régulation automatique(reg) corrigé des exercices...heig-vd régulation automatique(reg) 1...

HEIG-VD Régulation automatique (REG)

Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-VD)

Département des TechnologiesIndustrielles (TIN)

Filière Microtechniques (MI)Filière Génie électrique (GE)

Filière Systèmes industriels (SI)

Régulation automatique (REG)Corrigé des exercices

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, septembre 2011,Yverdon-les-Bains

Corrigé des exercices 1 MEE \co_ra.tex18 septembre 2011

http://www.heig-vd.ch



http://www.heig-vd.ch/tin


http://www.heig-vd.ch/Default.aspx?tabid=580



http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/rgb/heig-vd-seul.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/rgb/iai.pdf

mailto:[email protected]


Table des matières

1 Régulateur de vitesse 5

2 Gain statique 6

3 Moteur DC en régime permanent constant 7

4 Système vicieux 10

5 Robustesse 10

6 Modélisation et schéma fonctionnel de l’amplificateur opération-nel en montage non-inverseur 12

7 Modélisation et schéma fonctionnel d’un amplificateur opéra-tionnel avec charge capacitive 13

8 Modélisation et schémas fonctionnels d’un capteur de courantde type LEM 17

9 Modélisation et schéma fonctionnel d’un entraînement avec trans-mission flexible 23

10 Asservissement de vitesse 32

11 Asservissement de position angulaire par régulateurs P et PD 35

12 Asservissement de courant 41

13 L’intégrateur : ou, combien et . . . pourquoi ? 44

14 Une autre propriété intéressante de la contre-réaction 46

15 Précision et rapidité 47

16 Loi de commande d’un régulateur PID avec filtre 47

17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode 49

18 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un système asservi 54

19 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un système asservi 55

20 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de systèmes possédantun retard pur 60






21 Diagramme de Nyquist 61

22 Choix du gain de boucle par la méthode de Bode 62

23 Critère de Nyquist et méthode de Bode 72

24 Identification de la réponse fréquentielle d’un système à régler 72

25 Synthèse fréquentielle d’un régulateur 73




29 Synthèse d’un régulateur P 81

30 Tracé manuel du lieu des pôles 82

31 Tracé du lieu des pôles assisté par ordinateur 85






Remarque préliminaireLes corrigés des exercices ci-après sont volontairement plus détaillés que ce que

l’on peut raisonnablement exiger de la part d’un étudiant fournissant un travailnormal. Le but est de compléter au mieux le cours, notamment en répétant ouen reformulant certaines explications. Faire les exercices par soi-même avant deconsulter ce corrigé constitue certainement un très bon moyen d’assimilation enmême temps qu’une excellente préparation aux travaux-écrits et examens.






1 Régulateur de vitesse

1.1

Le schéma-bloc du régulateur de vitesse (tempomat) est le suivant :

-+w ( t )

v ( t )

x ( t )

y ( t )

u ( t )

S y s t è m e à r é g l e r

C a p t e u rd e

v i t e s s e

Comp

arateu

r

R é g u l a t e u r M o t e u rC a r b u r a t e u rSe ( t )

c o m m a n d ee r r e u r p e r t u r b a t i o n s g r a n d e u r à r é g l e r( b r u t e )

c o n s i g n e

g r a n d e u r à r é g l e r( m e s u r é e )

m é l a n g ea i r - e s s e n c e c o u p l eV é h i c u l e

v i t e s s e

f _ 0 1 _ 1 . e p s

1.2

En introduction du cours, deux types de régulateurs ont été présentés : lerégulateur à action à deux positions (ou régulateur tout ou rien) et le régu-lateur à action proportionnelle (régulateur P). Le régulateur à action à deuxpositions n’est guère approprié dans ce cas d’application, puisque la commandeu(t) qu’il formerait oscillerait continuellement entre deux valeurs extrêmes. Levéhicule avancerait donc par saccades. Le régulateur P fournit une commandeproportionnelle à l’erreur et constitue à l’évidence la meilleure des deux solutionsenvisagées.

1.3

Dès le moment ou le véhicule est en montée, le moteur doit fournir un coupleafin de compenser l’effet de la gravité. En conséquence, si un régulateur P est misen oeuvre, l’erreur e(t) doit être non-nulle pour que la commande u(t) fixe le do-sage air-essence (non-nul) permettant de produire le couple (non-nul) nécessaire.Le système présentera donc une erreur statique. Il en est d’ailleurs de même auplat, où le couple moteur doit être non-nul afin de compenser les frottements.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/rgb/f_01_1.pdf



t0

w c o n s i g n ey g r a n d e u r r é g l é e

v p e r t u r b a t i o n

E ¥ÿ

f _ 0 1 _ 2 . e p s

2 Gain statique

2.1

Le gain statique K est donné par :

K =limt→∞ Tm(t)

limt→∞ u(t)

∣∣∣∣u(t)=const.

=3.4

2.5= 1.36

2.2


K =limt→∞ y(t)

limt→∞ u(t)


=0.75

1.0= 0.75

2.3


K =limt→∞ y(t)

limt→∞ u(t)


=3.4

5.0= 0.68

2.4


K =limt→∞ ωm(t)

limt→∞ Tem(t)


=∞2.0

=∞







3 Moteur DC en régime permanent constant

3.1

Partant du système d’équations différentielles décrivant le moteur et sa charge,

ua(t) = Ra · ia(t) + La ·diadt

+ em(t)

em(t) = KE · ω(t)

Tem(t) = KT · ia(t)

Jt ·dω

dt= Tem(t)−Rft · ω(t)

on peut admettre que tous les signaux sont constants lorsque l’on travaille enrégime permanent constant. Par conséquent, les dérivées du courant d’induit ia(t)et de la vitesse ω(t) sont nulles et le système d’équations se réduit à, pour t→∞ :

ua(t) = Ra · ia(t) + em(t)

em(t) = KE · ω(t)

Tem(t) = KT · ia(t)0 = Tem(t)−Rft · ω(t)

On peut alors facilement en extraire le gain statique recherché :

Ka =ω

ua=

ω

Ra ·

Tem︷︸︸︷Rf · ωKT︸︷︷︸ia

+KE · ω

=1

KE

· 1

1 +Ra·RfKT ·KE

On voit que la relation dépend du couple de frottement visqueux et que le gainest égal à 1

KElorsqu’il n’y a en a pas, i.e. pour Rf = 0

[N·mrads

]. Le moteur tourne

à sa vitesse idéale à vide ω0i. C’est le seul cas où l’on peut contrôler directementla vitesse du moteur en régime permanent constant.

Il faut relever que le gain calculé ne dépend que des paramètres du systèmeet non pas des signaux.

3.2

Le schéma de l’installation est le suivant :






-i a

S u a T

y ( t )

w ( t )L aR a

J

K te ( t ) u ( t ) w ( t )R E G U L A T E U R M

R f

a mp l i

f i ca t e

u rd e p u

i s sa nc e

p al i er s

f _ 0 2 _ 2 . e p s

Les équations ci-dessus sont complétées comme suit :

ω = Ka · uay = Kmω · ωe = w − yu = Kp · eua = u

y = Kmω ·Ka · ua= Kmω ·Ka ·Kp · e= Kmω ·Ka ·Kp · (w − y)

d’où(1 +Kp ·Ka ·Kmω) · y = Kp ·Ka ·Kmω · w

On en extrait le gain Kw :

Kw =y

w=

Kp ·Ka ·Kmω

1 +Kp ·Ka ·Kmω

=

Kp · 1KE· 1

1+Ra·RfKT ·KE

·Kmω

1 +Kp · 1KE· 1

1+Ra·RfKT ·KE

·Kmω

=Ko

1 +Ko

On voit que ce gain se rapproche d’autant plus de l’unité que Kp est élevé.L’erreur statique vaut alors :

E∞ = w (∞)− y (∞)|w(t)=ε(t) = 1−Kw = 1− Ko

1 +Ko

=1

1 +Ko

=1

1 +Kp · 1KE· 1

1+Ra·RfKT ·KE

·Kmω







3.3

La dérivée de Ka par rapport à Rf est :

dKa

dRf

=

d

[1KE· 1

1+Ra·RfKT ·KE

]dRf

= − 1

KE

·Ra

KT ·KE(1 + Ra

KT ·KE ·Rf

)2

La variation de dKa a donc pour expression :

dKa = − 1

KE

·Ra

KT ·KE(1 + Ra

KT ·KE ·Rf

)2 · dRf

La variation relative Ka par rapport au coefficient de frottement visqueux Rf estalors

dKa

Ka

=

− 1KE·

RaKT ·KE(

1+ RaKT ·KE

·Rf)2 · dRf

1KE· 1

1+Ra·RfKT ·KE

= −Ra

KT ·KE1 + Ra

KT ·KE ·Rf

· dRf

La dérivée Kw par rapport à Rf est :

dKw

dRf

=dKw

dKo

· dKo

dKa

· dKa

dRf

=1 · (1 +Ko)−Ko · 1

(1 +Ko)2 ·Kp ·Kmω ·

dKa

dRf

= − 1

(1 +Ko)2 ·Kp ·Kmω ·

dKa

dRf

dKw

Kw

=− 1

(1+Ko)2 ·Kp ·Kmω · dKa

Ko1+Ko

=− 1

(1+Ko)2 ·Kp ·Ka ·Kmω · dKaKa

Ko1+Ko

= − 1

1 +Ko

· dKa

Ka

La sensibilité du gain en boucle fermée Kw aux variations de Rf est ainsinettement plus faible que celle du gain Ka, le gain Ko pouvant être rendu élevéen augmentant le gain Kp du régulateur de vitesse.






4 Système vicieux

1. A basse fréquence, les capacités se comportent comme des impédances in-finies ; les courants sont alors nuls dans les 2 branches du circuit et l’ona

us(t) = ue(t)− 0 [V] = ue(t)

d’où le gain statique

K =limt→∞ us(t)

limt→∞ ue(t)

∣∣∣∣ue(t)=const.

= 1.0

2. A haute fréquence, les capacités se comportent comme court-circuits ; on aalors

limt→0 [s]

us(t) = 0 [V]− limt→0 [s]

ue(t) = − limt→0 [s]

ue(t)

d’où l’inversion de polarité.

5 Robustesse

La principale hypothèse simplificatrice est la suivante :– tous les éléments du schéma fonctionnel sont statiques. On note tout d’abord

que l’un des éléments du système est non linéaire, puisque le principe desuperposition ne s’applique pas.

Il est donc exclu de calculer la fonction de transfert en boucle fermée, celle-cin’ayant de sens que pour des systèmes dynamiques linéaires.

La mise en équations donne simplement, en extrayant la relation u1 = g−1(u2)afin de faciliter les calculs :

u2 = [KA · (u1 − u2)]3

puis

u132 = KA · (u1 − u2)

u1 = u2 +u

132

KA

On constate alors que si KA est suffisamment grand, u2 → u1, si bien que l’on aapproximativement u2 ≈ u1 : Le gain (statique) en boucle fermée est donc voisinde 1. La figure suivante montre comment la caractéristique u2 = g(u1) se linéarisepour KA variant de 1 à 100 :






−6 −4 −2 0 2 4 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

u1

u 2

u2=f(u

1,K

A)

f_ra_03_1c.eps

Le même graphique en vue 3D,

−6 −4 −2 0 2 4 60

50

100

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

u2=f(u

1,K

A)

u1

KA

u 2

f_ra_03_2c.eps

tracé en exécutant la fonction MATLAB :

u2 = linspace (−4 ,4 ,100) ;KA = logspace ( 0 , 2 , 1 0 ) ;

% Formation de deux matr ices nece s sa i r e s au t race 3D[ u2 ,KA] = meshgrid (u2 ,KA) ;u1 = u2 + sign ( u2 ) . ∗ abs ( u2 ) . ^ ( 1 / 3 ) . /KA;figure ( 2 ) ,mesh(u1 ,KA, u2 )

% Documentation du graphique




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/rgb/f_ra_03_1.pdf




xlabel ( ’u_1 ’ )ylabel ( ’K_A’ )zlabel ( ’u_2 ’ )%gca e s t un po in teur sur l e systeme d ’ axe courantset (gca , ’ xgr id ’ , ’ on ’ , ’ ygr id ’ , ’ on ’ , ’ z g r i d ’ , ’ on ’ )t i t l e ( ’u_2=f (u_1 ,K_A) ’ )

On peut en conclure que grâce à la contre-réaction de haut gain, on a linéariséla caractéristique entrée-sortie. On s’est du même coup rendu quasi-insensible auxvariations temporelles (vieillissement, etc) de l’élément non linéaire.

Application Qu’en est-il de la caractéristique usue

si le gain KA de l’AO del’exercice 6 varie substantiellement au cours du temps, par exemple si l’on aKA = 105 ± 10 % ?

6 Modélisation et schéma fonctionnel de l’ampli-ficateur opérationnel en montage non-inverseur

Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– l’amplificateur opérationnel est idéal, hormis son gain différentiel qui est de

valeur finie ;– tous les éléments sont statique, i.e. leur comportement ne dépend que de

l’entrée présente (système sans mémoire).Le schéma fonctionnel détaillé est ci-dessous :

u e ( t ) K AS

11 2R R+

R 2

u s ( t )

i ( t )-

f _ 0 4 _ 2 . e p s

Le taux de contre-réaction est ici R2

R1+R2

6.1

Le schéma fonctionnel canonique (retour unitaire) est le suivant :

u e ( t ) K AS RR R

2

1 2+-R RR

1 2

2

+ u s ( t )

f _ 0 4 _ 3 . e p s








6.2

Dans ce cas le schéma fonctionnel se réduit à

u e ( t ) K AS-

u s ( t )

f _ 0 4 _ 4 . e p s

et la fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :

Gyw(s) =Us(s)

Ue(s)=

KA

1 +KA

Le système étant par hypothèse purement statique, la fonction de transfert et legain statique se confondent :

Kw =KA

1 +KA

Pour l’erreur statique, on a, dans ce cas particulier :

E∞w = w (∞)− y (∞) = 1− KA

1 +KA

=1

1 +KA

7 Modélisation et schéma fonctionnel d’un ampli-ficateur opérationnel avec charge capacitive

7.1

Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– l’amplificateur opérationnel est idéal, hormis son gain différentiel qui est de

valeur finie fonction de la fréquence ;– les conditions initiales (c.i.) sont nulles.

Le gain différentiel (dynamique) de l’AO peut être approximé par la fonction detransfert :

GA (s) =KA

1 + s · τA

7.2

Le schéma fonctionnel détaillé est :

S-

S-

u e ( t ) K A

f _ 0 5 _ 2 . e p s

1 + s T A

1R s

1s C L

u s ( t )








7.3

La fonction de transfert en boucle ouverte vaut :

Go (s) = GA (s) ·1Rs· 1s·CL

1 + 1Rs· 1s·CL

=KA

(1 + s · τA) · (1 + s ·Rs · CL)

et celle en boucle fermée est :

Gyw (s) =Us(s)

Ue(s)=

Go (s)

1 +Go (s)=

KA

1 +KA

· 1

1 + s · τA+Rs·CL1+KA

+ s2 · τA·Rs·CL1+KA

7.4

Par comparaison avec la fonction de transfert du système fondamental dusecond ordre

G (s) =Y (s)

U (s)=

K

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

=k

(s+ δ)2 + ω20

=k

(s− s1) · (s− s2)=

ks− (−δ + j · ω0)︸︷︷︸s1

·s− (−δ − j · ω0)︸︷︷︸

s2

on a :

ωn =

√1 +KA

τA ·Rs · CL=

√1 + 105

12·π·10 [kHz]

· 100 [Ω] · 10 [µF ]= 2.5066 · 106

[rads

]

ζ =1

2· τA +Rs · CL

1 +KA

·√

1 +KA

τA ·Rs · CL=

1

2· τA +Rs · CL√

(1 +KA) · τA ·Rs · CL

=1

2·

12·π·10[kHz]

+ 100 [Ω] · 10 [µF ]√(1 + 105) · 1

2·π·10[kHz]· 100 [Ω] · 10 [µF ]

= 0.0127

K2 =KA

1 +KA

=105

1 + 105≈ 1

δ = ζ · ωn =1


(1 +KA) · τA ·Rs · CL·√

1 +KA

τA ·Rs · CL=

1

2· τA +Rs · CLτA ·Rs · CL

=1

2·

12·π·10[kHz]

+ 100 [Ω] · 10 [µF ]1

2·π·10[kHz]· 100 [Ω] · 10 [µF ]

= 31916[s−1]






ω0 = ωn ·√

1− ζ2 =

√1 +KA

τA ·Rs · CL·

√√√√1−(

1


(1 +KA) · τA ·Rs · CL

)2

=1

τA ·Rs · CL·√

(1 +KA) · τA ·Rs · CL −1

4· (τA +Rs · CL)2 = 2.5064 · 106

[rads

]

sf1,2 = −δ ± j · ω0 = −31916[s−1]± j · 2.5064 · 106

[s−1]

7.5

Le fichier de commandes MATLAB suivant calcule et trace les réponses indi-cielle et harmonique, de même que la configuration pôle-zéro.

% ParametresKA = 1e5 ;Ta = 1/(2∗pi ∗10 e3 ) ;Rs = 100 ;Cl = 10e−6;

% Fonction de t r a n s f e r t en bouc l e fermeenumGw = KA/(1+KA) ;denGw = [Ta∗Rs∗Cl/(1+KA) , (Ta+Rs∗Cl )/(1+KA) , 1 ] ;

% Af f i chage de zeta , omega_n[ omega_n , zeta ] = damp(denGw)

% Calcu l s manuels de d e l t a e t omega_0% ( f a i s a b l e en pr inc ipe avec roo t s (denGw))

s f = roots (denGw ) ;d e l t a = abs ( real ( s f ) ) ;omega_0 = imag( s f ) ;

% Trace des reponses t empore l l e e t f r e q u e n t i e l l et = linspace (0 ,1 e−4 ,1000);figure ( 1 ) , s tep (numGw,denGw, t )gridsetwidth (1 ) %rout ine s p e c i a l e eivd−MEEomega = logspace ( 5 , 8 , 1 000 ) ;figure ( 2 ) , bode_me(numGw,denGw, omega , ’ ’ , 45)

%rout ine s p e c i a l e eivd−MEE% Conf igurat ion pole−zero

figure ( 3 ) , pzmap(numGw,denGw)






0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f_ra_05_1c.eps

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

100000 1000000 2543345.7613 10000000 100000000−80

−60

−40

−20

0

20

40Diagramme de Bode

gain

[dB

]

100000 1000000 2543345.7613 10000000 100000000−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_05_2c.eps

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0

x 104

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

6

f_ra_05_3c.eps

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis









8 Modélisation et schémas fonctionnels d’un cap-teur de courant de type LEM

8.1

On émet tout d’abord les hypothèses simplificatrices suivantes :– le noyau magnétique n’est pas saturable (la perméabilité relative du noyau

est constante) et ne présente aucun effet d’hystérèse ;– les flux de fuite sont négligeables ;– les effets de frange sont négligés ;– la section du noyau est constante et vaut A ;– les conditions initiales sont nulles.

La figure ci-dessous définit les sens de référence positif des courants primaire i1et secondaire i2 ainsi que les sens des enroulements.

E n r o u l e m e n t p r i m a i r e

E n r o u l e m e n t s e c o n d a i r eR 2 , N 2

i 1i 2

u 2

R mes

+ F 1

+ F 2

f _ 0 6 _ 5 . e p s

On observe qu’avec les références choisies, des courants positifs créent des fluxde mêmes signes (il ne s’agit pas des mêmes conventions que celles prises dansle cours du Prof. C.Richard). Ceci implique que l’inductance mutuelle L12 est icipositive.

Le flux totalisé secondaire est donc :

ψ2 = L22 · i2 + L21 · i1où L2 est l’inductance propre du circuit secondaire et L12 l’inductance mutuelle.

Par suite des hypothèses, on a :L22 = constL21 = const

L’inductance de fuite étant de surcroît négligeable, l’inductance propre L2 seréduit à l’inductance principale L2h :

L22 = Lh2 + Lσ2︸︷︷︸0[H]

= Lh2







La résistance secondaire R2 inclut tout ce qui est ohmique dans le secondaire,c’est-à-dire les résistances de l’enroulement, des câbles et connexions ainsi quecelle de mesure (shunt Rmes).

L’équation de la tension induite au secondaire s’écrit :

u2 = R2 · i2 +dψ2

dt

et devient :

u2 = R2 · i2 + L22 ·di2dt

+ L21 ·di1dt

Le flux traversant le noyau magnétique est donné par :

φ2 =ψ2

N2

En se souvenant que le courant secondaire i2 tend à compenser l’effet du courantprimaire i1, on en conclut que Φ doit être en principe proche de zéro et que lesflux Φ1 et Φ2 sont de signes opposés. Un avantage en est qu’il est peu probableque le noyau sature.

De plus, les courants i1 et i2 doivent être de signes opposés. Pour remplircette condition, il faut qu’à l’existence d’un flux Φ non-nul le système réagisse enprovoquant une tension u2 de signe contraire à Φ : il doit y avoir contre-réaction(opposition à la cause) :

u2 ∝ Φ ⇒ u2 = −KA ·B

Les modèles en t et en s complets s’écrivent donc :

u2 = KA · (Bc −B)u2 = R2 · i2 + L22 · di2dt + L21 · di1dtψ2 = L22 · i2 + L21 · i1φ2 = ψ2

N2

B = φ2A

U2 (s) = KA · (Bc (s)−B (s))U2 (s) = R2 · I2 (s) + s · L22 · I2 (s) + s · L21 · I1 (s)Ψ2 (s) = L22 · I2 (s) + L21 · I1 (s)

Φ2 (s) = Ψ2(s)N2

B (s) = Φ2(s)A

8.2

Le schéma fonctionnel détaillé correspondant aux équations est le suivant. Onl’a disposé de façon à mettre en évidence les signaux d’entrée et de sortie. Lesignal d’entrée est le courant primaire i1, alors que celui de sortie est le courantsecondaire i2.






-S-

S 12L

- K A 1A

12N

i 1Y 2u 2 i 2

L 1 2

f _ 0 6 _ 1 . e p s

R 2

8.3

Pour obtenir un schéma fonctionnel s’apparentant au schéma fonctionnel uni-versel d’un système de régulation automatique, on transforme le schéma obtenuau § 8.2 page précédente comme suit,

-

S-

S

v ( t ) = i 1

Y 2

B

i 2L 1 2

S-

u ( t) = u

2( t )

w ( t ) = B c = 0 [ T ] y ( t ) = B ( t )K A

R 2 1 / L 2

1 / N 2 1 / A1 / sdd tY 2

f _ 0 6 _ 2 . e p s

où l’on a gardé à l’esprit les équations obtenues au § 8.1 page ci-contre. Il s’agitplutôt d’une régulation de maintien : la consigne est un champ d’induction Bc

constamment égal à 0 [T ], la grandeur réglée étant le champ d’induction B dansle noyau. Les perturbations sont représentées par le courant primaire i1.








8.4

La fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression (boucle ouverte,v(t) = i1 = 0 [A]), en se basant sur le schéma fonctionnel ci-dessus :

Go (s) = KA ·1s

1 + 1s· R2

L2

· 1

N2 · A

= KA ·L2

R2

1 + s · L2

R2

· 1

N2 · A

=KA · L2

R2 ·N2 · A· 1

1 + s · L2

R2

= Ko ·1

1 + s · To

Celle en boucle fermée vaut :

Gyw (s) =B (s)

Bc (s)=

Go (s)

1 +Go (s)

=Ko · 1

1+s·To1 +Ko · 1

1+s·To=

Ko

1 + s · To +Ko

=Ko

1 +Ko

· 1

1 + s · To1+Ko

= Kw ·1

1 + s · Tw

8.5

Partant du schéma fonctionnel de l’exercice 8.2 page 18, on procède à lamodification ci-dessous

Y 2

S 12L

i 2-

S 1s

- K A 1A

12Nu 2

i 1 L 1 2

- R 2f _ 0 6 _ 4 . e p s







afin d’obtenir un schéma se présentant sous une forme connue. La fonction detransfert du sous-système mis en évidence apour expression :

I2 (s) = −L12 ·1L2

1 + 1s· R2

L2

· I1 (s) +1s· 1L2

1 + 1s· R2

L2

· U2 (s)

= −L12 ·1R2· s

1 + s · L2

R2

· I1 (s) +1R2

1 + s · L2

R2

·(−KA ·

1

A· 1

N2

· (L12 · I1 (s) + L2 · I2 (s))

)I2 (s) =

1

1 + s · L2

R2

·(−L12

R2

· s− KA · L12

R2 · A ·N2

)· I1 (s)−

KA·L2

R2·A·N2

1 + s · L2

R2

· I2 (s)

I2 (s) ·(

1 +KA·L2

R2·A·N2

1 + s · L2

R2

)=

1

1 + s · L2

R2

·(−L12

R2

· s− KA · L12

R2 · A ·N2

)· I1 (s)

I2 (s) ·(

1 + s · L2

R2

+KA · L2

R2 · A ·N2

)=

(−L12

R2

· s− KA · L12

R2 · A ·N2

)· I1 (s)

Gwi (s) =I2 (s)

I1 (s)=

(−L12

R2· s− KA·L12

R2·A·N2

)(

1 + s · L2

R2+ KA·L2

R2·A·N2

) = −KA·L12

R2·A·N2

1 + KA·L2

R2·A·N2

·

(1 + s ·

L12R2

KA·L12R2·A·N2

)(

1 + s ·L2R2

1+KA·L2R2·A·N2

)

= −KA·L12

R2·A·N2

1 + KA·L2

R2·A·N2

·

(1 + s · A·N2

KA

)(

1 + s ·L2R2

1+KA·L2R2·A·N2

)Gwi (s) =

I2 (s)

I1 (s)=

−L12 ·KA

L2 ·KA +R2 ·N2 · A·

1 + s · N2·AKA

1 + s · N2·A·L2

L2·KA+R2·N2·A= Kwi ·

1 + s · Toi1 + s · Tfi

La configuration pôle-zéro est représentée ci-dessous.






0 R e

I ms

s f i = - 1 / T f i

f _ 0 6 _ 8 . e p s

z i = - 1 / T o i

Le gain statique de la fonction de transfert est obtenu en posant s = j · ω,pour ω → 0

[ rads

]:

Kwi =i2 (∞)

i1 (∞)=

−L12 ·KA

L2 ·KA +R2 ·N2 · A

8.6

La réponse à un saut de courant primaire s’obtient par transformation deLaplace inverse. On a :

I2 (s) = Gwi(s)·I1 (s) = Kwi·1 + s · Toi1 + s · Tfi

·1s

= Kwi·[

1

1 + s · Tfi· 1

s+

Toi1 + s · Tfi

]·I1 (s)

i2(t) = L−1 (I2(s)) = Kwi ·[(

1− e−tTfi

)+ Toi ·

1

Tfi· e−

tTfi

]· ε(t)

= Kwi ·[1− e−

tTfi ·

(1− Toi

Tfi

)]· ε(t)

On remarque que lorsque la résistance secondaire R2 est nulle, on a :

Gwi (s) =I2 (s)

I1 (s)=−L12 ·KA

L2 ·KA

·1 + s · N2·A

KA

1 + s · N2·A·L2

L2·KA=−L12

L2

= −N1

N2

Le courant secondaire est lié statiquement au courant primaire ! Les deux courantssont alors simplement dans le rapport des nombres de spires.







9 Modélisation et schéma fonctionnel d’un entraî-nement avec transmission flexible

9.1

Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– les coefficients de frottement visqueux sont supposés constants et connus ;– les conditions initiales sont nulles.

y

0

q 1

x

y

0

q 2

x

f _ 0 7 _ 0 3 . e p s

Les positions angulaires des deux inerties sont repérées par les angles θ1 et θ2, lesconventions de signes étant celle du cercle trigonométrique.

On suppose que le frottement est purement visqueux et qu’il est parfaitementlinéaire avec la vitesse. Pour la résolution qui suit, on prend en compte le cas oùles coefficients de frottement visqueux des deux paliers sont différents.

Les équations de la dynamique s’écrivent, appliquées aux inerties 1 et 2 :

J1 · α1(t) = Tem(t)−Rf1 · ω(t)1 + T12(t)

J2 · α2(t) = −Rf2 · ω2(t) + T21(t)

où– T12 traduit l’effet de J2 sur J1 ;– T21 traduit l’effet de J1 sur J2.







Les couples T12 et T21 ont pour expressions :

T12(t) = k · (θ2(t)− θ1(t))

T21(t) = k · (θ1(t)− θ2(t)) = −T12(t)

On vérifie que si par exemple J2 est est avance sur J1,i.e. θ2 > θ1, J2 a tendance aattirer J1, lui appliquant un couple T12 positif, alors qu’inversément, J1 "retient"J2 avec le couple T12 négatif.

Les équations dynamiques (modèles en t et en s) deviennent :

J1 · α1(t) = Tem(t)−Rf1 · ω1(t) + k · (θ2(t)− θ1(t))

J2 · α2(t) = −Rf2 · ω2(t) + k · (θ1(t)− θ2(t))

(J1 · s2 +Rf1 · s+ k

)·Θ1 (s) = Tem (s) + k ·Θ2 (s)(

J2 · s2 +Rf2 · s+ k)·Θ2 (s) = k ·Θ1 (s)

Les équations d’états peuvent se déduire presque directement du modèleen t ci-dessus. On a tout d’abord :

J1 ·dω1

dt= Tem(t)−Rf1 · ω1(t) + k · (θ2(t)− θ1(t))

J2 ·dω2

dt= −Rf2 · ω2(t) + k · (θ1(t)− θ2(t))

Les variables θ1(t) et θ2(t) n’étant pas déterminées, cela démontre que le modèleest incomplet et qu’il faut lui adjoindre les deux équations :

dθ1

dt= ω1(t)

dθ2

dt= ω2(t)

Le comportement dynamique du système est donc entièrement décrit pas lesquatre équations différentielles d’ordre 1

dω1

dt= −Rf1

J1

· ω1(t)− k

J1

· θ1(t) +k

J1

· θ2(t) +1

J1

· Tem(t)

dω2

dt= −Rf2

J2

· ω2(t) +k

J2

· θ1(t)− k

J2

· θ2(t)

dθ1

dt= ω1(t)

dθ2

dt= ω2(t)






et l’on vérifie que le modèle est cette fois complet puisque le membre de gauche(les dérivées des variables d’état par rapport au temps) s’exprime en utilisantexclusivement les variables d’état et l’entrée ([20, §4.5]). Sous forme matricielle,on a encore :

d

dt

ω1

ω2

θ1

θ2

︸︷︷︸

~x

=

−Rf1

J10 − k

J1+ kJ1

0 −Rf2J2

+ kJ2− kJ2

1 0 0 00 1 0 0

︸︷︷︸

A

·

ω1

ω2

θ1

θ2

︸︷︷︸

~x

+

1J1

000

︸︷︷︸B

· Tem︸︷︷︸u

Le système différentiel ci-dessus définit l’évolution au cours du temps des gran-deurs internes du système, i.e. les variables d’état. La sortie du système s’exprimecomme une combinaison linéaire de ceux-ci. La sortie sélectionnée pourrait dansun premier temps être la position angulaire en bout d’arbre, i.e. θ2 ce que l’onécrit y = θ2. L’équation d’état différentielle ci-dessus doit donc être complétéepar l’équation de sortie :

θ2︸︷︷︸y

=[0 0 0 1

]︸︷︷︸C

·

ω1

ω2

θ1

θ2

︸︷︷︸

~x

+[0]︸︷︷︸

D

· Tem︸︷︷︸u

Notons que le formalisme de la représentation d’état permet facilement de traiterle cas où le système a plusieurs sorties, par exemple θ2 et θ1 : il suffit d’adapterles matrices C et D, comme on le montre ci-dessous.

[θ2

θ1

]︸︷︷︸~y

=

[0 0 0 10 0 1 0

]︸︷︷︸

C

·

ω1

ω2

θ1

θ2

︸︷︷︸

~x

+

[00

]︸︷︷︸D

· Tem︸︷︷︸u

9.2

La seconde équation du modèle en s permet de calculer tout d’abord la fonc-tion de transfert G3 (s) :

G3 (s) =A2 (s)

A1 (s)=

k

J2 · s2 +Rf2 · s+ k=

1

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2






Pour G1 (s), on a successivement :

G1 (s) =s2 · θ1 (s)

Tem (s)=

A1 (s)

Tem (s)

=s2(

(J1 · s2 +Rf1 · s+ k)− k(1+

Rf2k·s+J2

k·s2))

=s2 ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(J1 · s2 +Rf1 · s+ k) ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)− k

=1

k·

s2 ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(1 +

Rf1k· s+ J1

k· s2)·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)− 1

=1

k·

s2 ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(1 +

Rf1k· s+ J1

k· s2)·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)− 1

=1

k·

s2 ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(s ·(Rf1k

+Rf2k

)+ s2 ·

(J1k

+ J2k

+Rf1·Rf2

k2

)+ s3 ·

(J1·Rf2k2

+J2·Rf1k2

)+ J1·J2

k2· s4)

=1

(Rf1 +Rf2)·

s ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(1 + s ·

(J1k

+J2k

+Rf1·Rf2

k2

)(Rf1k

+Rf2k

) + s2 ·(J1·Rf2k2

+J2·Rf1k2

)(Rf1k

+Rf2k

) +J1·J2k2(

Rf1k

+Rf2k

) · s3

)

=1

k·

s2 ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(s ·(Rf1k

+Rf2k

)+ s2 ·

(J1k

+ J2k

+Rf1·Rf2

k2

)+ s3 ·

(J1·Rf2k2

+J2·Rf1k2

)+ s4 · J1·J2

k2

)=

1

(Rf1 +Rf2)·

s ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(1 + s ·

(J1k

+J2k

+Rf1·Rf2

k2

)(Rf1k

+Rf2k

) + s2 ·(J1·Rf2k2

+J2·Rf1k2

)(Rf1k

+Rf2k

) + s3 ·J1·J2k2(

Rf1k

+Rf2k

))

On obtient après une dernière mise en forme :

G1 (s) =1

(Rf1 +Rf2)·

s ·(

1 +Rf2k· s+ J2

k· s2)

(1 + s · ((J1+J2)·k+Rf1·Rf2)

k·(Rf1+Rf2)+ s2 · (J1·Rf2+J2·Rf1)

k·(Rf1+Rf2)+ J1·J2

k·(Rf1+Rf2)· s3

)Pour G2 (s), on a simplement :






G2 (s) =A2 (s)

Tem (s)=

A1 (s)

Tem (s)· A2 (s)

A1 (s)= G1 (s) ·G3 (s)

=1

(Rf1 +Rf2)· s(

1 + s · ((J1+J2)·k+Rf1·Rf2)k·(Rf1+Rf2)

+ s2 · (J1·Rf2+J2·Rf1)k·(Rf1+Rf2)

+ J1·J2k·(Rf1+Rf2)

· s3

)

9.3

Les pôles de G1 (s) et G2 (s) sont donnés par la résolution de l’équation ca-ractéristique :

dc (s) = 1+s·((J1 + J2) · k +Rf1 ·Rf2)

k · (Rf1 +Rf2)+s2·(J1 ·Rf2 + J2 ·Rf1)

k · (Rf1 +Rf2)+

J1 · J2

k · (Rf1 +Rf2)·s3 = 0

Une solution numérique s’impose dans le cas général. PourRf1 = Rf2 = 0 [N ·m · s],on a :

dc (s) = s · (J1 + J2) · k + J1 · J2 · s3 = s ·((J1 + J2) · k + J1 · J2 · s2

)= 0

s1,2 = ±j ·√k · (J1 + J2)

J1 · J2

s3 = 0

[rads

]

Pour les pôles de G3 (s), on a plus simplement :

dc (s) = 1 +Rf2

k· s+

J2

k· s2 = 0

On obtient :

s1,2 =−Rf2

k±√(

Rf2k

)2

− 4 · J2k

2 · J2k

=−Rf2 ±

√R2f2 − 4 · J2 · k

2 · J2

= ±j ·√

k

J2






R e0

sI m

f _ 0 7 _ 0 6 . e p s

Dans les trois cas, les fonctions de transfert exhibent une paire de pôles imagi-naires purs lorsque le frottement visqueux est nul, ce qui démontre par ailleursl’effet stabilisant de celui-ci. On est alors en présence d’oscillateurs mécaniques.Même en présence de frottement visqueux, ce genre de système à régler s’avèreparticulièrement ardu à asservir s’il est nécessaire, tout en garantissant la stabi-lité, de maintenir les exigences de rapidité et de précision imposées par le cahierdes charges.

9.4

Le schéma fonctionnel détaillé se présente comme suit. On remarque qu’ilapparaît comme demandé sous une forme où les seuls éléments dynamiques sontdes intégrateurs.

T e m ( t )-

- q 1 ( t )q 2 ( t )

w 1 ( t )

w 2 ( t )a 2 ( t )

a 1 ( t )

q 1 ( t )

S

R f 1

S k S

R f 2

1J 11J 1

1s

1s

1J 2

1s

1s

f _ 0 7 _ 0 4 . e p s

9.5

Le fichier de commandes MATLAB suivant permet de tracer les réponses im-pulsionnelle et fréquentielle.

%/∗%∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗%Version Date Auteur Motif%0 23/12/96 MEE Creation% . . . . . . . . . ( Mod i f i ca t ions )








%∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗%∗/% Parametres

J1 = 0.45 e−3;J2 = 20e−3;Rf = 20e−3;k = 1740 ;

% Modele d ’ e t a tA = [

−Rf/J1 0 −k/J1 +k/J10 −Rf/J2 +k/J2 −k/J21 0 0 00 1 0 0

] ;B = [1/ J1 , 0 , 0 , 0 ] ’ ;C = [

0 0 0 10 0 1 0

] ;D = zeros ( 2 , 1 ) ;

% Reponse impu l s i onne l l et = linspace ( 0 , 0 . 1 , 5 0 0 ) ;figure ( 1 ) , impulse (A,B,C,D, 1 , t ) ;grid

% Reponse f r e q u e n t i e l l efigure ( 2 ) , bode (A,B,C,D, 1 ) ;

% Conf igurat ion pole−zerofigure ( 3 ) , pzmap(A,B,C,D) ;damp(A)

Le tracé des réponses impulsionnelles g1(t) et g2(t) ne reflétant a priori quepeut le caractère oscillatoire du système,

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5

0

5

10

15

20

25Réponse impulsionnelle

t [s]

g(t)

Ga1

(s)G

a2(s)

f_ra_07_1c.eps

il faut examiner plus en détails les premiers instants de cette réponse pour mettreclairement en évidence le comportement oscillatoire attendu.







0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−1

0

1

2

3

4

5Réponse impulsionnelle

t [s]

g(t)

Ga1

(s)G

a2(s)

f_ra_07_2c.eps

La réponse fréquentielle met quant à elle clairement en évidence le phénomène.

100

101

102

103

104

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Diagrammes de Bode de Ga1

(s) et Ga2

(s)

gain

[dB

]

100

101

102

103

104

−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

Ga1

(jω)G

a2(jω)

f_ra_07_3c.eps

La configuration pôle-zéro montre dans chaque cas une paire pôles complexesconjugués. Leur taux d’amortissement s’obtient facilement par la commandedamp.








−25 −20 −15 −10 −5 0−2500

−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

2500

f_ra_07_4c.eps

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis







10 Asservissement de vitesse

10.1

Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– le moteur travaille en zone non saturée ;– l’effet de réaction d’induit est négligeable car le moteur est compensé ;– la constante de couple KT du moteur est invariable et connue ;– la charge est supposée n’être qu’une inertie J ; en particulier le frottementvisqueux est supposé négligeable ;

– les conditions initiales sont nulles.Le moteur est commandé en courant, ce qui signifie qu’un dispositif (i.e. une

source de courant) permet de l’imposer. Si l’on considère que la source de courantest idéale, on peut la modéliser par un simple gain statique Kwi = 1

K′T

[AV

]et de

ce fait les équations se simplifient notablement par rapport à la commande entension :

e(t) = w(t)− y(t)

u = Kp · e(t)ia(t) = Kwi · u(t)

Tem(t) = KT · ia(t)

J · dωdt

= Tem(t)− Tres(t)y(t) = Kmω · ω(t)

De manière équivalente, le système peut être représenté par le schéma fonctionnel :

M O T E U R + C H A R G E + C A P T E U R

wS S

-

+ ++ y

K m w1J s×K TK p

u = T e m ce i a T e m

R E G U L A T E U R

A M P L I F I C A T E U RD E P U I S S A N C E

( S O U R C E D E C O U R A N TC O M M A N D E E )

w

v ( t ) = T r é s ( t )

G a ( s )

f _ 1 2 _ 2 . e p s

K w i

Dans l’esprit du concepteur de ce système asservi, le régulateur de vitesse, detype P, fournit un signal électrique Temc [V] (très probablement en [V] puisquele régulateur P est certainement réalisé avec une électronique à AO) portantl’information "couple à appliquer à la charge J en vue d’annuler l’erreur e". Auxunités près, il faudrait idéalement (mais ce n’est pas indispensable) que la valeurnumérique du signal "couple électro-magnétique" Tem coïncide avec celle du signal







électrique Temc. Pour que le moteur produise le couple Tem, l’induit devrait doncêtre traversé par le courant

ia =TemKT

= Kwi · Temc =TemcK ′T

opération réalisée par une source de courant de fonction de transfert

Kwi =1

K ′T≈ 1

KT · 1[V

N·m]

On admet ici qu’un modèle purement statique de la source de courant est réaliste.On remarque que la mise en série des deux blocs

i a K TT e m c

T e m c

T e m

T e m1 [ N m / V ]

1 / K T '

f _ 1 2 _ 6 . e p s

revient à faire une simple conversion d’unités. Ceci n’est bien sûr valable que sila valeur de KT est suffisamment bien connue pour que l’on puisse construire legain inverse Kwi = 1

K′T.

L’unité physique du gain Kp du régulateur est ici le[V

V

]= [−]. Derrière cette

unité se cachent cependant des[

N·mrads

]. Le concepteur du système de régulation a

donc proposé une solution consistant à imposer un couple proportionnel à l’erreurde vitesse.

10.2

La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :

Go (s) =Kp·Kmω

J

s=Ko

s

Elle est de type α = 1. En boucle fermée (régulation de correspondance), le retourétant unitaire, on a :

Gyw (s) =Y (s)

W (s)=

Go (s)

1 +Go (s)=

Kp·KmωJ

s=

Ko

s+Ko

=1

1 + s · τf︸︷︷︸1Ko







oùKo =

Kp ·Kmω

J

Remarque Le gain statique en boucle fermée vaut 1 (régulation de corres-pondance). L’erreur statique en régulation de correspondance est par conséquentnulle.

Pour la fonction de transfert en régulation de maintien, on a :

Gyv (s) =Y (s)

V (s)=

Ga2 (s)

1 +Go (s)=

KmωJ ·s

1 + Kp·KmωJ ·s

=Kmω

J · s+Kp ·Kmω

=1

Kp

· 1

1 + s · JKp·Kmω

=1

Kp

· 1

1 + s · τf

Le gain statique est ici non-nul, cependant inversément proportionnel à Kp . Ona donc intérêt, comme en régulation de correspondance, à ce que ce dernier soitle plus élevé possible.

10.3

Il serait idéalement nécessaire d’asservir également le couple moteur Tem à laconsigne de couple Temc. Pratiquement, le couple étant directement proportionnelau courant d’induit ia, et moins facilement mesurable que ce même courant, c’estun asservissement de courant qui devrait être réalisé. Le schéma fonctionnel d’untel asservissement serait le suivant :

S

R E G U L A T E U RD E C O U R A N T

A M P L I F I C A T E U RD E P U I S S A N C E

C H A R G EE L E C T R I Q U E

C A P T E U R D EC O U R A N T

-

e i i a

i a m

u u ai a c G a i 2 ( s )G a i 1 ( s )G c i ( s )

G m i ( s )

f _ 1 2 _ 3 . e p s

Le régulateur de courant forme, à partir de l’erreur en courant, un signal re-présentant la tension à appliquer au moteur afin d’annuler l’erreur. Cette ten-sion est produite par un amplificateur de puissance (par exemple un variateurou un convertisseur de courant) et alimente le moteur. Il faut tenir compte del’existence de perturbations de tension (FEM du moteur, variation de la tensiond’alimentation de l’amplificateur de puissance, etc). L’investissement d’un cap-teur de courant est nécessaire, celui-ci produisant un signal portant l’information"valeur actuelle du courant". Un capteur de courant approprié serait un "LEM"(cf exercice 8 page 17)







La partie située entre les signaux iac"courant de consigne" et iam "courantréglé" est à insérer dans le schéma fonctionnel de la régulation de vitesse, commesuit :


wS S

-

++ y

K m wK TK pT e m ce i a T e m

vR E G U L A T E U RP D E V I T E S S E

i a c

A S S E R V I S S E M E N TD E C O U R A N T

G w i ( s )1 / K T ' 1 / ( J s )

f _ 1 2 _ 4 . e p s

10.4

La fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) a été obtenue au point 10.2page 33. Le système en boucle ouverte est donc de type α = 1. L’intégrationétant située après l’introduction des perturbations, on a :

α1 = 0 α2 = 1

Les valeurs des erreurs permanentes se déduisent alors immédiatement du tableaudesdites erreurs.

Erreur statique Erreur en vitesseRégulationde corres-pondance

E∞w = 0 Evw = 1Ko

= 1Kp·KT ·Kmω

K′T·J

6= 0

Régulationde main-tien

E∞v = Ka2Ko

=KmωJ

Kp·KT ·KmωK′T·J

=

K′TKT ·Kp 6= 0

Evw =∞

11 Asservissement de position angulaire par ré-gulateurs P et PD

11.1

La consigne w est maintenant une consigne de position puisque la grandeurcontre-réactionnée avec laquelle elle est comparée est une mesure de position. Laposition étant asservie, il est impératif de la mesurer, au moyen d’un capteur deposition (encodeur incrémental, resolver). La dynamo tachymétrique n’est désor-mais plus nécessaire.







yK m q

R E G U L A T E U RP D E P O S I T I O N

1s


wS S

-

++

1J s×K TK p

T e m ce i a T e m

v

i a c

A S S E R V I S S E M E N TD E C O U R A N T

G w i ( s )1 / K T '

f _ 1 3 _ 6 . e p s

L’unité physique du gain Kp du régulateur est au vu de son implantation le[VV

]= [−]. Derrière cette unité se cachent maintenant des

[N·mrad

], que l’on pourrait

décrire comme une rigidité en torsion.

11.2

Le souci principal de l’automaticien est la stabilité en boucle fermée, conditionimpérative pour rendre le système asservi utilisable. On teste donc la stabilité enboucle fermée en recherchant les pôles de la fonction de transfert correspondante.

Afin de vérifier si le système est stable ou instable en boucle fermée, on formel’équation caractéristique (dénominateur des fonctions de transfert en boucle fer-mée), dont les solutions fournissent les pôles en boucle fermée. On a tout d’abord

1 +Go (s) = 0

1 +Ko · No(s)Do(s)= 0

puis pour l’équation caractéristique proprement dite

dc (s) = Do (s) +Ko ·No (s) = 0

où les polynômes No(s) et Do(s) ainsi que le gain Ko entrant en jeu sont définispar la fonction de transfert en boucle ouverte :

Go (s) = Ko ·No (s)

Do (s)=Kp ·Kmθ

J · s2=Ko

s2

On a donc :

dc (s) = s2 +Ko = 0 =⇒ sf1,2 = ±j ·√Ko = ±j ·

√Kp ·Kmθ

J

Les pôles sont imaginaires purs et se situent exactement sur la limite de stabilité.Le système est donc, au sens de l’utilisateur, instable et donc inutilisable.

11.3

Les pôles sont sur l’axe imaginaire ; on peut en déduire que le système oscilleà la pulsation (propre du régime libre)

ω0 =

√Kp ·Kmθ

J

ce qui est confirmé par l’examen de la réponse impulsionnelle en boucle fermée :







Configuration pôle-zéro Réponse impulsionnelle

s

R e

I m

0

s

'T

mTp

KJKKKj

×××

×+ q

'T

mTp

KJKKKj

×××

×- q

f _ 1 3 _ 3 . e p s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t [s]

g(t)

Réponse impulsionnelle en boucle fermée

f_ra_13_1c.eps

11.4

La fonction de transfert du régulateur PD est :

Gc (s) = Kp · (1 + s · Td)

La fonction de transfert en boucle ouverte est ainsi

Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) =Kp · (1 + s · Td) ·KT ·Kmθ

K ′T · J · s2=Ko · (1 + s · Td)

s2

et celle en boucle fermée est :

Gyw (s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 +Go(s)

=Ko·(1+s·Td)

s2

1 + Ko·(1+s·Td)s2

=Ko · (1 + s · Td)

s2 +Ko · (1 + s · Td)=

1 + s · Td1 + s · Td + s2

Ko

La valeur limite du gain Ko est obtenue en appliquant le critère de Routh 1,donnant pour résultat :

Ko = Kp ·Kmθ > 0

Il n’y a donc pas de limite supérieure à la valeur de Ko, qui peut ainsi êtrethéoriquement infini tout en maintenant la stabilité en boucle fermée.

Cela se confirme su l’on calcule explicitement les pôles en boucle fermée :

sf1,2 =−Td ±

√T 2d − 4

Ko

2Ko

=−Td ·Ko

2±Ko ·

√T 2d − 4

Ko

2

1. Le critère de Routh n’est pas systématiquement présenté au cours.








Selon les valeurs des coefficients, les pôles peuvent être réels ou complexes, maisle fait essentiel est qu’il sont maintenant à partie réelle négative. Le système enboucle fermée est ainsi stabilisé par la contribution dérivée du régulateur PD.

On a tracé ci-dessous ce qu’on appelle le lieu des pôles (ou lieu des d’Evans)en boucle fermée, pour 0 < Kp <∞, indiquant l’évolution de la position des pôlesen boucle fermée en fonction de Kp. L’opération revient à résoudre une infinité defois (i.e. pour chaque valeur de Kp) de l’équation caractéristique (ou directementla relation donnant les pôles) et à reporter chaque fois dans le plan complexe lespôles obtenus. Le lieu des pôles est étudié en détail ultérieurement. Ce lieu esten partie un cercle : pour des faibles valeurs de Kp, les pôles sont complexes ets’éloignent progressivement de l’axe imaginaire. Pour Kp suffisamment élevé, lespôles rejoignent l’axe réel, l’un partant en direction de l’infini négatif et l’autres’approchant du zéro.

R e

I m

K p = 0K p¥ K p ® ¥

0

s S

-1T d

2 p ô l e se n b o u c l eo u v e r t e

1 z é r oe n b o u c l eo u v e r t e

f _ 1 3 _ 2 . e p s

Le schéma de principe de la réalisation électronique d’un régulateur PD est lesuivant :

+-e ( t )

u ( t )R d

R pC d

f _ 1 3 _ 4 . e p s

La fonction de transfert du régulateur PD réalisable est :

Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp ·

(1 +

s · Td1 + s · a · Td

)Corrigé des exercices 38 MEE \co_ra.tex

18 septembre 2011







La transformée de Laplace de la réponse indicielle est ainsi :

U (s) = Kp ·(

1 +s · Td

1 + s · a · Td

)· E (s) = Kp ·

(1 +

s · Td1 + s · a · Td

)· 1

s

= Kp ·(

1

s+

Td1 + s · a · Td

)

Par inversion, on trouve :

u (t) = Kp ·(ε (t) + ε (t) · 1

a· e−

ta·Td

)Graphiquement, le résultat est le suivant :

0 t

K p

K p ( 1 + 1 / a )

a T d

K p / a

K p

f _ 1 3 _ 5 . e p s

11.5

Si l’on impose un comportement optimal en boucle fermée, cela signifie, avecles conventions prises dans le cadre du cours, que l’on souhaite avoir un systèmeasservi à pôles dominants caractérisés par un taux d’amortissement ζ de 0.5.Selon l’exercice 11.4, on a en boucle fermée :

Gyw (s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 +Go(s)=

1 + s · Td1 + s · Td + s2

Ko

La comparaison avec le dénominateur de la fonction de transfert d’un systèmefondamental d’ordre 2 (mis également sous forme de Bode !) amène :

Td =2 · ζωn

1

Ko

=1

ω2n

On en déduit :Td =

2 · ζωn

=2 · ζ√Ko

=2 · ζ√

Kp·KT ·KmθK′T ·J







La valeur de Kp peut elle être par exemple fixée en imposant, lorsque c’estpossible, la durée de réglage Treg. Celle-ci est liée à la partie réelle des pôles enboucle fermée :

Treg =3

δ

Or

δ = ζ · ωn

et ainsi

ζ · ωn =3

Treg

ζ ·√Ko =

3

Treg

ζ2 ·Ko =9

T2reg

ζ2 · Kp ·KT ·Kmθ

K ′T · J=

9

T2reg

d’où

Kp =9

T2reg · ζ2 · KT ·Kmθ

K′T ·J

11.6

Si l’on tient compte de l’existence de frottement visqueux sur l’arbre, le schémafonctionnel est modifié comme suit :

wK m q

1s

wS S

-

++

1J s×K TK p

T e m ce i a T e m

v

i a c G w i ( s )1 / K T '

f _ 1 3 _ 7 . e p s

R f

-

On a pour la fonction de transfert en boucle ouverte

Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) =Kp ·KT

K ′T·

1Rf

1 + s · JRf

· Kmθ

s=Ko

s· 1

1 + s · JRf







et pour celle en boucle fermée :

Gyw (s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 +Go(s)

=

Kos· 1

1+s· JRf

1 + Kos· 1

1+s· JRf

=Ko

s ·(

1 + s · JRf

)+Ko

=1

1 + s · 1Ko

+ s2 · JKo·Rf

=1

1 + s · Rf ·K ′TKp ·KT ·Kmθ︸︷︷︸

2·ζωn

+s2 · J ·K ′TKp ·KT ·Kmθ︸︷︷︸

1

ω2n

On voit que l’effet du frottement visqueux, du point de vue de la stabilité enboucle fermée, est équivalent à celui de l’action dérivée.

12 Asservissement de courant

12.1 Fonctions de transfert

La fonction de transfert d’un régulateur PI est donnée par (cf cours, chap.4)Gc(s) = U(s)

E(s)= Kp · 1+s·Ti

s·Ti .

Le circuit électrique correspond à la fonction de transfert Ia(s)Ua(s)

= 1Ra+s·La =

1Ra

1+s·LaRa

. La fonction de transfert du système à régler est ainsi, en posant upert =

0 [V] :

Ga(s) =Iam(s)

U(s)= KA ·

1Ra

1 + s · LaRa

·Kmi =Ka

1 + s · τa

La fonction de transfert en boucle ouverte est alors :

Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) = Kp ·1 + s · Tis · Ti

· Ka

1 + s · τa=Ko

s· 1 + s · Ti

1 + s · τa






Pour la fonction de transfert en régulation de correspondance, on a :

Gyw(s) =Iam(s)

Iac(s)=

Go(s)

1 +Go(s)

=Kos· 1+s·Ti

1+s·τa1 + Ko

s· 1+s·Ti

1+s·τa

=Ko · (1 + s · Ti)

s · (1 + s · τa) +Ko · (1 + s · Ti)

=Ko · (1 + s · Ti)

s2 · τa + s · (1 +Ko · Ti) +Ko

=1 + s · Ti

1 + s ·(

1Ko

+ Ti

)+ s2 · τa

Ko

Pour la fonction de transfert en régulation de maintien, on a :

Gyv(s) =Iam(s)

Upert(s)=

Ga2(s)

1 +Go(s)

=

KaKA

1+s·τa1 + Ko

s· 1+s·Ti

1+s·τa

=KaKA· s

s · (1 + s · τa) +Ko · (1 + s · Ti)

=KaKA· s

s+ s2 · τa +Ko + s ·Ko · Ti

=Ka

KA·Ko · s1 + s ·

(1Ko

+ Ti

)+ s2 · τa

Ko

=

TiKA·Kp · s

1 + s ·(

1Ko

+ Ti

)+ s2 · τa

Ko

12.2 Caractéristiques dynamiques en boucle fermée

Il faut identifier355305.7584

s2 + 888.6 · s+ 3.948 · 105

avec la forme de Bode de la fonction de transfert d’un système fondamentald’ordre 2

Kw

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2






On a :

355305.7584

s2 + 888.6 · s+ 3.948 · 105=

1

3.948 · 105· 355305.7584

13.948·105

· s2 + 888.63.948·105

· s+ 1=

Kw

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

On en déduit :– le gain statique de Gw(s) vaut Kw = 355305.7584

3.948·105= 0.9

– la pulsation propre non-amortie de Gw(s) :

ωn =√

3.948 · 105 = 628

[rads

]= 2 · π · 100 [Hz]

– le taux d’amortissement de Gw(s) :

2 · ζωn

=888.6

3.948 · 105

ζ =1

2· 888.6

628= 0.7075 ≈

√2

2

12.3 Réponse indicielle en boucle fermée

On a avec Gw(s) un système fondamental d’ordre 2, de gain statique Kw =0.75 et de taux d’amortissement ζ = 0.5. La valeur finale de la réponse indiciellesera donc à 0.75 · iac∞ = 0.75 et environ une oscillation complète sera observableavant stabilisation, comme le montre la figure ci-dessous.

iac(t)

Kw · iac∞

iam(t)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0

0.5

1

1.5

t [s]

iac(t), iam(t)Corrigé des exercices 43 MEE \co_ra.tex

18 septembre 2011





13 L’intégrateur : ou, combien et . . . pourquoi ?Comme on se contente d’étudier la précision en régime permanent, les diffé-

rentes fonctions de transfert peuvent être simplifiées en négligeant leurs zéros etleurs pôles, exception faite de ceux correspondant à un comportement intégrateur.On a donc :

Gc (s) ·Ga1 (s) =Ka1

sα1·Ra1 (s) ≈ Ka1

sα1

Ga2 (s) =Ka2

sα2·Ra2 (s) ≈ Ka2

sα2






13.1

e S Ksa 2 × KK a 1 × K

+-

v

y

u

0 t

v ( t )

0 t

u ( t )

0u ( t ) - v ( t )

t0 t

e ( t )

0 t

y ( t )

f _ 1 4 _ 2 . e p s

En régime permanent constant, la grandeur réglée y(t) doit forcément atteindreune valeur constante (la consigne est constante). Si la fonction de transfert Ga2(s)délivrant y(t) a un comportement intégrateur, le signal d’entrée de cette fonctionde transfert doit alors être nul. Dans ce cas (l’intégrateur est situé après l’intro-duction des perturbations, i.e. dans Ga2(s)), on a, en régime permanent :

u(t)− v(t) = 0⇒ u(t) = v(t) 6= 0⇒ e(t) =u(t)

Ka1

6= 0

13.2

0

w ( t )

te K

so × K y

0 t

y ( t )

0e ( t )

t

Sw

f _ 1 4 _ 1 . e p s

Pour l’erreur statique : en régime permanent, la grandeur réglée y(t) est uneconstante se confondant avec la consigne si l’erreur e(t) est nulle. Si cette der-nière hypothèse se confirme, il est impératif qu’il y ait au moins une intégrationdans Go(s). Cette intégration fournit y(t) et son signal d’entrée e(t) est donc nul(puisque y(t) est une constante).








0

w ( t )

te K

so × K y1

s× K

0e ( t )

t

S

0 t

y ( t )

wG o ( s )

0 t

f _ 1 4 _ 3 . e p s

Pour l’erreur en vitesse : en régime permanent, la grandeur réglée y(t) est unerampe se confondant avec la consigne si l’erreur e(t) est nulle. Si cette dernièrehypothèse se confirme, il est impératif qu’il y ait au moins deux intégrations dansGo(s). La dernière d’entre-elles fournit y(t) et son signal d’entrée est donc uneconstante non-nulle (puisque y(t) est une rampe). La première intégration fournitladite constante non-nulle, ce qui implique que son signal d’entrée e(t) est nul.

14 Une autre propriété intéressante de la contre-réaction

La fonction de transfert en boucle fermée est :

Gyw (s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 +Go(s)

=Kp · Ka

1+s·Ta1 +Kp · Ka

1+s·Ta=

Ko

1 + s · Ta +Ko

=Ko

1 +Ko

· 1

1 + s · Ta1+Ko

=Ko

1 +Ko

· 1

1 + s · Tf

Cette fonction de transfert est du premier ordre. On constate que la constantede temps en boucle fermée est "paramétrable" par action sur le gain de boucleKo. On peut ainsi fixer la valeur de la durée de réglage, notamment de sorte quele système en boucle fermée soit beaucoup plus rapide qu’en boucle ouverte :

Treg = 3 · Tf = 3 · Ta1 +Ko

Il s’agit là d’une des propriétés fondamentales de la contre-réaction. Un systèmelent peut être rendu aussi rapide que l’on veut pour autant bien sûr que la puis-sance nécessaire soit disponible et que les organes de commandes soient adaptés.







Pour la détermination des erreurs permanentes, on fait usage du tableau deserreurs permanentes, qui se base sur les paramètres et propriétés de la fonctionde transfert en boucle ouverte. On a :

Go (s) =Ko

1 + s · Taα = 0

Erreur statique Erreur en vitesseRégulation de correspondance E∞w = 1

1+KoEvw =∞

Régulation de maintien E∞v = Ka21+Ko

Evw =∞

15 Précision et rapidité

1. ew,∞ = 1−Gyw(0) = 1− 4′000(0+100) (02+22·0+40)

= 1− 1 = 0

2. ev,∞ = Gyv(0) = 1′000(0+100) (02+22·0+40)

= 0.25

3. Pôles en BF : s1 = −100[ rad

s

], s2 = −20

[ rads

], s3 = −2

[ rads

]. Pôle domi-

nant : s3. Treg ≈ 32

= 1.5 [s]

4.

5.Treg = 3 · τf =⇒ τf = 33 [ms]

1− e−Tregτf = 0.98 = 1− e−

Treg33 [ms] = 0.98

Treg = −τ ∗ log(0.02) = 0.13 [s]

16 Loi de commande d’un régulateur PID avecfiltre

En commençant par établir la fonction de transfert du régulateur, on a :

U(s) = Kp ·(E(s) +

1

s · Ti· E(s) + UD(s)

)= Kp ·

(E(s) +

1

s · Ti· E(s) +

Td · s1 + s · a · Td

· E(s)

)= Kp ·

(1 +

1

s · Ti+

Td · s1 + s · a · Td

)· E(s)






On a donc :

Gc(s) =U(s)

E(s)= Kp ·

(1 +

1

s · Ti+

Td · s1 + s · a · Td

)= Kp ·

s · Ti · (1 + s · a · Td) + (1 + s · a · Td) + Td · s2 · Tis · Ti · (1 + s · a · Td)

= Kp ·1 + s · (Ti + a · Td) + s2 · (a+ 1) · Ti · Td

s · Ti · (1 + s · a · Td)

On peut alors en déduire la loi de commande en revenant dans le domaine tem-porel :

[s · Ti · (1 + s · a · Td)] · U(s)

=[Kp ·

(1 + s · (Ti + a · Td) + s2 · (a · Ti · Td + Ti · Td)

)]· E(s)

Ti ·du

dt+ a · Ti · Td ·

d2u

dt2

= Kp ·(e(t) + (Ti + a · Td) ·

de

dt+ (a · Ti · Td + Ti · Td) ·

d2e

dt2

)En intégrant chaque membre on peut encore obtenir la loi de commande sous uneforme plus utilisable :

Ti · u(t) + a · Ti · Td ·du

dt

= Kp ·[∫ t

−∞e(τ) · dτ + (Ti + a · Td) · e(t) + (a · Ti · Td + Ti · Td) ·

de

dt

]On a finalement

u(t) = −a · Td ·du

dt+Kp ·

(1

Ti·∫ t

−∞e(τ) · dτ +

(1 + a · Td

Ti

)· e(t) + (a+ 1) · Td ·

de

dt

)= Kp ·

[(1 + a · Td

Ti

)· e(t) +

1

Ti·∫ t

−∞e(τ) · dτ + (a+ 1) · Td ·

de

dt

]− a · Td ·

du

dt

On vérifie que pour a→ 0, on retrouve la loi de commande du PID standard :

u(t) = Kp ·(e(t) +

1

Ti·∫ t

−∞e(τ) · dτ + Td ·

de

dt

)






17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode

17.1

Diagrammes de Bode exact et asymptotique de

G (s) =Y (s)

U(s)=

K

s · (1 + s · τ)

pour K = 10 et τ = 1 [s] :

10−2

10−1

100

101

102

−60

−40

−20

0

20

40

60Diagramme de Bode (exact et asymptotique)

gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_14_1_1.eps

Lieu de Nyquist :

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−1000

−900

−800

−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

Re

Im

Diagramme de Nyquist

f_ra_14_1_2.eps




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/rgb/f_ra_14_1_1.pdf




17.2


G (s) =Y (s)

U(s)=

(1 + 10 · s)(1 + s) · (1 + 3 · s)

10−2

10−1

100

101

102

−40

−20

0


gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

45

90

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_14_2_1.eps

Lieu de Nyquist :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Re

Im


f_ra_14_2_2.eps

17.3


G (s) =Y (s)

U(s)= 10 · (1 + 10 · s)

s · 10








10−3

10−2

10−1

100

101

0

20

40


gain

[dB

]

10−3

10−2

10−1

100

101

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_14_3_1.eps

17.4


G (s) =Y (s)

U(s)= 10 · (1 + s)

10−2

10−1

100

101

102

0

20

40


gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

102

0

45

90

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_14_4_1.eps








17.5


N1 (s) = 1− s

etN2 (s) = 1 + s

10−2

10−1

100

101

102

0

20


gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

45

90

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_14_5_1.eps







17.6


G (s) =100

s2· (1 + s · 0.3333)

(1 + s · 0.01) · (1 + s · 0.003333)

0.1 1 10 59.6418100 1000 10000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80Diagrammes de Bode exact et asymptotique (exact et asymptotique)

gain

[dB

]

0.1 1 10 59.6418100 1000 10000−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_14_6_1.eps







18 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’unsystème asservi

On commence par mettre la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s)sous forme de Bode :

Go (s) = 10 · 100

s+ 10=

100

1 + s · 0.1 =Ko

1 + s · τoOn en déduit l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée, régulationde correspondance :

Gyw (s) =W (s)

Y (s)=

Go (s)

1 +Go (s)=

Ko1+s·τo

1 + Ko1+s·τo

=Ko

1 + s · τo +Ko

=Ko

1 +Ko

· 1

1 + s · τo1+Ko

=Kw

1 + s · τwLe tracé des diagrammes de Bode exact et asymptotique est le suivant :

10−1

100

101

102

103

104

105

−40

−20

0

20

40

Diagrammes de Bode de Go(s) et G

yw(s) (exact et asymptotique)

gain

[dB

]

Go

Gyw

10−1

100

101

102

103

104

105

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

Go

Gyw

f_ra_17_1.eps

Ces diagrammes confirment que :1. Tout pendant que le gain de boucle |Go (j · ω)| est élevé, la précision en

boucle fermée est bonne puisque |Gyw (j · ω)| → 1 ;







2. Le système est généralement plus dynamique en boucle fermée qu’en boucleouverte ;

3. A partir d’une certaine pulsation, de l’ordre de grandeur de la pulsation decoupure à 0 [dB] en boucle ouverte ωco , le gain en boucle fermée chute etrejoint celui en boucle ouverte.

Les lieux de Nyquist correspondants sont tracés ci-dessous et ne font que corro-borer ces dires.

0 20 40 60 80 100−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Re(Go(jω))

Im(G

o(jω))

Lieu de Nyquist de Go(s)

f_ra_17_2.eps

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Re(Gyw

(jω))

Im(G

yw(jω

))

Lieu de Nyquist de Gyw

(s)

f_ra_17_3.eps

19 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’unsystème asservi

19.1

Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée Gw(s) ou Gyv(s) sontles valeurs annulant leur dénominateur ; écrire que celui-ci est égal à zéro revientà résoudre l’équation caractéristique dc(s) :

dc (s) = 1 +Go (s) = 0

La fonction de transfert en boucle ouvert Go(s) a pour expression :

Go (s) = Kp · (1 + s · Td) ·Ka2

(1 + s · τ)· Ke

s=Ko

s· (1 + s · Td)

(1 + s · τ)

avec Ko = Kp ·Ka1 ·Ke

On peut en déduire soit directement l’équation caractéristique, soit tout d’abordla fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance, Gw(s) :

Gyw (s) =Y (s)

W (s)=

Go (s)

1 +Go (s)=

Kos· (1+s·Td)

(1+s·τ)

1 + Kos· (1+s·Td)

(1+s·τ)

=Ko · (1 + s · Td)

s · (1 + s · τ) +Ko · (1 + s · Td)

=(1 + s · Td)

1 + s ·(Td + 1

Ko

)+ s2 · τ

Ko








Le dénominateur obtenu est à identifier terme à terme au dénominateur de lafonction de transfert d’un système fondamental d’ordre 2 :

G2(s) =K2

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

On a :ωn =

√Koτ

ζ = 12·(Td + 1

Ko

)· ωn = 1

2·(Td + 1

Ko

)·√

Koτ

On en extrait l’expression de Ko en fonction de ζ :

ζ2 = 14·(Td + 1

Ko

)2

· Koτ

4 · ζ2 · τ ·Ko = K2o · T 2

d + 2 · Td ·Ko + 1K2o · T 2

d +Ko · 2 · (Td − 2 · ζ2 · τ) + 1 = 0

Finalement :K2o · T 2

d +Ko · 2 · (Td − 2 · ζ2 · τ) + 1 = 0

Ko1,2 =−2·(Td−2·ζ2·τ)±

√4·(Td−2·ζ2·τ)2−4·T 2

d

2·T 2d

=−(Td−2·ζ2·τ)±

√(Td−2·ζ2·τ)2−T 2

d

T 2d

=−(Td−2·ζ2·τ)±

√−4·Td·ζ2·τ+4·ζ4·τ2T 2d

=−(Td−2·ζ2·τ)±2·ζ·

√τ ·(−Td+ζ2·τ)

T 2d

Pour que ζ = 0.5, il faut donc que :

Ko1,2 =− (1− 2 · 0.25 · 10)± 2 · 0.5 ·

√10 · (−1 + 0.25 · 10)

1=

7.8730.127

On choisit ici de manière arbitraire la solution assurant le comportement le plusrapide en boucle fermée. Sachant que la durée de réglage Treg est donnée, pourun système à deux pôles dominants, de manière relativement précise par

Treg =3

δ=

3

ζ · ωnet que selon la relation obtenue précédemment

ωn =

√Ko

τ

il est évident que c’est la valeur la plus élevée de Ko qui doit être choisie. On endéduit le gain Kp du régulateur :

Kp =Ko

Ka1 ·Ke

=7.873

10 · 1 = 0.7873

Le programme MATLAB suivant permet de vérifier qu’avec cette valeur de Kp, letaux d’amortissement ζ est bien égal à 0.5.






% In i t i a l i s a t i on des parametresT = 10 ;Ka2 = 10Ke = 1 ;

Kp = 0 .7873 ;Td = 1 ;a = 1e−3;

% Fonctions de trans fer t% Regulateur

[ numGc, denGc ] = p a r a l l e l ( [Kp ] , [ 1 ] ,Kp∗ [Td , 0 ] , [ a∗Td , 1 ] ) ;% Systeme a reg ler

numGa = Ka2∗Ke ;denGa = [T, 1 , 0 ] ;

% Fonctions de trans fer t en boucle ouverte[ numGo, denGo ] = s e r i e s (numGc, denGc ,numGa, denGa ) ;

% Fonctions de trans fer t en boucle fermee regulat ion de correspondance[numGw,denGw ] = cloop (numGo, denGo ) ;

% Calcul du taux d ’ amortissement zeta a l ’ aide de la fonction dampdamp(denGw)

% Affichage de poles et des courbes equi amortissement avec mise en formef igure (1 )pzmap(numGw,denGw)sg r i d ( [ 0 . 1 : 0 . 1 : 0 . 9 ] , [ ] )axis ( [−2 ,0 ,−1 ,1])axis ( ’ square ’ )t i t l e ( ’ Conf igurat ion pole−zéro en boucle fermée ’ )

% Trace de la reponse i n d i c i e l l ef igure (2 )step_me (numGw,denGw)

Le tracé de la configuration pôle-zéro en boucle fermée confirme que ζ = 0.5

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.8 0.7 0.20.6

0.70.9

0.40.9

0.8 0.1

0.1

0.2

0.3

0.3

0.5

0.40.50.6

f_ra_18_1.eps

Configuration pole−zéro en boucle fermée

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

alors que la réponse indicielle de Gyw(s) montre un comportement bien amorti.







0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=5[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.2[s]

D=26.6875%

yInf

=1

f_ra_18_2.eps

19.2

Les fonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) ainsi qu’en boucle ferméeGw(s), régulation de correspondance, ont déjà été calculées au point précédent.La fonction de transfert en boucle fermée Gyv(s), régulation de maintien, a quantà elle pour expression :

Gyv (s) =Y (s)

V (s)=

Ga2 (s)

1 +Go (s)=

Ka2·Kes· 1

(1+s·τ)

1 + Kos· (1+s·Td)

(1+s·τ)

=Ka2 ·Ke

s · (1 + s · τ) +Ko · (1 + s · Td)

=1

Kp

· 1

1 + s ·(Td + 1

Ko

)+ s2 · τ

Ko

Les diagrammes de Bode des trois fonctions de transfert sont donnés ci-dessous.







10−

210

−1

100

101

102

−80

−60

−40

−200204060

Dia

gram

me

de B

ode

(exa

ct e

t asy

mpt

otiq

ue)

gain [dB]

10−

210

−1

100

101

102

−18

0

−13

5

−90

−450

ω [r

ad/s

]

phase [degré]

f_ra

_18_

3.ep

s







20 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de sys-tèmes possédant un retard pur

20.1

Diagramme de Nyquist de G(s) = e−s·Tr , avec Tr = 2 [s] :

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Re(G(jω))

Im(G

(jω))

Lieu de Nyquist de G(s)

f_ra_15_1.eps

Diagramme de Bode :

10−1

100

101

−20

0

20Diagramme de Bode

gain

[dB

]

10−1

100

101

−630

−540

−450

−360

−270−225−180−135

−90−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_15_2.eps

La représentation de la phase de l’élément retard pur en échelles linéaires pourla pulsation est la suivante :








0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

ω [rad/s] (lin.)

arg(

G(jω

)) [d

eg.]

Phase de G(s)

f_ra_15_3.eps

21 Diagramme de NyquistL’examen du diagramme de Bode met en évidence les comportement suivants :– Pour les basses fréquences, la phase tend vers −180 [] et le gain vers l’infini.– A hautes fréquences, le gain tend naturellement vers zéro et la phase vers−180 [].

– Dans une zone de fréquences intermédiaires, la phase remonte provisoire-ment, avant de chuter vers −180 [].

0

G ( j w )I m

R e- 1w = 0 [ r a d / s ]

w = [ r a d / s ]¥

f _ 2 0 _ 1 . e p s








22 Choix du gain de boucle par la méthode deBode

La situation est la suivante : on dispose d’un système à régler de fonction detransfert Ga(s) que l’on asservit au moyen d’un régulateur P de gain Kp.

S-

S

v

w K p G a ( s )S-

S ye u

f _ 2 1 _ 1 . e p s

On définit les fonctions de transfert :

Go (s) = Kp ·Ga (s)|Kp=1 =Ka

sα·Ra (s) =

Ko

sα·Ro (s)

Goc (s) = Kpop ·Ga (s) =Kpop ·Ka

sα·Ra (s) =

Koop

sα·Ro (s)

qui représentent respectivement les fonctions de transfert en boucle ouverte avant(Kp = 1) et après (Kp = Kpop) correction.

Il s’agit de déterminer le gain de boucle optimal Koop = Kpop ·Ka, et finale-ment la valeur optimale de Kp, Kpop de sorte que le comportement soit optimalen boucle fermée, i.e. que la réponse indicielle en régulation de correspondanceprésente une oscillation complète avant stabilisation. Dans ce but, on choisit enrègle générale Koop tel que :

– la marge de phase ϕm ≈ 45 [] ;– la marge de gain Am ≥ 8− 15 [dB].







22.1

Intégrateur et constante de temps :

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

0.1

s · (1 + s)

Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :

10−2

10−1

100

101

102

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60


oc(s) (exact et asymptotique)

gain

[dB

]

Go

Goc

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_20_1_1.eps

Avant correction (Ko = 1), on a :

ϕm Am[] [dB]

52 ∞

Après correction (Ko = Koop), on a :

Koop Kpop ϕm Am ωco Treg

[] [dB][ rad

s

][s]

1.4 14 45 ∞ 1 3.15







Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ko = Koop :

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=6.2[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.3[s]

D=23.1788%

yInf

=1

f_ra_20_1_2.eps

22.2

Intégrateur et deux constantes de temps :

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

1

s · (1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)où τ1 = 1 [s] τ2 = 10 [s]


10−3

10−2

10−1

100

101

102

−160−140−120−100

−80−60−40−20

0204060



gain

[dB

]

Go

Goc

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_20_2_1.eps









ϕm Am[] [dB]

1.57 ≈ 0.8 [dB]



[] [dB][ rad

s

][s]

0.11 0.11 45 ≈ 20 0.08 37


0 20 40 60 80 100 120 1400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=71[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=15[s]

D=23.0752%

yInf

=1

f_ra_20_2_2.eps







22.3

Système fondamental d’ordre 2 mal amorti ( ζ = 0.05 !) :

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

10

1 + s · 2·ζωn

+ s2 · 1ω2n

où ζ = 0.01 ωn = 1

[rads

]Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :

10−1

100

101

−60

−40

−20

0

20



gain

[dB

]

Go

Goc

10−1

100

101

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_20_3_1.eps


ϕm Am[] [dB]

8.1 ∞



[] [dB][ rad

s

][s]

0.15 0.015 45 ∞ 1.05 3








0 20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=59[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.1[s]

D=86.2286%

yInf

=0.13

f_ra_20_3_2.eps

Bien que le système soit (mathématiquement) stable en boucle fermée, il estclair qu’une telle réponse n’est pas satisfaisante ; elle est évidemment tout à faitinacceptable d’un point de vue pratique. La configuration pôle-zéro de Gyw(s),représentée dans le plan de s avec la droite équi-amortissement correspondant àζ = 0.5, confirme la présence d’une paire de pôles complexes conjugués très malamortis.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Re

Im


f_ra_20_3_3.eps

L’examen du lieu de Nyquist du système en boucle ouverte corrigé (voir figureci-dessous) n’apporte aucune information supplémentaire par rapport au lieu deBode. On y voit clairement que la marge de phase ϕm est suffisante (45 []) etque la marge de gain Am est infinie. Il faut se rappeler que de telles valeurs negarantissent un comportement suffisamment stable en boucle fermée que pourdes systèmes réguliers.








−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0.5

0.5

1

f_ra_20_3_4.eps


Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Dans le cas de figure qui nous occupe, le gain permanent de boucle a dû être ajustéà une valeur si faible que le système est quasiment en boucle ouverte (la contre-réaction est presque nulle, comme en témoigne la faiblesse du gain en bouclefermée en basse fréquence). Or, il est justement très peu stable en boucle ouverte(ζ = 0.05), ce qui explique le comportement observé. En se rappelant que le gainpermanent de boucle Ko, appliqué sur le signal d’erreur e(t), s’applique en faità la consigne w(t) et à la grandeur réglée y(t), le schéma fonctionnel ci-dessousmontre que :

– le système est excité par l’apparition de la consigne (ou d’autres signauxextérieurs, comme des perturbations) ;

– la contre-réaction n’est pas suffisante pour "le garder sous contrôle".Il vaudra la peine, ultérieurement, de voir comment choisir le régulateur afinobtenir un comportement optimal en boucle fermée.







22.4

Retard pur et deux constantes de temps :

Ga (s) =10 · e−s·Tr

(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)

où τ1 = 1 [s], τ2 = 10 [s] et Tr = 1 [s].Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :

0.1 0.509 1 10−60

−40

−20

0

20

Diagramme de Bode avec Koop

=1 et Koop

=5.8201

gain

[dB

]

0.1 0.509 1 10−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

Koop

=1K

oop=5.8201

f_ra_20_4_1.eps


ϕm Am[] [dB]

90 22



[] [dB][ rad

s

][s]

5.8 0.58 45 6.8 0.51 6.2








0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=15[s]

TdepT10%

T90%

Tm

=1.9[s]

D=37.9349%

yInf

=0.85

f_ra_20_4_2.eps

22.5

Système à déphasage non-minimal, i.e " vicieux ", car comportant un zéropositif (idem système C du laboratoire) :

Ga (s) =Y (s)

U(s)= 100 · (1− s · 10)

(1 + s) · (1 + s · 100)


10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−60

−40

−20

0

20



gain

[dB

] Go

Goc

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_20_5_1.eps









ϕm Am[] [dB]

180 20



[] [dB][ rad

s

][s]

7.1 0.07 45 3 0.1 31


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

Treg

+/−5%=23[s]

TdepT10%T90%

Tm

=3.1[s]

D=31.7133%

yInf

=0.88

f_ra_20_5_2.eps

Ce système asservi est stable en boucle fermée, comme le confirme sa configurationpôle-zéro représentée dans le plan de s muni d’une droite équi-amortissementcorrespondant à ζ = 0.5.

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.250.5

0.5

f_ra_20_5_3.eps


Real Axis

Imag

inar

y A

xis








Le comportement " vicieux " qui était présent en boucle ouverte (zéro positifen z1 = + 1

τ1= 0.1

[ rads

]) demeure quasi tel quel en boucle fermée. De ce point

de vue, le régulateur n’a pas permis d’améliorer le comportement et ce systèmeasservi sera certainement mal noté lors de l’évaluation du critère de performance"qualité" (cf chap.5).

23 Critère de Nyquist et méthode de BodeCorrigé en préparation

24 Identification de la réponse fréquentielle d’unsystème à régler

On a selon la figure ci-dessous

0.1 1 3.3333 10 100 1000−60

−40

−20

0

20

40Diagramme de Bode de la réponse fréquentielle expérimentale d’un système et diagrame de Bode asymptotique du modèle

A(ω

) [d

B]

ω [rad/s

0.1 1 3.3333 10 100 1000−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s

φ(ω

) [d

eg]

f_te_ra_46_3_9.eps

Ga(s) =Y (s)

U(s)≈ 10

s · (1 + s · 0.3)






25 Synthèse fréquentielle d’un régulateur

25.1

Selon les exigences du cahier des charges, il faut un régulateur PI, ajusté detelle manière que la marge de phase en boucle ouverte soit de l’ordre de 45 [].Un régulateur I est aussi envisageable.

L’application de la procédure de synthèse du régulateur PI conduit à la com-pensation de la constante de temps dominante de Ga(s) en posant

Ti = 10 [s]

La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit dès lors :

Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =

KpTi·Ka

s· 1

1 + s · τ2

=Ko

s· 1

1 + s · τ2

La phase de ce système se monte à −135 [] en ω2 = 1τ2. Le gain correspondant

est (il est ici facilement calculable analytiquement, l’alternative recommandéeconsistant à tracer le diagramme de Bode) :

|Go (j · ω2)| = Ko√2

Ce gain peut être rendu unitaire en posant :

Ko =√

2

ce qui implique que

Kp =Ko · TiKa

=

√2 · TiKa

=

√2 · 10

10=√

2

10−2

10−1

100

101

102

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60



gain

[dB

] Go

Goc

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_25_1.eps







25.2

La relation empirique ωco · Treg ≈ π permet d’évaluer la durée de réglage demanière approximative :

Treg ≈π

ωco= 3.1 [s]

25.3

Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous. L’erreur statique est bel et bien nulle.

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponses indicielles de Gyw

(s) et Gyv

(s)

f_ra_25_3.eps


26.1

Le régulateur PD imposé par le cahier des charges sera ajusté de telle manièreque la marge de phase en boucle ouverte soit de l’ordre de 45 [].

L’application de la procédure de synthèse du régulateur PD conduit à la com-pensation de la constante de temps dominante de Ga(s) en posant

Td = 10 [s]

La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit dès lors :

Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =Kp ·Ka

s· 1

1 + s · τ2

=Ko

s· 1

1 + s · τ2







La phase de ce système se monte à −135 [] en ω2 = 1τ2. Le gain correspondant

est (il est ici facilement calculable analytiquement, l’alternative recommandéeconsistant à tracer le diagramme de Bode) :

|Go (j · ω2)| = Ko√2


Ko =√

2

ce qui implique que

Kp =Ko

Ka

=

√2

Ka

=

√2

10= 0.14

0.1 0.99771 10−40

−20

0

20

40


=1 et Koop

=1.4093

gain

[dB

]

0.1 0.99771 10−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

Koop

=1

Koop

=1.4093

f_ra_26_1.eps

26.2


Treg ≈π

ωco= 3.1 [s]

26.3

Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous. L’erreur statique n’est bel et bien nulle qu’en régulation decorrespondance.







0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]


(s) et Gyv

(s)

f_ra_26_2.eps

A noter la différence de comportement dynamique entre les 2 réponses enboucle fermée. A priori, les fonctions de transfert en boucle fermée ayant toutesles mêmes pôles (solutions de 1 +Go(s) = 0), les comportements en régime tran-sitoire devraient être analogues (les durées des régimes transistoires devraientêtre équivalentes), ce qui n’est dans le cas particulier pas le cas. La raison en in-combe à la technique de compensation pôle-zéro utilisée pour effectuer la synthèsedu régulateur : on peut en effet facilement montrer qu’en cas de compensationpôle-zéro, le pôle compensé disparaît bel et bien de la fonction de transfert enrégulation de correspondance Gyw(s) qui voit ainsi son ordre diminué mais réap-paraît en revanche dans la fonction de transfert en régulation de maintien Gyv(s).Ainsi, si le pôle compensé est lent, le comportement dynamique de Gyv(s) seraégalement lent par rapport à celui de Gyw(s). On comprend pourquoi l’on nedoit pas compenser de pôles instables, voire des pôles stables mais ayant un tauxd’amortissement trop faible. Voir cours de régulation numérique, chap.7, pourplus d’explications.


27.1

Puisque les deux constantes de temps τ1 et τ2 sont compensées, la fonction detransfert en boucle ouverte s’écrit :

Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =

KpTi·Ka

s· 1

1 + s · τ3

=Ko

s· 1

1 + s · τ3







La compensation des 2 constantes de temps dominantes implique :

(1 + s · Ti + s2 · Td · Ti) = (1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)⇒ Ti = τ1 + τ2 = 20 [s]⇒ Td = τ1·τ2

Ti= 5 [s]

La phase deGo(s) se monte à−135 [] en ω3 = 1τ3. Le gain correspondant est (il est

ici facilement calculable analytiquement, l’alternative recommandée consistant àtracer le diagramme de Bode) :

|Go (j · ω3)| = Ko√2


Ko =√

2

ce qui implique que

Kp =Ko · TiKa

=

√2 · TiKa

=

√2 · 20

0.01≈ 2800

0.1 0.99771 10−40

−20

0

20

40


=1 et Koop

=1.4093

gain

[dB

]

0.1 0.99771 10−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

Koop

=1

Koop

=1.4093

f_ra_27_1.eps


Treg ≈π

ωco= 3.1 [s]







27.2

Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


(s) et Gyv

(s)G

yw

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4x 10

−4

t [s]

Gyv

f_ra_27_2.eps


28.1

Les perturbations intervenant entre le régulateur et le système à régler, soiten amont de l’intégrateur situé dans le système à régler Ga(s), l’annulation del’erreur statique en régulation de maintien nécessite l’adjonction d’un intégrateursupplémentaire. Ceci est effectué par exemple à l’aide d’un régulateur intégrateurde fonction de transfert

Gc(s) =U(s)

E(s)=Ki

s

S-

S

v

w G c ( s ) G a ( s )S-

S ye u

f _ 2 4 _ 3 . e p s








Cependant, l’examen de la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) corres-pondante

Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =Ki

s· Ka

s· 1

(1 + s · τp)montre que ce système ne satisfait en aucun cas le critère de Nyquist, la phasen’étant jamais supérieure à −180 [].

0

G o ( j w )I m

R e- 1w = 0 [ r a d / s ]

w = [ r a d / s ]¥

f _ 2 4 _ 2 . e p s

En conséquence, il faut choisir un régulateur ayant une action intégrale s’effaçantprogressivement dans le domaine des fréquences au profit d’une action provoquantpas ou en tout cas moins de déphasage. Un exemple d’un tel régulateur est lerégulateur PI, de fonction de transfert

Gc(s) =U(s)

E(s)= Kp ·

1 + s · Tis · Ti

dont l’action est plutôt intégrale à basse fréquence (en dessous de 1Ti) et plutôt

proportionnelle à haute fréquence (en dessus de 1Ti).

w [ r a d / s ]

A [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]j [ d e g ]

0

- 9 0

1T i

( ) [ ] ( )a r g a r gG j K j Tj T a r c t g Tc p

ii

i× = × + × ×× ×

ìíîüýþ = - ° + ×w w

w w1 9 0

1T i- 4 5

a c t i o n p l u t ô ti n t é g r a l e

a c t i o n p l u t ô tp r o p o r t i o n n e l l e

K p [ d B ]

f _ 2 4 _ 1 . e p s








28.2

La phase n’étant jamais égale à −180 [], la marge de gain est, en appliquantse définition, infinie :

Am =∞

28.3

Partant de la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s)

Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) = Kp ·1 + s · Tis · Ti

· Ka

s· 1

(1 + s · τp)=Ko

s2· (1 + s · Ti)

(1 + s · τp)

Ti va être choisie de telle sorte qu’en ω = 1[ rad

s

], la phase de Go(s) se monte

à −135 []. Sans l’effet du terme (1 + s · Ti), la phase est de −180 [] en cettepulsation. Il suffit donc de poser 1

Ti= 1

[ rads

]et d’ajuster le gain Kp de façon à

ce qu’en ω = 1[ rad

s

], le gain de boucle soit unitaire. On a :

|Go (j · ω)| =∣∣∣∣ Ko

(j · ω)2 ·(1 + j · ω · Ti)(1 + j · ω · τp)

∣∣∣∣ω=1 rad

s = 1Ti

≈ Ko ·√

2 = 1

d’où

Kp =Ko · TiKa

=

1√2· TiKa

=√

2

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−140−120−100

−80−60−40−20

020406080

Diagrammes de Bode corrigé et non−corrigé (asymptotique)

gain

[dB

]

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_24_1.eps







28.4


Treg ≈π

ωco= 3.1 [s]

28.5

Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous. L’erreur statique est bel et bien nulle.

0 2 4 6 8 10 12−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]


(s) et Gyv

(s)

f_ra_24_2.eps

29 Synthèse d’un régulateur PL’intégrateur déphase de −90 []. On veut une marge de phase de 45 []. Il

suffit donc de trouver la pulsation à laquelle le déphasage apporté par le retardpur est de −45 [] :

ω · Tr =π

4

On en déduit ω = π4·Tr = 0.78

[ rads

]et par suite le gain du système à régler en

cette pulsation :

Ga(s) =0.1π4

=0.4

π

d’oùKp =

π

0.4= 7.8







30 Tracé manuel du lieu des pôles

30.1Propriété 1 Go(s) est d’ordre 3 (3 pôles), donc n = 3 et le lieu a 3 branches.Propriété 2 Les coefficients de Go(s) étant réels, l’axe réel est axe de symétrie

du lieu.Propriété 3 Les 3 branches ont pour origines les pôles en boucle ouverte :

s1 = 0[ rad

s

]s2 = −10

[ rads

]s3 = −20

[ rads

]Propriété 4 Go(s) un zéro en z1 = −50, donc m = 1 branche aboutit en

z1 = −50.Propriété 5 Les asymptotes (ko → +∞) des n - m = 2 branches restantes

sont situées sur une étoile régulière.

Leurs angles sont : ξ = (1+2·λ)(n−m)

· π =

+π

2

−π2

Propriété 6 Le centre de gravité de l’étoile est situé par raison de symétrie

sur l’axe réel, en : ∆ =

n∑i=1

(−si)−n∑i=1

(−zi)

(n−m)= (0−10−20)−(−50)

3−1= 10

Propriété 7 L’axe réel entre s1 et s2 , et entre s3 et z1 fait partie du lieu.Propriété 8 Les points d’intersection ±j · ω0cr du lieu avec l’axe imaginaire

sont obtenus en annulant le reste de la division : d0(s)+k0·n0(s)

s2+ω20cr

Ona :d0 (s) + k0 · n0 (s) = s · (s+ 10) · (s+ 20) + k0 · (s+ 50)= s3 + 30 · s2 + (200 + k0) 4 · s+ 50 · k0

s3+30·s2+(200+k0)4·s+50·k0s2+ω2

0cr= (s+ 30) + reste

reste = s · (200 + k0 − ω20cr) + (50 · k0 − 30 · ω2

0cr)Le reste est nul pour tout s si :

200 + k0 − ω20cr = 0

50 · k0 − 30 · ω20cr = 0

ω0cr = 22.36

[rads]

k0 = kvcr = 300Propriété 9 Les points de séparation de l’axe réel sont obtenus en résolvant :

n∑i=1

1µ−si =

m∑i=1

1µ−zi ,soit :

1µ

+ 1µ+10

+ 1µ+20

= 1µ+50

On aboutit à l’équation du 3ème degré :2 · µ3 + 180 · µ2 + 3000 · µ+ 10000 = 0.Puisque par suite de la propriété 7, le lieu se sépare de l’axe réelentre s1 et s2, soit entre 0 et -10, on a en première approximation :2 · µ3 << 180 · µ2 + 3000 · µ+ 10000.En négligeant le terme de degré 3, on obtient : µ = −4.6, seulesolution ayant un sens.La solution exacte est : µ = −4.47






Tracé du lieu des pôles :

−50 −40 −30 −20 −10 0 10

−30

−20

−10

0

10

20

30

0.5

0.5

f_po_05_01_1.eps

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/rgb/f_po_05_01_1.pdf



30.2Propriété 1 Go(s) est d’ordre 3 (3 pôles), donc n = 3 et le lieu a 3 branches.Propriété 2 Les coefficients de Go(s) étant réels, l’axe réel est axe de symétrie

du lieu.Propriété 3 Les 3 branches ont pour origines les pôles en boucle ouverte :

s1 = 0[ rad

s

]s2,3 = −2

[ rads

]Propriété 4 Go(s) n’a aucun zéro, donc m = 0 branche aboutit au(x) zéro(s)

de Go(s).Propriété 5 Les asymptotes (ko → +∞) des n - m = 3 branches restantes

sont situées sur une étoile régulière.

Leurs angles sont : ξ = (1+2·λ)(n−m)

· π =

+π

3

−π3

+πPropriété 6 Le centre de gravité de l’étoile est situé par raison de symétrie

sur l’axe réel, en : ∆ =

n∑i=1

(−si)−n∑i=1

(−zi)

(n−m)= (−2−2)−(0)

3= −4

3

Propriété 7 L’axe réel entre s1 et s2 , et entre s3 et -∞ fait partie du lieuPropriété 8 Les points d’intersection ±j · ω0cr du lieu avec l’axe imaginaire

sont obtenus en annulant le reste de la division : d0(s)+k0·n0(s)

s2+ω20cr

.On a :d0 (s) + k0 ·n0 (s) = s · (s+ 2)2 + k0 = s3 + 4 · s2 + 4 · s+ k0s3+4·s2+4·s+k0

s2+ω20cr

= (s+ 4) + restereste = s · (4− ω2

0cr) + (k0 − 4 · ω20cr)

Le reste est nul pour tout s si :

ω0cr = 2

[rads]

k0 = k0cr = 16Propriété 9 Les points de séparation de l’axe réel sont obtenus en résolvant :

n∑i=1

1µ−si =

m∑i=1

1µ−zi ,soit : 1

µ+ 1

µ+2+ 1

µ+2= 0 (µ+2)2

µ+ µ·(µ+2)

µ+2+

µ·(µ+2)µ+2

= 0 3 · µ2 + 8 · µ+ 4 = 0

µ = −23






Tracé du lieu des pôles :

−50 −40 −30 −20 −10 0 10

−30

−20

−10

0

10

20

30

0.5

0.5

f_po_05_04_1.eps

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

31 Tracé du lieu des pôles assisté par ordinateur

31.1

Le gain optimal koop peut être obtenu ici par la condition des modules.On mesure dans le plan complexe :

SoptS1 = 7.4898[ rad

s

]SoptS2 = 8.9124

[ rads

]SoptS3 = 17.4001

[ rads

]SoptZ1 = 46.6129

[ rads

]Le gain optimal est alors :

koop =SS1 · SS2 · SS3

SZ1

= 24.9179

[rads2

]De même, pour le gain limite kol, on mesure :

SlimS1 = |−4.47− (0)| = 4.47[ rad

s

]SlimS2 = |−4.47− (−10)| = 5.53

[ rads

]SlimS3 = |−4.47− (−20)| = 15.53

[ rads

]SlimZ1 = |−4.47− (−50)| = 45.53

[ rads

]Le gain limite est alors :

kol =SS1 · SS2 · SS3

1= 8.4315

[rad3

s3

]Corrigé des exercices 85 MEE \co_ra.tex

18 septembre 2011






Pour le calcul du gain critique kocr, on peut soit à nouveau faire usage de lacondition des modules, soit prendre directement la valeur donnée par l’applicationde la propriété 8. On a :

kocr = 300

[rads2

]Partant de la relation

k0 = K0 ·∣∣∣∣(−sα+1) · . . . · (−sn)

(−z1) · . . . · (−zm)

∣∣∣∣on a :

Kol = 8.43 ·∣∣∣∣ (−50)

(−10) · (−20)

∣∣∣∣ = 2.1

Koop = 24.92 ·∣∣∣∣ (−50)

(−10) · (−20)

∣∣∣∣ = 6.23

Les réponses indicielles pour ko = kol et ko = koop sont les suivantes :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponses indicielles en boucle fermée pour ko=k

olimite=8.43 et pour k

o=k

oop=24.91

f_po_05_01_2.eps

31.2

Le gain optimal koop peut être obtenu ici par la condition des modules. Onmesure dans le plan complexe :

SoptS1 = 0.9977[ rad

s

]SoptS2 = 1.7293

[ rads

]SoptS3 = 1.7293

[ rads

]Corrigé des exercices 86 MEE \co_ra.tex

18 septembre 2011






Le gain optimal est alors :

koop =SS1 · SS2 · SS3

1= 2.9836

[rad3

s3

]De même, pour le gain limite kol, on mesure :

SlimS1 = 23

[ rads

]SlimS2 = 2− 2

3=4

3

[ rads

]SlimS3 = 2− 2

3=4

3

[ rads

] .

Le gain limite est alors :

kol =SS1 · SS2 · SS3

1= 1.1852

[rad3

s3

]Pour le calcul du gain critique kocr, on peut soit à nouveau faire usage de lacondition des modules, soit prendre directement la valeur donnée par l’applicationde la propriété 8. On a :

kocr = 16

[rad3

s3

]Les réponses indicielles pour ko = kol et ko = koop sont les suivantes :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponses indicielles en boucle fermée pour ko=k

olimite=1.18 et pour k

o=k

oop=2.98

f_po_05_04_2.eps

k0 = K0 ·∣∣∣∣(−sα+1) · . . . · (−sn)

(−z1) · . . . · (−zm)

∣∣∣∣on a :

Kol = 1.18 ·∣∣∣∣ 1

(−2) · (−2)

∣∣∣∣ = 0.3







Kol = 2.98 ·∣∣∣∣ 1

(−2) · (−2)

∣∣∣∣ = 0.75





régulation automatique(reg) corrigé des exercices...heig-vd régulation automatique(reg) 1...

Documents