THESE Prsente

devant lUNIVERSITE DE SAVOIE pour obtenir

le grade de DOCTEUR Par

Adrien Badel

Rcupration dnergie et contrle vibratoire par lments

pizolectriques suivant une approche non linaire

Formation Doctorale : Mcanique et Matriaux

Ecole Doctorale : Ecole Doctorale de lUniversit de Savoie

Jury : MM. Frdric Bouillault (Rapporteur) Professeur lUniversit Paris Sud

Jean-Yves Cavaill Professeur lINSA de Lyon

Manuel Lagache (Directeur) Matre de Confrence lUniversit de Savoie

Daniel Guyomar (Directeur) Professeur lINSA de Lyon

Roger Ohayon Professeur au CNAM de Paris

Daniel Royer (Rapporteur) Professeur lUniversit Paris 7

Jean Paul Yonnet Directeur de Recherche lINPG

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Remerciements

Je tiens tout dabord remercier chaleureusement mes deux directeurs de thse, M. Manuel Lagache, Matre de Confrence au Laboratoire dOptimisation de la Conception et Ingnierie de lEnvironnement (LOCIE) de lUniversit de Savoie, et M. Daniel Guyomar, Professeur au Laboratoire de Gnie Electrique et Ferrolectricit (LGEF) de lInstitut National des Sciences Appliques (INSA) de Lyon.

Je dois M. Guyomar lopportunit et lenvie davoir fait cette thse. Il a toujours t prsent pour me porter une oreille attentive et son esprit critique ma pouss approfondir mon travail. Je partage sa conception de ce que doit tre une activit de recherche scientifique et jai essay de travailler dans ce sens.

M. Manuel Lagache ma accueilli Chambry et ma fait profiter de ses comptences de mcanicien. Je lui suis reconnaissant de son soutien et de ses conseils.

Je remercie tout particulirement Elie Lefeuvre, Matre de Confrence au LGEF, qui ma donn de nombreux conseils aviss, et une aide plus que prcieuse pour la ralisation des dispositifs exprimentaux.

Je remercie galement Claude Richard, Professeur au LGEF, pour lattention particulire quil a port mes travaux et pour le soutien dont il ma tmoign.

Jadresse mes sincres remerciements messieurs les Professeurs Daniel Royer et Frdric Bouillault qui mont fait lhonneur de bien vouloir tre rapporteurs de ce manuscrit.

Je remercie galement messieurs les Professeurs Jean-Yves Cavaill, Jean-Paul Yonnet et Roger Ohayon de stre intresss mes travaux en acceptant de faire partie du jury de thse.

Mes remerciements vont aussi tous les membres du LGEF et du LOCIE, permanents et doctorants, qui, soit par leur aide, soit par leurs encouragements ou encore simplement par leur amiti ont rendu mon travail plus stimulant et plus agrable.

Je remercie enfin ma famille, mes amis, mes colocataires et surtout ma femme, Aurlie, qui ma support (dans tous les sens du terme) pendant toute la dure de ma thse et particulirement pendant la rdaction du prsent manuscrit.

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Sommaire

Sommaire.................................................................................................................................................... 5

Nomenclature ............................................................................................................................................. 9

Introduction.............................................................................................................................................. 13

Chapitre 1 Gnralits sur la rcupration dnergie ................................................................... 15 1.1 Motivation ......................................................................................................................................... 15 1.2 Sources Potentielles........................................................................................................................... 17

1.2.1. Sources Rayonnantes........................................................................................................... 18 1.2.2. Thermolectricit ................................................................................................................ 18 1.2.3. Vibrations............................................................................................................................ 20 1.2.4. Energie du corps humain .................................................................................................... 25

1.3 Rcupration dnergie laide dlments pizolectriques............................................................ 26 1.3.1. Types de conversions........................................................................................................... 26 1.3.2. Optimisation lectromcanique........................................................................................... 29 1.3.3. Optimisation lectrique ....................................................................................................... 31

1.4 Techniques de conversion pizolectriques non linaires ................................................................. 32 1.5 Enjeux et perspectives ....................................................................................................................... 33

Chapitre 2 Les Techniques SSD Amortissement vibratoire semi passif ...................................... 35 2.1 Introduction aux techniques SSD ...................................................................................................... 35

2.1.1. Contexte et acquis ............................................................................................................... 35 2.1.2. Travail ralis ..................................................................................................................... 37

2.2 Les techniques SSD semi passives .................................................................................................... 37 2.3 Analyse globale de la structure amortie ............................................................................................ 38 2.4 Modlisation par lments finis......................................................................................................... 40

2.4.1. Modle................................................................................................................................. 40 2.4.2. Simulations ralises........................................................................................................... 41 2.4.3. Rsultats des simulations ANSYS ........................................................................................ 41

2.5 Modle constantes localises.......................................................................................................... 44 2.5.1. Modlisation........................................................................................................................ 44 2.5.2. Intgration numrique des quations constitutives ............................................................. 51

2.6 Comparaison des deux modles ........................................................................................................ 54 2.7 Simplification du modle constantes localises, exploitation analytique ....................................... 55

2.7.1. Simplification du modle ..................................................................................................... 55 2.7.2. Analyse nergtique ............................................................................................................ 56 2.7.3. Dveloppement analytique .................................................................................................. 57

2.8 Conclusions sur la modlisation........................................................................................................ 62 2.9 Validation exprimentale .................................................................................................................. 64

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Chapitre 3 Les Techniques SSD Amortissement vibratoire semi actif......................................... 65

3.1 SSDV classique ................................................................................................................................. 66 3.1.1. Prsentation de la technique ............................................................................................... 66 3.1.2. Dveloppement analytique .................................................................................................. 66

3.2 SSDV amlior (adapt).................................................................................................................... 70 3.3 Rsultats exprimentaux en rgime sinusodal permanent ................................................................ 73

3.3.1. Dispositif exprimental........................................................................................................ 73 3.3.2. Modlisation et identification des paramtres du modle ................................................... 74 3.3.3. Rsultats .............................................................................................................................. 74

3.4 Rsultats exprimentaux pour une sollicitation large bande.............................................................. 77 3.4.1. Dispositif exprimental........................................................................................................ 77 3.4.2. Rsultats .............................................................................................................................. 78

3.5 Conclusion......................................................................................................................................... 79

Chapitre 4 Rcupration dnergie en rgime sinusodal entretenu............................................. 81 4.1 Principe des techniques classiques et SSHI....................................................................................... 82

4.1.1. Technique classique alternative .......................................................................................... 82 4.1.2. Technique classique continue.............................................................................................. 82 4.1.3. Technique SSHI alternative ................................................................................................. 83 4.1.4. Technique SSHI continue..................................................................................................... 84

4.2 Rcupration dnergie sans induction damortissement vibratoire .................................................. 84 4.2.1. Technique classique alternative .......................................................................................... 85 4.2.2. Technique classique continue.............................................................................................. 86 4.2.3. Technique SSHI alternative ................................................................................................. 88 4.2.4. Technique SSHI continu ...................................................................................................... 89 4.2.5. Comparaison thorique ....................................................................................................... 91

4.3 Prise en compte de leffet damortissement....................................................................................... 92 4.3.1. Technique classique alternative .......................................................................................... 93 4.3.2. Technique classique continue.............................................................................................. 96 4.3.3. Technique SSHI alternative ................................................................................................. 99 4.3.4. Technique SSHI continue................................................................................................... 102 4.3.5. Comparaison thorique ..................................................................................................... 103

4.4 Effet dun dphasage de linstant de commutation.......................................................................... 106 4.4.1. Cas de lamortissement vibratoire SSD............................................................................. 106 4.4.2. Avec la technique SSH alternative..................................................................................... 106 4.4.3. Avec la technique SSH continue ........................................................................................ 108

4.5 Rsultats exprimentaux.................................................................................................................. 109 4.5.1. Dispositif exprimental...................................................................................................... 109 4.5.2. Modlisation et identification des paramtres du modle ................................................. 109 4.5.3. Mesures amplitude de vibration constante ..................................................................... 110 4.5.4. Vrification des prdictions la rsonance, en fonction du coefficient de couplage........ 111

4.6 Conclusion....................................................................................................................................... 112

Chapitre 5 Rcupration dnergie en rgime puls .................................................................... 113

5.1 Etude thorique de la technique classique ....................................................................................... 114 5.2 Etude thorique de la technique SSHI ............................................................................................. 118 5.3 Comparaison thorique entre les deux techniques........................................................................... 122

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5.4 Validation exprimentale ................................................................................................................ 123 5.4.1. Dispositif exprimental et identification des paramtres du modle................................. 123 5.4.2. Rsultats exprimentaux.................................................................................................... 123

5.5 Conclusion....................................................................................................................................... 126

Chapitre 6 Autres dispositifs rcuprateurs dnergie................................................................ 127 6.1 Technique SSH srie ....................................................................................................................... 127

6.1.1. Principe ............................................................................................................................. 127 6.1.2. Etude thorique amplitude de vibration constante......................................................... 128 6.1.3. Prise en compte de lamortissement.................................................................................. 131

6.2 Technique SSD rcupratif ............................................................................................................. 134 6.2.1. Principe ............................................................................................................................. 134 6.2.2. Etude thorique amplitude de vibration constante......................................................... 134 6.2.3. Prise en compte de lamortissement.................................................................................. 136

6.3 Validation exprimentale ................................................................................................................ 140 6.3.1. Dispositif exprimental ..................................................................................................... 140 6.3.2. Technique SSH srie.......................................................................................................... 141 6.3.3. Technique SSDS rcupratif.............................................................................................. 142

Chapitre 7 Considrations sur la ralisation pratique dun micro-gnrateur......................... 145 7.1 Structure considre ........................................................................................................................ 145 7.2 Optimisation du couplage................................................................................................................ 146 7.3 Dimensionnement de la structure .................................................................................................... 149

7.3.1. Contrainte maximale dans les lments pizolectriques ................................................. 149 7.3.2. nergie lectromcanique maximale ................................................................................ 153 7.3.3. Validit .............................................................................................................................. 154

7.4 Fonctions lectroniques autoalimentes .......................................................................................... 155 7.4.1. Objectif.............................................................................................................................. 155 7.4.2. Circuit lectronique autoaliment de commutation sur self.............................................. 156 7.4.3. Circuit lectronique du convertisseur AC-DC .................................................................. 158

7.5 Conclusion....................................................................................................................................... 159

Chapitre 8 Gnralisation aux signaux large bande.................................................................... 161 8.1 Problmatique.................................................................................................................................. 162 8.2 Modlisation.................................................................................................................................... 162

8.2.1. Modle multimodal............................................................................................................ 162 8.2.2. Analyse nergtique .......................................................................................................... 165

8.3 Diffrentes approches multimodales ............................................................................................... 166 8.3.1. Loi de contrle par slection de modes (LCSM) ............................................................... 166 8.3.2. Loi de contrle probabiliste (LCP) ................................................................................... 167 8.3.3. Loi de contrle probabiliste en rgime sinusodal ............................................................ 170

8.4 Critres doptimisation .................................................................................................................... 170 8.4.1. Cas de lamortissement vibratoire .................................................................................... 170 8.4.2. Cas de la rcupration dnergie ...................................................................................... 171

8.5 Simulations...................................................................................................................................... 172 8.5.1. Modlisation dune poutre ................................................................................................ 172 8.5.2. Caractristiques du modle utilis pour les simulations................................................... 174 8.5.3. Cas de lamortissement vibratoire .................................................................................... 175

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8.5.4. Cas de la rcupration dnergie ...................................................................................... 183 8.5.5. Conclusion......................................................................................................................... 188

Conclusion .............................................................................................................................................. 189

Rfrences Bibliographiques................................................................................................................. 193

Liste des publications............................................................................................................................. 199

Liste des Figures..................................................................................................................................... 201

Liste des Tableaux.................................................................................................................................. 209

Annexe A Conversion Directe ........................................................................................................... i

A.1 Principe gnral .................................................................................................................................... i A.2 Cycles de conversion ........................................................................................................................... ii

A.2.1. Cycle avec une phase dextraction dnergie ........................................................................ ii A.2.2. Cycle avec deux phases dextraction dnergie.................................................................... iv

Annexe B Techniques SSD pour un systme lectromagntique .................................................. v

B.1 Modlisation ........................................................................................................................................ v B.2 Application des techniques SSD........................................................................................................ vii B.3 Limites..............................................................................................................................................viii

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Nomenclature

Grandeurs lectromcaniques V Tension pizolectrique Vcc Tension continue pour la technique SSDV VDC Tension redresse et filtre VC Tension sur le condensateur CR (rgime puls) VS Tension image de la dformation I Courant pizolectrique IS Courant dans le circuit de commutation IP Courant absorb par le pont redresseur T Contraintes S Dformations D Induction lectrique E Champ lectrique Potentiel lectrique F Force extrieure u Dplacement rj Coordonne temporelle du dplacement

Grandeurs nergtiques EF, PF Energie, puissance fournie EM Energie mcanique EPP Energie potentielle dans les lments pizolectriques ES Energie extraite ET Energie transfre EI Energie perdue dans le dispositif de commutation EC Energie cintique EP Energie potentielle EE Energie lectrostatique Ee Energie lastique ED, PD Energie, puissance perdue par pertes visqueuses EU, P Energie, puissance rcupre Rendement Pj jme composante du vecteur de Poynting

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Paramtres lis linversion lectriques et composants lectriques LI Inductance dinversion r Rsistance quivalente aux pertes pendant linversion QI Facteur de qualit de linversion lectrique Coefficient dinversion ti Dure de linversion R Rsistance de charge CR Condensateur de filtrage ou de stockage

Caractristiques de la poutre L Longueur b Largeur eB Epaisseur B Masse volumique Y Module dYoung Coefficient de Poisson cB Raideur en dformation plane IB Moment quadratique mB Masse linique B Volume

Caractristiques des lments pizolectriques xP Position LP Longueur eP Epaisseur P Masse volumique sE Souplesse en court-circuit cE Raideur en court-circuit S Permittivit dformation nulle T Permittivit contrainte nulle d Constante pizolectrique e Constante pizolectrique cPE Raideur en court-circuit et en dformation plane cPD Raideur en circuit ouvert et en dformation plane kP Carr du coefficient de couplage du matriau pizolectrique IP Moment quadratique mP Masse linique P Volume

Caractristiques du systme lectromcanique fD, D Frquence, pulsation de rsonance en circuit ouvert fE, E Frquence, pulsation de rsonance en court-circuit Qm Facteur de qualit mcanique tan Angle de perte k Carr du coefficient de couplage de la structure Coefficient de proportionnalit dplacement tension T Volume de la structure Dforme

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Modle constantes localises K1, K2, K3 Raideurs quivalentes de la poutre KPE Raideur quivalente de llment pizolectrique en court-circuit KPD Raideur quivalente de llment pizolectrique en circuit ouvert M Masse dynamique C Amortisseur P Coefficient pizolectrique, facteur de force C0P Capacit des lments pizolectriques

Modle simplifi constantes localises Coefficient pizolectrique global, facteur de force global C0 Capacit quivalente des lments pizolectriques KE Raideur quivalente de la structure en court-circuit KD Raideur quivalente de la structure en circuit ouvert

Autres A Amortissement Frottement sec Coefficient de proportionnalit entre tension vide et tension SSDV j jme coefficient dapplication de la force x Coefficient dextraction dnergie pour la technique SSDI rcupratif h Fonction crneau PSW Probabilit associe au niveau de tension vmin Tension minimale atteindre avant doprer la tension Tes Temps destimation

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Introduction

Ce travail de thse concerne ltude de techniques particulires de traitement de la tension gnre par des lments pizolectriques. Ces techniques consistent introduire des non linarits fortes sur cette tension qui ont pour effet daugmenter considrablement leffet de conversion lectromcanique des matriaux pizolectriques. Le matriau pizolectrique associ au circuit lectronique permettant le contrle non linaire constitue un matriau intelligent dont les performances sont amliores. Ce travail tudie les potentialits de ces techniques dans le cas de lamortissement vibratoire et de la rcupration dnergie.

Les diffrentes techniques prsentes dans ce manuscrit sont toutes drives des techniques damortissement vibratoire SSD (Synchronized Switch Damping) prcdemment dveloppes au LGEF. On distingue gnralement deux types de contrle vibratoire laide dlments pizolectriques : les techniques passives, qui consistent connecter un rseau lectrique passif (capacit, self, rsistance) aux lments pizolectriques et les techniques actives qui utilisent un calculateur associ une source dnergie lectrique pour sopposer aux vibrations. Les techniques SSD sont qualifies de semi passives parce quelles ne ncessitent pas de source dnergie externe mais effectuent cependant un traitement intelligent de la tension. Ces techniques se sont avres beaucoup plus efficaces et adaptables que les techniques passives. Elles sont, en outre, beaucoup plus facile implmenter que les techniques actives et prsentent des performances comparables. Les techniques SSD permettent denvisager lamortissement de structures complexes sans les inconvnients des techniques actives en termes de cot et dencombrement. Dans lindustrie automobile par exemple, lutilisation des techniques SSD en remplacement des traditionnels matriaux viscolastiques pourrait savrer trs attractive, alors que les techniques actives sont inadaptes car trop coteuses et ncessitant lembarquement dun ou plusieurs amplificateurs ainsi que dun calculateur. Les travaux prsents dans ce manuscrit proposent une nouvelle approche pour apprhender les techniques SSD, ainsi que plusieurs dveloppement de ces techniques, notamment en proposant une loi de contrle permettant doptimiser lamortissement dans le cas de structures et de signaux complexes.

Lobjectif premier de cette thse est dadapter les techniques damortissement vibratoire SSD la rcupration dnergie. Lide est dutiliser lnergie lectrique convertie afin de constituer des micro-gnrateurs de trs faible faible puissance, cest--dire de quelques W quelques centaines de mW. Ces micro-gnrateurs rpondent un besoin croissant li la prolifration des capteurs, micro-actionneurs et autres dispositifs lectroniques embarqus. Le dveloppement exponentiel des applications lectroniques autonomes est li la baisse de la consommation des composants lectroniques, qui rend possible lalimentation de fonctions lectroniques complexes partir de micro-gnrateur exploitant lnergie disponible dans leur environnement. Les applications vises vont de llectronique nomade grand public aux rseaux

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de capteurs autonomes, qui permettent de fiabiliser les systmes en permettant un contrle toujours plus prcis de leur tat. La rcupration de lnergie vibratoire ambiante au moyen dlments pizolectriques permet de constituer des micro-gnrateurs autonomes, compacts et respectueux de lenvironnement car exploitant une nergie renouvelable. Les techniques dveloppes dans ce manuscrit permettent daccrotre drastiquement les performances de ce type de micro-gnrateurs, ce qui permet de diminuer la quantit de matriau pizolectrique ncessaire et denvisager des applications nouvelles plus gourmandes en nergie.

Ce manuscrit se compose de huit chapitres. Le premier chapitre dresse ltat de lart concernant les micro-gnrateurs autonomes tirant leur nergie de leur environnement. Il sagit de replacer la rcupration dnergie partir de matriaux pizolectriques dans son contexte et de prsenter brivement les principaux travaux raliss ce sujet.

Le deuxime chapitre sintresse aux techniques damortissement vibratoire SSD, mais ne se limite pas rappeler les diffrents travaux prcdemment effectus sur le sujet au LGEF. Il propose une nouvelle interprtation nergtique des techniques SSD base sur ltude du vecteur de Poynting, ainsi quun modle lectromcanique qui sera largement utilis par la suite.

Le troisime chapitre propose une nouvelle version plus efficace des techniques SSD. Les techniques prsentes dans ce chapitre sont qualifies de semi actives, car contrairement aux techniques SSD initiales elles ncessitent une source de tension continue, mais contrairement aux techniques actives, elles ne ncessitent ni amplificateur de puissance, ni algorithme complexe.

Le quatrime chapitre prsente ladaptation des techniques SSD la rcupration dnergie. Ces techniques sont tudies en rgime sinusodal permanent et sont compares aux techniques de rcupration dnergie classiques.

Le cinquime chapitre sintresse lnergie rcupre en rgime puls. Une tude spcifique est ncessaire car les techniques utilises sont non linaires. Il est ainsi impossible de prdire le comportement du micro-gnrateur en rgime puls partir de son comportement en rgime harmonique.

Le sixime chapitre propose deux nouvelles techniques non linaires de rcupration dnergie. Ces techniques ne sont pas fondamentalement diffrentes des techniques prcdentes, mais elles peuvent savrer plus ou moins efficaces selon les applications envisages.

Le septime chapitre sintresse la ralisation pratique de micro-gnrateurs. Il sagit de loptimisation et du dimensionnement de la structure lectromcanique ainsi que de la ralisation de fonctions lectroniques autoalimentes assurant le traitement non linaire de la tension pizolectrique et le conditionnement de lnergie rcupre.

Le huitime et dernier chapitre prsente une loi de contrle permettant doptimiser les techniques non linaires dans le cas de sollicitations large bande sur des structures multimodales. Cette loi de contrle, base sur une description probabiliste de la tension pizolectrique, sadresse aussi bien aux techniques damortissement vibratoire quaux techniques de rcupration dnergie.

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Chapitre 1

Gnralits sur la

rcupration dnergie

Ce chapitre a pour but de replacer la rcupration dnergie partir dlments pizolectriques dans son contexte, en insistant sur les motivations qui incitent au dveloppement de systmes de rcupration de lnergie ambiante pour alimenter un dispositif lectronique. Sont tout dabord prcises les sources potentielles dnergie rcuprables ainsi que les moyens de rcupration envisageables. Ltat de lart concernant la rcupration dnergie partir dlments pizolectriques est ensuite prsent plus spcifiquement. Les principaux travaux antrieurs visent gnralement optimiser la partie mcanique ou la partie lectrique dun gnrateur pizolectrique. Loriginalit de cette thse est de proposer une approche globale permettant doptimiser la conversion lectromcanique au sein des matriaux pizolectriques mis en uvre.

1.1 Motivation

La diminution de la consommation des composants lectroniques a permis lessor dapplications mobiles sans fil. Les batteries, qui ont initialement favoris le dveloppement dappareils lectroniques portables, sont paradoxalement devenues un frein cette progression, notamment cause des problmes de maintenance associs (recharge, remplacement). La Figure 1-1 montre lamlioration des performances des constituants des ordinateurs portables entre 1990 et 2003 sur une chelle logarithmique. Ce graphique montre trs clairement que les performances des batteries voluent plus lentement que toutes les autres caractristiques. Non seulement la densit dnergie nest pas une volution exponentielle du temps, mais elle semble mme atteindre une certaine saturation. Cette tendance pose le problme des sources alternatives dnergie. Les travaux de Paradiso et Starner [1] rcapitulent les diffrentes sources dnergies envisageables.

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Ce paragraphe ainsi que le paragraphe suivant sont largement inspirs de ces travaux. Plusieurs solutions ont t envisages qui restent sur le mme concept que les batteries classiques, c'est--dire qui sont bases sur des rservoirs dnergie. Il sagit tout dabord des piles combustibles qui font actuellement lobjet dimportantes recherches. Ces piles restent cependant encore chres, difficiles miniaturiser, et posent des problmes pour le stockage de lhydrogne. Une solution plus radicale consiste utiliser des piles nuclaires, cf. Figure 1-2, dont la densit nergtique est des milliers de fois plus leve que celle des batteries chimiques Lithium-ion. Lal et Blanchard [2] ont dvelopp des piles utilisant des radio-isotopes faiblement nergtiques dont le rayonnement ne pntre pas plus de quelques dizaines de m travers la plupart des corps solides ou liquides. Ces piles sont donc parfaitement inoffensives puisque le rayonnement radioactif ne peut traverser un simple emballage plastique. Leur problme majeur concerne la collecte et le retraitement des piles usages.

Figure 1-1 Amlioration des ordinateurs portables entre 1990 et 2003 [1]

Figure 1-2 Un micro-gnrateur nuclaire [rectangle gris] alimente un calculateur [carr bleu] et une photodiode [plus petit carr]. Prsent sur une puce, ce capteur de lumire autoaliment est utilis pour des communications optiques [2]

En 1995, Stork [3] recensait les progrs des fonctions logiques et des fonctions mmoire depuis les annes 1970. Ce travail montre comment les volutions de la technologie MOS ont permis de diminuer la puissance consomme par les puces, tout en augmentant le dbit des fonctions logiques et la capacit des fonctions mmoires.

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Le concept de rseau de capteurs sans fil permettant la surveillance distance et le traitement de donnes concernant des environnements complexes et distribus a pu se dvelopper grce ces progrs techniques. Ce concept est galement connu sous le nom de poussire intelligente, cest--dire Smart Dust [4] dans la littrature anglo-saxonne. Ragunathan et al [5] ont rsum les progrs effectus afin de limiter la consommation lectrique de tels rseaux. Ces volutions concernent aussi bien la physique mme des composants utiliss que la stratgie de sollicitation des nuds au sein de larchitecture globale du rseau.

Rabaey [6] et Starner [7] constatent que les progrs actuels sur la consommation dnergie des dispositifs embarqus permettent de considrer dautres sources dalimentation issues de lexploitation de lnergie ambiante, ce qui permet de se dbarrasser du problme des batteries qui sont la principale limite de vie des rseaux de capteurs sans fil. En effet, dans le cas de rseaux constitus dun trs grand nombre de noeuds, un remplacement de toutes les batteries est difficilement envisageable. La Figure 1-3 est issue de la thse de Roundy [8] qui porte sur lalimentation dun noeud de rseau de capteurs sans fil partir de lnergie vibratoire environnante. Elle montre lvolution de la densit de puissance en fonction de la dure de vie pour des batteries et pour des sources solaires et vibratoires. Les densits de puissance sont donnes en W/cm3, sauf dans le cas de lnergie solaire o elle est donne en W/cm2. Les densits dnergies solaires et vibratoires sont respectivement reprsentes par un rectangle gris clair et gris fonc. Elles ne sont pas fonctions du temps, contrairement la densit dnergie des batteries. Dans le cas de lnergie solaire, le bas du rectangle correspond au rayonnement dans une pice claire et le haut au rayonnement direct du soleil. Dans le cas de lnergie vibratoire, le rectangle correspond des niveaux de vibrations courants, allant de la marche dun tre humain aux vibrations engendres par une machine tournante par exemple.

Figure 1-3 Densit de puissance en fonction de la dure de vie, pour des batteries, des cellules solaires et des dispositifs de rcupration de lnergie vibratoire ambiante [8]

1.2 Sources Potentielles

Plusieurs sources dnergie ambiante ont t envisages pour rendre autonome des dispositifs lectroniques. Ces diffrentes sources sont dtailles ci-aprs.

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1.2.1. Sources Rayonnantes

Source Radiofrquence

La prolifration dmetteurs radio dans le paysage urbain actuel permet denvisager des solutions o les signaux radiofrquences ambiants servent de rservoir dnergie pour des applications mobiles. Les systmes de rcupration de lnergie RF ambiante sont toutefois trs limits en puissance et ncessitent soit une grande surface rceptrice, soit dtre trs prs de la source mettrice. La densit de puissance p reue par cm est relie au champ lectrique E et la rsistance de radiation de lespace libre Z0=377 par (1.1).Yeatman [9] rappelle ainsi quun champ lectrique de 1V/m, ne permet pas de rcuprer plus de 0.26W/m alors que le champ maximum prs dune source ne dpasse gnralement pas quelques Volts par mtre.

2

0

EpZ

= (1.1)

Rayonnement lumineux

Lexploitation de lnergie lumineuse a suscit de nombreux travaux scientifiques. Dimportant progrs ont t raliss, comme le rsume Hamakawa [10] dans un papier retraant lvolution des cellules photovoltaques ces trente dernires annes. Lapport nergtique du rayonnement lumineux est trs variable suivant le type dclairement, ce qui conditionne bien videmment le type dapplications envisages. Ainsi, si le rayonnement lumineux est de lordre de 10 100mW/cm pour un clairage solaire direct, il nest que de 10 100W/cm2 pour une lumire artificielle standard. Les applications des cellules photovoltaques couvrent une trs large chelle de puissance, allant de quelques microwatts pour des applications miniatures tels que les calculatrices solaires plusieurs kilowatts dans le cas des centrales lectriques solaires. Si le rendement des cellules photovoltaque reste gnralement en dessous de 20% pour les produits commerciaux courants, des modles encore au stade de la recherche atteignent dors et dj prs de 35% defficacit. La principale limitation des systmes de rcupration de lnergie lumineuse est bien entendue relative la trs forte sensibilit de ce type de dispositif aux conditions dclairement.

1.2.2. Thermolectricit

La diffrence de temprature entre deux points peut tre utilise pour rcuprer de lnergie par transfert de chaleur. Le cycle de Carnot permet de calculer le rendement thorique maximal dun tel dispositif. Ce rendement est donn par (1.2), o TH est la temprature haute et TB la temprature basse. Cette expression montre bien que le rendement est trs faible dans le cas de faibles carts de temprature (en degr Kelvin). Par exemple, entre un corps humain 37C et une pice 20C, on ne peut pas esprer obtenir un rendement suprieur 5.5%.

H B

H

T TT

= (1.2)

Des micro-gnrateurs ont nanmoins t dvelopps, leur rendement est gnralement infrieur 10% pour des transferts de chaleur de 200C 20C et infrieur 1% pour des transferts de chaleur de 40C 20C. La Figure 1-4 reprsente ainsi une micro-pile ralise par Toriyama et al [11] capable de dlivrer quelques W. Des applications plus coteuses en nergie ont mme

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t alimentes avec succs par un gnrateur thermolectrique. Ainsi, Douseki et al [12] ont dvelopp un systme de communication sans fil autonome tirant son nergie de la diffrence de temprature entre lenvironnement ambiant et le corps humain ou de leau froide. Pour cette application, la puissance de sortie du gnrateur thermolectrique tait de 1.6mW.

Quelques applications industrielles utilisent des gnrateurs thermolectriques. Parmi elles la montre bracelet Seiko Thermic reprsent sur la Figure 1-5. Celle-ci utilise 10 modules thermolectriques qui gnrent suffisamment de microwatts pour entretenir le mouvement mcanique de la montre partir du gradient thermique entre lair ambiant et le corps humain.

Figure 1-4 Thermopile dveloppe par Toriyama et al [11]

Figure 1-5 Montre Thermique Seiko : (a) le produit ; (b) coupe transversale ; (c) modules thermolectriques ; (d) schma dun module thermolectrique. Copyright Seiko Instruments [1]

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1.2.3. Vibrations

Les vibrations mcaniques sont communes dans beaucoup denvironnements. Elles vont des faibles vibrations des murs et du sol proximit de machines tournantes aux trs fortes sollicitations des pices mcaniques en contact avec un moteur davion. Elles sont sujettes de grandes variations de frquence et damplitude. Le premier dispositif connu permettant de rcuprer ce type dnergie est la montre dAbraham-Louis Perrelet en 1770 dont le mcanisme se remonte automatiquement lors des mouvements de son porteur.

La plupart des applications des rseaux de capteurs sans fil concerne des environnements riches en vibrations mcaniques (milieu industriel, transports). Lexploitation de lnergie vibratoire ambiante apparat donc comme un excellent moyen de remplacer lusage des batteries qui limite la dure de vie de ces rseaux. Dans ce but, plusieurs types de micro-gnrateurs ont t dvelopps qui convertissent lnergie mcanique en nergie lectrique.

Conversion lectromagntique

Beaucoup de systmes de rcupration dnergie vibratoire sont bass sur le mouvement dun aimant permanent lintrieur dune bobine. Ce mouvement cre un courant dans la bobine proportionnel la variation du flux magntique dans la bobine, donc proportionnel la vitesse de laimant, au champ magntique moyen gnr par laimant dans la bobine et la surface des spires. Une des applications les plus simples de ce principe est la lampe torche reprsente sur la Figure 1-6. Lorsque lon secoue la lampe, un aimant se dplace lintrieur de la bobine. Le courant lectrique ainsi cr vient recharger un condensateur qui permet lclairage dune diode, la puissance gnre par la bobine est de 300mW environ. Ce dispositif nest cependant pas proprement parler un systme rcuprateur dnergie mais plutt un systme gnrateur dnergie, puisquil ncessite un mouvement volontaire nayant pas dautre but que de recharger le condensateur.

Figure 1-6 Lampe torche utilisant un gnrateur lectromagntique [1]

Un autre exemple de dispositif lectromagntique gnrateur dnergie est le systme propos par Suzuki et al [13], qui permet de recharger les batteries dun pacemaker sans intervention chirurgicale. Dans ce cas, le champ magntique excitateur nest pas gnr par le mouvement dun aimant mais par deux bobines situe lextrieur du corps humain. Ces deux bobines permettent de gnrer un champ tournant basse frquence inoffensif pour lhomme. A lintrieur du corps humain, un premier rotor constitu par un aimant permanent est entran en rotation par le champ magntique tournant. Un mcanisme engrenage permet dentraner un deuxime aimant permanent une vitesse 100 fois plus rapide. La variation du flux du champ magntique

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cr par ce deuxime aimant dans une bobine permet alors dobtenir une tension suffisamment leve pour recharger une batterie.

Les dispositifs lectromagntiques rcuprateurs dnergie permettent de rcuprer lnergie vibratoire sans intervention spcifique dun utilisateur. Ces micro-gnrateurs prsentent gnralement une frquence de rsonance mcanique choisie pour maximiser le couplage avec les vibrations ambiantes. En 1996, Williams et al [14] ont t parmi les premiers montrer la faisabilit de tels dispositifs. Shearwood et Yates [15] ont ensuite ralis un prototype de 50mm3 environ, capable de gnrer 0.3W.

Un grand nombre de travaux ont t raliss sur ce sujet. Certaines ralisations concernent des puissances comprises entre 1W et 100W et correspondent lchelle des microsystmes lectromcaniques (micro-electromechanical system ou MEMS dans la littrature anglo-saxonne). Dautres ralisations, utilisant des structures plus grandes, atteignent des puissances de quelques centaines de W. Amirtharajah et al [16] ont par exemple dvelopp un micro-gnrateur capable dalimenter un DSP (digital signal processor) en fournissant une puissance de 400W environ.

Le dispositif dvelopp par Li et al [17], permet dalimenter un metteur infrarouge. Il occupe un espace de 1cm3 environ et permet de fournir 70W. Comme la puissance ncessaire pour mettre est de 3mW pendant 140ms, lnergie est tout dabord accumule sur un condensateur jusqu ce quelle soit suffisante pour une mission. Ces travaux ont t poursuivis par Lee et al [18] qui ont ralis un micro-gnrateur intgr dans le volume dune pile AA et utilis pour lalimentation dun metteur FM et pour lalimentation dun capteur de temprature associ un metteur RF pour transmettre la mesure. La puissance gnre par le micro-gnrateur (640W) ntant pas suffisante pour alimenter en continu ces lments, lnergie est tout dabord stocke sur un condensateur et les systmes aliments ne sont utiliss quavec un trs faible rapport cyclique.

Des systmes fournissant des puissances suprieures au mW ont galement t raliss, ainsi le dispositif de El-Hami et al [19], qui permet de gnrer un peu plus de 1mW pour un volume de 240mm3 ou celui de James et al [20], dont la puissance de sortie atteint 3mW.

Conversion lectrostatique

Les micro-gnrateurs lectrostatiques sont constitus par un condensateur charg dont les lectrodes peuvent bouger. Contrairement aux systmes lectromagntiques et pizolectriques, les gnrateurs lectrostatiques ncessitent dtre prchargs avant de pouvoir produire de la puissance. Meninger et al [21] rappelle le principe de fonctionnement de ces dispositifs. Lide gnrale est de placer une certaine quantit dnergie sur le condensateur du micro-gnrateur et dutiliser lnergie vibratoire ambiante pour diminuer la capacit du micro-gnrateur en augmentant lcartement entre les lectrodes (ce qui ncessite un travail mcanique). Deux cas peuvent tre envisags, soit on diminue la capacit tension constante, dans ce cas des charges lectriques sont gnres, soit charge constante, et dans ce cas la tension augmente ainsi que lnergie lectrostatique sur la capacit. Dans les deux cas, le travail mcanique ncessaire lcartement des lectrodes est converti en nergie lectrique. La Figure 1-7 reprsente la capacit compressible dun micro-gnrateur lectrostatique dvelopp lImperial College.

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Figure 1-7 Gnrateur lectrostatique de 2cm [1]

La plupart des gnrateurs lectrostatiques sont de trs faible puissance, de quelques dizaines quelques centaines de microwatts. Ces niveaux de puissance sont cependant suffisants pour alimenter des dispositifs volus. Les travaux dAmirtharajah et Chandrakasan [22] montrent par exemple que dans le cas dalgorithmes simples, la consommation dun DSP peut se limiter quelques W. Cette gamme de puissance correspond parfaitement au domaine dapplication des MEMS, dont Najafi [23] prcise les applications et enjeux. Roundy et al [24], ainsi que Sterken et al [25] ont tudi plusieurs structures de micro-gnrateurs lectrostatiques et abouti des densits de puissance de lordre de 100W/cm3.

Mitcheson et al [26], [27] ont compar les avantages et inconvnients respectifs dun gnrateur lectromagntique rsonant, un gnrateur lectrostatique rsonant et un gnrateur lectrostatique non rsonant en fonction du type de sollicitations. Ces travaux confirment lintrt des micro-gnrateurs rsonants dans le cas de sollicitations dont le spectre est troit. Dans ce cas, les performances sont bien sr maximales lorsque la frquence de rsonance du micro-gnrateur correspond la frquence centrale de la sollicitation et sont comparables pour le systme lectrostatique et pour le systme lectromagntique. Dans le cas de sollicitations large bande ou pour des sollicitations dont la frquence centrale varie en fonction du temps, le micro-gnrateur lectrostatique non rsonant donne les meilleures performances.

Bien que la plupart des micro-gnrateurs lectrostatiques soient de trs faible puissance, quelques applications font exceptions, comme par exemple la chaussure lectrostatique reprsente sur la Figure 1-8. Cette chaussure a t dveloppe par le SRI1 (un institut de recherche international indpendant). Elle est capable de produire une puissance de 800mW pour un rythme de marche de deux pas par seconde. La capacit de ce gnrateur est ralise partir dun lastomre dilectrique compressible. La marche de lutilisateur actionne un soufflet qui exerce une pression sur llastomre entranant sa compression et donc la variation de capacit du gnrateur ncessaire la conversion mcano-lectrique.

1 SRI international, Innovative R&D Solutions for government and business, http://www.sri.com/

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Figure 1-8 Chaussure dote dun gnrateur lectrostatique : (a) prototype implment dans une chaussure, (b) dtail du gnrateur montrant le soufflet (dessous) et le cadre maintenant le dilectrique (dessus) [1]

Conversion pizolectrique

Les micro-gnrateurs pizolectriques sont bass sur leffet direct de la pizolectricit, savoir que lapplication dune contrainte sur un matriau pizolectrique lectrod entrane lapparition dune tension entre les lectrodes. Les micro-gnrateurs pizolectriques peuvent tre constitus dun systme mcanique prsentant une frquence de rsonance qui couple le micro-gnrateur aux vibrations ambiantes ou bien les lments pizolectriques peuvent tre directement sollicits. La Figure 1-9 illustre ces deux types de gnrateurs.

(a) (b)

V

Sollicitation mcanique

V

Sollicitation mcanique

Couplage mcanique

Masse sismique

Figure 1-9 Gnrateurs pizolectriques : (a) conversion par lintermdiaire dun oscillateur mcanique, (b) conversion directe

Il sagit dans les deux cas de convertir lnergie vibratoire de la structure vibrante reprsente en gris. Dans le premier cas (a) lnergie de la structure est transmise au systme oscillant constitu par une poutre sur laquelle sont colls des inserts pizolectriques assurant la conversion mcano-lectrique et ventuellement une masse sismique permettant dajuster la frquence de rsonance. Dans le deuxime cas (b), les inserts pizolectriques sont directement colls sur la structure. La diffrence thorique entre ces deux systmes nest pas franche, puisque le cas (b) peut tre vue comme un agrandissement du cas (a) si la structure sur laquelle sont colls les inserts prsente des rsonances mcaniques. Dun point de vue pratique cependant, le cas (b) montre que lon peut raliser simplement un micro-gnrateur susceptible dalimenter un capteur en collant des lments pizolectriques sur une structure vibrante. Ceci

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constitue un avantage incontestable par rapport aux gnrateurs lectromagntiques ou lectrostatiques qui sont ncessairement constitus de pices mcaniques ayant des mouvements relatifs (dplacement dun aimant par rapport une bobine pour les gnrateurs lectromagntiques ou modification de la distance entre les lectrodes pour les gnrateurs lectrostatiques).

Roundy et al [28] ont effectu une comparaison entre micro-gnrateurs pizolectriques et lectrostatiques. Pour une frquence de vibration de 120Hz et une acclration de 2.5ms-2, la densit de puissance des gnrateurs pizolectriques a t value 250W/cm3 contre 50W/cm3 pour les gnrateurs lectrostatiques. Ces travaux confirment lintrt des gnrateurs pizolectriques qui, en outre, ne ncessitent pas de source de tension additionnelle.

Une comparaison entre gnrateurs pizolectriques et gnrateurs lectromagntiques a t mene par Poulin et al [29], cette tude montre la dualit entre ces deux types de gnrateurs et prcise leurs domaines dapplications respectifs. Les gnrateurs lectromagntiques sont particulirement bien adapts des structures prsentant des dplacements ou vitesses importants et correspondent ainsi gnralement des applications dchelle moyenne. Les gnrateurs pizolectriques ne ncessitent pas de grandes amplitudes de mouvement mais des niveaux de contraintes levs. Leur densit de puissance leve est particulirement apprciable pour lalimentation de microsystmes. Roundy et al [30], [31] ont par exemple ralis un micro-gnrateur pizolectrique de 1cm3 permettant dalimenter un metteur RF. Ce gnrateur est du mme type que celui reprsent sur la Figure 1-9 (a). Lorsquil est excit sa frquence de rsonance, il fourni une puissance de 190W. Lnergie fournie par ce micro-gnrateur est accumule sur un dispositif de stockage, ce qui permet lalimentation dun metteur de 12mW avec un rapport cyclique de 1.6%.

Elvin et al [32], [33] ont dvelopp un capteur de dformation sans fil pour le contrle de sant de structures dans le domaine du gnie civil. Ces capteurs sont insrs dans la structure contrler. Lors dun contrle de sant, la structure est mise en vibration par une excitation externe. Des inserts pizolectriques, lis la structure, permettent de mesurer la dformation et dalimenter un metteur RF permettant de transmettre linformation un rcepteur distant. Si la structure prsente un dfaut dans la rgion proche dun des capteurs, la dformation mesure est modifie, ce qui permet de diagnostiquer ltat de sant de la structure. Le micro-gnrateur utilis dans ce dispositif est du type de celui reprsent sur la Figure 1-9 (b). Lorsque la structure est sollicite, il peut gnrer une puissance de lordre de 100W. Lnergie produite est stocke sur un condensateur jusqu ce quelle soit en quantit suffisante pour la mesure et la transmission.

Platt et al [34] propose limplmentation dun micro-gnrateur pizolectrique lintrieur dune prothse du genou. Le prototype exprimental fourni une puissance utile suprieure 250W lors dune sollicitation correspondant la marche dun individu. Cette puissance est suffisante pour alimenter en continu un microcontrleur qui permettrait de surveiller ltat de sant de la prothse.

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1.2.4. Energie du corps humain

Le corps humain stocke, dissipe et dveloppe une nergie considrable par rapport la consommation de la plupart des dispositifs lectroniques portables. Il semble donc envisageable de rcuprer une partie de cette nergie pour alimenter des appareils de puissance modre. Starner [35] et Turri et Poulin [36] dtaillent les sources potentielles dnergie du corps humain. La puissance mcanique dveloppe lors dactivits musculaires simples tels que marcher (67W), tourner une manivelle (21W), serrer avec la main (6W), etc. est compare la consommation de quelques appareils lectriques portables courants, comme une petite radio FM (30mW), un Walkman (60mW) ou un tlphone portable (35mW en communication). Cette comparaison justifie lide de crer des dispositifs gnrateurs dnergie qui permettent de crer de lnergie lectrique partir dun mouvement volontaire et spcifique de lutilisateur. Plusieurs exemples de ralisations pratiques sont cits. Ces appareils sont gnralement conus sur le principe de la dynamo, un levier ou une manivelle permettant de mettre en mouvement une gnratrice courant continu. Les puissances gnrs peuvent atteindre quelques Watts ce qui rend possible lalimentation de la plupart des systmes lectroniques portables.

Il existe galement des dispositifs permettant de rcuprer de lnergie lors de mouvements naturels. Niu et al [37] dtaillent lnergie pouvant tre rcupre de cette faon. Il sagit de lnergie associe au mouvement des talons, la torsion des articulations ou au dplacement du centre dinertie du corps. Gonzles et al [38] prcisent la quantit dnergie maximale disponible en utilisant des dispositifs pizolectriques classiques partir de mouvements dont la fonction premire nest pas de gnrer de lnergie. Ces rsultats sont rsums dans le Tableau 1-1. La puissance utile prend en compte les pertes mcaniques dans le dispositif de mise en contrainte des lments pizolectriques, le rendement de la conversion mcano-lectrique et les pertes lectriques dans le convertisseur permettant dadapter la tension alternative gnre sur les lments pizolectriques au dispositif alimenter.

Puissance mcanique rcuprable

Pertes mcaniques

Rendement mcano-lectrique

Pertes lectriques

Puissance utile

Taper sur un clavier 7mW 10% 50% 10% 2.8mW Mouvements des bras 3W 50% 11% 10% 150mW Souffle 0.83W 10% 11% 10% 74mW Marche 67W 75% 50% 10% 7.5W

Tableau 1-1 Puissance lectrique maximale disponible en utilisant un gnrateur pizolectrique permettant de rcuprer une partie de lnergie de mouvements humains [38]

Les rsultats prsents dans le Tableau 1-1 sont trs optimistes. En effet, les travaux raliss au MIT par Kymissis et al [39] et Shenck et Paradiso [40, 41] sur les chaussures pizolectriques natteignent pas ces performances. Le prototype, reprsent Figure 1-10, a t ralis en deux versions. La premire version utilise des polymres pizolectriques (PVDF) stratifis placs sous la plante du pied et gnre 1.1mW. La deuxime version utilise un bimorphe ralis avec des cramiques de PZT et gnre 8.4mW.

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Figure 1-10 Chaussures pizolectriques dveloppes au MIT, utilisant soit du PVDF stratifi plac sous la plante du pied, soit un bimorphe ralis partir de cramiques pizolectriques (PZT) plac sous le talon [1]

La mme quipe a galement ralis une paire de chaussure utilisant un micro-gnrateur lectromagntique. Ce dispositif est constitu dun levier actionn chaque fois que lutilisateur pose le talon au sol, dun systme dengrenage permettant dacclrer le mouvement de rotation gnr par le levier et dune gnratrice continue pour la conversion mcano-lectrique. La puissance rcupre, 250mW, est nettement plus importante que pour les chaussures pizolectriques mais le dispositif est trs complexe, fragile, cher et le levier reprsente une gne pour lutilisateur.

1.3 Rcupration dnergie laide dlments pizolectriques

Les matriaux pizolectriques semblent particulirement bien adapts la rcupration dnergie mcanique. Leur densit de puissance est leve, ils sont compacts et solides et ne ncessitent pas dentretien. Les gnrateurs pizolectriques peuvent potentiellement alimenter des dispositifs lectroniques allant de quelques W quelques centaines de mW.

1.3.1. Types de conversions

Conversion directe

Ce type de conversion correspond aux dispositifs de rcupration dnergie de type briquet ou allume-gaz, o on applique directement ou via un mcanisme de levier une contrainte sur un matriau pizolectrique, comme illustr sur la Figure 1-11 (a). Dans cette premire approche on considre le cas dune conversion mcano-lectrique directe, cest--dire sans stockage intermdiaire dnergie sous forme mcanique (le stockage intermdiaire en question pourrait tre, par exemple, une masse en mouvement ou une structure vibrante). On dfinit le taux de conversion lectromcanique comme le rapport de lnergie lectrique rcupre sur lnergie mcanique fournie. Cette grandeur ne correspond pas proprement parler un rendement, car llment pizolectrique restitue de lnergie lorsque la contrainte est supprime. Cependant, si lon considre que lnergie restitue est perdue ou inutilisable, ce qui est gnralement le cas

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pour les micro-gnrateurs conversion directe, alors le taux de conversion peut tre assimil au rendement de la conversion.

Les travaux de Xu et al [42] et de Keawboonchuay et Engel [43] distinguent et comparent deux cas de figures : Soit la contrainte est applique de faon quasi-statique et la tension gnre sur llment pizolectrique est bidirectionnelle, soit la contrainte est applique de faon dynamique (choc) et dans ce cas la tension est unidirectionnelle. Ces deux modes de sollicitations sont reprsents sur la Figure 1-11 (b) et (c).

(a) (b) (c)

V

Contrainte Contrainte Contrainte

V V t

t

t

t

Figure 1-11 Conversion directe : (a) principe, (b) sollicitation quasi-statique, (c) sollicitation dynamique

Alors que les travaux de Xu et al [42] indiquent que le taux de conversion lectromcanique sous sollicitation quasi-statique est meilleur que dans le cas dynamique, les travaux de Keawboonchuay et Engel [43] affirment le contraire. On peut de toute faon certifier que ce rendement ne peut pas excder le carr du coefficient de couplage du matriau pizolectrique utilis, cf. Annexe A. Le Tableau 1-2 rsume les ordres de grandeurs des rendements maximums en fonction du type de matriaux pizolectriques.

Matriaux Taux de conversion max polyfluorures de vinylidne (PVDF) 1-5% Cramiques de PZT 35-50% Monocristaux 70-90%

Tableau 1-2 Taux de conversion maximal en conversion directe pour diffrents types de matriaux pizolectriques

En pratique, la puissance rcupre par ce genre de dispositif est trs faible. La mise en contrainte des matriaux pizolectriques est en effet difficile mettre en uvre, et cette difficult augmente dautant que la quantit de matriaux pizolectriques utilise est importante. Ainsi, dans le cas de la chaussure pizolectrique dveloppe au MIT, la faible puissance rcupre (8mW) par rapport lnergie mcanique disponible (67W) est principalement due la difficult de contraindre les lments pizolectriques partir du mouvement du pied. Les matriaux pizolectriques fonctionnent en effet sous forte contrainte et faible dformation, alors que le mouvement du pied a plutt tendance gnrer de fortes dformations mais une force relativement faible.

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Cet exemple illustre bien le fait que le rendement global de micro-gnrateurs conversion directe est gnralement plus limit par les pertes mcaniques du dispositif de mise en contrainte que par le rendement de la conversion mcano-lectrique au sein du matriau pizolectrique.

Conversion indirecte, systme vibrants

Une utilisation plus rationnelle des matriaux pizolectriques consiste convertir lnergie mcanique en nergie lectrique au moyen de plusieurs cycles de compression - dcompression successifs. Le bouton poussoir dvelopp par Paradiso et Feldmeier [44] fonctionne sur ce principe. Dans ce dispositif, un lment pizolectrique est excit sur son mode de rsonance propre lors dune action sur un bouton poussoir. Lnergie vibratoire fournie est ensuite rcupre sur plusieurs cycles doscillation en reliant llment pizolectrique une capacit de stockage via un pont de diode. Lnergie lectrique rcupre lors dune action sur le bouton est de lordre de 2mJ, ce qui est suffisant pour transmettre un code de 12 bits laide dun metteur RF.

Plutt que dexciter un lment pizolectrique sur un de ses modes propres, un moyen plus simple consiste coller des lments pizolectriques sur une structure vibrante. Le dispositif de ce type le plus simple est reprsent sur la Figure 1-12. Il sagit dune poutre sur laquelle sont colls des lments pizolectriques. Une des extrmits de la poutre est encastre dans un bti fixe, lautre extrmit est libre. Le systme est excit par une force extrieure. Lnergie convertie est dissipe dans une rsistance de charge. Le rendement de ce dispositif est le rapport de lnergie dissipe dans la charge sur lnergie fournie la poutre.

(a) (b)

V

Bti fixe

Force Excitatrice

Rsistance de charge Force excitatrice

V t

t

Figure 1-12 Dispositif dtude classique : (a) schma du dispositif, (b) sollicitation sinusodale

Lu et al [45] ont tudi la puissance et le rendement de ce type de gnrateur en fonction de la charge lorsque la poutre charge est excite sa frquence de rsonance et lorsque lamplitude du dplacement en bout de poutre est impose (lamplitude de la force excitatrice nest donc pas constante). Ces travaux montrent quil existe une valeur optimale de la rsistance de charge pour laquelle la puissance et le rendement atteignent simultanment une valeur maximale. Soulignons ds prsent que dans le cas dune sollicitation force damplitude constante, ce rsultat nest pas toujours vrai, comme nous le verrons au Chapitre 4.

Richards et al [46] se sont intresss au rendement de ce dispositif lorsquil est excit sa rsonance par une force damplitude constante. Ces travaux confirment lexistence dune valeur

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de rsistance qui maximise le rendement. Le rendement maximum est exprim en fonction du coefficient de couplage global k du micro-gnrateur et de son facteur de qualit mcanique Q. Cette expression est donne dans (1.3). On peut constater que le rendement augmente logiquement avec le couplage et le facteur qualit mcanique. En utilisant des structures suffisamment surtendues (Q lev), on peut obtenir des rendements trs important mme pour des coefficients de couplage lectromcanique faibles. Ainsi, pour Q=150 et k=5%, on obtient un rendement de 80%. Si le dispositif est sollicit en rgime quasi-statique, on rejoint le cas du gnrateur conversion direct (non rsonant) dont le taux de conversion est infrieur au carr du coefficient de couplage lectromcanique, soit 5% dans ce cas.

2

121

k Q

=+

(1.3)

La puissance maximale que peut produire ce type de gnrateur est limite par la sollicitation maximale que lon peut appliquer sur le dispositif avant rupture mcanique ou dpolarisation des matriaux pizolectriques. Cette limite est fonction de la taille, de la gomtrie et des matriaux utiliss dans le gnrateur. A titre dexemple, le micro-gnrateur ralis par Glynne-Jones et al [47] est compos dune poutre en acier de 20mm de long, 10mm de large et 0.1mm dpaisseur sur laquelle est dpose une couche mince de matriaux pizolectrique paisse de 0.02mm. Il peut produire une puissance maximale de 3W. La puissance de ce micro-gnrateur est limite par sa taille extrmement rduite, sa puissance volumique est de 150W/cm3 environ.

1.3.2. Optimisation lectromcanique

Loptimisation dun gnrateur pizolectrique passe par loptimisation de ses caractristiques lectromcaniques, cest--dire loptimisation de sa rponse lectrique une sollicitation mcanique. En dautre terme, lobjectif est de maximiser le coefficient de couplage du micro-gnrateur pour le mode de sollicitation utilis2.

Dune manire gnrale, le carr du coefficient de couplage lectromcanique dune structure peut tre dfinit, en circuit ouvert, comme le rapport de lnergie lectrique WE sur lnergie lastique totale WM. Soit WMP lnergie lastique dans les lments pizolectriques et kP le coefficient de couplage du matriau pizolectrique utilis, le carr du coefficient de couplage global k du micro-gnrateur est alors donn par (1.4). Il apparat alors clairement que pour un matriau pizolectrique donn, la maximisation du coefficient de couplage global revient logiquement maximiser le rapport de lnergie lastique dans le matriau pizolectrique sur lnergie lastique totale.

2 2E E MP MPP

M MP M M

W W W Wk kW W W W

= = = (1.4)

Afin de prsenter le problme sur un exemple simple, considrons un micro-gnrateur du mme type que celui reprsent Figure 1-12. Supposons que lon cherche maximiser le

2 Le couplage lectromcanique dune structure vibrante est fonction du mode de rsonance sollicit. On peut gnralement dfinir un coefficient de couplage par modes ainsi quun coefficient de couplage statique.

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couplage de cette structure lorsquelle est excite sur son premier mode de flexion. On suppose galement que le choix des matriaux utiliss est dj dfini, ainsi que la position et la longueur des inserts pizolectriques. Le seul paramtre qui nest pas fix est lpaisseur des inserts, que lon cherche optimiser afin de maximiser le couplage.

On voit bien sur cet exemple simple que loptimisation lectromcanique est un problme complexe. Si lpaisseur des inserts pizolectriques est trop petite, il est vident que le rapport de lnergie lastique dans le matriau pizolectrique sur lnergie lastique totale est faible, mais si cette paisseur est trop grande, une rigidit trop importante de la structure au niveau des inserts peut fortement diminuer la dformation dans le matriau pizolectrique et donc engendrer une diminution de lnergie lastique dans les inserts. Il existe en ralit une paisseur optimale pour laquelle le coefficient de couplage est maximis. Lnergie lastique dans la structure est reprsente sur la Figure 1-13 pour trois paisseurs croissantes correspondant (1) une paisseur trop faible, (2) lpaisseur optimale et (3) une paisseur trop importante.

(a) (b)

paisseur des inserts

k (1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

Figure 1-13 coefficient de couplage en fonction de lpaisseur des inserts : (a) nergie lastique dans la structure pour trois paisseur diffrente, (b) volution typique du coefficient de couplage

Nous verrons au paragraphe 7.2 du Chapitre 7 comment le coefficient de couplage de ce type de structure lectromcanique peut tre optimis analytiquement partir dun modle constantes localises.

De nombreux travaux scientifiques ont t raliss sur le sujet de la modlisation et de loptimisation de structures pizolectriques. La thse de Eggborn [48], par exemple tudie la rponse lectrique de structure de type poutres ou plaques excites par une force extrieure. Celle de Kim [49], sintresse loptimisation dunimorphes et de bimorphes pizolectriques, linaires ou circulaires, polariss paralllement ou perpendiculairement la dformation principale.

La modlisation de micro-gnrateurs pizolectriques permet loptimisation de leur gomtrie avant la ralisation du prototype. Les travaux de Danak et al [50] et Kang et al [51] illustrent bien cette logique : Dfinition de la forme gnrale du systme en fonction de lapplication envisage, modlisation thorique, optimisation du systme partir du modle, ralisation du prototype optimis.

31

1.3.3. Optimisation lectrique

Les caractristiques lectriques des gnrateurs pizolectriques ne sont gnralement pas trs favorables : tension leve et alternative, faible courant, impdance de sortie capacitive. Lnergie produite par ces gnrateurs pizolectriques nest ainsi gnralement pas utilisable directement pour lalimentation de dispositifs lectroniques classiques qui ncessitent une alimentation basse tension continue.

On utilise en rgle gnrale un pont redresseur suivi dune capacit de filtrage pour convertir la tension alternative dlivre par les inserts pizolectriques en tension continue. Considrons une charge rsistive alimente par ce type de dispositif, cf. Figure 1-14 (a). Dans le cas dune sollicitation mcanique sinusodale damplitude constante, on peut montrer quil existe une rsistance de charge optimale pour laquelle la puissance dlivre par les inserts pizolectriques est maximale, ceci sera amplement discut dans le Chapitre 4.

Un convertisseur DC-DC est souvent intercal entre la tension redresse et la charge alimenter, cf. Figure 1-14 (b). Ce convertisseur peut avoir plusieurs rles : Soit imposer une tension constante sur la charge (rgulation de tension), soit imposer un rapport Vrect/Irect gal la rsistance optimale de faon optimiser la puissance fournie par le micro-gnrateur (adaptation dimpdance).

(a) (b)

Convertisseur DC DC ChargeVrect

Irect

Vrect

Irect

Figure 1-14 Mise en forme de la tension gnre par les inserts pizolectriques : (a) alimentation dun charge rsistive, (b) alimentation dune charge quelconque via un convertisseur DC-DC

Des travaux mens luniversit de Floride ont exploit ces deux types de convertisseur DC-DC : Le convertisseur utilis par Horowitz et al [52] est un rgulateur linaire dlivrant une tension continue de 5V, alors que celui utilis par Kasyap et al [53] est un hacheur de type flyback permettant de maximiser la puissance fournie par le micro-gnrateur en jouant sur le rapport cyclique de commutation.

A luniversit de Pennsylvanie, Ottman et al [54] ont utilis un hacheur abaisseur de tension dont le rapport cyclique de commutation est automatiquement adapt de faon maximiser la puissance de sortie. Dans le cas o la charge est une batterie, les rsultats ont montr que lnergie rcupre pouvait tre augment de 400% par rapport une charge directe sans convertisseur. Ce dispositif complexe dadaptation du rapport cyclique de commutation prsente linconvnient de ne pas pouvoir tre autoaliment. Constatant que pour des niveaux de sollicitations suffisamment levs le rapport cyclique optimal varie trs peu, Ottman et al [55] ont dvelopp un hacheur abaisseur de tension autoaliment dont le rapport cyclique de

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commutation reste constant. Les rsultats pour la charge dune batterie en utilisant ce systme indiquent une amlioration de 325% par rapport une charge directe.

La tension gnre par des inserts pizolectriques est gnralement leve, et lutilisation de ponts redresseurs diode ne pose alors pas de problme. Le micro-gnrateur utilis par Han et al [56] fournie une tension en circuit ouvert de quelques diximes de volt. Pour cette application particulire, lutilisation dun redresseur diode nest pas envisageable, il a donc t remplac par un redresseur synchrone suivi dun systme de pompe de charge pour augmenter la tension.

1.4 Techniques de conversion pizolectriques non linaires

La plupart des travaux scientifiques propos des micro-gnrateurs pizolectriques concernent soit loptimisation du couplage lectromcanique soit le dveloppement de convertisseur DC-DC permettant de maximiser le transfert de puissance par adaptation dimpdance.

Nous proposons une approche diffrente, qui consiste ne pas considrer sparment la structure lectromcanique et le dispositif lectrique de mise en forme de la tension. Les techniques non linaires proposes permettent dlargir les cycles nergtiques de conversion mcano-lectrique, c'est--dire la faon dont est extraite lnergie mcanique de la structure et dont elle est convertie en nergie lectrique.

Le seul exemple de gnrateur pizolectrique utilisant une technique non linaire correspond aux travaux de Taylor et al [57]. Ce gnrateur est appel anguille rcupratrice dnergie (Energy Harvesting Eel), il est reprsent Figure 1-15. Il sagit dun dispositif utilisant des polymres pizolectriques pour convertir lnergie mcanique disponible dans les ocans ou dans des rivires. Ces gnrateurs sont excits par les vortex crs par le courant marin derrire un obstacle. Le mouvement du gnrateur ressemble alors celui dune anguille. Un gnrateur de ce type, long de 1.3m et large de 15cm environ produit 200mW environ. Ce gnrateur utilise un traitement non linaire permettant la fois de maximiser lnergie extraite et dabaisser le niveau de tension. Cette technique sera dtaille dans le paragraphe 6.1 du Chapitre 6.

Courant marin

Obstacle

Vortex

Figure 1-15 Anguille rcupratrice dnergie [57]

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1.5 Enjeux et perspectives

La rcupration dnergie est actuellement un domaine porteur, il suffit pour sen convaincre dobserver lexplosion rcente du nombre de publications et de brevets sur ce thme. La ralisation de micro-gnrateurs autonomes correspond un rel besoin, que ce soit pour lalimentation de dispositifs lectroniques portables dusage courant, ou dans le cadre des rseaux de capteurs sans fil. Ce dveloppement a t rendu possible par la diminution de la consommation des composants lectroniques. Il correspond des considrations dordre pratique, cologique et conomique. Pratique, car le remplacement des batteries est gnant, voire impossible dans le cas de rseaux de capteurs comportant un trs grand nombre de nuds. Ecologique, puisque ces gnrateurs utilisent de lnergie renouvelable. Economique dune part car les entreprises sont taxes pour participer au frais de retraitement des batteries usages et dautre part car lutilisation dun rseau de capteur pour le contrle de sant permet de baisser les cots de maintenance. En effet, le contrle de sant laide de capteurs autonomes ddis permet daugmenter la sret de fonctionnement dun systme tout en supprimant ou en diminuant fortement la frquence des contrle systmatiques qui peuvent ncessiter larrt du systme et/ou une intervention humaine.

Le programme de grande ampleur men aux Etats-Unis par le dpartement recherche et dveloppement du ministre de la dfense3 au sujet de la rcupration dnergie traduit bien lintrt actuel pour ce genre de dispositif. Ce programme a soutenu de nombreux travaux de recherches cits dans ce chapitre, notamment la chaussure pizolectrique de Shenck et Paradiso [40, 41], le bouton poussoir de Paradiso et Feldmeier [44], ou languille rcupratrice dnergie de Taylor et al [57].

3 DARPA : Defense Advanced Research Project Agency, http://www.darpa.mil/dso/trans/energy/

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Chapitre 2

Les Techniques SSD

Amortissement vibratoire

semi passif

Les techniques non linaires de rcupration dnergie sont drives de techniques semi passives damortissement vibratoire prcdemment dveloppes au LGEF. Ce chapitre prsente une analyse de ces techniques damortissement sous un angle nouveau, notamment partir de ltude du vecteur de Poynting qui traduit les flux nergtiques dans un systme lectromcanique.

Beaucoup de dveloppements prsents dans ce chapitre, notamment la modlisation lectromcanique seront utiliss par la suite dans les travaux concernant la rcupration dnergie.

2.1 Introduction aux techniques SSD

2.1.1. Contexte et acquis

La rduction du bruit et des vibrations est un sujet de recherche prioritaire dans de nombreux secteurs industriels, tels que lautomobile, larospatiale, lquipement sportif, la mesure, etc. Afin de rpondre ces proccupations, de nombreuses mthodes damortissement vibratoire utilisant des matriaux pizolectriques ont t dveloppes. Ces matriaux, colls sur la structure amortir, sont comprims ou tirs lorsque la structure vibre et convertissent une part

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de lnergie mcanique de la structure en nergie lectrique. En transfrant ou en dgradant cette nergie, on rduit lnergie mcanique dans la structure et donc on amortit les vibrations.

On distingue plusieurs types de contrle vibratoire base de matriaux pizolectriques. Les techniques dites actives utilisent un systme complexe comprenant des capteurs permettant de mesurer la vibration, un calculateur permettant de dduire la tension appliquer sur les actionneurs pizolectriques pour contrler la vibration, et enfin des gnrateurs de tension et des amplis pour alimenter ces actionneurs.

Les techniques passives consistent connecter aux lments pizolectriques un rseau lectrique passif dissipatif. La mthode la plus efficace consiste connecter une inductance en srie avec une rsistance, en parallle avec la capacit propre des lments pizolectriques. Lamortissement optimal est obtenu lorsque la frquence de rsonance lectrique du circuit oscillant ainsi constitu est accorde la frquence de rsonance de la structure. Dans ces conditions, cette mthode savre trs efficace et beaucoup plus simple que les techniques actives. Cependant, cette technique passive prsente quelques inconvnients majeurs. Pour des frquences de rsonances basses, la valeur optimale de linductance devient trs grande et ncessite lutilisation de circuits actifs spcifiques (girateurs). De plus, cette technique est trs sensible aux variations environnementales, tels que la temprature, les conditions aux limites, la charge acoustique, qui modifient les frquences de rsonances et donc dgradent laccord avec la frquence de rsonance du circuit lectrique, ce qui entrane une baisse importante des performances. Enfin, lamortissement de plusieurs modes de vibration simultans ncessite lutilisation de rseaux lectriques complexes dautant plus sensibles aux variations environnementales.

Une alternative novatrice a t dveloppe au LGEF. Il sagit dune technique dite semi passive, qui peut tre totalement autonome mais ralise un traitement actif de la tension gnre par les lments pizolectriques [58, 59]. Cette technique, baptise SSD pour Synchronized Switch Damping, est implmente en utilisant un interrupteur lectronique command pendant de brefs instants de faon synchrone avec la vibration. Cet interrupteur connecte brivement les lments pizolectriques un circuit lectrique qui peut tre soit un simple court-circuit (SSDS), soit une petite inductance (SSDI). Dans le cas du SSDS, la tension est brivement ramene zro, et dans le cas du SSDI elle est inverse. Dans les deux cas, le traitement non linaire de la tension se traduit par la cration dune force mcanique en crneau dont le signe est toujours oppos celui de la vitesse de la vibration. Cela signifie que du point de vue de la structure le traitement non linaire introduit un mcanisme dissipatif de type frottement sec. Linversion de tension effectue dans la technique SSDI permet daugmenter lamplitude des crneaux et donc lefficacit du dispositif. Contrairement aux pertes visqueuses, les pertes par frottement sec sont indpendantes de la frquence, ce qui implique que cette approche fonctionne galement pour les trs basses frquences. Par ailleurs, les techniques SSD ne ncessitent aucune information prcise sur les modes de rsonances de la structure et sont donc trs adaptables et peu sensibles aux conditions aux limites.

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2.1.2. Travail ralis

Un modle simple constantes localises est propos pour modliser le comportement dune poutre en vibration sur laquelle sont colls des inserts pizolectriques. Ce modle est compar une modlisation par lments finis et donne des rsultats quivalents pour un temps de calcul au moins 100 fois plus court. Lexploitation thorique du modle ainsi que ltude du flux du vecteur de Poynting dans la structure permet de mettre en vidence laugmentation des cycles dextraction de lnergie mcanique due au traitement SSD et de prdire analytiquement lamortissement induit par chacune des techniques. Ce travail est lobjet dune publication [60] soumise en avril 2005.

2.2 Les techniques SSD semi passives

Limplmentation des techniques SSD consiste ajouter un dispositif de commutation en parallle avec les lments pizolectriques. Dans le cas de la technique SSDS ce dispositif est un simple interrupteur lectronique, dans le cas de la technique SSDI, linterrupteur est en srie avec une bobine dinductance LI. Linterrupteur est pratiquement toujours ouvert, sauf quand un extremum de dplacement est dtect. Dans le cas de sollicitation simple (sinusodale par exemple), les extrema de dplacement de la structure correspondent des extrema de dformation dans les lments pizolectriques et donc des extrema de tension. Quand un extremum est dtect, linterrupteur est ferm. Dans le cas de la technique SSDS, la tension est alors brivement ramene zro. Dans le cas de la technique SSDI, La capacit propre C0 des lments pizolectriques et linductance LI forment un circuit oscillant. Linterrupteur est maintenu ferm jusqu ce que la tension sur les lments pizolectriques soit inverse, c'est--dire au bout dun temps ti correspondant une demi pseudo priode du circuit oscillant, cf. Eq. (2.1). Plus linductance est petite et plus le temps dinversion est faible. Ainsi cette technique ne ncessite pas de grosses valeurs dinductance, contrairement aux techniques passives classiques. Dun point de vue pratique, linductance est choisie de faon ce que ti soit entre 20 et 50 fois plus petit que la priode de vibration mcanique. Lorsque linterrupteur est ouvert, le courant sortant des lments pizolectriques est nul et la tension volue comme le dplacement. Les dispositifs de commutation correspondant aux techniques SSD ainsi que les formes dondes associes sont reprsents sur la Figure 2-1.

0i It C L= (2.1)

Linversion travers linductance nest pas parfaite parce quune part de lnergie lectrique sur les lectrodes des lments pizolectriques avant linversion est perdue dans le dispositif de commutation, en particulier dans le circuit magntique de linductance. Ces pertes sont modlises par un facteur de qualit lectrique QI. Lexpression de la tension aprs inversion en fonction de la tension avant linversion et de QI est donne dans (2.2). La technique SSDS peut tre vue comme un cas particulier de la technique SSDI lorsque QI=0.

( )2

( ) ( )IQ

avant avantaprsV V V e

= = (2.2)

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t

t t

Tension

Dplacement

Vitesse (a) SSDS

(b) SSDI

ti V(avant)

V(aprs)

Figure 2-1 Techniques SSD, dispositifs de commutation et formes dondes typiques associes : (a) SSDS, (b) SSDI

2.3 Analyse globale de la structure amortie

On considre une poutre vibrante amortie par laction dlments pizolectriques. Cette poutre est reprsente Figure 2-2. Une de ses extrmits est encastre dans une structure rigide, lautre est libre. Des lments pizolectriques sont colls de part et dautre de la poutre, prs de lencastrement, l o la dformation est la plus importante. Dans le cas considr ici, les lments pizolectriques sont constitus de cramiques massives polarises perpendiculairement la poutre. Cest donc le couplage latrale k31 qui est prpondrant. Cette approche peut cependant tre gnralise aux composites pizolectriques dont la polarisation peut tre parallle la poutre. Les deux lments pizolectriques sont connects en parallle. La masse lectrique est constitue par les lectrodes en contact avec la poutre.

z (2)

y (3)

x (1) Fuy(x)

Poutre cB IB

lments pizolectriques cPD IP

LP xP

L

Figure 2-2 Poutre vibrante comportant des lments pizolectriques

Le vecteur de Poynting qui dcrit les flux dnergie dans une structure pizolectrique est donn par (2.3), o T est le tenseur des contraintes, u le vecteur des dplacements, le potentiel lectrique et D le vecteur des dplacements lectriques.

, 1..3j ij i jP T u D i j= + = (2.3)

Le flux du vecteur de Poynting entrant dans une surface ferme est gal la drive temporelle de lnergie potentielle EP et de lnergie cintique EC dans le volume dlimit par cette surface plus les pertes intrinsques PD dans le volume. Ceci est rsum dans (2.4).

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Lnergie potentielle est gale la somme de lnergie lectrostatique EE et de lnergie lastique Ee. Dans cette analyse, les pertes intrinsques sont assimiles des pertes visqueuses.

( )C P DdPdS E E Pdt

= + + (2.4)

Une force excitatrice F est applique lextrmit libre de la poutre et un circuit lectrique est connect aux lments pizolectriques. I est le courant absorb par le circuit, V est la tension aux bornes des lments pizolectriques et uyL est le dplacement lextrmit libre de la poutre. Le flux du vecteur de Poynting entrant dans la surface externe totale T de la structure constitue par la poutre et les lments pizolectriques est donn par (2.5). Le bilan nergtique global de la structure peut tre driv de (2.4) et (2.5) ; il est donn dans (2.6). Ce bilan montre que la drive temporelle de lnergie potentielle et cintique de la structure est gale la puissance fournie par la source dexcitation mcanique, moins les pertes visqueuses et la puissance lectrique consomme par le circuit lectrique. La puissance lectrique peut ainsi tre considre comme des pertes si le produit VI est positif, c'est--dire si le circuit lectrique se comporte comme un rcepteur. Dans le cas de lamortissement vibratoire, le circuit lectrique connect aux lments pizolectriques doit donc tre conu pour maximiser sa propre consommation.

T

yLPdS VI Fu

= + (2.5)

( )C P Dd E E Fu P VIdt

+ = (2.6)

On considre maintenant le flux entrant du vecteur de Poynting travers la surface extrieure des lments pizolectriques P. On suppose que les hypothses dEuler-Bernouilli pour les poutres en flexion sont vrifies. Les contraintes perpendiculaires la poutr