R E P R I ~ S E N T A T I O N S P E C T R A L E D E LA

D ' O N D E S C I R C U L A I R E S A

par

Marc B R A Y E R et

Docteur ~s sciences physiques *

P R O P A G A T I O N D A N S

G R A N D E D I S T A N C E

deanine Y H U E L

Ing~nieur E.P.F. **

L E S G U I D E S

RI2SUM~;. - - Les lignes de transmissions sur guides circulaires h grande distance imposent des conditions tr~s s~o~res ~ la propagation des ondcs constituant le signal principal. Pour les obtenir avec le m ax im um de prd- cision et compte lenu des modules de guides disponibles, les auteurs ont mis au point un programme spectral commun aux structures /ondamentales : guide h~lico?'dal h charge absorbante, guide hdlicoMaI h dcran, guide h revilement didlectrique. II ddtermine les modes propres arbitrairement demandds sur tout intervalle de /r~- quence imposd a priori. Ce programme peut suivre aussi, ~ /rdquence constante, l'dvolution des speclres pr~cd- dents sous l'influence d'un des param~tres physiques de la structure. Dans cette dlude, aprOs avoir introduit une reprdsentation spectrale universeUe, les auteurs prdsentent le programme et sa mdthode de calcul el donnenl enfin de nombreux rdsultals obtenus dans la bande 30-150 GHz sur une douzaine de spectres di/[drents.

PLAN. - - Introduction. �9 1 re part ie : D~terrnination spectrale de la structure 1.1. Gdn~ralitds; 1.2. Champ dlectromagndtique en l'absence de couches intdrieures ; 1.3. Utilisation d'un reodtement dlectrique ; 1.4. Reprd- sentation de la paroi hdlicoidale. | 2 e partie : Recherche des solutions d'ondes II.1. Organisation gdn~- rale du probIOme ; II.2. Principaux probl~mes numdriques. �9 3 e pat t ie : Principaux rdsultats obtenus clans la bande 3 0 - 1 5 0 G H z III .1. Leoer de ddgdn~rescence et protection du mode Hol; III.2. A/[ai- blissement du spectre parasite : e[/et de filtrage; III.3. L'doolulion des solutions d'ondes; III.4. Formation des immitances radiales ; III .5. Trans/ormation spectrale des modes E. �9 Conclusion. �9 Bibliographie (19 r~f.)

3 annexes.

I N T B O D U C T I O N

Les besoins en liaisons directes et h grande capacit6 ne cessent d ' augmente r et certains moyens de trans- missions subissent en retour une bvolution permanente . Pour r~soudre ce probl~me, on pr6pare act ivement , depuis quelques armies, la mise en wuvre de nouveaux proc6d6s de t616communications. L ' un des plus intbressants est sans conteste le guide d 'ondes circu- lairc car il poss~de uue 6norme capacitO de trafic

et s 'adapte h n ' impor te quel type d ' informat ions h t ransmet t re . En outre, grfice au systbme de modu-

lat ion adoptb (modulat ion de phase h 2 ou 4 ~tats significatifs par t rains d ' impuls ions cod6es) sa port6e n 'es t p r a t i quemen t limit~e que par des imp~ratifs ~conomiques, chaque r6p6teur 6tant normalement d i s tan t d ' env i ron 15 h 20 km du pr6c6dent. En France, les recherches sur le guide et ses Oquipements progressent rapidement , et le lecteur int6ress6 se reportera avec profit aux rScentes publicat ions a ya n t fait le point sur cette quest ion [1, 2].

On sait qne le guide circulaire h grande distance

utilise les propri6t~s tr~s particulibres de l 'onde H0~.

I1 poss~de ainsi un affaiblissement liuOique remar-

quable, de l 'ordre de 10 -~ Np/m, d6s que son surdi-

mens ionnement d~passe quelques unit6s. En revanche, il en r6sulte l 'existence de nombreux modes parasites

qui pe r tu rben t l 'onde principale lorsque la sym~trie cylindrique de la s t ructure n 'es t plus r igoureusement respect~e. Un filtrage 6nergique (effectu6 le plus souvent par les s tructures h6licoYdales) 61imine ces parasites tou t le long de la ligne, mais certaines distorsions subsis tent malgr~ tou t darts la modula t ion et l ' emplaccment des stations r5g6n6ratrices peut d6pendre, dans certains cas d6favorables, du parcours effectif de la liaison sur le terrain. On con~oit ainsi qu 'une liaison sur guide d 'ondes doive toujours ~tre

minu t i eusement pr~parbe, t a n t pour rechercher le meilleur trac6 possible que pour obtenir les caract6- ristiqucs optimales des s ignaux h t r ansmet t re sur la ligne.

Toutes ces recherches n6cessitent de conna~tre aussi pr(~cisSment que possible les condit ions r6elles de propagat ion dans les structures. On les ob t ien t tou t d 'abord ~ par t i r de ccrtaines liaisons exp6rimeu- tales [2], de profil bien d~termin~, et u t i l i sant a u t a n t que possible des guides s61ectionn6s et par fa i tement

fiables. Mais la g6n~ralisation des r~sultats obtenus h une ligne r6elle, la comparaison des diff6rentes

structures entre elles, l 'am~liorat ion de leurs caractd-

ristiques propres et l '6tude num6rique des probl~mes

* Ing6nieur coutractuel au CNET-Lamfion, groupemeut TI/ANSMISSIONS, SYSTI'~MI.Z-; 1)1.'~ MOI)ULATION et ACOUSTIQUE, d~partement E Q U I P E M E N T S D],~ TRANSMISSIONS ],~T LASERS.

** Ing~nieur eontractuel au (;NET-l,amfion, groupemeut CALClm ~[n~(:T~OXI(~UE ET INFOI~MAIlQUE, d~partement CALCULATEURS ET SYSTEMES INFORMATII)UES.

- - 215 - -

2/16

de modula t ion ne sont possibles qu'h l 'aidc du spectre des ondes 5lectromagn6tiques susceptibles de r~agir. Le programme spectral quc nous allons presenter permet de l 'ob teni r aussi complet qu 'on le d~sirc et

sur toute bande de fr~quence a rb i t ra i rement donnde. Comme les guides actuels se pr6sentent sous trois

formes diff~rentes :

- - guide h~lico~dal h couche absorbante , - - guide h~lico~dal h technique d'~cran,

- - g u i d e m~tall ique h rev~tement di~lectrique,

on a con~u ce programme pour une 6tude precise de l 'une d'elles, au choix. Ses param~tres descriptifs (g~om~trie, mat~riaux, di~lectriques, etc.) sont 6vi- demment arbi traires sous r~serve de ne pas prendre plus de trois couches ext~rieures et d 'ut i l iser un

rev~tement di~lectrique ~ventuel simple ou double. Nous reviendrons sur l 'organisat ion en chalne des

ealculs, mais il est ~vident qu ' en pla~ant ces s tructures darts des condit ions ident iques d 'exploi ta t ion on peut d~terminer avec precision (comme nous le v~rifierons ul t~rieurement) leurs avantages et inconv~nients

relatifs. L 'organisa t ion g~n~rale du programme ~tant don-

n~e en seconde partie, nous allons regrouper dans la premiere toutes les expressions analyt iques indis- pensables h la repr6sentat ion spectrale de la propa-

gat ion dans des structures. La m~thode utilis~e est particuli~re en ce sens que l 'on ne recherche pas

directement la r~solution num~rique des 6quations caract6ristiques, mais p lu t6 t leur organisat ion syst~- mat ique sur un t ronc commun. Tous les r~sultats p rov iennent alors d 'une seule programmat ion , ins- tall~e et mise au point une fois pour toutes daus le calculateur. Cette disposition nous a permis d '~tudier les s tructures uniformes, les s tructures non uniformes en courbure et b ien t6 t leurs fonctions de t ransfer t al~atoires, t ou t cela sur n ' impor te quel type arbi- t r a i rement donn~ pourvu qu ' i l appar t ienne h l 'une

des trois categories pr~c~dentes.

P R E M I I ~ R E P A R T I E

D 1 9 , T E B M I N A T I O N S P E C T R A L E D E L A S T R U C T U R E

1 .1 . G 6 n ~ r a l i t 6 s .

Les structures guides d 'ondes actuelles sont cons- trui tes avec une tr~s grande prScision. Elles offrent

l 'onde ~lectromagn~tique principale H0x un milieu prot~g~ (normalement sous atmosphere contr61~e) dont

la fronti~re d ' imp~dances poss~de des propri6t~s de

sym~trie et d 'anisotropie bien d~finies. La s t ructure h~licoidale comprend une h~lice (for-

m~e d ' un fil conducteur tr~s fin enroul~ h spires

jointives) et un rev5tement ext~rieur qui lui procure un isolement suffisant, une bonne absorpt ion et une certaine rigiditY. La protect ion d 'ensemble est assur~e soit par un tube ou feuillard mStallique, soit par une enveloppe auxiliaire plastifi~e. Le guide h rev~-

M. B R A Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES T~L~COMMUNICATIONS

t ement est r6alis6 plus s implement h par t i r d ' u n tube conducteur (cuivre, a luminium, acier trait6) et d 'une couche di~lectrique simple ou mult iple

(Fig. 1).

FIG. 1. - - Les structures types. E n haul : guide hdlicoYdal (Cex : couches di~lectriques ext~rieures, M : protection m6tal- lique ~ventuelle, H : enroulement h~licoidal) ; en bas : guide h rev~tement (Ci,t : couches di~lectriques intSrieures, M : guide

m~tallique proprement diD.

Pour l 'onde qui s 'y propage, ces s t ructures se pr~- sentent comme une certaine surface cyl indrique (S) (que nous pr~ciserons ul t~rieurement) sur laquelle est impos~e une relat ion de correspondance entre les

champs ~lectriques et magn~tiques superficiels :

(1) E s = - - Z s . P s . H s .

_~+_

Dans cette relat ion P s est un op~rateur de rota t ion -~+_

et Zs une dyade (*) d ' imp6dances a y a n t pour matr ice

representat ive :

(2) Zs ~ - [ z ~ z ~ ]

Lorsque ces quanti t~s peuven t etre impos6es a p r i o r i ,

comme dans le cas du guide m~tallique, le spectre d 'ondes s 'obt ient sans difficult~s et se compose de modes & sym~trie de r~volution et de modes hybrides quasi transverses purs.

Mais dans les structures pr~c~dentes les Ztj d~pen- dent toujours des champs situ~s de par t et d ' au t re de la fronti~re (S) et, par l~-m~me, des solutions d 'ondes que l 'on cherche ~ obtenir. I1 en r~sulte, si l 'on prend eomme base de eomparaison un spectre

de r~f~renee produi t par un guide m~tallique d'exeel-

lente qualitY, que le spectre de la s t ructure peut

presenter d ' impor tan tes modifications. En g~n~ral, il

conserve l 'organisat ion propre du premier mais les

solutions d 'ondes qui n ' o n t pas les sym~tries impos~es par la paroi d ' imp~dances perdent leur stabilit~

(*) Une dyade est un certain tenseur de rang 2 d6finissant directement, sur un espace vectoriel donn~, les produits int~- rieurs et ext~rieurs applicables soit h u n vecteur, soit h une dyade elle-m~me [3, chap. I I ; 4, vol. I, chap. I].

- - 2 1 6 - -

t. 26, n os 5-6, 1971]

naturelle. I1 existe m6me certains probl6mcs de couplages et d ' instabil i t6s qui d6truisent la r6part i t ion spcctrale initiale et que le calculateur doit r6soudre

an passage. En revanche, les t ransformat ions inoda- les syst6matiques, comme le passage h l '6 ta t d 'onde lente, ne pose aucnn probl6me particulier h l 'exception d ' un pas variable pour effectuer la r6sohltion nuin6-

rique proprement dite. F ina lement , quelle que soit la s t ructure 6tudi6t,

le calculateur doit d6terminer sys t6mat iquement son spectre d 'ondes 61ectromagn6tiques. Cela consiste tou t d 'abord ~ identifier la s t ructure en classant par tests logiques les param6tres descriptifs int rodni ts darts les donn6es. Cette identif icat ion effectu6e il

forme les 6quations caract6ristiqnes correspondantes selon l 'ordre m de sym6trie qui lui est impos6. Toutes

les t ransformat ions dyadiques 6 tant disponibles en m6moire centrale, le calculateur construi t ensuite les

condit ions aux limites appliqu6es h (S). I1 pent alors, en u t i l i sant le rang n qui lui est demand6 et le point de d6part fourni par l 'ut i l isateur , lancer la mSthode

de r6solution sur le premier 6chantil lon du processus d ' i t6rat ion. La r6solution num6rique achev6e, ce processus se boucle sur lui-m6me et effectue le trac6 spectral du mode en entier. Le cycle pr6c6dent est repris mode par mode et famille par famille. Lorsquc tons les pararn6tres de propagat ion ont 6t6 calcul6s et plac6s sur bande magn6tique, le calculatenr re- cherche les coefficients d 'or thonormal isa t ion , ren-

R E P R E S E N T A T I O N S P E C T R A L E D E S G U I D E S D ' O N D E S

A tout mode ()v,~v correspondent toujours indices :

i m : indice de sym6trie /> 0 , - - ~ ~ H I / / a v e c

, n : indice de rang ~> 1 ,

- - N : indice de polarisat ion /> 1 ;

et

3 /16

les

les param6tres de propagat ion :

- - y~,N = ~ , N q- j,~v,N : exposant lin6ique de propaga- tion,

Sv, N : constante radiale int6rieure de propaga- tion,

- - (S0~,N : constante radiale de propagat ion asso- ci6e h la couche i,

- - N~,N : param6tre d 'or thonormal isa t ion,

- - ~ , N : coefficient magn6t ique interne,

- - (p~)~,N : coefficient magn6t ique de couche i,

/e,h : fonction d 'onde type 61ectrique ou

magn6tique,

c i : rayon 61ectriqut du guide. L t rayon v6ritable est, selon le cas : c f (absence de rev6tement), bi ( rev~tement simple), ai (double rev~tement).

c) Patois d' immittances.

Z L ; ( Z t , Yz) : paroi effective de la structure.

ZK ; (Z~, YD: paroi ramen6e (*). -.~+-

ZE ; (Ze , Ye) : paroi ext6rieure h l'h61ice. seigne les fonctions d 'ondes et livre le spectre pr6t ZR h l 'emploi.

P r i n c i p a l e s n o t a t i o n s .

a) Opdrateurs transversaux.

1 bU

I ' A~tt U el ~ x l I 1 ~ U

e2 b.~'2

V ~ . ~ ~ 1 [ ~ e 2 W 1 ~ e l W 2 ] ' ele2 k ~ + 3X2

V~U = V t . V t U ,

V t V = V t ( V t . V ) P t ' V t ( V t ' P t " ,

t :

Ps :

dyade transversale unit6,

dyade transversale de ro ta t ion (q- ; elle a

pour matrice repr6sentative :

dyade superficielle de rota t ion (/+ 2 \ ) analogue -.r q~_

h Pt (et ayan t la mOme matrice repr6sentat ive darts le plan orthogonal ~ la normale principale

la paroi (S)).

b) Transcendantes radiales paramdtres de propagation.

! u~( z ) = J ~(:) /~ 3re(z),

Urn(3)-- Um(z) pour : - Sv,NCi,

Vm(2), Win(2), Xm(2), Ym(2), Zm(2) : cf. w I-3-2,

: paroi frontiSre ext6rieure.

-,.,- Z L Zs : ~ - selon It cas consid6r6.

Dans les applications num6riques :

()Iron] : relatif h u n mode Hmn ou H E r o n ,

()(ran) relatif h un mode Em,~ ou E H m n .

Pour l'hdlice : ~h et ~a : conductivitds isotropes des milieux composants.

~t et ~z : conductivi tds apparentes du milieu anisotroque 6qui- valent .

1 . 2 . C h a m p 6 1 e c t r o m a g n 6 t i q u e e n l ' a b s e n c e d e

c o u c h e s i n t 6 r i e u r e s .

1.2.1. Solutions d'ondes g6n6rales.

A toute surface (S) a rb i t ra i rement choisie h l ' int6- rieur du guide (Fig. 2) correspond des condit ions aux

limites impos6es par une dyade Z s dont les 616ments sont fonction de la fr6quence, de la g6om6trie et des solutions d 'ondes de la structure. Ils d6pendent

6galement de tons les champs ext6rieurs ~ (S) qui

cont r ibuent ~ leur formation. Lorsqu' i l n ' y a pas de couches int6rieures (S) est 6videmment confondue avec

la paroi du guide et Zs s ' identifie avec la dyade

(*) S'einploie dans le cas d'un rev~tement int6rieur du guide: d6signe la paroi d'immittance rapport@ par l'onde elle-m0me (radialement) sur la face interne du rev;.tement. Elle est 6videlnment eli 6troite relation avec la paroi d'immi- tance effective.

- - 2 1 7 - -

4/14

Fro. 2. - - Disposition des dyades d'imp6dances. Z L : dyade d'imp6dances effectives, (S) : fronti~re limite mobile de

rayon ct, Z S : dyade des conditions aux limites appliqudes, (r, e, z) : coordonn~es cylindriqucs orthcnormales, (e, [~):

param~tres ~lectriques du milieu de propagation.

d ' imp6dances effectives Z L . S'il existe un rev6tement di61ectrique (S) correspond h sa fronti~re interne et

Z s s ' identifie h la dyade d ' imp6dances ramen6es ZK.

Toute onde qui se propage dans le guide v6rifie s imul tan~ment les 6quations de Maxwell et les condi-

t ions aux limites. Elle poss~de alors la forme tr~s g(~n~rale, au facteur exp (j(ot) pr6s (cf. Annexe A) :

Et = Z Kv,N(Z, 0)) V%N(X 1 X2 fD) , '~,N

Ez -- ]0~ ~a Lv,N(Z, 03) V t . P t . (~ ,N(Xl x 2 o3), V,N

(3)

Ht = ~ L~,N(Z , (0) O v , N ( X 1 X 2 Ca)) , V~N

Hz _ 1 - ~ -~ ,,.- jr ~ K(z, (o) % . Pt.~F~,N(x~ x~ (o),

v,N

off la sommat ion s'effectue d 'une part , sur un certain nombre N de polarisat ions disponibles et d 'au t re part , sur une double infinit6 v (v - ran) de fonctions d 'ondes 61~mentaires. Nous verrons qu' i l est possible de les orthonormaliser de sorte que (3) devient un v6ritable d~veloppement de Fourier dont les coeffi- cients correspondent h des condit ions initiales d6finies en un point z = z o arbitraire.

I1 existe de nombreuses repr6sentat ions de ces

fonctions 616mentaires sous forme hybride. Pour

conserver un certain formalisme et re t rouver en part iculier des expressions 6quivalentes h celles pro-

pos6es par H. Unger dans ses impor tants t r a va ux

sur guide d 'ondes [5, 6] nous avons retenu la forme d~velopp6e en annexe A h la fin de ce paragraphe :

(Et)v,N = Vev,N(Z, o.)) Vt fe,N(Xl x2 03) --

h V~,N(Z , 0)) Pt "Vt fv,N(Xl x2 o)) ,

Sv,N (Ez)v,N = i ~ r ~ I'~,~V( ~, ~) ~';,~v(Xl X2 ~0) ,

M. B R A Y E R ET J . Y H U E L [ANNALES DES TELl:COMMUNICATIONS

(4)

(Ht)v, N : Iev,N(z, 03) e t ' v t fe,N(Xl X2 60) -}-

h t h t'Z (D) Vt / v , N ( Z l X2 ca)) ,),Nk ,

2 (H~)~,N= jr s~'N 1, - - L,N(xl x~ ~) . r ~ V~,N(Z, co) 1,

Lorsque les modes sont t ransverses purs (*) ~lec- tr iques ou magn~tiques, aucun probl~me d' ind~pen- dance ne se pose entre les fonctions de z utilis~es. Par contre, pour les modes hybrides, la forme m~me des ~quations de Maxwell impose la relat ion :

V h ~z r r h - - I v , N ( Z , 0 ) ) (5 ) v,N~ ' :

v~,N(~, r Y~,u I~,u(z, co) = p~'N

off le coefficient P~,N est d6termin6 di reetement par les conditions aux limites sur (S).

Les ampli tudes V e , I e et V h , I h doivent satisfaire aux conditions (A-14) qui s ' ident i f ient aux ~quations de Kirchoff g6n6ralis~es int rodui tes par S. Schelkunoff pour faciliter l '6tude de la propagat ion sur guide [7, 8].

Toutes ces remarques conduisent h prendre, pour les composantes spectrales ~16mcntaires d ' u n guide rectiligne h paroi d ' imp~dances, la forme g6n6rale :

e p h (Et)v,N Vv,N(Z, 0~) [ V t ( ] c i ) v , N - - ( P l ) v , N t 'Vt ( f i )~ ,Nl ,

= V~,N(Z, ~) (et)~,N,

(sl)';,N ~ (ED~,N= jco~ti r ~ I~,~v(Z, r (/~)~,N,

(6) ~'i I - ~ --~

(Ht)~ ,N= I~,N(Z, 60) ~ - [ Pt .Vt(]~)v,/v - -

~ h "~'-~-~ Vt(/O~,~ ,

= I~,N(Z, O) ( t ) v , N '

S 2 ( H z ) v , N : jO}$ I ( ~)'~,N h

off l ' indice i a 6t6 in t rodui t pour tenir eompte de la pr6senee 6ventuelle de couches di61eetriques int6- rieures et disparai t lorsqu'elles ne sont pas utilis6es.

Les fonctions d 'ondes [e,n appa r t i ennen t h des solutions de (A-10) qui peuven t 6tre ehoisies de diff6rentes mani6res. En l 'absence de couches int6- rieures, et pour obtenir des plans de polarisat ion bien d6finis, il suffit de faire avec m /> 0 :

Jra(s~r) cos m0 fev'N = Nv 'N Jm(svct) sin m0 ,

(7)

f,, Jm(s~r) sin m0 ~,u = N~,N Jm(s~c0 cos m 0 .

Le coefficient Nv, N e s t un param6tre d 'or thonorma- l isation et l ' indice N e s t associ~ h la s61ection des repr6sentat ions t r igonom~triques qui peuvent , dans certains cas, n '6tre pas arbitraire.

(*) Cela n'est possible qu'avec d'importantes restrictions sur les 61~ments non diagonaux de la dyade d'imp6dances (2).

218

t . 26, n ~ 5-6 , 1971] REPRI~SENTATION S P E C T R A L E DES GUIDES D'ONDES 5/16 Les ampli tudes d 'ondes Vv, N e t Iv , N peuven t rester

sous forme ind6termin6e jusqu 'h l ' appl icat ion du spectre h u n cas precis. Elles doivent cependant v6rifier les 6quations de Kirchoff :

blv ,N(Z , O) + jo~ V~,N(Z,(O)= O,

3z

3Vv,N(Z, 6)) + V2v'N Iv,N(Z , 6)) = 0 ~z j o ~ '

(8)

qui sont en fait, sous cette forme restreinte, 6quiva- lentes h l '6quat ion initiale (A-8).

Duns le cas d ' un guide non uniforme (courbure

par exemple) les 6quations de Kirchoff p rennen t une forme plus g~n~rale :

i ' [Z x'K + T'~v'~ = 0 , ~V~N + y~_~, •

I• V • 5z (9) x,K

I 5 l v , N Xd," H N'l" I• 0, ~Z ~- ~ [Yv,• V• ~- --v,• =

qui peut encore ~tre transform6e pour obtenir le

syst6me diff6rentiel aux couplages d 'ondes :

bAv,N 5z

5 B v , N

~Z

--CN, K ~ +r A • q_ B• = 0

+~N,K - - + E r-c: "~'''~ ztx, K @ B• : 0

",r

( t o )

Un syst~me de ce type est ac tue l lement en cours de r~solution au centre de ealeul du C.N.E.T. (Lannion) pour l '6tude en eourbure des s t ructures ~tudi~es par

ce programme.

ANNEXE A

I. I1 est toujours possible, en utilisant les opdrateurs transversaux ddfinis au w I.t, de s6parer les composantes transversales et longitudinales du champ 61ectromagn6tique et de transformer les dquations de Maxwell sous la forme :

i . . . .

3z jo)[s P t . + ~2z[z V t ( V t . P t . ) . H t ,

(A-l-B) ~Htbz -- jr Pt- + r Vt(Vt.Pt.) E t

(A-I-C) Ez - - V t . P t . H t , j o)z

(A-I-D) H z - - V t . P t . E t . jo~

-~- --~ ~ E z (A-2-A) Vt.Et - - - - 0 ,

3z

.,_ __,_ ~ H z (A-2-B) V t . H t + 0 .

3z

Une multiplication scalaire /~ gauche par Pt et une ddri-

ration par rapport h z dliminent tour h tour H t et E t [respectivement dans (A-I-A) at (A-I-B)] et conduisent aux dquations r6solvantes :

(A-a) (~ ~z~ ~ Vt , H~ 0.

Leur solution gdndrale est donnde en (3) apr~s sdparation de la variable z.

On peut expliciter le laplacien transversal de (A-3) pour 6crire avec (A-2) :

(o~$[z + 3z 2 Et ~ z VtEz + icon, P t . V t H z , (A-~)

t o~%~ + ~z ~ Ht ~z VtHz jco~ P t . V t E ~ .

I1 suffit alors d'appliquer ~ (A-~) une divergence trans- versale et d'utiliser l'identitd :

(A-5) ~Tt.Pt.Vt() ~ 0 ;

pour obtenir les dquations aux composantes longitudinales :

c o 2 ~ + - - + V~ = o. (A-6) 3~- 5z 2 Hz

dont les solutions ont la forme g6ndrale :

(A-7) (Ez)v,N : ge,N(Z, CO) f~,ar(x 1 x 2 0~) , h h

(Hz)v, N = gv,N(Z, ~ ) fv,N(Xl X 2 ~) ,

En leur imposant de vdrifier les relations :

i ~2 f..e,h to3,'~2 t e,l' , (A-8) ~ z 2 k lv ,N~ *) gv,N(Z, 0)) = 0 .

f~e,h ~2 f e,h "~2 (A-9) co~r @ k I v , N ) : I, Sv,N] ,

on s6pare la variable z dans (A-6) et on obtient 5ge,hlbz en facteur. Comme ces d6riv~es ne peuvent ~tre identi- quement nulles (A-6) se r6duit finatement h l 'dquation r6solvante des fonctions d'ondes scalaires :

(A-10) { r e,n ~2 + } ' f~,N(Xl x 2 t.O) = O.

II. Pour les modes transverses purs, ]e et /h peuvent 6tre choisis ind6pendamment l 'un de l'autre. Pour les modes hybrides ils sont solutions simultan6es de (A-10) et nous

e h allons montrer que Sv,N et S~,N sont alors n6cessairement confondus en milieu isotrope. Tout d'abord (A-2) impose aux champs transversaux [pour compatibilitd avec (A-7)] la forme particuli6re :

e --~ ~gv,N ="-e

(A-If) Et -- 3z Fv'N(xx x2 r

h --+- bg~, N +h H t Fv,N(X 1 x 2 r

5z

Ensuite les dquations (A-~) qui doivent ~tre v6rifides (pour tout z), quels que soient x I et x2, imposent la relation de proportionnalit~ :

~ge 5ga (A-12) g h = p 3z ' g e = q 3z '

off p et q ne peuvent ddpendre que de co. En ddrivant ces quantit6s par rapport h z on obtient

aussit6t la relation : e 2 h 2

p q ( w . N ) : P q ( W , N ) = 1

qui entraine b ien:

u " e h = ~fv,N : ~fv,N ~ Sv,N = Sv,N : SvN"

En cons6quence, l'accent sup6rieur (e,h) peut 8tre supprimd pour les constantes de propagation radiales et longitu- dinales puisque les indices iaf~rieurs permetteat de les distinguer sans ambiguit~ selon leur type et leur rang propres. La convention suppl~mentaire [v] ou (v)(qui permet de distinguer les modes hybrides entre eux) ne sera introduite que dans les applications num6riques.

- - 2 1 9 - -

6/16

III.

M . B R A Y E R E T S . Y H U E L

On peut poser, sans perdre de g4ndralitd : "2

e 8v ,2V e

gv,N = jcotx co-~o~z ~ I v,N(z, co),

2 h . S v , N h

(A-I3) g~,:v : ]COe co~-z~t V~,N(z, co) .

En reportant (A-13) et (A-7) dans (A-4) on obtient, apr6s quelques arrangements, les relations (~) od l'on a posd :

(h-l~-h) Ve,N(Z, CO) __ 1 bI e jcog bz '

(A-I~-B) a 1 bV h I v,N(Z, CO) -- jCO~ ~z

On peut alors expliciter (A-12) avec (A-14) pour vdrifier la relation de d6pendance :

Vh(%CO) = -- jCO[z pVe(z,CO) Ie(z,CO) = - - jCOr qlh(z,CO)

2 qui, avec Pqy~,N = 1, conduit h (5).

1.2.2. Orthonormalisation des fonctions d'ondes.

On sait que par l 'u t i l i sa t ion m6me des s tructures cylindriques les champs t ransversaux suffisent d6crire en total i t6 l 'onde qui se propage dans le guide. On mont re ~galement (annexe B) que la constante

lin6ique de propagat ion Yv,N est solution d ' un pro- bl6me vectoriel aux valeurs proprcs correspondant aux condit ions aux limites qui on t 6t6 impos6es. I1 est donc possible de construire, h l 'aide des seuls

champs t ransversaux, un syst~me or thonormal com- plet de vecteurs propres compatible avec (3).

Les relations (6) en donnen t d6j/~ la forme :

(11) tFv,N = (et)v,N , (~)v,N = (ht)v,N

mais il lui faut encore une relat ion d 'or thogonal i t6 valable pour t o u s l e s modes de la structure. Darts un guide h paroi d ' imp6dances, et parce que les mil ieux internes res teut isotropes, cette relat ion existe sous la forme d 'une int6grale 6tendue h toute la section

droite St [9]. On peut la met t re ici sous la forme particuli@e :

(12)

--(Y~ + 7i) [et~.Pt .ht i + et~.Pt.ht~]e~e~dxldX2= ~ . t

-.(- _)._

Lorsque ZL est diagonale, la s t ructure devient t ransversa lement isotrope et poss~de alors une sym6- trie de r6flexion. I1 en r6sulte imm6dia tement que (12) se r6duit ~ :

(13) -- [et~.Pt.ht~]e~e 2 dx~dx 2 = ~ . t

Cette relat ion ne conserve plus l '6uergie t ransmise

(couplage de modes sur la paroi) mais seulement les

puissances fluctuantes. E n expl ic i tant (13) et en

s6parant convenab lement les termes or thogonaux en i

et ] on obt ient f inalement la relat ion cherch6e :

- - V t [ • -Jr ~v,N t 'Vt /v ,N)"

~• CO~b t t ' V U • eie~dxldx2 = ~v•

[~4kNNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Pour achever la correspondance entre (3) et (6) on montre , h l 'aide de (14), la relat ion de proport ionnal i t6 :

K,J,N(Z, CO) L%N(Z, CO) (15)

Vv,N(Z, CO) iv,N(Z ' 6)) -- av,N �9

On poss~de m a i n t e n a n t toutes les relations qui pe rmet ten t d 'organiser le d6veloppement spectral

d 'une onde C(xlx2z ) a rb i t r a i r ement donn6e. Tout

d 'abord on d6finit, avec (14), le produi t int6rieur applicable aux champs t ransversaux :

(16)

et qui donne aussit6t, avec (3)

K• CO) = __ < Et(xlx2z)

Pt .xF• = ~• ~NK,

et pour tou t z :

1u L• CO) = < Ht(xlx2z) ] Pt.~• > �9

Comme ces quant i t6s p r ennen t les valeurs K 0 et L 0 en tou t po in t z o a rb i t ra i rement donn6 on obt ient , h par t i r de (15) :

a• = K o [ L o.

Si V• CO) est une solution g6n6rale de (17) on d6termine ses deux constantes arbi traires par le

syst~me (8) pris pour z = z o et les valeurs K o , L o.

(17) b2V• 2 bZ 2 y • V • = O .

A par t i r de Vx,K(Z, C0) ainsi renseign6, on obt ient sans difficult6s I• r Kx,K(Z, co) ct L• CO).

E n s t ructure uniforme l ' int6r6t de ce d6veloppement

reste limit6 aux probl~mes d'obstacles et d 'exci ta t ion. Par contre, en structures non uniformes, il devient indispensable d~s que l 'on recherche la forme des modes propres h par t i r de ceux du guide rectiligne associ6. En toute rigueur, il faudra i t prendre, dans ce cas, a• cont inf lment variable avec z. En pra t ique on pr6f~re le conserver cons tan t mais il fau t alors

renoncer h c e que Vx,K(Z, CO) et I• CO) v6rifient (17), et les valeurs propres Y• ne sont plus donn6es par (A-9) mais p rov iennent d i rectement de (10).

Pour l 'emploi de (14) il faut expliciter les indices doubles en posant , par exemple : v = m n et • = m'n ' . Les calculs s 'effectuent alors en u t i l i sant les relations vectorielles de Green applicables h tou t domaine ferm6 D, de connexion arbitraire, et dont la fronti~re

est orient6e pos i t ivement selon v 0 (Fig. 3) :

Jr. bn ' F

f / D ' ' " -- (18) ( P t . V t f ) . V t g d s = g. ) l d l , \ F

F

A l 'aide de (7), et apr~s avoir effeetu6 t o u s l e s pro- duits sealaires, on obt ient f inalement les r6sultats su ivants :

- - 220 - -

t. 2(;, n ~ 5-6, 1971] R E P R t ~ S E N T A T I O N S P E C T R A L E D E S G U I D E S D ' O N D E S 7/16 " ~ Les dquations de Maxwell aux rotat ionnels peuvent alors

s'dcrire sous forme d 'un opdrateur dyadique diffOrentiel:

(B-~) v ~ . C = o ,

a v e c

FIG. 3. - - Orientation du contour ferm6 (F.)

Vo : normale extOrieure, ~o : vecteur unitaire du contour.

a) l o r sque m r m ' (ou m = m ' , N ~ K), le p r e m i e r

m e m b r e de (14) s ' annu l e c o m m e une iutOgrale t r igono-

m 6 t r i q u e sur [0 - - 2re] ;

b) p o u r rn = m ' , N = K, n :/: n ' , l ' i n t6gra le pr6cO-

den t e v a u t 7: ou 2 = . Le t e r m e t o u t in tegr6 en r e s t

alors une c o m b i n a i s o n des 6qua t ions ca rac t~ r i s t iques

va l ab le s sOparOment p o u r les so lu t ions s~ :/: sx asso-

ci6es ~ la mOme v a l e u r m. U n ce r t a in r e g r o u p e m e n t

r e s t i t ue l ' une d 'e l les en to t a l i t 6 e t le p r e m i e r m e m b r e

s ' annu l e encore ;

c) a v e c m = m ' , N = K, ~z = ~ ' , on a ce t t e fois

sv =-- s• e t le second m e m b r e v a u t 1. Le p r e m i e r

m e m b r e de (14) se r eg roupe sous fo rme d ' in tOgrales

de B e s s e l - L o m m e l e t l ' on o b t i e n t f i n a l e m e n t une

express ion de la f o rme :

N~v,Nf(r) = 1.

Elle condu i t , p o u r les m o d e s hyb r ides , e t en p o s a n t :

(19)

4 Gin= (s~c~) ~ - m ~ + (s~c~) Um(S~C~) + 2 (s~c~) ~ Um(s~c~),

L m = 1--p:~,~r r Gm+ 2( • m)p~,N 1 (o~z ~

l l , si m = 0 ,

Zm = 2 , s i m ~ : 0 ,

la v a l e u r s u i v a n t e de N~,N qui ne p e u t plus d~pendre

d e N :

Nv = ~ - {Lm} -~12.

1

(2O)

P o u r les m o d e s de rOvolut ion , (20) d o n n e le coeffi-

c i en t N~ associOs a u x modes Eon en f a i s an t ~v,N = 0.

Celui c o r r e s p o n d a n t a u x m o d e s Hon s ' o b t i e n t direc-

t e m e n t p a r le ca lcul sous la f o rme :

II ~ I-i'~ - - y ~ , y Go (21)

ANNEXE B

Dans un espace de Hilbert ~ 6 dimensions, ddfinissons le champ 61ectromagndtique par le vecteur :

I -§ H

et I - \ l

~ + jr /

R jcotz 1 _I

R - ~ -

b 1 b 0

bz e2 bx2

b - - 1 b 0

bz e 1 ~X 1

- - I be 1 1 be~ 0

e l e 2 b x 2 e~e2 ~X 1

Pour s6parer dans ~ la variable z on pose :

et l 'on transforme alors (B-l) sous la forme :

(B-2) ! + : 0 t ~z " '

off ~" n 'est plus qu 'une simple dyade numdrique. Pour toute onde eylindrique dldmentaire de la forme :

C (x~x~) = 0 (XlX~) e t ch ,

(B-2) se rdduit ~ :

(B-3) {~1 ,2 . =7 7 ~ } O(x~xJ = O.

Ceci montre que 0 (XlX2)est solution d 'un problOme aux

valeurs propres assoeid & l 'opdrateur d~ ~,2, relatif ~ la -+~_

fonction de poids ff et correspondant ~ certaines conditions aux limites imposdes.

1.2.3. Les ~quutions caract~ristiques de let s tructure.

P o u r a c h e v e r la dOte rmina t ion du spec t re il f a u t

c o n n a i t r e P~,N et l ' une des d e u x quant i tOs s~, N , 7~,2v

reliOes p a r la f rOquence selon la r e l a t ion :

(22) co2zb § 2 : 2 ~ v , N S'~,N �9

Cela est effectu6 pa r le c a l cu l a t eu r qui 61imine p rov i -

s o i r e m e n t l ' i n c o n n u e 7~,N et rOsout, p o u r c h a q u e

mode , une 6qua t i on carac tOr is t ique sur la v a r i a b l e

aux i l i a i r e de ca lcul S~,NCi ( so lu t ion d 'ondes) . Ce t t e

6qua t i on p r o v i e n t d i r e c t e m e n t de (1) explici tOe en

coordonnOes pola i res sous la fo rme :

i (Eo),~,N + Z~:z (Ho)v,N -- Z.~.~ (Hz)v,N : 0 , (23)

! (E~)~,N + Z ~ ( H o ) ~ , N - Z ~ (H~)~,N = 0 .

Ses 616merits dOpendent t ous de l ' i n c o n n u e Sv,NC~, soi t d i r e c t e m e n t , soi t pa r l ' i n te rmOdia i re de 7v ,N-

Le coeff ic ient P~,N ne p e u t poss~der q u ' u n e seule

dOte rmina t ion pa r mode . P o u r s impl i f ie r sa r e c h e r c h e

a d m e t t o n s t o u t d ' a b o r d que la q u a n t i t 6 Z~z Zz~ n ' e s t

j a m a i s nulle.

1. z~z zz~ ~ o.

P~,N d6pend du cho ix des po la r i sa t ions e t de la

v a l e u r de m, mais en aucun cas n ' e s t f onc t i on de la

va r i ab le angu la i r e 0. I1 n ' e s t donc pas o b t e n u c o m m e

- - 2 2 1 - -

8/16

solut ion s6par6e de ehaque 6quat ion (23). L '6qua t ion caract6r is t ique de la s t ruc ture s ' ob t i en t alors en imposan t au d6 te rminan t du syst~me d ' avo i r une racine double en p. C 'cst ee t te racine qui fourni t le coefficient 9v,N chereh6.

A l 'a ide de la t r anseendan t e Urn(z) eons t ru i te sur la fonct ion de Bessel Jm(z) pa r la f o r m u l e :

(24) Urn(z) = J'm(Z)lZJm(z),

et des r eg roupemen t s :

A(o) = j o ~ Yzz + j o e [Z~.~ - - Z~z Zz~ Vzz] ,

B(o) = A(o) - - ]o[z Yzz , A~r Um(s~c 0 Z ~ Yzz

Fro(o) = U~(s~c~) + o2e~ c~ o~e~.ci 2

on ob t ien t ainsi, tous calculs effectu6s, l ' 6qua t ion caract6r is t ique des modes hybr ides (m # O) :

(25)

i112 ~,2 1 2 _" I v,N | 4 m z Y~,N Z~z Zz~ ( Yzz) ~ Fro(o) + oge~(svct)a] -F O 2 e~ ci ~ (svci) ~ -- O.

Le ca lcula teur la r6sout pa r r a p p o r t fi s~,Nci pour raison de facilit6. Mais en r6alit6, en inversan t le sens de (22), c 'es t une 6quat ion num6rique t r anscendan te pa r rap- po r t ~ l ' inconnue v6r i table y~,N. La valeur de m n ' y i n t e rvenan t qu ' au carr6, y~ ne d6pend plus de N. (I1 n ' en serai t pas de m6me en polar i sa t ion h61ico~dale des

fonct ions d 'ondes . )

Pa r contre, le coefficient p~,N associ6 en d6pend

encore car :

m Yv (s,c~)~ Fm(~) o~e~(s~c~) ~

(26) 9~,N -~

2 (=k m) Y_~v Um(svcl) + - -

Dans le cas des modes de r6volut ion (m = 0) l '6qua- t ion carac t6r is t iquc d6g6n6re et on doi t rechercher les valeurs l imites de 9v,N compat ib les avec un z6ro de son d6nomina teur et la va leur iden t iquemen t nulle de son num6ra teur , confondu avec l '6quat ion carac- t~rist ique. I1 est alors beaucoup plus simple de reprendre l '6 tude directe de (23) en imposan t a priori , et selon le cas, les re la t ions :

TEon : 9v,N = 1, e t [e = O, /h t THon : 9v,N = 0, et ]~ =-- O, [e ~ +-- (7) a v e e m = 0 .

Les ~quations eor respondantes de ehaque famil le s0nt al0rs :

I Uo(s~c~ ) = Z ~ (27) r E o n : jo~zc~ '

�9 Z z ~ = 0 ;

l Yzz (28) T H o n : U~ -- ]oec~ '

Z~z = O .

I1 est important de r emarque r que l 'exis tence des modes Hon n 'es t possible que si Zz , = 0. Toutes les parois d ' imp6dances r6alis6es do ivent v6rif ier cet te condit ion. Le guide m6tal l ique v y satisfait

n6cessairement puisque Z~ se r6dui t ~ une d y a d e

M. B R A Y E R ET J . Y H U E L [ANNALES DES TELI~GOMMUNICATIONS

scalaire (paroi d ' imp6dances isotropes). Toute struc- ture cyl indr ique charg6e par des disques ou des cannelures ~ sym6trie circulaire la v6rifie ~galement

car Z L est diagonale (paroi d ' imp6dances anisot rope a y a n t l ' axe Oz pour di rect ion principale) . Un reve- t emen t di61ectrique isotrope d 'une quelconque des parois prec6dentes conserve cet te propri6t6. Pa r contre, la s t ruc ture h61ico~dale ~ spires jo in t ives ne peu t la v6rifier car, en tou te r igueur , les axes p r inc ipaux ne sont plus ni parall~le ni perpendicu la i re ~ Oz.

Cependant , en p ra t ique , I Z~z I e t I Z ~ ] res ten t t ou t fa i t n6gligeables devan t l ' un au moins des 616merits

d i agonaux car le pas d ' e n rou l e me n t est tou jours choisi le plus fin possible.

F ina lement , le t e rme Z~z Zz~ est toujours , darts les s t ruc tures r6elles, ou nul, ou au moins du second ordre. Le te rme correct if qu ' i l appor t e darts le calcul des solut ions d 'ondes est alors sans effet, ou du m6me ordre de grandeur que les erreurs exp~r imenta les sur les param6tres. On peu t doric les n6gliger et simplifier cons id6rablement la p r o g r a m m a t i o n en

imposan t /~ ZL une forme r6dui te d iagonale avec :

Z~.~-+ Z t , (29)

Zzz--)" Zz = ( Yz) -1 �9

On est alors a u t o m a t i q u e m e n t ramen6 suivant .

RU c a s

2. Z~z zz~ = o.

Chacune des 6quations (23) 6 taut cet te fois v6rifi6e pa r la va leur de 9~,N on t rouve ais6ment, en posan t :

C(o) = j o e c i U m ( s ~ c 0 - Y ~ , (30)

D(eo) = j o ~ c t Um(svc~) - - Z t ,

( T m) ]o~ci (s~c~) 2 C(o) (31) 9v,~v -- (svc~) ~ D(o) -- (+m) joec~y~/o2ept ;

&off l '6quat ion caract6r is t ique en ident i f ian t ces

deux valeurs :

(32) C(o) D(o) mZ(y~cl)2 (s~c~p - 0

qui pour ra i t s 'ob ten i r d i rec tement de (25).

Avec les modes de r6volut ion, (23) donne imm6dia- t e m e n t les 6quations cor respondantes :

(33-A) TEon : (gv,lv = 1) , D ( o ) = 0 ;

(33-B) THou : (pv,N = O) , C(o) = 0 .

On ne r6sout pas d i rec tement les 6quat ions caract6- r is t iqucs (32) et (33), mais leurs formes normalis6es en var iables r6duites. Les condi t ions aux l imites

Z s - - ~ ZL sont d6termin6es pa r le ca lcu la tcur lui- m6me selon la s t ruc ture impos6e par l ' u t i l i sa teur

e t la simple subs t i tu t ion Zs- -+ ZK p e r m e t d ' y p lacer un rev6 tement iut6rieur donn6. La r6solut ion des 6quations caract6r is t iques s 'effectue mode pa r mode, en fonct ion d 'un pa ram6t re d ' i t6 ra t ion (g6n6ralemeut la fr6quence), et sur t rois n ive a ux diff6rcnts corres- pondau t s aux familles spectrales : modes Hou , modes Eon , modes hibr ides H E - E H m n . Elle sera d6velopp6e darts la seconde par t ie .

- - 222 - -

t. 26, n ~ 5-6, 1971] 1REPRESENTATION SPECTRALE DES GUIDES D'ONDES 9/16

1.3. Utilisation d'un rev6tement di61ectrique.

1.3.1. Modification du spectre.

Jusqu ' ic i la dyade Zs a 6te confondue avec la charge effective du guide. Mais il est encore possible,

quelle que soit cette charge ZL, de placer un reve- t ement di61ectrique int6rieur pour en modifier les proprietes. Actuel lement , e tan t donnee l 'excellente

qualit~ des parois helicoidales, ce type de reve tement n 'es t utilis6 que sur guide m~tallique nu, en cuivre ou a luminium. Son bu t essentiel est alors de lever la d6g6n6rescence HoyEH n. Nous reviendrons ulterieu- rement sur ce probleme et nous allons nous contenter ,

darts ce paragraphe, de preciser les modifications apporter au spectre precedent par la presence du reve tement dielectrique.

Pu i squ 'une couche dielectrique isotrope conserve

la sym~trie de r6flexion, la dyade Z K ramen6e de Z L

est encore diagonale et on a (Fig. 4) :

(34) Z~ ++- e 0 . ( Y~)-~

~ I I I I I I I I I I ' I I I I I I / / I I I I / / / /

( r.,z. t/=) ' ' f a ' t ~ Z k . yk )

" ~ / / / / / ~ / / / / / / / / / / / / / / / ~ ) / / / / / / ~ (c, , )- ?

/ " / / " / / ' [ / / i "

Ft~. 4. - - R6partition des milieux appartenant aux domaiaes : a) interieur ; b) exterieur.

La recherche de la correspondance ZL--~ Z~: est un problSme impor tan t qui n ' a malheureusement de solution effective que pour les modes h symetrie de revolution. Dans ce cas cette correspondance s'effectue terme h terme, est toujours homographique, et s ' inter- prate en theorie des lignes radiales par un processus essentiel lement iteratif. Au contraire, duns le cas des modes hybrides, chacune des immit tances rame-

nees Zk , Y~ depend s imul t auemen t des deux quan-

tit~s Zt et Yz, de sorte qu ' i l y a reaction du milieu

interne sur la formation meme de ZK et ses deux composantes ne peuvent plus ~tre independantes . La realisation d ' un proccssus i teratif est alors delicate,

et son in terpre ta t ion n@essite l 'emploi soit d ' un octo- pele de liaison sur les champs, soit d 'uu modele base

sur un certain couplage entre deux lignes radiales [10, 11]. En vue de l 'u t i l isat ion de couches trSs minces

(et donc pour eviter les probl~mes de vraie valeur au voisinage de la limite) nous avons prefer6 le calcul r igoureux des immit tances Zk, Yk au niveau r : c~ de chaque structure (cf. w I-3-4). Cela limite 6videm- mea t les possibilitSs du programme, mais facilite son organisation, et a permis entre autre de tester l ' iufluence de couches minces dont l 'epaisseur at tei-

gnai t h peine le micron.

Dans uu guide h revetement , les champs 61ectro- magnet iques, et par consequent leurs fonctions d'ondes, dependent n@essairement du rang i de chaque

couche. Par contre y~,N, u (o) et L,N(Z, 6)) ne

dependent pas d i rectement de la repar t i t ion des champs darts la section droite du guide. On peut donc genera- liser (22) avec les relations auxiliaires :

(35) 0.)2Z~s -~- y2,N = (Si)2,N

et utiliser les relations (6) en in t roduisan t cette lois l ' indice de couche h l ' in ter ieur du revetement .

La forme particuliSre des relations (6) permet d'assurer, outre une representat ion complSte des

champs ~ l ' int~rieur du guide : a) la cont inui t6 syst6matique de la composante Ez

au passage du revetement , b) la conservat ion formelle des relations de Kir-

choff. La generalisation des proprietes spectrales prece-

deutes est alors immediate et (5) subsiste avec une nouvelle valeur de ~ , N . On conserve de meme (8), (9), (10) et (3) avec la subs t i tu t ion : r r et pt ~> ~zi darts la couche utilis~e.

La cont inui t6 des composantes Hz entra ine ensuite :

(36) (~i)v,N/Ov,N = ~i/~L

et le parametre,o ~,N est aiusi le seul coefficient nume- rique utilis6 pour les condit ions aux limites. Ceci n 'cs t 6videmmcnt possible que parce que les t rans-

formations d ' immit tances , au lieu de rester formel- lemeat arbitraires, sont au contraire exac tement determin~es h l 'avance, aux arguments numer iques des fonctions d 'ondcs pr~s.

F ina lement , en posaut Z s - + ZK on nc inodifie que dcux immit tances dans les relations (30) ct toutes los equat ions caracteristiques, ainsi que les techniques de calcul associecs, restent d i rectement utilisables.

Comme la correspondance ZL---> ZK a 6t6 6tablie une fois pour toutes et pour chaque couche, on comprend qu ' i l est immedia t d 'a joutcr un revete- mea t donne sur n ' impor te quelle paroi dej~ pro- grammee.

L3.2. Les transcendantes radiales intdrieures.

Dans ce programme, les fonctions d 'ondes de reve- t emen t oat 6t6 choisies de fa~on particuli~re. Tout d 'abord on remplace sys temat iquement les fonctions

de Bessel iuitiales pat- des familles de t raasceudautes

primaires d i rectemcnt associees ~ la geometrie des couches rencontrees. Ensui te , eu t e n a n t compte des

- - 223 - -

1 0 / 1 6 ~ . n a A v ~ a

valeurs prises par le champ 61ectromagn6tique sur les fronti~res, on fai t in tervenir certaines t ranscendantes secondaires (sous forme de coefficients) qui pe rme t t en t d'6crire toutes les 6quations caract6ristiques et les t ransformat ions dyadiques d ' immi t t ances introduites par le rev6tement . C'est en combinan t ces deux familles que l 'on forme les t ranscendantes g6u6rales qui ont 6t6 utilis6es.

L 'emploi de ces t rauscendantes pr6sente un double avan tage pour le calculateur.

- - Elles vdrifient dans leur plan complexe reprdsen- tall/ (en route rigueur les lranscendanles secondaires el gdndrales seulement) d'imporlantes propridlds de sym& trie que ne possddent pas encore les fonctions initiales Jm(z) et Nm(z).

- - E l l e s ddrivent imm~diatement des fonctions de Hankel H~] (z )e t H~,~](z) qui sont tou]ours tr~s bien organisdes dans Its biblioth~ques-programmes actueUes.

Pour chaque couche di61ectrique il f au t dist inguer deux families pr imaires et cinq t ranscendantes secon- daires assoeiges. Nous allons les d~finir sur la couche n ~ 2 (Fig. 4-a) mais leur extension aux autres couches est immediate .

1) Transcendanles primaires.

Avec les a rguments contract6s (c~ ~< r x< b~) :

( S 2 ) % N r - - r , ( S 2 ) v ' N C i =-~ c t '

(s,)~,Nbi - ~ ;

la premi6re famille est donn~e tableau I (fonction et d~riv6e). L ' aceen t (') repr6sente toujours une d6ri- r a t ion pa r r appor t h l ' a rgumen t complet .

TABLEAU I

1 [~l ~) H[.~] (~ ) H~] ~)], P m ~ , ~ ) = ~ [H[Xl (~,) H m --

1

s , Z , - ~ [H[.,,1]'(~,) H~] (~) - - H.[~]'(~,) H~] ~)],

si .(r , b~) = ~ [H~'(gt) HW(r) - nEmW(Oi) H~1'~7)],

off j2 = 1.

Le signe (--) de la fonction Sm(~, b~) n 'es t pas indispen- sable et n ' a ~t~ re tenu que pour re t rouver des formules bieu connues en th6orie des lignes radiales.

La seconde famille d6rive d i rec tement de la pre- miere par subst i tu t ion d ' a r g u m e n t ; on l 'ob t ien t en

remplagant duns le tab leau I ~ p a r c l ligne par ligne. Avec ces nota t ions tou te fonction radiale de couche

peu t se me t t r e sous la forme tr~s g~n~rale :

Fi,m(r) = AiPm(r , b~) + B$Sm(r, b~) + C , P m ( r , el ~) +

DiSm(r , ct),

oh les coefficients A t , B i , Ci et D i n e ddpendent que des t ranscendantes sccondaires prises sur la couche n o i. On notera que ces coefficients ne peuven t cn aucun cas 6tre consid~r6s comme arbi t ra i res au sens de la thgorie classique de r~solution d 'unc ~qua-

E T J . Y H U E L [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICAIIONS

t ion caract6ristique. Ils p roviennent ici d 'un d6ve- loppement de Laplace r6solu et sont renseign6s par lc calculateur pour que la fonction radiale (ou p lu t6 t la composante de champ associ6e) puisse v6rifier a u t o m a t i q u e m e n t les conditions aux limites aux deux fronti~res de la couche consid6r6e.

Nous ne d6velopperons pas les propri6t6s des traus- cendantes primaircs, mais on peu t signaler qu'elles se

g6n6ralisent h une double indexat ion P m , p ~ , ~ ) c e qui donne, par exemple :

p' 1 [Pm-1, m] m, m ' ~ , "b') = ~ - m -- P r o + l , ,

1 [Pro-l, + Pm+l, m] ~m P m m ( ~ , ~ ) = ~ - , m r

et pe rme t ainsi un calcul formel plus compac t de certaines intggrales de normalisat ion.

2. Transcendantes secondaires.

En int roduisant le num6ro de la couche comme argument , on obt ient la famille su ivante des coefficients (pour la couche n ~ 2) :

P'm(~, ~) Sm(c~, ~ ) v m ( 2 ) - ~ ~ , w m ( 2 )

P,.(c,, b,) ;,) g)

x ~ ( 2 ) - _ _ , c7 e m ( c ~ , b0

s . , (g , Ym(2) - - ~ ~ ~ , Z m ( 2 ) = - ,

c, b,) Pro(Y,, (Pour soulager l '6criture l 'accent ~ sera dgsormais sous-eutendu duns les a rguments des t ranscendantes , puisque leur rcpr6sentat ion v6ritable est ma in t enan t connue.)

Pa r extension, on pose de m6me duns le milieu central :

t S Jm( v,N ci) Urn(3) = sv,NClJm(Sv,NCl)

Finalement , compte tenu de ces notat ions, les fonetions d 'ondes utilis6es dans un rev~tement intS- rieur sout les suivantes :

(~_21 ~ e~,m(r) cos ta0 (37) (I~)~,N = N~,N ~,N F~,m(Ci) sin m0

(f~h)v,N= Nv,N v,N F~,m(r ) cos mO '

(38)

s )2 F~,m(r) F~,m(bl) cos ta0 (/~e)v,N= Nv,s ~ v,N F~,m(bt) F~,m(Ci) sin m 0 '

( s }3 F~,m(r) F2h, m(b0 sin m0 (/~)v,N= Nv,N ~ 1 v,N F~,m(bi) F2~,m(Cl) cos ta0

Nous ne pouvons pus d6veloppcr duns ces colonnes les expressions exactes des F e' t, Le lecteur pourra i t i, In"

d'ailleurs les reconst i tuer pus h pus h l 'aide de la th6orie classique [12] et cont rac ter les d~veloppe- merits obtenus sous les formes (37) et (38) pour uti- liser d i rec tement les coefficients de normal isa t ion que nous allons introduire.

- - 2 2 4 - -

t, 2a, n ~ 5-fi, 1971]

1 . 3 . 3 . O r t h o n o r m a l i s a t i o n .

Dans un guide h revGtement la relation (13) subsiste condit ion d 'ut i l iser chaque fonction d 'ondes dans

son milieu propre. Cela condui t h remplaeer (14) par :

(39)

~i t) i -~kVt(['~)v,N - - (~ l )v ,N t" V t ( / i ) v , N ) " Vt ( l t ) • K -~- \

(O0• Y~,K Pt.Vt([~)• e l e 2 d x ~ d x , = 8~•

En in t rodu i san t ccs sommcs particlles dans l'op6- ra teur < 1 > le d6veloppement spectral init ial (sur (3)

g6n@alisge) reste valable. Quelle quc soit la s tructure, le param~tre Nv,N cst d6fini par (39) sous la forme :

. . . . . . .

N v ' N t) i

Chaque int6grale particllc se d6eomposc avec les formules de Green (18) en n o t a n t qne tou t par- cours F , (i = 1,2) est ~ prendre cont inf iment sur les deux bords de la fronti~re (Fig. 5). Sur ehaeun de ees

Fro. 5. - - Orientation des fronti~res de domaines. D O : domaine central, D i : domaine de conche.

Les int6grales curvilignes sur F oet F i sont h prendre avec une ou deux fronti~res, comme indiqu6. Pour la valeur de i, prendre (cf. fig. 4-a) : i = 2 pour un simple revfitement,

i ---- 2, puis 1, pour un revgtement double.

bords il y a compensat ion partielle des int6grales curvilignes. E n effet les termes explicites comme

r \ br -F p~ rbO J = F ( r i ) '

l rl = b~, au choix,

T - PI ~ t ~ \ rB0 - p~ Br / G ( r 0 ,

6 tant respect ivement proport ionnels h une induct ion 61eetrique normale Dr et un champ 61ectrique tan- gcntiel Eo res tent cont inus h la travers6e de la fron- ti~re, quelle quc soit la eouche. Toutes les int6grales interm6diaircs se ram~ncnt donc, eouche par eouche,

une expression de la formc

f w," t{,,,, ~ ~(ri) - - ,~ , ri dO

J \"~+x G(r~) ' Fi

qui s 'int~gre, comme l ' int6grale curvil igne supGrieure, par de simples a r rangements de fonctions trigono- m6triques dans r in t e rva l l e [ 0 - 2=]. Les int6grales

REPR~]SENTATION SPECTRALE DES GUIDES D'ONDES 11/16

de surface s 'ob t i ennen t de m6me h par t i r de route

une famillc d ' int6grales partielles :

r2 t ranscendantes (r) r dr = Gx(r 1 - rl

que le calculateur utilise toutes int6gr6cs avec Gx(r) h renseigner.

En posant tou t d ' abord avec (36) :

eh e,h Fl,,m(r ) e,h F,,m(bt) eh e.h Fs,m(r) Rl,,m(r ) _ R,,m(r) = ca, ' F e'h ~b " e,h F,,m(ci) 1,m I, IJ F,,m(Ct)

G,(r) = T { - m'} +

r R;%(r))q,

GIl(r) = '2 ( s ~ l g E " "v('2)~'N {02,,,2Y~ [(n~,m(r))2{(82)~ 2r2-

G,,,(r) = 2 ( e, r R~,m(r)[(s2)v r R,,m(r ) •

m(f~2)~,N R~,m(r)] ,

Giv(r) = 2 ( p S ) v , N - X

n ,m(r) [(~2)~,N(S~)vr Rz,m(r) • m R~,m(r)] ;

puis, en cons t ru isant Gv h GwH, transform6s respectifs

de GI ~ Giv par la subs t i tu t ion directc, 2 --~ 1, sur les indices de mil ieux rencontr6s, on forme l 'expression cherch6e du coefficient Nv des modes hyb r i de s :

(40) N,:~/~ILm• Gl(r)--Gii(r)-J-Giii(r)--

1 1 I-"', a, Giv(r) b~ Gv(r ) - - Gvi(r) + a w f f r ) - - Gr in ( r ) J cl I bi

oh Cm et L m ont 6t6 d6finis pr~c6demment et off la no ta t ion :

f ( r )J : : -~ f(r,) - - f(rl)

repr6sente unc diff6rence aux fronti6res d ' int6grat ion.

Avec m = 0 et pv,N ~ 0 l 'expression (40) se r6duit au param6tre de normal isa t ion des modes Eon.

Pour les modes Hon il faut prendre, avcc pv,N = 1 :

(41) N . -- ~/~- { \ {o'r ] o -- GII + GIV ci - -

+ v.Ila P/'. J bl)

On a not6 yv et (sdv parce que les 6quations caract6- rist iqnes ne d6pendent plus de m, comme en l 'absence de rev6tement . Enf in s'il n 'existe qu 'une seule couche di61ectrique lc dernicr terme des Nv n 'cs t pas utilis6.

Trans/ormation des immittances radiales.

Grfice h sa forme diagonale la correspondance

ZL--~ ZK se r6duit au calcul de deux immit tances scalaires :

Z~ = / (Z t , Y z , ( o ) , (42)

Y/c = g(Zt , Yz ,ca) .

Ces quant i t6s d6pendent de la solution ~ obtenir ,

- - 225 - -

12/16

ne serait-ce qu 'avec les relations impos6es aux arguments par (22) et (35) :

--_ .2 (43) (s~)~ s~ + (o2(r -- ztz),

et les solutions de l '~quat ion caract6ristique perdent rap idement le caract6re s ta t ionnaire qui leur 6tait impos6 par la paroi d ' imp6dances. C'est ainsi que v ingt microns suffisent, avec les guides actuels, pour

t ransformer le mode d o m i n a n t de la s t ructure en onde de surface.

A cause de la superposit ion des couches di61ectriques,

il est int6ressant d 'ut i l iser une forme it6rative darts la p rogrammat ion des expressions (42). Cela est tou-

jours possible avec les modes de r6volution. On obt ien t alors, en appelant Ii,~ l ' immi t t auce ramen6e au niveau inf6rieur de la couche n o i les exprcssions suivautes

de Z2,k et Y2,k.

1) M o d e s Hon.

a) Une seule couche int6rieure.

(44)

jo:~2 ZtPo(Ct, bi) + j(o~2So(r bi)/(s2), Z2,k= (S2) v ZtPo(cl, bi) § jo)~2So(c/, bi)l(s2)v '

Y~,~ : arbi traire (en fait, e 'est la t ransformat ion duale de (44) qui est form6e par le ealeulateur).

b) Deux couches int6rieures. On utilise la fonnule pr6cbdente en deux 6tapes

suceessives selon le proeessus :

(45) i 2 - + 1

en faisant i c~ --)- b~ , (44) donne Zl,t provisoire

, bi -+ a I

en faisant Zt - + Z~, t , (44) redonne f inalement la

valeur Z2,k cherch6e aprSs avoir invers6 la subs t i tu t ion

pr6c6dente.

Les t ransformat ions duales donnen t la valeur

(arbitraire) de Y2,k.

2) M o d e s Eon.

Toute l 'organisat ion pr6c6dente reste valable, mais h par t i r de l 'expression duale de (44) :

(46) jo)~ rz P'(c~, bi) + jo)r bt)/(Sz)v

Y 2 , k - (S2) u YzPo(cl , bi) + j(oz2So(ci, bi)/(s2)v

d'apr~s ce qu 'on v ient de voir, le calculateur l 'ensemble des t ransformat ions en une seule

En fair,

effectue fois.

Avec les modes hybrides, le problSme se complique quelque peu. E n effet, les relations (44) et (45) ne

res tent valables, pour m :/: 0, que pour les ondes

dont la composante Ez est iden t iquement nulle (ondes

radiales LSEmn par exemple). M6me conclusion par dualit6 h par t i r de (46). Le calcul direct restitue encore

une forme it6rative, mais avec certains coefficients Zi, c et Z~,a sp6cialis6s h chaque n iveau d ' i t6rat ion. En

effet, 6 tant donn6e la na ture m~me de l 'onde hybride, ces coefficients r ep r&en ten t une partie de l '6quat ion earaet6ristique de la structure. Comme ces 6quations [D~

- - 226 - -

M . B R A Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES TI::L[~COMMUNICATION$

se modif ient couche par couche, aucun t ransfer t de l 'une dans l ' aut re n 'es t possible. I I e n est donc de

memo pour les coefficients utilis6s.

On a ainsi pour les modes hybrides, dans le cas d 'une seule couche int6rieure :

l [ m~9 j ' c J~ Zt Z2,c P,,( ~, bi) + z2,~= (s~)~ (s2)~

Jt~ S',,(ci , bi) I I { [ z t - - m2Y~ Z2,c] Pm(ci , b~) +

I m~,fi (47) J~~ Sm(c~, bf,) + Z2,a , (s~)~ (s~)~

y ~ , k = i D u a l Z ~ k , a v e e ~2 -+~2 , Zt "-+ Yz , ' / ~ 2 , e _ . . ~ X 2,C ~ Z2,d-"~Y2,d

Les coefficients Z2, c (Y2,c) et Z2,d (Y2,d) sont donn6s en annexe C.

La formule (47) s ' adapte exac tement comme (45) au cas d ' u n double rev6tement . Les coefficients corres- pondants , donn6s en annexe C, sont les suivants dans

chaque niveau :

Zl,c (Yl,c) t --)" Zl,t (Yi , z ) , a v e c Zx,a( Yx,a) )

Z2'c(Y2'c) l - -~ - Z2,k(Y2,k) , a v e e

z~,~(v~,~) t

2 - + 1 ,

ct -+ bi ,

bi -+ a~ ;

Z t ~ Zl, t ,

Yz ~ Yxz,.

ANNEXE C

I. Ddfinissons tout d'abord, h l'aide des transcendantes secondaires, des groupements de coefficients valables couche par

< Z t > =

< Y z > =

[zt] = [ Y~] =

< I > =

couche :

Zt + jo~2ct X.~(2), Dual < Z t > avec : Zt ~ Yz,

Zt + jo~[z~b~ Xm(l),

Dual [Zt] avec : Zt -~- Yz ,

[I3 =

[ u ] =

< b t > =

< z > =

[ ~ ] =

[z,] =

[A] =

[B] - -

< C > =

< D > =

D-.1 - ~ E1 :

l my~ ~2 (s2)~b i / -- < Zt ~ ~ Yz > ,

(s~)~al / - [ z d [ Yz] ,

I I t [I] o)%~.1 (s~)~ (sl)] t b, 2 + (sl)~ V~( l ) Z~(I )

jco~c~ Urn(3) - - j r V~(2), Dual < p t > avec : [z -+ z , pt2 -+ za,

jco~b~ V~(l) + jr Xm(2), Dual [Ezl] avec : ~tl -+ r ~% -+ r

a~ [~] [I] § (jr 2 [Yz] ~ Ym(1) Zm(l) ,

Dual[A] avec : ~zl ~ ~1, Yz -+ Zt ,

bi Ym(2) Zm(2), < ~. > < zt > + (j(o~c~) ~ ~

D u a l < C > avec : /z -~ z Zt -~ Yz , ~ 2 ~ ~2 ~

bi

Dual [C] avec : ~ -+ ~ A -+ B ~L2 - + ~2

t . 26, n ~ 5-6, 1971]

II. On a alors les expressions suivantes des coefficients demandds, avee une seule touche int6rieure :

1 < z > g2,c ((s2) vbg) 2 < D > '

Y2.c = DualZ~,c avec : ~ -~ ~ , D -~ C;

puis avec

<III>= i2--(S2~2 f (02~2~2 \ s /v } ~ Ym(2)Zm(2) -

I @ t ,

< E > = Z t - - ~ Z l , c P m ( c { , bi) +(s~2)~ ~m~Ci, bi),

< F > -- D u a l < E > avec ~L2--~ r

R E P R ] ~ S E N T & T I O N S P E C T R A L E D E S G U I D E S D ' O N D E S 13/16

Zt --+ Yz ,

ZI,C -~ YI,C ,

il vient ensuite :

Z2, d : Pm(ci, b~) < I I I > < D > < E > '

Y2,a = DualZ2, ~ avec D -+ C, E ~ F.

III. On prendra tout d'abord avee deux couches intdrieures :

t Zl'g : ((81) vai) 2 [ Yz] '

Y~,c = DualZl ,c avee : Yz --+ Zt ,

-- I < z > Zl'Cl - - 2 ((Sl)'~bi [II3)2 [ D ~ '

YI,g = DualZl ,a avec : a -+ pt D -+ C.

IV. On pose ensuite pour achever le calcul :

Z2c - - I s 2 \ ) ~ ' \ 81 / v Z l ' d '

Y2,c = Dual Z2, c , avec Z1, d --+ YLd �9

c02r [III] - - ~ i 2 - - ( ~ s s 2 / : I (myvb~) ~ Is2' 2 [I][II] •

Ym(2) Zm(2) + c~{(myvb~[II])2-- [A][B]} ,

r - /Tt2.v2 ] /v jtoP~2 ~ , [E] Izl,t-T:~ Z2,c /Pm(ei , bi)+ - - bi), �9 Is2Iv _J (s2)v mmlCl,

Z~,t -+ Yt,z , [F] -- Dual [E], avec ~z2 + s2, Z2,c -+ Y2,c ,

Pm(ci , bi) [I l l ] g2, d - - [D] [El '

Y2,g = DualZ~,a avee D -->- C , E -~ F .

1.4. R e p r 6 s e n t a t i o n de la paro i h61ico idale .

1.4.1. Le domaine ext#rieur.

La fronti~re d ' un guide h61ico~dal coinprend tou- jours un rev6tement absorban t plac6 h l 'ext~rieur de

l'h61ice. Sa repr6sentat ion s'effectue dans les m6ines condit ions que pr6c6demment en faisant correspondre,

chaque couche ext6rieure de rang ], un num6ro d 'ordre et une variable auxiliaire (sj)r pour d6finir les

t ranscendantes ~ utiliser. Cc domaine ext6rieur est

limit~ par deux fronti6res d ' imp6dances ZE et Z R .

La premi6re est prise imm6dia temcnt au-dessus de

.++-

l'h61ice et contr ibuc h la formation de Z L . Elle est donc diagonale et dolt 6tre d6termin6e par le calcula-

_+_~_

teur. Par contre, l 'u t i l i sa teur impose la paroi Z R , v6ritable fronti6re ext6rieure du guide. On peut ainsi retenir une paroi absorbante , un tour m6tanique plus ou moins parfai t ou une fronti~rc d'espace libre.

Quel que soit le nombre de couches ext6rieures, il faut calculer les 6quations caract6ristiques corres-

ponda n t aux condit ions aux limites impos6es par ZE +4--

et ZR. Avec des dyades diagonales, et en mil ieux isotropes, ces 6quations s ' ob t i ennen t comme dans un guide ordinaire h l 'aide d 'une m6thode g6n6rale

d ' ident i f icat ion (cf. par exemple [12]) et par la r6so- lut ion du d6 te rminan t correspondant .

Tous calculs effectu6s ces 6quations p r ennen t tou- jours la forme g6n6rale :

(48) f (Ze , Ye , s2, Sl, SO, 6)) = O,

off Ze et Ye rcs tent encore /~ d6terminer. Si on impose h t o u s l e s a rguments sj de v6rifier les

relations :

(49) ( s j )2 = S2,N + 6 3 2 ( Z j ~ j - - r

l '6quat ion (48) se t ransforme en une condit ion n6ces-

saire impos6e aux 616ments de ZE pour l 'existence m6me de la valeur propre yv,N a l ' int6rieur du guide. Chaque mode possbde ainsi son prolongement dans le domaiue ext6rieur.

Plus g6n6ralement, on pourra i t lui faire corres- pondre un v6ritable d6veloppement spectral pour satisfaire les condit ions aux limites ext6rieures.

L '6quat ion (48) serait alors r6solue pour elle-m~me avec des solutions g6n6ralement diff6rentes de (49).

Le guide prend alors pour module deux lignes en couplage cont inu h travers l'h61ice. I1 n ' a pas 6t6 re tenu pr inc ipa lement parce que la recherche d ' u n

d6veloppement n6cessite, pour un seul mode ()v,N, presque a u t a n t de calcul num6rique qu ' i l en faut ac tuel lement pour le spectre du guide tou t entier.

1.4.2. L'h~Uce p r o p r e m e n t dire.

Elle est r6alis6e h par t i r d ' un fil tr~s fin, d 'excel lente conductivi te , isole h l '6mail et enroul6 h spires join- t i res. Comme son 6paisseur ne d6passe gu~re 100 mi- crons, la p6riode spatiale de l ' enroulement reste tr~s inf6rieure h la longueur d 'onde d'espace libre des fr6quences porteuses comprises entre 30 et 150 GHz. I1 en r6sulte que l 'on obt ient encore une bonne repr6- senta t ion de l'h61ice en se l imi tan t h une valeur moyenne de ses champs 61ectromagn6tiques.

I1 en existe deux approches diff6rentes mais elles conduisent f inalement h des conclusions identiques,

aux termes d 'ordre sup6rieur pr~s.

a) La p6riode spatiale comprend un excellent

conducteur d'6paisseur h et un bon isolant r6parti sur la distance d compl6mentaire (Fig. 6). Lors des

calculs les longueurs h, d ne correspondent pas vrai- merit h la d is t r ibut ion g6om6trique (circulaire) de

227 - -

14/16 M. B R A Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES Tb:LI::COMMUNICATIONS

feuil letage, t r ansve r sa l cmeu t isotrope, don t les para- ,n~tres moyens sont donn6s par les formules bicn connues :

+ ct - , respt , fxt,

d + h (50)

( a + Cz -- , respt . ~z.

(pxp,

Fro. 6. - - Coupe sch6matique de l'h61ice.

cet te p6riode mais p lu t6 t h la d i s t r ibu t ion rec tangu- laire d ' un profi l moyen 6quivalent . (I1 existe h ce suje t quelques 6tudes par t icul ibres et h d6faut d 'une 6quivalence 61ectromagn6tique r igoureuse au moins une 6quivalence 61ectrostatique par t r ans fo rma t ion

conforme.)

On peu t calculer dans chaque milieu h e t d les t r ans fo rmat ions d ' immi t t ance s radia les co r respondan t

la t ravers6e m6me de l'h61ice. Le milieu h est 6vi- demmen t pris ex t r6memen t abso rban t alors que le milieu d reste t r a n s p a r e n t avec per tes 16gbres ou

moyennes.

C'est en p r enan t les valeurs moyennes de ces immi t t ances sur uric p6riode spat ia le que l 'on ob t ien t

-~-+- -~o.-

la cor respondance Z E - + ZL cherch6e.

b) Au lieu de prendre en moyenne ces immi t t ances , on peu t aussi rechercher d i rec tement les tenseurs

-4-0-- -~-~- moyens r et ~ 6quivalents h l ' en rou lemen t h61icoidal, ou plus exac t emen t au feuil letage pr6c6dent de

p6riode d + h.

On r6alise ainsi un milieu s t r i c t ement homogbne, mais trbs fo r t ement anisot rope. Les dyades repr6sen-

ta t ives " ~ - e t - ~ "- & a n t diagonales la correspondance

Z B - + ZL s ' ob t i en t fac i lement pa r le calcul.

I1 est in t6ressant de no te r que les deux m6thodes sont 6quivalentes, parce que l 'u t i l i sa t ion du mode radia l fondamenta l dans la premibre revient implici- t emen t h ut i l iser la loi de fo rmat ion des pa ram6t res

de la seconde.

Nous avons re tenu la seconde m6thode pr incipa- l ement / t cause de sa plus grande souplesse d 'u t i l i sa t ion .

Pour d6finir le milieu 6quivalent , on a d m e t t ou t d ' abord , comme l ' a d6montr6 G. Comte [13, 15], que l'h61ice est convenab lemen t repr6sent6e par une succession de disques tou r ~ tour tr6s bons et tr~s mauva i s conducteurs . Le r a p p o r t z a / a a des conduc-

t ivi t6s isotropes doi t 6tre de l 'o rdre de 10 ~.

D6signons ensui te pa r

= - ,

et r e spec t ivemen t

les pa ramSt res 61ectromagn6tiques complexes de cha- cun de ces mi l ieux 61~mentaires. Puisque (d + h)]), o

1, on peu t les consid6rer comme cons t i t uan t un

+

Le tenseur eorrespondant est alors diagonal et a

pour dyade repr6sentative : [ oo 1 r -+-*- ~t 0

0 Cz

respt . [z.

[=0 1 Lo

Dans un tel milieu les re la t ions (A-4) se g6n6ralisent imm6d ia t emen t sous la forme :

l -+-~-~" 5~ I + ~ --~ -r + H 0)2 ct �9 y.t �9 + ~ E t =- -~z V t Ez + j0)Ftt �9 P t �9 V t z ,

t + z-T

et les 6quations d 'ondes (A-10) res ten t valables. I1 faut cependan t noter que les solut ions d 'ondes corres- pondan tes sont v6 r i t ab lemen t hybr ides en ce sens que deux constantes radia les part icul i6res se et sh sont associ6es au m6me mode en v6rif iant la re la t ion :

(51) S' = St (gZ ~1/2 sh : St ( ~Z, ~1[2 \ ~t / ' \ ~ - / "

Dans le cas g6n6ral, on d6 te rminera i t la solut ion d 'onde st en r6solvant l '6qua t ion caract6r is t ique co r respondan t aux condi t ions aux l imites s imul ta-

n6ment impos6es pa r ZE et ZL. Mais dans le cas pr6sent , il suflit de g6u6raliser la re la t ion (49) en imposau t :

( 5 2 ) st2 = sv, N + 6)2(r - - r

de sorte que l'h61ice se r6dui t f inalement fi une couche aniso t rope suppl6menta i re p ro longean t le r ev6 tement di61ectrique ext6rieur.

Les t r anscendan tes radia les peuven t alors 6tre d6finies exac temen t comme au w I-3-2 mais en fa isant in terveni r cet te fois deux groupes d is t inc ts T e, et T,~ associ6s chacun aux a rguments (se)~,nr et (sh)~,Nr.

Si r~ est l 'une des quant i t6s : c i , hi , a~ ( rayon du guide) a u t o m a t i q u e m e n t s61ectionn6e par le calcu- la teur , les fonctions d 'ondes ~ re teni r p rennen t la forme :

~n,[Sv,N r] COS mO ([e)v,N = Nv ,N e e

v,N F,,,[S~,N&] sin toO' (53)

( 1 ,,,L ~,N-, s i n m 0 ( /h )v ,N : N v , N S 2 F h r s h r.3 \ st / ~,N F~ [s~,Nrd cos m O '

et eonduisen t "h des re la t ions analogues h (44), (46) et (47) d o n n a n t Z t et Yz en fonct ion de Ze , Ye dans

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t. 26, n ~ 5-6, 1971]

tous les cas possibles. Avec les modes TEon (THon) seules les t r anscendan tes en To ~ (T e) sont utilis~es alors qu ' avec les modes hybr ides ces solut ions sont mixtes .

I1 est ut i le de revenir sur la m~thode qui a 6t~ utilis~e car de certaines cr i t iques, souvent per t i - nentes , s'61~vent parfois lo r squ 'on assimile un milieu p6riodique h u n feui l letage homogbne, la condi t ion : p6r iode/ longueur d 'onde ~ 1 ~ tan t 6v idemment remplie. On peu t ainsi faire r emarque r que l 'h~lice, malgr6 sa couche ~quivalente, n ' e s t pas un milieu de p ropaga t i on longi tudinale ( tout au moins pas plus que ne l ' es t le tube en cuivre massif d ' un guide d 'onde circulaire classique). Cette r emarque est justifi~e mats le mil ieu propos~ la v6rifie. En effet, la conduc- t iv i t6 an (cuivre) 6 tant de l ' o rd re de 10 v , zt poss~de un module du m~me ordre de grandeur , quelle que soit la fr6quence utilis6e. On peu t alors remplacer (52) pa r l ' excel lente app rox ima t ion :

(54) s~t : O , ) 2 ~ t ~ t ,

m o n t r a n t que s t , et donc s h qui lui est 6gal en pra- t ique, ne d~pendent pas du spectre en p ropaga t i on dans le guide et poss~dent un module considerable. On cons ta te alors, h un ordre de g randeur pros, que les fonct ions d 'ondes (53) s '~vanouissent et que leurs champs p rennen t une ampl i tude r~siduelle analogue it celle qu ' i ls au ra i en t dans la coque de Ke lv in d ' un guide m~tall ique. I1 n ' y a plus de p ropaga t i on longi tu- d inale d '~nergie dans l 'h~lice elle-m~me (au 1 er ordre). Ceci se r e t rouve ~galement, inais beaucoup moins marque , dans le rev~tement ext~rieur.

Lors de ce passage h la l imite, les quaut i t~s ~z et se conserven t des grandeurs bien d~finies, e t l 'h~lice se condui t comme une couche ~paisse de Morgan, mais avec Zt :/: 0 et Yz va r i an t r ad ia l emen t en fonct ion de se. Toutes ces observat ions on t ~t6 confirm~es p a r le ca lcu la teur qui a m~me impos6 de revoir la d~fi- n i t ion des quant i t~s pr~c~dentes comme l ' ava i t d~j~ pressent i G. Piefke dans ses r emarquab les t r a v a u x sur le guide h disques [15, 16].

A l ' a ide des remarques pr~c~dentes, on peu t simpli- tier cons id~rablement les expressions exactes de la

t r ans fo rma t ion Z z ~ ZL en n~gligeant t o u s l e s infini- mcn t s pe t i t s d 'o rd re sup~rieurs h 1]s t ou l [s h . On t rouve alors que Zt dev ien t i nd6pendan t du milieu ext~r ieur et s '~cri t :

(55) Zt = j(o[zz r~ V, ~, ,

En u t i l i s an t la va leur a s y m p t o t i q u c de V~ on ob t i end ra l ' express ion :

z~ ~ ~/~, /~t ,

don t l ' i n t e rp r~ ta t ion phys ique est ~vidente.

On a de meme :

(56) Ze = -- jeo~tz r~ X,, h ,

avec cet te lois : Ze--> -- Zt, le signe - - p r o v e n a n t de

l ' 6va lua t ion alg~brique des immi t t ances sur r ~ L ' imp6dance Ze ~tant donn~e pa r (56), la va leur

REP1AI~SENTATION SPECTnALE DES GUIDES D'ONDES 15/16 cor respondante de Ye se d6dui t de (48) ~ l ' a ide du rev~tement ext6r ieur et la va leur de sa t ransform6e Yz s ' ob t i en t de la re la t ion :

Jc~ I ] . e (pm) + " e ' joez ( s e , ) ] / [ Y e P e + (57) Y z - se ~ m

s - ~ S~, ,

qui est une g~n6ralisation immed ia t e de (46).

(A suivre.)

BIBLIOGRAPHIE

[1] JULIER (E.), BOURGEAT (L.), BOUTELANT (P.), COMTe (G.). Les transmissions it grande distance par guides d'ondes circulaires. Cdbles et Transm., Fr. (janv. 1967), 21, n ~ t, pp. 40-61.

[2] HERLENT (Y.). Les transmissions par guide d'ondes circulaires. Ann. T~ldcommunic., Fr. (]anv.-f~vr. 1970), 25, n ~ t-2, pp. 3-1~.

[3] CAIno (L.), KAHAN (T.). Techniques variationnelles en radio-6lectricitd, monographie n ~ 39, Dunod, Fr. (i962), i~8 p.

[4] Moasn (P.), FESHEXCn (H.). Methods of theorical physics (Mdthodes de physique thdorique). Mac Graw- Hill (1953), 1978 p.

[5] UNGnR (H.). Helix waveguide theory and application (Thdorie du guide d'onde hdlicoidal et application). Bell. Syst. Tech. J., U . S . A . (nov. 1958), 37, n ~ 6, pp. i599-1647.

[6] UNGER (H.). Lined waveguide (Guide d'ondes it rev~tement). Bell. Syst. Tech. J., U. S. A. (mars 1962), 41, n ~ 2, pp. 745-768.

[7] SCnELKUNOFF (S.). Generalized telegraphist 's equa- tions for waveguides (Les dquations des t~l~graphistes g6ndralisdes pour guides d'ondes). Bell. Syst. Tech. J., U. S.A. (juil. 1952), 31, pp. 784-801.

[8] SCnELKUNO~F (S.). Conversion of Maxwell's equations into generalized telegraphist 's equations (Conversion des 6quations de Maxwell en dquations des tdl6gra- phistes gdndralis6es). Bell. Syst. Tech. J., U. S. A. (sept. 1955), 34, pp. 995-1043.

[9] ]~RESLER (A.), JosnI (G.), MARCUVlTZ (N.). Orthogo- nalities properties for modes in passive and active uniform waveguides (Propri6t6s d'orthogonalit~ pour les modes dans les guides d'ondes uniformes actifs et passifs). J. Appl. Physics, U . S . A . (mat i958), 29, pp. 794-799.

[10] CLAnnlCOATS (P.), OLINEn (A.). Transverse-network representation for inhomogeneous filled circular waveguide (ModUle de rdseau transversal pour guide d'ondes circulaire it remplissage non homog~ne). Proc. I.E.E., G. B. (mat 1965), 112, n ~ 5, pp. 883-894.

[ l i ] CLARRICOATS (P.), OLINER (A.). Transverse equi- valent network for slotted inhomogeneous circular waveguides (R6seau 6quivalent transversal pour guides d'ondes circulaires non homog~nes fendus). Proc. Instn. electr. Engrs., G.B. (avrfl 1967), 114, n ~ 4, pp. 445-~56.

[12] Bocxx (M.). Les formules exactes pour le calcul d'une ligne cylindrique de r6volution form6e de plusieurs couches concentriques. Cdbles et Transm., Fr. (juil. 1967), 21, n ~ 3, pp. 195-215.

[13] COMTE (G.). Guides d'ondes circulaires anisotropes et guides d'ondes circulaires h~licoidaux pour la transmission du mode TE01. Onde dlectr., Fr. (janv. 1964:), 44, no 4~2, pp. 36-46.

229 - -

16/16

[16] COMTE (G.). Propagation des ondes ~lectromagn~tiques dans un guide d'ondes cireulaire form~ d'anneaux alternativement conducteurs et isolants. Application au cas du guide d'ondes h6licoidal. Cdbles et Transm., Fr. (janv. 1970), 24, n ~ 1, pp. ?3-95.

[15] P I E F K E (G.). Die iibertragungseigensehaften einer Leitung aus axial angeordneten, yon einender iso- lierten Metallringen (Les propri6t6s des transmissions d'une ligne form6e d'anneaux m6talliques coaxiaux juxtapos6s et isol6s les uns des autres.) Archly. Elek.

M. B R A Y E R ET J . Y H U E L [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Ubert., Dtsch. (oct. 1957), 11, n ~ 10, pp. 423-~28 et (nov. 1957), 11, n ~ 11, pp. 6~9-~54.

[16] PIEFKE (G.). Theorie der Wendel-Leitung endlicher Drahtdicke mit Anwendung auf die Drehung der Polarisationsebene yon Hohlleiter-Wellen (Thdorie de la ligne h61icoidale avec une 6paisseur de fil finie. Application ~ la rotation du plan de polarisation des modes du guide d'ondes). Archly. Elek. Ubert., Dtsch. (juil. 1958), 12, n ~ 7, pp. 309-316.

(A suivre.)

Le Directeur de la publication : M me Y. BOURNAT

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