Redressement commandé : corrigé

Les redresseurs commandés sont des convertisseurs alternatif – continu (AC – DC) dont la valeur moyennede la tension de sortie est réglable.

I. Le thyristor

1. Présentation

Le thyristor est un interrupteur unidirectionnel commandé à lafermeture (les commutations à l'ouverture sont naturelles). Sonsymbole est représenté ci­contre. Il est relié à l'extérieur par troisbornes appelées « anode », « cathode » et « gâchette ».

2. Caractéristique statique• Le thyristor peut être bloqué (interrupteur ouvert) dans le sens direct (vAK positive) et dans le sens inverse

(vAK négative).

• Il ne peut être passant (interrupteur fermé) que dansle sens direct, le courant principal (i sur le schémaci­dessous) traverse le thyristor de l'anode vers lacathode.

3. Commutations

La gâchette est l'électrode de commande : pourcommander un thyristor à la fermeture, il faut que latension à ses bornes soit positive et imposer un courantd'intensité suffisante (mais très faible devant le courantprincipal) dans la gâchette. En pratique, le circuit decommande est relié entre la gâchette et la cathode.

Pour bloquer un thyristor, il faut lui imposer unetension négative ou annuler son courant principal.

4. Retard à l'amorçage et angle de retard à l'amorçageUn thyristor ne peut être amorcé (rendu passant) que si la tension à ses bornes est positive. Dans lesconvertisseurs étudiés par la suite, les tensions aux bornes des thyristors sont constituées de portions desinusoïdes et le retard à l’amorçage est « la durée qui s’écoule entre l’instant pour lequel le thyristordeviendrait passant s’il était une diode et l’instant auquel le circuit déclencheur lui envoie une impulsion ».

Exemple : dans le schéma ci­dessous, la tension aux bornes du thyristor est notée v(q) avec q = wt

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Si le thyristor était une diode, ildeviendrait passant dès que la tensionv(q) tendrait à devenir positive.

La période étant ramenée à un anglede 2π radians ou 360°, on définitl’angle de retard à l’amorçage quicorrespond au retard à l’amorçage :c'est l' angle ψ.

II. Étude théorique des ponts monophasésLes convertisseurs étudiés par la suite comportent des thyristors associés à des diodes (ponts mixtes) ouuniquement des thyristors (ponts complets).

Les circuits de commande (gâchette et cathode) sont reliés à des circuits déclencheurs (souvent nonreprésentés sur les schémas) qui délivrent des impulsions de gâchette synchronisées sur le réseau.

Dans cette partie, le courant côté continu est supposé parfaitement lissé et noté Ic.

1. Pont mixte symétriqueLe schéma comporte deux thyristors à cathodes communes (commutateur « plus positif ») et deux diodes àanodes communes (commutateur « plus négatif»).

a. Intervalles de conductionIndiquer sur le document réponse de la page suivante :

• les intervalles de conduction des diodes

• les instants pour lesquels T1 et T2 seraient susceptibles dedevenir passants s'ils étaient des diodes

• les intervalles de conduction des thyristors pour un anglede retard à l’amorçage de 30°.

b. Étude des tensions

i(t)

v(t)

T1T2

uc(t)

ic(t)

D1 D2

Représenter la tension aux bornes de la charge, pour ψ = 30° (sur le document réponse q = wt).

La valeur moyenne de la tension aux bornes de la charge est donnée par : uc=V maxπ (1+cos ψ) (la relation

n'est pas à retenir). Représenter l’évolution de uc en fonction de ψ (pour ψ variant de 0 à π rad).

c. Étude des courants Représenter pour ψ = 30° : l’intensité dans la diode D1, l’intensité dans le thyristor T2 et l’intensité i(t) en

entrée du pont.

Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace en fonctionde Ic. En déduire le facteur de puissance vu de l’alimentation alternative.

Voir http:// etasc .fr/index.php/page/cours/pontSymInterCond/redressementC et les pages suivantes

2. Pont mixte asymétriqueChaque commutateur (« plus positif » et « plus négatif ») comporte une diode et un thyristor.

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a. Intervalles de conductionIndiquer sur le document réponse de la page suivante lesintervalles de conduction des diodes et des thyristors pourun angle de retard à l’amorçage égal à 30°.

b. Étude des tensions Représenter la tension aux bornes de la charge, pour

ψ = 30°.

i(t)

v(t)

T1

T2

uc(t)

ic(t)

D1

D2

Comparer cette tension avec celle du pont symétrique et en déduire l'expression de sa valeur moyenne.

c. Étude des courants Représenter pour ψ = 30° : l’intensité dans la diode D1, l’intensité dans le thyristor T2 et l’intensité i(t) en

entrée du pont.

Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace. En déduirele facteur de puissance vu de l’alimentation alternative.

Voir http:// etasc .fr/index.php/page/cours/pontAsymInterCond/redressementC

Pont mixte symétrique

0 π 2π

θ (rad)

Vmaxv( )θ

T1T2

D2

D1

iD1( )

iT2( )θ

θ

i( )θ

(rad)

(rad)

(rad)

θ

θ

θ

0

0

0

Pont mixte asymétrique

0 π 2π

θ (rad)

Vmaxv( )θ

T1T2

D2

D1

iD1( )

iT2( )θ

θ

i( )θ

(rad)

(rad)

(rad)

θ

θ

θ

0

0

0

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3. Pont complet (ou tout thyristor)Chaque commutateur (« plus positif » et « plus négatif ») est constitué de deux thyristors.

a. Intervalles de conductionIndiquer sur le document réponse (à la page suivante) lesintervalles de conduction des thyristors pour un angle deretard à l’amorçage égal à 30°.

b. Étude des tensions Représenter la tension aux bornes de la charge pour

ψ = 30°.

i(t)

v(t)

T1

T2

uc(t)

ic(t)

T'1

T'2

La valeur moyenne de la tension aux bornes de la charge est donnée par : uc=2V max

π cos ψ (la relation

n'est pas à retenir) . Représenter l’évolution de uc en fonction de ψ (pour ψ variant de 0 à π rad).

c. Étude des courants Représenter pour ψ = 30° : l’intensité dans le thyristor T2 et l’intensité i(t) en entrée du pont.

Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace. En déduirele facteur de puissance vu de l’alimentation alternative.

d. Fonctionnement en onduleur assisté Représenter pour ψ = 120° la tension aux bornes de la charge.

Quel est le signe de sa valeur moyenne ?

Le sens du courant côté continu peut­il être modifié ? En déduire que l'énergie est transférée du côtécontinu vers le côté alternatif.

Justifier l’appellation d’onduleur assisté.

Pour ψ = 30° Pour ψ = 120°

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Voir http:// etasc .fr/index.php/page/cours/pontCompletInterCond/redressementC

III. Exercice : alimentation d'une machine à courant continuOn considère une machine à courant continu dont l'inducteur est relié à un pont mixte monophasé et dontl'induit est relié à un pont complet monophasé. Les deux ponts, supposés parfaits, sont connectés au réseaude distribution (230 V ; 50 Hz) par l'intermédiaire de deux transformateurs monophasés supposés parfaits.L'objectif est d'utiliser les résultats établis précédemment pour dimensionner puis étudier les redresseurs.

Il peut être judicieux de représenter schématiquement le dispositif étudié.

Caractéristiques de la machine :• Inducteur : 160 V et 0,3 A ; induit : 220 V et 5,7 A. Vitesse : 1200 tr/min. Résistance de l'induit : 3,5 W.• Tension d'induit mesurée en génératrice à vide avec intensité d'excitation et vitesse nominales : 203 V.• Intensité d'induit en moteur à vide avec intensité d'excitation nominale : 0,6 A.

1. Dimensionnement du circuit inducteurOn souhaite obtenir le courant nominal d'excitation pour un angle de retard à l'amorçage égal à 15°.

a. Déterminer le rapport de transformation du transformateur.D'après l'énoncé, l'inducteur est relié à un pont mixte monophasé, la valeur moyenne de sa tension de sortie

est donnée par la relation uc=V maxπ (1+cos ψ) (à ne pas connaître par cœur) avec y = 15° (angle de retard à

l'amorçage).

Puisque uc et y sont connus, on peut déterminer Vmax (valeur maximale de la tension d'entrée du redresseur)

soit V max=πuc

1+cos ψ=

π×1601+cos 15

=256 V (attention, la calculatrice doit être en « degrés ») puis la valeur

efficace de la tension d'entrée du redresseur V eff=V max

√2=

256√2

=181 V .

La valeur efficace de la tension au primaire du transformateur reliant le réseau à l'entrée du pont mixte est

égale à 230 V, le rapport de transformation de ce transformateur est donc m=181230

=0,787

b. Calculer la valeur efficace du courant secondaire du transformateur et en déduire sa puissance apparente.D'après l'étude du fonctionnement du redresseur monophasé mixte, le courant secondaire du transformateurest nul entre 0 et ψ ; égal au courant dans la charge (côté continu) entre ψ et π ; de nouveau nulentre π et π+ψ et enfin égal à l'opposé du courant dans la charge entre π+ψ et 2π .Pour calculer sa valeur efficace :• il faut élever au carré la valeur instantanée : on obtient un signal égal au carré du courant dans la charge

entre ψ et π et entre π+ψ et 2π et nul le reste du temps.

• Prendre la valeur moyenne du signal précédent : Ieff2

=1

2 π(π−ψ) I c

2+[2π−(π+ψ)] I c

2 ou en

remarquant que le signal entre π+ψ et 2π est identique à celui entre ψ et π

I eff2

=1π [(π−ψ) I c

2] .

• Prendre la racine carrée du résultat précédent : I eff=√ 1π (π−ψ)I c

Application numérique (convertir l'angle y = 15° en radians ou remplacer p par 180°) :

I eff=√ 1π (π− π

12)0,3=0,287 A .

La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces de la tension (181 V) et de l'intensité (0,287 A) soit S=181×0,287=52 VA

2. Dimensionnement du circuit induitOn souhaite obtenir la tension nominale d'induit pour un angle de retard à l'amorçage égal à 30°.

a. Déterminer le rapport de transformation du transformateur.

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La démarche est identique à celle pour l'inducteur, seul le type du pont et les valeurs sont modifiées.

D'après l'énoncé, l'induit est relié à un pont complet monophasé, la valeur moyenne de sa tension de sortie

est donnée par la relation uc=2V max

π cos ψ (à ne pas connaître par cœur) avec y = 30° (angle de retard à

l'amorçage).

Puisque uc et y sont connus, on peut déterminer Vmax (valeur maximale de la tension d'entrée du redresseur)

soit V max=πuc

2 cos ψ=

π×2202cos 30

=399 V (attention, la calculatrice doit être en « degrés ») puis la valeur

efficace de la tension d'entrée du redresseur V eff=V max

√2=

399√2

=282 V .

La valeur efficace de la tension au primaire du transformateur reliant le réseau à l'entrée du pont mixte est

égale à 230 V, le rapport de transformation de ce transformateur est donc m=282230

=1,226 . Ce

transformateur est élévateur de tension.

b. Calculer la valeur efficace du courant secondaire du transformateur et en déduire sa puissance apparente.

D'après l'étude du fonctionnement du redresseur monophasé complet, le courant secondaire dutransformateur est nul égal au courant dans la charge (côté continu) entre ψ et π+ψ et égal àl'opposé du courant dans la charge entre π+ψ et 2π+ψ .Pour calculer sa valeur efficace :• il faut élever au carré la valeur instantanée : on obtient un signal égal au carré du courant dans la charge

pendant toute la période• Prendre la valeur moyenne du signal précédent : I eff

2=I c

2 car le signal est une constante égale à I c2

• Prendre la racine carrée du résultat précédent : I eff=I c

Application numérique : I eff=5,7 A .La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces de la tension (282 V) et de l'intensité (5,7 A) soit S=282×5,7=1610 VA

3. Étude d'un fonctionnement en moteur (courant inducteur nominal)En régime établi, les couples utile et résistant sont égaux. Déterminer l'angle de retard à l'amorçage pour unevitesse de 900 tr/min et un couple résistant égal à 8 N.m. Calculer la puissance fournie par le réseau.

Le pont relié à l'induit de la machine ne présente aucune perte d'après l'énoncé, la puissance fournie par leréseau est donc égale à celle reçue par la machine. Pour calculer cette dernière, il faut connaître les valeursmoyennes de la tension et de l'intensité pour l'induit de la machine.

• Calcul de l'intensité d'induit : on doit déterminer le couple électromagnétique (noté Cem) et la constante decouple (notée K) puis utiliser la relation Cem=KI

D'après l'énoncé, la tension à vide en génératrice (appelée aussi fém et notée E) est égale à 203 V pour lavitesse nominale (notée n et égale à 1200 tr/min) et l'intensité nominale dans l'inducteur.

Puisque E=K Ω avec W en rad/s alors K=EΩ

et Ω=2πn60

soit

K=60 E2πn

=60×203

2π×1200=1,61 N.m/A ou V/rad/s

D'après l'énoncé, le courant à vide en moteur (noté I0) a une intensité de 0,6 A ce qui permet de déterminer lecouple de pertes Cp=K I0=1,61×0,6=0,97 N.m

La charge opposant un couple résistant, Cr = Cu, de 8 N.m, il faut lui ajouter le couple de pertes pour obtenirle couple électromagnétique Cem soit Cem=Cu+Cp=8+0,97=8,97 N.m

La relation Cem=KI permet d'établir que I=C em

K=

8,971,61

=5,57 A

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• Calcul de la tension aux bornes de l'induit : on doit déterminer la fém correspondant à la vitesse enutilisant la relation E=K Ω puis la tension aux bornes de l'induit en appliquant la loi des mailles auschéma équivalent de l'induit (composé de la fém E en série avec la résistance de l'induit notée r) orientéavec la convention récepteur.

La machine tourne à 900 tr/min et la constante K vaut 1,61 V/rad/s ce qui donne

E=K 2πn

60=

1,61×2π×90060

=152 V

La loi des mailles permet d'écrire U=E+r I =152+3,5×5,57=172 V

D'où la puissance fournie par le réseau P=U I=172×5,57=958 W

4. Étude d'un fonctionnement en génératrice (courant inducteur nominal)L'angle de retard à l'amorçage est égal à 125° et le courant induit est égal à 5 A. Déterminer la vitesse derotation et comparer le sens de rotation de cette question avec celui de la précédente. Calculer la puissancefournie par le réseau et préciser le sens de transfert de l'énergie.

On utilise la relation uc=2V max

π cos ψ pour déterminer la tension aux bornes de l'induit ce qui donne

uc=2×399

π cos125=−146 V .

La loi des mailles permet d'écrire U=E+r I (U est la valeur moyenne de la tension aux bornes del'induit, c'est à dire uc ) soit E=U−r I=−146−3,5×5=−163 V .

La relation E=K Ω avec Ω=2πn60

donne E=K2πn60

soit

n=30 EK π

=30×(−163)

1,61 π=−967 tr/min

Le signe négatif traduit un sens de rotation opposé à celui de la question précédente.

La puissance fournie par le réseau P=U I=−146×5=−730 W . Cette puissance est négative car lamachine fonctionne en génératrice et fournit de l'énergie au réseau : le pont fonctionne alors en onduleurassisté.

IV. Pont complet triphasé

1. Intervalles de conduction et tension de sortie

Le schéma est représenté ci­contre : il estconstitué de deux commutateurs (l'un àcathodes communes, l'autre à anodescommunes) comportant uniquement desthyristors.

Les chronogrammes seront tracés sur les

graphes ci­dessous pour ψ=π3

rad et

ψ=2 π

3 rad .

v1(t)

vp3(t)

vp2(t)

vp1(t) T1 T2 T3

uc(t)

Icv2(t)

v3(t)

T4 T6T5

i2(t)

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ψ=π3

0

T1

T3

T2

v2(t) v3(t)

t (ms)

0

iT2(t), iT5(t)

0

i2(t)

t (ms)

t (ms)

10 20

T4

T5

T6

v1(t)

ψ=2 π

3

0

T1

T3

T2

v2(t) v3(t)

t (ms)

0

iT2(t), iT5(t)

0

i2(t)

t (ms)

t (ms)

10 20

T4

T5

T6

v1(t)

Indiquer les instants pour lesquels les thyristors deviendraient passants s'ils étaient des diodes.

Indiquer les intervalles de conduction des thyristors.

Représentation de la tension côté continu.

• Dessiner le schéma équivalent au redresseur lorsque les thyristors T3 et T5 sont passants (les quatre autressont alors bloqués).

• Écrire la loi des mailles permettant d'obtenir l'expression de uc(t) en fonction de deux des tensions d'entréedu redresseur.

• Repérer les tensions composées sur les documents réponses (il peut être judicieux de tracer rapidement undiagramme de Fresnel avec les vecteurs associés aux tension simples et de placer les tension composéespour déterminer leurs phases).

• Tracer uc(t) sur l'intervalle étudié précédemment.

Redressement commandé Page 8 sur 16 TS1 ET 2013­2014

• Recommencer pour les autres intervalles.

La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation uc=3V 23

cos avec V la

valeur efficace des tensions simples au secondaire du transformateur (la relation n'est pas à connaître).

Tracer l'évolution de uc en fonction de ψ pour une variation de 0 à π rad. Indiquer les fonctionnements enredresseur et onduleur assisté. Préciser les conditions de fonctionnement en onduleur assisté.

2. Étude des courants• Représenter les intensités dans les thyristors T2 et T5. Déterminer les expressions de leurs valeurs moyenne

et efficace en fonction de Ic.

• Représenter l’intensité i2(t). Déterminer l'expression de sa valeur efficace.

• Exprimer le facteur de puissance au secondaire en fonction de ψ.

Voir http:// etasc .fr/index.php/page/cours/schemaPD3/redressementC et les pages suivantes.

V. Exercice : association d'une machine à courant continu et d'un redresseur triphasé tout thyristorsOn considère un dispositif constitué d'une machine à courant continu à aimants permanents dont l'induit estrelié à un redresseur triphasé tout thyristors. Les notations sont les mêmes que pour le paragraphe III. Lasource de courant est remplacée par l'induit de la machine.

Les caractéristiques de la machines sont les suivantes :

• Intensité nominale : 21 A ; tension nominale : 300 V ; vitesse nominale : 1280 tr/min ; résistance etinductance de l'induit : 1,5 Ω et 5 mH.

• Lors d'un essai en génératrice à vide à vitesse nominale, on a relevé une tension de 283 V aux bornes del'induit.

• Lors d'un essai en moteur à vide sous tension nominale, la vitesse était égale à 1424 tr/min pour uneintensité de 1,2 A.

1. Étude du redresseurLe courant côté continu est supposé parfaitement lissé.

a. Sur le document réponse de la page suivante, indiquer les intervalles de conduction des thyristors pour unangle de retard à l'amorçage ψ égal à 60°.

Le trait rouge indique l'instant pour lequel la thyristor T1 deviendrait passant s'il était une diode ; à partir dece trait, un temps équivalent à 60° s'écoule avant que le thyristor T1 reçoive l'impulsion... et ainsi de suitepour les autres thyristors. Voir le document réponse.

b. Tracer l'évolution de la tension côté continu pour ψ = 60°.

Lorsque T3 et T4 sont passants, la loi des mailles permet d'écrire uc (t)=v3(t)−v1(t)=u31(t ) , il ne resteplus qu'à repérer u31(t) sur le graphique. On procède de même pour les autres intervalles. Voir la courbe entrait rouge épais sur le document réponse.

c. Représenter l'intensité du courant dans un thyristor et calculer ses valeurs moyenne et efficace.

On choisit par exemple le thyristor T1 : le courant qui le traverse est nul lorsqu'il est bloqué et égal à Ic

lorsqu'il est passant. Voir le document réponse (2 divisions verticales pour Ic).

Valeur moyenne : I Tmoy=1

2πI c

2π

3=

I c

3

Valeur efficace (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée) :

ITeff=√ 12π

I c2 2π

3=

I c

√3

d. Représenter l'intensité dans un enroulement secondaire du transformateur et calculer sa valeur efficace.

Redressement commandé Page 9 sur 16 TS1 ET 2013­2014

On choisit par exemple le secondaire relié au thyristor T1 : le courant qui le traverse est nul lorsque T1 et T4

sont bloqués, égal à Ic lorsque T1 est passant et égal à ­Ic lorsque T4 est passant. Voir le document réponse (2divisions verticales pour Ic).

Valeur efficace (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée) :

I eff=√ 12π

2 I c2 2π

3=I c√ 2

3

e. La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation uc=3U √2

π cos ψ avec U la

valeur efficace des tensions composées au secondaire du transformateur. Calculer le facteur de puissance ausecondaire du transformateur.

Le redresseur étant sans pertes, les puissances côté continu et alternatif sont égales soit P=uc I c enremplaçant la valeur moyenne de la tension côté continu par son expression, on obtient

P=3U √2 I c

π cos ψ

La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces des tensions et intensités côté alternatif

(attention : dispositif triphasé) donc S=3V I eff=√3U I eff et I eff=I c√ 23

Facteur de puissance k=PS=

3U √2 I cπ cos ψ

√3U I c √ 23

=3π cos ψ

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2. Étude du moteura. Exploiter l'essai à vide en génératrice pour déterminerla constante de couple (en N.m/A)

Cet essai donne une tension (fém E) de 283 V pour unevitesse n = 1280 tr/min. Comme E=K Ω et

Ω=2πn60

alors

K=30 Eπn

=30×283π×1280

=2,11 N.m/A

b. Exploiter l'essai à vide en moteur pour déterminer lecouple de pertes (supposé constant pour la suite).

Cet essai indique que l'intensité à vide I 0 est égale à1,2 A et comme Cp=K I 0 alors

Cp=2,11×1,2=2,53 N.m

c. En régime établi, le couple utile du moteur est égal aucouple résistant de la charge, calculer l'intensité et lavitesse de rotation pour un couple résistant égal à 35 N.m et une tension d'induit nominale.

Le couple électromagnétique Cem est égal à lasomme du couple utile Cu et du couple de pertes soit

Cem=Cu+Cp=35+2,5=37,5 N.m . Le coupleélectromagnétique et l'intensité dans l'induit sont reliés

par Cem=K I donc I=C em

K=

37,52,11

=17,8 A

d. Établir l'équation reliant l'intensité dans l'induit, lavitesse de rotation (exprimée en tr/min), la tension auxbornes de l'induit et les caractéristiques de la machine.Tracer l'évolution de l'intensité dans l'induit en fonctionde la vitesse pour U = U1 = 300 V puis U = U2 = 150 V.

Le circuit d'induit étant orienté avec la conventionrécepteur, la loi des mailles permet d'écrire

U=E+r I avec U la tension aux bornes de l'induit,I l'intensité qui le traverse et r sa résistance. Puisque

E=K Ω et Ω=2πn60

alors E=K π

30n .

Document réponse

En remplaçant E par son expression dans U=E+r I , on obtient U=K π

30n+r I et finalement

I=Ur

−K π

30 rn

Les courbes demandées sont des droites de pente K π

30 r=

2,11×π

30×1,50,147 SI et d'ordonnées à l'origine

U 1

r et

U 2

r

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3. Étude de l'associationa. Calculer les angles de retard à l'amorçage pour que la valeur moyenne de la tension de sortie du redresseursoit égale à U1 puis à U2 (la valeur efficace des tensions secondaires est égale 230 V).

La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation uc=3V √3√2

π cos ψ avec V la

valeur efficace des tensions simples côté alternatif. On obtient donc cos ψ=πuc

3V √3√2

Si la valeur efficace des tensions simples est égale à 230 V

Pour uc=U 1 : cos ψ=π×300

3×230√3√2=0,558 soit ψ1=56 °

Pour uc=U 2 : cos ψ=π×150

3×230√3√2=0,279 soit ψ2=74 °

Si la valeur efficace des tensions composées est égale à 230 V

Pour uc=U 1 : cos ψ=π×300

3×230√2=0,966 soit ψ1=15°

Pour uc=U 2 : cos ψ=π×150

3×230√2=0,483 soit ψ2=61°

Pour la suite, on suppose que ce sont les tensions composées qui ont 230 V pour valeur efficace.

b. Le couple sur l'arbre est maintenu constant et égal à 30 N.m. L'angle de retard à l'amorçage passe de 60° à30°.

Calculer la vitesse en régime établi pour 30°.

Si le couple sur l'arbre est égal à 30 N.m alors le couple électromagnétique est égal à 32,5 N.m (on ajoute le

couple de pertes). Comme Cem=K I alors I=C em

K=

32,52,11

=15,4 A

D'après la question 2.d U=K π

30n+r I donc n=

30K π

(U −r I ) et U=3V √3√2

π cos ψ soit

finalement n=30K π

(3 V √3√2

π cos ψ−r I )=30

2,11×π(3×230√2

π cos60−1,5×15,4 )=598 tr/min

Calculer l'intensité moyenne du courant dans l'induit juste après la modification de l'angle ψ.

Juste après cette modification, la vitesse est inchangée à cause de l'inertie du groupe, il en est de même de la

fém E=K π

30n=

2,11 π

30598=132 V

Comme U=E+r I alors I=U −E

r=

3 V √3√2π cos ψ−E

r=

3×230√2π cos30−132

1,5=91,3 A

c. L'angle de retard à l'amorçage est égal à 30°, le moment du couple imposé par la charge passe de Cr1 = 30 N.m à Cr2 = 20 N.m

Calculer les vitesses n1 et n2 de rotation correspondant aux couples Cr1 et Cr2 en régime établi.

Calcul des intensités dans l'induit : I=C em

K=

C r+Cp

K soit pour Cr1 : I1=

30+2,52,11

=15,4 A et pour

Cr2 : I1=20+2,5

2,11=10,7 A

La relation n=30K π

(3 V √3√2

π cos ψ−r I ) établie précédemment est toujours valable et donne

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pour Cr1 : n1=30

2,11π(3×230√2

π cos30−1,5×15,4)=1128 tr/min

pour Cr2 : n1=30

2,11π(3×230√2

π cos30−1,5×10,7)=1145 tr/min

La machine accélère légèrement lorsqu'elle est déchargée.

Calculer l'angle de retard à l'amorçage qui permet de maintenir la vitesse égale à n1 lorsque le couple estégal à Cr2.

La tension aux bornes de l'induit est obtenue par U=E+r I avec E=K π

30n=

2,11 π

301128=249 V

et I = 10,7 A soit U=249+1,5×10,7=265 V

La relation cos ψ=πuc

3V √3√2, établie à la question 3.a, donne cos ψ=

π×2653×230√2

=0,853 soit un angle

y = 31°.

VI. Exercice : étude d’une liaison continue entre deux réseaux alternatifs

La liaison continue étudiée est une versionsimplifiée de la liaison continue« transmanche ». Les réseaux alternatifs côtéfrançais et côté anglais sont reliés parl'intermédiaire d'une liaison à courant continu.Des ponts à thyristors (PD3) sont placés têtebêche de part et d'autre de la Manche etfonctionnent soit en redresseur soit en onduleurassisté selon le sens de transfert de l'énergie.

uc1(t) uc2(t)

ic(t)France G.B.

Lien :http://www.rte­france.com/fr/actualites­dossiers/a­la­une/cure­de­jouvence­po

ur­l­interconnexion­electrique­france­angleterre­1

Les réseaux 1 et 2 (côté français et côté anglais) sont des réseaux triphasés 50 Hz, les valeurs efficaces destensions composées valent 225kV.

Les tensions simples et les courants de ligne sont respectivement notés :

• tensions simples « France » : v1a(t), v1b(t), v1c(t) et courants de ligne « France » : i1a(t), i1b(t), i1c(t).

• tensions simples « G.B. » : v2a(t), v2b(t), v2c(t) et courants de ligne « G.B. » : i2a(t), i2b(t), i2c(t).

Entre les deux réseaux est placée une bobine d'inductance L. La résistance totale (ligne et inductance) est r = 0,5 Ω.

1. Étude de la partie continuea. Rappeler les relations donnant Uc1moy(y1) et Uc2moy(y2), tensions moyennes fournies par le pont 1 et par lepont 2 en fonction de y1 et y2.

Les valeurs des tensions composées sont notées respectivement U1 et U2. Les valeurs moyennes des tensions

sont données par U c1moy=3U 1√2

π cosψ1 et U c2moy=

−3U 2 √2π cos ψ2

(la pointe de la flèche côté

anglais est dirigée vers les anodes du commutateur à anodes communes).

b. Donner l'équation différentielle liant uc1(t), uc2(t), r, L et ic(t).

D'après la loi des mailles : uc1(t )– r ic (t) – Ld ic (t)

dt–uc2(t)=0

c. Donner l'équation liant Uc1moy, Uc2moy, Icmoy (valeur moyenne de l’intensité continue ic(t)) et r.

Le courant dans la liaison continue étant périodique, la valeur moyenne de Ld ic(t)

dt (tension aux bornes

de l'inductance L) est nulle et la relation précédente s'écrit U c1moy – r I cmoy – U c2moy=0

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d. En déduire la relation liant y1, y2, r et Icmoy.

En remplaçant Uc1moy et Uc2moy par leurs expressions de la question 1.a, on obtient :

3 U1 √2π cos ψ1 – r I cmoy+

3 U2√2π cos ψ2=0

e. Montrer comment le choix de y1 et y2 détermine le sens de transfert de l'énergie entre les deux réseaux.

La relation 3 U1 √2π cos ψ1 – r I cmoy+

3 U2√2π cos ψ2=0 peut aussi s'écrire :

3 U1 √2π cos ψ1=r I cmoy−

3U2 √2π cos ψ2

Si 0<ψ1<90 ° alors 3U1 √2π cos ψ1

est positif : le pont côté français fonctionne en redresseur et

celui côté anglais doit fonctionner en onduleur assisté donc 90<ψ2<180 ° (si les deux pontsfonctionnent en redresseur alors leur charge est la résistance de la boucle continue et le courant atteindraitdes valeurs énormes).

Si 90<ψ1<180 ° alors 3U 1 √2π cos ψ1

est négatif : le pont côté français fonctionne en onduleur

assisté et celui côté anglais doit fonctionner en redresseur donc 0<ψ2<90 ° (si les deux pontsfonctionnent en onduleur assisté alors lla résistance de la boucle continue « fournirait » de l'énergieélectrique).

f. y2 étant fixé à 150°, calculer le courant circulant dans la ligne continue lorsque le réseau 2 « consomme »une puissance de 500 MW. Quel est alors la valeur de y1 ?

Dans ce cas, le pont côté anglais fonctionne en onduleur assisté. La puissance côté continu s'écrit

P2=U c2moy I c et U c2moy=−3U 2 √2

π cos ψ2=−3×225.103√2

π cos150=263 kV ce qui donne

I c=P2

U c2moy

=500.106

263.103 =1900 A

La relation 3 U1 √2π cos ψ1=r I cmoy−

3U2 √2π cos ψ2

(question e) donne

cos ψ1=π

3U 1√2(r I cmoy−

3U 2 √2π cos ψ2)=

π3×225.103√2

(1,5×1900+263.103)=0,875 soit un

angle de retard à l'amorçage y1 très proche de 30° (28,96° utilisé pour un calcul par la suite).

g. Faire un bilan de puissance dans les conditions précédentes (puissance fournie par le réseau 1, puissanceperdue par effet Joule, puissance reçue par le réseau 2).

D'après l'énoncé, la puissance reçue par le réseau 2 est égale à 500 MW. Les pertes par effet Joule dans laboucle continue sont égales à rI c

2=1,5×19002

=5,4 MW ; le réseau 1 doit donc fournir 505,4 MW ceque l'on peut vérifier par le calcul de

P1=U c1moy I c=3U 1√2

π cos ψ1 I c=3×225.103√2

π cos 28,96×1900=505 MW

h. Montrer que les pertes sont diminuées lorsque la tension continue est augmentée. Pourquoi ne peut­on pastravailler à y1 = 0° ?

Si la tension côté continue est augmentée alors le courant dans la boucle continue est diminué pour unepuissance donnée. Comme les pertes par effet Joule dépendent du carré de l'intensité efficace de ce courant,elles diminuent si le courant dans la boucle continu diminu.

L'angle y1 = 0° entraînerait un angle proche de 180° côté anglais avec le risque de perte de contrôle del'onduleur. Voir la remarque en bas de la page :

http://etasc.fr/index.php/page/cours/pontCompletOnduleur/redressementC

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2. Étude de la partie alternativeOn suppose que l'inductance L est de valeur suffisamment élevée pour que ic(t) puisse être considéré commeconstant et que les résistances du câble et de l'inductance sont négligeables.

Avec ces hypothèses, U c1moy – r I cmoy – U c2moy=0 devient U c1moy=U c2moy et cos ψ1=−cos ψ2

a. Tracer sur le graphe ci­contre l'allure dei1a(t) et i2a(t) pour y1 = 30°.

Si y1 = 30°. alors y2 = 150°. Les courants sonttracés en utilisant la méthode décrite à la pagehttp://etasc.fr/index.php/page/cours/courantLignePD3/redressementC

Pour améliorer la présentation, chaque estreprésenté sur un système d'axes sur le grapheci­contre.

b. Représenter le fondamental de i1a(t), notéi1af(t). Montrer que i1af(t) et v1a(t) sont déphasésd'un angle y1.

Le fondamental est une sinusoïde de mêmefréquence que le signal. Il passe par zéro aumilieu des paliers pour lesquels le courant estnul ; par son maximum au milieu du palierpour lequel le courant est égal à Ic et par sonminimum au milieu du palier pour lequel lecourant est égal à ­Ic .

Le déphasage entre i1af(t) et v1a(t) est indiquésur le graphique, on vérifie bien qu'il est égalà 30° soit l'angle y1.

On admettra que le fondamental de i2a(t), noté i2af(t), et v2a(t) sont déphasés d'un angle y2.

c. Calculer la valeur efficace de i1a(t) et la valeur efficace de i2a(t) en fonction de Icmoy.

La méthode est toujours la même (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racinecarrée). Les deux courants étant identiques à un décalage temporel près, on obtient :

I eff=√ 12π

2 I cmoy2 2π

3=I cmoy √ 2

3

d. Calculer la valeur efficace du premier harmonique de i1a(t) et i2a(t) en fonction de Icmoy (On déduira cesvaleurs de l'égalité des puissances entre côté continu et côté alternatif).

La puissance côté continue s'écrit P1=U c1moy . I cmoy et côté alternatif, elle s'écritP1=√3.U eff . I 1eff . cos ψ1 avec Ueff la valeur efficace des tensions composées côté alternatif (225 kV) et

I1eff la valeur efficace du fondamental de i1a(t).

Remarque : pour la justification des deux relations voir les cas particuliers de la pagehttp://etasc.fr/index.php/page/cours/puissanceActive/physiqueGenerale:puissRegPer.

Les deux puissances sont égales, en remplaçant U c1moy par 3 U eff√2π cos ψ1

on obtient la relation

3 U eff√2π cos ψ1 I cmoy=√3U eff I1eff cos ψ1

ce qui donne I1eff=3√2√3π

I cmoy=√6π I cmoy

En prenant Icmoy = 1900 A on obtient I1eff=√6π ×1900=1481 A

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y1 = 30°

y2 = 150°

La valeur efficace du fondamental de i2a(t) est égale aussi à 1481 A car les deux courants sont identiques audécalage temporel près.

e. Montrer que, au sens du premier harmonique de courant, les deux ponts consomment de l'énergie réactive.Préciser d'où vient cette énergie réactive.La tension étant sinusoïdale, la puissance réactive est donnée par la relation Q1=√3.U eff . I 1eff . sinψ1

(voir le cas particulier de la pagehttp://etasc.fr/index.php/page/cours/puissanceReactive/physiqueGenerale:puissRegPer)

Ce qui donne Q1=√3×225.103×1900×sin30=370 kvar . L'entrée du pont étant orientée avec la

convention récepteur, il « reçoit » une énergie réactive qui lui est « fournie » par le réseau.On obtient le même résultat pour la puissance réactive du pont fonctionnant en onduleur.

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