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REGARD Le regard est à la fois perception et vision Jean-Louis AYME 1 F A B D E C I J K Résumé. L'auteur présente neuf ''Regards'' relevés, ici où là, au gré des ses lectures, et accompagnés de leur solution relevant d'un regard particulier... Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement. Abstract. The author presents nine "glances" identified, here and there, at the option of his readings, and accompanied by their solution within a particular look... The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically. 1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 23/01/2015 ; [email protected] Sommaire 1. La ponctuelle de Gauss-Newton par Pappus 2. Le point d'Euler-Poncelet 3. Le théorème de Brahmagupta 4. Une généralisation du théorème de Reim 5. Un résultat de l'auteur et de Nathan Altshiller-Court 6. Oscar Xaver Schloemilch revisité par Isaac Joachim Schwatt et Wetzig 7. Un triangle isocèle 8. Deux perpendiculaires 9. Deux perpendiculaires en un point d'Euler

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REGARD

Le regard est à la fois perception et vision

Jean-Louis AYME 1

F

A B

D

E

C

I

J

K

Résumé. L'auteur présente neuf ''Regards'' relevés, ici où là, au gré des ses lectures, et accompagnés de leur solution relevant d'un regard particulier...

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents nine "glances" identified, here and there, at the option of his

readings, and accompanied by their solution within a particular look... The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown

synthetically.

1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 23/01/2015 ; [email protected]

Sommaire

1. La ponctuelle de Gauss-Newton par Pappus 2. Le point d'Euler-Poncelet 3. Le théorème de Brahmagupta 4. Une généralisation du théorème de Reim 5. Un résultat de l'auteur et de Nathan Altshiller-Court 6. Oscar Xaver Schloemilch revisité par Isaac Joachim Schwatt et Wetzig 7. Un triangle isocèle 8. Deux perpendiculaires 9. Deux perpendiculaires en un point d'Euler

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2

2

POINT DE VUE

Tout semblable appelle son semblable 2

Au fond de lui-même, le Géomètre est conscient qu'il n'a pas encore trouvé dans l'étude d'une configuration ce qu'il cherche inconsciemment... Et c'est lorsqu'il cesse de chercher que la Dame Géométrie est là, à quelques empans de ses yeux, immobile et rayonnante de beauté. L'ovale parfait de son visage d'où se détachent deux yeux de braise, l'incendie en passant directement des yeux dans l'abîme de son regard. Dans l'obscurité d'un vide spacieux, son regard ravissant annule le monde extérieur et aspire le Géomètre dans un instant d'éternité. Cette rencontre soudaine et irrésistible i.e. ce coup de foudre a tout simplement bouleversé son étroit point de vue. Dans cet instant magique, il ne savait pas qu'Elle avait le don par son jeu d'attirances et de dévoilement, de pouvoir l'éclairer en lui apportant une réponse vraie à chaque fausse question qu'il pouvait se poser, et de l'ébranler pour lui redonner un état potentiel de virginité active…

2 Loi de similitude.

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3

3

REGARD 1 3

La ponctuelle de Gauss-Newton par Pappus 4

VISION

Figure :

F

A B

D

E

C

I

J

K

Traits : ABCD un quadrilatère, E, F les points d'intersection resp. (AB) et (CD), (AD) et (BC), et I, J, K les milieux resp. de [AC], [BD], [EF]. Donné : I, J et K sont alignés.

VISUALISATION

F

A B

D

E

C

I

J

K

L N

• Notons L, N les milieux resp. de [AB], [BN]. • D'après Thalès "La droite des milieux" appliquée au * triangle ABC, (IL) // (BC)

3 The triangle BIC, AoPS du 31/05/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=591758 4 Gauss K. F., Monatscorrespond. 22 (1810) 115 Ayme J.-L., La droite de Gauss et la droite de Steiner, G.G.G. vol. 4, p.1-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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4

4

* triangle BEF, (BCF) // (NK) * par transitivité de la relation //, (IL) // (NK).

F

A B

D

E

C

I

J

K

L M N

• Notons M le milieu de [AE]. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (1) (LJ) // (MK) (2) (MI) // (NJ). • Conclusion : d'après Pappus "Le petit théorème" 5

appliqué à l'hexagone ILJNKMI, I, J et K sont alignés.

5 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus, G.G.G. vol. 6, p.1-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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5

5

REGARD 2 6

Le point d'Euler-Poncelet

VISION

Figure :

A

D C

B

O

K

H I

Traits : ABCD un parallélogramme,

O le point d'intersection de (AC) et (BD), et K, I, H les pieds des perpendiculaires à (AB), (AC), (BC) issues de D.

Donné : K, I, H et O sont cocycliques.

VISUALISATION

6 Prove cyclic, AoPS du 13/01/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=620742 Quatre points cocycliques, les-mathématiques.net, le 13/01/2015 ;

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1044207

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6

6

A

D C

B

O

K

H I

X

Y 1d

• Notons X, Y les milieux resp. de [DA], [DC] et 1d le cercle passant par X, Y et O.

• Scolies : (1) 1d est le D-cercle des milieux de ABCD 7 (2) les A, B, C, D-cercles des milieux de ABCD concourent en O (3) O est le point médian de ABCD. • Conclusion partielle : d'après Chris van Tienhoven 8, O est le point d'Euler-Poncelet de ABCD.

A

D C

B

O

K

H I

• Notons 2d le cercle passant par K, I et H. • Scolies : (1) 2d est le D-cercle pédal de ABCD 9 7 Ayme J.-L., Le point d'Euler-Poncelet d'un quadrilatère, G.G.G. vol. 8, p.10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 8 Ayme J.-L., Le point d'Euler-Poncelet d'un quadrilatère, G.G.G. vol. 8, p.12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 9 Ayme J.-L., Le point d'Euler-Poncelet d'un quadrilatère, G.G.G. vol. 8, p.16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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7

7

(2) les A, B, C, D-cercles pédaux de ABCD concourent en O 10 (3) 2d passe par O. • Conclusion : K, I, H et O sont cocycliques. Scolie : 1d passe par I. 11

10 Ayme J.-L., Le point d'Euler-Poncelet d'un quadrilatère, G.G.G. vol. 8, p.20 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 11 Ayme J.-L., Four concyclic points, AoPS du 13/01/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=620981

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8

8

REGARD 3 12

Le théorème de Brahmagupta

VISION

Figure :

A

B C

I

D

R

Q Ma

F E X

M

Traits : ABC un triangle, I the centre de ABC, DEF the triangle de contact de ABC, Ma la médiatrice de [AD], Q, R les points d'intersection de Ma resp. avec (BI), (CR),

X le point d'intersection de (AD) et (QR), et M le milieu de [AR].

Donné : (MX) est perpendiculaire à (BI).

VISUALISATION

12 Ayme J.-L., Two perpendicular lines, AopS du 07/10/2010 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=370539

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9

9

A

B C

I

D

R

Q Ma

F E

1ab

1ac

1a

• Scolies : QA = QD et RA = RD. • Notons 1ab le cercle circonscrit au triangle ABD ; il passe par Q ; 1ac le cercle circonscrit au triangle ACD ; il passe par R ; et 1a le cercle circonscrit au triangle IQR. • D'après "Le théorème du pivot" 13 appliqué au triangle BCI avec D sur (BC), R sur (CI) et Q sur (IB), 1a passe par A. • Conclusion partielle : A, R, I, Q sont cocycliques. 14

A

B C

I

D

R

Q Ma

F E X

M

• Conclusion : d'après "Le théorème de Brahmagupta" 15, (MX) est perpendiculaire à (BIQ).

13 Ayme J.-L., Auguste Miquel…, G.G.G. vol. 13, p.4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 14 Prove cyclic, AoPS du 13/01/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=620742 Quatre points cocycliques, les-mathématiques.net, le 13/01/2015 ;

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1044207 15 Ayme J.-L., Le théorème de Brahmagupta, G.G.G. vol. 7, p.2-3 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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10

10

REGARD 4 16

Une généralisation du théorème de Reim

VISION

Figure :

A

B C

I

A-

A'

A"

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, A- le second A-perpoint de ABC, I le centre de ABC, A' le pied de la A-hauteur de ABC

et A'' le sommet du triangle de Nagel sur (BC). Donné : (IA') est parallèle à (A-A'').

VISUALISATION

16 Two parallels, AoPS du 13/01/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=621077

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11

11

A

B C

I

A-

Ia

A'

A"

0

1a

• Notons Ia le A-excentre de ABC et 1a le A-cercle de Mention de ABC ; il a pour centre A- et passe par B, I, C. • Scolies : (1) A, I, A- et Ia sont alignés

(2) A'' est le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de Ia. • Conclusion : d'après ''Une généralisation du théorème de Reim'' 17, (IA') est parallèle à (A-A'').

17 Ayme J.-L., Le P-cercle de Hagge, G.G.G. vol. 5, p. 51-54 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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12

12

REGARD 5

Un résultat de l'auteur et de Nathan Altshiller-Court

VISION

Figure :

A

B

C

R

P

Q

H

R'

P'

Q'

I

Dp

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, PQR le triangle orthique de ABC, P' le point d'intersection de (QR) et (BC), Dp la parallèle à (QR) issue de P, Q', R' les points d'intersection de Dp resp. avec (AC), (AB), I le milieu de [BC] et 1 le cercle circonscrit au triangle P'Q'R'. Donné : 1 passe par I. 18

VISUALISATION

18 Concyclic, Hubei Math Contest 1994, AoPS du 13/01/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=621080 Circumcircle of triangle PQR passes through the midpoint of BC, IMO Shortlist 1997, Q18, AoPS du 09/08/2008 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1219070

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13

13

A

B C

R

P

Q

H

R'

P'

Q'

I

• Appliquons ''Le théorème de Ménélaüs'' au delta déterminé par ABC et la ménélienne (PQ'R'). • Nous savons que le quaterne (B, C, P, P') est harmonique. • Conclusion partielle : d'après ''Le théorème de Ceva'', P'Q'R' est un triangle cévien de ABC. 19

A

B C

R

P

Q

H

R'

P'

Q'

I

1

• Conclusion : d'après Nathan Althisller-Court 20, 1 passe par I.

19 Ayme J.-L. (2003) Ayme J.-L., A variant of the Hubei Math Contest 1994, AoPS du 14/01/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=621090 20 Altshiller-Court N., College Geometry, Richmond (1923) 247, exercice 5 Ayme J.-L., The parallel tangent theorem, G.G.G. vol. 11, p. 21-23 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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14

14

REGARD 6

Oscar Xaver Schloemilch revisité

par Isaac Joachim Schwatt et Wetzig

VISION Figure :

A

B C I

M

K

A'

Traits : ABC un triangle, A' le pied de la A-hauteur de ABC, M le milieu de [AA'], I le milieu de [BC] et K le point de Lemoine de ABC. Donné : I, K et M sont alignés. 21

VISUALISATION

21 Schloemilch Oscar (1823-1901) 1862 Schwatt's lines AoPS du 15/01/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=621222 Ayme J.-L., The cross-cevian point, G.G.G. vol. 3, p. 20-23 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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15

15

A

B C

U

B'

A' I

E

K

M D

V

1

2

3

4

5

6

• Notons E, D les milieux resp. de [CA], [AB], B' le pied de la B-hauteur de ABC et U, V les points d'intersection de (A'B') avec (IE), (DE). • D'après "Another unlikely concurrence" 22, (AU) et (BV) passent par K. • D'après Pappus "La proposition 139" 23, (KIM) est la pappusienne de l'hexagone AUEVBA'A. • Conclusion : I, K et M sont alignés. Scolie : (MI) est la "A-droite de Schwatt de ABC". Note historique : dans les Nouvelles Annales de 1887, Ernest Césaro 24 attribue ce résultat à Oscar Scloemilch qui serait tombé par hasard sur le point de concours des trois droites de Schwatt. Ce résultat a été republié en 1873 ou 1874 comme l'indique Maurice d'Ocagne et Émile Vigarié 25 dans le Journal de Mathématiques Élémentaires de 1886. Émile Lemoine 26 donnera à nouveau ce résultat sans en donner une preuve dans les Nouvelles Annales de 1884. Enfin, Isaac Joachim Schwatt 27 publiera en 1897 un article concernant cette situation dans le Educational Times. Pour terminer, Wetzig précisera la nature géométrique de ce point de concours.

Archive :

22 Ayme J.-L., Crux Mathematicorum, (Canada) 8 (2003) 511-513 Ayme J.-L., Another unlikely concurrence, G.G.G. vol. 10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 23 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 10-17 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 24 Césaro, Nouvelles Annales (1887) 223 25 Ocagne (d') M., Vigarié E., Note sur la symédiane, Journal de Mathématiques Élémentaires (1886) 180 26 Lemoine E., Nouvelles Annales (1884) 27 27 Schwatt I. J., Educational Times 67 (1897)

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16

16

REGARD 7

Un triangle isocèle

VISION Figure :

A

B C

K

T

0

E

P

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, K, T les premier, second A-perpoints de ABC, E le pied le pied de la C-hauteur de ABC et P le point d'intersection de (AK) et de la perpendiculaire à (ET) en E. Donné : CP = CK. 28

VISUALISATION

28 pc=pk, AoPS du 16/12/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=512618

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17

17

A

B C

K

T

0

E

P

1

• Relativement à 0, le quadrilatère ABCK étant cyclique, <CKP = <CBA. • Scolie : (AT) ⊥ (AKP). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', T, E, A, P sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle de diamètre [PT].

A

B C

K

T

0

E

P

1

Q

M

2

• Notons Q le second point d'intersection de (PC) avec 1, M le point d'intersection de (BC) et (KT), et 2 le cercle de diamètre [CT].

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18

18

• Scolies : (1) (BC)⊥ (KT)

(2) 2 passe par M. • D'après Miquel ''Le théorème des trois cercles concourants'' 29 appliqué au triangle BEM avec 0, 1, 2, E, Q et M sont alignés. • Le triangle MBE étant M-isocèle, <CBA = <BEQ. • Relativement à 1, le quadrilatère AEQP étant cyclique, <BEQ = <APQ ; par transitivité de la relation =, <CKP = <APQ ; en conséquence, le triangle CPK est C-isocèle. • Conclusion : CP = CK.

29 Ayme J.-L., Auguste Miquel…, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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19

19

REGARD 8

Deux perpendiculaires

VISION Figure :

A

B C

T

N M

0

1

X

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, M, N les milieux resp de [AB], [AC],

T le second A-perpoints de ABC, 1 le cercle circonscrit au triangle AMT

et X le point d'intersection de 1 et de la médiatrice de [AC], X étant intérieur à ABC. Donné : <NXT = 90°. 30 Commentaire : un lien avec Regard 7

30 Easy - Circles and Midpoints, AoPS du 09/06/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=592907

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20

20

VISUALISATION

A

B C

T

N M

0

1

X

P

K

Q

L

2

• Notons K le premier A-perpoints de ABC

P l'antipôle de T relativement à 1 Q le second point d'intersection de (PC) avec 1, L le point d'intersection de (BC) et (KT), et 2 le cercle de diamètre [CT]. • Scolies : (1) (BC)⊥ (KT) (2) L est le milieu de [BC]

(3) 2 passe par L. • D'après Miquel ''Le théorème des trois cercles concourants'' 31 appliqué au triangle BML avec 0, 1, 2, M, Q et L sont alignés.

31 Ayme J.-L., Auguste Miquel…, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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21

21

A

B C

T

N M

0

1

X

P

K

Q

L

R

• D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle ABC, (AC) // (MLQ). • Notons R le second point d'intersection de (PC) avec 0. • D'après ''La droite de Simson-Wallace'' 32, (LQ) est la T-simsonnienne du triangle RBC • D'après Heinen ''Direction d'une droite de Simson-Wallace'' 33, (MLQ) // (RK) par transitivité de la relation //, (AC) // (RK) ; en conséquence, (1) le trapèze cyclique ACRK est isocèle (2) le triangle PAC est P-isocèle. • Conclusion partielle : (PN) est la médiatrice de [AC]. • Par hypothèse, (PN) passe par X.

32 Ayme J.-L., Droite de Simson de Fe, G.G.G. vol. 7, p. 2-3 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 33 Heinen F., Journal de Crelle 3 (1828) 285-287

Ayme J.-L., La droite de Seimiya, G.G.G. vol. 3, p. 14 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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22

22

A

B C

T

N M

0

1

X

P

K

Q

L

R

• Conclusion : d'après Thalés ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', <NXT = 90°.

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23

23

REGARD 9

Deux perpendiculaires en un point d'Euler

VISION Figure :

A

B C

O Z

0 A*

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, A* le A-point d'Euler de ABC et Z le point d'intersection de (AB) et de la parallèle à (BC) issue de O. Donné : (A*Z) est perpendiculaire à (A*C). 34

VISUALISATION

34 Ayme J.-L., Two perpendiculars, AoPS du 21/01/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=621852 Ayme J.-L., Deux perpendiculaires, les-mathématiques.net du 22/01/2015 ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?8

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24

A

B C

O Z

0

H

A*

A'P

B'

Y

C'

• Notons A'B'C' le triangle O-symétrique de ABC et Y le point d'intersection de (AC) et (PB'). • Scolie : (B'C') // (BC). • (AA') et (AP) étant deux A-isogonales de ABC, (A'P) // (BC). • D'après H.H. van Aubel ''La P-tranversale de O'' 35, (PC') passe par Z.

A

B C

O Z

0

H

A*

A'P

B'

Y

C'

1

• Scolie : (PC)⊥ (PZ). 36 • Notons 1 le cercle de diamètre [CZ] ; il passe par P. Commentaire : nous devons montrer que 1 passe par A*. Pour cela, l’auteur propose une preuve qui se généralise en 4. Regard 1 37. Cependant une preuve immédiate utilise le résultat du

4. Regard 2. 38

35 Ayme J.-L., La P-transversale de Q, G.G.G. vol. 3, p. 4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 36 Ayme J.-L., A right triangle, AoPS du 22/01/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=621990 37 Ayme J.-L., 4. Regard 1, vol. 18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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25

25

A

B C

O Z

0

H

A*

A'P

B'

Y

C'

1

X

2

• Notons X le point d'intersection de (BC) et (PC'). • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle CC'X, Z est le milieu de [C'X]. • (BC) étant la médiatrice de [PH], le cercle de diamètre [CX] passe par P et H. • Notons 2 ce cercle.

A

B C

O Z

0

H

A*

A'P

B'

Y

C'

1

X

2

• 1 étant le cercle des milieux de 0 et 2, 1 passe par A*. • Conclusion : d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (A*Z) est perpendiculaire à (A*C).

38 Ayme J.-L., 4. Regard 2, vol. 18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/