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Représentation d’état des systèmes linéaires continus Commande par placement de pôles Auteur : Najib Bennis [email protected] Site www.specialautom.net --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 REPRESENTATION D'ETAT DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET COMMANDE DANS L'ESPACE D'ETAT PAR PLACEMENT DE PÔLES ------------------------------------------------- 1 Introduction à la représentation d’état Lorsque l’on envisage la commande d’un système, la première étape consiste à le modéliser. Modéliser un système consiste à élaborer une représentation mathématique qui permette de décrire et prédire son comportement dynamique et permanent lorsqu’il est soumis à des influences externes (entrées de commande, perturbations..) 1.1 Les différentes formes de modélisation Tout système linéaire peut être représenté de plusieurs manières comme le montre le schéma suivant : Parmi les différentes modélisations possibles d’un système, seule la représentation d'état permet une approche interne. Elle peut être obtenue à partir de la connaissance de la structure et des propriétés des éléments du système (Voir l’exemple ci-dessous). Elle peut être aussi obtenue par transformation du modèle, c’est-à-dire à partir de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert. Pour illustrer ce propos, on considère l’exemple simple suivant : Exemple de modélisation Le groupe Ward - Leonard de la figure ci-dessous est constitué d’une génératrice G à courant continu qui tourne à vitesse constante et qui délivre un courant I proportionnel à son courant d'excitation i : I = K G i. Le courant I alimente le moteur M à courant continu dont l’excitation reste constante et qui produit un couple C = K C I. Système Physique Représentation par équation différentielle Représentation par Fonction de transfert Représentation par équation d’état Entrée u Sortie y Sorties Effets Mesures Système Physique Consignes Commandes Perturbations

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Représentation d’état des systèmes linéaires continus Commande par placement de pôles

Auteur : Najib Bennis [email protected] Site www.specialautom.net

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1

REPRESENTATION D'ETAT

DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS

ET

COMMANDE DANS L'ESPACE D'ETAT

PAR PLACEMENT DE PÔLES

-------------------------------------------------

1 Introduction à la représentation d’état

Lorsque l’on envisage la commande d’un système, la première étape consiste à le modéliser.

Modéliser un système consiste à élaborer une représentation mathématique qui permette de

décrire et prédire son comportement dynamique et permanent lorsqu’il est soumis à des

influences externes (entrées de commande, perturbations..)

1.1 Les différentes formes de modélisation

Tout système linéaire peut être représenté de plusieurs manières comme le montre le schéma

suivant :

Parmi les différentes modélisations possibles d’un système, seule la représentation d'état

permet une approche interne. Elle peut être obtenue à partir de la connaissance de la structure

et des propriétés des éléments du système (Voir l’exemple ci-dessous). Elle peut être aussi

obtenue par transformation du modèle, c’est-à-dire à partir de l’équation différentielle ou de la

fonction de transfert.

Pour illustrer ce propos, on considère l’exemple simple suivant :

Exemple de modélisation

Le groupe Ward - Leonard de la figure ci-dessous est constitué d’une génératrice G à

courant continu qui tourne à vitesse constante et qui délivre un courant I proportionnel à son

courant d'excitation i : I = KG i. Le courant I alimente le moteur M à courant continu dont

l’excitation reste constante et qui produit un couple C = KC I.

Système Physique

Représentation par

équation différentielle

Représentation par

Fonction de transfert

Représentation par

équation d’état

Entrée u Sortie y

Sorties

Effets

Mesures

Système

Physique

Consignes

Commandes

Perturbations

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On propose de modéliser ce système en le considérant comme un système mono-variable dont

l’entrée est la tension v appliquée au circuit inducteur de la génératrice G et la grandeur de

sortie est la position angulaire .

1. Mise en équation

Cette opération consiste à écrire l’ensemble des équations qui régissent le système :

G

CG

C

di( t )v( t ) L Ri( t )

dtd ( t )

( t )d ( t ) dtC( t ) J f ( t )

dtdI( t )

L RI( t ) K v( t )d ( t ) dt( t )

dtd ( t )

J f ( t ) K I( t )I( t ) K i( t ) dt

C( t ) K I( t )

1.1.1 Equation d’état à partir des équations physiques

On choisit de prendre comme variables d’état : 1 2 3

d ( t )x ( t ), x I( t ) x

dt

et on note au

passage que ces variables ont un sens physique puisqu’elles représentent respectivement la

position angulaire –grandeur de sortie-, le courant dans l’ensemble G-M et la vitesse de

rotationd ( t )

( t )dt

.

Les équations d’état s’écrivent :

00 0 1

0 0 1 0 0 0

00

G

C

x( t ) Ax( t ) Bv( t )

y( t ) Cx( t ) Dv( t )

KRA B C D

L L

K f

J J

Remarque :

On aurait pu ajouter une 4° variable x4=i, ce qui conduit à quatre variables d’état. Une telle

initiative n’est pas intéressante car la variable x4 serait redondante. En effet, la connaissance

de la variable d’état x2 = I permet de déduire x4=i, puisqu’elles sont liées par la relation de

proportionnalité I = KG i.

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1.1.2 Equation d’état à partir de la fonction de transfert

La fonction de transfert peut s’obtenir par l’application de la transformée de Laplace aux

équations du système puis éliminer toutes les variables intermédiaires pour aboutir à la

relation entre l’entrée v(p) et la sortie y(p)=(p).

2

2

GG

C G

C

C

dI( t )K v( t ) L RI( t )

K v( p ) ( Lp R )I( p )dtK Ky( p )

y( t ) ( t ) y( p ) ( p )v( p ) p( Lp R )( Jp f )

K I( p ) p( Jp f ) ( p )d ( t ) d ( t )K I( t ) J f

dtdt

On part de la fonction de transfert et on propose une représentation d’état. La fonction de

transfert est d’ordre 3 – degré du dénominateur-, il faut par conséquent 3 variables d’état. Ce

passage n’est pas unique comment il est bien expliqué dans le document annexe. Dans ce qui

suit, on propose une représentation possible.

On écrit la fonction de transfert sous la forme suivante :

1 2 3

2 2

C G

C G C G C G

X ( p ) X ( p ) X ( p )

K Ky( p )

v( p ) p( Lp R )( Jp f ) p Lp R Jp f

K K K K L K K Jv( p ) v( p ) v( p )y( p ) avec

p Lp R Jp f Rf f ( RJ fL ) R( RJ fL )

On a par conséquent :

1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 3 1 2 3

1

1

v( p )X ( p ) X ( t ) v( t )

p

v( p ) RX ( p ) X ( t ) X v( t )

Lp R L L

v( p ) fX ( p ) X ( t ) X v( t )

Jp f J J

y( p ) X ( p ) X ( p ) X ( p ) y( t ) X ( t ) X ( t ) X ( t )

D’où une autre représentation d’état possible:

0 0 0 1

10 0 0

10 0

X( t ) AX( t ) Bv( t )

y( t ) CX( t ) Dv( t )

RA B C D

L L

f

J J

Remarque

Bien que la variable X2 représente le courant i (Voir les équations physiques du

système) ait donc un sens physique, les autres variables d’état sont difficilement voire

impossible interprétables !!

Bien que y s’exprime linéairement en fonction de X1, X2 et X3, elle représente toujours la

position angulaire .

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1.1.3 Equation d’état à partir de l’équation différentielle

L’équation différentielle peut s’obtenir à partir des équations établies du système par

élimination des variables intermédiaires i, I, C, ou directement à partir de la fonction de la

fonction de transfert.

3 2

3 2

C G

C G

C G

K K

K Ky( p ) LJR f Rfv( p ) p( Lp R )( Jp f )

p ( )p pL J LJ

K KR f Rf( p ( )p p )y( p ) v( p )

L J LJ LJ

Par application de la transformée de Laplace inverse, on a :

3 2

3 2

C GK Kd y( t ) R f d y( t ) Rf dy( t )( ) v( t )

L J LJ dt LJdt dt

L’équation différentielle est d’ordre 3, il faut par conséquent 3 variables d’état. Plusieurs choix

sont possibles, dont celui-ci : 2

1 2 3 2

dy( t ) d y( t )z y( t ) z z

dt dt

Il s’en suit les relations suivantes :

3

1 2 2 3 3 3 23

C GK Kd y( t ) R f Rfz z z z z ( )z z v( t )

L J LJ LJdt

D’où une autre représentation d’état :

0 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0

0 C G

ˆ ˆz( t ) Az( t ) Bv( t )

ˆ ˆy( t ) Cz( t ) Dv( t )

ˆ ˆˆ ˆA B C D

Rf R f K K( )

LJ L J LJ

Remarque

Le choix fait pour les variables d’état est judicieux puisque z1, z2, z3 représentent

respectivement la position angulaire, la vitesse angulaire et l’accélération. Les deux dernières

constituent des informations supplémentaires sur l’état du système.

1.2 La représentation d’état

1.2.1 Définitions et terminologie

Définition : Etat d’un système

L'état d'un système est la plus petite quantité d'information caractérisée par un ensemble de

variables qu'il faut connaître à un instant tO pour pouvoir prédire de façon univoque le

comportement de ce système à tout instant t> tO et pour toute entrée entre t0 et t.

En effet, l'exemple du système ci-dessus a conduit à sa caractérisation du par trois variables

telle que la donnée à un instant t0 de ces variables : x1(0)=(0) –Position initiale-, x2(0)=(0) –

vitesse initiale , et x3(0)=(0), - accélération initiale-, jointe à la connaissance de l’équation

d'évolution et de la tension de commande v(t) qui agit sur lui, permettent de déterminer le

comportement ultérieur du système.

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Définition : Vecteur d’état

Un vecteur d’état est un ensemble minimal de variables d’état, c’est-à-dire de grandeurs

temporelles, nécessaires et suffisantes pour déterminer l’évolution future d’un système quand

on connaît les équations qui décrivent le fonctionnement du système et les entrées de ce

système.

Dans ce qui suit, un vecteur d’état et son dérivée seront notés :

1 1

2 2

n n

x ( t ) x ( t )

x ( t ) x ( t )dx( t )x( t ) x( t )

dt

x ( t ) x ( t )

Le nombre n de composantes correspond au degré de complexité du système. Il définit l’ordre

du système.

Définition : Equation d’état

D’une manière générale, à tout système linéaire continu peut lui être associé les équations

matricielles suivantes :

0

x( t ) Ax( t ) Bu( t ) équation d ' état

y( t ) Cx( t ) Du( t ) équation de sortie

x( t ) xo condition initiale

Dans le cas d’un système stationnaire, les matrices A,B,C et D sont indépendantes du temps.

Ce cas seul sera examiné par la suite.

Terminologie

– A est appelée matrice d’état du système de dimension (n,n)

– x est appelé vecteur d’état du système de dimension n – n variables d’état-

– u est appelé vecteur d’entrée du système de dimension (m) – m entrées -

– y est appelé vecteur de sortie du système de dimension (p) – p sorties –

– B est appelée matrice de commande du système de dimension (n,m)

– C est appelée matrice de sortie ou d’observation du système de dimension (p,n)

– D est appelée matrice de transmission directe du système de dimension (p,m)

Remarque :

• Dans le cas particulier où p=m=l, c’est à dire une seule entrée et une seule sortie, le

système est dit monovariable ou unidimensionnel, sinon il est dit multivariable.

• Les variables d'état permettent une représentation interne des systèmes dans le domaine

temporel, alors que la fonction de transfert et l’équation différentielle correspondent à une

représentation externe (relation entrée/sortie). La figure suivante justifie cette appellation :

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Les variables d'état peuvent ne pas correspondent à des grandeurs physiques réelles et

accessibles dans un système. Elles constitueront dans ce cas des variables mathématiques

intermédiaires commodes d'utilisation. Ce dernier point sera expliqué davantage dans la suite.

Comment faut-il choisir les variables d’état ?

Il recommandé de choisir les variables d’état ayant un sens physique et physiquement

accessibles à la mesure et ce pour une meilleure compréhension du comportement du système

étudié et la mise au point de la commande de celui-ci. Généralement c’est le cas lorsque la

représentation d’état a découlé des équations physiques. Par contre, lorsque les équations

d’état découlent d’une transformation de similitude ou à partir de l’équation différentielle ou de

la fonction de transfert, les variables d’état peuvent perdre le sens physique mais demeurent

néanmoins des variables internes.

Combien faut-il choisir de variables d’état ?

Pour répondre à cette question, il convient de distinguer deux cas :

Si les équations d’état découlent de l’équation différentielle ou de la fonction de

transfert, le nombre de variables d’état est fixé par l’ordre de l’équation différentielle ou

de la fonction de transfert.

Si les équations d’état découlent des équations physiques, il n’est pas toujours à

premier abord évident de choisir le nombre de variables nécessaires. Il convient de

rester particulièrement vigilent de ne pas surdimensionner la représentation en

définissant des variables qui peuvent s’avérer redondantes. Cette remarque est très

importante car la complexité du problème de l’analyse et de la synthèse est étroitement

liée à la dimension des équations d’état. L’idée est d’obtenir ce qu’on appelle une

représentation minimale et fort heureusement on peut être assisté à cet effet par des

logiciels spécialisés tel que Matlab.

Quel est l’intérêt de la représentation d’état ?

D’abord, on souligne que c’est la seule représentation qui permet d’avoir une

description interne du système contrairement à la représentation par équation

différentielle ou par fonction de transfert. Ce point trouve son intérêt dans le fait qu’on

aura une meilleure maitrise et compréhension du système étudié. L’équation

différentielle ou la fonction de transfert permettent d’obtenir une relation entrée/sortie

qui n’apporte aucune connaissance sur la structure interne d’un système. Deux

systèmes différents peuvent très bien avoir la même fonction de transfert et la même

équation différentielle.

En effet, dans l’exemple précédent, le fait que l’on définisse le courant, la vitesse,

l’accélération comme variables d’état va permettre de s’informer sur son état global,

alors que la représentation par équation différentielle ou par fonction de fonction ne

permettent pas une telle information car seule l’information accessible est la sortie y –

Position angulaire -.

La représentation d’état convient particulièrement aux systèmes multi-variables. Pour le

cas mono-variable, l’approche par fonction de transfert est largement suffisante.

Partant du fait que le cas multi-variable est plus délicat à appréhender, la

représentation d’état constitue le support le plus utilisé dans l’étude des systèmes

complexes.

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1.2.2 Passage de la représentation d’état à la fonction de transfert

On considère un système représenté par les équations d’état suivantes :

0

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

y( t ) Cx( t ) Du( t )

x( t ) xo

En appliquant la transformée de Laplace aux équations ci-dessus, elles deviennent :

1

1

px( p ) Ax( p ) Bu( p ) ( pI A )x( p ) Bu( p ) x( p ) ( pI A ) Bu( p )

y( p ) Cx( p ) Du( p ) y( p ) Cx( p ) Du( p ) y( p ) Cx( p ) Du( p )

y( p ) C( pI A ) Bu( p ) Du( p )

La fonction de transfert est alors définie par :

1H( p ) C( pI A) B D

1.2.3 La non unicité de la représentation d’état ?

Le concept d'état est un outil mathématique destiné à faciliter l'étude du comportement du

système et de faire la synthèse d’un régulateur –Asservissement/régulation-. Comme il a été

mentionné ci-dessus, les variables d’état peuvent ne pas avoir une signification physique

directe. Souvent, on est amené à mettre en évidence certaines propriétés du système

auxquelles on s'y intéresse. Pour cela, on cherche des représentations particulières répondant

au besoin recherché. En d'autres termes, on peut représenter un même système par une

infinité de représentations d'état. Le passage d'une représentation d'état à une autre n'est en

fait qu'une opération de changement de variables.

Soit à présent x( t ) et x( t ) deux vecteurs d'état susceptibles de définir l'état d'un système. On

peut passer de x( t ) à x( t )et inversement par une transformation dite de similitude Pour cela,

on considère le changement de variable x( t ) Mx( t ) où M est une matrice quelconque de

dimension (n,n) : 1x( t ) Mx( t ) x( t ) M x( t ) . Le lien univoque entre x( t ) et x( t )signifie que

M-1 existe.

Avec ce changement de variables, on a:

1

1 1

0 0 0

x( t ) Mx( t ) MAx( t ) MBu( t ) x( t ) MAM x( t ) MBu( t ) x( t ) Ax( t ) Bu( t )

y( t ) CM x( t ) Du( t ) y( t ) CM x( t ) Du( t ) y( t ) Cx( t ) Du( t )

x( t ) Mxo x( t ) Mxo x( t ) xo

On obtient par conséquent une nouvelle représentation d’état définie par les matrices

suivantes :

1 1A MAM B MB C CM D D

On vérifie par la suite que la fonction de transfert est indépendante de ce changement de

variables :

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8

1 1 1 1

11 1

1 1 1

1

H( p ) C( pI A ) B D CM ( pI MAM ) MB D

CM M( pI A )M MB D

CM M( pI A ) M MB D

C( pI A ) B D H( p )

Notes :

-(XYZ)-1=Z-1Y-1X-1

en admettant que toutes les matrices inverses existent.

-I désigne la matrice identité de

dimension (n,n).

1.3 Résolution de l’équation d’état

On cherche à résoudre l’équation d’état précédemment introduite qui s’écrit dans le cas

général :

0 0

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

y( t ) Cx( t ) Du( t )

x( t ) x

Le problème est le suivant : étant données des conditions initiales x0, calculer la réponse y(t)

suite à l’application de l’excitation u(t). Ce calcul passe d’abord par le calcul de x(t), qui à partir

duquel, on calcule la réponse y(t).

Le cas des équations différentielles matricielles se traite de manière similaire au cas scalaire.

L’équation homogène associée s’écrit :

0 0

x( t ) Ax( t )

x( t ) x

Sa solution est exponentielle et vaut : 0

0A( t t )

x( t ) e x

La résolution avec second membre s’effectue comme dans le cas scalaire (attention, en

algèbre matricielle, la multiplication n’est pas commutative) :

0

0

0

t

A( t t ) A( t )

solution à l' instant tsolution libre

solution forcée

x( t ) e x e Bu( )d

La matrice Ate est appelée Matrice de transition.

Sans perdre de généralité, on suppose dans la suite : t0=0 et D=0.

Dans la littérature, Il existe une multitude de méthodes permettant de calculer la matrice de

transition comme il est montré dans le document annexe. On présente ici la méthode basée

sur la transformée de Laplace.

L’application de la Transformée de Laplace à l’équation homogène dont on connait sa solution,

permet d’écrire :

0

0

10

px( p ) x Ax( p )

( pI A )x( p ) x

x( p ) ( pI A ) x

1 1Ate TL ( pI A)

où 1TL . désigne la Transformée de Laplace inverse

Exemple

1 1

0 2A

1 1

0 2

ppI A

p

1

1 1

2 1 1 1 21

0 1 11 20

2

p p ( p )( p )( pI A )

p( p )( p )

p

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9

D’après la table de la Transformée de Laplace, on a :

2

20

t t tAt

t

e e ee

e

Remarque

Cette méthode s’applique dans tous les cas, c’est-à-dire quelle que soit la structure de

la matrice A.

On doit vérifier systématiquement que 0

At

te I

1.4 Analyse de la stabilité

La stabilité de l’état est conditionnée par celle de la matrice de transition eAt. En effet, d’après

la solution de l’équation homogène, x(t)= eAt

x0 tend vers 0 quelle que la condition initiale si eAt

tend vers 0 quand t tend vers l’infini. En examinant le lien entre les matrices [A,B,C,D] et la

fonction de transfert du système, on remarque que les pôles de cette dernière ne sont autres

que les valeurs propres de A. On retient donc que eAt converge si et seulement si les valeurs

propres de la matrice A sont à partie réelle strictement négative.

Dans l’exemple ci-dessus, la matrice d’état A possède deux valeurs propres strictement

négatives 1 21 2 . Le système dont cette matrice est lui associé, est un système

stable.

1.5 Analyse du régime transitoire et permanent.

La matrice d’état permet de renseigner non seulement sur la stabilité d’un système, mais aussi

sur sa dynamique et donc sur le régime transitoire.

1.5.1 Analyse transitoire

On peut prévoir la forme du régime transitoire et évaluer sa durée à partir de la connaissance

des valeurs propres. Par analogie avec les pôles de la fonction de transfert, on peut conclure

avec certitude que :

Si les valeurs propres sont réelles et strictement négatives : réponse transitoire

apériodique.

Si parmi les valeurs propres il y’en a qui sont complexes et à partie réelle strictement

négative : réponse transitoire oscillatoire amortie.

Si la matrice d’état A possède à la fois des valeurs propres réelles strictement

négatives et des valeurs propres complexes à partie réelle strictement négative : la

forme du régime transitoire est caractérisé par les valeurs propres dominantes.

A défaut de pouvoir évaluer directement les caractéristiques du régime transitoire (Temps de

réponse, dépassement,..) par analyse des valeurs propres, on est souvent amené à intégrer

les équations d’état.

1.5.2 Analyse statique

Pour une entrée constante uo, c’est-à-dire de type échelon, il s’établit un comportement

statique où toutes les variables d’état et de sortie atteignent des valeurs finales constantes. -

Sous réserve de la stabilité du système -

L’état du système converge vers l’état final qui peut être déterminé à partir du gain statique.

Celui-ci s’obtient en mettant p = 0 dans la fonction de transfert, ce qui se traduit par la

relation suivante :

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10

1 1

0 0p pKs H( p ) C( pI A) B D CA B D

L’état et la sortie en régime statique s’obtiennent par :

1

1

ot

ot

lim x( t ) A Bu

lim y( t ) CA B D u

Exemple d’application

A titre d’exemple, on considère le système mécanique suivant :

k, coefficient de raideur = 6 (USI)

f, coefficient de frottement =5 (USI)

m, masse du mobile = 1 (USI)

Ce système est régi par l’équation différentielle suivante :

2

2

1d y( t ) f dy( t ) ky( t ) u( t )

m dt m mdt

Afin d’obtenir une représentation d’état possible, on fait le choix classique suivant:

1

2

x ( t ) y( t )

dy( t )x ( t )

dt

1 2

2 1 2

1

x ( t ) x ( t )

k fx ( t ) x ( t ) x ( t ) u( t )

m m m

0 1 0

1

1 0

x( t ) x( t ) u( t )k f

m m m

y( t ) x( t )

0 1 0

6 5 1

1 0

x( t ) x( t ) u( t )

y( t ) x( t )

La fonction de transfert est donnée par :

1 1y( p )C( pI A) B D C( pI A) B

u( p )

1

1

2

1 5 11

6 5 65 6

5 1

2 3 2 3

6

2 3 2 3

p p( pI A )

p pp p

p

( p )( p ) ( p )( p )

p

( p )( p ) ( p )( p )

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Représentation d’état des systèmes linéaires continus Commande par placement de pôles

Auteur : Najib Bennis [email protected] Site www.specialautom.net

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11

5 1

02 3 2 3 11 0

2 36 1

2 3 2 3

p

( p )( p ) ( p )( p )y( p )H( p )

u( p ) ( p )( p )p

( p )( p ) ( p )( p )

Le gain statique est 1 10

6Ks H( ) CA B

Analyse de la stabilité

Les valeurs propres de la matrices A, solutions de l’équation caractéristique

2 5 6 0det( pI A) p p , sont données par 1 22 3 . Ces valeurs propres sont réelles et

négatives, il s’ensuit que le système est de nature stable. On note que les valeurs propres sont

aussi les pôles de la fonction de transfert.

Calcul de la réponse transitoire

Pour des conditions initiales nulles et pour une entrée de type échelon unité, la solution x(t)

s’écrit :

0

tA( t )x( t ) e Bu( )d

On commence par calculer la matrice de transition eAt par la méthode de la transformée de

Laplace :

2 31 1 1

2 3

5 1

2 3 2 3

6 2 3

2 3 2 3

t tAt

t t

p

* e e( p )( p ) ( p )( p )e TL ( pI A ) TL

p * e e

( p )( p ) ( p )( p )

Les éléments marqués (*) n’interviennent pas dans le calcul de la solution compte tenu du

zéro dans la matrice B.

2 3

2 30 0

2 32 3 2 3

2 3 2 32 30 0

0

12 3

1 1 1

2 3 62 3 2 3

t t ( t ) ( t )A( t )

( t ) ( t )

t t t t( t ) ( t )

( t ) ( t )tt

* e ex( t ) e Bu( )d d

* e e

e ee e e ed d

e e e ee e

t

On déduit le résultat final suivant :

2 31

2 32

1 1 1

2 3 6

t t

t t

y( t ) x ( t ) e e

dy( t )x ( t ) e e

dt

Après une phase transitoire sans dépassement, le système atteint un comportement statique

tel que :

1

2

1

6

0

t t

t t

lim y( t ) lim x ( t )

dy( t )lim lim x ( t )

dt

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12

2. Commandabilité et commande par placement de pôles

Dans le paragraphe précédent, on a introduit les principaux concepts pour l’analyse des

systèmes dynamiques dans l’espace d’état. Ce deuxième paragraphe aborde la commande des

systèmes où le concept d’état est utilisé.

2.1 Définition

On dit qu’un système 0 0x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx( t ) Du( t ) x( t ) x

est commandable à

l’instant tf > to, si quels que soient les états 0 fx( t ), x( t ) , il existe une commande 0 fu( t ,t )

transférant le système de l’état 0x( t )à l’état fx( t ).

Exemple

On considère le circuit suivant

Le problème de la commandabilité peut être posé de la manière suivante : Existe-t-il une

tension u(t) qui, à partir des conditions initiales, c’est-à-dire à partir des charges initiales

quelconques, peut amener la charge des condensateurs à des valeurs arbitraires et ce,

pendant un intervalle de temps fini [to, tf] ?

Si la réponse est oui système est commandable ou gouvernable

Si la réponse est non système est non commandable ou ingouvernable

Si la réponse est conditionnelle préciser les conditions.

2.2 Notion intuitive de la commandabilité

On considère le système suivant :

1 0 0

0 2 1

1 1

0 o

x( t ) x( t ) u( t )

y( t ) x( t )

x( ) x

1 1

2 2

1 2

0

2 1

0 o

x ( t ) x ( t ) .u( t )

x ( t ) x ( t ) .u( t )

y( t ) x ( t ) x ( t )

x( ) x

1 10 1

2 20 2

1 2

0

2 1

px ( p ) x x ( p ) .u( p )

px ( p ) x x ( p ) .u( p )

y( p ) x ( p ) x ( p )

1 10

2 20

1 2

1

1

1 1

2 2

x ( p ) xp

x ( p ) x u( p )p p

y( p ) x ( p ) x ( p )

Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :

Etat initial

Etat final

u ?

C1

R1

C2

R2

C3

R3 u(t)

q1 q2 q3

u(t)= tension de commande

xi (t)= qi (t) charge du condensateur Ci

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Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes

S1 et S2.

Le sous-système S1 n’est pas lié à l’entrée u, contrairement au sous-système S2. Cela veut

dire, on ne peut jamais agir sur l’état x1 et ce quelle que soit la commande u appliquée au

système. L’état x1 évoluera selon sa propre dynamique à partir de sa condition initiale.

On dit que l’état x1 est non commandable alors que l’état x2 est commandable.

Remarque

La commandabilité ne dépend que de A et de B et non de C et de D.

2.3 Critères de la commandabilité

Il est souvent intéressant de s’assurer de la commandabilité d’un système avant de chercher à

mettre en œuvre une commande proprement dite. En d’autres termes, on demande de

disposer d’une condition nécessaire et suffisante de commandabilité.

Afin de vérifier la commandabilité, on dispose d’une multitude de critères mathématiques dont

on donne ici le plus courant.

Soit le système S suivant :

( n,n ) ( n,m )

x( t ) Ax( t ) Bu( t )S

A B

Théorème 1

Le système S ou la paire (A,B) est commandable si et seulement si la matrice suivante dite

matrice de commandabilité est de rang égal à n :

2 1nQ B AB A B.... A B

Exemple 1

1 2 1

1 2 1

2 1

A B

n m

Exemple 2

1 2 1

1 2 1

2 1

A B

n m

x20

x10

y(t)

u(t)

Système

x1

x2

S2

S1

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La matrice de commandabilité :

1 1

1 1

2 0

2

Q B AB

det( Q )

rang( Q ) ( n )

(A,B) est commandable.

La matrice de commandabilité :

1 1

1 1

0

1

Q B AB

det( Q )

rang( Q ) ( n )

(A,B) est non commandable.

Remarque

Si rang (Q)=n’<n, on dit qu’il y’a n’ états commandables et (n-n’) états non

commandables. n’ désigne le degré de commandabilité.

2.4 Commande par placement de pôles

La commandabilité est une notion importante puisqu’elle établit le fait que l’on puisse

commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d’un système

instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important

dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace d’état.

2.4.1 Théorème de placement de pôles

Théorème 2 :

Le système S ou la paire (A,B) est commandable si et seulement si pour tout ensemble

symétrique de n valeurs propres, il existe une matrice K(m,n) telle que : (A-BK) =.

Notation : (X) = l’ensemble des valeurs propres d’une matrice X.

En d’autres termes, si la paire (A,B) est commandable, il existe une matrice K telle que :

1 2

1 2

* * *n

* * *n

det( I ( A B.K ) ( )( )..( )

2.4.2 Commande par retour d’état - placement de pôles-

On considère un système S monovariable (m=p=1) commandable représenté par les équations

suivantes :

boucle ouverte

x( t ) Ax( t ) Bu( t )S

y( t ) Cx( t )

La stabilité et la dynamique du système S sont fixées par 1 2 n( A) . On souhaite

commander ce système dans le but d’améliorer les performances par une commande suivante

appelée commande par retour d’état :

1 1 2 2 n n

u( t ) e( t ) Kx( t )

e( t ) k x ( t ) k x ( t ).... k x ( t )

K=[k1 k2…kn] est appelé le gain du retour d’état.

Symboliquement, le système en boucle fermée peut être représenté par le schéma suivant :

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15

Avec cette commande, les équations en boucle fermée s’écrivent :

boucle fermée

x( t ) ( A B.K )x( t ) Be( t )S

y( t ) Cx( t )

La matrice d’état du système en boucle fermée est A-B.K, la matrice de commande B et la

matrice de sortie C sont inchangées.

D’après le théorème de placement de pôles, si la paire (A,B) est commandable, il existe un

gain du retour d’état K tel que (A - B.K) soit imposé arbitrairement.

Commentaires

Lorsque l’approche par fonction de transfert est utilisée, le bouclage se fait par retour

de la sortie y, alors lorsque l’approche des équations d’état est utilisée, le bouclage se

fait par retour d’état. D’où l’appellation commande par retour d’état.

L’entrée du système en boucle fermée est e(t). Elle représente l’entrée de consigne.

La mise au point pratique de la commande par retour d’état suppose que toutes les

variables sont physiquement accessibles. Point particulièrement critique sur lequel on y

reviendra ultérieurement.

Applications

Si le système en boucle ouverte est instable, on peut le stabiliser par cette technique el

lui assignant un ensemble de valeurs propres stables.

Si la dynamique en boucle ouverte est jugée lente, on peut l’améliorer en choisissant

convenablement un ensemble de valeurs propres.

2.4.3 Mise en œuvre pratique

On donne ci-dessous les principales étapes à suivre pour mettre en œuvre la technique de la

commande par retour d’état :

1. On met les équations du système sous forme d’équations d’état

boucle ouverte

x( t ) Ax( t ) Bu( t )S

y( t ) Cx( t )

A ce propos, il est indispensable de choisir des variables d’état physiquement accessibles.

2. On teste la commandabilité du système

3. On fixe une dynamique appropriée pour le système en boucle fermée fixée par

l’ensemble .

4. On calcule le gain du retour d’état K

5. On fixe l’entrée e –Consignes-

6. On réalise la loi de commande.

Etat x

Sortie y Système

Consigne e

K

u

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16

Il reste à présent de donner les procédures pour le calcul du gain K. Dans toutes les méthodes

proposées ci-dessous, les données sont les suivantes :

(A,B) une paire commandable

L’ensemble des valeurs propres désirées en boucle fermée : 1 2* * *

n

L’inconnue est le gain :

K=[k1 k2…kn]

a) Méthode directe

Cette première méthode consiste à calculer le gain K tel que :

1 2

1 2

* * *n

* * *n

det( I ( A B.K )) ( )( )..( )

Pour ce faire :

Poser K =[k1 k2…kn]

Calculer en fonction de K, la matrice A – B.K

Calculer la matrice I – (A – B.K) et en déduire son déterminant pour obtenir le

polynôme caractéristique désiré en fonction de K

Développer le polynôme caractéristique désiré 1 2* * *

n( )( )..( )

En identifiant terme à terme les deux polynômes caractéristiques, on obtient un

système de n équations dont les inconnues sont les éléments ki , i=1,n.

Exemple

On donne :

2 4 1

1 12 5 1

1 2

2 1

A B C

,

n m p

21 23 2 0 0.56 3.56det( I A)

Système instable

On pose K =[k1 k2]

On calcule la matrice A – B.K :

1 2 1 21 2

1 2 1 2

2 42 4 1 2 4

2 52 5 1 2 5

k k k kA BK k k

k k k k

On calcule la matrice I – (A – B.K ) et son déterminent :

1 2

1 2

21 2 1

2 4

2 5

3 2

k kI ( A BK )

k k

det( I ( A BK )) ( k k ) k

On développe le polynôme caractéristique désiré 2

1 2 1 2 3 2* *( )( ) ( )( )

On résout le système algébrique suivant : 1 2

1

3 3

2 2

k k

k

D’où le résultat : 1

2

4

10

k

k

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b) Calcul de K par utilisation de Matlab

Q=ctrb(A,B) ; % permet de calculer la matrice de commandabilité

R=rank(Q) ; % permet de calculer le rang de Q pour conclure sur la commandabilité

K=place(A,B,p) ; permet de calculer le gain K, p est un vecteur colonne contenant les

valeurs propres désirées.

Exemple

On donne :

2 4 1

1 12 5 1

11 2

2

2 1

A B C

, p

n m p

>> A=[-2 -4;2 5];B=[-1 1]';

>> Q=ctrb(A,B) Q = -1 -2 1 3 >> R=rank(Q) R = 2

>> K=place(A,B,[-1 -2]')

K = 4 10

2.4.4 Exemple d’application

On se propose d’étudier le problème de la commande d’un système composé de quatre cuves

en cascade représenté par la figure suivante :

Les relations entre les niveaux dans les réservoirs et les débits d’alimentation et d’évacuation

sont de nature non linéaires. Cependant au point nominal de fonctionnement (H0,Q0), les

équations du système sont linéaires et s’écrivent :

11 1

21 2

32 2 3

43 4

dhS q m.h

dt

dhS m.h m.h

dt

dhS q m.h m.h

dt

dhS m.h m.h

dt

Les variables h1, h2, h3, h4 et les variables q1, q2, représentent respectivement des

variations des niveaux et des débits d’alimentation autour du point de fonctionnement.

On donne : m/S = 0.25 (USI) , 1/S = 3 (USI).

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18

On choisit :

1 1

2 2

3 3

4 4

x h

x hx

x h

x h

, le vecteur d’état et 1

2

qu

q

, le vecteur de commande

On s’intéresse plus particulièrement aux niveaux h1 et h4 (sorties), le système est de

multivariable : 2 entrées (p=2) et deux entrées (m=2).

1° Mise en équation

0 25 0 0 0 3 0

0 25 0 25 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 25 0 25 0 0 3 0 0 0 1 0 0

0 0 0 25 0 25 0 0

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

y(( t ) Cx( t ) Du( t )

.

. .A B C D

. .

. .

2° Analyse de la stabilité

Les valeurs propres de A sont : 1 2 3 4 0 25. (Noter que la matrice A est triangulaire

et par conséquent les valeurs propres sont situées sur la diagonale principale). Toutes les

valeurs propres sont négatives et donc le système est stable.

3° Analyse de la commandabilité

En admettant que le système est commandé par q1 seul :

0 25 0 0 0 3

0 25 0 25 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 25 0 25 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 25 0 25 0

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

y(( t ) Cx( t ) Du( t )

.

. .A B C D

. .

. .

Physiquement, on voit que le système est commandable car toute action sur le débit q1

affectera tous les niveaux. Cette interprétation est confirmée par le calcul du rang de la

matrice de commandabilité :

3 -0.75 0.1875 -0.046875

0 0.75 -0.375 0.140631

0 0 -0.1875 0.14063

0 0 0 -0.046875

Q

rang(Q1)=4

En admettant que le système est commandé par q2 seul :

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0 25 0 0 0 0

0 25 0 25 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 25 0 25 0 3 0 0 0 1 0

0 0 0 25 0 25 0

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

y(( t ) Cx( t ) Du( t )

.

. .A B C D

. .

. .

Physiquement, on voit que le système n’est par commandable car toute action sur le débit q2

n’affectera pas les niveaux h1 et h2. Seuls les niveaux h3 et h4 seront affectés par la

commande. On peut déjà prévoir que le rang de la matrice de commandabilité est égal à 2 :

0 0 0 0

0 0 0 02

3 -0.75 0.1875 -0.046875

0 0.75 -0.375 0.14063

Q

, rang(Q2)=2

En admettant que le système est commandé par q1 et q2 : naturellement le système

est commandable. (A vérifier en calculant la matrice de commandabilité).

4° Analyse statique

On admet par la suite que le système sera commandé par q1 seul (q2=0). Pour une variation

constante de débit q10=0.1 (USI), les variations h10, h20, h30, et h40 des niveaux atteints en

régime statique sont données par :

10

20 10 10110

30 20 40

40

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

x .

x y x. .A .B.q ,

x y x. .

x .

5° Amélioration de la dynamique

La commande par retour d’état :

u(t) = uc – kx(t) = uc –k1 x1(t) - k2 x2(t) - k3 x3(t) - k4 x4(t)

uc est le débit de consigne et k=[k1 k2 k3 k4]

La dynamique choisie en boucle fermée: 1= -0.5, 2= -1, 3= -1.5, 4= -2

Ce qui suppose que les 4 niveaux sont physiquement accessibles à la mesure.

1 2 3 4 1 3333 7 1667 14 667 8 75K k k k k . . . .

6° Choix de la consigne uc

Le gain en boucle fermée :

10

20 1

30

40

10 10 1

20 40

0.03125

0.03125

-0.03125

-0.03125

0.03125

-0.03125

x

x( A B.K ) .B.uc uc

x

x

y xC.( A B.K ) .B.uc uc

y x

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Si on souhaite avoir les mêmes variations qu’en boucle ouverte, il faut appliquer une consigne

uc telle que :

10 10

20 40

0.03125 1.238.4 =

-0.03125 -1.2

y x

y x

7° Schéma de principe pour la réalisation matérielle

3. Théorie de l’observateur et son application à la commande par retour d’état

Lors de la mise en œuvre de la commande par retour d’état, on a souligné la nécessité à ce

que toutes les variables d’état soient accessibles à la mesure.

Cette hypothèse est peu courante au moins pour les raisons suivantes :

Le nombre de variables d’état peut être important et par conséquent l’installation des

capteurs peut s’avérer onéreuse

Accès difficile voire impossibles aux variables d’état

Les variables d’états peuvent être dépourvues de sens physique suite à une

transformation de similitude par exemple.

Dans ce cas, l’implémentation directe de la commande u = e - Kx est impossible. De plus, la

connaissance de la sortie y ne résout pas le problème puisque C n’est pas forcément inversible

et donc la connaissance de y = Cx ne permet pas de connaître x.

Pour surmonter cette difficulté, la théorie de l’observateur d’état a été introduite faisant appel

au concept de l’observabilité, concept dual de la commandabilité. Dans ce qui, on introduit

successivement :

La notion de l’observabilité

Les critères de l’observabilité

L’observateur d’état

Incorporation de l’observateur d’état dans la structure de la commande par retour

d’état.

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21

3.1 Définition de l’observabilité

On considère un système dont on connaît une représentation d’état (A,B,C,D). Ce système est

dit observable s’il est possible de déterminer son état à un instant t0 donné à partir d’une

observation de sa sortie.

Une multitude de définitions équivalentes sont données dans la littérature. Au lieu de s’investir

dans toutes ces définitions, on considère un exemple qui permet d’illustrer le sens physique de

la notion de l’observabilité. En effet, on considère le système suivant :

1 0 0

0 2 1

1 0

0 o

x( t ) x( t ) u( t )

y( t ) x( t )

x( ) x

1 1

2 2

1

1

2 1

0 o

x ( t ) x ( t ) .u( t )

x ( t ) x ( t ) .u( t )

y( t ) x ( t )

x( ) x

1 10 1

2 20 2

1

1

2 1

px ( p ) x x ( p ) .u( p )

px ( p ) x x ( p ) .u( p )

y( p ) x ( p )

1 10

2 20

1

1 1

1 1

1 1

2 2

x ( p ) x u( p )p p

x ( p ) x u( p )p p

y( p ) x ( p )

Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :

Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes

S1 et S2.

Le sous-système S2 n’est pas lié à la sortie y, contrairement au sous-système S1. Cela veut

dire, que toutes les observations (mesures) que l’on peut faire sur un intervalle de temps, rien

ne peut refléter le caractère instable du système. En revanche, l’observation de la sortie

renseignera sur l’état x1.

On dit que l’état x1 est observable alors que l’état x2 est non observable.

Remarque

L’observabilité ne dépend que de C et de A . Elle est indépendante de B et D.

La notion de l’observabilité est une notion duale de la commandabilité. Aussi, on donnera par

la suite les principaux résultats.

x20

x10

y(t)

u(t)

Système

x1

x2

S2

S1

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22

Soit le système S suivant :

( n,n ) ( n,m ) ( p,n )

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

S y( t ) Cx( t )

A B C

Théorème 1’ :

Le système S ou la paire (C,A) est observable si et seulement si la matrice suivante dite

matrice de l’observabilité est de rang égal à n :

2

1n

C

CA

Q CA

CA

Exemple 1

0 1

1 00 0

2 1

A C

n p

La matrice de l’observabilité :

1 0

0 1

1 0

2

CQ

CA

det( Q )

rang( Q ) ( n )

(C, A) est Observable

Exemple 2

0 1

0 10 0

2 1

A C

n p

La matrice de l’observabilité :

0 1

0 1

0

1

CQ

CA

det( Q )

rang( Q ) ( n )

(C, A) est non observable

Remarque

Si rang (Q)=n’<n, on dit qu’il y’a n’ états observables et (n-n’) états non observables. n’

désigne le degré de l’observabilité.

La notion de la commandabilité et l’observabilité sont à présent introduits. On peut

revenir sur la notion d’équivalence entre les différentes représentations d’un même

système. Le résultat est que la représentation par fonction de transfert ou par

l’équation différentielle est équivalente à la représentation d’état si le système est

commandable et observable.

3.3 Théorie de l’observateur d’état

3.3.1 Position du problème

Dans ce paragraphe, on cherche à commander le système :

boucle ouverte

x( t ) Ax( t ) Bu( t )S

y( t ) Cx( t )

Mais cette fois-ci, l’état x du système n’est plus supposé accessible à la mesure. Seules l’entrée

u et la sortie du système y sont accessibles. On cherche à estimer l’état courant afin de pouvoir

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calculer la commande u. Pour cela, on intègre un simulateur du système à commander, appelé

observateur.

Son seul rôle dans la structure de la commande est de donner une bonne estimation du

vecteur d’état x(t) afin que l’on puisse appliquer une technique de commande par retour d’état.

3.3.2 Observateur d’état

Définition

Un observateur d’état est un système dynamique qui, excité par les signaux disponibles, à

savoir l’entrée et la sortie du système, est capable de reconstruire de manière asymptotique

l’état courant du système à observer.

Sa structure est basée sur le modèle d’état du système :

00

Observateur

z( t ) Az( t ) Bu( t ) G( y( t ) y* ( t ))

S y* ( t ) Cz( t )

z( ) z

Terminologie :

z état de l’observateur

y* sortie de l’observateur

G : Matrice de gain de l’observateur de dimension (n,p), à déterminer.

3.3.3 Etude de l’erreur d’observation

Les équations du système et de son observateur sont données par :

00

boucle ouverte

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

S y( t ) Cx( t )

x( ) x

00

Observateur

z( t ) Az( t ) Bu( t ) G( y( t ) y* ( t ))

( A G.C )z( t ) Bu( t ) Gy( t )S

y* ( t ) Cz( t )

z( ) z

On définit l’erreur d’observation (t)=x(t) - z(t). Elle obéit à l’équation différentielle suivante :

0 00

( t ) x( t ) z( t ) ( A G.C ) ( t )

( ) x z

dont la solution s’écrit : 0( A G.C )t( t ) e

y Système (A,B,C,D)

Observateur

u

z

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Il est évident que si les valeurs propres de la matrice A-G.C sont stables, l’erreur d’observation

(t) tend asymptotiquement vers zéro et ce, quelle que l’erreur initiale (0). Ce qui signifie que

l’état de l’observateur tend vers l’état du système. Cette convergence est d’autant rapide que

les valeurs propres sont ‘plus négatives’.

3.3.4 Calcul du gain de l’observateur

Une question se pose : Comment calculer la matrice G, qui constitue l’unique inconnue du

problème ?

La réponse à cette question passe par le théorème suivant :

Théorème 2’ :

Un système S ou la paire (C,A) est observable si et seulement si pour tout ensemble

symétrique de n valeurs propres, il existe une matrice G(p,n) telle que : (A-GC) =.

En d’autres termes, si la paire (C,A) est observable, il existe une matrice G telle que :

1 2

1 2

* * *n

* * *n

det( I ( A G.C ) ( )( )..( )

En remarquant la similitude entre le problème de la commandabilité et de l’observabilité, on

peut utiliser les mêmes méthodes ayant servies pour le calcul du gain K du retour d’état pour

le calcul du gain G de l’observateur, à savoir :

Les données :

(C,A) une paire observable

L’ensemble des valeurs propres assignées à la matrice A G.C : 1 2* * *

n

L’inconnue est le gain G (cas monovariable) :

1

2

n

g

gG

g

a) Méthode directe

Cette première méthode consiste à calculer le gain G tel que :

1 2

1 2

* * *n

* * *n

det( I ( A G.C )) ( )( )..( )

Pour ce faire :

1. Poser G =[g1 g2…gn]T

2. Développer la matrice A – G.C

3. Calculer la matrice I – (A – G.C) et en déduire son déterminant pour obtenir le

polynôme caractéristique désiré en fonction des éléments de G.

4. Développer le polynôme caractéristique désiré 1 2* * *

n( )( )..( )

5. En identifiant terme à terme les deux polynômes caractéristiques, on obtient un

système de n équations dont les inconnues sont les éléments gi , i=1,..,n.

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b) Calcul de G par utilisation de Matlab

En vertu de la dualité qu’il y’a entre la commandabilité et l’observabilité, tout programme

destiné à calculer le gain du retour K peut être utilisé pour calculer le gain G de l’observateur.

Pour ce faire, on introduit AT au lieu de A et C

T au lieu de B :

Q=ctrb(A’,C’) ; % permet de calculer la matrice d’observabilité (transposée)

Q=Q’ ; % permet de calculer la matrice transposée de Q

R=rank(Q) ; % permet de calculer le rang de Q pour conclure sur l’observabilité

K=place(A’,C’,p) ; permet de calculer le gain K, p est un vecteur colonne contenant

les valeurs propres désirées. On pose ensuite G=KT.

3.3.5 Exemple de synthèse d’un observateur

On considère le système suivant :

Ce système est accessible par l’entrée u et la sortie y. Sa dynamique est fixée par les valeurs

propres : 1 21 2

Les équations de l’observateur :

00Observateur

z( t ) ( A GC )z( t ) Bu( t ) Gy( t )S

z( ) z arbitraire

On lui impose une dynamique telle que :

1 1 2 22 2 2 4* **

Ce qui permet d’assigner une dynamique ‘’ deux fois plus rapide que celle du système à

observer’’.

En utilisant l’une des méthodes pour le calcul de G, on a : G =[3 0]T.

D’où es équations de l’observateur

1 1 2

2 2

00

4 3 34 3 1 3

0 2 1 0 2

00

Observateur

z ( t ) z ( t ) z ( t ) u( t ) y( t )z( t ) z( t ) u( t ) y( t )

S z ( t ) z ( t ) u( t )

z( ) z arbitrairez( ) z arbitraire

Le schéma de principe de la réalisation de l’observateur est donné par la figure suivante :

x20

x10

y(t) u(t)

Système

x1

x2

S2

S1

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Les résultats de la simulation sont illustrés par les figures suivantes dans lesquels, le système

est supposé dans l’état initial x0 = [-1 3]T alors que celui de l’observateur est z0=[0 0]T.

Remarque importante

L’observateur tel qu’il est introduit est appelé observateur d’ordre complet c’est-à-dire du

même ordre que celui du système à observer, à savoir n. Il permet de reconstruire tous les

états du système. Cependant, il arrive dans des cas, que certaine des variables d’états n’ont

pas besoin d’être reconstruites puisqu’elles sont accessibles. Dans ces cas, on réalise un

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps

x1

z1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

temps

x2

z2

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observateur d’ordre réduit, plus précisément d’ordre égal au nombre de variables d’états non

accessibles. Sa conception est un peu plus compliquée. On continue à utiliser par la suite,

l’observateur d’ordre complet pour des raisons de simplicité.

4. Commande par retour d’état d’un système commandable et observable

4.1 Structure de la commande en boucle fermée

La mise en œuvre d’une commande par retour d’état suppose l’hypothèse d’un système

commandable et observable lorsque toutes les variables d’état ne sont pas accessibles à la

mesure. Le problème de la commande se résout ensuite en trois grandes étapes :

1. Recherche de la commande en supposant x mesurable. La commande linéaire est de la

forme u = e – K x, K étant déterminée par exemple en imposant des pôles à la boucle fermée.

2. Reconstruction de l’état. Si seul y est mesurable, il faut synthétiser un observateur, ce qui

revient à déterminer un gain G assurant la stabilité et une bonne dynamique à l’observateur.

3. La commande du système est finalement réalisée à partir de l’état estimé.

La figure suivante illustre la structure de la commande en boucle fermée avec incorporation

d’un observateur d’état :

4.2 Equations d’état en boucle fermée

Les équations du système et de son observateur sont données par :

00

boucle ouverte

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

S y( t ) Cx( t )

x( ) x

00Observateur

z( t ) ( A GC )z( t ) Bu( t ) Gy( t )S

z( ) z

La loi de commande : u( t ) e( t ) Kz( t ) .

L’erreur d’observation : 0 00

( t ) x( t ) z( t ) ( A G.C ) ( t )

( ) x z

Avec la a loi de commande : u( t ) e( t ) Kz( t ) e( t ) K( x( t ) ( t )) , on a les équations

suivantes :

Consigne

Etat estimé z

u y Système (A,B,C,D)

Etat x

Observateur

Gain du retour d’état

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28

0 0

0

0

0

boucle fermée

x( t ) ( A BK )x( t ) BK ( t ) Be( t )

( t ) ( A GC ) ( t )

S y( t ) Cx( t )

( ) x z arbitraire

x( ) x arbitraire

En définissantx( t )

X( t )

, comme vecteur d’état global (système + observateur), les équations

en boucle fermée s’écrivent :

0

0 0

0boucle fermée

A BK BK BX( t ) X( t ) e( t )

A GC )

S Y( t ) C X( t )

X arbitraire

Commentaires :

On note que l’état du système ainsi corrigé se trouve affecté par le terme

supplémentaire BK(t) en comparaison avec la commande classique (Sans observateur).

Toutefois ce terme tend vers 0 de manière asymptotique. On peut dire que la

contribution de l’observateur est présente jusqu’à ce que terme s’annule.

La matrice d’état en boucle fermée est triangulaire par blocs, l’ensemble de ces valeurs

propres est tel que :

0

A BK BKA BK A GC

A GC )

Ce qui veut dire que la dynamique du système en boucle fermée est fixée d’une part

par les valeurs propres assignées à (A-BK) d’une part et par les valeurs propres

assignées à (A-GC) d’autre part. Théoriquement ces valeurs propres se fixent de

manière indépendante. C’est le principe de la séparation.

En régime statique (entrée constante = e0), l’observateur n’intervient pas comme le

montre les équations en boucle fermée écrites lorsque le régime statique étant atteint :

0 10

10

0

0

boucle ferméeen régime statique

( A BK )x Bex ( A BK ) Be

S y Cxy C( A BK ) Be

z x

4.3 Exemple de synthèse

On considère le système suivant :

3 2 2

4 5 0

2 1

0

2 1

o

x( t ) x( t ) u( t )

y( t ) x( t )

x( ) x

n p m

Etas non accessibles

Cahier des charges :

- Amélioration de la dynamique

- Valeur finale de la sortie y =1.

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29

4.3.1 Analyse du système

Analyse de la stabilité

La matrice d’état A possède deux valeurs propres strictement négatives 1 21 7 . Le

système est par conséquent stable.

Analyse transitoire

La matrice d’état A possède deux valeurs propres réelles auxquelles on peut associer deux

constantes de temps 1 21 2

1 11 0 14.

. En négligeant la plus petite constante de temps,

le temps de réponse peut être estimé à 31=3 (USI)

Analyse de la commandabilité et de l’observabilité

2 6

0 8

16 0

2

Qc B AB

det( Qc )

rang( Qc ) ( n )

Système commandable

2 1

10 9

8 0

2

CQo

CA

det( Qo )

rang( Qo ) ( n )

Système observable

4.3.2 Synthèse du régulateur d’état

Placement de pôles en boucle fermée

1 2 1 2

1

1 2

2

2 2 7 0 5 0 25

7 3754 2 4 14

4 75

( A BK ) , , K k k . .

g .( A GC ) , , G

g .

Equations de l’observateur

1 1 2

2 1 2

00

17 75 9 375 2 7 37517 75 9 375 2 7 375

5 5 0 25 0 4 75 5 5 0 25 4 75

00

Observateur

z ( t ) . z ( t ) . z ( t ) u( t ) . y( t ). . .z( t ) z( t ) u( t ) y( t )

S . . . z ( t ) . z ( t ) . z ( t ) . y( t )

z( ) z arbitrairz( ) z arbitraire

e

La loi de commande

1 20 5 0 25u( t ) e( t ) . z ( t ) . z ( t )

Choix de la consigne et l’état statique

Le gain statique en boule fermée : 1

1 4 1 5 22 1 0 86

4 5 0

.yoKs C( A BK ) B .

eo

1

11 17

0 83

0 67

eo .Ks

.x ( A BK ) Beo

.

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30

Schéma de principe de la réalisation

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31

Simulation

Les résultats de la simulation sont illustrés ci-dessous. Le système est supposé dans l’état

initial x0 = [1 2]T alors que celui de l’observateur est z0=[0 0]T.

Evolution de x1 et de son estimation z1 Evolution de x2 et de son estimation z2

Evolution de la commande u Evolution de la sortie y

5. Commande par retour d’état avec action intégrale

La commande par retour d’état avec ou sans observateur d’état ne permet pas d’assurer une

bonne précision statique vis-à-vis des consignes constantes ou des perturbations lentement

variables. Il est possible de mettre en œuvre une correction dans l’espace d’état permettant

l’ajout d’une action intégrale dans la chaine de commande. L’idée est la suivante :

On considère un système représenté par :

boucle ouverte

x( t ) Ax( t ) Bu( t )S

y( t ) Cx( t )

On augmente ces équations en définissant une variable d’état supplémentaire ix ( t ) telle que :

ix ( t ) yd y( t )

où yd désigne la valeur de la sortie à atteindre en régime statique. En effet, lorsque le régime

statique sera atteint, on aura bien 0 yd y( t ) , soit y yd

yd apparait donc comme la consigne à fixer.

On définit le vecteur augmentéi

x( t )X( t )

x ( t )

D’où les équations:

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32

0 0

0 0 1

0

d

boucle ouverteBaAa

A BX( t ) X( t ) u( t ) y

C )S

Y( t ) y( t ) C X( t )

La loi de commande est :

1 2 1 2 iu( t ) KX( t ) K K X(t ) K x( t ) K x ( t )

D’où le schéma de principe pour la réalisation de la loi de commande :

Les étapes à suivre sont les suivantes :

Etablir les équations du système augmenté

Tester la commandabilité de la paire (Aa,Ba)

Calculer le gain de retour d’état K

Décomposer le gain K en K1, K2

Réaliser le régulateur d’état

6. Construction d’un observateur d’ordre réduit

Comme il a été souligné précédemment lors de la construction d’un observateur d’état,

certaines variables d’état n’ont besoin d’être reconstruites puisqu’elles sont disponibles par

mesure. Il est souvent intéressant de ne reconstruire que celles qui ne sont pas accessibles.

On suppose que l’état est partitionné en deux sous-ensemble x1(t) = y(t) -accessibles-, x2(t)–non

accessibles-, avec x1 de dimension n1 et x2 de dimension n2=n- n1.

Le système dynamique original peut alors s’écrire :

11 12 11 1

21 22 22 2

1

A A Bx ( t ) x ( t )u( t )

A A Bx ( t ) x ( t )

y( t ) x ( t )

Afin de mettre en valeur les dynamiques de l’état inconnu, on effectue provisoirement le

changement de variables suivant :

2 22 2 21 1 2

u( t )

x ( t ) A x ( t ) A x ( t ) B u( t )

,

et on pose : 1 11 1 1 12 2w(t ) x ( t ) A x ( t ) B u( t ) A x ( t )

D’où :

2 22 2

12 2

x ( t ) A x ( t ) u( t )

w( t ) A x ( t )

¨

xi

Etat

x

Sortie y Système Consigne yd +

-

-K1

u

K2

Régulateur d’état

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33

Cette représentation fait apparaitre un système d’ordre réduit dont la matrice d’état est A22, et

la matrice de sortie est A12.

On propose alors de construire un observateur pour le système d’ordre réduit en s’inspirant de

la structure de l’observateur d’ordre complet, soit :

22 12

00Observateur

réduit

z( t ) ( A GA )z( t ) Gw( t ) u( t )S

z( ) z

Afin d’écrire le système en fonction des signaux disponibles y(t) et u(t) du système original, on

transforme l’observateur minimal ainsi :

22 12 1 11 1 1 21 1 2

00Observateur

réduit

z( t ) ( A GA )z( t ) G( x ( t ) A x ( t ) B u( t )) A x ( t ) B u( t )S

z( ) z

Pour éviter la dérivée 1x ( t )dans le second membre de la première équation, on introduit une

nouvelle variable notée s( t ) telle que:

1s( t ) z( t ) Gx ( t ) z( t ) Gy( t )

D’où en développant : 1s( t ) z( t ) Gx ( t ) , on a :

22 12 22 12 11 21 2 1

00

Observateurréduit

s( t ) ( A GA )s( t ) ( A GA )G GA A y( t ) ( B GB )u( t )

S z( t ) s( t ) Gy( t )

s( ) s arbitraire

Ces dernières équations représentent bien la structure d’un observateur excités par les signaux

disponibles, à savoir, d’entrée u(t) et la sortie y(t). La sortie z(t) est de dimension réduite par

rapport à l’observateur classique.

On montre par ailleurs que si la paire (C, A) est observable alors il en est de même pour la

paire (A12, A22), ce qui permet d’assurer l’existence de la matrice G. Celle-ci sera calculée en

fixant une dynamique appropriée à l’observateur d’ordre réduit.

Exemple :

On considère le système suivant qui est naturellement partitionné :

1 1 1

2 2 1

1 0

x( t ) x( t ) u( t )

y( t ) x( t )

Selon la notation adoptée, on a : 11 12 21 22

1 2

1 1 2 2

1

A , A , A , A

B B

On choisit de prendre 22 12A GA =2 - G.1=-5G=7.

Il s’en suit : 22 12 11 21( A GA ) G G A A =-26

2 1B GB = - 6

D’où les équations de l’observateur d’ordre 1 :

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34

0

5 26 6

7

0

Observateurréduit

s( t ) s( t ) y( t ) u( t )

S z( t ) s( t ) y( t )

s( ) s arbitraire

Schéma de principe pour la réalisation de l’observateur

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