Recuit simulé

Jean-Frédéric Berthelot, Paul-Alain Bugnard, Camille Capelle, Sébastien Castiel, Marion Floury, Chris Hervieux

Une métaheuristique venue de la métallurgie.

Recuit réel

Matériau en fusion, à haute température

Refroidissement lent, par paliers Désordre => Ordre Minimisation de l’énergie

Analogie

Optimisation Fonction objectif Trouver une bonne

configuration

Système physique Energie libre Trouver les états de

basse énergie

Avantages & inconvénients Avantages

Convergence Ne bloque pas sur un minimum local

Inconvénients Choix initial des paramètres

Algorithme (pseudo-code)i := i0 (* Solution initiale *)T := T0 (* Température initiale *)Tant que la condition d'arrêt n'est pas vérifiée

Tant que la fin du pallier n'est pas atteinteGénérer nouvelle solution jΔeij = e(j) - e(i)Si Δeij < 0 alors

i := jSinon

i := j avec une proba de exp(-Δeij / T)

Fin siFin tant queAbaisser T

Fin tant que

Convergence Asymptotique Chaînes de Markov Conditions de convergence

Chaînes de Markov Une variable aléatoire X est dite chaîne de

Markov si :

Une Chaîne de Markov est dite homogène si :

Conditions de convergence

Chaque chaîne de Markov homogène est de longueur fini

Les chaînes de Markov sont irréductibles et apériodiques

Seules les configurations d’énergie minimale ont une probabilité d’existence non nulle quand T tend vers 0

-> Convergence vers des solutions optimales globales asymptotique

Paramètres de l’algorithme

1 – Température initiale2 – Modification de la température3 – Cas d’arrêt

Valeur initiale de la température

On fait 100 perturbations et on évalue la moyenne des variations d’énergie.

On choisie un taux initiale d’acceptation selon la qualité supposé de la situation initiale

On déduit T0 de la relation de Metropolis T0 = -ΔE /ln τ0

Modification de la température Paliers de température

▪ 12XN perturbations sont acceptées▪ 100XN perturbations sont refusées

Loi de décroissance ▪ Géométrique : Tk+1 = 0,9xTk▪ Arithmétique : Tk+1 = Tk - 1

Condition d’arrêt

le système devient figé => plus de permutations

depuis 3 paliers le seuil fixé est atteint

V - Amélioration du recuit simulé Recuit simulé parallèle Recuit simulé distribué

Recuit simulé parallèle

Plusieurs solutions sont possibles : Architecture « Fermier/Travailleurs » proposée

par Baiardi et Orlando Architecture « Une-chaîne » proposée par Aarts Architecture « Chaînes-Parallèles » proposée

par Aarts

Architecture « Fermier/Travailleurs »

Processeurfermier

Processeurtravailleur

ProcesseurtravailleurProcesseur

travailleur

Génération de configurations voisines par le processeur Fermer

Architecture « Fermier/Travailleurs »

Processeurfermier

Processeurtravailleur

ProcesseurtravailleurProcesseur

travailleur

Un processeur détecte une configuration acceptable il en informe le processeur fermier. Le processeur fermier effectue la mise à

jour globale du système.

Recuit simulé distribué

Subdiviser l’espace de recherche en sous-espaces

Dégager des tâches ou des rôles bien déterminés

VI - Applications

1 - Voyageur de commerce2 - Autres applications

Problème du voyageur de commerce

Il faut définir : L’état initial La fonction de coût L’évolution de T° Une modification élémentaire.

X 3 0,8

2,5

0,8 3 1,

51,6

2,2

0,3 3

Y 0,3 1 1,

82,3 3 1,

81,6

0,9

0,4

0,3

Problème du voyageur de commerce

Etat initial aléatoire - Coût initiale : 33,1

X 3 0,8

2,5

0,8 3 1,

51,6

2,2

0,3 3

Y 0,3 1 1,

82,3 3 1,

81,6

0,9

0,4

0,3

Chainage des sommets

X 3 0,3

0,8

2,5

0,8 3 1,

51,6

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

82,3 3 1,

81,6

0,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

1ère étape- On sélectionne une

transformation. - On calcule le coût

associé C = 25,5- Comme le nouveau coût

est plus petit, on applique la transformation.

X 3 0,8

2,5

0,8 3 1,

51,6

2,2

0,3 3

Y 0,3 1 1,

82,3 3 1,

81,6

0,9

0,4

0,3

Problème du voyageur de commerce

Nouvel état obtenue- Coût à l’étape 1 : 25,5

X 3 0,3

0,8

2,5

0,8 3 1,

51,6

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

82,3 3 1,

81,6

0,9

0,3

X 3 0,3

0,8

0,8 3 1,

51,6

2,5

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 2,

3 3 1,8

1,6

1,8

0,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

2ème étape- On sélectionne une

autre transformation. - On calcule le coût

associé C = 21,42- Comme le nouveau coût

est plus petit, on applique la transformation.

X 3 0,3

0,8

2,5

0,8 3 1,

51,6

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

82,3 3 1,

81,6

0,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

Nouvel état obtenue- Coût à l’étape 2 : 21,42

X 3 0,3

0,8

0,8 3 1,

51,6

2,5

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 2,

3 3 1,8

1,6

1,8

0,9

0,3

X 3 0,3

0,8

1,6

0,8 3 1,

52,5

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

62,3 3 1,

81,8

0,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

3ème étape- On sélectionne une

autre transformation. - On calcule le coût

associé C = 21,96- Le nouveau coût est

plus grand. On applique la transformation avec une certaine P(T°,E)

X 3 0,3

0,8

0,8 3 1,

51,6

2,5

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 2,

3 3 1,8

1,6

1,8

0,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

Nouvel état obtenue- Coût à l’étape 3 : 21,96

X 3 0,3

0,8

1,6

0,8 3 1,

52,5

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

62,3 3 1,

81,8

0,9

0,3

X 3 0,3

0,8

1,6

1,5

0,8 3 2,

52,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

61,8

2,3 3 1,

80,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

4ème étape- On sélectionne une

autre transformation. - On calcule le coût

associé C = 18,62- Comme le nouveau coût

est plus petit, on applique la transformation.

X 3 0,3

0,8

1,6

0,8 3 1,

52,5

2,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

62,3 3 1,

81,8

0,9

0,3

Problème du voyageur de commerce

Nouvel état obtenue- Coût à l’étape 4 : 18,62

X 3 0,3

0,8

1,6

1,5

0,8 3 2,

52,2 3

Y 0,3

0,4 1 1,

61,8

2,3 3 1,

80,9

0,3

Problème du voyageur de commerce (2)

Problème du voyageur de commerce (2)

Autres applications

Placement des composants sur une carte électronique

K-partitionnement de graphes Truc Bidule Construction d’images

Exemple.avi