel. Te Keller-Segel model of chemotaxis (1970).

• Evolution de la densité cellulaire (u) :

∂t u −

Terme diffusif︷︸︸︷div(Λ(x)a(u)∇u) +

Terme chimiotaxie︷︸︸︷div(Λ(x)χ(u)∇v) = 0

• Evolution de la concentration du chimio-attractant (v):∂t v − div(M(x)∇v) = αu − βv︸︷︷︸

production et mortalité

Diffusion et sensitivite dégénérées.

a(u) = a0u(1− u), χ(u) = χ0u2(1− u)2.

Volume-Filling Effect

u

a χ


Modèles en Biomathématiques Cicatrisation osseuse

Croissance osseuse

Schéma d’un os non fracturé.

Les différentes phases de la cicatrisation.



La modélisation de la cicatrisation osseuse

Lors d’une fracture, la rupture des vaisseaux sanguins et de la matrice osseuse va entrâıner lalibération de signaux chimiques appelés facteurs de croissance qui vont attirer les cellulesavoisinantes vers la zone fracturée : cellules souches, macrophages ...

• Les cellules souches mésenchymateuses (s)présentes dans la moelle osseuse et le périoste.Elles migrent vers la fracture par diffusion etchimiotaxie puis elles se différencient en b

• Les ostéoblastes b. Elles sont obtenues pardifférenciation.

m La matrice osseuse est obtenue par synthèse des b.

g Le facteur de croissance ostéogénique.



Modèle mathématique

Modèle proposé par Bailon-Plaza et Van der Meulen (2001).Cellules souches mésenchymateuses (s).

∂t s − ∇ ·(

Λ(m)∇s︸︷︷︸diffusion

−V (m)χ(s)∇m︸︷︷︸haptotaxie

)=

α1

β12 + m2

ms (1− s)︸︷︷︸mitose

−γ1

η1 + ggs︸︷︷︸

différentiation

Ostéoblastes (b).

∂t b =α2

β22 + m2

mb (1− b)︸︷︷︸mitose

+ ργ1

η1 + ggs︸︷︷︸

différentiation

− δ1b︸︷︷︸mort

Matrice osseuse (m).∂t m = λ (1−m) b︸︷︷︸

synthèse et dégradation

Facteur de croissance ostéogénique (g). Production du facteur de croissance par lesostéoblastes

∂t g −∇ · (Λg∇g)︸︷︷︸diffusion

=γ2

(η2 + g)2

gb︸︷︷︸production

− δ2g︸︷︷︸mort



Géométrie et maillage.

0 0.14 0.1750

0.105

0.175

x (cm)

y (cm)

cellules souches,

facteur de croissance

matrice osseuse


Modèles en Biomathématiques Traitement de cancer par Biochimiothérapie

Traitement de cancer par Biochimiothérapie

Cancer = Croissance incontrôlée de cellules anormales.

Biochimiothérapie = Immunothérapie + Chimiothérapie

Immunothérapie = Renforcer les capacités naturelles du corps humain à combattre lecancer.

Cytokine = Substances chimiques synthétisées par des cellules du système immunitaire

NK = Cellules NK (Natural Killer)(cellules tueuses naturelles),

Lymphocytes-T =Cellules tueuses qui s’attaquent aux cellules marquées (par les moléculesCMH.)

Chimiothérapie = une drogue afin de tuer les cellules tumorales qui ont un taux decroissance plus rapide que les cellules normales.


Modèles en Biomathématiques Traitement de cancer par Biochimiothérapie

Traitement de cancer par Biochemothérapie : Modèle

Evolution de la tumeur.

dT

dt−div (a(T )∇T )︸︷︷︸

diffusion

+ div (χ(T )∇f )︸︷︷︸Haptotaxie vers

les cellules saines

= aT (1− bT )︸︷︷︸la croissance

logistique

− cNT︸︷︷︸la mort induitepar les cellules

NK

− d(L)T︸︷︷︸la mort induite

par les CD8+-T

− K(M)T︸︷︷︸mort de la tumeur

suite à lachimiothérapie

Evolution des cellules : NK, Lymphocytes T et Circulants, Médicament, Citokine ...


Volumes Finis vs Eléments finis

Table of Contents

1 Modèles en Biomathématiques









Soit l’équation de diffusion-transport :

−div(Λ∇u) + div(cu) = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω.

Eléments finis. Chercher uh ∈ Vh ⊂ H10 (Ω) telle que∫Ω

Λ∇uh · ∇φh −∫

Ωcuh · ∇φh =

∫Ω

f φh, ∀φh ∈ Vh√

Pas de restriction sur le maillage; discrétisation du tenseur de diffusion.� Instabilités numériques pour le transport dominant.

Volume finis. Soit Th une partition de Ω, pour tout K ∈ Th,

−∫∂K

Λ∇u · n +∫∂K

uc · n =∫∂K

f .

Le maillage satisfait la condition d’orthogonalité (Eymard–Gallouët–Herbin) et Λ = Id

K L

xK xLσKL

∫σK,L

∇u · nK ,L ≈|σK ,L|dK ,L

(uL − uK )∫σK,L

u c · nK ,L ≈ uK (c · nK ,L)+ + uL(c · nK ,L)−

� Perte d’admissibilité du maillage =⇒ Perte de convergence.√Schéma décentré =⇒ pas d’oscillations dans le cas d’une convection dominante.



Méthode combinée VF/EF

Schéma combiné.−div(Λ∇u)︸︷︷︸Elément Finis

+ div(cu)︸︷︷︸Volume Finis

= f

L

EDK

Maillage primal. Ω̄ = ∪K∈Th K̄Maillage dual. Ω̄ = ∪D∈Dh D̄Diamond D associé à σD = σK ,L

L

ED QD

•QEK•

•

•

• ••

••

•

•

•

•• •• •

•

σ

• Les inconnues

σ := σD,E : l’interface entre D et E

|D| = mes(D) et |σ| = mes(σ).

QD : le milieu du segment σD .

N (D) : l’ensemble de voisins de D.

dD,E := |QE − QD |

ηD,E : la normale à σD,E dirigée de Dvers E




Espace éléments finis P1 non conformes :

Xh := {ϕh ∈ L2(Ω);ϕh|K linéaire , ϕh continue aux points QD}

(ϕD )D∈Dh la base de Xh telle que ϕD (QE ) = δDE , E ∈ Dh.

•••

Schéma combiné ;

−∑

E∈N (D)ΛD,E (UE − UD ) +

∑E∈N (D)

G(UD ,UE ; CD,E ) = 0,

où la matrice de rigidité est

ΛD,E = −∑

K∈Th

∫K

Λ(x)∇ϕE · ∇ϕD dx (EF non conformes)

et le flux numérique G est défini par

G(UD ,UE ; CD,E ) = UD C+D,E + UE C

−D,E (schéma upwind)

avec CD,E =∫σD,E

c · nD,E dσ.




−∑

E∈N (D)ΛD,E (UE − UD ) +

∑E∈N (D)

G(UD ,UE ; CD,E ) = 0

P. Angot, V. Dolejsi, M. Feistauer and J. Felcman,Analysis of a combined barycentric finite volume-nonconforming finite element methodfor nonlinear convection-diffusion problems. Appl.Math.,43(4), p. 263-310, 1998.

R. Eymard, D. Hilhorst and M. Vohralik,A combined finite volume-nonconforming/mixed hybrid finite element scheme fordegenerate parabolic problems. Numer.Math., 105 : p. 73-131, 2006.

Le schéma combiné assure-t-il le principe du maximum?√

Si Λ = Id et tous les angles des triangles sont aigus, alors ΛD,E ≥ 0 =⇒ principe dumaximum.

� En général, ΛD,E ∈ R.


Schéma monotone pour l’équation de Poisson

Table of Contents










Soit Th un maillage de Ω. Soit uh = (uK )K∈Th telle que

SK (uh) = |K |fK , ∀K ∈ Th.

Un schéma est monotone s’il existe τh(uh) ≥ 0

SK (uh) =∑

L∈Th

τK ,L(uh) (uK − uL) +∑σ∈∂Th

τK ,σ(uh)uK

et τK ,L(uh) > 0 pour L ∈ N (K), τK ,σ(uh) > 0.

Positivité

Tout schéma monotone est positif (c-à-d si fh ≥ 0 alors uh ≥ 0).

En effet, on suppose m = minK∈Th

uK = uK0 < 0∑L∈Th

τK0,L︸︷︷︸≥0

(m − uL)︸︷︷︸≤0

+∑σ∈∂Th

τK0,σ︸︷︷︸≥0

m︸︷︷︸ 0, (K0 touche le bord), alors m = 0

Si τK0,L > 0, (K0 ∈◦Th), alors uL = m, ∀L ∈ Th et donc m = 0.



Correction non linéaire monotone (Le Potier (2010))

Soit un schéma conservatif : Ah(uh) = fh tel que

AK (uh) =∑

L∈V (K)αK ,L (uK − uL), et αK ,L ∈ R.

Soit γh(uh) = (γK ,L(uh)) une famille telle que∑L∈V (K)

γK ,L|uK − uL| = 1.

AlorsAK (uh) =

∑L∈V (K)

γK ,LAK |uK − uL|.

Correction monotone. On choisit une famille βh(uh) = (βK ,L(uh)) telle que

SK (uh) =∑

L∈V (K){γK ,Lsigne(uK − uL)AK + βK ,L}︸︷︷︸

=τK,L>0

(uK − uL) soit monotone.

Il suffit de prendre βK ,L > γK ,L|AK |.



Correction non linéaire monotone (Le Potier (2010)

Choix de γK ,L tel que∑

L∈V (K) γK ,L|uK − uL| = 1.

γK ,L =1∑

Z∈V (K) |uK − uZ |:= γK (choix global).

V (K)? = {Z ∈ V (K); uZ 6= uK} et γK ,L =1

cardV (K)?|uK − uL|(choix local).

Propriétés du schéma corrigé monotone

Si βK ,L = βL,K et Ah est conservatif, alors Sh est conservatif.

Si Ah est coercif alors Sh est coercif.

Si∑

K∈Th diam(K)∑

L∈V (K) βK ,L|uK − uL| −−−→h→00, alors le schéma corrigé est

convergent.


Schéma monotone pour Keller-Segel

Table of Contents









Schéma monotone pour Keller-Segel, avec G. Chamoun, R. Talhouk

∂t u −Terme diffusif︷︸︸︷

div(Λ(x)a(u)∇u) +

Terme convectif︷︸︸︷div(χ(u)Λ(x)∇v) = 0

∂t v − div(M(x)∇v) = h(u, v).

Schéma d’Euler implicite en temps et combiné en espace.

Diffusion : A(u) =

∫ u0

a(z) dz

∫σD,E

Λ(x)∇A(u) · ηD,E ≈ ΛD,E(A(un+1E )− A(u

n+1D )

)ΛD,E = −

∑K∈Th

(Λ(x)∇ϕE ,∇ϕD )0,K KL

ED •QD

•QEσEσD,E

Transport. Schéma décentré selon Λ∇v · η

∫σD,E

χ(u)Λ(x)∇v · ηD,E ≈ G(un+1D , un+1E ; v

n+1D,E )

vn+1D,E = ΛD,E (vn+1E − v

n+1D ) ≈

∫σD,E

Λ(x)∇v · ηD,E ED

QD

QEσD,E

•QD

•QE



Schéma combiné corrigé

|D|un+1D − u

nD

δt−

∑E∈N (D)

τn+1D,E(A(un+1E )− A(u

n+1D )

)+

∑E∈N (D)

G(un+1D , un+1E ; v

n+1D,E ) = 0

|D|vn+1D − v

nD

δt−

∑E∈N (D)

Mn+1D,E(vn+1E − v

n+1D

)= |D|f (unD , v

n+1D ) .

La correction monotone sur les flux diffusifs :

τn+1D,E = γD,E (A(uh))signe(A(uD )− A(uE ))BD + βD,E (A(uh)) > 0

associée au flux diffusif initial: BD =∑

E∈N (D) ΛD,E (A(uD )− A(uE )).De même pour Mn+1D,E .

Les propriétés du flux numérique G

Monotonie : a 7→ G(a, ·, ·) est croissante, b 7→ G(·, b, ·) est décroissante.Consistance: G(a, a, c) = −χ(a)cConservation: G(a, b, c) = −G(b, a,−c).



Principe du maximum

Problème dégénéré : χ(0) = χ(1) = 0, par exemple χ(u) = χ0u(1− u)2.

Prolongement par continuité de χ. Alors χ(u) = 0 pour u ≤ 0 et u ≥ 1.

Proposition (Principe du Maximum)

On suppose u0 ∈ [0, 1] et v0 ≥ 1., alors

0 ≤ un+1D ≤ 1 et vn+1D ≥ 0, D ∈ Dh, n ∈ {1, . . . ,N}.

Preuve par récurrence sur n. On suppose unD ≥ 0 pour tout D. Soit un+1D0

= minD un+1D . On

multiplie l’équation de D0 par w = −(un+1D0 )− :

−|D0|un+1D0

− unD0δt

(un+1D0)−︸︷︷︸

J1

+∑

E

τn+1D,E

(A(un+1E )− A(u

n+1D0

))

(un+1D0)−

︸︷︷︸J2

−∑

E

G(un+1D0, un+1E ; C

n+1D,E )(u

n+1D0

)−

︸︷︷︸J3

= 0

J1 =|D0|δt|(un+1D0 )

−|2 +|D0|δt

unD0(un+1D0

)−, J2 ≥ 0 car A est croissante

J3 ≥ −G(un+1D0 , un+1D0

; C n+1D,E )(un+1D0

)− = −χ(un+1D0 )Cn+1D,E (u

n+1D0

)− = 0

Alors |(un+1D0 )−| = 0 =⇒ un+1D0 ≥ 0.



Estimates et convergence

Proposition (Estimation d’énergie)

N−1∑n=0

δt∑σD,E

SD,E |A(unE )− A(unD )|

2 ≤ C , → Ah(uh) ∈ L2(0,T ; H1(Ω))

N−1∑n=0

δt∑σD,E

MD,E |vnE − vnD |

2 ≤ C , → vh ∈ L2(0,T ; H1(Ω))

Translatés en temps et en espace:∫∫Ω×[0,T−τ ]

(Ah(uh(t + τ, x))− Ah(uh(t, x))

)2dxdt ≤ C(τ + δt).∫∫

Ω×[0,T ](Ah(uh(t, x + ξ))− Ah(uh(t, x))

)2dxdt ≤ c ′|ξ|(|ξ|+ h).

Conséquences :Convergence forte: A(uh) −→ Γ = A(u) dans L2(QT ) car A est monotone.(uh, vh) converge vers (u, v) solution faible du problème continu.



Tests numériques

Test 1. On considère Λ =

[1, 5 11 2

], θ = 51◦, M = Id , χ(u) = u(1− u)2,

Densité cellulaire u0=1, 620 triangles Chimio-attractant v0 = 5

Avant correction:−1.23×10−2 ≤ u(t = 0.4) ≤ 0.1918

Après correction:0 ≤ u(t = 0.4) ≤ 0.1885



Test 1 ...

Avant correction:−2.47× 10−2 ≤ u(t = 1) ≤ 0.4829

Après correction:0 ≤ u(t = 1) ≤ 0.4792

Avant correction:−2.81× 10−2 ≤ u(t = 4) ≤ 0.6862

Après correction:0. ≤ u(t = 4) ≤ 0.6727



Test 2. aléatoire

Densité cellulaire0 ≤ u0 ≤ 1.Triangles(1563)

Concentration du chimio-attractantv0 = 10

u(t = 0.02) u(t = 1) u(t = 10)



Correction monotone

Correction monotone :√

Assure le principe du maximum√

Stabilité numérique

� Convergence sous une certaine condition sur les termes additionnels� Correction fortement non linéaire


Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée

Table of Contents









Schéma positif pour une équation dégénérée, avec C. Cancès, M. Ibrahim.

Trouver un schéma positif pour l’équation dégénérée

∂t u − div(a(u)Λ∇u) = 0 dans QT

avec les conditions : a(u)Λ∇u · η = 0 sur ∂QT , et u(0, x) = u0(x) pour x ∈ Ω.

Hypothèse

a(u) > 0 pour u ∈ (0, 1) et a(0) = a(1) = 0. Le tenseur Λ est coercif.

Schéma de Godnuov pour ∂t u + ∂x f (u) = 0, f convexe

un+1i − uni

δt+

1

δx

(f (un+1i , u

n+1i+1 )− f (u

n+1i−1 , u

n+1i )

)= 0

avec

f (ug , ud ) =

min

ug≤u≤udf (u) si ug ≤ ud

maxud≤u≤ug

f (u) si ud ≤ ug

Idée : Traiter l’équation comme une équation de transport :

∂t u + div(a(u)V) = 0, et V(u) = −Λ(x)∇u

sur un maillage triangulaire.



Maillage CVFE

KL

σKL

Maillage primal T ∈ T

KL

xT

xσ

Maillage dual (Cell Vertex) K ∈ MωK volume de contrôle du sommet K

• HT espace d’éléments finis P1 conforme

HT = {φ ∈ C0 (Ω) ;φ|T ∈ P1 (R) , ∀T ∈ T } ⊂ H1 (Ω)

avec (ϕK )K∈V la base canonique (ϕK (xL) = δKL).

• XM l’espace volumes finis constant par maille dual

XM = {φ ∈ L∞ (Ω) ;φ|ωK ∈ R est constant, ∀K ∈M}Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 33 / 45


Discrétisation CVFE

On intègre sur ωK × (tn, tn+1),

|ωK |un+1K − u

nK

δt+

∑σKL⊂∂ωK

F (un+1K , un+1L ) = 0

où F (un+1K , un+1L ) ≈

∫σK,L

a(u)V · η|KL est approché par le flux de Godunov associé à

f (u) = a(u)V · η|KL ≈ ΛKL(uK − uL)a(u) avec ΛKL = −∫

Ω Λ(x)∇φK · ∇φL

F (uK , uL) =

min

uK≤u≤uL

(ΛKL(uK − uL)a(u)

)si uK ≤ uL

maxuL≤u≤uK

(ΛKL(uK − uL)a(u)) si uK ≥ uL

On note IKL = [min(uK , uL),max(uK , uL)] et aKL =

minIKL

a(u) si ΛKL < 0,

maxIKL

a(u) si ΛKL ≥ 0,

Schéma CVFE-Godunov-Diffusion

|ωK |un+1K − u

nK

δt+

∑σKL⊂∂ωK

ΛKLan+1KL (u

n+1K − u

n+1L ) = 0.



Principe du Maximum pour CVFE–Godunov-Diffusion

Proposition (Principe du Maximum )

Soit u0 ∈ [0, 1], alors 0 ≤ un+1K ≤ 1, K ∈M, n ∈ {1, . . . ,N}.

Preuve par récurrence sur n. On suppose unK ≥ 0 pour tout K . Soit un+1K0

= minL un+1L . On

écrit ΛKL = Λ+KL − Λ

−KL. On multiplie l’équation de K0 par w = −(u

n+1K0

)− ≤ 0

−|ωK0 |un+1K0

− unK0δt

(un+1K0)−︸︷︷︸

J1

−∑σK0L

Λ+K0Lan+1K0L

(un+1K0− un+1L )(u

n+1K0

)−

︸︷︷︸J2≥0

+∑σK0L

Λ−K0Lan+1K0L

(un+1K0− un+1L )(u

n+1K0

)−

︸︷︷︸J3=0

= 0

J1 =|ωK0 |δt|(un+1K0 )

−|2 +|ωK0 |δt

unK0 (un+1K0

)−, J2 ≥ 0 car un+1K0 ≤ uL

Si ΛK0L ≤ 0, alors an+1K0L

= minuK0≤u≤uL

a(u) et an+1K0L(un+1K0

)− = 0 car a(u) = 0 pour u ≤ 0, alors

J3 = 0.Alors |(un+1K0 )

−| = 0 =⇒ un+1K0 ≥ 0 .



Estimation d’énergie

Cas continue. On multiplie par u et on intègre l’équation en temps et en espace :

1

2

∫Ω

|u(t, x)|2 dx −1

2

∫Ω

|u0(x)|2 dx +∫

Qt

a(u)Λ∇u · ∇u dtdx = 0

donc√

a(u)∇u est bornée dans L2(Qt ) et ∇u /∈ L2(Qt ).

∇ξ(u) est bornée dans L2(Qt ) et ξ(u) =∫ u

0

√a(z) dz.

Cas discret. On multiplie par un+1K et on somme en n et K

1

2

∑K∈M

|ωK |(|uNK |2 − |u0K |

2) +

N−1∑n=0

δt∑σKL∈E

ΛKLan+1KL (u

n+1K − u

n+1L )

2 = 0.

Estimation sur ∇ξh,δt

N−1∑n=0

δt∑σKL∈E

ΛKL(ξ(un+1K )− ξ(u

n+1L ))

2 ≤N−1∑n=0

δt∑σKL∈E

ΛKLan+1KL (u

n+1K − u

n+1L )

2.

Donc ∫Qt

Λ∇ξh,δt · ∇ξh,δt dtdx ≤ C .

=⇒ Convergence vers une solution faible.Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 36 / 45

Schéma CVFE pour Keller-Segel

Table of Contents










Modèle de Keller-Segel hétérogène. Equation de la densité cellulaire

∂t u−div (Λ (x) a (u)∇u)︸︷︷︸CVFE−Godunov

+div (Λ (x)χ (u)∇v) = f (u)

Hypothèse : χ(u) dégénère plus vite que a(u)

χ (u) = µ (u)× a (u) avec µ (0) = µ (1) = 0, µ(u) > 0 pour u ∈ (0, 1).

La discrétisation des termes convectifs∫ tn+1tn

∫ωK

div (Λχ (u)∇v) ≈ −∑

σKL∈EK

ΛKL µn+1KL︸︷︷︸

upwind

Godunov︷︸︸︷an+1KL

(vn+1K − v

n+1L

)Schéma CFVE non linéaire pour la densité cellulaire :

|ωK |un+1K − u

nK

δt+

∑σKL∈EK

ΛKLan+1KL

(un+1K − u

n+1L

)−

∑σKL∈EK

ΛKLµn+1KL a

n+1KL

(vn+1K − v

n+1L

)= |ωK |f

(un+1K

)Le choix de an+1KL assure les estimations d’énergie.



Schéma positif pour l’équation de la concentration chimique

Equation du chimio-attractant :

∂t v − div (M (x)∇v) = νu − δv

Pour assurer la positivité de la concentration, on fait dégénérer l’équation : ∇v = v∇ln(v).

η (v) = max (0,min (v , 1)) , p (v) =

∫ v1

1

η (s)ds

on applique le schéma CVFE-Godunov sur : ∂t v − div (M η(v)∇p(v)) = νu − δv

Schéma CVFE-Godunov pour le chimio-attractant

ωKvn+1K − v

nK

∆t+

∑σKL∈EK

MKLηn+1KL

(p(vn+1K

)− p

(vn+1L

))= ωK

(νunK − δv

n+1K

)

ηn+1KL =

max

s∈I n+1KL

η(s) if MKL ≥ 0

mins∈I n+1

KL

η(s) if MKL < 0



Estimations et convergence

Proposition

(Principe du maximum) Soient u0M ∈ [0, 1] et v0M ≥ 0. alors

0 ≤ unK ≤ 1 et vnK ≥ 0 ∀K ∈ M, ∀n ∈ {0, . . . ,N + 1}

(Esimation sur vM,∆t )

∫∫Qtf

M∇vT ,∆t · ∇vT ,δtdx dt =N∑

n=0

∆t∑σKL∈E

MKL(vn+1K − v

n+1L )

2 ≤ C .

(Esimation sur uM,∆t )∑K∈M

mK |un+1K |2 + δt

∑σKL∈E

ΛKL(ξ(un+1K )− ξ(u

n+1L )

)2≤∑

K∈MmK |un+1K |

2 + δt∑σKL∈E

ΛKLan+1KL

(un+1K − u

n+1L

)2≤ C .

Esimation sur les translatés en temps et en espace sur vM,∆t et ξ(uM,∆t ).

Convergence du schéma CVFE non linéaire

La suite (uM,∆tm , vMm,∆tm )m converge vers (u, v) quand m →∞:

0 ≤ u(t, x) ≤ 1, v(t, x) ≥ 0 p.p.; (ξ (u) , v) ∈ (L2(0,T ; H1(Ω)))2;

telle que ∀ϕ ∈ D(Ω× [0, t))

−∫

Ω

u0 (x)ϕ (x, 0)−∫

Qt

u∂tϕ dx dt +

∫Qt

a (u) Λ∇u · ∇ϕ−∫

Qt

Λ (x)χ (u)∇v · ∇ϕ = 0.



Tests numériques

Tenseurs anisotropes

Λ = d1

(7 22 10

), M = d2

(1 00 3

). d1 = 0.0005, d2 = 0.0001.

Les données :χ(u) = 0.05u2(1− u)2, a(u) = u (1− u). ν = 0.01, δ = 0.005∆t = 0.002



Maillages primal et dual

Maillage primal, 5193 triangles Maillage dual, 2665 volumes

u0(x, y) = 1 v0(x, y) = 5



Evolution de la densité cellulaire (cas anisotrope)

t = 0 0≤u≤ 1 t = 0.28 0≤u≤ 0.772 t = 0.88 0≤u≤ 0.535

t = 1.52 0≤u≤ 0.97 t = 3.4 0≤u≤ 0.983 t = 4 0≤u≤ 0.981




Modèles en BiomathématiquesLes bactériesLe modèle de Keller-SegelCicatrisation osseuseTraitement de cancer par Biochimiothérapie

Volumes Finis vs Eléments finisSchéma monotone pour l'équation de Poisson Schéma monotone pour Keller-SegelSchéma positif pour une équation parabolique dégénéréeSchéma CVFE pour Keller-Segel

fd@rm@0: fd@rm@1:

schémas volumes finis positifs pour le modèle de …...outline 1 mod eles en biomath ematiques les...

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