réponses temporelles des circuits électriques

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Réponses temporelles des circuits électriques

Cours de Michel METZ plan général

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Réponses temporelles des circuits électriques

• Introduction :

– bienvenue

– démarche pédagogique

– objectifs du cours

– conseils d'utilisation

– position du problème

• Chapitre 1 : les outils

• Chapitre 2 : les circuits du 1er ordre

• Chapitre 3 : les circuits du 2ème ordre

• Glossaire

<<

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Bienvenue

Ce cours correspond à une approche très physique des Régimes Transitoires des circuits

électriques.

Il a été développé pour répondre le plus simplement possible à des problèmes posés dans le

cadre de l'étude des Convertisseurs Statiques, au sein d'une équipe d'enseignants-chercheurs

du LEEI de l'ENSEEIHT/INPT, animée par le professeur Henri FOCH.

Cette équipe a notamment réalisé pour les Techniques de l'Ingénieur plusieurs fascicules

couvrant une partie importante de l'Electronique de Puissance (Ref. D3151==>D3177)

Ce cours correspond plus précisément à la version moderne revue et augmentée des fascicules

(Ref. D3151, D3156 et D3158).

plan général >><<

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Démarche pédagogique

Le support de formation a été conçu dans le cadre de la « pédagogie par objectifs ».

Il repose sur un cours à plusieurs niveaux et des exercices représentatifs de l’ensemble du savoir et savoir-faire à acquérir.

Le 1er niveau de cours est nécessaire à la réalisation de ces exercices.

Le 2ème niveau correspond à des approfondissements accessibles via des liens hypertextes : ils ne sont pas indispensables en 1ère lecture mais permettent d’acquérir une vision plus globale de la discipline proposée.

Chaque exercice est associé à 2 autres de même type de façon à proposer :

– 1 exercice avec correction complète et des remarques d’ordre méthodologique ou conceptuel

– 1 exercice avec aide et solution brute

– 1 exercice à rendre

Cette approche progressive devrait vous permettre d’acquérir une assez grande autonomie…

Et n’oubliez pas que vous pouvez toujours contacter votre tuteur via la plate-forme de diffusion (mail, forum…) !

Les objectifs de ce support de formation sont indiqués sur la page suivante « objectifs du cours »

plan général >><<

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0bjectifs du cours

L'objectif général de ce cours est de savoir déterminer les réponses

temporelles des circuits électriques à partir des informations que l'on peut

obtenir par des considérations physiques simples.

• Les objectifs du 1er chapitre sont :

– de comprendre les notions de condition initiale, de régime libre et de régime permanent

– de savoir utiliser les circuits équivalents qui leur sont associés.

• Les objectif du 2ème chapitre sont :

– de savoir trouver les régimes permanents correspondant à divers types d'excitations

– de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1 er chapitre pour déterminer complètement les réponses des circuits électriques du 1er ordre.

• Les objectifs du 3ème chapitre sont :

– de connaître et de savoir utiliser la représentation dans le plan d'état

– de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1er chapitre pour déterminer complètement les réponses des circuits électriques du 2ème ordre.

– de savoir analyser des circuits comprenant interrupteurs et éléments réactifs

plan général >><<

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Conseils d'utilisation

La navigation se trouve dans la barre grisée située au bas de chaque page.

D'une façon générale elle permet l'accès aux pages précédente et suivante, au plan général ainsi qu'au plan

du chapitre. Elle permet aussi l'accès aux exercices et à leur solution.

Elle disparaît lorsque il y a une animation et réapparaît à la fin de celle-ci.

Le bouton qui apparaît sur certaines pages, indique en fait que ces pages ne sont pas terminées.

Il suffit alors de cliquer dessus pour progresser dans la page.

Les liens hypertexte permettent une connexion directe sur des pages précises. Ils apparaissent en bleu

souligné avant d'avoir été visités et en gris-bleu souligné après.

Le glossaire comprend tous les termes qui ont fait l'objet d'un lien hypertexte. Chaque nom renvoie à la

page ou ces termes sont explicités. Sur cette page, le bouton "retour" renvoie à la page où ce terme a été

utilisé pour la première fois.

Pour sortir de l'application, appuyer sur la touche Echap (ou Esc)

plan général >><<

clic

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Où est-on ? Comment y va-t-on ?

Où va-t-on ?

Position du problème

• Lorsque l'on veut voyager et trouver un bon itinéraire, on prend une carte et on se pose en général trois questions :

• Pour savoir comment évolue une grandeur dans un circuit électrique (son itinéraire ! ) , il faut se poser le même type de questions :

– d'où vient-elle ? : problème des conditions initiales

– où va-t-elle ? : problème des régimes permanents (ou régimes forcés)

– comment y va t-elle ? : problème des régimes transitoires

plan général >><<

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Position du problème : exemple

• A titre d'exemple, pour connaître l'évolution du courant dans le filtre d'un convertisseur continu-continu, il faut pouvoir répondre aux trois questions :

– quelle est la condition initiale ?– quel est le régime permanent ?– comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le

régime transitoire ?

• C'est ainsi que vous procéderez pour trouver les réponses temporelles des circuits électriques : vous serez ainsi capables pour les grandeurs considérées, de déterminer leur expression analytique et de décrire leur représentation graphique.

Condition initialeRégime transitoire

Régime permanent

plan général

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Chapitre 1 : les outils

• Introduction

• Conditions initiales Exercices

• Systèmes linéaires

– Régime libre Exercices

– Régime permanent Exercices

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Introduction chapitre 1

• La détermination des réponses des circuits électriques repose sur

– les équations des branches :

– les lois de Kirchhoff :

qui conduisent à un système d'équations différentielles.

• La résolution peut être effectuée par la transformée de Laplace ou en résolvant directement ce système différentiel. Mais dans bien des cas, on peut obtenir des résultats plus rapides en utilisant des circuits équivalents. Les outils développés ici concernent précisément ces circuits équivalents.

• Ainsi seront établis successivement :– les circuits équivalents instantanés– les circuits équivalents du régime libre– les circuits équivalents continus

• Ils seront présentés à partir du même circuit très classique de la figure ci-contre :

plan général plan du chapitre

RivdtdiLvdtdvCi ,/,/

0,0 iv

e(t)R1

C

R2s(t)

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Conditions initiales

La condition initiale d'une grandeur électrique est la valeur que prend cette grandeur à l'instant initial (symbolisé communément par t = 0+ ). Cette valeur peut être égale à celle qu'elle possédait avant l'instant initial, mais cette propriété n'est vraie a priori que pour certains types de variable.

Deux cas sont à envisager :

• la grandeur est une variable liée à l'énergie, telle que vC (tension dans un condensateur) ou iL (courant dans une inductance). Comme cette grandeur ne peut pas subir de discontinuité, on peut affirmer que sa valeur à l'instant t = 0+ est identique à celle qu'elle avait juste avant cet instant :

ainsi, il suffit de connaître x(0-) pour connaître x(0+). Cela signifie aussi, que l'on peut imposer la valeur de la condition initiale en pré-chargeant l'élément à la valeur voulue.

• la grandeur n'est pas a priori une variable liée à l'énergie (tension inductance, courant condensateur, tension ou courant dans une résistance…) ; on dit qu'il s'agit d'une variable secondaire. La valeur qu'elle prend à l'instant initial n'est en général pas égale à celle qu'elle avait avant l'instant initial :

(en général)

la simple connaissance de x(0-) ne suffit plus alors pour déterminer x(0+). Avant de montrer comment y parvenir, nous illustrons ce problème avec un exemple très simple.

plan général plan du chapitre >><<

)0()0( xx

)0()0( xx

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Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...

• vC est une variable liée à l'énergie et ne peut donc pas subir de discontinuité, donc :

• iR n'est pas une variable liée à l'énergie. Il faut donc déterminer les deux valeurs qu'elle prend avant et

après fermeture de l'interrupteur

•avant fermeture (instant t = 0-) : l'interrupteur étant ouvert, le courant ne peut être que nul

•après fermeture (instant t = 0+), la tension condensateur est égale à v0, doù :

Remarques :

• la valeur de iR (0+) est différente de celle de iR (0-) ; cette valeur de iR (0+) dépend en effet de l'ensemble du système : condition initiale v0 , source de tension E, topologie du circuit. Cela signifie que l'on ne peut pas imposer directement de condition initiale sur la variable secondaire iR, alors qu'on a pu le faire pour la variable principale vC.

• Pour calculer iR (0+), nous avons implicitement remplacé le condensateur par une source de tension égale à v0. Lorsque les circuits sont un peu plus compliqués, on peut systématiser la procédure en utilisant les "circuits équivalents instantanés". Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes.

E vC

R

C

iR

avant la fermeture de l'interrupteur, le condensateur est préchargé à v0

Déterminons les valeurs des variables vC et iR avant et après fermeture de l'interrupteur. précharge v0


0)0( vvC

RvEii RR /)0(0)0( 0

Conditions initiales

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Circuits équivalents instantanés

clic

Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité :

• un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se comporte donc comme une source de tension "instantanée"

• une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se comporte donc comme une source de courant "instantanée"

Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous :

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=>

v0

i0

=>

i0

• Un condensateur préchargé à v0...

est équivalent à une source de tension d'amplitude v0

• Une inductance préchargée à i0...

est équivalente à une source de courant d'amplitude i0

Cas particuliers

=>

i0 = 0

=>

Court-circuit

Circuit ouvert

v0 = 0

v0

Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité :

• un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se comporte donc comme une source de tension "instantanée"

• une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se comporte donc comme une source de courant "instantanée"


Circuits équivalents instantanés


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L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0

e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0

Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) :

Circuits équivalents instantanés (exemple)

clic

<<

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• Pour cela, nous reprenons le même circuit...

et nous remplaçons le condensateur...

ER1

R2 s(0+)


clic

<<

e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0




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• Nous constatons alors que l'on a simplement :


ER1

R2 s(0+)


par une source de tension d'amplitude v0

v0

plan général plan du chapitre<<


e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0

0)0( vEs



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Exercices sur les condition initiales

Exercice 1

On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension constante. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que les conditions initiales sont les suivantes :

• courant I20 dans l'inductance L2

• tension VC0 aux bornes du condensateur C

Donner à l'instant t = 0+ les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC.

E

K

R1

R2

vC R

L1

L2

iL2

iL1

Exercice 2

On considère le circuit de la figure ci-contre. Les condensateurs C1 et C2 sont respectivement préchargés à 9V et 8V avant l'instant t = 0.

Donner à l'instant t = 0+ l’expressions de la tension v

Même question lorsqu’on remplace le condensateur C1 par une inductance L parcourue par un courant de 2A dans le sens indiqué sur la figure.


solution

C1

v

3

6

2

C2

9V

8V

Lv

3

6

2

C2

2A

8V

aide

>>

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Exercices sur les condition initiales

Exercice 3

On considère le circuit de la figure ci-contre. I est une source de courant constante. A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K alors que la condition initiale du courant dans l’inductance L2 est égale à I20.

1 Préciser quelles doivent être obligatoirement les conditions initiales des grandeurs iL1 et vC

2 Donner à l'instant t = 0+ les expressions de iL1, iL2, vC du courant iC et de la tension vL2.

IK

R1

R2

vC R

L1

L2

iL2

iL1


À rédiger et à rendre

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Solution condition initiales

Exercice 1

iL1, iL2, et vC sont des variables liées à l'énergie. Elles ont donc pour valeur à l'instant t = 0+ celle qu'elles avaient juste avant la fermeture de l'interrupteur K, soit :

E

R1

R2

VC0 RiL2 (0+)

iC(0+)

Remarque: la résistance R2 a été supprimée car elle se trouve en série avec une source de courant dont, par définition, l'impédance est infinie. Elle n'intervient donc pas sur la répartition des courants et des tensions relatifs aux autres éléments du circuit à l'exception de la tension relative à cette source.De même la résistance R qui se trouve en parallèle sur une source de tension, n'a d'influence que sur le courant débité par cette source de tension. Si cette résistance R n'a pas été supprimée, c'est parce que l'on demande précisément ce courant iC(0+).


0

202

1

)0(

)0(

0)0(

CC

L

L

Vv

Ii

i

Pour iC(0+) il faut utiliser le circuit équivalent instantané de la figure ci-contre...

On trouve alors : RVIi CC /)0( 020

énoncé

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Aide condition initiales

Exercice 2

Il faut remplacer les condensateurs par des sources de tension de même amplitude et de même sens que les conditions initiales.On applique alors le théorème de Millman et on obtient :

Remarque: pour l’écriture du théorème de Millman, il faut compter positivement les sources orientées comme la grandeur que l’on cherche (ici vers le nœud A).Ainsi, dans la 1ère question les 2 sources de tension sont comptées positivement puisqu’elles sont toute les deux orientées vers le nœud A.Dans la 2ème question, la source de tension sera encore comptée positivement, alors que la source de courant sera comptée négativement.


Vv 7)0(

On procède de la même façon avec le 2ème circuit.La résistance de 3se trouve en série avec la source de courant équivalente de l’inductance : elle est donc supprimée. On trouve alors en utilisant encore le théorème de Millman :

C1

v

3

6

2

C2

9V

8V

Lv

3

6

2

C2

2A

8VVv 3)0(

A

A

énoncé

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Liens conditions initiales

Variables liées à l'énergie :

Dans le cadre des circuits électriques, l'énergie prend deux formes :• énergie électromagnétique : 1/2 LiL

2

• énergie électrostatique : 1/2 CvC2

la propriété de continuité de la variable énergie (puissance finie), se transmet aux variables électriques iL et vC que l'on désigne sous le nom de variables liées à l'énergie.

==> résultat très important : les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité

Variables liées à l'énergie :

Dans le cadre des circuits électriques, l'énergie prend deux formes :• énergie électromagnétique : 1/2 LiL

2

• énergie électrostatique : 1/2 CvC2

la propriété de continuité de la variable énergie (puissance finie), se transmet aux variables électriques iL et vC que l'on désigne sous le nom de variables liées à l'énergie.

==> résultat très important : les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité

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Systèmes linéaires

Les circuits électriques que nous étudions ici sont des circuits linéaires à constantes localisées et sont donc régis par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ils appartiennent ainsi à la grande famille des systèmes linéaires que l'on retrouve dans tous les domaines de la physique. Ils bénéficient évidemment de leurs propriétés générales.

Les propriétés fondamentales des systèmes linéaires :

– la connaissance des variables d'état à un instant donné permet de déterminer l'évolution du système à tout instant. Le nombre de variables d'état définit l'ordre de complexité du système et correspond en particulier au nombre minimal de variables qu'il faut suivre simultanément.

– toute variable est la somme de deux termes :

• xl(t) est la solution de l'équation différentielle homogène (sans second membre) et tend donc toujours vers zéro : elle correspond au régime libre.

• xf(t) est la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre : elle correspond au régime permanent ou plus généralement au régime forcé.

– Nous illustrons cette propriété fondamentale sur un exemple que nous étudierons complètement par la suite

plan général plan du chapitre >>

)()()( txtxtx lf

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Par exemple dans le cas d'un circuit RL que l'on connecte à une source de tension sinusoïdale v(t) à l'instant t0, on trouve :

v(t)if(t)

il(t)

i(t)

t0t0

v(t)

R

L

i(t)

k

le régime permanent if(t), qui est un courant

sinusoïdal déphasé arrière

le régime libre il(t), qui est une exponentielle

commençant à l'instant t0 et tendant vers 0...

le courant i(t) qui est la somme de ces 2

composantes if(t) et il(t).


Constatons sur cet exemple les résultats généraux dus à la relation

– Toute variable tend vers son régime permanent, ce qui se produit lorsque son régime libre s'est annulé (tant que le régime libre n'est pas nul, on se trouve en régime transitoire).

– La connaissance des deux termes xf(t) et xl(t), permet donc de déterminer à la fois le régime permanent et le régime transitoire.

)()()( txtxtx lf

Systèmes linéaires

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Systèmes linéaires (fin)

• Rappel du problème

Nous avons vu (position du problème) qu'il fallait savoir répondre aux trois questions :

– quelle est la condition initiale ?

– quel est le régime permanent ?

– comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le

régime transitoire ?

• Nous constatons alors que la théorie des systèmes linéaires permet de répondre aux questions

concernant le régime permanent et le régime transitoire. Il faut évidemment pour cela que l'on sache

effectivement déterminer les deux composantes xf(t) et xl(t). Tel est l'objet des deux prochains sous-

chapitres.

• Si l'on ajoute les résultats du sous-chapitre précédent concernant les conditions initiales (question 1),

on peut considérer que le problème est virtuellement terminé.


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Liens systèmes linéaires (1)Circuits linéaires à constantes localiséesCe sont des circuits uniquement composés d'éléments discrets linéaires tels que les résistances, les condensateurs, les inductances...

Circuits linéaires à constantes localiséesCe sont des circuits uniquement composés d'éléments discrets linéaires tels que les résistances, les condensateurs, les inductances...

Variables d'état• Les variables d'état contiennent à chaque instant une information complète sur l'état énergétique d'un système. Dans une première approche, on peut considérer qu'elles s'identifient aux variables liées à l'énergie.• Les variables d'état doivent par ailleurs, constituer un ensemble de variables indépendantes

Dans les circuits électriques, il existe deux types de relations de dépendance :• les mailles capacitives• les coupures inductives

De façon pratique : pour un circuit électrique donné, on prend toutes les tensions condensateur moins une par maille capacitive et tous les courants inductance moins un par coupure inductive.

Variables d'état• Les variables d'état contiennent à chaque instant une information complète sur l'état énergétique d'un système. Dans une première approche, on peut considérer qu'elles s'identifient aux variables liées à l'énergie.• Les variables d'état doivent par ailleurs, constituer un ensemble de variables indépendantes

Dans les circuits électriques, il existe deux types de relations de dépendance :• les mailles capacitives• les coupures inductives

De façon pratique : pour un circuit électrique donné, on prend toutes les tensions condensateur moins une par maille capacitive et tous les courants inductance moins un par coupure inductive.

Ordre de complexité d'un systèmeL'ordre de complexité d'un système, que l'on appelle plus simplement "ordre d'un système" peut être défini de plusieurs façons équivalentes :

• il est égal au nombre de variables d'état, c'est à dire au nombre d'éléments réactifs moins le nombre de mailles capacitives, moins le nombre de coupures inductives• il est égal au nombre de conditions initiales que l'on peut effectivement imposer. Cette deuxième approche, plus physique, repose sur les considérations suivantes :

* on ne peut imposer de condition initiale que sur les variables liées à l'énergie, c'est à dire dans les éléments réactifs* dans une maille capacitive (coupure inductive), la relation de dépendance entre les n tensions condensateur (courants inductance) est également valable pour les conditions initiales : si n - 1 conditions initiales sont imposées, la n ième résulte forcément des autres et ne peut donc être imposée, donc :

Ordre = néléments réactifs - nmailles capacitives - ncoupures inductives

Ordre de complexité d'un systèmeL'ordre de complexité d'un système, que l'on appelle plus simplement "ordre d'un système" peut être défini de plusieurs façons équivalentes :

• il est égal au nombre de variables d'état, c'est à dire au nombre d'éléments réactifs moins le nombre de mailles capacitives, moins le nombre de coupures inductives• il est égal au nombre de conditions initiales que l'on peut effectivement imposer. Cette deuxième approche, plus physique, repose sur les considérations suivantes :

* on ne peut imposer de condition initiale que sur les variables liées à l'énergie, c'est à dire dans les éléments réactifs* dans une maille capacitive (coupure inductive), la relation de dépendance entre les n tensions condensateur (courants inductance) est également valable pour les conditions initiales : si n - 1 conditions initiales sont imposées, la n ième résulte forcément des autres et ne peut donc être imposée, donc :

Ordre = néléments réactifs - nmailles capacitives - ncoupures inductives

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Liens systèmes linéaires (2)

Régime permanent et régime forcé

Le régime permanent correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé.

Le terme "régime permanent" fait implicitement référence à un régime continu ou périodique comme c'est le cas par exemple lorsque l'excitation est continue, sinusoïdale, rectangulaire…

Dans le cas où l'excitation n'est pas périodique (en forme de rampe par exemple), la solution particulière peut exister mais elle ne peut être ni périodique ni même bornée.Le terme "régime permanent" ne convient plus ; on utilise alors celui de "régime forcé". On peut parler également de "régime attractif".On retiendra que le terme "régime forcé" est utilisé dans le même sens que "régime permanent" mais correspond à une notion plus générale.

De façon pratique, on utilisera dans ce cours le terme "régime permanent" le plus souvent possible, parce que cela correspond à l'usage le plus répandu. Nous utiliserons le terme "régime forcé" uniquement lorsque cela sera nécessaire, dans les cas où il n'y a pas de régime permanent (voir Ch. 2 : Réponse à une rampe).

Régime permanent et régime forcé

Le régime permanent correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé.

Le terme "régime permanent" fait implicitement référence à un régime continu ou périodique comme c'est le cas par exemple lorsque l'excitation est continue, sinusoïdale, rectangulaire…

Dans le cas où l'excitation n'est pas périodique (en forme de rampe par exemple), la solution particulière peut exister mais elle ne peut être ni périodique ni même bornée.Le terme "régime permanent" ne convient plus ; on utilise alors celui de "régime forcé". On peut parler également de "régime attractif".On retiendra que le terme "régime forcé" est utilisé dans le même sens que "régime permanent" mais correspond à une notion plus générale.

De façon pratique, on utilisera dans ce cours le terme "régime permanent" le plus souvent possible, parce que cela correspond à l'usage le plus répandu. Nous utiliserons le terme "régime forcé" uniquement lorsque cela sera nécessaire, dans les cas où il n'y a pas de régime permanent (voir Ch. 2 : Réponse à une rampe).

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Liens systèmes linéaires (3)

Mailles capacitivesUne maille capacitive est une maille dans laquelle il n'y a que des sources de tension et des condensateurs.Dans l'exemple présenté sur la figure, la maille matérialisée par la flèche est effectivement une maille capacitive.La loi des mailles s'écrit alors :

v - vC1 - vC2 = 0

et constitue donc une relation de dépendance entre les deux variables vC1 et vC2.L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire.

On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie.

On notera également qu'une résistance série de très faible valeur dans cette maille suffit à lui retirer son caractère "capacitif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.

Mailles capacitivesUne maille capacitive est une maille dans laquelle il n'y a que des sources de tension et des condensateurs.Dans l'exemple présenté sur la figure, la maille matérialisée par la flèche est effectivement une maille capacitive.La loi des mailles s'écrit alors :

v - vC1 - vC2 = 0

et constitue donc une relation de dépendance entre les deux variables vC1 et vC2.L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire.


On notera également qu'une résistance série de très faible valeur dans cette maille suffit à lui retirer son caractère "capacitif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.

v

vC1

vC2

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Liens systèmes linéaires (4)Coupures inductives

1) qu'est-ce qu'une coupure ?

Rappelons q'une maille est constituée par un ensemble de branches pour lesquelles on a : v = 0Par dualité, on est amené à définir ce que l'on appelle une coupure constituée d'un ensemble de branches pour lesquelles on a : i = 0

Considérant le graphe d'un circuit de la figure ci-contre, il est facile de voir que

l'on a : i1 + i2 + i3 = 0 C'est la classique loi des nœuds.

Mais on voit aussi que l'on a : i1 + i4 + i5 = 0 (Système isolé)

Ainsi les 3 branches 1,4 et 5 constituent une coupure. L'ensemble des branches liées à un nœud n'est en fait qu'un cas particulier d'une coupure.De façon pratique, pour trouver une coupure, il suffit de tracer une ligne fermée entourant au moins un nœud (figure ci-contre). Les branches traversées par cette ligne constituent une coupure. Ainsi la ligne a définit une coupure à 3 branches qui n'est qu'un nœud. La ligne b définit une coupure à 3 branches, la ligne c une coupure à 4 branches. Il y en a beaucoup d'autres !

2) coupures inductivesUne coupure inductive est une coupure constituée uniquement de sources de courant et d'inductancesDans l'exemple présenté sur la figure, la coupure matérialisée par la ligne en pointillé est effectivement

une coupure inductive. On a alors : j + iL1 + iL2 = 0 ce qui constitue une relation de dépendance entre les deux variables iL1 et iL2.L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire.


On notera également qu'une résistance de très forte valeur en parallèle sur les branches de cette coupure, suffit à lui retirer son caractère "inductif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.

Coupures inductives

1) qu'est-ce qu'une coupure ?

Rappelons q'une maille est constituée par un ensemble de branches pour lesquelles on a : v = 0Par dualité, on est amené à définir ce que l'on appelle une coupure constituée d'un ensemble de branches pour lesquelles on a : i = 0

Considérant le graphe d'un circuit de la figure ci-contre, il est facile de voir que

l'on a : i1 + i2 + i3 = 0 C'est la classique loi des nœuds.

Mais on voit aussi que l'on a : i1 + i4 + i5 = 0 (Système isolé)

Ainsi les 3 branches 1,4 et 5 constituent une coupure. L'ensemble des branches liées à un nœud n'est en fait qu'un cas particulier d'une coupure.De façon pratique, pour trouver une coupure, il suffit de tracer une ligne fermée entourant au moins un nœud (figure ci-contre). Les branches traversées par cette ligne constituent une coupure. Ainsi la ligne a définit une coupure à 3 branches qui n'est qu'un nœud. La ligne b définit une coupure à 3 branches, la ligne c une coupure à 4 branches. Il y en a beaucoup d'autres !

2) coupures inductivesUne coupure inductive est une coupure constituée uniquement de sources de courant et d'inductancesDans l'exemple présenté sur la figure, la coupure matérialisée par la ligne en pointillé est effectivement

une coupure inductive. On a alors : j + iL1 + iL2 = 0 ce qui constitue une relation de dépendance entre les deux variables iL1 et iL2.L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire.


On notera également qu'une résistance de très forte valeur en parallèle sur les branches de cette coupure, suffit à lui retirer son caractère "inductif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.

i1i2

i3

i4

i5

a

b c

iL1

iL2

j

retour

30© Metz Avril 02

Régime libre

• Rappelons que le régime libre xl(t), correspond à l'équation différentielle sans second membre, c'est à dire au système sans excitation.Il tend toujours vers zéro.

– sur le plan des circuits électriques, le régime libre correspond donc au circuit sur lequel on a effectué les modifications suivantes :

• les sources de tension ont été remplacées par des court-circuits

• les sources de courant ont été remplacées par des circuits ouverts

on dit alors que l'on a rendu le circuit passif.

• Pour connaître entièrement le régime libre, il faut répondre aux trois mêmes questions, c'est à dire, déterminer sa condition initiale, son régime permanent, et son évolution entre les deux.

– le régime libre xl(t) tendant toujours vers 0, son régime permanent est donc toujours nul

– la condition initiale xl(0+) est en général différente de la condition initiale de la variable

considérée x(0+) Elle se détermine par identification à l'instant t = 0+ :

…ce qui suppose que l'on puisse connaître xf(0+) .


)0()0()0( lf xxx

0lx

31© Metz Avril 02

– l'évolution du régime libre xl(t) à partir de sa condition initiale xl(0+) , n'est liée qu'aux

constantes propres du système que sont les constantes de temps, les pulsations et les

amortissements. Le nombre de ces constantes propres est exactement égal à l'ordre du système :

• ordre 1 : 1 constante de temps………….

• ordre 2 : 2 constantes de temps ou 1 pulsation et 1 amortissement

• ordre 3 : comme ordre 2 plus une autre constante de temps, etc…

==> la détermination de ces constantes propres peut donc s'effectuer à partir uniquement du

régime libre. Pour cela, il suffit de rendre le circuit passif. On fait alors apparaître ce que nous

appelons le "circuit équivalent du régime libre". Nous en montrons un exemple d'utilisation

dans les pages suivantes.

Remarques :

– les constantes propres sont identiques pour toutes les variables d'un système donné. Ainsi ces

variables auront toutes les mêmes constantes de temps, les mêmes pulsations de résonance, les

mêmes amortissements…

– la condition initiale xl(0+) est la seule valeur du régime libre qui dépende de l'ensemble du

système (conditions initiales, sources, topologie du circuit). Elle fait partie de ce que l'on appelle

les constantes indéterminées. On trouve d'autres constantes indéterminées dans les régimes

permanents (voir sous-chapitre "régimes permanents")

Régime libre (suite)


32© Metz Avril 02

– Nous reprenons le même circuit….


et déterminons ses constantes propres

et cherchons le circuit équivalent du régime libre, en remplaçant la source de tension... e(t)

R1

C

R2s(t)

Circuit équivalent du régime libre (exemple)

clic

<<

e(t)R1

C

R2s(t)– Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du 1er

ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule constante de temps à trouver.

33© Metz Avril 02

– Nous reprenons le même circuit….


et déterminons ses constantes propres

e(t)R1

C

R2s(t)

R1

C

R2s(t)

et cherchons le circuit équivalent du régime libre, en remplaçant la source de tension...

par un court-circuit

Circuit équivalent du régime libre (exemple)

R1 // R2

C

– Nous constatons que les deux résistances R1 et R2 sont en parallèle. Le circuit se réduit donc à une résistance unique R1 // R2 et au condensateur C.

– La constante de temps s'écrit alors :

21

2121 RR

CRRCR//Rτ


– Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du 1er

ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule constante de temps à trouver.

34© Metz Avril 02

Exercices sur le régime libre

Exercice 1

On considère le circuit de la figure ci-contre. Les deux sources sont des sources de tension.Déterminer les constantes propres du système :

• lorsque K est ouvert• lorsque K est fermé

v

CR1

R2

Exercice 2

On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension et I est une source de courant. Le système est très peu amorti. Déterminer la pulsation de résonance :

• lorsque K est ouvert• lorsque K est fermé

Déterminer le rapport de ces deux pulsations lorsque L1 = L2 et C1 = C2 .

I

K

L2

R4

R3

K

v'

L1

C1

C2

E

plan général<< plan du chapitre

solution

aide

>>

35© Metz Avril 02

Exercices sur le régime libre

Exercice 3

On considère le circuit de la figure ci-contre. Déterminer sa constante de temps.

La source de tension v est remplacée par une source de courant.Quelle est la nouvelle constante de temps.

La source de courant I est remplacée par une source de tension.Quelle est la nouvelle constante de temps


v

R1

R2

C1

C2

I


36© Metz Avril 02

Solutions régime libre

Exercice 1

On remplace les deux sources de tension par des court-circuits (Fig. 1)

On s'aperçoit alors que les résistances R1 et R2 sont en parallèle. Bien que cela soit moins évident à voir, il en est de même des résistances R3 et R4 puisqu'elles sont reliées au mêmes nœuds (nœud A et nœud B)

Redessiné, le circuit devient celui de la figure 2.

On trouve alors :

soit :

On vérifiera que lorsque l'interrupteur K est fermé, il court-circuite l'ensemble R3 et R4

la constante de temps devient alors :

CR1

R2 R4

R3

Nœud A

Nœud B

C

R1 R2

Nœud A

Nœud B

R3R4

Fig 1

Fig 2

C//RR//RRτ 4321

CRR

RR

RR

RRτ

43

43

21

21

CRR

RR

21

21


énoncé

37© Metz Avril 02

Aide régime libre

Exercice 2

On remplace la source de tension par un court-circuit et la source de courant par un circuit ouvert.

On constate alors que les 4 éléments L1 , L2 , C1 et C2 sont en série.On est donc ramené à un circuit LC série avec :

21

21

21

CC

CCC

LLL


énoncé

On obtient alors :

2121

211

CCLL

CC

LC

I

K

L2

L1

C1

C2

E

Si on ferme l’interrupteur K, on obtient :

121

1'

CLL

lorsque L1 = L2 et C1 = C2, le rapport de ces deux pulsations devient :

Remarque : les sources que l’on voit apparaître dans ce type de circuit ne sont pas nécessairement de « vraies » sources. Elles ne sont souvent que des condensateurs ou des inductances de forte valeur : leur variable principale (vC ou iL) ne varient que très lentement et sont donc considérées comme des sources vis à vis des phénomènes rapides.Dans l’exemple traité (bras d’onduleur), la source de courant I est typiquement une inductance de 100 à 1000 fois plus grande que L1 ou L2 .

2'

38© Metz Avril 02

Circuit PassifDans un circuit électrique rendu passif, on a supprimé les excitations : l'amplitude de la tension des sources de tension ainsi que l'amplitude du courant des sources de courant devient nulle. Par contre, la nature de ces sources (impédance nulle pour une source de tension, impédance infinie pour une source de courant) se conserve.

Ainsi :

• une source de tension est remplacée par un court-circuit :

• une source de courant est remplacée par un circuit ouvert :

Il faut éviter de dire et surtout de faire :

• on court-circuite les sources de tension,

• on ouvre les sources de courant.

Circuit PassifDans un circuit électrique rendu passif, on a supprimé les excitations : l'amplitude de la tension des sources de tension ainsi que l'amplitude du courant des sources de courant devient nulle. Par contre, la nature de ces sources (impédance nulle pour une source de tension, impédance infinie pour une source de courant) se conserve.

Ainsi :

• une source de tension est remplacée par un court-circuit :

• une source de courant est remplacée par un circuit ouvert :

Il faut éviter de dire et surtout de faire :

• on court-circuite les sources de tension,

• on ouvre les sources de courant.

Liens régime libre

=> Court-circuit

Circuit ouvert=>

retour

39© Metz Avril 02

Constantes propres, constantes indéterminées• Les constantes propres d'un circuit (constantes de temps, pulsations, amortissements) sont identiques pour l'ensemble des variables de ce circuit. Elles ne dépendent que de ses éléments constitutifs et de leur agencement. Elles sont indépendantes des conditions initiales et des sources (seule la nature source de V ou source de I intervient). Elles sont accessibles dans le circuit équivalent du régime libre.

• Les constantes indéterminées dépendent des variables choisies. Elles se calculent à partir des conditions initiales et des valeurs trouvées dans les régimes permanents.

Exemple : dans l'expression générale d'un circuit du 2ème ordre excité par une grandeur sinusoïdale :

0 et sont les constantes propres, alors que A, B, C, et , sont des constantes indéterminées.

Constantes propres, constantes indéterminées• Les constantes propres d'un circuit (constantes de temps, pulsations, amortissements) sont identiques pour l'ensemble des variables de ce circuit. Elles ne dépendent que de ses éléments constitutifs et de leur agencement. Elles sont indépendantes des conditions initiales et des sources (seule la nature source de V ou source de I intervient). Elles sont accessibles dans le circuit équivalent du régime libre.

• Les constantes indéterminées dépendent des variables choisies. Elles se calculent à partir des conditions initiales et des valeurs trouvées dans les régimes permanents.

Exemple : dans l'expression générale d'un circuit du 2ème ordre excité par une grandeur sinusoïdale :

0 et sont les constantes propres, alors que A, B, C, et , sont des constantes indéterminées.

Liens régime libre retour

)t(ωCt)eωBtω(Ax τ

t

100 sinsincos

40© Metz Avril 02

Régime permanent

Le régime permanent (ou forcé) ou xf(t ) correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre.Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé.Les résultats généraux les plus connus concernant les régimes permanents (ou forcés) sont rappelés ci-dessous :

excitation continue

excitation sinusoïdale

excitation polynomiale

régime permanent continu

régime permanent sinusoïdal

régime forcé polynomial

Nous verrons dans le deuxième chapitre, des exemples d'excitations sinusoïdales et polynomiales.Mais dans le cadre de ce chapitre général sur les outils, il est intéressant de présenter "les circuits équivalents continus", qui sont particulièrement utiles dans le cas des excitations continues ou continues par morceaux telles que les excitations rectangulaires ; ils peuvent être également utilisés lorsque les sources sont lentement variables sur l'horizon temporel considéré (voir chapitre 3).Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes.

Remarques :• la "recopie" des excitations dans les régimes permanents (ou forcés) n'est pas une propriété générale. Elles est vraie pour certaines excitations élémentaires comme celles rappelées ci-dessus. Elle est fausse par exemple dans le cas d'excitation en créneaux (voir chapitre 2).

• Le terme "continu" est ici strictement équivalent à "constant". Il n'a rien à voir avec la continuité des fonctions.


41© Metz Avril 02

Circuits équivalents continus

Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base :

Si les grandeurs vC et iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement nulles, ainsi :

• en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert

• en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit


dt

diLv

dt

dvCi L

LC

C

clic

<<

42© Metz Avril 02

Circuits équivalents continus

• en continu un condensateur...

est équivalent à un circuit ouvert

• en continu une inductance...

est équivalente à un court-circuit

Circuit ouvert

Court-circuit

Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base :

• en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert

• en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit



dt

diLv

dt

dvCi L

LC

C

Si les grandeurs vC et iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement nulles, ainsi :

43© Metz Avril 02

Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...


Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf :

clic

<<

e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0

Circuits équivalents continus (exemple)

44© Metz Avril 02




ER1

R2 sf

clic

<<




e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0

45© Metz Avril 02


• Nous constatons alors que l'on a simplement : ER1

R2 sf



par un circuit ouvert

21

2

RR

REs f

On remarquera que la condition initiale n'intervient pas dans le régime permanent : c'est une propriété générale des systèmes linéaires





e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0

46© Metz Avril 02

Exercices sur les circuits équivalents continus

Exercice 1

On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension constante. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que les conditions initiales sont les suivantes :

• courant I20 dans l'inductance L2

• tension VC0 aux bornes du condensateur C

Donner les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC en régime permanent.


E

K

R1

R2

vC R

L1

L2

iL2

iL1

Exercice 2

On considère le circuit de la figure ci-contre. L’interrupteur K est fermé l'instant t = 0.

Calculer les valeurs des tensions vC1, vC2 et v en régime permanent.

On remplace le condensateur C1 par une inductance L.Calculer les valeurs des tensions vC1, v et du courant iL en régime permanent.

C1

v

3

6

2

C2

vC1

vC2

Lv

3

6

2

C2

iL

vC1

aide

11V K 11V K

solution

>>

47© Metz Avril 02

Exercices sur les circuits équivalents continus

Exercice 3

On considère le circuit de la figure ci-contre. I est une source de courant constante. A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K.

Donner les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC en régime permanent.


IK

R1

R2

vC R

L1

L2

iL2

iL1


48© Metz Avril 02

Solution circuits équivalents continus

Exercice 1

En remplaçant le condensateur par un circuit ouvert et les inductances par des court-circuits, on obtient le circuit de la figure ci-contre.

Le théorème de Millman permet d'écrire directement la tension vCf

:

RRR

RE

vCf 111

21

1

02121

2

2121

21

2121

2

cf

fL

fL

Cf

i

RRRRRR

REi

RRRRRR

ERRi

RRRRRR

ERRv

Puis, à partir des expressions :

22

211

11

R

vi

R//RR

Eiou

R

E-vi

CffL

fLCp

fL

on obtient finalement :


E

K

R1

R2

vCf RiL2f

iL1f

Remarque : pour donner l’expression de la tension vCf , on aurait également pu utiliser les diviseurs de tension, en prenant bien soin de considérer toutes les impédances en parallèle :

21

1

R//RR

REvCf

énoncé

49© Metz Avril 02


Exercice 2

L’interrupteur K étant fermé, il faut remplacer les condensateurs par des circuits ouverts. En utilisant les diviseurs de tension, on obtient alors : C1

v

3

6

2

C2

vC1

vC2

11V K

Lv

3

6

2

C2

iL

vC1

11V K

L’interrupteur K étant fermé, il faut remplacer le condensateur par un circuit ouvert et l’inductance par un court circuit.En remarquant que les résistances de 3 et 6 sont shuntées par ce court circuit, on obtient alors :

V6

V8

V9

2

1

v

v

v

fC

fC

0V

V11

A5,6

2

v

v

i

fC

Lf

Aide circuits équivalents continus

énoncé

50© Metz Avril 02

Chapitre 2 : réponse des circuits du 1er ordre

• Introduction

• Réponse à un échelon Exercices

• Réponse à un signal sinusoïdal Exercices

• Réponse à une rampe Exercices

• Réponse à une excitation périodique Exercices

– Réponse à une excitation rectangulaire

– Signaux périodiques et symétries

plan général

51© Metz Avril 02


Rappelons l'expression d'une variable d'un système linéaire (cf. chapitre 1, systèmes linéaires) :

dans le cas d'un circuit du 1er ordre, la partie libre s'écrit pour t > 0 :

- est la constante de temps : c'est la seule constante propre du système que l'on retrouvera quelle que soit la variable considérée. On sait la déterminer à partir du circuit équivalent du régime libre (cf. Chapitre 1)

- k est une constante indéterminée qui sera calculée par identification au point 0 (Cf Chapitre 1, régime libre) :

On peut alors en déduire l'expression générale pour t >0, de toute variable d'un circuit du 1er ordre :

cette expression convient si l'on s'intéresse à l'évolution de la variable à partir d'une action qui a lieu à l'instant t = 0.

Par contre, si l'on s'intéresse à l'évolution de la variable à partir d'une action qui a lieu à l'instant t = t0, il faut utiliser une expression plus générale, indiquée sur la page suivante.

Expression générale d'une variable d'un circuit du 1er ordre


kxxxx flf 0000

t/τl ketx

txtxtx lf

t/τff exxtxtx 00

52© Metz Avril 02


Si l'on s'intéresse au circuit du 1er ordre à partir d'une action qui a lieu à l'instant t = t0, l'exponentielle qui caractérise son régime libre, n'existe qu'à partir de t = t0 et s'écrit :

Expression générale d'une variable d'un circuit du 1er ordre

τ

t-t-

fl et-xtx(t)x0

00

τ

t-t-

l ek(t)x0

On peut alors en déduire l'expression générale de toute variable d'un circuit du 1er ordre soumis à une action à l'instant t = t0 :

La constante k s'identifie alors à l'instant t = t0 : ktxtxtxtx flf 0000

Ce qui donne pour le régime libre :

0

00

0

tt

et-xtxtxx(t) τ

t-t-

ff


53© Metz Avril 02

Réponse à un échelon

L'échelon correspond à une excitation continue à partir de l'instant t = t0 .

Le régime permanent est alors lui même continu (Cf. chapitre 1, régime permanent) :

xf (t ) est donc continu et nous pouvons écrire : xf (t ) = xf

Dans ces conditions, pour toute variable l'expression générale :

se simplifie et s'écrit :

Ainsi, pour déterminer l'évolution de la variable considérée, il suffit de connaître les 3 constantes x(0+), xf et , ce que nous avons appris à faire au chapitre 1 en utilisant les circuits équivalents.Les exemples qui suivent montrent à quel point cette méthode est simple et sûre.

excitation continue régime permanent continu


τ

t-t-

ff et-xtxtxtx0

00

τ

t-t-

ff e-xtxxx(t)0

0

54© Metz Avril 02

Réponse à un échelon (exemple)

clic

<<

e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0



Nous rappelons ci-dessous les 3 circuits équivalents correspondant à ce circuit (Cf. chapitre 1) :

55© Metz Avril 02




Nous rappelons ci-dessous les 3 circuits équivalents correspondant à ce circuit (Cf. chapitre 1) :

ER1

R2 sf

21

2

RR

REs f

21

2121 RR

C)R( RC)R//(Rτ

00 vE)s(

Circuit équivalent instantané

Circuit équivalent du régime libreCircuit équivalent continu


e(t)R1

C

R2s(t)

e(t)E

t0

précharge v0

ER1

R2 s(0+)

v0

R1

C

R2s(t)

56© Metz Avril 02


Ainsi, reportant les 3 constantes trouvées :

dans l'expression générale :

il vient, en tenant compte que t0 = 0 : τ

t-

eRR

RE-vE

RR

REts

21

20

21

2

τ

t-

evRR

RE

RR

REts

0

21

1

21

2ou encore :

On remarquera que ces expressions ont été obtenues sans calcul.

Sur les pages suivantes sont présentées les formes d’ondes


21

2

RR

REs f

21

2121 RR

CRRCR//Rτ

00 vEs

τ

t-t-

ff ex-txxtx0

0

57© Metz Avril 02

Dans le cas des circuits du 1er ordre soumis à des échelons, une variable est toujours la somme d'une exponentielle (régime libre) et d'une constante (régime permanent) : c'est donc encore une exponentielle de même constante de temps.


Représentation graphique

clic

<<

58© Metz Avril 02

Ainsi, partant du point de condition initiale s(0+) ...

et arrivant sur le régime permanent sf...

il suffit de tracer l'exponentielle ayant la constante de temps du circuit étudié

s(0+)

sf

Exponentielle ()

Ce tracé étant très facile, il est inutile de le décomposer en régime libre et régime permanent.


Représentation graphique


Dans le cas des circuits du 1er ordre soumis à des échelons, une variable est toujours la somme d'une exponentielle (régime libre) et d'une constante (régime permanent) : c'est donc encore une exponentielle de même constante de temps.

59© Metz Avril 02

Quelques résultats très classiques mais aussi très commodes...

La tangente à l'origine coupe le régime permanent à t = (sous-tangente = )

Pour t = , le signal a atteint 63% de son régime permanent...


Compléments sur les tracés d'exponentielles

3

95%63%

Pour t = 3 , le signal a atteint 95% de son régime permanent...


60© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations en échelon

Exercice 1

On considère le circuit de la figure ci-contre. L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0.Déterminer l'expression de s(t).

Exercice 2

On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension constante d’amplitude 40V et C un condensateur de capacité 1nF.A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que le condensateur C est déchargé.Déterminer l’expression générale de vC(t).En supposant que l’on puisse faire l’approximation linéaire de l’exponentielle, calculer les valeurs des résistances R1 et R2 pour que vC(t) atteigne 4V en 500ns.

e(t)

R1

C

R2

s(t)

e(t)E

t0

R1

CR2

vC(t)E

K


aide

solution

>>

61© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations en échelon

Exercice 3

On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension constante.

1. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que le condensateur C est chargé à V0.

2. A linstant t0, on ouvre cet interrupteur K. Déterminer les expressions de i(t) et vC(t) dans les différentes séquences.

3. Tracer leur forme d'ondes (on prendra pour cela V0 = 0, t0 = 8, R2 = 3R1).

R1

CR2

vC(t)E

K

i(t)



62© Metz Avril 02

Solution excitations en échelon

Exercice 1

Pour résoudre cet exercice, il suffit de rechercher les 3 circuits équivalents correspondant au circuit donné

(Pas de courant dans les résistances)

R1

v0

R2

s(0+)E

R1

R2

sfE

R1

R2

C

Es f CRRτ 21 21

2000

RR

RvEvs

τ

t

τ

t

eRR

REvEeE

RR

RvEvEts

21

10

21

200On obtient alors :


e(t)

R1

C

R2

s(t)e(t)

E

t0

ces 3 circuits équivalents sont indiqués ci-dessous avec les expressions qui en découlent.

(diviseur de tension avec E - v0)

énoncé

63© Metz Avril 02

Aide excitations en échelon

Exercice 2

L’expression générale de vC(t) s’écrit :


R1

CR2

vC(t)E

K

21

2121

21

2

//

1

RR

CRRCRR

eRR

REtv

t

C

En prenant l’approximation linéaire :

Il vient :

tCRR

RR

RR

REtvC

21

21

21

2

xe x

pour que vC(t) atteigne 4V en 500ns, il faut prendre alors

k51R

Remarque : la résistance R2 s’élimine du calcul du temps d’accès à 4V. Cela suppose évidemment que l’approximation linéaire soit justifiée.

Ce type de circuit se retrouve dans la commande de MOSFET dont le seuil de conduction est précisément de 4V.

énoncé

CR

tEtvC

1

64© Metz Avril 02

Réponse à un signal sinusoïdal

Dans le cas d'une excitation sinusoïdale de pulsation , le régime permanent est lui même sinusoïdal et de même pulsation :

Dans l'expression générale valable pour t > t0 :

le régime permanent s'écrira alors :

La constante propre et la condition initiale x(0+) se déterminent comme précédemment.

Les constantes A et se déterminent en utilisant les résultats classiques des régimes permanents sinusoïdaux. Elles permettent en particulier d'accéder à xf(0+).

excitation sinusoïdalede pulsation

régime permanent sinusoïdalde même pulsation

τ

t-t-

ff etx-txtxtx0

00

tAtx f sin


65© Metz Avril 02

Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)

Connexion d'un circuit RL à une source de tension sinusoïdale


L'excitation v(t) est une tension sinusoïdale d'amplitude Vmax

On demande de déterminer l'évolution du courant i(t ) dans l'inductance.

Pour cela comme précédemment, nous déterminerons successivement le régime permanent et le régime libre

v(t )

R

L

i(t )

K

On ferme l'interrupteur K à l'instant t0

v(t )

t0t0

Vmax


66© Metz Avril 02

Dans le circuit qui nous intéresse, la relation entre i(t) et v(t) s'écrit

en complexe :

avec :

IZV


)/( Arctg

222

RLZArg

LRZ

jLRZ

Etude du régime permanent if(t)

Le courant if(t) est donc entièrement

caractérisé en amplitude et en phase :

ωtIti f sinmax

R)Arctg (LωrωLR

VI

222

maxmax

avec :

v(t)

R

L

i(t)

K

il s'agit d'un courant sinusoïdal déphasé

arrière par rapport à la tension v(t)


clic

v(t )

t0t0

Vmax

67© Metz Avril 02



Vmax

v(t)if(t)

t0t0

Dans le circuit qui nous intéresse, la relation entre i(t) et v(t) s'écrit

en complexe :

avec :

IZV

)/( Arctg

222

RLZArg

LRZ

jLRZ

Le courant if(t) est donc entièrement

caractérisé en amplitude et en phase :

ωtIti f sinmax

R)Arctg (LωrωLR

VI

222

maxmax

avec :

il s'agit d'un courant sinusoïdal déphasé

arrière par rapport à la tension v(t)


v(t)

R

L

i(t)

K

68© Metz Avril 02

reprenons l'expression générale du régime libre en l'appliquant à notre

exemple, on a :


Etude du régime libre il(t)

Le courant il(t) est donc entièrement

caractérisé et s'écrit pour t > t0 :

τ

t-t-

fl eti-titi0

00

• la condition initiale i(t0+) est nulle car i(t)

est une variable d'état nulle avant l'instant t0

(circuit ouvert)

• la constante de temps se calcule sans

difficulté : = L/R

τ

t-t-

l eωtIti0

0max sin v(t)

if(t)

t0t0

il s'agit d'une exponentielle nulle avant t0 et

tendant vers 0.


clic

v(t)

R

L

i(t)

K

69© Metz Avril 02


v(t)if(t)

il(t) t0t0


reprenons l'expression générale du régime libre en l'appliquant à notre

exemple, on a :

Le courant il(t) est donc entièrement

caractérisé et s'écrit pour t > t0 :

τ

t-t-

fl eti-titi0

00

• la condition initiale i(t0+) est nulle car i(t)

est une variable d'état nulle avant l'instant t0

(circuit ouvert)

• la constante de temps se calcule sans

difficulté : = L/R

τ

t-t-

l eωtIti0

0max sin

0t0

il s'agit d'une exponentielle nulle avant t0 et

tendant vers 0.

Etude du régime libre il(t)

v(t)

R

L

i(t)

K

70© Metz Avril 02

Pour obtenir le courant i(t), il suffit d'additionner les

deux composantes if(t) et il(t), obtenues précédemment.

Il vient alors pour t > t0 :


Réponse totale i(t)

0

0maxmax

0

sinsin

tt

eωtIωtIti τ

t-t-

RLωArctg ωLR

VI

/

222

maxmax

avec :

clic

v(t)

R

L

i(t)

K

<<

v(t)if(t)

il(t) t0t0

0t0

71© Metz Avril 02


v(t)if(t)

il(t)

i(t)

t0t0


v(t)

R

L

i(t)

K

Réponse totale i(t)

RLωArctg ωLR

VI

/

222

maxmax

avec :

Pour obtenir le courant i(t), il suffit d'additionner les

deux composantes if(t) et il(t), obtenues précédemment.

Il vient alors pour t > t0 :

0

0maxmax

0

sinsin

tt

eωtIωtIti τ

t-t-

72© Metz Avril 02


En résumé...

v(t)if(t)

il(t)

i(t)

t0t0

le régime permanent correspond au courant if(t), qui

est un courant sinusoïdal déphasé arrière

le régime libre correspond au courant il(t), qui est

une exponentielle commençant à l'instant t0 et

tendant vers 0...

le courant i(t) est nul avant t0 puis il est la somme de

ces 2 composantes if(t) et il(t).

L'excitation v(t) étant une tension sinusoïdale, on ferme l'interrupteur k à l'instant t0


v(t)

R

L

i(t)

K

73© Metz Avril 02

Réponse à un signal sinusoïdal (fin)

• Le régime libre est toujours nul lorsque = t0. Il n'y a alors plus de régime transitoire : cette propriété

peut être utilisée pour précisément éviter le régime transitoire à cause des surcharges qu'il entraîne.

• La forme de la réponse sera toujours la même, à savoir la somme d'un terme sinusoïdal et d'une

exponentielle. On a pu constater que la détermination de ces 2 composantes était simple.

En fait la seule réelle difficulté est de calculer sans erreur l'amplitude et le déphasage de la grandeur

considérée en fonction de l'excitation et du circuits considérés, ce qui suppose de bien savoir utiliser les

impédances complexes.

Les exercices qui suivent permettront de retravailler cet outil indispensable.

Remarques


74© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations sinusoïdales

Exercice 1

On applique au circuit de la figure ci-contre, une excitation v(t) qui est une tension sinusoïdale d'amplitude Vmax et de pulsation .On ferme l'interrupteur K à l'instant t0, alors que le courant i(t) dans l'inductance est égal à I0.On demande de déterminer l'évolution du courant i(t) dans l'inductance à partir de l'instant t0.

Exercice 2

L’excitation v(t) est une tension sinusoïdale d'amplitude Vmax et de pulsation et de période T.Les deux interrupteurs K1 et K2 fonctionnent de façon complémentaire.A l'instant t0 on ferme l'interrupteur K1 (et on ouvre K2), alors que le courant i(t) dans l'inductance est égal à I0.

Déterminer I0 pour que le courant i(t) ait la même valeur au bout d’une ½ période, c’est à dire à l’instant t0 + T/2.

v(t)

t0t0

Vmax

v(t)

R1

L

i(t)

K

R2


aide

solution

v(t)L

i(t)

K1R

K2

75© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations sinusoïdales

Exercice 3

On applique au circuit de la figure ci-contre, une excitation v(t) qui est une tension sinusoïdale d'amplitude Vmax et de pulsation .On ferme l'interrupteur K à l'instant t0, alors que le condensateur est chargé à V0.On demande de déterminer l'évolution de la tension vC(t) aux bornes du condensateur C à partir de l'instant t0.


R1

CR2

vC(t)

K

v(t)


v(t)

t0t0

Vmax

76© Metz Avril 02

Solution excitations sinusoïdales

Exercice 1

Etude du régime permanent if(t) On écrit que la tension aux bornes de l'inductance est reliée à v(t) par le diviseur de tension R1, R2 //L. Cela donne en complexe :


jLRRRR

RV

jLRjLR

R

jLRjLR

jL

VI

2121

2

2

21

2

2

21

21

22221

221

2maxmax

RR

LωRRArctg

ωLRRRR

RVI

tI(t)i f sinmaxOn obtient alors :

avec :

Etude du régime libre il(t) La constante de temps s'obtient en remplaçant v(t) par un court-circuit :

La condition initiale du régime libre il(t0+) , s'obtient par identification en t0

+ :

21

21

21 // RR

LRR

RR

L

)(ti)(ti)i(t lf 000


v(t)

R1

L

i(t)

K

R2

suite

v(t)

t0t0

Vmax

77© Metz Avril 02

Solution excitations sinusoïdales

Exercice 1 (suite)

le régime libre s'écrit donc pour t > t0 :

21

21

21

21

22221

221

2maxmax

RR

LRRτ

RR

LωRRArctg

ωLRRRR

RVI

0

0max0max

0

)sin()sin(

tt

etIItIi(t) τ

t-t-

avec :

Réponse totale i(t) il suffit d'additionner régime permanent et régime libre. On obtient alors :

On remarquera que l'expression de i(t) correspond à une formulation tout à fait générale. Les grandeurs Imax, et sont elles, propres à l'exercice étudié.

τ

t-t-

τ

t-t-

fl etIIe)(tiI(t)i00

)sin( 0max000

Le tracé s'effectue sans difficulté.


v(t)

R1

L

i(t)

K

R2

énoncé

v(t)

t0t0

Vmax

78© Metz Avril 02

Aide excitations sinusoïdales

Exercice 2

En déterminant séparément le régime permanent et le régime libre, on a pour t > t0 :

0

0max0max

0

)sin()sin(

tt

etIItIi(t) τ

t-t-

avec :

Remarque : on trouve ce type de problème dans les redresseurs contrôlés (voir exercice 2 sur les excitations périodiques).


énoncé

v(t)L

i(t)

K1R

K2

On écrit qu’au bout d’une ½ période, c’est à dire à l’instant t0 + T/2, on doit retrouver I0, comme indiqué sur la figure ci-contre. Il vient alors :

τ

T-

etIItII 20max00max0 )sin()sin(

D’où l’on déduit :

τ

T-

τ

T-

e

etII

2

2

0max0

1

1)sin(

RLωArctg ωLR

VI

/

222

maxmax

v(t)

i(t)

I0

T/2

t0

79© Metz Avril 02

Dans l'expression générale valable pour t > t0 :

le régime forcé s'écrira alors :

La constante propre et la condition initiale x(t0+) se déterminent comme précédemment.

Les constantes et se déterminent par identification formelle comme nous le montrons dans l'exemple qui suit. Elles permettent en particulier d'accéder à xf(t0

+).

Réponse à une rampe

τ

t-t-

ff e)](t)-x[x(t(t)xx(t)0

00

βαt(t)x f

Une excitation en forme de rampe n'est qu'un cas particulier d'une excitation polynomiale qui se réduit simplement à un polynôme du 1er degré.

Or, les résultats généraux sur les équations différentielles, nous indiquent que la solution particulière est elle même polynomiale et de degré égal à celui de l'excitation. On parlera alors ici de régime forcé car il n'existe pas de régime permanent.

excitation rampe régime forcé rampe


80© Metz Avril 02

Réponse à une rampe (exemple)

Considérons le circuit de la figure ci-contre...

l'excitation i(t) est une source de courant :

• constante jusqu'à t = 0 :

i(t) = i0

• en forme de rampe à partir de t = 0 :

i(t) = i0 - at

i(t)Cr vC(t)

e0

Supposant en outre que dans la 1ère partie, le régime forcé continu est atteint avant l'instant t = 0, on demande de déterminer l'évolution de vC(t), tension aux bornes du condensateur.

i(t)

0 t

i0


81© Metz Avril 02

Avant l'instant t = 0, la source de courant est constante et égale à i0 ; le régime forcé est alors lui même continu et il est en outre supposé être atteint. Pour le déterminer, on peut donc utiliser le circuit équivalent continu de la figure ci-contre.

On trouve alors simplement : vCf = ri0


00 ri)(vC

Réponse avant l'intant t = 0

vCf

i0r

e0

Condition initiale vC(0+)

vC est une variable d'état ; la valeur finale trouvée précédemment devient la condition initiale à l'instant 0+ :

i(t)

0 t

i0


82© Metz Avril 02

le régime forcé est donc aussi de la même forme soit :


r

αa

r

βαCi0

Régime forcé

βαt(t)vCf

r

β)t(-atiαC

0

Cette relation qui traduit la loi des nœuds, est évidemment vraie quelque soit t : elle permet donc d'effectuer une identification formelle qui conduit aux 2 relations :

vCf(t)i0-at

r

e0

C

Carriβ

-arα2

0

on peut en déduire et :

La constante de temps étant = r C, il vient alors : arτ-artri(t) vCf 0


Dans cette séquence, l’excitation est une rampe de la forme :

taiti 0

Pour identifier les paramètres et , on exprime iCf (t) en fonction de i(t) et de vCf (t) :

r

tati

r

tvtiititi Cf

rfCf

0

C

dt

tdvCti Cf

Cf Sachant que l’on a aussi : il vient :

iCf (t)irf (t)

83© Metz Avril 02


Régime forcé (suite)

i(t)

0 t

i0

vCf(t)i0-at

r

e0

C

Ainsi ce régime forcé est identique à la source de courant i(t) = i0 - at mais en retard de .

Par la suite nous nous intéresserons à la variable vCf(t)/r qui est homogène à un courant et donc comparable à i(t). Ce nouveau régime forcé s'écrit alors :

τ)-a(tiaτ-ati r

(t)vCf 00

arτ-artri(t) vCf 0

clic

84© Metz Avril 02


Régime forcé (suite)

Ainsi ce régime forcé est identique à la source de courant i(t) = i0 - at mais en retard de .

i(t)

vCf(t)/r

0 t

i0

Par la suite nous nous intéresserons à la variable vCf(t)/r qui est homogène à un courant et donc comparable à i(t). Ce nouveau régime forcé s'écrit alors :

vCf(t)i0-at

r

e0

C


arτ-artri(t) vCf 0

τ)-a(tiaτ-ati r

(t)vCf 00

85© Metz Avril 02


Régime libre

Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en remplaçant la source de courant par un circuit ouvert et la source de tension par un court-circuit), conduit à un simple circuit r, C dont la constante de temps est évidemment = r C

En appliquant la forme générale du régime libre à la variable vCl(t)/r, on a :

Sachant que l'on a :

τ

t-

Cl eaτ r

)(v

0

Le régime libre vCl(t)/r est donc une exponentielle tendant vers 0, de constante de temps = r C, et d'amplitude -a

i(t)

vCf(t)/r

0 t

i0

Cr

clic

τ

t-CfCCl e

r

)(v-

r

)(v

r

)(v

000

air

)(v

ri)(v

Cf

C

0

0

0

0

Il vient :

86© Metz Avril 02


Régime libre

Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en remplaçant la source de courant par un circuit ouvert et la source de tension par un court-circuit), conduit à un simple circuit r, C dont la constante de temps est évidemment = r C

τ

t-CfCCl e

r

)(v-

r

)(v

r

)(v

000

En appliquant la forme générale du régime libre à la variable vCl(t)/r, on a :

Cr

i(t)

vCf(t)/r

vCl(t)/r

0 t

i0

-a


Sachant que l'on a :

τ

t-

Cl eaτ r

)(v

0

Le régime libre vCl(t)/r est donc une exponentielle tendant vers 0, de constante de temps = r C, et d'amplitude -a

air

)(v

ri)(v

Cf

C

0

0

0

0

Il vient :

87© Metz Avril 02


Réponse totale vC(t)/r

La réponse totale vC(t)/r s'obtient simplement en additionnant les 2 composantes vCf(t)/r et vCl(t)/r

i(t)Cr vC(t)

e0τ

t-

Cl eaτ r

)(v

0aτ-ati r

(t)vCf 0

τ

t-

C eaτaτ-ati r

(t)v 0

On obtient alors:

)e(aτi(t) r

(t)v τ

t-

C 1

que l'on peut écrire aussi:

i(t)

vCf(t)/r

vCl(t)/r

0 t

i0

-a

clic

<<

88© Metz Avril 02


Réponse totale vC(t)/r

On obtient alors:

que l'on peut écrire aussi:

i(t)

vCf(t)/r

vCl(t)/r

0 t

i0

vC(t)/r

-a


τ

t-

Cl eaτ r

)(v

0aτ-ati r

(t)vCf 0

τ

t-

C eaτaτ-ati r

(t)v 0

)e(aτi(t) r

(t)v τ

t-

C 1

i(t)Cr vC(t)

e0

La réponse totale vC(t)/r s'obtient simplement en additionnant les 2 composantes vCf(t)/r et vCl(t)/r

89© Metz Avril 02


i(t)

vCf(t)/r

vCl(t)/r

0 t

i0

vC(t)/r

L'excitation i(t) étant une rampe à partir de t = 0

le régime forcé vCf(t)/r est une rampe identique à

l'excitation et en retard de

le régime libre vCl(t)/r est une exponentielle tendant vers 0, de constante de temps = rC, et d'amplitude

-a

le courant vC(t)/r est égal à i0 avant l'instant t = 0 ; il est

ensuite égal à la somme de ces 2 composantes vCf(t)/r et vCl(t).

En résumé...

-a


i(t)Cr vC(t)

e0

90© Metz Avril 02

Réponse à une rampe (fin)

Remarques

1) La tension e0 n'apparaît dans aucune des différentes expressions trouvées.

Cela est normal car, se trouvant placée en série avec une source de courant, elle n'a

pas d'incidence sur l'ensemble des variables du circuit, à l'exception cependant de

la tension aux bornes de la source de courant. Elle sera bien évidemment l'objet

d'une dissipation d'énergie qui sera fournie par la source de courant.

2) Le circuit r, C, e0, constitue un modèle de diode :

3) Tangentes en 0+

Le problème consiste à déterminer s'il y a ou non continuité de la pente

de vC de part et d'autre du point 0.

•On peut bien évidemment calculer la dérivée à gauche et à droite.

•On peut aussi essayer de déterminer directement les valeurs de la

variable secondaire iC à droite et à gauche (à la constante C près, iC

représente la dérivée de vC).

•On peut enfin regarder si la variable iC n'est pas, en raison d'une

topologie particulière, une combinaison linéaire de grandeurs non

discontinues, (auquel cas, on pourrait affirmer qu'il y a continuité de la

variable principale vC).


i(t)0 t

vC(t)/r

Or, c'est bien le cas ici, puisque l'on a iC = i(t) + vC /R, alors que i(t) est une grandeur non discontinue et que vC est une variable liée à l'énergie : il y a donc bien continuité de la pente de vC.

i(t)Cr vC(t)

e0

91© Metz Avril 02

Réponse à une rampe (fin)

Modèle de diode

Le circuit r, C, e0, constitue un modèle de diode :

* e0 et R correspondent à une caractéristique statique idéalisée de la diode (2 segments de

droite)

* la capacité C correspond au fonctionnement dynamique. Elle est faible lorque la diode est

bloquée (capacité de transition Ct : qqs nF) et forte lorsqu'elle est passante (capacité de

diffusion Cd : qqs F). La constante de temps r.Cd correspond à la mobilité des porteurs.

Ce modèle est certes très simple mais il est aussi très intéressant car

il permet de bien mettre en évidence le phénomène de recouvrement

dû aux charges stockées dans la jonction pendant la conduction, qui

correspondent précisément à la charge de cette capacité Cd. La diode

ne retrouve son pouvoir de blocage que lorsque ces charges ont été

recouvrées, c'est à dire, lorsque la capacité Cd s'est déchargée. i(t)vC =0

irr

Ainsi la diode ne se bloque pas pour i = 0 mais pour vC = 0...

cela se produit toujours pour un courant i < 0, que l'on appelle

courant inverse de recouvrement irr.


i(t)Cr vC(t)

e0

92© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations en rampe

Exercice 1

On considère le circuit RC de la figure ci-contre soumis à une excitation v(t) reliant 2 valeurs constantes (0 et E) par une rampe de pente a.Déterminer l’expression de vC(t) sachant que la tension du condensateur est nulle à l’instant 0. Préciser les différents régimes forcés ou permanents rencontrés.Tracer les formes d’onde.

Exercice 2

On considère le circuit R1R2C de la figure ci-contre soumis à l’excitation v(t) reliant 2 valeurs constantes (E et 0) par une rampe de pente -a.Déterminer l’expression de vC(t) en supposant que le régime permanent continu est atteint avant l’instant 0. Préciser les différents régimes forcés ou permanents rencontrés.Tracer les formes d’onde.


v(t)

E

0 t

R

CvC(t)v(t)

t0

>>

aide

solution

vC(t)R1

CR2v(t)

v(t)E

0 tt0

93© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations en rampe

Exercice 3

On considère le circuit R1R2L de la figure ci-contre soumis à l’excitation v(t) reliant 2 valeurs constantes (E et v0) par une rampe de pente -a.Déterminer l’expression de i(t) en supposant que le régime permanent continu est atteint avant l’instant 0. Préciser les différents régimes forcés ou permanents rencontrés.Tracer les formes d’onde.

Conseil : pour déterminer le régime forcé, il faut exprimer vLf (t) en fonction de v(t) et de if (t). On remarquera que vLf (t) = R2 iR2



E

0 tt0

v0

R1

R2v(t)L

i(t)

v(t)

vL(t)

94© Metz Avril 02

Solutions excitations en rampe

Exercice 1

Réponse pour 0 < t < t0

De l’instant 0 à l’instant t0, le circuit RC est soumis à une rampe. Il suffit de chercher le régime forcé vCf (t) et le régime libre vCl(t) comme cela a été montré précédemment.


Régime forcé vCf (t)

L’excitation s’exprimant sous la forme v(t) = at, on identifie les paramètres de la relation :

en exprimant iCf (t) en fonction de v(t) et de vCf (t) :

βαt(t)vCf

R

tta

R

tvtvti Cf

Cf

On obtient alors la relation : αRCβtαta

et enfin : τtaaτat tvCf

Il s’agit donc de la même rampe que vCf (t) mais en retard de (droite de couleur marron sur la figure).

v(t)

E

0 tt0

vCf (t)

suite

<<

R

CvC(t)v(t)

C

dt

tdvCti Cf

Cf Sachant que l’on a aussi :

qui conduit par identification au système :

RC

αβ

tαta

avec

0

aαβ

aαD’où :

95© Metz Avril 02


Exercice 1


Régime libre vCl (t)

À partir de l’instant 0, le régime libre s’écrit :

t

ClCl evtv 0

v(t)E

0 tt0

On obtient alors :

C’est l’exponentielle vCl (t) tracée en orange sur la figure

Cette tension vC(t) apparaît en vert sur la figure

vCf (t)

vCl (t)

000 CfCCl vvvavec :

et :

t

Cl eatv

Réponse totale vC(t) (jusqu’à t = t0)

Il suffit de faire la somme des deux expressions précédentes :

00 tt

eaτta tvt

C

vC(t)a

Remarque : il est visible sur la figure que pour t = t0, la

courbe vC(t) n’a pas rattrapé son régime forcé vCf(t), car le

régime libre vCl(t) ne s’est pas encore annulé.

Pour que cela puisse arriver, il faut avoir : t0 > 3

Sur la page suivante un tel exemple sera montré.

suite

<<

R

CvC(t)v(t)

av

v

Cf

C

0

00

96© Metz Avril 02


Exercice 1


Réponse pour t > t0

À partir de l’instant t0, l’excitation est continue.

Le régime permanent est lui-même continu et facile à trouver (condensateur remplacé par un circuit ouvert) :

EvCf

v(t)E

0 tt0

On obtient alors :

vCf(t)

vCl(t)

La prolongation de vC(t) (après t0) apparaît sur les figures ci-contre.

Sur la 1ère figure on a conservé la même constante de temps que précédemment alors que sur la deuxième cette constante de temps a été diminuée pour que vC(t) atteigne son régime forcé avant t0.

Remarque :

Ainsi, iC étant la différence de grandeurs non discontinues, il est lui-même non discontinu. La pente de vC(t) ne présente donc aucune discontinuité.

0

000

t

CC eaτtatv tv

vC(t)a

La condition initiale pour t = t0 sera déterminée par la continuité de la variable vC(t) :

vC(t)E

0 ta

t0

énoncé

0

0

0

tt

eEtvE tvtt

CC

RvEi CC /

<<

R

CvC(t)v(t)

97© Metz Avril 02

Aide excitations en rampe

Exercice 2


Réponse pour t < 0

En supposant le régime permanent continu atteint on a :

ERR

RvCf

21

2

t

Cl

Cf

eaRR

Rtv

τtaERR

R tv

21

2

21

2

0

0

0

tt

etv tvtt

CC

énoncé

v(t)E

0 tt0

vCf(t)

vCl(t)

vC(t)On a : C

RR

RRatEtv

21

21

0

021

200

t

CC eaτtaERR

Rtv tv

Cette valeur devient la condition initiale à l’instant 0+ :

vC(t)R1

CR2v(t)

Réponse pour 0 < t < t0

Réponse pour t > t0

ERR

R

21

2

0

21

2

0 tt

eaτtaERR

R tv

t

C

On obtient :

soit :

Pour identifier les paramètres et , il faut alors exprimer iCf (t) en fonction de v (t) et de vCf (t)

98© Metz Avril 02

Réponse à une excitation périodique

Avec une excitation périodique (non sinusoïdale) comme celle indiquée sur la figure ci-contre, appliquée à un circuit linéaire, on se trouve dans le cadre des systèmes multi-linéaires (ou linéaires par morceaux).

La méthode d'étude de tels systèmes reste simple et consiste à appliquer les résultats généraux des systèmes linéaires dans chacune des séquences.

Comme précédemment, une grandeur déterminée sera la somme de son régime permanent et de son régime libre.

Régimes permanents : pour de telles excitations qui sont par nature riches en harmoniques, les régimes permanents ne leur sont en général pas semblables, comme c'était le cas pour les excitations élémentaires vues précédemment. Nous verrons plus loin que ces régimes permanents sont en fait constitués de morceaux de régimes transitoires qui se répètent périodiquement.

Régime libres : les régimes libres étant par nature indépendants des excitations, leur détermination s'effectuera rigoureusement comme précédemment.

Variables liées à l'énergie : dans le cadre des systèmes multi-linéaires, on étudie toujours en priorité les variables liées à l'énergie. En effet, ne pouvant subir de discontinuité, leur condition initiale dans une séquence est identique à la valeur finale de la séquence précédente.

0 t

v(t)


99© Metz Avril 02

Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)

Connexion d'un circuit RL à une source de tension rectangulaire


L'excitation v(t) est une tension rectangulaire périodique d'amplitude E

On demande de déterminer l'évolution du courant i(t) dans l'inductance.

Pour cela comme précédemment, nous déterminerons successivement le régime permanent et le régime libre.

v(t)

R

L

i(t)

k

On ferme l'interrupteur k à l'instant t0

0 t

v(t)E

t0


100© Metz Avril 02


Dans chaque séquence, l'excitation est continue : le courant est donc exponentiel. Lorsque le courant i(t) a atteint son régime forcé périodique if(t), il prend alors la forme d'une suite périodique de morceaux d'exponentielles.

R

tv

R

tvtvti

R

tvtvti L

fL

f

)()()()(

)()()(


v(t)

0 t

E

T

T

Pour caractériser complètement ce régime permanent if(t), nous en déterminerons la valeur moyenne, les valeurs extrémales, l'ondulation et écrirons les expressions analytiques dans chacune des séquences.

Valeur moyenne : pour effectuer des calculs de valeur moyenne, il est particulièrement commode d'utiliser les propriétés générales des valeurs moyennes rappelées ci-dessous :

La valeur moyenne de la tension (du courant) aux bornes d'une inductance (dans un condensateur) est nulle (nul) en régime périodique : <vL> = 0 <iC> = 0

Ainsi, il suffit d'écrire l'expression de if (t), d'en prendre la valeur moyenne et d'écrire que <vL> = 0 :

R

Eti f

)(

if(t)


v(t)

R

L

if (t)

101© Metz Avril 02


Valeurs extrémales : ces valeurs sont indiquées sur la figure par Imax et Imin

v(t)

0 t

E

T

T

t1 t2 t3

Pour calculer ces deux valeurs extrémales, nous exprimons Imax en fonction de Imin dans l'intervalle de temps [t1, t2], et Imin en fonction de Imax dans l'intervalle de temps [t2, t3] ; puis nous éliminons Imin entre les deux relations ainsi obtenues.

Ces calculs sont présentés sur les pages suivantes

Imax

Imin

On notera que la périodicité de if(t) apparaît par le fait que if(t1) = if(t2) = Imin

v(t)

R

L

if(t)



102© Metz Avril 02


1

min)(tt

f eR

EI

R

Eti


Intervalle [t1, t2]

dans cet intervalle, l'excitation est constante et égale à E : le régime permanent de if(t) est alors obtenu en remplaçant l'inductance par un court-circuit, ce qui donne E/R (on notera qu'il s'agit là d'une valeur qui ne sera en général pas atteinte). Par ailleurs la constante de temps est = L/R (on remplace v(t) par un court-circuit).

Ainsi, dans cet intervalle [t1, t2], if(t) s'identifie à la fonction définie par :

condition initiale (pour t = t1) : Imin

régime permanent : E/R

constante de temps : = L/R

On trouve alors pour t1 < t < t2 :

Il suffit maintenant d'écrire dans cette expression que Imax est égal if(t2), en tenant compte du fait que l'intervalle de temps t2 - t1 est égal à T ; il vient alors :

T

eR

EI

R

EI

minmax


v(t)

R

L

if(t)

v(t)

0 t

E

T

T

t1 t2 t3

Imax

Imin

103© Metz Avril 02


2

max)(tt

f eIti


Intervalle [t2, t3]

dans cet intervalle, l'excitation étant nulle, le régime permanent de if(t) l'est aussi. La constante de temps n'a évidemment pas changé.

Ainsi, dans cet intervalle [t2, t3], if(t), s'identifie à la fonction définie par :

condition initiale (pour t = t1) : Imax

régime permanent : 0

constante de temps : = L/R

On trouve alors pour t2 < t < t3 :

Il suffit maintenant d'écrire dans cette expression que Imax est égal if(t2), en tenant compte du fait que l'intervalle de temps t3 - t2 est égal à (1 - T ; il vient alors :

T

eII)1(

maxmin


v(t)

R

L

if(t)

v(t)

0 t

E

T

T

t1 t2 t3

Imax

Imin

104© Metz Avril 02



Reprenant les deux expressions trouvées précédemment :

Appelant i l'ondulation de if(t), il vient alors :

T

eII)1(

maxmin

T

eR

EI

R

EI

minmax

on peut en déduire les expressions de Imax et Imin :

T

T

e

e

R

EI

1

1max

T

T

T

e

e

e

R

EI

)1(

min

1

1

T

TT

e

ee

R

EIIi

1

11)1(

minmax

Si T/ << 1, on peut approximer l'exponentielle au 1er ordre. On obtient alors (avec f =1/T) :

)1()1(

Lf

ET

R

Ei


v(t)

R

L

if(t)

v(t)

0 t

E

T

T

t1 t2 t3

Imax

Imin

105© Metz Avril 02

Régime libre


0

v(t)E

t0

t

if(t)

Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en remplaçant la source de tension par un court-circuit), conduit à un simple circuit R, L dont la constante de temps est évidemment = L/R

En appliquant la forme générale du régime libre à la variable il(t), on a :

En écrivant cette relation pour t0+ et sachant que l'on a

i(t0+) = 0 (circuit non connecté avant t0), il vient :

τ

t-t-

fl et-i(t) i0

0

Le régime libre il(t), est donc une exponentielle commençant à l'instant t0, d'amplitude -if(t0), de constante de temps = L/R et tendant vers 0.

τ

t-t-

fl e(t)i(t)-i(t)i0

clic

v(t)

R

L

i(t)

k

<<

106© Metz Avril 02

Régime libre


v(t)E

if(t)

il(t)

-if(t0)


v(t)

R

L

i(t)

kLe circuit équivalent du régime libre (obtenu en remplaçant la source de tension par un court-circuit), conduit à un simple circuit R, L dont la constante de temps est évidemment = L/R

En appliquant la forme générale du régime libre à la variable il(t), on a :

En écrivant cette relation pour t0+ et sachant que l'on a

i(t0+) = 0 (circuit non connecté avant t0), il vient :

τ

t-t-

fl et-i(t) i0

0

Le régime libre il(t), est donc une exponentielle commençant à l'instant t0, d'amplitude -if(t0), de constante de temps = L/R et tendant vers 0.

τ

t-t-

fl e(t)i(t)-i(t)i0

0t0

t

107© Metz Avril 02

En résumé...

le régime permanent if(t) est un courant périodique

composé de morceaux d'exponentielles de constante

de temps = L/R

le régime libre il(t) est une exponentielle

commençant à l'instant t0, d'amplitude -if(t0), de

même constante de temps = L/R et tendant vers 0

le courant i(t) est nul avant t0 puis il est la somme de

ces 2 composantes if(t) et il(t).

L'excitation v(t) étant une tension rectangulaire périodique, on ferme l'interrupteur k à l'instant t0


0

v(t)E

t0

t

if(t)

il(t)

i(t)

-if(t0)


v(t)

R

L

i(t)

k

108© Metz Avril 02

Signaux périodiques et symétries

Les exemples qui viennent d'être traités montrent bien que la détermination du régime permanent reste la partie la plus délicate à traiter.

Des outils permettant de simplifier ce type d'études sont donc a priori intéressants.

En particulier certaines symétries présentes dans les excitations périodiques peuvent se révéler particulièrement utiles.

Nous examinerons successivement les symétries classiques axiale et centrale puis la symétrie glissante.

v(t)

R

L

if(t)

v(t)

0 t

E

if(t)

Symétries axiales et centrales

Bien connues, ces symétries sont en fait peu intéressantes pour ce type d'étude, car elles ne se conservent pas en général au niveau des réponses.

Reprenant en effet l'exemple précédent (figure ci-contre), il est manifeste que la symétrie axiale matérialisée par les tirets verticaux n'est plus présente pour if(t).


109© Metz Avril 02

Symétrie glissante

Définie par x(t+T/2) = - x(t), elle se manifeste graphiquement par deux demi-périodes successives inverses l'une de l'autre.


T/2 T/2

x(t)t

tracer une autre 1/2 période identique...

et inverser cette 2ème 1/2 période.

Ainsi, pour obtenir un signal x(t) ayant une symétrie glissante, il faut le tracer sur une demi-période...

clic

<<

110© Metz Avril 02


T/2 T/2

x(t)t

L'intérêt de cette symétrie glissante est qu'elle se conserve au niveau des réponses.

Cette propriété est illustrée sur la page suivante.

Sa démonstration en est aisée.


Symétrie glissante

Définie par x(t+T/2) = - x(t), elle se manifeste graphiquement par deux demi-périodes successives inverses l'une de l'autre.

tracer une autre 1/2 période identique...

et inverser cette 2ème 1/2 période.

Ainsi, pour obtenir un signal x(t) ayant une symétrie glissante, il faut le tracer sur une demi-période...

111© Metz Avril 02

v(t)

0t

Eif(t)

-ET/2 T/2

Si l'on s'intéresse à la réponse en régime permanent if(t), on peut donc affirmer que ce courant possède lui aussi cette symétrie. C'est ce qui apparaît sur le diagramme ci-contre

On peut ainsi réduire l'intervalle d'étude à la demi-période T/2.

Cet exemple est traité complètement en exercice.


Symétrie glissante (exemple)

v(t)

R

L

if(t)


On considère le circuit ci-contre auquel on applique une tension v(t), comme celle indiquée sur le diagramme.

Il est facile de voir que la tension v(t) possède la propriété de symétrie glissante (les durées des impulsions d'amplitude E et -E sont égales).

112© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations périodiques

Exercice 1

On considère le circuit RL excité par une source de tension v(t) périodique, comme celle indiquée sur le diagramme ci-contre.

Etude du régime permanent1 – Préciser quelles sont les symétries présentes sur la tension v(t). Que peut-on en déduire pour if(t) en régime permanent ? Préciser quelle est sa valeur moyenne. 2 – Tracer if(t) en prenant la constante de temps de l’ordre de la ½ période T/23 – Calculer les différentes valeurs extrémales du courant if(t).

E

-E

v(t)

T/2

T/2 t0/2

/2

R

i(t)

v(t)

Exercice 2

On considère le circuit RL excité par une source de tension v(t) périodique correspondant au redressement contrôlé d’une tension sinusoïdale vA(t).

1 – Etude du régime permanentDonner l’expression analytique de if(t) et tracer sa forme d’onde (on pourra utiliser les résultats de l’exercice 2 sur les excitations sinusoïdales).

2 – Etude du régime transitoireOn suppose que v(t) est connectée au circuit RL à l’instant t = t 0 alors que i(t) = 0.2a – Déterminer l’expression analytique du régime libre il(t) et tracer sa forme d’onde. 2b – Tracer i(t).


R

i(t)

v(t)

vA(t)

v (t)

t0

aide

solution

>>

113© Metz Avril 02

Exercices sur les excitations périodiques

Exercice 3

On considère le circuit R1R2L excité par une source de tension v(t) périodique rectangulaire.Déterminer la constante de temps du système.

1 – Etude du régime permanent1a – Préciser quelles sont les symétries présentes sur la tension v(t). Que peut-on en déduire pour i(t) en régime permanent ? Préciser quelle est sa valeur moyenne. 1b – Tracer i(t) en prenant la constante de temps de l’ordre de la ½ période (T/2)1c – Calculer la valeur maximale du courant i(t) et son ondulation i.

2 – Etude du régime transitoireOn suppose que v(t) est connectée au circuit R1R2L à l’instant t = 0 alors que i(t) = 0.2a – Déterminer la condition initiale du régime libre de i(t) soit il(0+ ), puis l’expression de il(t).2b – Tracer i(t) et calculer sa valeur maximale.

E

-E

v(t)

T/2 T/2t0



R1

R2v(t)L

i(t)

114© Metz Avril 02

Solutions excitations périodiques

Exercice 1

1 - On a toutes les symétries (axiale, centrale et glissante) mais on ne s'intéresse qu'à la symétrie glissante qui se conserve pour if(t). En particulier, sa valeur moyenne est nulle.

2 - Dans chaque séquence, l'excitation est continue. Le courant if(t) est donc composé de morceaux d'exponentielle qui se répètent périodiquement comme indiqué sur le diagramme. Les régimes permanents rencontrés sont égaux à E/R, 0, -E/R, 0…et ainsi de suite. Pendant une séquence de durée T/2, l'exponentielle tend vers E/R ou -E/R, alors qu'elle tend vers 0 dans les autres séquences.

v(t)

0

EImax

-ET/2

/2

if(t) Imin

-Imax

-Imin

3 - Appelant Imax et I min les 2 valeurs extrémales positives de if(t), on en déduit qu'en raison de la symétrie glissante les 2 valeurs extrémales négatives sont respectivement -Imax et -I min.Il suffit maintenant d'écrire :

que l'on passe de Imax à I min dans une séquence de durée (1-T/2 et de régime permanent 0que l'on passe de Imin et -I max dans une séquence de durée T/2 et de régime permanent -E/R

2minmax

2

)1(

maxmin

T

T

eR

EI

R

EI

eII

2

)1(

maxmin

2

2

max

1

1T

T

T

eIIet

e

e

R

EI

ce qui donne :


énoncé

115© Metz Avril 02

Aide excitations périodiques

Exercice 2

Le régime permanent if(t) est composé de morceaux de courbes (somme de sinus et d’exponentielle) qui se répètent avec la période T/2. En début de chaque période on retrouve le même courant I0.Les expressions trouvées dans l’exercice 2 sur les excitations sinusoïdales déterminent le régime permanent correspondant à la 1ère période. Une simple translation temporelle permet alors d’obtenir entièrement ce régime permanent.


R

i(t)

v(t)

v (t)

t0

if(t)

il(t)

i(t)

I0

-I0T/2

2/1

1)sin(

)sin()sin(

00

2

2

0max0

0max0max

0

Tttte

etII

etIItI(t)i

τ

T-

τ

T-

τ

t-t-

f

RLωArctg ωLR

VI

R

L

/

222

maxmax

Le régime libre il(t) s’écrit simplement :

0

0

0

tt

eI(t)i τ

t-t-

l

Pour obtenir i(t), il suffit alors d’ajouter ces deux composantes (courbe en vert sur la figure).

énoncé

116© Metz Avril 02

Liens symétries

Symétrie glissanteLa symétrie glissante d'un signal est définie par la relation x(t+T/2) = - x(t). Elle se manifeste graphiquement par deux demi-périodes successives inverses l'une de l'autre.L'intérêt de cette symétrie glissante est qu'elle se conserve au niveau des réponses. La démonstration de cette importante propriété est présentée ci-dessous en 2 parties.

1) un signal à symétrie glissante ne possède que des harmoniques de rang impair et sa valeur moyenne est nulle. Le signal x(t) est supposé périodique et se décompose donc en série de Fourrier :

x(t) = A0 + [An cos nt + Bn sin nt]On forme alors x(t+T/2) et on l'identifie formellement à - x(t) :

x(t+T/2) = A0 + [An cos (nt + n) + Bn sin (nt + n)] = - A0 - [An cos nt + Bn sin nt]On obtient alors les égalités suivantes :

A0 = - A0

An cos (nt + n) = - An cos nt Bn sin (nt + n) = - Bn sin nt

si n est pair, on a alors : An cos nt = - An cos nt Bn sin nt = - Bn sin nt

et donc : A0 = 0An = Bn = 0 (pour n pair)

Il est facile de montrer que la réciproque est vraie.

2) La symétrie glissante se conserve au niveau des réponses.On applique un signal x(t) à symétrie glissante de pulsation à un circuit linéaire et on s'intéresse à une variable quelconque y(t) de ce circuit.Chaque harmonique de x(t) constitue une excitation élémentaire dont la pulsation est un multiple impair de , à laquelle correspond une réponse élémentaire de y(t) de même pulsation (circuit linéaire).Le théorème de superposition nous permet alors d'affirmer que y(t) est la somme de ces réponses élémentaires, c'est à dire qu'elle n'est composée que d'harmoniques de rang impair : elle possède donc elle aussi, la propriété de symétrie glissante.

Symétrie glissanteLa symétrie glissante d'un signal est définie par la relation x(t+T/2) = - x(t). Elle se manifeste graphiquement par deux demi-périodes successives inverses l'une de l'autre.L'intérêt de cette symétrie glissante est qu'elle se conserve au niveau des réponses. La démonstration de cette importante propriété est présentée ci-dessous en 2 parties.

1) un signal à symétrie glissante ne possède que des harmoniques de rang impair et sa valeur moyenne est nulle. Le signal x(t) est supposé périodique et se décompose donc en série de Fourrier :

x(t) = A0 + [An cos nt + Bn sin nt]On forme alors x(t+T/2) et on l'identifie formellement à - x(t) :

x(t+T/2) = A0 + [An cos (nt + n) + Bn sin (nt + n)] = - A0 - [An cos nt + Bn sin nt]On obtient alors les égalités suivantes :

A0 = - A0

An cos (nt + n) = - An cos nt Bn sin (nt + n) = - Bn sin nt

si n est pair, on a alors : An cos nt = - An cos nt Bn sin nt = - Bn sin nt

et donc : A0 = 0An = Bn = 0 (pour n pair)

Il est facile de montrer que la réciproque est vraie.

2) La symétrie glissante se conserve au niveau des réponses.On applique un signal x(t) à symétrie glissante de pulsation à un circuit linéaire et on s'intéresse à une variable quelconque y(t) de ce circuit.Chaque harmonique de x(t) constitue une excitation élémentaire dont la pulsation est un multiple impair de , à laquelle correspond une réponse élémentaire de y(t) de même pulsation (circuit linéaire).Le théorème de superposition nous permet alors d'affirmer que y(t) est la somme de ces réponses élémentaires, c'est à dire qu'elle n'est composée que d'harmoniques de rang impair : elle possède donc elle aussi, la propriété de symétrie glissante.

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117© Metz Avril 02

Glossaire

circuits linéaires à constantes localisées

variables d'état

ordre de complexité du système

régime permanent

régime forcé

variable liée à l'énergie

mailles capacitives

coupures inductives

circuit passif

constantes propres

constantes indéterminées

symétrie glissante

plan général

réponses temporelles des circuits électriques

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