résistance des matériaux compléments...résistance des matériaux compléments liaisons...
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Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – 135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 – France / www.insa-toulouse.fr Stéphane LAURENS
PO Ingénierie de la construction – Semestre 5
Résistance des matériaux
ComplémentsLiaisons extérieures – Cas plan
Efforts internes et diagrammes
RDM – 3IC
Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – 135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 – France / www.insa-toulouse.fr Stéphane LAURENS
• Rotule ou articulation
La rotule empêche 2 ddl de translation.
Pour cela, elle exerce 2 actions (ou réactions) de liaison sur la poutre,
soit 2 forces XA et YA
Liaisons extérieures
X
Y
YA
XA
YA
Poutre
Milieu
extérieur
A
XAA
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• Appui simple
L’appui simple empêche 1 ddl de translation (ici, selon Y).
Pour cela, il exerce 1 action (ou réaction) de liaison sur la poutre, soit
une force YA
X
Y
YA
YA
Poutre
Milieu
extérieur
Liaisons extérieures
A
A
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• Encastrement
L’encastrement empêche les 3 ddl possibles dans un cas plan, soit 2
ddl de translation et 1 ddl de rotation.
Pour cela, il exerce 3 actions (ou réactions) de liaison sur la poutre : 2
forces XA, YA et un moment MA, dit moment d’encastrement.
XY
XA
YA
PoutreMilieu
extérieur
Liaisons extérieures
MAYA
MA
A
A XA
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• Glissière
La glissière plane empêche 2 ddl, soit 1 ddl de translation et 1 ddl de
rotation.
Pour cela, elle exerce 2 actions (ou réactions) de liaison sur la poutre :
1 force YA et un moment MA.
XY
Poutre
Milieu
extérieur
Liaisons extérieures
A
YA
MA
A
YA
MA
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• Exemple 1
Liaisons extérieures
Poutre
YB
B
X
YF
�
�3�YA
MA
AXA
4 actions de liaison extérieures : XA, YA, MA et YB
1 poutre = 3 équations d’équilibre en plan
Le nombre d’équations d’équilibre
statique est insuffisant pour calculer les
actions de liaison…
... Cette structure est donc hyperstatique !Méthode de résolution présentée en fin de semestre.
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• Exemple 2
Liaisons extérieures
3 actions de liaison extérieures : XA, YA et YB
1 poutre = 3 équations d’équilibre en plan
On dispose de suffisamment d’équations
d’équilibre statique pour calculer les
actions de liaison…
... Cette structure est donc isostatique !
XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
�
�3�
Etape 1 : analyse préliminaire
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• Exemple 2
Calcul des actions de liaison
Equilibre / X �� � 0
Equilibre / Y �� � � � � 0
Equilibre en moment selon Z / point A � . � � �. �3� � 0 � �
1
3�
�� �2
3 �
XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
�
�3�
Etape 2 : calcul des actions de liaison par l’écriture du PFS
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• Exemple 2
Calcul des efforts internes
La présence de la force F nous oblige à décomposer le calcul des efforts internes en 2 zones, car les charges concentrées introduisent
des discontinuités. Il faut donc calculer ces efforts avant et après la position de la charge F :
0 � � � �3�
�3� � � � �
XA
YA
Poutre
YB
BA
X
Y F
�
�3�
Etape 3 : calcul des efforts internes par la méthode de la coupure
Zone 1 Zone 2
Zone 1
Zone 2
Remarques :
- Dans cet exemple, si on considère 2 charges concentrées, il faut définir 3 zones… 3 charges concentrées, 4 zones…
- une charge répartie n’induit pas de discontinuité et ne nécessite donc pas cette décomposition en zones.
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
�
�3�
Zone 1 : 0 � � � ��⁄
Etape 3 : calcul des efforts internes par la méthode de la coupure
XA
YA
A
�
� �
��� �
�
�� �
�
Equilibre amont (vs la coupure) :
• /X :
• /Y :
• Mnt en G /Z :
Coupure
� � �� � 0 → � � � 0
�� � �� � 0 → �� � � ��� � �2
3 �
��� � � ��. � � 0 → ��� � �2
3 �. �
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Calcul des efforts internes
Remarque : sens positif des moments
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
�
�3�
Zone 1 : 0 � � � ��⁄
Etape 3 : calcul des efforts internes par la méthode de la coupure
� �
��� �
�
�� �
� Coupure
Equilibre aval (vs la coupure) :
• /X :
• /Y :
• Mnt en G /Z :
YB
F�� � � 0 → � � � 0
��� � � � � � 0 → �� � � �� � � �2
3 �
���� � � ��
3� � � . � � � � 0
→ ��� � �2
3 �. �
�3� � ��
� � �
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Calcul des efforts internes
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
�
�3�
Zone 2 : � �⁄ � � � �
Etape 3 : calcul des efforts internes par la méthode de la coupure
� �
��� �
�
�� �
� Coupure
Equilibre aval (vs la coupure) :
• /X :
• /Y :
• Mnt en G /Z :
YB
�� � � 0 → � � � 0
��� � � � 0 → �� � � � �1
3 �
���� � �. � � � � 0 → ��� � �1
3 �. �� � ��
� � � �
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Calcul des efforts internes
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
Etape 4 : diagrammes
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Diagrammes des efforts internes
� � � 0
�� � �1
3 �
��� � �1
3 �. �� � ��
Zone 1 Zone 2
Zone 1 Zone 2
�� � � �2
3 �
� � � 0
��� � �2
3 �. �
��� �
�� �
�
�
� !" �2
9 �. �
1
3 �
�2
3 �
Vérifier, pour tout � que :
$��� �
$�� ��� �
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
Etape 5 : déformée de flexion
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Déformée de la poutre
Zone 1 Zone 2
Zone 1 ��� � �2
3 �. � � %. &'� ( )*
++ �
)*++ � �
��� �
%. &'��
2
3. %. &'� �. �
)*+ � �
2
3. %. &'��
�,
2 -
-, / : constantes d’intégration à calculer en exprimant les conditions aux limites en déplacement de la poutre
Intégration 1
)* � �2
3. %. &'��
��
6 -. � /
Intégration 2
�3�
)* � ), �
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
Etape 5 : déformée de flexion
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Zone 1 Zone 2
Zone 2 ��� � �1
3 �. �� � �� � %. &'� ( ),
++ �
),++ � �
��� �
%. &'��
1
3. %. &'��. �� � ��
),+ � �
1
3. %. &'�� �. � �
�,
2 1
1, 2 : constantes d’intégration à calculer en exprimant les conditions aux limites en déplacement de la poutre
Intégration 1
Intégration 2), � �
1
3. %. &'�� �.
�,
2�
��
6 1. � 2
�3�
Déformée de la poutre
)* � ), �
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• Exemple 2XA
YA
Poutre
YB
BA
X
YF
Etape 5 : déformée de flexion
�� � 0 �� �2
3 � � �
1
3 �
Rappel :
Zone 1 Zone 2
-, /, 1, 2 : 4 constantes d’intégration à calculer…
… il faut donc exprimer 4 conditions aux limites en déplacement de la poutre
Conditions aux limites de cette poutre
�3�
Rotule en A• )* � � 0 � 0
• ), � � � � 0
• )* � � �/3 � ), � � �/3
• )*′ � � �/3 � ),′ � � �/3
Appui simple en B
Continuité du déplacement
Continuité de la rotation
Calculer 5, 6, 7, 8 !!!
Déformée de la poutre
)* � ), �
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• Exemple 3XA
YAYB
BA
X
Y
F
Questions :
En vous inspirant de l’exemple 2 :
- Calculer les actions de liaison
- Calculer les efforts internes et tracer les diagrammes associés
- Ecrire les conditions aux limites en déplacement nécessaires pour le calcul de ) �
- Dans quel état se trouve cette poutre ? Flexion pure ? Simple ? Composée ? Déviée ?
Zone 1 Zone 3
�3�
Déformée de la poutre
)* � ), �
EIGz
Zone 2 F
�3� �
3�
)� �
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XA
YAYB
BA
X
Y
Questions :
En vous inspirant de l’exemple 2 :
- Calculer les actions de liaison
- Calculer les efforts internes et donner la valeur du moment maximal.
- Tracer les diagrammes d’efforts internes
- Calculer et tracer le champ de déplacement
- Que vaut le déplacement maximal ) !" de la poutre ?
Zone 1 Zone 2
2�
Déformée de la poutre
)* � ), �
EIGz
F
�
• Exemple 4
Remarque : la réaction YB est une charge extérieure
concentrée, au même titre que F. La présence de YB
impose donc aussi un découpage en 2 zones ici.
)* � � 0 � 0
)* � � 2� � 0
), � � 2� � 0
)*′ � � 2� � ),′ � � 2�
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Exercice
Soit une poutre de section rectangulaire (9 ( ℎ) et de longueur � sollicitée en flexion par une charge répartie ;selon la configuration suivante (essai 1). Le matériau est élastique linéaire de module %.
Rotule
Appui simple
<
=
�
;
9
ℎ�
Essai 1
• Mise en évidence de l’effet de rigidité géométrique
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Exercice
• Mise en évidence de l’effet de rigidité géométrique
On reprend la même poutre, on la sollicite par la même charge répartie mais dans la configuration ci-dessous
(essai 2).
Essai 2
;
<
=
�
Chacun d’entre vous comprend intuitivement que, pour la même sollicitation extérieure appliquée, la poutre se
déforme davantage dans la configuration de l’essai 2.
Question : on demande ici de démontrer ce résultat intuitif par un calcul RDM.
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Exercice
• Flexion composée
BA
X
YF2
3�
%. &'�
�
45°
Questions :
- Calculer les actions de liaison
- Calculer les sollicitations internes
- Tracer les diagrammes des sollicitations internes
- Calculer la contrainte normale maximale dans la poutre en tenant compte du fait que la poutre est en flexion
composée
- Calculer la variation de longueur de la poutre sous l’effet de l’effort normal.
Poutre de section rectangulaire (9 ( ℎ)
Indice : décomposer la force en une composante longitudinale
et une composante transversale (= orthogonale)