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R é p u b l i q u e A l g é r i e n n e D é m o c r a t i q u e e t P o p u l a i r eM i n i s t è r e d e l ’ E n s e i g n e m e n t S u p é r i e u r e e t d e l a

R e c h e r c h e S c i e n t i f i q u eU n i v e r s i t é d e s S c i e n c e s e t d e l a Te c h n o l o g i e d ’ O r a n

M o h a m e d B o u d i a f ( U S T O )F a c u l t é d e s S c i e n c e s

D é p a r t e m e n t d ’ I n f o r m a t i q u e

La méthode Branch&Bound

Présenté par : Souidi Abdelhak 

Module: Optimisation Avancée. Responsable : Mr M. BENYETTOU

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1-Introduction

2-Définition3-Historique4-Principe de l’algorithme 5-domaines d’application6-Exemple d’application

7-Conclusion

8-Bibliographique

P l a n d e t r a v a i l

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Pour plusieurs problèmes, en particulier les problèmes d’optimisation, l’ensemble de leurs solutions est fini (en tous les cas, il est dénombrable). Il est donc possible, en principe, d’énumérer toutes ces solutions, et ensuite de prendre celle qui nous arrange. L’inconvénient majeur de cette approche est le nombre prohibitif du nombre de solutions : il n’est guère évident d’effectuer cette énumération.

i n t r o d u c t i o n

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La technique du Branch & Bound est une méthode algorithmique classique pour résoudre un problème d'optimisation combinatoire. Il s'agit de rechercher une solution optimale dans un ensemble combinatoire de solutions possibles.

La méthode repose d'abord sur la séparation (branch) de l'ensemble des solutions en sous-ensembles plus petits.

 

- d é f i n i t i o n

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L'exploration de ces solutions utilise ensuite une évaluation optimiste pour majorer (bound) les sous-ensembles, ce qui permet de ne plus considérer que ceux susceptibles de contenir une solution potentiellement meilleure que la solution courante.

 

- d é f i n i t i o n

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- La méthode B&B a été proposée pour la première fois par Ailsa. H. Land and Alison. G. Doig en 1960 pour la programmation discrète

- En 2002 G. Gutin et A.P. Punnen publiaient un livre “The Traveling Salesman Problem and Its Variations”

Ce livre couvre tous les domaines importants de l'étude sur TSP, y compris la théorie des polyèdres symétriques et asymétriques pour le TSP, branch and bound et d’autres méthodes.

 

- H i s t o r i q u e

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1. Branch: Séparation. 2. Bound: Evaluation  - Le branchement ou bien la séparation: diviser un ensemble de solutions en plusieurs sous-ensembles.

P r i n c i p e d e l ’ a l g o r i t h m e B & B  

8

 

l a p h a s e d ’ é v a l u a t i o n d ’ u n n œ u d d e l ’ a r b r e d e d é c i s i o n a p o u r b u t d e d é t e r m i n e r :  

P r i n c i p e d e l ’ a l g o r i t h m e B & B  

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Q u e c e t e n s e m b l e n e c o n t i e n t p a s d e s o l u t i o n i n t é r e s s a n t e p o u r l a r é s o l u t i o n d u p r o b l è m e

( i . e L B > m i n ( c o û t ( s i ) ) ) d o n c p a s d e s é p a r a t i o n

D e d é t e r m i n e r l ’ o p t i m u m d e l ’ e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s r é a l i s a b l e a s s o c i é a u n œ u d q u e s t i o n

i e : L B < m i n ( c o û t ( s i ) ) e t c e c i p o u r u n c a s d e m i n i m i s a t i o n d e l a f o n c t i o n d u c o û t .

P r i n c i p e d e l ’ a l g o r i t h m e B & B  

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P o u r r e p r é s e n t e r u n e P S E , n o u s u t i l i s o n s u n « a r b r e d e r e c h e r c h e » I l y a d e u x f a ç o n s p o u r e x p l o r e r l ’ a r b r e :- E n p r o f o n d e u r : n é c e s s i t e d e s r e t o u r s a r r i è r e .- Va l e u r m i n i m a l e : l e n œ u d d o n t l ’ é v a l u a t i o n e s t m i n i m a l

S t r a t é g i e d e l a r e c h e r c h e

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Le problème du voyageur de commerce TSP (Traveling Salesman Problem)

Le problème du sac à dos 

Des problèmes complexes, NP-complets le plus souvent.

Q u e l q u e s p r o b l è m e s d ’ a p p l i c a t i o n

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Soit le problème du sac à dos suivant :

E x e m p l e d ’ a p p l i c a t i o n

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E x e m p l e d ’ a p p l i c a t i o n

xi ai ci Rdt P P1 P2 P3 P41 3 18 6 1 1 1 1 12 1 5 5 1 1 1 1 03 2 10 5 1 1 1/2 1 04 2 8 4 1 1 0 1 05 4 12 3 1/4 0 1 0 06 6 18 3 0 1/6 0 0 1

b= 9

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E x e m p l e d ’ a p p l i c a t i o n

P4

P

P1 P2

P3

Zsup =44 Zsup = 40

Arrêt car Zsup<Zbest

Z =41 Z =36

Arrêt

x5=0 x5=1

x6=1

 x6=0

 

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Relaxation de P Solution Optimale Réelle x* = (1, 1, 1,1 ,1/4 ,0) Z* = 44

Solution Arrondie = (1, 1, 1, 1,0, 0) = 41

On enregistre cette solution comme meilleure solution rencontrée : xbest = et Zbest = 41 41 ≤ Zopt ≤ 44

E x e m p l e d ’ a p p l i c a t i o n

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P1 (1, 1, 1, 1, 0, 1/6) Zsup = 44 > Zbest Divisier en P3 et P4

  P2 (1, 1, ½, 0, 1, 0) Zsup = 40 < Zbest Arrêt  P3 (1, 1, 1, 1,0, 0) Z = 41 Arrêt (solution entière) ; Zbest inchangé  P4 (1, 0, 0, 0, 0, 1) Z = 36 Arrêt (solution entière) ; Zbest inchangé Toutes les branches sont arrêtées Zopt = Zbest = 41 et xopt = (1, 1, 1, 1, 0, 0)

E x e m p l e d ’ a p p l i c a t i o n

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La technique abordée dans cette approche est une méthode exacte d’optimisation qui rend optimale la fonction objective et pratique une énumération intelligente de l’espace des solutions. Il s’agit en quelque sorte d’énumérations complètes améliorées.

C o n c l u s i o n

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Elle partage l’espace des solutions en sous-ensembles de plus en plus petits et est appliquée à des problèmes NP-difficiles .Cette méthode reste bien sûr exponentielle, mais sa complexité en moyenne est bien plus faible que pour une énumération complète.

C o n c l u s i o n

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Pour des problèmes de grande taille, sa durée d’exécution devient prohibitive, et il faut se tourner vers des heuristiques.

C o n c l u s i o n

20

Stephen Boyd, and Mattingley Jacob. « Branch and Bound Methods », mars 11, 2007. Stanford University. Marcel, Turkensteen. « Advanced Analysis of Branch and Bound Algorithms » (2006). Netherlands. « Resolution par separation et evaluation : Branch & Bound », Ensimag 2A -2011 2010.  « Séparation et évaluation ». Wikipédia, novembre 20, 2012. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%A9paration_et_%C3%A9valuation&oldid=84541985. « Branch and Bound ». Wikipedia, the Free Encyclopedia, décembre 31, 2012. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Branch_and_bound&oldid=523038172. « Resolution par separation et evaluation : Branch & Bound », Ensimag 2A -2011 2010. « Optimisation (mathématiques) ». Wikipédia, décembre 27, 2012. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Optimisation_(math%C3%A9matiques)&oldid=86975346.  http://wwwens.uqac.ca/~rebaine/8INF806/techniquedebranchandboundcourshiver2005.pdf

B i b l i o g r a p h i e