réponse à un Échelon de tension d’un circuit rc série

IV Etude dun circuit RC srie

Rponse un chelon de tension dun circuit RC srie ?

i(t)

R1

2

K

E CuC(t)

12

Ei(t)

R

C uC(t)

12

K

IV-1 Charge du condensateur

t=0 : K en position 1

UC(t=0)=0 V

( ) ( )R CE u t u t= +

( ) ( )CE R i t u t= +

On dfinit la constante de temps du circuit RC : = R.C (s)

( ) ( )CE R i t u t= +

( ) ( )C Cdu t

R C u t Edt

+ =

( ) ( )C Cdu t u t Edt

+ =


( ) ( )C Cdu t u t Edt

+ =

( ) ( )


UC(t=0)=0 VE

i(t)

R

C uC(t)

12

K

Solution quation homogne : ( ) ( )expCH tu t K = Solution particulire : ( )CPu t E=

Solution gnrale : ( ) ( )expC tu t K E= +( ) ( )1 expC tu t E =


( ) ( )1 expC tu t E = uC(t)

t

E


UC(t=0)=0 VE

i(t)

R

C uC(t)

12

K

( ) ( )1 exp tq t EC = q(t)

t

EC

( ) ( )expE ti tR

= i(t)

t

E/R


uC(t)E

0,95.E


UC(t=0)=0 VE

i(t)

R

C uC(t)

12

K

t 3.3.3.3. 5.5.5.5.

0,63.E

( ) ( )1 expC tu t E =


uC(t)E

Influence de la valeur de constante de temps ?

t

====R.C

( ) ( )1 expC tu t E =

IV-2 Dcharge du condensateur


UC(t=0)=E

( ) ( ) ( ) ( )0 R C Cu t u t R i t u t= + = +

E

i(t)

R

C uC(t)

12

K

( ) ( )0

C Cdu t u t

dt + =

( ) ( )expC tu t E =


E

uC(t)

E

i(t)

R

C uC(t)

12

K

t

E

charge

K en position 1

dcharge

K en position 2


uC(t)

Influence de la valeur de constante de temps ?

E

i(t)

R1

C uC(t)

12

K

R2

t

E

charge

K en position 1

dcharge

K en position 2

2222=(R1+R2).C1111=R1.C

IV-3 Etude nergtique

Energie stocke ? Energie dissipe ?

Charge du condensateur :

E

i(t)

R

C uC(t)

12

K

2

fournieE C E=

gnrateur

21

2stockeE C E=

condensateur

21

2dissipeE C E=

rsistance


Energie stocke ? Energie dissipe ?

Dcharge du condensateur :

E

i(t)

R

C uC(t)

12

K

Dcharge du condensateur :

21

2stockeE C E=

condensateur

21

2dissipeE C E=

rsistance


t

E

uC(t)

i(t)

21

2stockeE C E=

21

2restitueE C E=

charge

K ferm

dcharge

K ouvert

t

i(t)

comportement gnrateurcomportement rcepteur

Application : Pacemaker

Notre cur se contracte plus de 100 000 fois par jour. Il bat 24 h

sur 24 pendant toute notre vie, entre 60 et 80 fois par minute, grce

un stimulateur naturel: le nud sinusal.

Lorsque celui-ci ne remplit plus correctement son rle, la chirurgie

permet aujourd'hui d'implanter dans la cage thoracique un

stimulateur cardiaque artificiel (appel aussi pacemaker) qui va

forcer le muscle cardiaque battre rgulirement en lui envoyant forcer le muscle cardiaque battre rgulirement en lui envoyant

de petites impulsions lectriques par l'intermdiaire de sondes.

corps en titane

5 cm de large

6 mm d'paisseur

environ 30 g


Un pacemaker est un appareil implant dans la poitrine, sous laUn pacemaker est un appareil implant dans la poitrine, sous la

peau. Le botier contient une batterie et un systme lectronique.

Le stimulateur est reli par sonde au muscle cardiaque. Il est

capable de remdier divers troubles du rythme cardiaque : en cas

de ralentissement du rythme ou d'arrt momentan du coeur, il

envoie une impulsion lectrique propre stimuler le coeur

reprendre son rythme normal.

http://www.swissheart.ch


Il existe des pacemakers qui sont rythme fixe, qui fonctionnent en

permanence et qui sont prrgls par le mdecin.

Il existe des pacemakers dits sentinelles, cest dire quils doivent

se mettre en marche lorsque le rythme du client devient trop lent.

Il existe des pacemakers dfibrillateurs, cest dire qui vont Il existe des pacemakers dfibrillateurs, cest dire qui vont

envoyer un choc lectrique pour faire redmarrer le cur avec un

rythme normal lors dune arythmie.

Principe de fonctionnement dun pacemaker ?


Phase 1 : charge du condensateur (1=R.C)

Phase 2 : dcharge du condensateur

(2=R.C >> 1)

Phase 3 : lorsque VC correspond la tension

prdtermine par le cardiologue, on ferme

K impulsion lectrique sur le cur .

Phase 4 : rouverture de K

V

K

VC


t

E

uC(t)

Vcardio

t

Circuit tudi en TD et TP

Vimpulsion(t)


http://www.bonjour-docteur.com/actualite-sante-pacemaker-le-deuxieme-souffle-75.asp?1=1&IdBloc=Tout

Autres applications ?

http://www.psychoweb.fr/news/actualites-de-la-recherche/454-tocs-et-depressions-le-pace-maker-

cerebral-a-foncti.html

http://revue.medhyg.ch/print.php3?

sid=30031


http://www.lexpress.fr/actualite/sciences/sante/le-pacemaker-du-cerveau_491581.html

http://www.uwhealth.org/news/setting-the-pace-neuropace-pacemaker-for-epilepsy/12893

Rq : condensateur en rgime permanent

Une fois le rgime transitoire pass, on atteint le rgime

permanent.

Sachant que pour un condensateur :

En rgime permanent, on a donc :

( ) ( )Cdu t

i t Cdt

=

En rgime permanent, on a donc :

uC=cste

et i=0

Exemple

Dterminez la (ou les) tension(s) au bornes du (ou des) condensateur(s) lorsque

le rgime permanent est tabli

E

CuC(t)

R1

R2

E

CuC(t)

R2

R

a)

b)

EuC(t)R1

E

C2u2 (t)

R1 R2

C1u1 (t)

E

C2

R2

R1

C1

u2 (t)

u1 (t)

c)

d)

Exemple

Linterrupteur est en position 1, on charge un condensateur C

(C=47 F)sous une tension E=4,5 V.

On bascule linterrupteur en position 2, un voltmtre est

maintenant connect en parallle sur le condensateur.

V VC

t=0 : VC=4,5 V

t=200 s : VC= 3 V

Exemple

V VC

C=47 F

t=0 : VC=4,5 V

t=200 s : VC= 3 V

V Etude dun circuit RL srie

Rponse un chelon de tension dun circuit RL srie ?

V-1 Etablissement du courant dans la bobine

( ) ( )R LE u t u t= + ( )( )di t

E R i t Ldt

= +

( ) ( )di t i t E


i(t=0)=0 A

( ) ( )di t R E

i tdt L L

+ =

constante de temps : = L/R (s)

( ) ( )di t i t Edt L

+ =

Solution gnrale : ( ) ( )exp Eti t KR

= +

( ) ( )1 expE ti tR

=

V-2 Arrt du courant dans la bobine

( ) ( )0 R Lu t u t= + ( )( )

0di t

R i t Ldt

= +

( ) ( )di t i t


i(t=0)=E/R

( ) ( ) 0di t R

i tdt L

+ =

constante de temps : = L/R (s)

( ) ( )0

di t i t

dt + =

Solution gnrale : ( ) ( )exp ti t K =

( ) ( )expE ti tR

=

V-3 Evolution temporelle des grandeurs lectriques

i(t)

E/R

( ) ( )expE ti t =

t

( ) ( )exp ti tR

=

( ) ( )1 expE ti tR

=


Tension aux bornes de la bobine

uL(t) ?

Phase 1 : Etablissement du courant

( ) ( )E t

( ) ( )Ldi t

u t Ldt

=

Rappel :( ) ( )1 expE ti tR

=

( )

( )

1 exp 1 exp

1exp exp

L

L

E t td dR L E

u t Ldt R dt

L E t L E tu t

R R

= =

= =

Rappel :

(eu)=eu.u

( ) expLt

u t E

=


Tension aux bornes de la bobine

uL(t) ?

Phase 2 : Arrt du courant

( ) ( )E t

( ) ( )Ldi t

u t Ldt

=

Rappel :( ) ( )expE ti tR

=

( )

( )

exp exp

1exp exp

L

L

E t td d

L ERu t L

dt R dt

L E t L E tu t

R R

= =

= =

Rappel :

(eu)=eu.u

( ) expLt

u t E

=


uL(t) ?

i(t)

E/R

t

uL(t)

t

E

-E

V-4 Etude nergtique

i(t)

t

E/R

uL(t)

t

E

t

-E

21

2stockeE L I=

21

2restitueE L I=

comportement gnrateurcomportement rcepteur

VI Etude dun circuit RLC

Rponse un chelon de tension dun circuit RLC srie ?

i(t)

RK

EuL(t)

L

C

uC(t)


t=0 on ferme K

uC(t=0) = 0

uL(t=0) = 0

i(t=0) = 0

( ) ( ) ( )R L CE u t u t u t= + +

( ) ( )Ru t R i t=

( ) ( )Ldi t

u t Ldt

=

( ) ( )Cdu t

i t Cdt

=

Loi des mailles

avec :( ) ( ) ( )C

di tE R i t L u t

dt= + +

( ) ( ) ( )2

2

C C

C

d u t du tLC RC u t E

dt dt + + =


( ) ( ) ( )2

2

C C

C


dt dt + + =

0 < R < 100

L=100 mH

C=1 mF


R = 100 ( ) ( ) ( )2

2

C C

C


dt dt + + =


R = 10 ( ) ( ) ( )2

2

C C

C


dt dt + + =


R = 1 ( ) ( ) ( )2

2

C C

C


dt dt + + =


R = 0 ( ) ( ) ( )2

2

C C

C


dt dt + + =


Interprtation physique ?

t=0=0

=E

t

=0

=0

Durant la charge, la moiti de lnergie fournie par le gnrateur est

dissipe dans la rsistance par effet Joule, lautre moitie est

stocke dans le condensateur. Lnergie magntique, nulle en dbut

de charge, est galement nulle la fin (change entre L et C)

=0

=0

=E

VII Analogie Electrique / Mcanique

( ) ( ) ( )22

d q t dq t q tL R Edt dt C

+ + =( ) ( ) ( )

2

20

d x t dx tm f k x t

dt dt + = =

charge du condensateur : q

intensit du courant : i

dplacement de la masse : x

vitesse de la masse: v

Grandeurs lectriques

circuit RLC

Grandeurs mcaniques

oscillateur linaire

intensit du courant : i

inductance propre : L

rsistance du circuit : R

capacit du condensateur : C

nergie magntique : E=1/2.L.i

nergie lectrostatique : E=1/2.CV

pertes Joule : PJ=R.i

vitesse de la masse: v

masse : m

coefficient de frottement : f

inverse de la raideur du ressort : 1/k

nergie cintique : E=1/2.m.v

nergie potentielle lastique : E=1/2.k.x

pertes par frottement : PF=f.v

réponse à un Échelon de tension d’un circuit rc série

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