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BCPST29

52 1 Révisions d'analyse

I Etude de suites récurrentes linéaires

K désigne R ou C suivant le contexte.

A) Suites récurrentes linéaires d'ordre 1

Dé�nition :Une suite est dite récurrente linéaire d'ordre 1 si elle est dé�nie par la relation de récurrence :

∀n ∈ N, un+1 = qun + f(n)

où q ∈ K et f est une fonction dé�nie sur N.

Remarque:Lorsque f = 0, la relation est dite sans second membre et on reconnait évidemment unesuite géométrique dont l'expression générale est un = u0q

n .

Cas des suites arithmético-géométrique

Méthode

On considère les suites véri�ant

∀n ∈ N, un+1 = qun + a

où q ∈ K, q 6= 1 et a ∈ K.¬ On commence à rechercher les suites constantes solution de l'équation :

on résout donc λ = qλ+ a dont l'unique solution est λ =a

1− q On véri�e qu'une suite (un) est solution si et seulement si wn = un − λ est une suite

géométrique de raison q.Pour cela, e�ectuer la di�érence des déux lignes :

{un+1 = qun + aλ = qλ+ a

® On obtient alors wn = w0qn puis un = (u0 − λ)qn + λ

Etude en présence d'un second membre

Méthode

Ceci est une généralisation de la méthode précédente, ce n'est pas un résultat à connaître.

Mais comprendre comment cela fonctionne est éclairant.

On note :

â S l'ensemble des suites véri�ant une équation du type : ∀n ∈ N, un+1 = qun + f(n)

â S0 l'ensemble de celles véri�ant : ∀n ∈ N, un+1 = qun. Ainsi S0 = {(λqn)n∈N, λ ∈ K}.Soit (vn)n∈N un élément particulier de S (dite solution particulière) alors les suites (un)n∈Nde S s'écrivent sous la forme :

∀n ∈ N, un = λqn + vn

où λ ∈ K et peut-être déterminé par la donnée de u0

2014-2015 C. Courant page 1

B) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Dé�nition :Une suite est dite récurrente linéaire d'ordre 2 (avec second membre) si elle est dé�nie par la relationde récurrence :

∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun + f(n)

où a, b ∈ K et f est une fonction dé�nie sur N.

Proposition : Résolution du cas sans second membre

On considère donc une suite vérifant une relation de récurrence du type :

∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun

On appelle équation caractéristique associée l'équation : (e) r2 = ar + b .

G (e) admet deux racines distinctes r1 et r2.Les solutions sont de la forme :

∀n ∈ N, un = λ(r1)n + µ(r2)

n avec λ, µ ∈ K

G (e) admet une racine double r0.Les solutions sont de la forme :

∀n ∈ N, un = (λ+ µn)(r0)n avec λ, µ ∈ K

G On cherche à résoudre dans R et (e) n'admet de racines réelles.(e) admet deux racines complexes conjuguées :

r1 = ρ exp(iθ), r2 = ρ exp(−iθ) où ρ ∈ R∗+, θ ∈ R[2π].Les solutions sont de la forme :

∀n ∈ N, un = λ(r1)n + µ(r2)

n avec λ, µ ∈ C

ou encore∀n ∈ N, un = ρn(α cos(nθ) + β sin(nθ)) avec α, β ∈ R

Les constantes sont à déterminer à l'aide de u1 et u0.

Etude en présence d'un second membre

Méthode

Ceci est une généralisation de la méthode précédente, ce n'est pas un résultat à connaître.

Mais comprendre comment cela fonctionne est éclairant.

On note :

â S l'ensemble des suites véri�ant : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun + f(n)

â S0 l'ensemble de celles véri�ant : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun.

Soit (vn)n∈N une élément particulier de S (dite solution particulière) alors les suites (un)n∈Nde S s'écrivent sous la forme :

∀n ∈ N, un = wn + vn

où (wn)n∈N ∈ S0.

2

II Etude d'une suite dé�nie par un+1 = f(un)

A) Dé�nition de la suite

Pour montrer que la suite est bien dé�nie, il est souvent nécessaire de montrer par récurrence unepropriété du type

Pn : “un existe et un ∈ Ioù I est un intervalle stable par f , c'est-à-dire f(I) ⊂ I.

B) Recherche d'une éventuelle limite de la suite

Remarque:

Si f est continue sur I et si la suite u converge, alors sa limite l véri�e f(l) = l.

Ce résultat ne permet en aucun cas de conclure que la suite converge.

Cependant, il permet :

G Si l'équation f(l) = l n'a pas de solution alors on pourra conclure que la suite ne converge pas.

G Si on a montré par ailleurs que la suite converge (par exemple qu'elle est monotone et bornée),alors il permet de calculer la limite.

C) Monotonie de la suite

Dans le cas où f est croissante, on peut montrer par récurrence que la suite (un) est monotone.Il faut le rédiger à chaque fois.

G Si u0 ≤ u1, alors la suite u est croissante.

G Si u0 ≥ u1, alors la suite u est décroissante.

D) Etude des suites de rangs pairs et de rangs impairs

Dans le cas où f est décroissante, on peut montrer par récurrence que les suites (u2n) et (u2n+1)sont monotones de sens contraire.

Il faut ici aussi le rédiger à chaque utilisation.

G Si u0 ≤ u2, alors la suite (u2n) est croissante et (u2n+1) décroissante.

G Si u0 ≥ u2, alors la suite (u2n+1) est croissante et (u2n) décroissante.

Remarque:Si on peut montrer par ailleurs, que ces deux suites sont bornées alors elles convergeronttoutes les deux, et si elles ont en plus la même limite alors (un) sera convergente.

E) Utilisation du TAF

On considère un point �xe de f , noté l. Si f est de dérivable et bornée par M , on peut utiliser lethéorème des accroissements �nis pour obtenir :

∀n ∈ N, |un+1 − l| ≤M |un − l|

Puis par récurrence :∀n ∈ N, |un − l| ≤Mn|u0 − l|

Si par chanceM < 1, ceci assure la convergence de la suite (un) vers l et donne en plus une majorationl'écart entre un et sa limite l.

3

III Continuité

A) Prolongement par continuité en un point :

Proposition :

Soit f : I → R, et a une extrémité réelle de I n'appartenant pas à I.On cherche s'il existe un prolongement de f à I ∪ {a} qui soit continu en a, c'est-à-dire uneapplication g : I ∪ {a} → R continue en a et telle que : ∀x ∈ I g(x) = f(x).Avec les notations précédentes, f est prolongeable par continuité en a si et seulement si f admet unelimite �nie l en a.

On dé�nit alors le prolongement g de f à I ∪ {a} par :{g(x) = f(x) si x ∈ Ig(a) = l

Remarque:Très souvent, on notera encore f (et non g comme dans la proposition) la fonction ainsiprolongée.

B) Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires

−→i

−→j

O

Cf

a b

f(a)

f(b)

γ

c1 c2 c3

Soit f : I → R une fonction continue sur l'intervalle I.

Alors f(I) est un intervalle, c'est-à-dire :

∀(a, b) ∈ I2, ∀γ ∈ [f(a), f(b)], ∃c ∈ [a, b], γ = f(c)

∃c ∈ [a, b], γ = f(c)

Corollaire :Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Pour tout (a, b) de I2 tel que f(a)f(b) < 0 il existe c compris entre a et b tel que f(c) = 0.

Remarque:La détermination de c de façon exacte n'est pas toujours possible mais on peut en trouverdes valeurs approchées par diverses méthodes. L'une de ses méthodes, la dichotomie, estaussi l'argument principal d'une des démonstrations du théorème.

4

C) Image d'un segment par une fonction continue

Théorème : Image d'un segment par une application continue

−→i

−→j

O

Cf

a b

f(a)

f(b)

cd

f(c) = m

f(d) = M

Soit f : [a, b]→ R une fonction continue sur un segment [a, b].

Alors f([a, b]) est un segment, c'est-à-dire que f est bornée et atteint sesbornes.

D) Théorème de la bijection monotone

Théorème : Réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Soit f : I → R une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.Alors :

-2 -1 1 2

-2

-1

1 CfCf−1

1◦) Si I est un intervalle ouvert (semi-ouvert, fermé), f(I) est un inter-valle de même nature que I d'extrémités les valeurs ou les limites def aux bornes de I.

2◦) f dé�nit une bijection de I dans f(I).

3◦) La bijection réciproque f−1 (dé�nie de f(I) et à valeurs dans I) estcontinue sur f(I) et strictement monotone de même sens que f .

4◦) Les graphes de f et de f−1 sont symétriques par rapport à la droited'équation y = x.

5

IV Dérivation

A) Dé�nition

Dé�nition :Soit f : I → R et soit a ∈ I. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1◦) Le taux d'accroissementf(x)− f(a)

x− a admet une limite �nie en a

(ou encoref(a+ h)− f(a)

hadmet une limite �nie en 0).

2◦) f(x) = f(a) + l(x− a) + ox→a

(x− a)c'est-à-dire f admet un développement limité à l'ordre 1 en a.

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

Cf

a a+ h

On dit alors que f est dérivable en a.

De plus limx→a

f(x)− f(a)x− a = l et ce nombre est appelé nombre dérivé

de f en a et noté f ′(a).

.

B) Formules à connaitre

Théorème :Soit I un intervalle et a ∈ I. Soient f et g dé�nies sur I dérivables en a.

â f + λg est dérivable en a et (f + λg)′(a) = f ′(a) = λg′(a) .

â fg est dérivable en a et (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + g′(a)f(a)

â Si g(a) 6= 0,f

gest dérivable en a et

(f

g

)=f ′(a)g(a)− g′(a)f(a)

g(a)2.

Théorème :Soit I un intervalle et a ∈ I. Soit J un intervalle.Soit g dé�nie sur I et dérivable en a. On suppose g(I) ⊂ J .Soit f dé�nie sur J et dérivable en g(a).

Alors f ◦ g est dérivable en a et (f ◦ g)′(a) = g′(a).f ′(g(a))

Théorème :Soit I un intervalle et a ∈ I. Soit f dé�nie sur I et bijective sur I.On suppose que f est dérivable en a et on pose b = f(a).

â Si f ′(a) 6= 0 alors f−1 est dérivable en b et(f−1

)′(b) =

1

f ′(a)=

1

f ′ ◦ f−1(b) .

â Si f ′(a) = 0 alors f−1 n'est pas dérivable mais la courbe admet une tangente verticale en b.

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C) Principales dérivées

Fonctions Dérivées

x 7→ xα x 7→ αxα−1

x 7→ exp(mx) x 7→ m exp(mx)x 7→ ln |x| x 7→ 1

xx 7→ cosx x 7→ − sinxx 7→ sinx x 7→ cosxx 7→ tanx x 7→ 1 + tan2 x ou x 7→ 1

cos2 xx 7→ Arctanx x 7→ 1

1+x2

D) Théorèmes principaux

Théorème : Théorème de Rolle

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

1

2

3

4

ab

Soit f : [a, b]→ R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[.Si f(a) = f(b), alors :

∃c ∈]a, b[, f ′(c) = 0

Théorème : Théorème des accroissements �nis

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

1

2

3

4

ab

Soit f : [a, b]→ R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[.Alors :

∃c ∈]a, b[, f(b)− f(a) = (b− a)f ′(c)

7

V Etude locale

A) Equivalent

Dé�nition :

Soit f, g : I → R, a ∈ I. On suppose que g (ou f) ne s'annule pas au voisinage de a.

f(x) ∼x→a

g(x) ⇐⇒ f(x)

g(x)−→x→a

1

Proposition : Exemples à connaître

G ex − 1 ∼0x ln(1 + x) ∼

0x ou ln(v) ∼

1v − 1

G (1 + x)α − 1 ∼0αx (α est un réel �xé)

G sinx ∼0x tanx ∼

0x 1− cosx ∼

0

x2

2G Arcsinx ∼

0x Arctanx ∼

0x

G Tout polynôme non nul est équivalent en +∞ et en −∞ à son terme de plus haut degré.

G Tout polynôme non nul est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.

Remarque:+ Ne jamais écrire qu'une fonction est équivalente à 0.

+ Ne jamais sommer des équivalents.

+ Ne jamais composer par une fonction des équivalents.

Proposition :

Soit f : I → R et l ∈ R, l 6= 0

f(x) ∼x→a

l ⇐⇒ f(x)−→x→a

l

B) Fonction négligeable devant une autre

Dé�nition :

Soit f, g : I → R, a ∈ I. On suppose que g ne s'annule pas au voisinage de a.

f(x) = ox→a

(g(x)) ⇐⇒ f(x)

g(x)−→x→a

0

Proposition : Exemples à connaître

G ∀(α1, α2) ∈ R2 α1 < α2 ⇒ xα2 = o0(xα1) et xα1 = o

+∞(xα2)

G ∀(α, β, γ) ∈ (R∗+)3 ln(x)α = o+∞

(xβ) et xβ = o+∞

(eγx)

G ∀(α, β) ∈ (R∗+)2 | ln(x)|α = o0(1

xβ)

8

C) Développements limités

Proposition :

Soit f de classe Cn sur un intervalle I contenant 0.Alors f admet un développement limité en 0 à l'ordre n donné par :

f(x) =n∑

k=0

fk(0)

k!xk + o

x→0(xn)

G sinx =n∑

k=0

(−1)k(2k + 1)!

x2k+1 + ox→0

(x2n+2)

G cosx =n∑

k=0

(−1)k(2k)!

x2k + ox→0

(x2n+1)

G expx =

n∑

k=0

1

k!xk + o

x→0(xn)

G ln(1 + x) =

n∑

k=0

(−1)kk + 1

xk+1 + ox→0

(xn+1)

G1

1 + x=

n∑

k=0

(−1)kxk + ox→0

(xn)

G (1 + x)α = 1 +n∑

k=1

α(α− 1) . . . (α− k + 1)

k!xk + o

x→0(xn)

Remarque:

On peut intégrer les développements limités, on ne peut pas les dériver.

Par intégration, on peut alors obtenir le développement limité de Arctan

9

VI Intégrale et primitive

A) Dé�nition et interprétation

Théorème : Théorème fondamentalSoit I un intervalle. Soit f une fonction continue de I dans R et a ∈ I.On admet que f admet une primitive sur I.On a les propriétés suivantes :

â Toutes les primitives sont égales à une constante additive près.

â Soit F une primitive de f , la valeur de F (b)− F (a) ne dépend pas du choix de la primitive et

est appelée intégrale de f entre a et b et est notée∫ b

af ou

∫ b

af(x) dx

â Fa : I → R

x 7→∫ x

af(t) dt

est l'unique primitive de f qui s'annule en a.

Proposition : Aire sous la courbe

1−→i

−→j

1

O

∫ b

af

Soit f une fonction continue sur [a, b].∫ b

af est l'aire (algébrique) sous la courbe.

Proposition : Somme de Riemann-Méthode des rectangles

Soit f continue sur [a, b] dans R. Soit n ∈ N∗.On pose : ∀0 ≤ i ≤ n, ai = a+ i

n(b− a).

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3Rn(f) =

(b− a)

n

n−1∑

i=0

f(ai) On appelle somme de Riemann, l'expression :

Rn(f) =b− an

n−1∑

j=0

f(aj)

On a alors :

Rn(f) −→n→∞

∫ b

af(t) dt

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B) Propriétés

Proposition : Linéarité

∀f, g ∈ C0([a, b],R), ∀λ ∈ R,∫ b

a(f + λg) =

∫ b

af + λ

∫ b

ag

Proposition : Croissance

Soit a < b.

G ∀f ∈ C0([a, b],R), f ≥ 0 =⇒∫ b

af ≥ 0

G ∀f, g ∈ C0([a, b],R), f ≥ g =⇒∫ b

af ≥

∫ b

ag

G ∀f ∈ C0([a, b],R),∣∣∣∣∫ b

af

∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f |

Proposition : Relation de Chasles

Soit f une fonction continue sur I et soient a, b, c ∈ I.∫ c

af =

∫ b

af +

∫ c

bf

Théorème :Soit a < b. Soit f : [a, b]→ R.

On suppose :

f est continue.f ≥ 0∫ b

af = 0

Alors f = 0

C) Calculs de primitives

Théorème : Changement de variables

Soit f : I → R continue et φ : [a, b]→ I de classe C1.

∫ b

af ◦ φ(x).φ′(x) dx =

∫ φ(b)

φ(a)f(t) dt

Mise en pratique :

Méthode

On pose t = φ(x), on écrit dt = φ′(x) dx.

Pour

{x = a, t = φ(a)x = b, t = φ(b)

Théorème : Intégration par parties

Soient u, v : I → R C1. Soient a, b ∈ I.

∫ b

au(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ba −

∫ b

au′(x)v(x) dx

11

Primitives usuellesC est une constante réelle

f(x)

∫f(x) dx intervalles de validité

1

x− a ln |x− a|+ C ]−∞, a[ ou ]a,+∞[

(x− a)α, α 6= −1 (x− a)α+1

α+ 1+ C ]a,+∞[

ex ex + C R

cosx sinx+ C R

sinx − cosx+ C R

1

cos2 x= 1 + tan2 x tanx+ C ]− π

2+ kπ,

π

2+ kπ[, k ∈ Z

tanx − ln | cosx|+ C ]− π

2+ kπ,

π

2+ kπ[, k ∈ Z

1

1 + x2Arctanx+ C R

12

VII Equations di�érentielles

A) Equation linéaire du premier ordre

Théorème : Equation linéaire du premier ordre sans second membre

Soit(E) y′ + b(x)y = 0

où b : I → R continue.Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme

y : I → Rx 7→ λ exp(−B(x))

où

{λ ∈ RB est une primitive de b

Proposition : Structure de l'ensemble des solutions

Soit(E) y′ + b(x)y = f(x)

où b, f : I → R continue.

On appelle Equation di�érentielle sans second membre associée l'équation :

(E0) y′ + b(x)y = 0

On note S l'ensemble des solutions de (E) et on note S0 l'ensemble des solutions de (E0).

Soit yp une solution de E. Alors S = {yp + y0, y0 ∈ S0}.On dit que les solutions de E sont somme d'une solution particulière de E et de la solution généralede E0.

Méthode de la variation de la constante

Méthode

Soit (E) y′ + b(x)y = f(x) où b, f : I → R, continues.

Soit (E0) y′ + b(x)y = 0, l'équation sans second membre associée.

On résout (E0) : S0 = {x 7→ λe−B(x)} avec B primitive de b sur I.

On cherche les solutions sous la forme y(x) = λ(x)e−B(x) où λ est ici une fonction dérivable

sur I.

y ∈ S ⇐⇒ ∀x ∈ I, y′(x) + b(x)y(x) = f(x)

⇐⇒ ∀x ∈ I, (λ′(x)− b(x)λ(x))e−B(x) + b(x)λ(x)e−B(x) = f(x)

⇐⇒ ∀x ∈ I, λ′(x) = f(x)eB(x)

On a donc trouvé λ′, par intégration on trouve λ (à une constante additive près que l'onchoisit).

Cette méthode permet toujours de conclure mais ce n'est pas toujours la plus e�cace !

13

B) Equations di�érentielles linéaires du 2ème ordre à coe�cients constants

Théorème : Résolution de l'équation sans second membre

Soit (E) ay′′ + by′ + cy = 0 avec a, b, c ∈ R.On appelle équation caractéristique associée à (E) l'équation polynômiale

(e) ar2 + br + c = 0

G (e) admet deux racines distinctes r1 et r2.Les solutions sont de la forme :

y(x) = αer1x + βer2x avec α, β ∈ C ou R

G (e) admet une racine double r0.Les solutions sont de la forme :

y(x) = (αx+ β)er0x avec α, β ∈ C ou R

G On cherche à résoudre dans R et (e) n'admet de racines réelles.(e) admet deux racines complexes conjuguées : r1 = r + iω, r2 = r − iω où r, ω ∈ R.Les solutions sont de la forme :

y(x) = erx (A cosωx+B sinωx) avec α, β ∈ R

Proposition : Résolution de l'équation avec second membre

Soit(E) ay′′ + by′ + cy = f(x)

où f : I → R continue, a, b, c ∈ R.

On appelle Equation di�érentielle sans second membre associée l'équation :

(E0) ay′′ + by′ + cy = 0

On note S l'ensemble des solutions de (E).

On note S0 l'ensemble des solutions de (E0).Soit yp une solution de E. Alors S = {yp + y0, y0 ∈ S0}.On dit que les solutions de E sont somme d'une solution particulière de E et de la solution généralede E0.

Cas avec un second membre cos ou sin

Méthode

Soit (E) ay′′ + by′ + cy = α cos(ωx) + β sin(ωx) avec ω ∈ R et (a, b) ∈ R2.

â Si x 7→ cos(ωx) et x 7→ sin(ωx) ne sont pas solution de (E0),(c'est-à-dire que (e) n'est pas r2 + ω2 = 0).

On cherche une solution particulière sous la forme :

yp(x) = λ cos(mx) + µ sin(mx)

â Dans le cas contraire, on cherche une solution de la forme

yp(x) = λx cos(mx) + µx sin(mx)

On calcule y′p, y′′p , on remplace dans l'équation et on obtient un système reliant permettant

de déteminer λ et µ.

14

Cas du second membre de la forme �exponentielle-polynôme�.

Méthode

Soit (E) ay′′ + by′ + cy = P (x) exp(mx) avec m ∈ R et P ∈ R[X].

â On cherche une solution particulière sous la forme

yp(x) = Q(x) exp(mx)

où Q ∈ R[X]

â On calcule y′p, y′′p , on remplace dans l'équation et on obtient une équation polynômiale

reliant Q,Q′, Q′′ et P .

â De cette équation, on en déduit le degré de Q. En particulier, on remarque :

* Si m n'est pas solution de (e) : deg(Q) = deg(P )

* Si m est racine simple de (e) : deg(Q) = deg(P ) + 1

* Si m est racine double de (e) : deg(Q) = deg(P ) + 2

â On écrit Q =

deg(Q)∑

i=0

biXi. On remplace et on résout le système obtenu.

Extensions

Méthode

Soit (E) ay′′ + by′ + cy = P (x) cos(mx) avec m ∈ R et P ∈ R[X].

â On cherche une solution particulière sous la forme :

yp(x) = Q(x) cos(mx) +R(x) sin(mx)

où Q,R ∈ R[X].

â On calcule y′p, y′′p , on remplace dans l'équation et on obtient deux équations polynô-

miales reliant Q,Q′, Q′′, R,R′, R′′ et P .

â De cette équation, on en déduit les degrés de Q et R. En particulier, on remarque :

* Si im n'est pas solution de (e) : deg(Q) = deg(R) = deg(P )

* Si im est racine simple de (e) : deg(Q) = deg(R) = deg(P ) + 1

* Si im est racine double de (e) : deg(Q) = deg(R) = deg(P ) + 2

â On écrit Q et R à l'aide de leurs coe�cients, on remplace et on résout les systèmes.

15

BCPST29

52 1 Exercices

© Exercice 1: /home/carine/BCPST/Basexo/Analyse/Suites/Suite06.tex

1◦) Déterminer la limite de un =

√1 + e−n − 1

ln(1 + 1

n2

) .

2◦) Déterminer un équivalent de un = tan

(πn

2n+ 1

).

3◦) Déterminer un équivalent de un = Arctan(n+ 1)− π

2.

4◦) Déterminer un équivalent de un = sin(π√n2 − n+ 1).


Exprimer en fonction de n les suites suivantes :

1◦) un+1 = 4un + 2

2◦) un+1 = 4un + 2n

3◦)

{u0 = aun+1 = 4un + 4n

4◦)

u0 = 0u1 = 1un+2 = un+1 + un

5◦)

u0 = 1u1 = 1un+2 = −4un+1 − 4un

6◦)

u0 = 1u1 = 0un+2 = un+1 − un

7◦)

u0 = 0u1 = 1un+2 = 4un+1 − 4un + 2

8◦)

u0 = 0u1 = 1un+2 = 4un+1 − un + n+ 3


Soit n ∈ N∗ et (En) l'équation d'inconnue x :

x+ ln(x) = n (En)

Le but du problème est de démontrer l'existence et l'unicité d'une solution de (En), puis d'étudier lecomportement de celle-ci lorsque n tend vers l'in�ni.

1 re Partie :

1◦) Existence et unicité de la solution.

a) On désigne par f la fonction dé�nie sur ]0,+∞[ par f : x 7→ x+ ln(x).

Étudier les variations de f et donner sa représentation graphique.

b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗, l'équation (En) admet une unique solution dans ]0,+∞[,que l'on notera an. Donner la valeur de a1.

2◦) Limite et équivalent de la suite (an)n∈N∗

a) Démontrer que la suite (an)n∈N∗ est strictement croissante.

b) En déduire que an −−−−→n→+∞

+∞.

2014-2015 C. Courant page 16

c) Montrer ln(an) = on∞

(an) et en déduire que an ∼n→+∞

n.

3◦) Comportement asymptotique de la suite (an)n∈N∗

a) Démontrer que (an+1 − an) −−−−→n→+∞

1.

b) Pour tout n > 2, on pose bn =n− anlnn

.

i. Montrer que pour tout n > 2, on a bn − 1 =ln(ann

)

lnn.

ii. En déduire que la suite (bn)n>2 est convergente de limite 1.

iii. Trouver un équivalent de bn − 1.

c) Montrer que, pour tout n > 2 :

an = n− lnn+lnn

n+ on∞

(lnn

n

)

2 e Partie : Approximation numérique de apDans cette partie, l'entier p est �xé ≥ 1.

1◦) Montrer : ∀x ≥ 1, lnx ≤ x− 1.

2◦) Soit g : R∗+ → Rx 7→ p− lnx

.

Montrer que g est décroissante et ap est l'unique solution de l'équation g(x) = x.

3◦) Soit x0 ∈ [1, p] et (un) la suite dé�nie par :

{u0 = x0∀n ≥ 0, un+1 = g(un) = p− lnun

a) Montrer que la suite (un) est bien dé�nie et que : ∀n ∈ N, un ∈ [1, p].

b) Montrer que les deux suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones.

c) Montrer que ces deux suites sont convergentes.

d) On note α = limn∞

u2n et β = limn∞

u2n+1. Montrer : α, β ∈ [1, p] puis g(α) = β et g(β) = α.

e) Montrer que x 7→ x− lnx est strictement croissante sur [1,+∞[ et en déduire α = β.

f) En déduire �nalement que un −→n→∞ap.4◦) Dans le cas, p = 2 et x0 = 1, représenter sur un graphique soigné la construction des termes uk

pour 0 ≤ k ≤ 6.

© Exercice 4: /home/carine/BCPST/Basexo/Analyse/Fonctions/Fonc11.tex

On considère l'application f dé�nie sur [0,+∞[ par :

{f(x) =

x

ex − 1si x > 0

f(0) = 1

1◦) a) Montrer que f est continue sur [0,+∞[.

b) Montrer que f est de classe C1 sur ]0,+∞[ et préciser f ′(x) pour tout x > 0.

c) Montrer que f ′(x) tend vers −1

2lorsque x tend vers 0.

d) En déduire que f est de classe C1 sur [0,+∞[.

e) Déterminer : limx→+∞

f ′(x).

17

2◦) a) Montrer que f est de classe C2 sur ]0,+∞[ et que :

∀x ∈]0,+∞[, f ′′(x) =ex

(ex − 1)3(xex − 2ex + x+ 2)

b) Étudier les variations de la fonction g dé�nie sur [0,+∞[ par :

g(x) = xex − 2ex + x+ 2

En déduire : ∀x ∈]0,+∞[, f ′′(x) > 0.

c) En déduire le sens de variation de f . On précisera la limite de f en +∞. Dresser le tableaude variation de f .

d) Tracer l'allure de la courbe représentative de f .

3◦) On considère la suite réelle dé�nie par u0 = 0 et la relation de récurrence :

∀n ∈ N, un+1 = f(un)

a) Montrer que :

∀x ∈ [0,+∞[, |f ′(x)| ≤ 1

2et 0 ≤ f(x) ≤ 1

b) Résoudre l'équation f(x) = x, d'inconnue x ∈]0,+∞[.

c) Montrer que :

∀n ∈ N, |un+1 − ln 2| ≤ 1

2|un − ln 2|

d) Établir que la suite (un)n∈N converge et déterminer sa limite.


On considère la fonction f dé�nie par f(t) =

et2 − 1

tsi t 6= 0

0 si t = 0

1◦) Montrer que f est continue en 0.

2◦) Montrer que f est dérivable en 0 et étudier sa position par rapport à sa tangente.

3◦) Montrer que f est dérivable sur R, préciser la dérivée pour t 6= 0.

La dérivée est-elle continue en 0 ?

4◦) Ecrire la dérivée sous la forme f ′(t) =u(t)

t2.

Etudier les variations de u et en déduire celle de f .

5◦) Tracer le graphe de f .


On considère la fonction

f(x) =1

xln

(sin(x)

x

)

Montrer que f se prolonge en une fonction continue en 0, que la fonction prolongée est dérivable en0. Préciser les positions relatives de la courbe et de la tangente localement.

18


On considère la fonctionf(x) =

x

1 + exp(1x

)

A l'aide d'un développement limité, étudier la branche in�nie en ±∞.


On considère la fonction f dé�nie sur [0, 1] par :

{f(x) = Arctan

√1−xx si x ∈]0, 1]

f(0) = a

1◦) Quelle valeur faut-il donner à a pour que f soit continue en 0 ? On donnera désormais à a cettevaleur.

2◦) Étudier la dérivabilité de f et calculer f ′(x) lorsque c'est possible. On n'oubliera pas l'étude en0 et en 1.

3◦) Dresser le tableau de variation de f .

4◦) Donner l'allure du graphe Cf de f . Prouver que Cf est symétrique par rapport au point I(1

2,π

4).


Soit f : R+ → R

x 7→{x1+

1x = exp

((1 + 1

x) lnx)

si x > 00 si x = 0

On désigne par C la courbe représentative de f .

1◦) a) Montrer que f est continue en 0, c'est-à-dire f(x)−→x→0

f(0).

b) Etudier la dérivabilité de f en 0.

2◦) a) Déterminer la limite de f en +∞.

b) Etudier la nature de la branche in�nie de C en +∞.

3◦) Préciser le sens de variation de f .

4◦) Tracer la courbe C.

© Exercice 10: /home/carine/BCPST/Basexo/Analyse/Integrales/Int01.tex

Calculer, après en avoir justi�é l'existence, les intégrales suivantes :

1◦)

∫ b

a

x

(x− 2)(x− 1)dx

2◦)

∫ b

a

x

(x− 2)2(x− 1)dx

3◦)

∫ 1

0

x

x2 + 2x+ 3dx

4◦)

∫ 1

0

1

(x+ 1)(x+ a)dx

5◦)

∫ 1

0

1

(x+ 1)2dx

6◦)

∫ u

0

tanx

1 + cosxdx

7◦)

∫ π

0

√1 + sinx dx

8◦)

∫ t

0

1−√x1 +√xdx

9◦)

∫ t

0ln(1 +√x)dx

10◦)

∫ t

1

√x− 1

x+ 1dx

11◦)

∫ t

0ex sinx dx

12◦)

∫ t

0ex cosx dx

13◦)

∫ t

0x2ex sinx dx

19


On pose, pour tout n ∈ N : un =

∫ π4

0tann(t) dt.

1◦) Montrer que la suite (un) converge.

2◦) Pour tout n ∈ N, calculer un + un+2.

3◦) En déduire un encadrement de un puis un équivalent de un.


Soient g l'application dé�nie dans R par g(x) =1√

x4 + x2 + 1et G la primitive de g nulle en 0.

Pour x ∈ R, on pose f(x) =∫ 2x

xg(t) dt et h(x) = f(x)− x.

1◦) Justi�er que f est bien dé�nie et étudier la parité de f et h.

2◦) Montrer que f et h sont C∞ sur R et calculer f ′.

3◦) En remarquant que x =∫ 2xx dt, étudier le signe de h.

4◦) Montrer : ∀x ∈ R∗, f(1

x

)= f

(x2

).

5◦) Etudier les variations de f , dresser le tableau de variations en ajoutant une ligne pour le signede h.

6◦) Déterminer un équivalent de f en +∞.

7◦) Tracer la courbe de f .


On considère, pour tout entier n, l'application φn dé�nie par

∀x ∈ R, φn(x) = (1− x)ne−2x

On pose In =

∫ 1

0φn(x) dx.

On se propose de montrer l'existence de trois réels a, b, c tels que

In = a+b

n+

c

n2+ on→+∞

(1

n2

)

1◦) Calculer I0 et I1.

2◦) Etudier la monotonie de la suite (In)n∈N.

3◦) Déterminer le signe de In pour tout entier n.

4◦) Qu'en déduit-on pour la suite (In)n∈N.

5◦) Montrer : ∀n ≥ 0, In ≤1

n+ 1.

6◦) Déterminer la limite de In.

7◦) A l'aide d'une intégration par parties, montrer :

∀n ∈ N, 2In+1 = 1− (n+ 1)In

8◦) En déduire la limite de la suite (nIn)n∈N

9◦) Déterminer la limite de la suite (n(nIn − 1))n∈N.

10◦) En déduire les valeurs a, b, c.

20


Les deux dernière parties sont indépendantes mais utilisent des résultats établis dans la première par-

tie. 1 re Partie : Résultats préliminaires

1◦) On dé�nit la fonction φ :[−π2,π

2

]→ R

t 7→{ 1

t− 1

sin tsi t 6= 0

0 si t = 0

a) Donner un développement limité à l'ordre 4 au voisinage de 0 de φ.

b) En déduire la continuité, la dérivabilité de φ en 0, ainsi que la position par rapport à satangente.

c) Montrer que φ est C1 sur[−π2,π

2

].

d) On dé�nit ψ :[−π2,π

2

]→ R

t 7→{ t

sin tsi t 6= 0

1 si t = 0

Montrer que ψ est C1 sur[−π2,π

2

]et préciser ψ′(0).

2◦) Soit a, b ∈ R, a < b. Soit g une fonction réelle de classe C1 sur [a, b].

Montrer que :∫ b

ag(t) sin(λt) dt −→

λ→+∞0

2 e Partie : Limites de suites

1◦) a) Déterminer deux réels a et b, indépendants de n tels que :

∀n ∈ N∗,∫ π

0(at+ bt2) cos(nt) dt =

1

n2

les réels a et b seront désormais ainsi �xés.

b) En déduire que le réel 2n∑

k=1

1

k2−∫ π

0(at+ bt2)Sn(

t

2) dt est indépendant de n et donner sa

valeur.

c) Soit h : ]0, π] → R

t 7→ (at+ bt2)

sin( t2)

.

Montrer que h se prolonge en une fonction de classe C1 sur [0, π].

2◦) On dé�nit les suites (un) et (vn) par :

un =n∑

k=1

1

k2, vn =

n∑

k=0

1

(2k + 1)2

a) Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente et donner sa limite.

b) Démontrer que la suite (vn) converge et donner sa limite.

3 e Partie : Calcul d'une intégrale

1◦) a) Déterminer limn→+∞

∫ π2

0φ(t) sin(2n+ 1)t dt

b) En déduire limn→+∞

In où In =

∫ π2

0

sin(2n+ 1)t

tdt.

2◦) On dé�nit : f : R∗ → R

t 7→ sin t

t

.

21

a) Montrer que f se prolonge par continuité en 0. Dé�nir f(0).

b) On note F : R+ → R

x 7→∫ x

0f(t) dt

. Comparer In et F[(2n+ 1)

π

2

].

c) Montrer : ∀x ≥ π

2,∃!n ∈ N, (2n+1)

π

2≤ x < (2n+3)

π

2. On note alors a(x) = (2n+1)

π

2.

d) Montrer :∫ x

a(x)

sin t

tdt −→x→+∞

0.

e) En déduire :

F (x) −→x→+∞

π

2

© Exercice 15: /home/carine/BCPST/Basexo/Analyse/Eqdi�/Eqdi�01.tex

Résoudre sur R : y′ + 3y = x2


Résoudre sur R : y′ + 4y = 2x2 + e2x + e−4x


Résoudre sur R : y′′ − y′ − 4y = e5x


Résoudre : xy′ − y − x = 0


On cherche les applications f continues sur R véri�ant

∀x ∈ R f(x) =x

2+

∫ x

0(x− t)f(t) dt

1◦) Montrer que toute solution de cette équation est de classe C∞.

2◦) Soit f une solution. Calculer f ′ et f ′′ et en déduire que f est solution d'une équation di�érentielledu second ordre à coe�cients constants.

3◦) Conclure.


On considère sur ]0,+∞[ l'équation di�érentielle :

(E) : x2y′′ + 3xy′ + y = 1 + x2

On va résoudre cette équation di�érentielle par trois méthodes di�érentes.Les trois questions sont indépendantes.

1◦) On fait le changement de fonction inconnue u(x) = xy(x). Former l'équation di�érentielle (E1)que satisfait la fonction u(x). Résoudre (E1) et en déduire les solutions de (E).

2◦) On fait le changement de variable x = et. Former l'équation di�érentielle (E2) que satisfaitz(t) = y(et). Résoudre (E2) et retrouver les solutions de (E).

3◦) On pose v(x) = x2y′(x) + xy(x). Déterminer v pour que y soit solution de (E). En déduire parune troisième méthode les solutions de (E).

22


On étudie l'équation fonctionnelle :

(1) y′′(x) + y(−x) = x+ cos(x)

1◦) Résoudre les équations di�érentielles suivantes en précisant pour chacune l'ensemble des solu-tions paires et l'ensemble des solutions impaires :

(2) y′′(x) + y(x) = cos(x)

(3) y′′(x)− y(x) = x

2◦) Soit f une fonction dé�nie sur R. Montrer qu'il existe un unique couple de fonctions (u, v)dé�nies sur R telles que u soit paire, v soit impaire et f = u+ v.

On prendra soin de rédiger séparément les argumentations assurant l'existence et l'unicité.

On dit que u est la partie paire et v la partie impaire de f .

3◦) Soit f une solution de (1), u sa partie paire et v sa partie impaire. Former une équationdi�érentielle dont u est solution, former une équation di�érentielle dont v est solution.

4◦) Préciser l'ensemble des solutions de (1).

23

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