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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD RÉPONSE FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES FONDAMENTAUX 1 7 15 18 – Modéliser les chaîne de stabilisation du navire ; – Vérifier la stabilité en roulis du navire . Afin de stabiliser la plate forme du Porte-Avions Nucléaire (PAN) Charles de Gaulle (figure 1), la Direction des Constructions Navales (DCN) de la Délégation Générale pour l’Armement (DGA) a développé le SATRAP : (Système Automatique de TRAnquillisation et de Pilotage). Ce système permet de réduire les mouvements non désirés du navire : le roulis, le lacet et l’embardée. Ainsi, le PAN, malgré ses dimensions modérées (40 000 tonnes), dispose d’une capacité de mise en œuvre de l’aviation embarquée sur mer forte équivalente à celle de porte-avions jaugeant 90000 tonnes. Cette mise en œuvre nécessite de maintenir le roulis à moins de 2 en route rectiligne ou en giration et la gîte à moins de 1,5 en route rectiligne. La figure 2 présente la position des principaux éléments constitutifs. FIGURE 1 – Porte avion Charles De Gaulle Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 1 sur 24

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

RÉPONSE FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

FONDAMENTAUX

Table des matières

1 Système Automatique de TRAnquillisation et de Pilotage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Asservissement du freinage d'un A318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Robot pour la chirurgie endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

4 Fusée Ariane 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1 Système Automatique de TRAnquillisation et de Pilotage

Objectif

– Modéliser les chaîne de stabilisation du navire ;

– Vérifier la stabilité en roulis du navire .

Présentation

Afin de stabiliser la plate forme du Porte-Avions

Nucléaire (PAN) Charles de Gaulle (figure 1), la Direction

des Constructions Navales (DCN) de la Délégation

Générale pour l’Armement (DGA) a développé le

SATRAP : (Système Automatique de TRAnquillisation et

de Pilotage).

Ce système permet de réduire les mouvements non

désirés du navire : le roulis, le lacet et l’embardée.

Ainsi, le PAN, malgré ses dimensions modérées (40

000 tonnes), dispose d’une capacité de mise en œuvre

de l’aviation embarquée sur mer forte équivalente à

celle de porte-avions jaugeant 90000 tonnes.

Cette mise en œuvre nécessite de maintenir le roulis

à moins de 2◦ en route rectiligne ou en giration et la gîte

à moins de 1,5◦ en route rectiligne.

La figure 2 présente la position des principaux

éléments constitutifs. FIGURE 1 – Porte avion Charles De Gaulle

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 1 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

FIGURE 2 – Principaux éléments de stabilisation

La chaîne d’énergie du SATRAP est composée entre autres éléments :

• des 12 trains de masses mobiles du système COmpensation de GITE (COGITE) ;

• de 4 ailerons stabilisateurs ;

• de l’appareil à gouverner (safrans).

La chaîne d’information du SATRAP comporte notamment le SCC (Système de Commande et de Calcul) qui est

réparti dans différents locaux. Le SCC reçoit les informations des différents capteurs et pilote la chaîne d’énergie.

Etude du système de commande et de calcul

Structure de commande de Roulis

Afin de vérifier si le système de commande répond au cahier des charges,nous allons modéliser le système

avec « un point de vue automatique ». La modélisation du système se fait sous forme de schéma bloc. Ainsi le

comportement des différents composants est modélisé par des blocs.

La structure de commande du SATRAP (limitée au roulis) est donnée par la figure 3.

FIGURE 3 – Schéma bloc de la commande de roulis

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 2 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

BF (p ) : filtre« basses fréquences » BF (p ) =1

1+200p +100p 2

HF (p ) : filtre « hautes fréquences » HF (p ) à identifier

CT (p ) : correcteur « trains CT (p ) = K1+p

pCA(p ) : correcteur « ailerons CA(p ) = 0, 3p

KT : coefficient d’efficacité des trains KT = 5 ·10−4

KA : coefficient d’efficacité des ailerons KA = 20

H0(p ) : fonction de transfert du bateau (axe roulis) H0(p ) =1

1+0, 8p +4p 2

XT (p ) : position des trains La chaîne D1 représente la commande des trains.

φA(p ) : angle de braquage des ailerons La chaîne D2 représente la commande des ailerons.

M (p ) : moment résultant de l’action des 2 chaînes D est le chaîne complète.

φ(p ) : angle de perturbation

Fonction de transfert équivalente

Q1. Déterminez littéralement la fonction de transfert du bloc D (p ) représentant le contenu du rectangle en traits

mixtes fins en fonction de BF (p ), CT (p ), KT , KA , HF (p ), CA(p ) : D (p ) =M (p )ε(p )

.

Q2. Déterminez littéralement la loi d’entrée-sortie :φ(p ) = f�

φc (p ) +φp (p )

sans développer D (p ) ni H0(p ).

Dans la suite du problème, la perturbationφp (p ) sera négligée.

Etude des �ltre

Identification temporelle de HF (p )

Q3. Identifier numériquement un modèle

de comportement du filtre « Hautes

fréquences HF » à partir de la réponse

indicielle figure 4.

Q4. Tracez sur le document réponse

DR1 les diagrammes asymptotiques

d’amplitude (gain) de Bode des deux

filtres : BF (p ) et HF (p ). Préciser l’allure des

courbes réelles

Remarque : Utiliser de préférence deux

couleurs, une pour chaque filtre.

Q5. Précisez sur le tracé de la question 4 les

bandes passantes à –6dB des deux filtres.FIGURE 4 – Réponse indicielle de HF (p )

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 3 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Etude de la commande des trains

Dans cette étude, l’action des ailerons est considérée comme nulle et le système se réduit à :

Q6. Déterminez numériquement (en fonction deK ) la FTBO et la FTBF.

Etude de la commande d'aileron

Dans cette étude l’action des trains est considérée comme nulle et le système se réduit à :

Q7. Tracer sur le document réponse DR2 le diagramme asymptotique de Bode (gain et phase) de la FTBO :

D2(p )H0(p ) . Puis donner l’allure des courbes réelles.

Remarque : Justifier succinctement le tracé.

La FTBF de la chaîne « ailerons » se décompose en :

F T B F (p ) =−p

p +18+

p

p +15−

p (1, 47+0, 1p )(p +0, 7)2+14

Dans le cadre des essais permettant de déterminer si le bâtiment est apte au service actif, il est prévu des tests

de redressement du navire pour la chaîne « ailerons ».

Devant la complexité évidente d’entrer une perturbation physique sous la forme d’un angle de gîte à l’ensemble

du navire, il a été décidé d’agir par logiciel en entrant une consigneφ0 correspondant à un échelon de position.

Q8. Calculer la réponse à cet échelon.

Q9. Calculer la valeur finale. Conclure vis à vis du cahier des charges.

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 4 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Document réponse

DR 1 – Courbe de gain des filtre HF et BF

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 5 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

DR 2 – Diagramme de Bode de D2(p )H0(p )

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

2 Asservissement du freinage d'un A318

Objectif – Identifier le comportement de certains composants de façon à établir le modèle de l’asservissement

du frein ;

– Analyser les performances de l’asservissement du frein dans le but de valider le cahier des charge.

Le transport aérien sur avion de ligne est un des moyens de transport les plus sûrs. Pourtant, les conséquences

d’une erreur humaine ou d’une défaillance matérielle peuvent être catastrophiques.

La sécurité est assurée par des technologies de pointe, et l’assistance du freinage à l’atterrissage est l’une des

composantes sensibles de ces technologies.

DR 1 – A318 à l’atterrissage

DR 2 – Train d’atterrissage de l’A318

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Extrait du cahier des charges

Critère Niveau Valeur

Précision Erreur statique Nulle suite à un échelon de consigne

Rapidité Temps de réponse à 5% 50 ms Max

Amortissement Dépassement transitoire Nul

Stabilité Marge de phase 45◦ min

Le freinage est piloté par les ordinateurs de bord à partir des consignes du pilote et des paramètres de vol.

La partie commandes envoie des consignes à la servo-valve hydraulique qui se charge de régler la pression dans

le circuit hydraulique de freinage. Les freins à disques décélèrent l’avion proportionnellement à la pression de

freinage. Un accéléromètre de la centrale inertiel de l’avion mesure la décélération et transmet l’information à la

partie commande pour le contrôle du freinage. Le schéma-blocs de l’asservissement est donné figure 8.

DR 3 – Schéma bloc de l’asservissement de freinage

• a (t ) : accélération effective de l’avion ;

• ac (t ) : accélération de consigne ;

• am (t ) : accélération mesurée.

• HBSC U =I (p )ε(p )

=Kc

pavec Kc ∈R+ ;

• HF r e i n =A(p )

Ph (p )= K f avec Kc ∈R+.

Modélisation de la servovalve électro-hydraulique

Une servovalve électrohydraulique est un appareil qui convertit une grandeur électrique (courant ou tension)

en une grandeur hydraulique proportionnelle (débit ou pression).

Elle est constituée de trois éléments :

• un actionneur pilote de type moteur-couple électrique ;

• un amplificateur hydraulique constitué d’un mécanisme buse-palette ;

• un tiroir de distribution.

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

L’armature du moteur-couple à courant continu se

prolonge dans l’entrefer d’un circuit magnétique. Le passage

d’un courant continu dans les deux bobines situées de part

et d’autre de l’armature provoque le basculement de cette

dernière d’un angle θ .

L’armature est solidaire d’une palette plongeant dans

l’amplificateur hydraulique et dont l’extrémité est située

entre deux buses. Le mouvement de rotation de l’ensemble

armature-palette vient étrangler le débit fluide traversant

l’une ou l’autre des buses. La pression différentielle ainsi créée

se répercute aux deux extrémités du tiroir du distributeur et

provoque son déplacement.

Ce tiroir possède trois orifices de contrôle, Pa

(Alimentation), Ph (Utilisation), R (Retour au réservoir).

La pression Ph est proportionnelle au déplacement du tiroir

compté à partir de la position zéro (position du milieu).DR 4 – Servo-valve simplifiée

Les questions 1 à 5 vont permettre de modéliser les différentes parties de la servovalve afin d’en avoir ensuite le

modèle globale.

Modélisation du moteur couple :

DR 5 – Inclinaison armature en fonction de l’intensité du courant

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 9 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Q1. En se limitant à l’intervalle [-0,5 A ; 0,5 A], proposer un modèle simple pour la fonction de transfert H1(p ) =Θ(p )I (p )

Comme θ est petit, on a tanθ ≈ θ .

La rotation d’angle θ (t ) de la palette se traduit par un

déplacement d (t ) = l2θ (t ) de l’extrémité de la palette.

Ce déplacement diminue la section de fuite d’un coté et

l’augmente de l’autre, si bien que les pressions PA et PB dans

les buses A et B deviennent différentes.

Des essais sur une buse seule ont permis de mesurer la

pression P dans celle-ci en fonction de la distance de la palette

à la buse x. Le résultat est donné figure suivante

Q2. Sachant que e vaut 0,02 mm et d (t ) ∈ [-0,01 mm ; 0,01 mm], on propose une relation entre x (t ) et P (t ) sous

la forme P (t ) = Kb u s e x (t ) + P0. Préciser les valeurs numériques de Kb u s e et P0. En déduire une relation entre le

déplacement d (t ) de l’extrémité de la palette et la différence de pression∆P (t ) = PB (t )−PA(t ).

Q3. Proposer alors un modèle simple pour la fonction de transfert H2(p ) =∆(p )Θ(p )

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 10 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Modélisation du tiroir :

La position sur l’axe z du tiroir est liée à la

différence de pression. L’application du principe

fondamental de la dynamique au tiroir permet de

trouver la relation suivante :

mtd 2z (t )

d t 2=−2z (t )Kt +2St∆P (t )−Ct

d z (t )d t

On utilise les notations suivantes :

• mt : masse du tiroir (kg) ;

• St : section du tiroir à ses extrémités (m2) ;

• ct : coefficient de frottement visqueux tiroir/cylindre

(Nsm−1) ;

• kt : raideur des ressorts (Nm−1)

Q4. Calculer la fonction de transfert H3(p ) =Z (p )∆P (p )

On admet enfin que la pression d’utilisation Ph (t ) du fluide est proportionnelle au déplacement z (t ) du tiroir :

Ph (t ) = K4z (t ) avec K4 en barm−1.

Q5. Calculer la fonction de transfert H4(p ) =Ph (p )Z (p )

Modèle global de la servovalve :

Q6. En déduire la fonction de transfert Sv (p ) =Ph (p )I (p )

de la servovalve et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme

d’un système du second ordre : Sv (p ) =Ks v

1+2ξ

ω0p +

1

ω20

p 2

. Donner les expresions littérales de Ks v , ξ etω0.

Q7. La réponse à un échelon de courant I0 = 0,25

A est représentée sur la figure ci-contre. Identifiez

les valeurs numériques de Ks v , ξ etω0.

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Modélisation du frein :

Des essais fréquentiels et temporels sur le frein ont permis de tracer les réponses suivantes :

DR 6 – Réponse du frein à un échelon de pression Ph0 = 0, 25b a r

DR 7 – Réponse fréquentielle du frein dans le plan de Bode

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Q8. Proposez un modèle d’identification du frein H f (p ) =A(p )

Ph (p )(forme et valeurs numériques) à partir de la réponse

fréquentielle dans l’intervalleω ∈ [10 rads−1, 400 rads−1]. Valider ce modèle à partir de la réponse indicielle.

Simulation du système complet sans perturbation :

La boucle d’asservissement en décélération est rappelée ci-après.

DR 8 – Schéma bloc de l’asservissement de freinage

• Le BSCU est assimilé à un correcteur à action intégrale de gain Kc : HBSC U (p ) =Kc

p;

• Associée au frein, la servovalve peut être modélisée par un gain : Ks v=100 bar.A−1 ;

• Le frein sera modélisé par la fonction de transfert : H f (p ) =K f

1+p

ω f

avec

¨

K f = 0,08 ms−2bar−1

ω f = 100 rads−1;

• L’accéléromètre est modélisé par un gain unitaire Ka = 1

Q9. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée : H f (p ) =A(p )

Ac (p ).

Q10. Quelle valeur doit on donner à Kc si l’on souhaite que la réponse indicielle (échelon) soit la plus rapide possible

sans toutefois provoquer de dépassement de la valeur finale ?

Q11. Calculer ce temps de réponse.

Q12. Tracez, sur le document réponse, la réponse fréquentielle dans le plan de Bode (diagrammes asymptotiques

+ allure des courbes) de la boucle ouverte pour Kc = 1 Asm−1.

L’étude de la stabilité d’un système en boucle fermée est menée à partir de la réponse fréquentielle du système

en boucle ouverte. Pour quantifier la stabilité, on définit La marge de phase qui est donnée par l’expression :

Mφ =π+a r g�

F T B O ( jωc )�

avec |F T B O ( jωc )|= 1 .ωC représente la pulsation critique ou pulsation de coupure

à 0 dB.

Q13. Déterminer à l’aide du diagramme de Bode, la pulsationωc . En déduire la marge de phase Mφ.

Q14. Quelle est l’influence d’une variation du coefficient Kc sur la courbe de gain et sur la courbe de phase ?

Q15. Que devient la marge de phase si l’on prend pour Kc la valeur calculée à la question 10 ?

Q16. Conclure sur le respect des différrents critères du cahier des charges.

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Document réponse :

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

3 Robot pour la chirurgie endoscopique

Objectif Elaborer un filtre à insérer en série dans le bloc d’élaboration de la consigne angulaire, afin de limiter

l’amplitude de l’instrument lors du tremblement de la main du chirurgien, tout en préservant une bande

passante suffisante au système.

Présentation

Les avancées technologiques dans le domaine de la chirurgie permettent actuellement de réaliser des

opérations de très grande complexité avec des avantages pour le patient qui proviennent de la limitation des zones

de dissection, ce qui réduit considérablement le traumatisme opératoire.

Plusieurs étapes ont été récemment franchies lors de la mise au point des solutions limitant l’étendue des

incisions dans le corps du patient, et permettant néanmoins au chirurgien l’accès aux organes à soigner.

Celui-ci est aujourd’hui installé devant un poste de commande et de contrôle pour commander à distance des

robots portant les outils chirurgicaux.

Ce poste nommé "console" contient :

• les dispositifs d’acquisition des mouvements du chirurgien ;

• un écran vidéo pour le retour d’image provenant de l’endoscope ;

• un écran de contrôle du système informatique.

Outre le confort opératoire pour le chirurgien, le principal avantage du système robotisé est de permettre le

traitement des ordres générés par la console, avant que ceux-ci ne soient transmis aux robots esclaves.

On peut par exemple utiliser ce traitement pour :

• limiter les débattements des outils ;

• filtrer les mouvements vibratoires ;

• changer d’échelle et permettre des déplacements infinitésimaux.

FIGURE 1 – Chirurgie endoscopique

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 15 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

On s’intéresse ici à un prototype de robot appelé « Endoxirob » ou « robot pour la chirurgie endoscopique »

(figure 2).

FIGURE 2 – Robot endoscopique

Sur l’extrémité du bras de robot, les instruments chirurgicaux sont interchangeables. L’échange d’instruments

s’effectue rapidement pendant l’utilisation du robot.

Le choix technologique des ingénieurs a été de placer les actionneurs électriques de l’outil chirurgical non pas

sur l’instrument chirurgical lui-même, mais sur la structure du robot ; ce choix a conduit à la conception d’une

interface mécanique spécifique, à poussoirs, permettant le transfert des actions de commande des actionneurs

vers l’outil chirurgical.

Le schéma-blocs figure 3 présente la commande du déplacement de l’instrument :

FIGURE 3 – Schéma bloc de la commande de déplacement

La console permet de capter le déplacement de la main et de le coder (et éventuellement le filtrer) afin d’élaborer

la tension de consigne de position angulaire du moto-réducteur. La position angulaire est ensuite transformée en

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

position linéaire de l’instrument, par un mécanisme de transformation de mouvement à crémaillère.

La fonction de transfert du système décrit par le schéma bloc précédent est estimée à :

H (p ) =Di n s t r ume n t (p )

Dma i n (p )=

1

(1+14 ·10−3p +17 ·10−5p 2)(1+16 ·10−3p +14 ·10−5p 2)

FIGURE 4 – Courbe de gain du diagramme de Bode de H (p )

Analyse de la fonction de transfert

Q1. A partir de la fonction de transfert H (p ), déterminer son diagramme de Bode asymptotique et le représenter en

superposition de la courbe de gain figure 4

Q2. Déterminer analytiquement les pulsations de résonances ainsi que leur amplitude. Valider les valeurs obtenues

à partir de la courbe de gain figure 4

Q3. Quelle est l’amplitude du mouvement pris par l’instrument, lorsque la main du chirurgien est prise d’un

tremblement sensiblement sinusoïdal d’amplitude 1 mm et de période 0,25 s ?

Choix de �ltres

Afin de limiter l’amplitude du mouvement de l’instrument lors du tremblement de la main du chirurgien, on

souhaite insérer un filtre en cascade (série) avec le comparateur.

On propose trois filtres du premier ordre de fonctions de transfert :

F1(p ) =1

1+0, 04p, F2(p ) =

1

1+0, 1p, F3(p ) =

1

1+0, 5p

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 17 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Q4. Tracer, sur le diagramme de gain de H (p ), les diagrammes asymptotiques de ces trois filtres.

Q5. Choisir parmi ces trois filtres, ceux qui atténuent la résonance constatée pour le tremblement de période 0,25

s de la main du chirurgien.

Q6. Le filtre retenu ne doit pas filtrer les mouvements souhaités par le chirurgien. On considère qu’un mouvement

dont la période est supérieure à 1 s est un mouvement volontaire, et non un tremblement. Un tel mouvement ne

doit pas être atténué de plus de 1 dB. Retenir en conséquence le filtre qui convient.

Q7. Cette exigence aurait pu être formulée en termes de bande passante, en imposant une bande passante à -1

dB d’au moins 1 Hz. Mais le cahier des charges impose, pour des raisons de rapidité en comportement temporel

(réponse à un échelon ou à une rampe), une bande passante plus exigeante : bande passante à -3 dB d’au moins 4

Hz. Vérifier cette bande passante sur les tracés précédents, pour le filtre retenu.

Analyse de la fonction de transfert

Q8. Pour une meilleure précision, tracer graphiquement la courbe de gain du système corrigé par le filtre retenu et

vérifier les différentes exigences.

4 Fusée Ariane 5

Objectif

– Faire le point sur les SLCI ;

Présentation

Suite à l’échec du tout premier vol du lanceur Ariane 5, deux vols de qualification ont été réalisés avec succès les

30 octobre 1997 et 21 octobre 1998. Ceux-ci ont permis de faire quelques modifications et le premier vol commercial

a ensuite eu lieu le 10 décembre 1999. Depuis cette date, de nombreux lancements ont été réalisés avec un taux de

succès qui place cette fusée parmi les plus compétitives actuellement.

Avec une technologie à corps central à deux étages et deux propulseurs latéraux, Ariane 5 a marqué une

évolution notable dans la famille des lanceurs européens. Ce choix permet d’obtenir une grande source de

puissance au décollage et une meilleure gestion de la position et de la répartition des masses. En revanche, il induit

des problèmes de couplage importants qui nécessitent une orientation de l’axe des tuyères situées en extrémité du

corps central et des deux propulseurs latéraux.

La fusée Ariane 5 est globalement composée d’un corps central CC à deux étages et deux propulseurs latéraux

PG et PD (voir figure 1) :

• Le 1er étage, commun à tous les types de lancement, est appelé EPC comme Étage Principal Cryogénique,

car il transporte de l’oxygène et de l’hydrogène liquides refroidis à des très basses températures. Ces fluides

permettent d’alimenter le moteur cryogénique Vulcain situé en extrémité basse de cet étage. La tuyère

Centrale TC de ce moteur est orientable grâce à des servo vérins.

• La configuration du 2ème étage, appelé EPS comme Étage Propulsif tockable, peut varier selon la mission. Il

contient souvent un satellite.

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 18 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

• De chaque côté du corps central CC à deux étages sont fixés les propulseurs PG et PD ou EAP comme

Étages Accélérateurs à Poudre. Les tuyères TG et TD placées respectivement aux extrémités de ces deux

EAP sont aussi orientables selon deux directions orthogonales. Allumés peu après le décollage, les deux EAP

fonctionnent à pleine puissance pendant une durée de 130 secondes puis, lorsque leurs réservoirs sont vides,

ils se détachent du corps central CC et retombent dans la mer où leurs carcasses sont ensuite récupérées.

Les EAP permettent de vaincre les actions de pesanteur. Lors d’un décollage et d’un vol de la fusée Ariane

5, de très nombreuses contraintes définies par un cahier des charges doivent être respectées. Toutes, bien

évidemment, ne seront pas étudiées dans ce sujet, mais nous nous intéresserons au dispositif d’orientation

de la fusée nécessaire à la poursuite de trajectoires imposées, et à la limitation de certaines fréquences de

résonance pour limiter les couplages vibratoires.

Pour cela, nous ferons respectivement dans chacune des trois parties de ce sujet :

• la mise en évidence du risque de résonance à basse fréquence du système d’orientation d’une tuyère, réalisé

avec deux servo-vérins hydrauliques, et à l’analyse de la solution retenue pour limiter l’amplitude de la

résonance,

• l’identification d’un modèle de comportement et la comparaison du résultat obtenu à partir du modèle de

comportement et celui obtenu à partir du modèle de connaissance.

FIGURE 1 – Fusée Ariane 5

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 19 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Pour diriger la fusée on doit orienter la force propulsive. La solution retenue consiste à orienter les tuyères plutôt

qu’à dévier les jets des moteurs.

Pour orienter une tuyère, deux vérins hydrauliques ont été choisis pour délivrer la puissance élevée nécessaire.

Ce système hydraulique convertit la pression interne en énergie mécanique d’orientation des tuyères.

Comme il faut contrôler constamment le braquage des deux vérins asservis en position, deux servo-vérins

hydrauliques ont donc été adoptés (voir figure 2. qui représente les deux servo-vérins qui s’appliquent sur la tuyère

centrale TC).

FIGURE 2 – tuyère centrale TC et les deux servo-vérins

Étude du servo-vérin à partir d'un modèle de connaissance

Pour cette étude le modèle simplifié de comportement utilisé pour un servo-vérin déplaçant une charge de

masse M est représenté sur la figure 3.

FIGURE 3 – Modèle d’un servo-verin

Les caractéristiques du servo-vérin et du fluide utilisé sont : S la surface utile du vérin et B le module de

compressibilité du fluide.

Soit y (t ) la variation de déplacement de la charge par rapport à la position d’équilibre obtenue en l’absence de

pression. La variation y (t ) étant petite, on peut faire les hypothèses suivantes :

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires fondamentaux Page 20 sur 24

chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

• les volumes des deux chambres du vérin sont identiques et égaux à V ;

• les débits entrant et sortant sont identiques et égaux à Q .

La charge de masse M est liée au bâti par un ressort de raideur K et un amortisseur de coefficient λ.

L’étude hydraulique du servo-vérin et notamment l’étude des débits de compressibilités et de déformations

nous permet d’écrire : Q (t ) = Sd y (t )

d t+

V

2B

d P (t )d t

avec P (t ) = Pa (t )−Pb (t ).

L’étude mécanique de la charge nous permet d’écrire : Md 2 y (t )

d t 2= P (t )S −K y (t )−λ

d y (t )d t

.

Le débit Q est commandé par un servo-distributeur (association d’une servo-valve et d’un distributeur), non

représenté ici et de fonction de transfert : Ks . La représentation sous forme de schéma-bloc du servo-vérin asservi

en position est donnée sur la figure 4 avec Kb = 1 :

FIGURE 4 – Schéma bloc du servo-verin

Dans ce schéma bloc, Yc (p ) est la transformée de Laplace de la consigne de position yc (t ) du servo-vérin.

Etude sans correction

Q1. La première étude est menée avec C (p ) = 1. Déterminer les fonctions de transfert A(p ), F (p ) et le gain Kh .

Q2. Mettre le schéma bloc sous la forme illustrée par la figure 5

FIGURE 5 – Schéma bloc simplifié du servo-verin

– donner l’expression de K2 en fonction de Kh , Ks ,K , S

– donner l’expression de m en fonction de Kh , m , S , K , λ

– donner l’expression deω0 en fonction de Kh , M , S , K

Q3. Donner l’expression de la FTBO en fonction de Kh , Ks , M , S , K , λ.

Q4. Donner l’allure du tracé asymptotique de la FTBO (justifier succinctement la réponse).

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Q5. Donner l’expression de la FTBF en fonction de Kh , Ks , M , S , K , λ.

Q6. Donner l’ordre de la FTBF. Quel est le gain statique.

Q7. Sur les annexes 1 et 2 sont tracés différents diagrammes du servo-vérin asservi en position (tracé de la FTBF) :

– Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée.

– Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée.

À partir de ces diagrammes et sachant la fonction de transfert en boucle fermée est de la forme : F T B F (p ) =G

D (p )avec G qui est un gain pur, et D (p ) tel que lim

p→0D (p ) retrouver la valeur du gain statique de la question

précédente. Justifier votre réponse.

Q8. Déterminer la fréquence et l’amplitude de résonance de l’ensemble servovérin. Le cahier des charges définit

que l’amplitude des résonances de la tuyère centrale TC du moteur Vulcain doivent rester inférieures à 3db.

Conclure sur le respect du cahier des charges vis à vis de ce critère.

Q9. Le cahier des charges du servo-vérin définit un temps de réponse à 5% = 0,15 s. Donner le temps de réponse à

5% et conclure sur le respect du cahier des charges vis à vis de ce critère.

Q10. Le cahier des charges du servo-vérin définit un écart nul en régime permanent en réponse à un échelon de

position. Calculer cet écart et conclure sur le respect du cahier des charges vis à vis de ce critère.

Etude avec correction

Le système est corrigé par un dispositif appelé filtre réjecteur. La pulsation propre du filtre réjecteur a été calée

sur la pulsation de résonanceωR du système non corrigé.

La fonction de transfert du correcteur est C (p ) =p 2+2z1ωR p +ω2

R

p 2+2z2ωR p +ω2R

. z1 et z2 sont des coefficients

d’amortissement positifs et inférieurs à

p2

2et z1 < z2.

Q11. Donner l’allure du diagramme de Bode réel, en gain, du correcteur. Justifier le tracé.

Sur les annexes 3 et 4 sont tracés différents diagrammes du système corrigé :

– Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé.

– Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé.

Q12. Conclure quant au respect des critères du cahier des charges (temps de réponse, écart statique, résonance).

Préciser l’apport du correcteur.

Étude du servo-vérin à partir d'un modèle de comportement

Le modèle de comportement est une traduction sous forme mathématique du comportement du système lors

d’essais. Ce modèle permet de s’affranchir de la connaissance des phénomènes physiques à l’intérieur du système.

Q13. A partir de la réponse indicielle (annexe 4), identifier un modèle de comportement du système corrigé par un

dispositif appelé filtre réjecteur. Donner les valeurs numériques des paramètres du modèles.

Q14. Tracer le diagramme de Bode du modèle que vous venez d’identifier (courbe de gain seulement). Vous

effectuerez le tracé sur le document réponse où figure déjà le tracé du gain effectué à partir du modèle de

connaissance.

Q15. Conclure sur le domaine de validité de votre modèle de comportement.

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

Annexes

ANNEXE 1 – Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée si (̧p ) = 1

ANNEXE 2 – Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée si (̧p ) = 1

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chapitre 5 | Réponse fréquentielle TD

ANNEXE 3 – Diagramme de Bode en gain de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé

ANNEXE 4 – Réponse indicielle (entrée unitaire) de la fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé

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