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Terminale S3 – M. Salane – Année scolaire: 2012/2013

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Exercices sur "cinématique du point matériel" Exercice 1

Les équations horaires du mouvement d’un point mobile M sont :

0)(

23)(

)(

tz

tty

ttx

1. Calculer la vitesse du point à t = 7 s. Quelle est alors la position du point M ? 2. Déterminer la trajectoire du point mobile.

Exercice 2: Dans un repère orthogonal (O, i

, j

), le vecteur position d'un mobile M est défini par:

OM = 10t i

+ (-5t² + 10t) j

1. Donner l’équation de la trajectoire de M. Est-elle rectiligne ? 2. Donner les coordonnées à la date t des vecteurs vitesse et accélération. Préciser la valeur numérique de la

vitesse à la date t = 2 s. Exercice 3: Un point mobile dont le mouvement est rectiligne sinusoïdal a une période T = 0,04 s.

1. A l’instant t = 0, le mobile est en x = 5 cm avec une vitesse nulle. Déterminer l’équation horaire du mouvement.

2. A quelle abscisse la vitesse du mobile est-elle maximale? Que vaut cette vitesse? 3. Même question pour l’accélération. 4. Calculer l’abscisse, la vitesse et l’accélération à l’instant t = 1,82 s.

Exercice 4: Les composantes du vecteur accélération d’un point mobile sont a

(0, - 3, 0). A l’instant t = 0, le

mobile est en M0 (1, 2, 0) et son vecteur initial est 0v

(1, 1, 0).

1. Montrer que le mouvement est plan. 2. Donner les équations horaires du mouvement. 3. En déduire l’équation de la trajectoire. Exercice 5: Sur une autoroute rectiligne, un automobiliste roule à 180 km.h-1 en mouvement uniforme.

Un motard averti par radio démarre à la distance d = 400 m devant la voiture. Les deux mobiles roulent dans le

même sens.

Son mouvement est uniformément varié et il atteint la vitesse de 100 km.h-1 après une durée de 10 s.

1. Déterminer l’accélération du motard. 2. Montrer qu’il existe deux instants pour lesquels les deux véhicules sont côte à côte. Expliquer. Exercice 6: Un automobiliste roule sur une route rectiligne à la vitesse de 130 km/h. Soudain, un obstacle fixe

apparaît sur la voie à la distance D = 120 m. Le conducteur freine immédiatement et réduit sa vitesse à 105

km/h au bout d'une durée θ = 1s.

1. Calculer la valeur de la décélération. 2. Si l'on suppose que la décélération reste constante, à quelle distante de l'obstacle s'arrêtera la voiture ? 3. On envisage maintenant cette éventualité : le conducteur ne réagit pas tout de suite et commence à freiner

une seconde après l'apparition de l'obstacle. Il impose alors à son véhicule la décélération calculée au 1. Calculer la distance que devrait parcourir l’automobile pour s'arrêter ? Conclure.

Exercice 7: La représentation graphique de la vitesse v = f (t) d’un mobile

est donnée à la figure ci-contre.

1. Calculer les accélérations du mobile au cours des trois phases du mouvement.

2. Tracer la représentation graphique a = g(t) de l’accélération a en fonction du temps, avec t є *0 ; 12] en secondes.

3. Calculer l’espace parcouru par le mobile.

0



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Exercice 8

Les équations horaires d’un mouvement plan sont : )1(4)(

2)(

2tty

ttx

1. Déterminer les positions du mobile toutes les 0,1 s de 0 à 1 s. 2. Quelle est la nature de la trajectoire ? 3. Déterminer le vecteur vitesse et sa valeur. 4. En déduire les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération (repère de Freinet). 5. Déterminer les composantes cartésiennes du vecteur accélération. 6. En déduire que le module du vecteur accélération est indépendant du repère d’étude. Exercice 9

Dans un plan vertical Oxy, une balle de tennis a un vecteur accélération constant, vertical, vers le bas et de

valeur 9,8 m .s-2. A l’instant t = 0, les conditions initiales sont : x0 = 0 ; y0 = 2 m ; 0v

fait un angle de 30° avec l’axe

horizontal Ox et v0 = 11 m.s-1.

1. Déterminer les équations horaires du mouvement de la balle. 2. En déduire l’équation de sa trajectoire. 3. Le filet a pour coordonnées x = 12 m et y = 0,90 m. La balle passe-t-elle au dessus du filet ? Si oui, à quelle

hauteur ? L’abscisse de la ligne de fond de court est x = 24 m. La balle retombe-t-elle dans les limites du terrain ?

Exercice 10

Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal sur un axe x'x. Son élongation à la date t est donnée

par x (t) = Acos ( t) + Bsin ( t) avec x en m et t en s.

A la date t = 0s, le mobile passe à l’élongation x = 4 m, sa vitesse a pour norme V0 = 15 m/s et son accélération à

pour norme 100 m/s².

1. Déterminer les valeurs numériques de A, B et . 2. Trouver la valeur de l'accélération à la date t = 3,14s. 3. Mettre l'équation horaire sous la forme x (t) = Xmcos ( t + ), en donnant les valeurs de Xm et de .

Exercice 11

Dans le système bielle-manivelle, l’extrémité d’une tige de

longueur ℓ a un MCU avec la vitesse angulaire constante . Elle

entraîne une autre tige de longueur L > ℓ dont l’extrémité B peut

coulisser sur un axe Ox ; à t = 0, = 0.

1. Quelle est l’équation horaire angulaire du point A ? 2. Déterminer la hauteur AM à l’instant t. 3. En déduire OM(t) et MB(t) puis l’équation horaire x(t) du

mouvement de B. 4. Déterminer alors la vitesse du point B . 5. En déduire les instants auxquels elle s’annule et les positions correspondantes de B ? 6. Mêmes questions ( d et e ) pour l’accélération. 7. Que devient le mouvement si ℓ =L ? Exercice 12

Les équations horaires du mouvement d'un mobile M sont

données par : x(t) = 1 + sin(2 t) et y(t) = 2 + cos(4 t)

x , y en m et t en s.

1. Donner les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération en fonction du temps.

2. Etablir l'équation de la trajectoire de M. 3. La représentation graphique de la trajectoire théorique est

donnée par la courbe ci-contre. 3.1. Préciser aux dates : t = 0s ; t = 0,25s et t = 0,75s les positions : M0 ; M1/4 et M3/4.

0 1005010

10

50

t(s)

v(km/h

MM'

Ox

v

a0

00

y

A

L

BO Mx

y = f(x)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5



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3.2. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse 0

V

en M0 et représenter 0

V

sur la trajectoire. Préciser la

valeur de la vitesse V1/4 en M1/4. Exercice 13

Les coordonnées d’une particule mobile dans le référentiel (R) muni du repère sont données en

fonction du temps par :

Dans un deuxième référentiel (R’) muni du repère avec i = i′ , j = j′ , k = k′ , elles ont pour

expression :

1. Exprimer la vitesse v de M dans (R) en fonction de sa vitesse v′ dans (R’).

2. Procéder de même pour les accélérations.

3. Définir le mouvement d’entraînement de (R’) par rapport à (R).

Exercice 14

On laisse tomber d’un immeuble de hauteur h une bille sans vitesse initiale. La chute de celle-ci s’effectue à la

verticale selon un mouvement uniformément accéléré d’accélérationg.

1. Quelle est la trajectoire de la bille dans un référentiel lié à une

voiture se déplaçant suivant un mouvement rectiligne et uniforme

de vitesse v et passant à la verticale de chute au moment du lâcher ?

2. Quelle est la trajectoire de la bille dans le même référentiel si on

admet que la voiture entame au moment du lâcher et à partir de la

verticale de chute un mouvement rectiligne uniformément accéléré

d’accélération ae?

Exercice 15:

Une roue de rayon R roule sans glisser sur un support rectiligne. Un point I de la périphérie de la roue décrit une

courbe appelée cycloïde. Le point I venant en contact avec le support en un point O, on introduit un repère

Oxy.Soit l’angle , défini par = ICH

1. Soit x l’abscisse du centre C de la roue lorsque le contact avec la piste se fait au point H. Le roulement se fait sans glissement impose que la mesure de l’arc HI est la même que celle du segment OH. Donner une relation entre x, R

et .

2. En projetant sur les axes l’égalité vectorielle: OI = OH + HC + CI , écrire les coordonnées du point I en fonction de x et de R.

3. Déduire les composantes des vecteurs vitesse et accélération du point I. 4. On suppose que la vitesse de C est constante.

4.1. Que peut-on dire du vecteur vitesse lorsque I est en contact avec le support ?

4.2. Déterminer le vecteur accélération dans cette position. 5. La roue est une roue de voiture de rayon 28 cm, supposé bien gonflée pour qu’on

puisse négliger la déformation du pneumatique au contact du sol. Calculer l’accélération de I lorsqu’il passe au contact avec le sol, sachant que l’automobile roule avec une vitesse de 120 km/h. Comparer avec l’accélération de la pesanteur g.

x O

y

I C

H

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