s 3 module physique mécanique de solide · 2018-06-18 · 2 tables des matieres i. généralités...
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1
S 3– Module Physique – mécanique de solide
FILIERES : SMP
Semestre 3
Année universitaire 2017-2018 Réalisé par :
Pr. BENHMIDA Abdellatif
Pr. KHARBACH Jaouad
Pr. SALI Ahmed
Fascicule TP en ligne :
Site : http://www.fsdmfes.ac.ma/ (voir ressources pédagogiques/filière SMP/S3)
2
TABLES DES MATIERES
I. Généralités 3
II. Etude du mouvement de rotation 13 (Préparé et réalisé par le Pr. A. BENHMIDA, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)
III. Pendule de Torsion 22 (Préparé et réalisé par le Pr. A. BENHMIDA, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)
IV. Conservation de l’Energie mécanique (Roue de Maxwell) 25 (Préparé et réalisé par le Pr. A. SALI le Pr. J. KHARBACH, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2015/2016)
V. Constante de gravitation 32 (Préparé et réalisé par le Pr. A. SALI le Pr. J. KHARBACH, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2015/2016)
3
GENERALITES
Effectuer la mesure d’une grandeur physique revient à comparer une
grandeur inconnue par rapport à une autre qui est connue (exemple : mesure
d’une longueur avec un mètre).
Cependant, la comparaison directe entre deux grandeurs physiques de
même espèce dont l’une reste à déterminer n’est pas toujours possibles ; on peut
alors passer par une relation ( loi physique) qui lie la grandeur recherchée et
d’autre grandeurs connues que l’on peut mesurer sans difficultés.
Pratiquement. On a recours à certaines méthodes expérimentales et à des
appareils adéquats pour déterminer la grandeur recherchée. Ces méthodes et
appareillages n’étant évidement pas parfois ; la grandeur ne peut être déterminée
qui de manière approchée. Le choix des méthodes et appareil dépend de la
précision que l’on désire obtenir ; en effet, il est évident que la précision ne sera
pas la même selon qu’on mesure une épaisseur d’une plaque par exemple avec
un pied à coulisse ou avec une règle graduée au millimètre.
Nous avons évoqué que si la mesure ne pouvait pas être effectuée de
manière directe, on pouvait la déduire à partir d’une loi physique.
Cependant, les relations qui traduisent ces lois physiques font intervenir des
coefficients numériques dans l’expression mathématique.
Ces coefficients dépendent des unités que l’on choisit, d’où la nécessité de
définir un système d’unités.
I. INCERTITUDE DE MESURES.
Dans l’estimation de l’incertitude d’une grandeur mesurée plusieurs fois,
on peut distinguer plusieurs cas.
I.1. Premier cas.
Le cas où l’appareil possède une précision supérieure ou égale à la
fluctuation de la grandeur mesurée, il faut alors effectuer plusieurs mesures,
4
prendre la moyenne arithmétique et déterminer l’incertitude en prenant le plus
grand écart entre cette valeur moyenne et les différentes valeurs mesurées.
Exemple 1 :
On se propose de mesurer T correspondant à 10 oscillations d’un pendule
de torsion à l’aide d’un chronomètre sur lequel on a une incertitude de lecture
0.1s.( = 0.1s).
On effectue plusieurs mesures qui donnent :
1 = 42.6s,
2 =41.8s, 3 =43.4s, 4 =41.8s, 5 =43.0s
Tm = 5
0.438.414.438.416.42 = 42.52s
m1 = 0.08s, m2 = 0.72s, m3 = 0.88s
m4 = 0.72s, m5 = 0.48s.
Le plus grand écart entre la valeur moyenne et les valeurs mesurées est :
Sup. m4 = m9 = 0.88s (i variant de 1 à 5).
L’incertitude absolue est alors à = 0.88s.
On constate que est supérieure à l’incertitude de lecture ( s1.0 ). La valeur
du temps mesuré et de son incertitude s’écrivent alors :
sm )(
Soit : ss)9.05.42(
Exemple 2 :
On se propose de mesurer un courant I à l’aide d’un ampèremètre. En
plaçant le calibre de l’ampèremètre sur la position de 10 l’aiguille se stabilise
vers la 56 ème division de l’échelle graduée de 1 à 100.
Les relations qui permettent le calcul de I et I sont :
Nb. de divisions lues x calibre
I =
Nb.tot. de division de l’échelle de lecture
L’erreur sur I est donnée par :
I = I Lecture +I systématique avec :
5
I systématique = (classe x calibre /100)
0.5 division x calibre
N.b tot. de division de l’échelle de lecture
Application Numérique :
Ax
5.6100
1065
syst Ax
15.0100
105.1
lect Ax
05.0100
105.0
A)2.05.6(
: 1 Remarque
L’incertitude absolue systématique est constante pour un calibre donné.
Remarque 2 :
Il faut choisir le calibre toujours de telle sorte que l’on ait la plus grande
déviation possible de l’aiguille en veillant toute fois à ne pas sortir des limites du
cadran. Ainsi, si on effectue des lectures sur un ampèremètre dont les calibres
sont : 0.01; 0.3; 1; 10.
Un courant de 0.2A sera lu sur le calibre 0.3.
Un courant de 0.8A sera lu sur le calibre 1.
Un courant de 4.6 A sera lu sur le calibre 10.
II. CALCUL D’INCERTITUDE.
En général, la mesure d’une grandeur G s’effectue par la mesure d’autres
grandeurs physiques intermédiaire (x, y, z, u, v) indépendantes.
Le grandeur G est alors définie par : G= G(x, y, z, u, v)
Connaissant les incertitudes de mesure de (x, y, z, u, v) on détermine les
incertitudes absolue G et relative G
G.
6
II.1. Principe du calcul
II.1.1. Cas d’une seule variable.
On détermine la valeur de G(x) à partir de la mesure de la grandeur x. Soit
x l’incertitude absolue associée à x.
Soit dG la différentielle de G définie par : dG = G'(xo)dx
G'(xo) est la dérivée de G par rapport à x au point xo (valeur mesurée de x). dG
et dx sont des valeurs positives ou négatives alors que G et x sont positives.
G xxoG )('
Exemple.
Calculer l’incertitude sur le moment d’inertie I sachant que le rayon r
est mesuré avec une incertitude r . La masse est supposée connue de manière
exacte ( m = 0).
On a I= mr2 donc dI=m.(2rdr) et rrm .2
Application numérique :
m= 1kg, r= 0.20m donc I = 0.04 kg.m2
si r= 0.01m alors I= ( 2x1x 0.20) x 0.01= 4 10-3
kg.m2.
II.1.2 Cas de plusieurs variables.
Soit G= G( x, y, z, u, v, w,…..) la grandeur dont on veut déterminer la
valeur et sont incertitude.
Soient x, y, z, u, v, w, ….les grandeurs mesurées. Pour calculer
l’incertitude G on généralise la méthode utilisée dans le cas précédent :
dG=G’x+dx+G’y dy+G’z dz+G’u du+G’v dv+G’w dw+…..
G’xi= [ xi
G
] est la dérivée partielle de G par rapport à la variable xi les
autres variables étant supposées constantes.
Exemple :
G= x + 3y - z2- w
4 + 5v -
u
1
1'
x
GxG ; ;
1'
2uu
GuG
3'
y
GyG
7
5'
v
GvG ; ;2' z
z
GzG
34' w
w
GwG
2
23u
duzdzdydxdG + dwwdv 345
on passe ensuite des différentielles dG , dx, dy…….aux incertitudes absolues
.......,, yxG la variation maximale de G associée à x, y,….. c'est-à-dire la
valeur absolue de la différentielle dG de G constitue l’incertitude absolue G
sur G. Cette étape du calcul s’appelle ; Majoration Physique.
Nous avons : ,GdG ,xdx .....ydy
D’où : ......'' yyGxxGG
.Différentes méthodes pour calculer les incertitudes II.2.
.II.2.1 Premier cas
a fonction dont on veut calculer l’incertitude est déterminée à partir des sommes,
de différences, de produits ou de quotidiens.
.
: Exemple
21z
zu
xxyG
1ére étape :
différentiation de la fonction duGdzGdyGdxGdG uzyx ''''
ydG zxdyu
dxdx 2 du
z
x
z
dzdz
22
2éme étape :
Regroupement des coefficients de dx, dy, dz et du.
22)
12()
1(
u
xdz
zzxdydx
uydG du
3éme étape :
Majoration physique :
G = u
y1
x + x y + 2
12
zz z +
2u
x + u
8
II.2.2. Deuxième cas.
Produits et quotidiens de somme et de différences.
Exemple :
xvy
uxvuyxG
),,,(
1ére étape :
Différentiation de la fonction
On prend cette fois le logarithme de G et on différencie log(G) ce qui permet de
calculer directement l’erreur relative G
G
)log()()log( xvyuxLogG
uvy
xvyd
ux
uxd
G
dGGd
)()()log(
ux
du
ux
dx
G
dG
xvy
dx
xvy
dv
xvy
dy
2éme étape :
on regroupe les coefficients de dx, dy, du et dv.
dxxvyuxG
dG)
11(
dy
xvy)
1(
ux
du
xvy
dv
3éme étape :
Majoration physique :
G
G u
uxxvyv
xvyx
xvyux
11111
III. TRACE DES COURBES
Considérons la relation V=RI et nous voulons calculer la résistance R, V
et I étant des paramètres mesurables.(voir tableau).
Classe de l’ampèremètre=2 et classe du voltmètre=2
I(mA) 3 5 7 9 11 13 15
I (mA) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6
V(volts) 5 9 12.6 15.6 19 22.8 26
v(volts) 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6
9
Chaque résultat expérimental est représenté par un rectangle d’incertitude
dont la longueur des cotés est 2 ; le centre du rectangle étant le point (V,I).
Tracer la courbe sur papier millimètre.
Toutes les droites qui coupent ces rectangles vérifient la relation V=RI.
III.1. Calcul de la pente, incertitude sur la pente et déduction de la
grandeur physique recherche.
Parmi toutes les droites qui coupent les rectangles d’incertitude, on
détermine les pentes P1 et P2 des droites limites.
Soient ),( 11 yxA et )','(' 11 yxA deux points appartenant à la droite de pente
1P et ),( 22 yxB , )','(' 22 yxB deux points appartenant à la droite de pente 2P ,
On aura :
11
111
'
'
xx
yyP
et
22
222
'
'
xx
yyP
La pente moyenne aura pour valeur
2
21 PPPm
Et son incertitude est 2
21 PPPm
Exemple 1 :
Cas de la fonction V=RI. Détermination de la résistance R.(R, étant une
constance).
VP1 =
21
21
'
'
II
VV
;
VP2 =
2'
'
2
22
I
VV
2
21 PPPm
;
2
21 PPP
Or, nous avons :
V=RI R=Pm et PR m
10
Application numérique
AVP /152710).415(
8.76.2431
AVP /194510).415(
2.66.2732
AVPP
Pm /17362
19451527
2
21
AVPP
P /2082
21
)2081736(R
Remarque
Ne pas oublier de concevoir les valeurs du contrat en ampère et les valeurs de la
résistance en Ohm.
Exemple2.
Détermination de la constante K d’un ressort à partir de la courbe
)( 2TfM connaissent la variation de la période T en fonction de la masse
(Confère courbe 2).
MKg 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250
)(kgM 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001
)(sT 7,8 11,4 13,8 15,8 18,0
)(sT 0,2 0.2 0.2 0.2 0.2
)( 22 ST 61 130 190 249 324
TSTT )(22 3,1 4,5 5,5 6,3 7,2
Nous avons que K
MT 2 . On trace la courbe )( 2TfM . C’est une
droite. On détermine les droites limites de pente 1P et
2P . La pente moyenne mP
est égale à.
2
21 PPPm
et
2
21 PPP
11
avec )('
'2
12
12
111
Td
dM
TT
MMP
; les points ),(
2
11 TM et ),'(2
11 TM sont sur la
droite limite de pente 1P .
2
2
2
2
222
'
'
TT
MMP
=
)( 2Td
dM les points ( 22 ,TM ) et (
2
22 ,' TM ) sont sur la droite
limite de pente P2.
Or, nous avons :
K
MT 2 et
K
MT 22 4
2
21 PPPm
et
2
21 PPP
soient 2 points I(Ti2
, Mi) et J(Tj2 , Mj) sur la courbe de pente moyenne Pm. les
coordonnées de I et J vérifient la relation :
K
MT 22 2
donc : )(4 2
22
jiji
MMK
TT
ou encore :
)(4
22
2 ji TTK
MjMi
(1)
La relation (1) est une relation linéaire de M en fonction de T2, elle est de
la forme Pxy , la pente P étant égale à 24
K.
Donc la constante K recherchée est reliée à la pente P par :
pmK 24
Et l’incertitude
mPK 24 .
12
Application numérique
233
1 /10.71.040400
10)38296(skgP
233
21 /6110.02
10)51.071.0(
2skg
PPPm
1.0!! ErreurErreurPm 23 /10 skg
mNPmk /408.24 2
mNPmk /0039.04 2
mNk /1)4.08.240( 2
l’unité de k se déduit facilement à partir de l’équation aux dimensions de la
formule : .kxF
Remarque 1 :
Le tracé d’une courbe s’effectue sur papier millimétré, sur celui-ci, il faut
porter les axes de référence en indiquant le nom de la grandeur physique
représentée ainsi que l’échelle choisie.
Il faut que le choix de l’échelle permette l’utilisation de la surface
maximale de la feuille de papier millimétrée.
Remarque 2 :
Ne pas confondre la tangente qui n’a pas d’unités et la pente qui a une
unité.
Remarque 3 :
Il est inutile de porter sur les axes de coordonnées les valeurs associées
aux mesures ou de tracer des droites parallèles aux axes de coordonnées.
13
ETUDE DU MOUVEMENT DE ROTATION
I. But de la manipulation.
Le but de la manipulation est l’étude d’un mouvement de rotation d’un
corps solide autour d’un axe fixe. Le solide utilisé présente un axe de symétrie
confondu avec l’axe de rotation.
La force appliquée sera constante en module et direction, elle donnera au
solide un mouvement uniformément accéléré. En faisant varier certain
paramètre, on vérifiera la nature du mouvement et on calculera le moment
d’inertie du système par rapport à son axe de rotation.
II. Description.
Le montage comprend ( voir figure 4) :
- Un tambour monté sur roulement à billes, sur lequel est entouré un fil
souple. Le tambour tourne de l’axe, horizontal.
- Une tige solidaire du tambour, graduée de 2 cm en 2cm à partir de l’axe
- Deux masses cylindres M pouvant coulisser sur cette tige. Il existe trois
jeux de masses, soient M la masse la plus grosse, M’ celle de taille moyenne
et M* celle de petit taille.
- Un chronomètre.
- Une masse à accrocher au bout du fil.
14
r d
M
M
M
Figure 4.
III. THEORIE.
Inventaire des forces :
- Système la masse :m ( P , 1T )
système le tambour chargé des 2 masses )(: TM poids et réaction du support
dont les moments par rapport à sont nuls 1T -T . En supposant le fil de
masse négligeable, donc T = T (1)
Lors du mouvement, la masse acquiert l’accélération que l’on peut exprimer en
fonction de l’accélération angulaire du tambour.
.
15
est la tension du fil
+
M
M . r X’
axe de rotation
1T 1T
Figure 5 m
P X
r (2) ; 2
2
dt
d
L’équation fondamentale de la dynamique appliquée à la masse m en
mouvement donne, en projetant sur xx ' : mTP 1 :
mTmg 1
)()(1 rgmgmTT (3).
Le théorème du moment d’inertie appliqué au tambour donne :
.. IrT (4).
En utilisant (3) et (4) on obtient :
ImgrmgrrT )(. 2 .
D’où l’équation du mouvement du système :
)( 2mrI = )(mgr (5).
On pose : J= (I+mr2) et Mo= mgr.
r = rayon du cylindre
16
Equation du mouvement :
Modt
dJ
2
2 (6)
En posant : J= (I+mr2) et Mo= mgr.
Dans notre manipulation, Mo gardera une valeur constante.
Conditions initiales :
On lâche le tambour sans vitesse initiale et on prend l’origine des angles à
cet endroit là :
A l’instant 0t 0 et 0dt
d
Intégration de l’équation différentielle :
*On intègre (6) une première fois :
1KMotdt
dJ
teconsK tan1 = 0 car 0 à l’instant t=0
Motdt
dJ
*On intègre une deuxième fois
2
MoJ 2
2 Kt Où K2 = constante
02 K car à l’instant t=0
donc 2
2t
MoJ
Soit ( 2mrI ) 2.2
tmgr
(7)
Calculs des moments d’inertie :
Nous appellerons Ioz le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation du
tambour et de la tige graduée.
0
17
axe axe DG
d
- Figure 6-
Nous noterons I1 le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation d’une masse
mobile M.
I=I0+211
Le Théorème de Huygens dit que le moment d’inertie I1 d’un corps de masse M
par rapport à un axe Δ est égal à la somme du moment d’inertie I’ de ce corps
par rapport à un axe ΔG (parallèle à Δ et passant par son centre de gravité G)et
de 2Md où d est la distance de ΔG à Δ :
2'
1 MdII
Dans le cas de ce système, il y a une masse M de chaque côté donc :
'2
0 22 IMdII .
L’équation du mouvement prend la forme suivante :
( 2'2
0 22 mrIMdI ) 2
2rt
mg
(a).
Avec:
M : masse enfilée sur la tige (masse cylindre).
d : distance axe de rotation centre de gravité de M.
m : masse accordée a bout du fil.
r : rayon du tambour.
18
I0 : moment d’inertie par rapport à l’axe Δ du tambour non chargé, le
moment I’ vaut :
)43
(4
'
2
2
2
1
2 DDlMI
l
D1 D2
-Figure 7-
M : masse cylindre de diamètre intérieur D1 et de diamètre extérieur D2 et de
hauteur l.
IV. MANIPULATION
Généralités.
a)
b) Mesure.
On placera toujours la masse M de façon à ce qu’un de ses bords coïncide
avec une encoche E de la tige graduée et on placera l’autre masse M de telle
sorte que la tige reste horizontale quand il n’y a pas de masse m accrochée au fil.
2
lLd ou
2'
lLd (voir Figure 8).
19
axe
Encoche (E) I
M
L Fig 8
D
L’
c) comment placer les masses additionnelles.
Mesurer leur masse puis les placer à la même distance d de l’axe comme
indiqué dans a/. Mettre la tige horizontale et faire un réglage fin pour que le
tambour soit en équilibre ( le centre de gravité est alors sur l’axe).
Si les deux masses n’ont pas une valeur identique prendre pour les calculs la
moyenne des deux.
d) Mesure de .
Enrouler le fil sur la tambour en tendant le fil pour éviter les plis et y
accrocher une masse m, après avoir mesurer précisément la valeur de m.
Mettre la tige verticale, cette position sera prise comme origine des angles.
( = 0). Repérer chaque passage de la tige à cette position verticale.
sera mesuré en repérant un nombre entier N de tours.
Quelle relation lie en radiant et N ?
e) Préliminaires.
Mesurer l, D1, D2 (voir figure 7) et le diamètre (2r) du tambour avec le pied à
coulisse ; une précision au millimètre est suffisante : en déduire r.
G.
20
1°) Etude du mouvement
Prendre m= 40g placer les masses additionnelles M telles que leur centre
de gravité soit à d= 24,5 cm de l’axe ( l’axe du bord de la masse doit coïncide
avec le bord de la tige graduée).
Mesurer le temps ( pour faire un tour, 2 tours, 3tours, 4tours, 5tours, pour
chaque nombre N de tours, faire plusieurs mesures (au moins 3).
- Représenter N= ( )( 2tf ) en plaçant toutes les mesures faites.
N t1 t2 t3 t t t2 t
2
1
2
3
4
5
Quelle courbe obtient-on ? Dessiner la droite C1 moyenne passant au
milieu des points.
Conclusion : que peut-on dire de '' ? Quel type de mouvement a le
tambour ? Calculer la pente de la droite C1 obtenue et en déduire '' .
2°) Détermination de I0.
- Prendre m=30g ( mesurer précisément cette masse ).
- calculer I’, mr2, Md
2 pour d=10cm et démontrer que pour d>10cm
J= I0+2Md2+2I’+mr
2=I0+2Md
2.
On prendra dans la suite des calculs:
J=I0+2Md2
- Tracé de la courbe )( 22 dft
- Mesurer plusieurs fois le temps nécessaire pour faire quatre tours, pour les
distances d=24,5cm ; 20,5 ; 16,5cm ; 12,5cm ; 5cm
- Représenter graphiquement )( 22 dft en plaçant touts les mesures
21
d(cm) d2
t1 t2 t3 t t t2 t
2
24,5
20,5
16,5
12,5
5
A noter que :
- N = 4 tours (nombre de tours)
d = 0.2 cm
- Quelle courbe obtient-on ?
L’équation (8) est de la forme .22 badt calculer littéralement a et b
d’après cette équation.
- Tracer une droite C2 passant au milieu des points. Mesurer b sur le graphe
et en déduire I0.
- Vérifier que l’approximation 2
0 2MdIJ était valable ( '20 II et 2mr )
Conclusion :
Que pensez-vous de cette méthode de mesure d’un moment d’inertie ?
Quelle sont les principes causes d’incertitude ?
Facultatif :
Refaire la même expérience avec les masses M’. soit C’2 la droite
obtenue.
Recalculer I0 par la même méthode et comparer avec le résultat précédent.
Calculer les pentes des droites 2C et '
2C (soit a et 'a ). Calculer '/ aa et
comparer à './ MM conclusion.
22
PENDULE DE TORSION I. But de la manipulation.
Le but de cette manipulation est la détermination de la constante de torsion d'un ressort
en forme de spirale puis les mesures du moment d'inertie de certains solides et la vérification
du théorème de Huygens.
II. Appareillage et principe.
L'appareillage se compose d'un pied en A sur lequel est fixé un axe de rotation portant
un ressort en forme spirale de constante de torsion C.
Les corps d'essais sont fixés sur cet axe qui passe par leurs centres de gravité. Ils sont
formés par :
- Une tige métallique de masse 185 g qui peut être surchargée par deux masselottes de
forme cylindrique de 240 g chacune et qui peuvent coulisser sur la tige.
- Un cylindre métallique creux de diamètre extérieur 90 mm, de diamètre intérieur
86,5 mm, de hauteur 90 mm et de masse 0,35 Kg
- Une sphère pleine en bois de diamètre 145 mm et de masse 0,36 Kg.
- Un disque métallique de diamètre 400 mm et de masse 0,74 Kg. Celui-ci sera utilisé
pour vérifier le théorème de Huygens.
Le moment d'inertie de la tige toute seule par rapport à l'axe passant par son centre de
gravité est donné par :
Ioz r
2 dm
la tige étant homogène et de masse linéique :
l
m
dr
dm
par conséquent :
2/
2/
22/
2/
2
0
l
l
l
lOz drr
l
mdrrII
soit : 123
22/
2/
3
0
mlr
l
mI
l
l
.
Le balancier ( tige, cylindre, sphère, ... ) étant écarté de sa position d’équilibre d'un
angle ( de préférence dans le sens du bobinage spiral ), on le lâche sans impulsion initiale.
Le système est alors soumis à un couple de rappel :
M = - C.
Dans le cas où on néglige les forces de frottement, l’équation de son mouvement est
donnée par :
02
2
Cdr
dIOz
23
IOz
étant le moment d'inertie du balancier par rapport à l'axe de rotation. La solution
générale de cette équation est de la forme :
m sin (t + ).
Les constantes m et sont déterminées à partir des conditions initiales.
La période du mouvement est :
On remarque l'isochronisme des oscillations, c'est-à-dire que : IOz et C étant fixés, la
période ne dépend pas de l'amplitude.
Théorème de Huygens. (Fig. I.1)
IGz : moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Gz.
I: moment d'inertie du solide par rapport à l'axe
Gz : axe passant par le centre de masse de (S) et parallèle à .
alors : I = IGz + md2 ; où d est la distance entre les axes et Gz.
Fig. I.1.
Dans notre cas, nous avons : système = barre + 2 masselottes.
.G
Masselotted
axe OZ
G
axe IGZ
.
axe IGZ
Tige
Fig. I.2.
Isyst/Oz = I
0 + 2IOz
Isyst/Oz = I0
+ 2IGz
+ 2md2
T
2
2
Ioz
C
G
Z
d(S)
24
IGz
est le moment d'inertie d'une masselotte par rapport à Gz ( axe parallèle à l'axe de
rotation Oz et passant par son centre de gravité G ).
III. Manipulation.
1°) Calculer le moment d'inertie I0 de la tige à vide.
2°) Fixer la tige sur le balancier et mesurer sa période d'oscillations. Pour cela l’écarter
de sa position d’équilibre d'un petit angle ( environ 30° ) puis d'un grand angle ( environ
80° ). Noter la période moyenne. En déduire la constante de torsion C du ressort avec son
incertitude C.
Remarque : On déclenche le chronomètre à un moment quelconque du mouvement et on
compte trois ou quatre périodes.
3°) a) Placer les deux masselottes symétriquement sur la tige puis mesurer les périodes
d'oscillations pour les différentes positions possibles d des deux masselottes sur la tige.
Présenter les résultats sous la forme du tableau suivant :
d (cm) d2
(cm2
) d2
(cm2
) T (s) T (s) T2
(s2
) T2
(s2
)
25
20
15
10
5
b) Tracer la courbe T2
= f(d2
). En déduire de nouveau la constante de torsion C avec
son incertitude et la comparer avec la valeur précédente.
c) En déduire aussi de la courbe le moment d'inertie IGz par rapport à Gz d'une
masselotte avec son incertitude.
4°) Placer les différents corps d'essais sur le balancier et mesurer leurs moments
d'inertie I par rapport à Oz.
5°) Vérifier le théorème d'Huygens à l'aide du disque métallique disposant de neuf
trous comme points de fixation sur l'axe de rotation.
25
Conservation de l’énergie mécanique
Roue de Maxwell
1. Objectifs de l’expérience :
Introduire le concept de la conservation de l’énergie mécanique
Déterminer le moment d'inertie de la roue de Maxwell
Déterminer, en fonction du temps au moyen de la roue de Maxwell :
o l'énergie potentielle,
o l’énergie de mouvement de translation,
o l'énergie de rotation.
2. Principe de I’ expérience :
Un disque, pouvant se dérouler avec son axe le long de deux cordes, est en mouvement
dans le champ gravitationnel. L'énergie potentielle, l'énergie cinétique de translation et
l'énergie de rotation se transforment mutuellement du l’une à l’autre et sont déterminées en
fonction du temps.
3. Montage et procédure :
Fig. 1 : Dispositif expérimental pour étudier la conservation de l'énergie, en utilisant la roue
de Maxwell.
7,8
4
5
6
9
1
2
3
1
1
1
2
10
1- Pied de support en "A" PASS
2- Tige carrée PASS, / = 1000 mm
3- Mètre de démonstration. / - 1000 x 27
mm
4- Dispositif d'arrêt avec déclenchement
5- Curseur pour mètre, rouge, plastique,
une paire
6- Roue de Maxwell
7- Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A,
rouge, / 100 cm
8- Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, bleu,
/100 cm
9- Barrière optique avec compteur
10- Adaptateur, fiche BNC / douille 4 mm
11- Capacité 100nF/250V, Gl
12- Alimentation 5 V DC/2.4 A avec fiches
4mm
26
Le dispositif expérimental est indiqué dans les Fig. 1 et 2. On utilise la vis de réglage
sur la tige de support, afin que l'axe de la roue de Maxwell, dans l'état déroulé, soit aligné
horizontalement. A la libération, les enroulements doivent s’exécuter à l'intérieur. Le nombre
d'enroulement doit être approximativement le même sur les deux côtés. Il est essentiel de faire
quelques essais, pour les premiers mouvements de haut en bas de la roue, puisque un montage
incorrect (traversé vers l'extérieur) produit un mouvement "gyroscopique" de la roue.
Le commutateur, la goupille engagée dans l’un des trous dans la circonférence de la roue,
est utilisée pour libérer la roue mécaniquement et de démarrer le compteur au même moment
afin de déterminer la distance et le temps. Le commutateur de libération doit être ajusté pour
que la roue n’oscille pas ou roule après le départ. Par ailleurs, les cordons doivent toujours
être enroulés dans le même sens à chaque démarrage.
i. Mesure du temps t du parcours s de la roue du début jusqu’à atteindre la cellule
électrique.
Appuyez sur le fil du système de déclanchement et le verrouiller en place, insérer le
système de déclenchement dans l’un des trous de la roue (Fixer la roue).
Placez la touche de sélection de la barrière optique à fourche sur :
(3ème
position)
Appuyez sur le bouton "Reset" de la barrière optique.
Desserrer le bouchon du système de déclanchement, la roue se mis en mouvement et
appuyer sur le système de déclenchement sans le relâcher et le verrouiller de nouveau
en place et le compteur de la cellule photoélectrique commence à mesurer le temps.
Après le passage de la roue à travers le rayon lumineux, le système de déclanchement
est enfoncé à nouveau et le compte est interrompu.
ii. Mesure de t pour déterminer la vitesse v de translation
Enlever les fils de connexion entre le système de déclenchement et le condensateur.
Fixer la roue dans la position de départ.
Placer la touche de sélection sur (2ème
position) de la barrière
optique à fourche.
Desserrer le bouchon du système de déclenchement, la roue se met en mouvement, le
compteur de la barrière optique est encore en arrêt.
Dès que l'axe de rotation de la roue entre dans la cellule photoélectrique, le compteur
démarre et s'arrête quand l’axe passe devant le rayon lumineux.
27
Fig. 2 : Raccordement de la barrière optique (LB)
La vitesse instantanée est calculée à partir du temps de passage ( ) de l’axe de la
roue à travers la cellule photoélectrique
Où est le temps depuis le début jusqu'à ce l’axe de la roue atteint la cellule
photoélectrique.
4. Considérations Théoriques:
L'énergie totale E de la roue de Maxwell, de masse m et de moment d'inertie lz (autour
de l'axe de rotation), est composée de l'énergie potentielle Ep, l'énergie de translation ET et
l'énergie de rotation ER:
(1)
Où, désigne la vitesse angulaire, la vitesse de translation, l'accélération due à
la gravité et s la hauteur (négatif).
Fig. 3: Relation entre l'augmentation de l'angle et la diminution de la hauteur dans la
roue de Maxwell.
28
Avec les notations de la Fig. 3, on a :
et
Où est le rayon de l’axe de la roue.
Dans le cas présent, est parallèle à et est perpendiculaire à , de sorte que
Puisque l'énergie totale E est constante au court du temps, la dérivée de E donne :
D’où l’accélération
Pour les conditions initiales : et , on obtient :
et
5. Etude expérimentale :
On donne la masse de la roue : m = 0,436 kg et le rayon de l'axe :
1- Etude de la hauteur en fonction du temps d’un mouvement uniformément
accéléré :
29
Pour différentes valeurs de , mesurer trois fois le temps de parcours et remplir le
tableau suivant : 3éme
position, desserrer, déclencher le système, puis desserrer
s (cm) 10 20 30 40 50 60
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
tmoy (s)
t2
moy (s2)
Δt(s)
Δt2(s
2)
Tableau (1)
Avec Δ(t) = sup|tmoy-ti| Δ(t2) = 2tΔ(t) Δs=2r = 2x2,5=5mm
a- Tracer sur un papier logarithmique (log-log), la courbe en fonction de tmoy et
déterminer la pente de la courbe. En déduire l’exposant de l’équation de en
fonction de t.
b- Tracer sur un papier millimétré la courbe en fonction de t2 et déterminer la pente
de la courbe.
c- En déduire de l’équation (4), la valeur de l'accélération et le moment d’inertie de la
roue , on prend comme valeur de l’accélération de la pesanteur
d- Conclusion.
30
2- Etude de la vitesse en fonction du temps d’un mouvement uniformément
accéléré :
Pour différentes valeurs de indiquées au tableau (2), mesurer trois fois le temps de
passage de l’axe de la roue et remplir le tableau 2 ci dessous. En déduire la vitesse
instantanée :
s (cm) 10 20 30 40 50 60
∆t1 (s)
∆t2 (s)
∆t3 (s)
∆tmoy (s)
V (m/s)
Tableau (2)
a. Tracer sur un papier logarithmique (log-log), la courbe en fonction de tmoy du tableau (1)
et déterminer la pente de la courbe. En déduire l’exposant de l’équation de en fonction de
t.
b. Tracer sur un papier millimétré la courbe en fonction de tmoy du tableau (1) et
déterminer la pente de la courbe.
c. En déduire de l’équation (6), la valeur de l'accélération et le moment d’inertie de la
roue , on prend comme valeur de l’accélération de la pesanteur
d. Conclusion
31
3- Etude de la conservation de l’énergie totale :
En utilisant les résultats précédents, calculer et remplir le tableau suivant pour différentes
valeurs de s :
- L’énergie potentielle :
- L’énergie de translation:
- L’énergie de rotation :
s (m) 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
tmoy (s)
V2 (m/s)
2
EP (Nm)
ET (Nm)
ER (Nm)
Etotale (Nm)
Tableau (3)
a- Tracer sur un papier millimétré les courbes en fonction de tmoy
b- Comparer les courbes de et .
c- Conclusion sur l’énergie totale.
d- Si on abandonne la roue en mouvement d’une hauteur fixe pendant un temps plus long,
va-t-elle s’arrêter, expliquer ?
32
Détermination de la constante de Gravitation
par la balance de Cavendish assistée par ordinateur
1. Objectifs de l’expérience:
1. Etalonner la balance au point zéro (position d’équilibre initiale du pendule de torsion),
2. Relever l’évolution temporelle des oscillations amorties à la position d’équilibre finale
du pendule de torsion selon la méthode d'équilibre et celle de résonance,
3. Déterminer la période des oscillations,
4. Déterminer les angles de déviation selon la méthode d'équilibre et celle de résonance,
5. Déterminer la constante gravitationnelle à l'aide de la méthode d'équilibre et la
méthode de résonance.
2. Principe de l'expérience:
Deux petites sphères de plomb de masse équivalente sont placées chacune à l'extrémité du
fléau qui est suspendu par un mince filament de tungstène afin qu'il puisse osciller librement
autour de sa position d'équilibre. Lorsque deux autres sphères de plomb plus grosses, placées
sur un bras pivotant, sont approchées des petites sphères, les forces d'attraction résultant de la
gravitation exercent une accélération des petites sphères en direction des plus grosses sphères.
Au même moment, le fil de métal en torsion génère un moment de rotation et le fléau est
soumis à une oscillation amortie autour d'une nouvelle position d'équilibre. La constante
gravitationnelle peut être déterminée tant à partir de l'angle de rotation des différentes
positions d'équilibre que du comportement dynamique du système d'oscillation pendant
l'attraction. Un capteur capacitif intégré produit une tension directe qui est proportionnelle à
l'angle de déflexion. Il peut être enregistré dans le temps par un système d'interfaces et la
valeur de l'angle de rotation nécessaire sera ainsi déterminée.
3. Matériels utilisés:
1. Balance de Cavendish assistée par ordinateur,
2. Câble de données,
3. Niveau à bulle Circulaire 36 mm.
Figure 1 : Dispositif expérimental.
33
4. Description de la balance de Cavendish:
Figure 2 : la balance de Cavendish
La balance de Cavendish permet de mettre en évidence la force de gravitation entre deux
masses et de définir la constante gravitationnelle. La pièce centrale de la balance est un
pendule de torsion composé d’un fléau longitudinal et de deux petites sphères de plomb
suspendues horizontalement à un mince filament de tungstène. La position de repos est
influencée par la force de gravitation des deux grandes sphères de plomb sur les deux petites
sphères. Après le basculement des grandes sphères dans une nouvelle position, le pendule de
torsion oscille autour de la position de repos modifiée. La rotation est mesurée à l’aide d’un
capteur capacitif différentiel qui supprime les niveaux de bruit et de vibration dans le signal
puis enregistrée sur un ordinateur.
1 Pieds réglables,
2 Fléau longitudinal extérieur pour les deux
grandes sphères de plomb,
3 Capteur capacitif différentiel,
4 Connexion USB,
5 Tige de centrage,
6 Fléau longitudinal intérieur pour les deux petites
sphères de plomb,
7 Suspension inférieure avec miroir,
8 Filament de tungstène,
9 Suspension supérieure,
10 Support pivotant avec échelle angulaire.
Figure 3 : Composants de la balance de Cavendish
34
5. Manipulation:
5.1. Consignes concernant le lieu de l’expérience :
Le capteur capacitif différentiel supprime les niveaux de bruit et de vibration dans le
signal. Malgré tout, il est nécessaire de choisir un poste de travail à l’abri des vibrations. De
fortes vibrations (par exemple des claquements de portes) ne peuvent pas être supprimées et
entrainent sûrement la déformation du signal.
5.2. Réglage de la plage de mesure :
Retirer les vitres du boîtier,
Visser la tige en aluminium à filetage au centre sur le fléau longitudinal intérieur. Le
monter ensuite dans le boîtier de la balance et l’orienter de sorte que le fléau
longitudinal se trouve au centre entre les deux platines de capteur,
Installer les vitres. Connecter la balance à l’ordinateur et lancer le logiciel. Dans le
logiciel, cliquer sur le bouton « Setup »,
Tourner le fléau longitudinal extérieur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
à l’aide du support, jusqu’à ce qu’il touche la vitre,
Appuyer sur le bouton « Adjust left border » dans la boîte de dialogue « Setup »,
confirmer avec « OK » et définir ainsi la limite inférieure de la plage de mesure.
Tourner à présent le fléau longitudinal extérieur dans le sens des aiguilles d’une
montre jusqu’à ce qu’il touche à nouveau la vitre. Appuyer alors sur le bouton
«Adjust right border » dans la boîte de dialogue « Setup », confirmer avec « OK » et
définir ainsi la limite supérieure de la plage de mesure.
Le fléau longitudinal intérieur a été conçu avec des tenons à ses extrémités, de sorte qu’il
oscille toujours sur une plage linéaire des plaques de condensateur. Le logiciel de mesure
enregistre toutes les valeurs de mesure comprises entre +60 et -60 mrad, le fléau longitudinal
intérieur oscille normalement pendant l’expérience entre des valeurs en mrad inférieures.
5.3. Montage du pendule de torsion :
Le montage du pendule de torsion est une tâche difficile, qui exige de la patience et une
bonne vue. Le filament de tungstène est très mince et fragile, c'est pourquoi il doit être
manipulé avec beaucoup de précautions. Pour que le filament soit bien visible, il est
recommandé d’effectuer le montage du pendule de torsion sur du papier blanc.
Placer la balance à l’horizontale sur une table de travail à l’abri des vibrations,
Visser la suspension inférieure au centre sur le fléau longitudinal intérieur. Pour cela,
veiller à ce que la surface soit parallèle au fléau longitudinal,
Dévisser les vis de fixation des deux suspensions,
Attacher la suspension supérieure avec un morceau de bande adhésive sur une feuille
de papier blanc, afin de l'empêcher de rouler,
Dérouler 8 à 10 cm de filament de tungstène du rouleau, mais ne pas le couper,
Attacher l’extrémité du filament sur le papier à côté de la suspension supérieure avec
un morceau de bande adhésive. Faire ensuite passer le filament autour de la vis de
35
fixation et serrer la vis. Pour ce faire, veiller à ce que le filament ne soit pas déformé.
Le filament doit se dérouler le plus possible au centre entre les deux suspensions,
Placer ensuite la suspension inférieure sur le papier environ 4 à 5 cm sous la
suspension supérieure. Guider le filament autour de vis de fixation en tirant
légèrement dessus et serrer la vis.
Couper le filament sur le rouleau.
Attacher avec précaution le pendule de torsion au niveau de la suspension supérieure à
un statif et contrôler l’horizontalité du fléau longitudinal.
Pour mettre le fléau longitudinal à l’horizontale, retirer à nouveau le pendule de
torsion du statif et le poser avec précaution sur la table. Desserrer la vis de la
suspension inférieure, maintenir la suspension avec la main et déplacer en
conséquence le fléau longitudinal. Resserrer la vis et contrôler le positionnement.
Introduire avec précaution le pendule de torsion.
5.4. Réglage du point zéro :
Placer les grosses sphères de plomb sur le fléau longitudinal extérieur en position 1
(figure 4) et patienter jusqu'à ce que les oscillations s’atténuent. Le cas échéant, ré-
étalonner le point zéro.
S'il est nécessaire de ré-étalonner le capteur, effectuez les étapes suivantes:
Vérifier que l'un des fentes de la balance se trouve en face de la broche de
calibrage, sinon,
Faire pivoter le fil de tungstène en tournant soigneusement la vis sur le dessus
de la balance jusqu'à un bord du fléau soit en contact avec la vitre.
Utilisez le bouton "Setup" pour ouvrir le dialogue de configuration. En
cliquant sur l'un des "Ajuster" symboles, définir cette position pour une valeur
de ± 75 mrad.
Tourner le fil de tungstène dans la direction opposée en tournant la vis sur le
dessus de la balance jusqu'à ce que le bord du fléau soit en contact avec la vitre
de verre opposée.
Cliquez sur l'autre symbole "Ajuster" fixera cette position que la seconde
limite.
Confirmez le dialogue avec le bouton "Ok".
Les paramètres logiciels suivants sont recommandés pour l'ajustement de décalage :
- Range: 20%
- Taux d'échantillonnage: 10 Hz;
- Nombre de points: 4096 (6 min et 49,6 s);
- LPF: NO.
Placer le fléau longitudinal extérieur en position 2 et démarrer la mesure,
Conserver le montage expérimental ainsi pour la suite de l’expérience,
Lorsque les petites sphères ont presque atteint leur position d’équilibre, déplacer le
fléau longitudinal extérieur en position 3,
36
Une fois que les petites billes ont presque atteint leur nouvelle position d’équilibre,
arrêter les mesures,
Enregistrer la courbe de mesure.
Position 1 Position 2 Position 3
Figure 4: Positions du fléau longitudinal extérieur (vue de dessus)
6. Etude théorique:
6.1. Détermination de la constante d’amortissement et la période d’oscillation:
L’équation différentielle du mouvement du système s’écrit :
(1)
où est le moment d’inertie du système oscillant (fléau longitudinal intérieur), est le
coefficient d’amortissement, est le couple des forces d’attraction et
est la
constante de torsion.
Nous devons calculer la période d’oscillation T du fléau qui sera utilisé pour déterminer la
constante de gravitation en utilisant la méthode, d’équilibre, dynamique.
La variation de l’angle d’oscillation libre du fléau est solution de l’équation (1), soit :
(2)
où est la position d’équilibre, généralement non nulle et est l’amplitude initiale.
Posons , d’après l’équation (2), on a :
⇒
⇒
⇒
⇒
Pour 3 valeurs successives de , la valeur de d’oscillation amorti est donnée par :
(3)
La valeur de x est déterminée par l’équation (3), soit :
(4)
37
Une valeur plus précise de x est obtenue en faisant la moyenne de x pour plusieurs
triplets de
6.2. Détermination de la constante gravitationnelle utilisant la méthode d’équilibre:
Par la méthode d’équilibre, la constante de gravitation est déterminée à partir de la
position d'équilibre du fléau intérieur lorsque les deux grandes sphères sont portées à leurs
positions extrêmes, c'est-à-dire, à partir des déviations extrêmes après le basculement du fléau
entre les deux positions d'équilibres. Lorsque le fléau est au repos et les grandes sphères sont
dans leur position neutre, la position d’équilibre est déterminée par l’angle . Lorsqu'elles
atteignent une position extrême, le fléau oscille autour de la position de repos et il oscille
autour de la position de repos , lorsqu’elles atteignent l’autre position extrême (figure 5).
L’angle de déviation requis pour le calcul de la constante de gravitation est donné par :
(5)
Si le moment de la force de gravitation est égal au moment de la force de torsion du
filament, la condition de la position d’équilibre du fléau satisfait la relation :
(6)
où D est la constante de torsion du fil fin de tungstène auquel est accroché le fléau du
pendule. est le moment d’inertie du système oscillant donné par :
(7)
où est le moment d’inertie du fléau de longueur et de largeur donné par :
(8)
est le moment d’’inertie de deux petites sphères de plomb de rayon et de masses m
donné par :
(9)
2 est le moment d’inertie des deux trous de rayon et de masse se trouvant aux
extrémités du fléau où les petites sphères peuvent être placées :
(10)
Le moment d’inertie du système oscillant est donc:
(11)
La force de gravitation a trois composantes :
Force d’attraction entre les grandes sphères et les petites sphères les plus proches
Force d’attraction entre les grandes sphères et les petites sphères les plus éloignées
Force d’attraction entre les grandes sphères et le fléau à 2 trous
Le moment de la force gravitationnelle est donc :
38
(12)
qui peut encore s’écrire sous la forme :
(13)
(Voir annexe pour un calcul détaillé des corrections et ).
En utilisant (6) et (11), on obtient l’expression de la constante gravitationnelle, soit :
(14)
où est l’angle de déviation donné par l’équation (5) en fonction de et .
Figure 5: Représentation schématique des angles de déviation des positions extrêmes des grandes
sphères dans la balance de torsion de Cavendish.
Manipulation de la méthode d’équilibre:
Effectuer l'essai selon les étapes suivantes:
1. Démarrer le logiciel,
2. Choisir "taux d'échantillonnage" et "Nombre de points", par exemple, 5 Hz et 32768 points,
3. Cliquer sur le bouton "Range" et faites décroitre l'amplitude de l’angle de déviation en choisissant
une gamme (%). Une gamme de 5% ou 10% sera suffisante et l’amplitude sera de l'ordre de
quelques mrad,
4. Assurer que le filtre passe-bas («LPF») est réglé sur "NO LPF",
5. Vous pouvez utiliser le bouton «zéro Adjust" pour le réglage du point zéro,
6. Démarre le bouton "Record",
7. Tourner le fléau longitudinal extérieur qui détient les grandes sphères de plomb jusqu'à ce qu'elles
touchent doucement la vitre, garder cette installation et enregistrer au moins trois oscillations,
8. Tourner le fléau longitudinal extérieur dans la direction opposée, jusqu'à ce que les sphères
effleurent la vitre, garder cette installation et enregistrer au moins trois oscillations,
9. Répéter ces rotations alternées autant de fois que vous le souhaitez,
10. Arrêter la mesure en appuyant sur le bouton "Stop" et enregistrer vos données de mesure avec le
bouton "Save".
La figure 6 ci-dessous représente un exemple d'une courbe de mesure de l'angle de déviation du
pendule de torsion en fonction du temps après deux changements des positions extrêmes de mesure
pour les grandes sphères.
39
Figure 6 : Angle de déviation du pendule de torsion en fonction du temps obtenu par la méthode
d’équilibre
et peuvent être déterminés selon les expressions suivantes :
(15)
(16)
6.1. Détermination de la constante gravitationnelle utilisant la méthode de résonance:
Lorsque les grandes sphères atteignent des positions extrêmes en phase, alors l'oscillation
du pendule atteint l'état de résonance. Dans la position extrême, la distance entre les petites et
les grandes sphères est constante ( = const), de même la force de gravitation et son moment
sont constants. est la position stable du pendule et la déviation si la grande sphère est
amenée à sa position extrême, alors est la nouvelle position de repos. L'équation
de déviation en fonction du temps s'écrit alors:
(17)
où est l'angle de déviation initiale (t=0).
Si la grande sphère est portée à la deuxième position extrême, le second angle de déviation
s'écrit:
avec (18)
Si la grande sphère est portée à sa troisième position extrême (t = T), l'angle de déviation
s'écrit:
(19)
D'après les équations (18) et (19), on a:
40
(20)
(21)
D'après l'équation (17), la position stable du pendule peut être calculée à partir de trois
angles de déviation (Equation (3)) et pour une valeur de connue, peut être calculée selon
l'expression suivante:
(22)
Manipulation de la méthode de résonance:
Effectuer l'essai selon les étapes suivantes:
1. Démarrer le logiciel,
2. Choisir "taux d'échantillonnage" et "Nombre de points", par exemple, 10 Hz et 12481
points,
3. Cliquer sur le bouton "Range" et faites décroitre l'amplitude de l’angle de déviation en
choisissant une gamme (%). Une gamme de 10% sera suffisante et l’amplitude sera de
l'ordre de quelques mrad.
4. Assurez-vous que le filtre passe-bas («LPF») est réglé sur "NO LPF",
5. Vous pouvez utiliser le bouton «zéro Adjust" pour le réglage du point zéro,
6. Démarrez le bouton "Record",
7. Tourner le fléau longitudinal extérieur qui détient les grandes sphères de plomb jusqu'à ce
qu'elles touchent doucement la vitre, garder cette installation et observer,
8. Lorsque la valeur d’amplitude atteint son point d'inflexion, tourner le fléau longitudinal
extérieur dans le sens opposé jusqu'à ce que les sphères touchent légèrement la vitre,
9. Répétez la rotation à chaque point d’inflexion jusqu’à ce que l’amplitude maximale
atteigne une valeur constante
10. Arrêter la mesure en appuyant sur le bouton "Stop" et enregistrer vos données de mesure
avec le bouton "Save".
La figure 7 ci-dessous représente un exemple d'une courbe de mesure de l'angle de
déviation du pendule de torsion en fonction du temps après deux changements des positions
extrêmes de mesure pour les grandes sphères en utilisant la méthode de résonance.
En utilisant (6) et (11), on obtient l’expression de la constante gravitationnelle, soit :
(23)
où est l’angle de déviation donné par l’équation (22) en fonction de et .
41
Figure 7 : Angle de déviation du pendule de torsion en fonction du temps obtenu par la méthode de
résonance
Travail demandé :
En utilisant les deux méthodes exposées ci-dessus:
Pour la méthode d’équilibre:
Réaliser l’expérience de Cavendich en utilisant la méthode d’équilibre,
Relever sur PC, la courbe représentante l’angle de déviation du pendule de torsion en fonction
du temps t (figure 6),
Déterminer la période des oscillations ,
Déterminer l’angle de déviation
, voir équations (15) et (16).
Déterminer le moment d’inertie I du système, voir équation (11).
En déduire la constante de gravitation voir équation (14).
Pour la méthode de résonance:
Réaliser l’expérience de Cavendich en utilisant la méthode de résonance,
Relever sur PC, la courbe représentante l’angle de déviation du pendule de torsion en fonction
du temps t (figure 7),
Déterminer la période des oscillations ,
Déterminer l’angle de déviation à partir de cette courbe et en utlisant l’éq. (22),
Calculer la constante de gravitation , voir équation (11) et (23).
Comparer les deux méthodes de calcul de la constante de gravitation G,
Conclure
42
Exemple de données utilisées pour la détermination de la valeur de la constante de
Gravitation G :
- M: Masse moyenne de la grande sphère de Plomb = 1.049 kg.
- m: Masse moyenne de la petite sphère de Plomb = 14,50 10-3
kg
- rS: Rayon moyen de la petite sphère de Plomb = 0,67 10-2
m
- rL: Rayon moyen de la grande sphère = 2,82 10-2
m
- d: Distance entre l'axe de rotation et le centre de la petite sphère = 6,66 10-2
m
- R: Distance entre les centres de la petite et de la grande sphère dans une position
extrême = 4,62 10-2
m
- mb: Masse du fléau de la balance = 7,05 10-3
kg
- lb: Longueur du fléau de la balance = 14,9 10-2
m
- wb: Largeur du fléau de la balance = 1,29 10-2
m
- mH: Masse des trous du fléau = 0,34 10-3
kg
- db: Epaisseur du fléau = 0,14 10-2
m
- w: Distance entre les surfaces extérieures des plaques de verre = 3,5 10-2
m
- rh: Rayon des trous du fléau pour la tenue des petites sphères = 0,45 10-2
m
- ρAl: Densité d'aluminium du fléau = 2,7 103 kg m
-3
- f1: Facteur de correction = 0,0352
- f2: Facteur de correction = 0,202