REPRESENTATION D’ETAT

La relation entrée-sortie nous permet de définir le

comportement d’1 système, mais cette technique est

incomplète pour commander ou contrôler les systèmes

complexes pour cela on a recourt a la représentation d’état qui

permet de modéliser un système dynamique sous forme

matricielle en utilisant des variables d’état.

La connaissance de ces variables appelée aussi variables

internes permet d’1 part de deter

miner l’état du système l’état du système et d’autre part de

faire évoluer le système à un autre état final.

Variable d’état :

Les variables d’état sont des grandeurs physiques regroupés

dans un vecteur appelé : vecteur d’état de l’espace :

SYSTEME

Schémas fonctionnel   :

Dans la représentation d’état on considère souvent des

systèmes ou l’entré est un vecteur fonction de temps et non un

scalaire.

Soit U(t) cette entrée agit sur les sorties du système par une

action intermédiaire sur l’état de ce système.

On peut dire que les composantes de vecteurs d’1 sys

représentent les informations qu’il faut connaître sur le passé

de ce système en fonction des commandes qui lui seront

appliquées on a ainsi les équations :

Dans le cas continu

Equation de transition

Equation de mesure

Dans le cas discret

A : matrice d’étatB : matrice de commandeC : matrice d’observationD : matrice d’action directX : vecteur qui représente les n variable d’étatS : vecteur qui représente les q mesures U : vecteur qui représente les p commandes

Exemple   (circuit RLC)   :

U1 et U2 sont les entrées de commande.

Les variables d’état seront : i1 et v2

V1 = Ldi1/dt=u1 – (u2 + v2)

I2=Cdv2/dt=i1-i=i1-V/R=i1-u2+v2/R

Alors : d i1/d t=u1/L-u2/L-V2/L

Et dv2/dt=i1/C-u2/RC-v2/RC

D’où l’équation de transition :

dx/dt = A X + B U

La sortie v=v2+u2

Y = C X + D U

Passage de la représentation d’état à la représentation entrées-sorties   : Soit :

La représentation d’état des systèmes continus linéaires

stationnaires se présente sous la forme:

où:

u = vecteur de commande, dim = r

x = vecteur d’état, dim = n

y = vecteur de mesure, dim = p

t = variable temps continue

Et D est égale à une matrice nulle pour les systèmes

physiques.

Avec des conditions initiales nulles et en appliquant la

transformée de Laplace on obtient :

p X(p) = A X(p) + B U(p)

Exemple:

On considère le système linéaire à temps continu décrit par la

représentation d’état suivante :

On déduit les deux équations différentielles :

Forme canonique de la matrice d’état   :

La représentation d’état n’est pas unique :

Forme de jordon :

a-forme diagonale(modale) :

On cherche à diagonaliser A :

Si on prend x=TZ

Calculons T

Pour déterminer les valeurs propres

b- forme de jordon :

Si H(p)= 1/(p+1)(p+1) + 1/(p+1)

La forme de jordon sera :

Passage de F   .T a la représentation d’etat

H (p) = (Y(p) /U(p)= a1/(p+b1)+ a2/(p+b2)+ a3/(p+b3)

X1(p) = U(p) /(p+b1)

X2(p) = U(p) /(p+b2)

p X1(p) + b1 X1(p) = U(p)

p X1(p)= - b1 X1(p) + U(p)

x’1(t) =- b1 x1(t) + u(t)

x’2(t) =- b2 x2(t) + u(t)

x’3(t) =- b3 x3(t) + u(t)

y(t) =[ a1 a2 a3]

la représentation d’etat sera :

x’= x(t) + u(t)

y(t) =[ a1 a2 a3]x(t)

H(p)= 1/(p+1)(p+1)(p+2)= 1/(p+1)(p+1) -1/(p+1) + 1/(p+2)

Y(p) =E(p)/(p+1)(p+1) + E(p)/(p+2) - E(p)/(p+1)

X1(p)= E(p)/(p+1)(p+1)= X2(p) /(p+1)

X2(p)= E(p)/(p+1)

X3(p)= E(p)/(p+2)

x’1 = -x1+x2

x’2= -x3+e(t)

x’l= -x3+e(t)

y(t) =[ 1 -1 1] x(t)

x’= + + e(t)

cas generale

x’= x + e(t)

forme de compagne

a-forme de compagne commendable:

systeme

H(p)=N(p) /D(p)=

On pose

V(p)/U(p)=1/D(p) et y(p)/V(p)= N(p)

X1= V

X2= V’

X3= V’’

.

.

Xn=

On aura

X’1=x2

X’2=x3

.

.

X’n=

Y=

X’= + e(t)

Y(t)= [ b0 b1 b2] x(t)

Forme compagne observable   :

Forme cascade   :

EXERCICES :

EXERCICE1 :

Soit  un système définit par une fonction de transfert qui

possède 3 pôles réelles distincts :

1-déterminer une représentation d’état du système.

2-on donne :

,en déduire une

représentation d’état.

3-si ,

déterminer une représentation d’état. Comparer les formes des

deux représentations ;

EXERCICES 2 :

On considère la représentation d’état suivante :

Y=[4 4 1]x

Représenter le schéma de cette forme compagne .

Calculer la fonction de transfert H(p)= Y(p) /U(p) .

les commandes utilisées sur Matlab   : la fonction de transfert   :

toute représentation d’un système linéaire à temps invariant par

fonction de transfert sera sous la forme : H(p)= B(p) / A(p) .

Connaissant H (p), on utilise la commande tf (Transfert Function)

Pour définir le systéme sous Matlab .

Sys= tf(num,den) ; on note que le num et den contient les

coefficients du polynôme B(p) et A(p) dans l’ordre décroissant de la

variable de Laplace p .

Exemple   :

Pour une fonction de transfert F(p)= 3 (p+2) / p²+2p+4 , on écrit sous

Matlab :

num= 3*[1 2] ;

den = [1 2 4] ;

Sys=tf(num,den)

Representation d’état:

Cette représentation se fait à partir de la fonction ss.m(State Space).

On connaît qu’un système linéaire continu à temps invariant peut être

modélisé par :

Dans le cas ou le système serait mis sous cette forme et que les matrices A ,

B ,C et D sont connues numériquement , on définit le système par :

Sys=ss (A,B,C,D)

passage de la fonction de transfert à la représentation d’état et

inversement   :

supposons qu’on a déjà définit un systém par sys = tf(num, den)

alors on peut passer facilement à la représentation d’état par :

sys_ etat=ss(sys) .

De même si un système a été défini par la représentation d’état :

Sys_ft = tf (sys).