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Info4C - Licence 2 - Année 2019/2020

Relation binaire, relation d’ordre, treillis

J.-L. Baril

Université de BourgogneLabo. LIB

http://jl.baril.u-bourgogne.fr

February 21, 2020

J.-L. Baril Relation binaire, relation d’ordre, treillis

Relation Binaire

()()()()

14/23

1/2/3/4

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134/2

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12/34

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1234

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12/3/4 1/2/3413/2/4 1/24/31/23/414/2/3

123/4 1/234124/3

Treillis et alg èbres de Boole

1. Relations binaires2. Relations d’ équivalences3. Relations d’ordres4. Treillis5. Alg èbres de Boole


Relation binaire

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1/2/3/4

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12/3/4 1/2/3413/2/4 1/24/31/23/414/2/3

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Soient E et F deux ensembles.

Définitions :Une relation binaire de E vers F est une partie R de E × F . Si(x , y) ∈ R alors on dit que x est en relation avec y et on le notexRy . Dans le cas ou E = F on dit que R est définie sur E.

Remarque: représentation par diagramme sagittal, matriceExemples : R = ∅ ou R = E × F .X = {a,b, c} et Y = {e, f ,g} et R = {(a,e), (a, f ), (a,g)}.R = [1,10]× [−1,30] est une relation binaire de[0,20]× [−2,32].xRy si y est le carré de x .


Relation binaire

Définition :Soit R une relation binaire de E vers F . On appelle relationréciproque de R et on note R−1 la relation binaire de F vers Edéfinie par : ∀(x , y) ∈ E × F , yR−1x ⇐⇒ xRy .

Exemple : Si X = {a,b, c} et Y = {e, f ,g} etR = {(a,e), (a, f ), (a,g)} alors R−1 = {(e,a), (f ,a), (g,a)}.Trouver la relation réciproque de xRy si y est le carré de x .

Définition :Soit R une relation binaire de E vers F et S une relation binairede F vers G. La composée T de R et S est une RB de E versG notée T = RS est définie par: ∀(x , y) ∈ E × G,xT y ⇐⇒ il existe z ∈ F tq xRz et zSy .

Remarque : La composition est associative: (RS)T = R(ST ).Trouver la composée de R par R ( (x , y) ∈ R ⇔ y = x2)


Relation binaire

Définition :On dit qu’une relation binaire R définie sur E est:• réflexive si ∀x ∈ E , xRx• symétrique si ∀(x , y) ∈ E × E , xRy ⇐⇒ yRx .• transitive si ∀(x , y , z) ∈ E3, xRy et yRz ⇐⇒ xRz.• antisymétrique si ∀(x , y) ∈ E2, xRy et yRx =⇒ x = y .

Exemples : La relation ≤ est antisymétrique, réflexive,transitive sur l’ensemble des réels.La relation de parité est symétrique, réflexive, transitive surl’ensemble des entiers.Quelles sont les propriétés de la relation xRy si y est le carréde x?


Relation d’équivalence

Définitions :Une relation d’équivalence ∼ de E est une relation binaire de Eréflexive, symétrique et transitive. Pour x ∈ E donné,l’ensemble des éléments qui sont en relation avec lui estappelé sa classe d’équivalence x̄ = {z ∈ E , x ∼ z}. Unélément z ∈ x̄ est un représentant de la classe. L’ensemble desclasses d’équivalence est appelé l’ensemble quotient notéE/ ∼:= {x̄ , x ∈ E}.

Remarque: Les classes forment une partition de E .Piège: Trouver les classes d ’équivalencesxRy ⇔ y multiple de xExemples : ”=”, Si f : E → F alors la relationx ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y) est une relation d’équivalence.Exercice: Montrer que si f est indempotente (f ◦ f = f ) d’unensemble E dans lui-même, la relation definie parxRy ⇐⇒ y = f (x) est antisymétrique et transitive.



Exemples : Pour n > 0, l’ensemble des entiers modulo n estl’ensemble quotient Z/nZ = Z/ ∼ ou p ∼ q ⇐⇒ n divise p − q.Z/2Z = {0̄, 1̄}, Z/nZ = {0̄, 1̄, . . . ,n − 1}.

Définition:Soient deux ensembles munis d’une relation d’équivalence ∼Eet ∼F . Une fonction f : E → F passe au quotient six ∼E y ⇐⇒ f (x) ∼F f (y) et cela permet de définir la fonctionf̄ : Ē → F̄ qui a x̄ associe f (x).



Proposition : factorisation canonique

Toute fonction f : E → F est la composée d’une surjection, unebijection et une injection:f : E → E/ ∼ → Im(f ) → F

x → x̄ → f (x) → f (x)

Exemples : La fonction réelle f : x → x2 se factorise commesuit:f : R → R/ ∼ → Im(f ) = R+ → R

x → x̄ = {−x , x} → x2 → x2

On construit les rationnels avec les entiers grâce à la relationd’équivalence sur Z× Z∗ : (x , y) ∼ (u, v) ⇐⇒ xv = yu.


Relation d’équivalence - Exercices

Exercice 0:Soit P l’ensemble des nombres premiers strictementsupérieurs à 2. On considère la relation R entre deux élémentsde P définie par:

pRq ⇐⇒p + q

2∈ P.

La relation est-elle réflexive, symétrique et transitive?

Exercice 1:Soient E un ensemble et A ∈ P(E) une partie de E . On définitune relation ∼ sur P(E) en posant pour tous X ,Y ∈ P(E)

X ∼ Y ⇐⇒ X ∩ A = Y ∩ A.

Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur P(E).Exhiber une bijection de P(A) sur l’ensemble quotient.


Relation d’ordre

Définition:

Une relation sur X ∼ qui est réflexive , antisym étrique ettransitive est appelée une relation d’ordre.On dit alors que X est partiellement ordonn ée et on note ≤ àla place de ∼.Si (x , y) ∈ X 2, x et y seront comparables si x ≤ y ou y ≤ x .Si tous les éléments de X sont comparables, on dit que l’ordreest total .Si x ≤ y et x 6= y alors on note x < y .On dit que y couvre x (y est un successeur de x) si x < y ets’il n’existe pas d’éléments entre eux, i.e.x ≤ z ≤ y =⇒ x = z ou z = x .

l’inclusion ⊆ sur les parties d’un ensemble EN,Z,Q,R sont totalement ordonnés par ≤Est-ce que < est un ordre sur R?La relation a divise b dans N est elle un ordre partiel?


Relation d’ordre

Définition:Si X est fini, son diagramme de Hasse est le graphe orientédont les sommets sont les éléments de X et les arêtesreprésentées du bas vers le haut sont les couples (x , y) ou ycouvre x .

Exemple : X = {a,b, c,d ,e, f} et a ≤ b, a ≤ c, b ≤ d , c ≤ d ,d ≤ e, d ≤ f .Exemple: ”Bons parenthésages” de longueurs 2n munis de latransformation ....)(.... ⇐= ....()....Exemple: a ≤ b si a divise b dans N . Que se passe t il dansZ?u ≤ v si ||u|| ≤ ||v || pour u et v vecteurs du plan


Relation d’ordre

Définition:Si l’ordre est total sur X , le diagramme de Hasse s’appelle unechaine. Un sous ensemble ou aucune paire n’est comparableest une anti-chaine.

L’intervalle [x , y ] ⊂ X est l’ensemble des éléments comparablesà x et y et compris entre eux.[x , y ] = {z ∈ X , x ≤ z ≤ y}

Le minimum (ou plus petit élément d’un ensemble X ) est unélément qui est plus petit ou égal à tous les autres.m = min(X ) ⇐⇒ m ∈ X et ∀x ∈ X , m ≤ x .

Un ensemble X est totalement ordonné si toute partie non videadmet un plus petit élément.


Relation d’ordre

Le maximum (ou plus grand élément d’un ensemble X ) estun élément qui est plus grand ou égal à tous les autres.M = max(X ) ⇐⇒ M ∈ X et ∀x ∈ X , x ≤ M.Un ensemble X est totalement ordonné si toute partie non videadmet un plus grand élément.Un élément m est minimal s’il est plus petit ou égal à tous ceuxqui lui sont comparables dans X .Un élément m ∈ X est un minorant de Y dans X s’il est pluspetit que tous les éléments de Y .La borne inf érieure de Y dans X , notée infX (Y ), est s’il existele plus grand des minorants de Y . Si Y admet un minimumc’est aussi la borne inférieure.


Exemples

I = [1,100] admet un plus petit element ...I = [1,100[ ???sur N, a ≤ b si b multiple de a: plus petit element 1 et 0 est leplus grand element!Meme relation sur F = {2,3,5,7,8,10} plus petit majorant? leplus grand minorant?Maintenant avec G = {3,9,27,243} majorant? plus grandelement de G? minorants? plus petit element?F = {x2/(x2 + 1), x ∈ R} majorant? plus petit majorant?plusgrand element de F? plus grand minorant? plus petit elementde F?


Exercices

On définit sur N × N la relation

(a,b) ≤ (c,d) ⇐⇒{

a + b < c + d ou biena + b = c + d et b ≤ d

Montrer que ≤ est une relation d’ordre. Réaliser le diagrammede Hasse pour le sous-ensemble [1,5]2.


Treillis

Definition

Un treillis est un ensemble partiellement ordonné ou toutcouple (x , y) admet une borne supérieure et une borneinférieure.

On note a ∨ b la borne sup érieure , et a ∧ b la borneinf érieure de a et b.* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’unensemble: X = {a,b, c}* Les entiers naturels peuvent être munis d’un ordre plus subtilque l’ordre usuelq est plus grand que p si q est multiple de p. , D48 est un treillis


Treillis

DéfinitionSi (X ,≤) est un treillis et Y ⊂ X , alors Y est un sous treillis deX ssi ∀(a,b) ∈ Y 2, a ∧ b ∈ Y et a ∨ b ∈ Y .

Exemple: L’ensemble des diviseurs de n est un sous treillis de(N,divise) si n divise N.

DéfinitionSoient (X ,≤) et (Y ,≤) deux treillis alors f une fonction de Xdans Y est un morphisme de treillis ssi:∀(x , y) ∈ X 2 f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) et f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y).

Remarque: Si f est un morphisme de treillis alors f estcroissante


Treillis

Définitionun morphisme bijectif entre deux treillis est un isomorphismede treillis

Exemple: A = {a,b}, (P(A),⊂) et (D10,divise)Si f (∅) = 1, f (a) = 2, f (b) = 5, f (a,b) = 10 alors f est unisomorphisme de treillis.


Treillis

Propri étés si (x , y , z) ∈ E3 ou (E ,≤) est un treillis, alorsx ∧ x = x , x ∨ x = x idempotencex ∨ y = y ∨ x , x ∧ y = y ∧ x commutativité(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) associativitéx ≤ y ⇐⇒ x ∨ y = y consistencex ∧ (x ∨ y) = x absorptionx ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)


Treillis

DéfinitionUn treillis est dit borné ssi il admet un élément maxi (noté 1) etmini (noté 0). On dit qu’un élément a admet un complément ssiil existe b tel que a ∧ b = 0 et a ∨ b = 1. Un treillis borné estalors complémenté ssi tout élément adment un complément.

Exemple: (P(A),⊂)

Propri été

Tout treillis fini est borné


Treillis

DéfinitionUn treillis est dit distributif ssi on a pour tout x , y , z,x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) etx ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

Remarque: la première condition implique la secondeExemple : (P(A),⊂), (N,divise)

proposition

Un treillis est distributif ssi on peut simplifier comme suit:∀a,b, c, a ∧ c = b ∧ c et a ∨ c = b ∨ c =⇒ a = b

CorollaireTout élément d’un treillis distributif complémenté possède uncomplément unique.


Algebre de Boole

DéfinitionUne algèbre de Boole est la donnée d’un treillis distributifcomplémenté possédant au moins deux éléments On appellealors atome tout élément minimal différent de 0.

Exemples : (P(A),⊂), Bn = {0,1}n avec la relation d’ordreadequat,Faire des diagrammes de Hasse

Théor èmeTout algèbre de Boole finie est isomorphe à (P(A),⊂) ou A estl’ensemble de ses atomes

CorollaireLe cardinal de toute algèbre de Boole finie est une puissancede 2


Algebre de Boole

Loi de de Morgan¯a ∨ b = ā ∧ b̄ et ¯a ∧ b = ā ∨ b̄


Fonction booléennes

On note B = {0,1}

Définition

Une fonction bool éenne d’arit é n est une fonction de Bn versB. On note Fn l’ensemble des fonctions booléennes d’arité n

Remarque: Il y a 2n n−uplets de 0 et 1, donc il y a 22n

fonctionsbooléennes d’arité n.Par exemple F1 possède 4 fonctions.Représentation d’une fonction Booléenne =⇒ Table de VéritéExemple: Donner la table de vérité de la fonction Booléenned’arité 2 suivante: (a1,a2) → a1 + a2.L’ensemble des fonctions booléennes est une algèbre de Boole.


Fonction booléennes

Electroniqued=sup(a,inf(b,c)) pour le circuit suivant/ Entree————————/ A———————-Sortie — — — / /— ———-/ B—————-/ C——


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