RRÉÉFLEXION ET RFLEXION ET RÉÉFRACTION D’UNE ONDE FRACTION D’UNE ONDE ÉÉLECTROMAGNETIQUE QUELCONQUE SUR LECTROMAGNETIQUE QUELCONQUE SUR

UNE INTERFACE PLANEUNE INTERFACE PLANE

DIFFUSION PAR UNE SPHERE DIFFUSION PAR UNE SPHERE CONDUCTRICE LA THEORIE DE MIECONDUCTRICE LA THEORIE DE MIE

BELICOURT Claire

FORMULATION DU FORMULATION DU PROBLEMEPROBLEME

2 milieux linéaires, homogènes, isotropes2 milieux linéaires, homogènes, isotropes Interface z = z0Interface z = z0 Source dans milieu 1 Source dans milieu 1 champ électromagnétique champ électromagnétique

incident à l’interfaceincident à l’interface Champs réfléchis ? Transmis ?Champs réfléchis ? Transmis ? Formulation des champs à partir de soit le champ Formulation des champs à partir de soit le champ

incident soit sa source.incident soit sa source.x

source z

y

0 z0

Milieu 2Milieu 1

iE

RRÉÉFLEXION ET FLEXION ET RRÉÉFRACTIONFRACTION

Propagation dans les milieux linéaires isotropes Propagation dans les milieux linéaires isotropes sans chargessans charges

Maxwell :Maxwell :

t

DHrot

t

BErot

BD

c

1-

0 div div

AveAvec c BH

ED

1

) .(

0 Re),( wtrkiqq q

eVtrV

yxrkiqqq dkdkekVwrV

q .

-

0 w),(),(ˆ

dwewrVtrV

ia

ia

iwtqq

),(ˆRe),(

avecavec

Superposition d’ondes planes Superposition d’ondes planes Transformée de Fourier Transformée de Fourier

Solutions de type ondes planes progressives en notation complexeSolutions de type ondes planes progressives en notation complexe

ONDES TRANSVERSES (1)ONDES TRANSVERSES (1)

pour le milieu 2 (sans pour le milieu 2 (sans source)source)

Les ondes électromagnétiques sont Les ondes électromagnétiques sont transversestransverses

0 BdivEdiv

0.. 00 qqqq BkEk qE0

qkqB0

On décompose les champs en 2 vecteurs de base On décompose les champs en 2 vecteurs de base orthogonaux dans le plan perpendiculaire àorthogonaux dans le plan perpendiculaire à qk

TEqTMqqq EEwkE 000 ),(

CommCommee

),(),( 00 wkEkw

cwkB qqqqq TEqTMqqq BBwkB 000 ),(

De façon De façon générale :générale :

TEqTMqq VVwrV ˆˆ),(ˆ

ONDES TRANSVERSES (2)ONDES TRANSVERSES (2)

Les champs électromagnétiques E et B sont Les champs électromagnétiques E et B sont ainsi exprimés en fonction de 2 potentiels ainsi exprimés en fonction de 2 potentiels scalaires,scalaires, les les potentiels de potentiels de WhittakerWhittaker ou ou d’Hertz, notésd’Hertz, notés

= superposition d’ondes planes de polarisation = superposition d’ondes planes de polarisation perpendiculaireperpendiculaire au plan contenant k au plan contenant k

TEqE

TMqE

dkydkxewkVwrV rkiqpqpq q

),(),(ˆ .0

Avec

),(ˆ wrqj

= superposition d’ondes planes de = superposition d’ondes planes de polarisation polarisation parallèleparallèle au plan contenant k au plan contenant k

CONDITIONS AUX LIMITESCONDITIONS AUX LIMITES

0 0

0 0

12

T12

1212

1212

njHHBB

EEnDD

sTTNN

TNN

0 ),,( )( yxykxki

yx dkdkewkkV yx

4 équations pour déterminer les coefficients de 4 équations pour déterminer les coefficients de FresnelFresnel

Milieu 2 sans charges ni courant :Milieu 2 sans charges ni courant :

COEFFICIENTS DE COEFFICIENTS DE FRESNEL(1)FRESNEL(1)

Tkk

k

E

E

Rkk

kk

E

E

zz

z

TEi

TEt

zz

zz

TEi

TEr

21

1

21

21

12

2

0

0

12

12

0

0

2

Onde incidente polarisée perpendiculairement au Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence : plan d’incidence :

Onde Onde TETE, transverse électrique, transverse électrique

COEFFICIENTS DE COEFFICIENTS DE FRESNEL(2)FRESNEL(2)

//2

211

22

221

1

2

0

0

//2

211

22

2211

22

0

0

21

1

21

21

2T

kk

k

E

E

Rkk

kk

E

E

zz

z

TMi

TMt

zz

zz

TMi

TMr

Onde incidente polarisée parallèlement au plan Onde incidente polarisée parallèlement au plan d’incidence :d’incidence :

Onde Onde TMTM, transverse magnétique, transverse magnétique

SOLUTIONS EXACTESSOLUTIONS EXACTES

),(ˆ),(ˆ

)ˆ(~),(ˆ

)ˆ(~),(ˆ

ˆ~),(ˆ

ˆ~),(ˆ

.1//

2

1

.1//

.2

21

.2

21

wrErotw

ciwrB

dkdkeekkTwrE

dkdkeekkRwrE

dkdkeekTw

cwrE

dkdkeekRw

cwrE

pqpq

yxrik

zttiTMt

yxrik

zrriTMr

yxrik

ztiTEt

yxrik

zriTEr

t

r

t

r

DIFFUSION PAR UNE SPHDIFFUSION PAR UNE SPHÈÈRE : RE :

LA THLA THÉÉORIE DE MIEORIE DE MIE

Onde plane monochromatique, polarisée Onde plane monochromatique, polarisée linéairementlinéairement

Sphère de rayon a dans milieu homogène isotrope Sphère de rayon a dans milieu homogène isotrope non conducteurnon conducteurx

z

IIMilieu Ia

rρE(i)

Әt

ri

EE

EEE

pour milieu Ipour milieu I

pour milieu pour milieu IIII

Il faut résoudre les équations de Maxwell Il faut résoudre les équations de Maxwell en coordonnées sphériques, pour les en coordonnées sphériques, pour les

champs champs EE et et HH

ONDES TE ET TMONDES TE ET TM

Solution des équations = superposition de 2 Solution des équations = superposition de 2 champs linéaires indépendants tels que :champs linéaires indépendants tels que :

magnétique ondeTE onde 0

électrique ondeTM onde 0

rrm

rm

re

rre

HH

E

H

EE

Potentiels de Debye, solutions de l’équation Potentiels de Debye, solutions de l’équation d’onde :d’onde :

022 k

Problème de diffraction = 2 solutions Problème de diffraction = 2 solutions indépendantes de l’équation d’onde en indépendantes de l’équation d’onde en coordonnées sphériquescoordonnées sphériques

SSÉÉPARATION DES PARATION DES VARIABLESVARIABLES

Théorie de Mie = séparer les variables pour Théorie de Mie = séparer les variables pour résoudre l’équation d’onde en sphériquesrésoudre l’équation d’onde en sphériques

3 équations indépendantes :3 équations indépendantes :

)()()( rR

)(1

Bessel deéquation équation 3

)(cos : Legendre de fonctions sphériques sHarmonique

)sin()cos( ordre2 linéaire ED

2

1

)(

ème

krZkr

R

P

mbma

l

ème

ml

mm

Avec Z : fonction cylindrique générale = Avec Z : fonction cylindrique générale = combinaison linéaire de 2 fonctions cylindriques : combinaison linéaire de 2 fonctions cylindriques : fonctions de Bessel J et fonctions de Neumann Nfonctions de Bessel J et fonctions de Neumann N