relations binaires - supremum et infimum

7/25/2019 Relations Binaires - Supremum Et Infimum

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dit le 29 dcembre 2015 Enoncs 1

Supremum et infimum

Exercice 1 [ 02107 ][Correction]Soit

A=

(1)n +

1

n + 1 |n N

Montrer que A est borne, dterminer infA et sup A.

Exercice 2 [ 02109 ][Correction]Soient A et B deux parties non vides de R telles que

(a, b) A B, a b

Montrer que sup Aet infB existent et que sup A infB.

Exercice 3 [ 02108 ][Correction]Soient A et B deux parties non vides et bornes de R telles que A B .

ComparerinfA, sup A, infB et sup B.

Exercice 4 [ 02110 ][Correction]Soient A et B deux parties de R non vides et majores.Montrer que sup A, sup Bet sup(A B)existent et

sup(A B) = max(sup A, sup B)

Exercice 5 [ 02111 ][Correction]Soient A et B deux parties non vides et majores de R.On forme

A + B= {a + b|(a, b) A B}Montrer que A + Best majore et

sup(A + B) = sup A + sup B

Exercice 6 [ 02113 ][Correction]Pour n N, on pose fn(x) = xn(1 x). Dterminer

limn+

supx[0;1]

fn(x)

Exercice 7 [ 00225 ][Correction]Soit A une partie non vide et minore de R . On pose

m= infAet B = A ] ; m + 1]

Dterminer la borne infrieure de B .

Exercice 8 [ 02347 ][Correction]Soit f : R2 R. tablir

supxR

infyR

f(x, y) infyR

supxR

f(x, y)

Exercice 9 [ 02114 ][Correction]Dterminer

inf

(x1+ + xn)

1

x1+ +

1

xn

| x1, . . . , xn > 0

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Corrections

Exercice 1 :[nonc]n N, 1 (1)n + 1

n+1 2 donc A est borne.

Aest une partie de R non vide et borne donc infAet sup Aexistent.n 0 1 2 3 . . .

(1)n

+

1

n+1 2 1 +1

2 1 +

1

3 1 +1

4 . . .

.

2est plus grand lment de A et donc sup A= max A= 2 .Aest clairement minore par 1et (1)2p+1 + 12p+2 1donc il existe une suitedlments de A qui converge vers 1donc infA =1.

Exercice 2 :[nonc]Soit b B. Puisque

a A, a b

la partie A est majore par b.Aest une partie de R non vide et majore par b donc sup Aexiste et sup A b.B est une partie de R non vide et minore par sup Adonc infB existe et

sup A infB.

Exercice 3 :[nonc]Aet B sont des parties non vides et bornes de R donc les bornes sup et infconsidres existent.Pour tout a A, on a a B donc a sup B.sup Bmajore A doncsup A sup B.Pour tout a A, on a a B donc infB a.infB minore A donc infB infA.Enfin, puisque A =, infA sup A.

Exercice 4 :[nonc]

A, B , A B sont des parties de R non vides et majores doncsup A, sup B, sup(A B)existent dans R.Pour tout x A Bon a x max(sup A, sup B)donc

sup(A B) max(sup A, sup B)

Puisque A, B A Bon a sup A, sup B sup(A B)donc

max(sup A, sup B) sup(A B)

puis lgalit.

Exercice 5 :[nonc]Aet B sont deux parties non vides et majores de R donc sup Aet sup B existent.Pour tout x A + B, on peut crire x = a + bavec a A et b B .On a x = a + b sup A + sup B, donc A + B est majore par sup A + sup BA + Best une partie de R non vide et majore donc sup A + B existe et

sup A + B sup A + sup B

Pour tout a A et tout b B, a = (a + b) b sup(A + B) bdonc A estmajore par sup(A + B) bdo

sup A sup(A + B) b

Par suiteb sup(A + B) sup A

et B est donc major parsup(A + B) sup Aet par suite

sup B sup(A + B) sup A

Finalementsup A + sup B sup A + B

puis lgalit.

Exercice 6 :[nonc]La fonction fn est drivable avec

fn(x) = nxn1(1 x) xn =nxn1 (n + 1)xn

On en dduit les variationsx 0 xn 1

fn(x) 0 Mn 0

avec xn= nn+1 [0;1]et

Mn = supx[0;1]

fn(x) =

1

1

n + 1

n1

n + 1 0



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Exercice 7 :[nonc]Puisque m + 1ne minore pas A, la partie B est non vide.De plus B A donc la borne infrieure de B existe et

infA infB

Soit x A, si x m + 1alors x B et donc x infB.Si x > m + 1alors nouveau x infB.AinsiinfB minore A et donc

infA infB

FinalementinfA = infB

Exercice 8 :[nonc]Soit y0 R. On a pour tout x R

infyR

f(x, y) f(x, y0)

donc

supxR infyRf

(x, y

) supxRf

(x, y

0)puis

supxR

infyR

f(x, y) infy0R

supxR

f(x, y0)

Exercice 9 :[nonc]On exploite

xi

xj+

xj

xi=

x2i + x2j

xixj2

pour obtenir

(x1+ + xn) 1

x1 + +

1

xn

=

n

i,j=1

xi

xj n2

Puisque que pour x1 = . . .= xn= 1on obtient

(x1+ + xn)

1

x1+ +

1

xn

=n2

on peut conclure

inf

(x1+ + xn)

1

x1+ +

1

xn

|x1, . . . , xn > 0

=n2


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