recueil logique sequentielle

8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE

1/193

Université Abdelmalek Essaadi

Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Tétouan

———————————————–

Mécatronique - Télécommunications & Réseaux———————————————–

Automatique des Systèmes Continus

Auteur : Mohammed BENBRAHIM

Mars 2011

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 1RECUEIL DE TRANSPARENTS


2/193

Source

Ce document est basé sur le cours :

≪ AUTOMATIQUE DES SYSTEMES CONTINUS ≫Mohammed BNBRAHIM

Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Tétouanc⃝ 2011

ENSA-Tétouan



3/193

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1 :

Chapitre 2 :

Chapitre 3 :

Chapitre 4 :

Chapitre 5 :

Chapitre 6 :

Chapitre 7 :

Chapitre 8 :

Notions générales . . . . . . . . . . . . . . .

Représentation des systèmes

dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Analyse de la commandeen boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . .

Analyse dans le domaine

temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stabilité et

lieu des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . .

Design des systèmes asservis . . .

Représentation interne :Analyse et Design . . . . . . . . . . . . . . .

page 4

page 21

page 52

page 65

page 84

page 103

page 140

page 165

ENSA-Tétouan



4/193

CHAPITRE 1

NOTIONS GÉNÉRALES

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 4TITRE DU CHAPITRE


5/193

Objectifs :

• Décrire les systèmes asservis• Définir la terminologie des systèmes

asservis linéaires

• Distinguer la structure de commande enboucle ouverte de celle en boucle fermée

• Introduire les concepts d’analyseet de synthèse

Sommaire :

• Terminologie de l’automatique• Exemples de systèmes asservis• Classification des structures de commande• Techniques d’analyse et de synthèse

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 5NOTIONS GÉNÉRALES


6/193

Définition :

Un système est dit automatiquelorsqu’il accomplit une tâche biendéterminée sans interventionhumaine

Exemple :

commande

Énergie

températuredésirée

moteurvanne

eaufroide

eauchaude

M

Tthermocouple

échangeur

condensation

ENSA-Tétouan



7/193

Schéma-bloc

correcteur systèmecommandé

perturbations

capteurs

grandeurs

d’entrée

grandeurs

de sortie

Terminologie

– Grandeurs d’entrée ou désiréesou de référence

– Correcteur ou Contrôleur– Système commandé ou Objet– Grandeurs de sortie– Capteurs ou organes de mesure– Perturbations ou grandeurs parasites :

Influences externes– Comparateur : comparaison de la sortie

avec l’entrée

ENSA-Tétouan



8/193

Asservissement de vitesse d’un convoyeur

M

moteur

d.c

R

BA

robot 2 robot 1

v(t)

convoyeur

Structure de commande en boucle fermée

vref u(t) correcteur + −moteur

+ réducteur+ convoyeur

p(t)

capteur

v(t)

ENSA-Tétouan



9/193

Réglage de la température d’un logement

thermostat

radiateur

qi(t)

θ : températuredu logement

q′

(t)

q′

(t)

θ′ : température de

l’air ambiant

eauchaude

Schéma-bloc de commande

θr Ther mostat

u(t) Vanne Logement

qi(t)q′(t)

θ(t)

ENSA-Tétouan



10/193

Commande de niveau d’un bassin

vis de réglagede la consigne hr

Vanneqi(t)

q0(t)

l1 l2

h(t)

d

hr Vanne

qi(t)

+

−

Bassin

p(t)

h(t)

capteur

hd Vanne

qi(t) h(t)

+

−retard

qi(t − τ )Bassin

p(t)

capteur

ENSA-Tétouan



11/193

Système de réglage d’une antenne parabolique

vis de réglage

k0 Ampli

différentielα0e1

e2 e Ampli depuissance

ea

Ω1

Ω2

α

n

réducteur

TR

moteur

α0 e1 e k0 Ampli Moteur + charge

CapteurTR

α+

−ea

e2

p(t)

ENSA-Tétouan



12/193

Système de réglage d’un gouvernail de navire

b

Rouede commande

TR1

Ampli

servovanne

TR2

gouvernail

rouedentée

α

O

O’

u

y

α0

e1

e2

Schéma-bloc de commande

+

−TR1

TR2

Ampli Servovanne Gouvernail e1 ee2

u yα0 α

p(t)

ENSA-Tétouan



13/193

Système de réglage d’un gouvernail d’avion

servovanne C(s) Ampli

Kr

r

y(t)

θ(t)

TR

x

vérin

vr

ei

o

vθ

θr

vis de réglage

+

−θr potentio-

mètre C(s) servovanne+ vérin gouvernail

p(t)

θ

TR

vr e

vθ

i y

ENSA-Tétouan



14/193

Classification des systèmes

statique

système

dynamique

à paramètresdistribués

à paramètreslocalisés

aléatoire déterministe

discret continu

non linéaire linéaire

variant invariant

ENSA-Tétouan



15/193

Modèle mathématique d’un système

Système

r1(t)

rm(t)

y1(t)

yp(t)Entrées Sorties

Forme générale d’un modèle :

•y1 (t) = f 1 [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P , t ]

... ... ...•yp (t) = f p [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P , t ]

Forme matricielle d’un modèle :

•y (t) = f [ y(t), r(t), P , t ]

– y(t) = [ y1(t), . . . , yp(t) ]T

– r(t) = [ r1(t), . . . , rm(t) ]T

– f (.) = [ f 1(.), . . . , f p(.) ]T

ENSA-Tétouan



16/193

Linéarisation : approche graphique

y

r

ye

re

y = f (r)

f (r) = f (re) + df (re)

dr (r − re) + o(r − re)

y = ye + df dr

(re)(r − re) + o(r − re)

∆y=y − ye∆r=r − re

k=df (re)dr

limr→reo(r − re)=0

Équation linéarisée :

∆y = k ∆r

ENSA-Tétouan



17/193

Linéarisation : approche analytique

•y (t) = f (y(t), r(t))

∆•y (t) = A ∆y(t) + B ∆r(t)

A(p×p) = ∂ f

∂ y(ye, re) =

∂ f 1∂ y1

. . . ∂ f 1∂ yp... . . . ...

∂ f p∂ y1

. . . ∂ f p

∂ yp

|ye,reB(p×m) =

∂ f

∂ r(ye, re) =

∂ f 1∂ r1

. . . ∂ f 1∂ rm... . . . ...∂ f p∂ r1

. . . ∂ f p

∂ rm

|ye,re

ENSA-Tétouan



18/193

Linéarisation le long d’une trajectoire

y(t) y∗(t) y(t)

t

×

•y

∗(t) = f (y∗(t), r∗(t))

y(t) = y∗(t) + ∆y(t)

r(t) = r∗(t) + ∆r(t)

∆•y (t) = f (y, r) − f (y∗, r∗)

∆•y (t) = ∂ f

∂ y(y∗, r∗) ∆y +

∂ f

∂ r(y∗, r∗) ∆r

∆•y (t) = A(t) ∆y + B(t) ∆r

A(t) = ∂ f

∂ y(y∗, r∗)

B(t

) =

∂ f

∂ r(y

∗,r∗)

ENSA-Tétouan



19/193

Structures de commande

correcteur actionneur système

sortie

y(t)

entrée

r(t)

perturbation p(t)Boucle ouverte

r(t) correcteur actionneur + − système

capteur

y(t)

sortieentrée

perturbation p(t)Boucle fermée

Principe de superposition

Additivité :

entrées sortiesr1(t) =⇒ y1(t)r2(t) =⇒ y2(t)r1(t) + r2(t) =⇒ y1(t) + y2(t)

Homogénéité : r(t) =⇒ y(t)a r(t) =⇒ a y(t)

ENSA-Tétouan



20/193

Techniques d’analyse et de synthèse

ANALYSE :– Domaine temporel– Domaine fréquentiel

SPÉCIFICATIONS :– Précision en régime permanent– Comportement en régime transitoire– Stabilité– Sensibilité– Robustesse

SYNTHÈSE :– Choix des composantes– Modélisation mathématique– Validation du modèle– Construction et test

ENSA-Tétouan



21/193

CHAPITRE 2

REPRÉSENTATION DES

SYSTÈMES DYNAMIQUES

ENSA-Tétouan



22/193

Objectifs :

• Établir différentes formes de modèlesmathématiques des systèmes dynamiques

• Établir les schémas-bloc des systèmesdynamiques

• Simplifier les schémas-bloc

Sommaire :

• Représentation par des équationsdifférentielles

• Représentation par un modèle d’état

• Transformée de Laplace

• Représentation par la fonction de transfert• Modélisation des systèmes mécaniques-

électriques-électromécaniques-hydrauliques-pneumatiques-thermiques et complexes.

• Simplification des schémas-bloc

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 22REPRÉSENTATION

DES SYSTÈMES DYNAMIQUES


23/193

Circuit électrique

Entrée = v(t)i(t) = Sortie

R

L

v(t) = R i(t) + L ddti(t)i(0) = i0Système mécanique

m

b

f = Entrée

l = Sortie

0

k

m d2

dt2l(t) + b d

dtl(t) + k l(t) = f (t)

l(0) = l0, ddtl(0) = v0, mg = kl0

ENSA-Tétouan




24/193

Représentation par modèle d’état

Objectif :Transformer une équation différentielled’ordre ≪ n ≫ en ≪ n ≫ équationsdifférentielles d’ordre ≪ 1 ≫

Équation différentielle d’ordre 2 :

m

d2

dt2 l(t) + b

d

dtl(t) + k l(t) = f (t)

l(0) = l0, d

dtl(0) = v0

Variables d’état :

x1(t) = l(t) = y(t) =⇒ •x1 (t) = ddtl(t)

x2(t) = ddt

l(t) =⇒ •x2 (t) = d2dt2 l(t)

Équations différentielles d’ordre 1 :

•x1 (t) = x2(t)•x2 (t) = − k

m x1(t) − b

m x2(t) +

1

m f (t)

x1(0) = l0

x2(0) = d

dtl0

ENSA-Tétouan




25/193

Représentation par modèle d’état

Forme matricielle : •x1 (t)•x2 (t)

=

0 1

− km

− bm

x1(t)

x2(t)

+

0

1m

u(t)

y(t) =

1 0

x1(t)

x2(t)

+

0

u(t)

Forme générale :

•x (t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

x(0) = x0

u(t) y(t)x(t)B +

+

+ +•

x ∫ C

A

D

ENSA-Tétouan




26/193

Transformée de Laplace

Avantage :

Transformation des équations différentiellesen équations algébriques.

Définition :

L [f (t)] = F(s) =∫ ∞

0 f (t)e−stdt t > 0

s = σ + jω

f(t) ≥ 0 F(s)

δ(t) : impulsion 1

u−1(t) : échelon 1s

t : rampe 1s2

ENSA-Tétouan




27/193

Propriétés de la transformée de Laplace

Linéarité :

L [ f 1(t) ] ⇐⇒ F1(s)L [ f 2(t) ] ⇐⇒ F2(s)

L [ a1 f 1(t) + a2 f 2(t) ] ⇐⇒ a1 F1(s) + a2 F2(s)

Dérivation :

L

dn

dtnf (t)

= snF(s) −

nk=1

sn−k

dk−1

dtk−1f (t)

|t=0

Valeur initiale :

f (0) = limt→0f (t) = lims→∞sF(s)

Valeur finale :

f (∞) = limt→∞f (t) = lims→0sF(s)

ENSA-Tétouan




28/193

Exemple de transformation par Laplace

Équation différentielle :

3 d3

dt3y(t) + 2

d2

dt2y(t) + 5

d

dty(t) + y(t) = 6r(t)

Transformation de chaque terme :

L d3

dt3 y(t) ⇐⇒ s3Y(s)−s2y(0)−s •y (0)− ••y (0)

L

d2

dt2y(t)

⇐⇒ s2Y(s)−sy(0) − •y (0)

L

d

dty(t)

⇐⇒ sY(s) − y(0)

L [y(t)] ⇐⇒ Y(s)

L [r(t)] ⇐⇒ R(s)Transformation globale :

[3s3 + 2s2 + 5s + 1] Y(s)

−[3s2 + 2s + 5] Y(0)

−[3s + 2] •Y (0) − 3 ••Y (0) = 6 R(s)

ENSA-Tétouan




29/193

Transformée de Laplace inverse

F(s) = b0 + b1s + · · · + bisi

+ · · · + bmsm

a0 + a1s1 + · · · + an−1sn−1 + sn = N(s)D(s) , m ≤ n

Procédure :

1. Décomposition en éléments simples

2. Calcul des résidus

3. Transformée de Laplace inverse

Racines simples

Décomposition en éléments simples :

F(s) = c1

s + p1+ · · · + cn

s + pn

Résidus :

ci = lims→−pi [(s + pi)F(s)]

Transformée de Laplace inverse :

f (t) = c1e−p1t

+ · · · + cie−pit

+ · · · + cne−pnt

=

ni=1

cie−pit

ENSA-Tétouan




30/193

Racines multiples


F(s) = ck

(s + p1)k +

ck−1(s + p1)k−1

+ · · · + c1(s + p1)

Résidus :

ck− j = lims→−p1

1

j!

d j

ds j F(s)(s + p1)

k

, j = 0, . . . , k − 1

Transformée inverse :

f (t) =

ck

(k − 1)!tk−1 +

ck−1(k − 2)!t

k−2 + · · · + c2t + c1

e−p1t

Racines complexes conjuguées


F(s) = c

s + a − jb + c∗

s + a + jb

Résidus :

c = [F(s)(s + a − jb)] s=−a+ jb = K∠θc∗ = K∠−θ

Transformée inverse :f (t) = 2Ke−atcos(bt + θ)

ENSA-Tétouan




31/193

Transformée de Laplace

Exemples

Racines simples :

F(s) = s + 3

s2 + 3s + 2 =

s + 3

(s + 1)(s + 2) =

c1

s + 1 +

c2

s + 2

f (t) = 2e−t − e−2t

Racines multiples :

F(s) = s2 + 2s + 3

(s + 1)3 =

c1

(s + 1)3 +

c2

(s + 1)2 +

c3

s + 1

f (t) = t2e−t + e−t

Racines complexes conjuguées :

F(s) = 5.2

s2 + 2s + 5 =

c

s + 1 − j2 + c∗

s + 1 + j2

f (t) = 2.6e−tcos(2t − 90)

ENSA-Tétouan




32/193

Fonction de transfert : circuit électrique :

Entrée = v(t)i(t) = Sortie

R

L

v(t) = R i(t) + L ddt

i(t)

i(0) = i0

Transformée de Laplace :

V(s) = RI(s) + LsI(s) − Li(0) = (Ls + R)I(s) − Li(0)I(s) = K

τ s + 1V(s) +

τ

τ s + 1i(0) = G(s)V(s) + G0(s)i(0)

K = 1R

= Gain , τ = LR

= Constante de temps

I(s)

i(0)

V(s)

I(s)

V(s)

i(0) τ

K1

τ s+1

G0(s) = τ τ s+1

G(s) = Kτ s+1

≡

ENSA-Tétouan




33/193

Fonction de transfert : masse-ressort-amortisseur

m d2

dt2l(t) + b d

dtl(t) + kl(t) = f (t)

l(0) = l0, d

dtl(0) = v0, mg = kl0

m

b

f

l

0

k

Transformée de Laplace :

F(s) = (ms2 + bs + k)L(s) − (ms + b)l0 − mv0L(s) =

(1/m)F(s)

s2 + bm

s + km

+ (s + b

m)l0

s2 + bm

s + km

+ v0

s2 + bm

s + km

L(s) = G(s) F(s) + G01(s) l0 + G02(s) v0

L(s) = Kω2n

s2

+2ζωns+ω2

n

F(s)

ωn =

km

= Pulsation

naturelle

ζ = b

2√ mk = Taux

d’amortissementK = 1

k = Gain du système

1

+ 1s2+ bms+

km

s + bm

1m

v0

l0

F(s)

L(s)

ENSA-Tétouan




34/193

Modélisation des systèmes mécaniques

Dynamique en translation :

m d2

dt2x(t) =

ni=1

Fi(t)

Dynamique en rotation :

J d

2

dt2θ(t) =

ni=1

Ci(t)

translation équation rotation équation

a b

f l

k f = kl

f l1 l2

k

f = k(l1 − l2)

f

l1 l2

bf = b(

•l1 −

•l2)

mf

lf = m ••l

J

θCC = J

••θ

θ

C

k C = kθ

C

θ1 θ2

k

C = k(θ1 − θ2)

Cθ1 θ2b

C = b( •θ1 − •θ2)

ENSA-Tétouan




35/193

Modélisation des systèmes électriques

Loi des noeuds∑nk=1 ik = 0

Loi des mailles∑nk=1 vk = 0

i1

i2i3

in

ik

⃗ v1⃗ v2

⃗ vk⃗ vn

1

2 3

k

n

élément

Résistance

Inductance

Capacité

schéma relation

R

L

C

v(t)

v(t)

v(t)

i(t)

i(t)

i(t)

v(t) = Ri(t)

v(t) = L ddt

i(t)

v(t) = 1C∫

t

0i(t)dt

ENSA-Tétouan




36/193

Modélisation des systèmes électromécaniques

ea(t)

Td

b

em(t)

ia(t)

excitation

charge

La Ra

Couple : T(t) = Ktia(t) =⇒ T(s) = KtIa(s)F.E.M : em(t) = Kwω(t) =⇒ Em(s) = KwΩ(s)

Équation

électrique

ea(t) = La

ddt

ia(t) + Raia(t) + em(t)

Ea(s) = (Las + Ra)Ia(s) + Em(s)

Équation

mécanique J

••θ = T(t)

−b•θ (t)

−Td(t)

JsΩ(s) = T(s) − bΩ(s) − Td(s)

+

+

−

− 1Las+Ra Ia(s) Kt T(s)

Td(s)

1Js+b

Kw

Ω(s)Ea(s)

ENSA-Tétouan




37/193

Modélisation des systèmes électromécaniques

Entraînement équivalent

T1, θ1

T2, θ2

R2

R1

n

J

schéma équivalent relations

T1, θ1

T2, θ2R2

R1

n

T1, θ1

T2, θ2

R2

R1

n

ke

be

b

k

T1, θ1

T1, θ1

T1, θ1

T2 = J••θ 2

nT1 = J••

θ1n

T1 = Je••θ 1

Je = Jn2

T2 = kθ2

nT1 = kθ1

n

T1 = keθ1

ke = k

n2

T2 = b•θ2

nT1 = b•

θ1n

T1 = be•θ1

be = bn2

Je

ENSA-Tétouan




38/193

Modélisation des systèmes électromécaniquesEntraînement équivalent

Schéma initial :

u(t)

Tm, θm

Tc, θc

R

em(t)

ia(t)

bm bcRc

Rm

Jc

Jm

L

Relations d’équivalence :

J = Jm + Jc/n2

b = bm + bc/n2

Schéma équivalent :

u(t)

em(t)

ia(t)

L R

Td

Tm, θmb

J

J••θ m= Tm − b

•θm −Td

ENSA-Tétouan




39/193


40/193

Modélisation des systèmes pneumatiques

pe

Rp

q

pr, Cp

Résistance pneumatique :

Rp = dp

dq ≡ R = u

i

Capacité pneumatique :

Cp = dM

dp =⇒ dM = Cpdp

dM

dt

= Cpdp

dt ≡ C

du

dt

= i(t)

ENSA-Tétouan




41/193

Modélisation des systèmes thermiques

Résistance thermique en conduction :

dQ = kAdθ

dx =⇒ Q = kA

L [θ1 − θ2]

i = u

R ⇐⇒ Q = θ1 − θ2

LkA

=⇒ Rtcd = LkA

Résistance thermique en convection :

Q = hAdT = hA(θs − θ∞)

i = u

R ⇐⇒ Q = θs − θ∞

1hA

=⇒ Rtcv = 1hA

Résistance thermique en rayonnement :

Q = AaFabσ(θa4 − θb4)

i = u

R ⇐⇒ Q = θa4 − θb4

1AaFabσ

=⇒ Rtr = 1AaFab

Capacité thermique :

Mc = Qdt

θt − θe =⇒ Q = Mcdθ

dt

i = Cdu

dt ≡Q = Mc

dθ

dt

=

⇒Ct = Mc = ρVc

ENSA-Tétouan




42/193

Modélisation des systèmes à retard

P1

P2

C2 d

∼

⃗ vC1

Mesure de la concentration :

C2(t) = C1(t − τ d) =⇒ C2(s) = e−τ dsC1(s) τ d =

dv

X(s)

C1(s)

U(s)

U(s)

G(s)

G1(s)

e−τ ds

Y(s)

Y(s)

C2(s)

ENSA-Tétouan




43/193

Modélisation des systèmes à retard

Approximation classique :

e−τ s = 1

(1 + τ sp

)p p ∈ N

Approximation de PADÉ :

e−τ s = P(s)

D(s) =

b0 + b1(τ s) + b2(τ s)2 + b3(τ s)

3 + . . .

a0 + a1(τ s) + a2(τ s)2 + a3(τ s)3 + . . .

e−τ s =

1−τ 2

s

1+τ 2

sOrdre 1

12−6τ s+(τ s)212+6τ s+(τ s)2 Ordre 2

120−60τ s+12(τ s)2+(τ s)3120+60τ s+12(τ s)2+(τ s)3 Ordre 3

ENSA-Tétouan




44/193

Modélisation des systèmes complexes

Réglage de la position d’une antenne parabolique

vis de réglage

k0

Ampli

différentielα0e1

e2e Ampli de

puissance

ea

Ω1

Ω2

α

n

réducteur

TR

moteur

ENSA-Tétouan




45/193

Réglage de la position d’une antenne parabolique

– Moment d’inertie de l’antenne : Ja– Réducteur de rapport : n = Ω2

Ω1

– Vitesse de rotation de l’antenne : Ω2 = dαdt– Moteur électrique à courant continu :

Ω1(s) = n 1

skt

RabEa(s) − n τ s+1b 1s Td(s)

(τ es + 1)(τ ms + 1) + ktkw

Rab

– Transformateur différentiel : e2 = k2α– Amplificateur différentiel : e = k1(e1 − e2)– Amplificateur de puissance : ea = kAe– Potentiomètre : e1 = k0α0

α0k0

−+

Td

k1 kAkt

Rab

1D∗(s) n

1s

k2

τ es+1b

D∗(s) = (τ es + 1)(τ ms + 1) + ktkwRab

CRα

−+e1

e2

e ea

Cm

ENSA-Tétouan




46/193

Simplification des schémas-bloc

schéma-bloc équivalent

−

++

+

+

+

+

+

++

+

+

G

G

G

G

H

G

G2

G1

G1 G2 G1G2

G1 + G2

G1+GH

1/G

G

G

G

G

GG

1/G

ENSA-Tétouan




47/193

Simplification des schémas-blocExemples

+ + +

− −

+

+

−

G2(s) G3(s)

H1(s)

H2(s)

H3(s)

G1(s)R(s)

Y(s)

P(s)

+ + +

− −

−

+

+

G1(s) G2(s) G3(s)

H1(s)

1/G3(s)

1/G3(s)

H2(s)

H3(s)

R(s)

Y(s)

P(s)

+

+

+

− C(s) G(s)

H(s)

R(s) Y(s)

P(s)

ENSA-Tétouan




48/193

Simplification des schémas-blocExemples

+ +

+ +

A2

A1

A3

A4+

+ + +

r1

r2

y ⇐⇒G1(s)

G2(s)

r1

r2

y

+

+

+

+

A4

A1

A3

A2

G1(s)

G2(s)

r

y1

y2

⇐⇒r

y1

y2

ENSA-Tétouan




49/193

Simplification des schémas-blocRègle de MASON : procédure

F(s) = 1

∆

k

Tk(s) ∆k

– ∆ = 1−∑i Li +∑i, j LiL j −∑i, j,k LiL jLk + · · · = déterminant totaldu graphe.

– ∑i Li = somme des gains des différentes boucles– ∑

i, j LiL j = Somme des produits de gains de toutesles combinaisons possibles de deux boucles dis- jointes [qui ne se croisent pas].

– ∑

i, j,k LiL jLk = Somme des produits de gains detoutes les combinaisons possibles de trois branchesdisjointes.

– Tk(s) = Transmittance du k − ième chemindirect.

– ∆k = Déterminant du k − ième chemin direct. Il estobtenu à partir du déterminant total ∆ en enlevantà ce dernier les boucles qui touchent ce chemin.

– F(s) = Fonction de transfert du système.

ENSA-Tétouan




50/193

Règle de MASON : graphes équivalents

+

+

+

+

+

+

+

−

−H1

G1

G1

G2

G1

G2

G2

G1

G2

G1

H1

G3

X1

X1

X1

X1

X1

X2

X1

X1

X1

X1

X1

X2

X1

X1

X1

X1

X1

X2

X2

X2

X2

X2

X3

X2

X2

X2

X2

X3

X2

X2

X2

X2

X3

X3 X3G1 G2

G1

G2

G1

G2

G1

G1

G2

G3

G1G2

G1 + G2

G11−G1G2

G11+G1H1

G1G3

G2G3

Schéma-bloc Graphe correspondant Graphe simplifié

ENSA-Tétouan




51/193

Règle de MASON : exemple

+ +x1 x2 x3 x4

x5

−−

−U(s) G1 G2 G3 G4

H2

H1 H3

Y(s)

U(s)

−H1

−H2

−H3

Y(s)x1 x2 x3 x4 x51 1G1 G2 G3 G4

T1 = 1 × G1 × G2 × 1 × G3 × G4 = G1G2G3G4L1 = −G1G2H1L2 = −G3G4H3L3 = −G2G3H2

∆ = 1 − (L1 + L2 + L3) + (L1L2)∆1 = 1

F(s) = 1∆

(T1 ∆1)

F(s) = Y(s)U(s)

= G1G2G3G41 − (L1 + L2 + L3) + (L1L2)

ENSA-Tétouan




52/193

CHAPITRE 3

ANALYSEDE LA COMMANDE

EN BOUCLE FERMÉE

ENSA-Tétouan



53/193

Objectifs :

• Décrire les différentes composantesd’une structure de commande donnée

• Décrire les structures des correcteursclassiques et du correcteur par retour d’état

Sommaire :

• Structure de commande en boucle fermée

• Structure des correcteurs classiques• Commande par retour d’état

• Caractéristiques de la commandeen boucle fermée

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 53ANALYSE DE LA COMMANDE

EN BOUCLE FERMÉE


54/193

Forme standard d’une boucle de commande

– Système à commander– Actionneur– Amplificateur– Correcteur– Capteur

servovanne C(s) Ampli

Kr

r

y(t)

θ(t)

TR

x

vérin

vr

ei

o

vθ

θr

vis de réglage

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


55/193

Structures standards de commande

+

− correcteur +

amplificateuractionneur+ système

capteur

perturbationgrandeur

commandéeréférence

+

R(s)

−

cascade

C(s) G(s) Y(s) + +

R(s)

− − G(s)

C(s)

feedback

Y(s)

+ +

− −

R(s)

G(s)

C2(s)

C1(s)

cascade-feedback

Y(s)

+ x(t)

r(t)

−

G(s) D(s)

C(s)

y(t)

retour d’état

+

+

+

−R(s)

C2(s)

C1(s) G(s)

anticipation

Y(s)

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


56/193

Correcteur proportionnel

u(t) = kpe(t) =⇒ C(s) = U(s)

E(s) = kp

kperreur : e(t) u(t) : commandecorrecteur

e(t)

t

u(t)

t

e(t)

kpe(t)

Avantage : simple à implanter.

Inconvénient : aucune possibilité pour annuler l’er-reur du système en régime permanent.

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


57/193

Correcteur intégral

u(t) = kI

0

te(τ )dτ −→ C(s) = U(s)E(s)

= kI

s

kIs

erreur : e(t) u(t) : commandecorrecteur

t

t

e(t)

e(t)

u(t)

kI

s e(t)

Avantage : améliore le régime permanent

Inconvénient : détériore le régime transitoire

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


58/193

Correcteur proportionnel-intégral

correcteur

kp + kI

serreur : e(t) u(t) : commande

u(t) = kpe(t) + kI

0

te(τ )dτ =⇒

C(s) = U(s)

E(s) = kp +

kI

s = kp

s + z

s , z =

kI

kp

e(t)

e(t)

u(t)

(kp + kI

s )e(t)

t

t

Particularité :combine les avantages des correcteurs P et I

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


59/193

Correcteur dérivé

u(t) = kDd

dte(t) =⇒ C(s) = U(s)

E(s) = kDs

Non causalité =⇒ C(s) = U(s)E(s)

= kDs

τ s + 1

kDserreur : e(t) u(t) : commandecorrecteur

t

t

u(t)

kDd

dte(t)

e(t)

e(t)

Particularités :– ce correcteur produit une action uniquement

lorsque le signal d’erreur varie.– insensible aux variations lentes de l’erreur.

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


60/193

Correcteur proportionnel-dérivé

u(t) = kpe(t) + kDd

dte(t)

C(s) = U(s)

E(s) = kp + kDs = kD(s + z), z =

kp

kD

correcteur

kp + kDserreur : e(t) u(t) : commande

t

t

e(t)

e(t)

u(t

)kpe(t) + kD

ddt

e(t)

Particularité :

sensible aux différents taux de variationde l’erreur grâce à kp.

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


61/193


62/193

Correcteur avance de phase

Kc

aT

d

dte(t) + e(t)

= T

d

dtu(t) + u(t)

C(s) = KcaTs + 1

Ts + 1 = kp

s + z

s + p

a > 1, kp = aKc, z = 1

aT, p =

1

T

Correcteur retard de phase

Kc

aT

d

dte(t) + e(t)

= T

d

dtu(t) + u(t)

C(s) = KcaTs + 1

Ts + 1 = kp

s + z

s + p

a 1, a2


63/193

Commande par retour d’état

Système initial :•x (t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Nouvelle loi de commande :

u(t) =

−K x(t) + N r(t)

Système corrigé :

•x (t) = [ A − BK ] x(t) + BN r(t)y(t) = [ C − DK ] x(t) + DN r(t)

+

+

+ +

+

−r(t) u(t) y(t) x

•x

B

∫ C

A

D

N

K

ENSA-Tétouan


EN BOUCLE FERMÉE


64/193


65/193

CHAPITRE 4

ANALYSEDANS LE DOMAINE

TEMPOREL

ENSA-Tétouan



66/193

Objectifs :

• Analyser le comportement des systèmesasservis dans le domaine du temps en lesexcitant par des signaux-test :

1. impulsion

2. échelon3. rampe

• Déduire les performances des systèmes en régimepermanent et en régime transitoire

Sommaire :

• Caractéristiques de la réponse temporelledes systèmes

• Réponse d’un système du premier ordre• Réponse d’un système du deuxième ordre• Impact des pôles et zéros dominants• Étude de la précision des systèmes

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 66ANALYSE

DANS LE DOMAINE TEMPOREL


67/193

Caractéristiques de la réponse des systèmes

t

τ d

tm

tp

tr

d

y = 1.05

y = 0.955% ou 2%

erreur enrégimepermanent

0.1

0.91

0

y(t)

performances

régime transitoire régime permanent

d : dépassementtr : temps de réponse précision à 5 %tm : temps de montée précision à 2 %

tp : temps de picτ d : délai

ENSA-Tétouan




68/193

Réponse d’un système du premier ordre

+

− R(s) kp Kτ s+1 Y(s)

Y(s) = kpKτ s + 1 + kpK

R(s) = K′

τ ′s + 1 R(s)

Gain du système :

K′ = kpK

1 + kpK

Constante de temps du système :

τ ′ = τ

1 + kpK

Signaux-tests :

type d’entrée fonction transformée

impulsion δ(t) 1échelon u

−1(t) 1/s

rampe t 1/s2

ENSA-Tétouan




69/193

Réponse impulsionnelle d’un premier ordre

δ(t) =

1 si t = 00 ailleurs

=⇒ R(s) = 1

Y(s) = K′

τ ′s + 1 R(s) =

K′

τ ′s + 1

Y(s) = K′/τ ′

s + 1

τ ′

y(t) = K′

τ ′ e− 1τ ′ t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

temps en secondes

r e p o n s e

y ( t )

Reponse Impulsionnelle - Premier Ordre

Réponse impulsionnelle d’un système du premierordre avec K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s

ENSA-Tétouan




70/193

Réponse indicielle d’un premier ordre

r(t) =

1 si t ≥ 00 ailleurs

=⇒ R(s) = 1s

Y(s) = K′

τ ′s + 1 R(s) =

K′/τ ′

s + 1τ ′× 1

s

Y(s) = K1s

+ K2s + 1τ ′

y(t) = K1 + K2e− t

τ ′ = K1

1 − e− tτ ′

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

temps en secondes

r e p o n s e

y ( t )

Reponse Indicielle - Premier Ordre

Réponse indicielle d’un système du 1er ordre, K ′ = 1et τ ′ = 0.2s

ENSA-Tétouan




71/193

Réponse d’un premier ordre à une rampe

r(t) =

t si t ≥ 00 ailleurs

=⇒ R(s) = 1s2

Y(s) = K′

τ ′s + 1 R(s) =

K′

τ ′s + 1 × 1

s2

Y(s) = K1s2 + K2

s + K3

s + 1τ ′

y(t) = K′(t − τ ′) + K′τ ′e− tτ ′

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

temps en secondes

r e p o n s e

y ( t )

Reponse A Une Rampe - Premier Ordre

Réponse d’un système du premier ordre à unerampe unitaire avec K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s

ENSA-Tétouan




72/193

Réponse d’un système du deuxième ordre

+

− R(s)

ω2ns(s + 2)ζωn

Y(s)

Fonction de transfert en boucle fermée :F(s) =

Y(s)

R(s) =

ω2ns2 + 2ζω ns + ω2n

– ζ : taux d’amortissement– ωn : pulsation naturelle

Équation caractéristique :

s2 + 2ζωns + ω2n = 0

amortissement racinessous-amorti : 0 < ζ 1 p1,2 = −ζωn ± jωn

√ ζ 2 − 1

non amorti : ζ = 0 p1,2 = ± jωn

ENSA-Tétouan




73/193

Réponse impulsionnelle d’un deuxième ordre

Système sous-amorti :

R(s) = 1

Y(s) = ω2n

s2 + 2ζω ns + ω2n

y(t) =

ωn√

1 − ζ 2e−ζωntsin

ωnt

1 − ζ 2

0 5 10 15-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

temps en secondes

r e p o n s e y

( t )

Reponse Impulsionnelle - Deuxieme Ordre

Réponse impulsionnelle d’un système du 2e

ordreavec ωn = 1rd/s et ζ = 0.5

ENSA-Tétouan




74/193

Réponse indicielle d’un deuxième ordre


R(s) = 1

s

Y(s) = ω2n

s(s2 + 2ζω ns + ω2n)

y(t) = 1 − e−ζωnt

√ 1 − ζ 2 sin (ωdt − ϕ)pulsation d’oscillation : ωd = ωn

√ 1 − ζ 2

déphasage : ϕtg−1√

1−ζ 2

−ζ

0 5 10 150

0.5

1

1.5

temps en secondes

r e p o n s e

y ( t )

Reponse Indicielle - Deuxieme Ordre

Réponse indicielle d’un système du 2e ordre avecωn = 1 rd/s et ζ = 0.5

ENSA-Tétouan




75/193

Réponse indicielle d’un deuxième ordreversus emplacements des pôles

×

×

Im

Re

×

×

Im

Re

y(t)

t

y(t)

t

×doubleIm

Re

×doubleIm

Re

y(t)

t

y(t)

t

ENSA-Tétouan




76/193

Réponse d’un deuxième ordre à une rampe


R(s) = 1

s2

Y(s) = ω2n

s2(s2 + 2ζωns + ω2n)

y(t) = t − 2ζ ωn

+ 1

ωn√

1 − ζ 2e−ζωntsin

ωnt

1 − ζ 2 − ϕ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

temps en secondes

r e p o n s e y

( t )

Reponse A Une Rampe - Deuxieme Ordre

Réponse d’un système du 2e

ordre à une rampeavec ωn = 1rd/s et ζ = 0.5

ENSA-Tétouan




77/193

Performances d’un second ordre

Im

Re

×

× ωd

−ωd

ωn

σ = −ζωn

φ

racines complexes :

p1,2 = −ζωn ± jωn√ 1 − ζ 2p1,2 = σ ± jωd

pulsation des oscillations : ωd = ω n√

1 − ζ 2facteur d’amortissement : σ = −ζωnconstante de temps : τ = 1

ζωntemps de réponse : tr = 3τ =

3

ζωn(à 5%)

dépassement : d = 100e

−ζπ√ 1−ζ

2

temps de pic : tp = π

ωn√

1−ζ 2

maximum de la réponse : y(tp) = 1 + e

−ζπ√ 1−ζ

2

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Amortissement zeta

d e p a s s e m e n t d

Depassement (d) vs Amortissement (zeta)

Dépassement versus ζ

ENSA-Tétouan




78/193

Impact de l’addition d’un pôle

F(s) = ω2n

(s2 + 2ζωns + ω2n)(1 + τ s) = 1

(s2 + s + 1)(1 + τ s)

p1,2 = −ζω n ± jωn

1 − ζ 2 = −12 ± j

√ 3

2

(1 + τ s) =

(1 + 10s)

(1 + 0.3s)

(1 + 2s)

=⇒ p3 = −1τ

=

−0.1 cas 1−3.33 cas 2

−0.5 cas 3

Re

Im

Re

Im

Re

Im

×

×

×

×

×

×

×

×

×

−p2

−p1

−p3−p2

−p1

−p3−p2

−p1

−p3

1 2 3

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

temps en secondes

r e p o n s e

y ( t )

AJOUT - POLE

cas 1

cas 2

cas 3

Impact d’un pôle ajouté sur la réponse d’un système de second ordre,(1) p3 = 3, (2) p3 = .5, (3) p3 = .1

ENSA-Tétouan




79/193

Impact de l’addition d’un zéro

F(s) = ω2n(τ s + 1)

s2 + 2ζω ns + ω2n= τ s + 1

s2 + s + 1

p1,2 = ζω n ± jωn

1 − ζ 2 = −12 ± j

√ 3

2

(τ s + 1) =

(1 + 5s)

(1 + 0.3s)

(1

+2s

)

=⇒ z1 = 1τ

=

0.2 cas 13.33 cas 20

.5

cas 3

Re

Im

Re

Im

Re

Im

−p2

−p1

−z1−p2

−p1

−z1×

×

×

×

×

×

−p2

−p1

−z1

1 2 3

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

temps en secondes

r e p o n s e

y ( t )

AJOUT - ZERO

cas 3

cas 2

cas 1

Impact de l’addition d’un zéro, (1) z = 3, (2) z = 0.5, (3) z = 0.2

ENSA-Tétouan




80/193


81/193

Expression générale de l’erreur statique

+

E(s)

+

+

R(s)

P(s)

−

C(s)

G1(s)

G(s) Y(s)

H(s)

Y(s) = C(s)G(s)E(s) + G1(s)G(s)P(s)

E(s) = R(s) − Y(s)H(s)T(s) = C(s)G(s)H(s)

Précision globale :

E(s) = 1

1 + T(s)R(s) − T(s)

1 + T(s)× G1(s)

C(s) P(s)

E(s) = ER(s) + EP(s)

e(∞)

= lims→0sE

(s

)e(∞) = lim

s→0sER(s) + lim

s→0sEP(s)

ENSA-Tétouan




82/193

Précision relative à l’entrée principale, P(s) = 0

T(s) = C(s)G(s)H(s) = K

sl1 + a1s + · · · + amsm1 + b1s + · · · + bnsn

ER(s) = 1

1 + T(s)R(s) =

1

1 + Ksl

1+a1s+···+amsm1+b1s+···+bnsn

1

sp

eR(∞) = lims→0 sER(s) ≃ lims→01

sp−1[1 + Ks−l]

type l du échelon rampe accélerationsystème eR(∞) = 11+Cp eR(∞) =

1Cv

eR(∞) = 1Ca

0 11+K ∞ ∞

1 0 1K

∞

2 0 0 1

K

ENSA-Tétouan




83/193

Précision relative à la perturbation, R(s) = 0

Ep(s)

+

+

P(s)

− C(s)

G1(s)

G(s)

Y(s)

H(s)

T(s) = C(s)G(s)H(s)

EP(s) = T(s)

1 + T(s)

G1(s)

C(s) P(s)

EP(s) = G(s)G1(s)H(s)

1 + T(s) P(s)

eP(∞) = lims→0 sEP(s)

ENSA-Tétouan




84/193

CHAPITRE 5

STABILITÉET

LIEU DES RACINES

ENSA-Tétouan



85/193

Objectifs :

• Étudier la stabilité de n’importe quel système li-néaire invariant

• Tracer le lieu des racines de n’importe quelle struc-

ture de commande quand un ou plusieurs para-mètres varient

• Utiliser le lieu des racines pour fixer les paramètresd’un correcteur donné selon des spécifications im-posées

Sommaire :• Résolution de l’équation caractéristique• Critère algébrique de Routh-Hurwitz• Lieu des racines

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 85STABILITÉ ET

LIEU DES RACINES


86/193


87/193

Méthodes d’études de la stabilité

1. Résolution de l’équation caractéristique :

Lorsque l’ordre de l’équation caractéristique nedépasse pas deux.– Si toutes les racines sont à parties réelles né-

gatives, le système est stable.

– Si au moins une des racines est à partie réellepositive, le système est instable.

2. Utilisation du critère de Routh :– L’ordre de l’équation caractéristique est supé-

rieur à deux.– L’équation caractéristique contient des para-

mètres variables.

3. Utilisation du lieu des racines :– Voir l’évolution des pôles du système en boucle

fermée lorsqu’un ou plusieurs paramètres va-rient.

– Déduire les paramètres du correcteur qui as-sure les spécifications imposées.

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


88/193

Critère de Routh-Hurwitz

Procédure :• Remplir le tableau de Routh-Hurwitz à partir de

l’équation caractéristique• Voir le nombre de changement de signe de la 1recolonne d’une ligne à une autre du tableau

• Conclure sur la stabilité en se basant surla 1re colonne

Analyse :• L’absence de changement de signe dans la

1re colonne indique que le système est stable• L’existence d’au moins un changement de signe

dans la 1re colonne indique que le système est in-stable

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


89/193

Tableau de Routh-Hurwitz

Équation caractéristique :1 + T(s) = ans

n + an−1sn−1 + · · · + a1s1 + a0 = 0

sn an an−2 an−4 · · ·sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·

sn−2 b1 b2 b3 · · ·

sn−3 c1 c2 c3 · · ·

sn−4 d1 d2 d3 · · ·. . . . · · ·s0 . . . · · ·

b1 = an−1an−2−anan−3

an−1 ; b2 = an−1an−4−anan−5

an−1

c1 = b1an

−3

−an

−1b2

b1 ; c2 = b1an

−5

−b3an

−1

b1

. . . ; . . .

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


90/193


91/193

Tous les termes d’une ligne sont nuls

1. Former l’équation auxiliaire à partir de la ligneprécédente

2. Prendre sa dérivée par rapport à s

3. Les coefficients de la dérivée deviendront les nou-veaux coefficients de la ligne initialement nulle

4. Étudier la stabilité sur le nouveau tableau ob-

tenu

Exemple :

s3 + 3s2 + 4s + 12 = 0

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


92/193

Systèmes avec retard pur

• Approximer e−τ s par l’une des équationssuivantes :

1 : e−τ s = 1 − τ s + τ 2s22!

− τ 3s33!

+ . . . ≃ 1 − τ s + τ 2s22!

2 : e−τ s = 11−τ s+τ 2s2

2!

3 : e−τ s = 1−τ s2

1+ τ s2Padé 1er ordre

4 : e−τ s = 1(1+τ s

p )p

p ∈ N

• Écrire la nouvelle équation caractéristique

• Reformer le tableau de Routh• Étudier la stabilitéExemple :

G(s) = e−τ s

s2(s2 + 2s + 2)

C(s) = Kp

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


93/193

Dilemme stabilité-précision

+

R(s)

− kp 1s(s+1)(s+5)

Y(s)

Spécifications :• Entrée : rampe unitaire• Erreur en régime permanent ≤ 1%• Système stableCondition sur kp pour l’erreur :

es = limt→∞e(t) = lims→0sE(s) = lims→01

sC(s)G(s) =

5

kp

5

kp≤ 0.01 =⇒ kp ≥ 500

Condition sur kp pour la stabilité :

0 < kp


94/193

Degré de stabilité

• En valeur absolue, c’est la plus petitepartie réelle parmi toutes celles des racines del’équation caractéristique

• Il représente une mesure de la rapidité d’amortis-sement du régime transitoire

Im Im Im

Re Re Re

−σ −σθ θ

σ donné ζ donné σ et ζ donnés

Exemple :

s3 + 3s2 + 3s + 5 = 0

• Degré de stabilité égal à 2 ?(s − 2)3 + 3(s − 2)2 + 3(s − 2) + 5 = 0

s3 − s2 + 5s + 3 = 0 = 0• Le test par Routh indique que NON

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


95/193

Lieu des racines

Objectif :Étudier le Comportement des racines del’équation caractéristique, ou pôles du systèmeen boucle fermée, quand un ou plusieursparamètres varient

Exemple :

+

R(s)

− K 1τ s+1 Y(s)

F(s) = K

τ s + 1 + K =⇒ s = −1 + K

τ

σ

jω

∞ ← K×

K = 0

−1

K 0 1 2 · · · ∞s −1 -2 -3 · · · −∞

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


96/193

Définition :

Un point M de coordonnées (σ, ω) appartientau lieu des racines si son affixe s = σ + jωvérifie l’équation caractéristique :

1 + T(s) = 0 ⇐⇒ T(s) = −1

– Condition d’amplitude :

|T(s)| = |−1| = 1– Condition d’angle :

arg(T(s)) = arg(−1) = (2q + 1)π, q = 0, 1, 2,...


1 + T(s) = 0

1 + K∏m

i=1 (s + zi)∏ni=1 (s + pi)

= 0

n : nombre de pôles du systèmem : nombre de zéros du systèmeK : gain du système

−zi : zéros de T(s)

−pi : pôles de T(s)

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


97/193

Règles du tracé du lieu des racines

Règle 1 : Nombre de branches du lieu

Règle 2 : Symétrie du lieu des racines

Règle 3 : Départ et arrivée des branches

Règle 4 : Asymptotes des branches infinies

Règle 5 : Branches de l’axe réel appartenant aulieu

Règle 6 : Tangente du lieu en un point de départou d’arrivée (fini)

Règle 7 : Intersection du lieu avec l’axe réel

Règle 8 : Intersection du lieu avec l’axeimaginaire

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


98/193

Exemples

1.

1 + K

s(s + 5) = 0

2.

1 + K

s(.1s + 1)(.2s + 1) = 0

3.1 + K

s + 10

s(s + 5) = 0

4.1 +

K

s(s2 + 6s + 13) = 0

5.

1 + 2K

s(s + 1)(s + 2) = 0

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


99/193

Lieu des racines avec plusieurs paramètres

+

R(s)

− kp + kIs 31+0.2s

Y(s)


1 + 3(kps + kI)

s(0.2s + 1) = 0

Étape 1 :

kI = 0 =⇒ 1 + kp 30.2s + 1

= 0

Étape 2 :

kI ̸ = 0kp = fixé =⇒ 1 + kI

3

s(0.2s + 1 + 3kp)

= 0

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


100/193

Lieu des racines avec retard pur


1 + K 3e−τ s

0.2s + 1 = 0, τ = 1

Approximation utilisée :

e−τ s = 1

(1 + τ sp

)p p ∈ N

– 1er cas : p=1

e−s = 1

1 + s =⇒ 1 + K 3

(s + 1)(0.2s + 1) = 0

– 2e cas : p=5

e−s = 3125

(s + 5)5

=

⇒1 + K

9375

(s + 5)5

(0.2s + 1)

= 0

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


101/193

Exemple d’étude de sensibilité

But :

Étudier la variation des pôles d’un systèmedonné en boucle fermée suite àune variation de gain K


1 + 2Ks(s + 5)

= 0

s2 + 5s + 2K = 0

Dérivée par rapport à K :

2s ds

dK

+ 5 ds

dK

+ 2 = 0

ds

dK = − 2

2s + 5

La sensibilité est :

SsK = ds

s × K

dK = − 2K

s(2s + 5)

si K = 3, les pôles sont =⇒ s1 = −2 et s2 = −3

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


102/193

Exemple d’étude de sensibilité

• s1 = −2 =⇒ Ss1=−2K = − 2×3−2(2(−2)+5) = 3• s2 = −3 =⇒ Ss2=−3K = − 2×3−3(2(−3)+5) = −2Si le gain K varie de 10% ⇐⇒ ∆K

K = 0.1

la sensibilité est :

∆s|s1=−2 = s1Ss1K Ss1K∆K

K = (−2)(3)(0.1) = −0.6

s′1 = s1 + ∆s|s1=−2 = (−2) + (−0.6) = −2.6

∆s|s2=−3 = s2Ss2K∆K

K = (−3)(−2)(0.1) = +0.6

s′2 = s2 + ∆s|s2=−3 = (−3) + (0.6) = −2.4

jω

σ

× ×−3 −2.4

× ×−2.6 −2

∆s1

∆s2

ENSA-Tétouan


LIEU DES RACINES


103/193

CHAPITRE 6

ANALYSE

FRÉQUENTIELLE

ENSA-Tétouan



104/193

Objectifs :

• Tracer les diagrammes de Bode, de Black et deNyquist pour n’importe quel système

• Étudier la stabilité dans le domainefréquentiel

• Déterminer les performances des systèmes (facteur

de surtension, bande passante, marge de phase,marge de gain ...)

• Déterminer les caractéristiques de la fonction detransfert en boucle fermée en se servant desabaques

Sommaire :• Diagrammes de Bode, de Black

et de Nyquist• Stabilité de Nyquist• Abaques de Hall et Black-Nichols• Performances des systèmes

ENSA-Tétouan

M. BENBRAHIM 104ANALYSE FRÉQUENTIELLE


105/193

Forme de la réponse

R(s) G(s) Y(s)

r(t) = sin(ωt) =⇒ Transformée =⇒ R(s) = ωs2 + ω2

Y(s) = R(s)G(s)

y(s) = K1s − jω +

K2

s + jω+

→ 0 si t →∞ k1

s + p1+

k2

s + p2+ . . .

y(t) = K1e jωt + K2e− jωt

K1 = ω

s + jωG(s)|s→ jω = − j 1

2M(ω)e jϕ(ω)

K2 = ω

s − jω G(s)|s→− jω = j1

2M(ω)e− jϕ(ω)

y(t) = M(ω)sin(ωt + ϕ(ω))

M(ω) = |

G( jω)

|ϕ(ω) = argG( jω)

ENSA-Tétouan



106/193

Exemple

R(s)

kτ s+1

Y(s)

G(s) = Y(s)R(s)

= k

τ s + 1

G( jω) = Y( jω)R( jω)

= k

jωτ + 1

r(t) = sin(ωt) =⇒ Y( jω) = ωs2 + ω2

× k jωτ + 1

|G( jω)| = k√ ω2τ 2 + 1

ϕ(ω) = −arctan(ωτ )

y(t) = k√ ω2τ 2 + 1

sin(ωt − arctan(ωτ ))

ENSA-Tétouan



107/193

Diagramme de Bode

G(s) = Ksl1 + b1s + . . . + bmsm

1 + a1s + . . . + ansn

Échelle semi-logarithmique :

M(ω) = 20log10|G( jω)| , (db)ϕ(ω) = arg(G( jω)) , (o)

Basses fréquences :

G(s) = K

sl

M(ω) = 20log10(K) − (20l)log10(ω)ϕ(ω)

= −l

π

2

Hautes fréquences :

G(s) = Kbms

m

ansn+l

M(ω) = 20log10Kbman − 20(n + l − m)log10(ω)

ϕ(ω) = −(n + l − m)π2

ENSA-Tétouan



108/193

Diagramme de Bode vers les basseset les hautes fréquences

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

ωc ωc ωc

|M|db

|M|db |M|db |M|db

|M|db |M|db |M|db

ϕ,o

ϕ,o ϕ,o ϕ,o ϕ,o

ϕ,o ϕ,o

−90o −180o −270o

−90o −180o −270o

−20 −40 −60

−20 −40 −60

l = 0

n + l − m = 1

l = 1 l = 2

n + l − m = 2

l = 3

n + l − m = 3

Basses fréquences

Hautes fréquences

ENSA-Tétouan



109/193

Diagramme de Boded’un élément proportionnel

G( jω) = K, K > 0

|G( jω)| = Karg(G( jω))

= 0

o

M(ω) = 20log10|G( jω)| = 20log10(K) , (db)ϕ(ω) = −arctan

0

K

= 0o

M, db

20log10K

0

0

ω

ω

ϕ,o

ENSA-Tétouan



110/193

Diagramme de Boded’un élément intégral

G( jω) = 1

jωτ

|G( jω)| = 1 jωτ

= 1ωτ ϕ(ω) = −arg( jωτ ) = −90o

M(ω) = 20log10 1

ωτ

= −20log10(ωτ ) , (db)

ϕ(ω) = −90o

M, db

ωc

ϕ,o

−90o

ω

ω

−20 db/dec

ENSA-Tétouan



111/193

Diagramme de Boded’un élément différentiel

G( jω) = jωτ

|G( jω)| = ωτ ϕ(ω) = + π

2

M(ω) = 20log10(ωτ ) , (db)

ϕ(ω) = +90o

M, db

ωc

ϕ,o

+90o

ω

ω

+20 db/dec

ENSA-Tétouan



112/193

Diagramme de Boded’un élément du premier ordre

G( jω) = 1

1 + jωτ

M(ω) = −20log10√

1 + ω2τ 2


ω ≪

1

τ ω

≫ 1

τ M(ω) = 0 db M(ω) = −20log(ωτ ), db

ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = −90o

M, db

ωc

ωc

ϕ,o

−90o

ω

ω

−20 db/dec

ENSA-Tétouan



113/193

Diagramme de Bodede l’élément ≪ 1 + jωτ ≫

G( jω) = 1 + jωτ

M(ω) = 20log10√

1 + ω2τ 2

ϕ(ω) = arctan(ωτ )

ω ≪

1

τ ω

≫ 1

τ M(ω) = 0 db M(ω) = 20log(ωτ ) db

ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = 90o

M, db

ωc

ωc

ϕ,o

+90o

ω

ω

+20 db/dec

ENSA-Tétouan



114/193

Diagramme de Bode asymptotiqued’un élément du second ordre

G( jω) = ω2n

1 + 2ζωn( jω) + ( jω)2 =

11 − ω2ω2n

+ j2ζ ωωn

M(ω) = −20log10 1 −

ω2

ω2n2

+ 4ζ 2ω2

ω2n

ϕ(ω) = −arctan

2ζ ωωn

1 − ω2ω2n

ω ≪ ωn ω ≫ ωnM(ω) = 0 db M(ω) = −40log10

ωωn

db

ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = −180o

M, db

ωc ωc

−180oω ω

−40 db/dec

ϕ,o

ENSA-Tétouan



115/193

Diagramme de Bode réeld’un élément du second ordre

• ωn fixeζ diminue =⇒ Mp augmente =⇒ ωb augmenteζ augmente =⇒ Mp diminue =⇒ ωb diminue

• ζ fixe

ωn diminue =⇒ Mp inchangé =⇒ ωb diminueωn augmente =⇒ Mp inchangé =⇒ ωb augmente

10-1

100

101

10-2

10-1

100

101

a m p l i t u d e

Omega = fixe et Zeta = variable

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

310

-10

10-5

100

105

frequences

a m p l i t u d e

Omega = variable et Zeta = fixe

Diagramme de Bode d’un élément du 2e ordre vs ζ et ωn

ENSA-Tétouan



116/193

Diagramme de Bodede l’élément ≪ 1 + j2ζ ωωn + ( j ωωn )2 ≫

G( jω) = 1 + j2ζ ω

ωn+ ( j

ω

ωn)2 = (1 − ω

2

ω2n)2 + j2ζ

ω

ωn

M(ω) = 20log10

1 − ω

2

ω2n

2+ 4ζ 2

ω2

ω2n

ϕ(ω) = arctan 2ζ ωωn

1 − ω2ω2n

ω ≪ ωn ω ≫ ωnM(ω) = 0 db M(ω) = +40log10

ωωn

db

ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = +180o

M, db

ωc ωc

ϕ,o

+180o

ω ω

+40 db/dec

ENSA-Tétouan



117/193

Diagramme de Boded’un système d’ordre quelconque

G(s) = K τ 1s + 1

(τ 2s + 1)(τ 3s + 1),

1

τ 2<

1

τ 1<

1

τ 3, K > 1

G1(s) = K G2(s) = τ 1s + 1

G3(s) = 1

τ 2s+1 G4(s) = 1

τ 3s+1

M, db

|G|1τ 2

1τ 1

1τ 3

ϕ1

ϕ3

ϕ2

ϕ4

ϕ,o

ϕ

ω

ω

+90o

−90o

0o

|G1||G2|

|G3

|

|G4|

ENSA-Tétouan



118/193

Diagramme de Black

≪ Diagramme de M(ω) en (db) ≫≪ en fonction de ϕ(ω) en (o) ≫

G(s) = K

sl

1 + b1s + . . . + bms

m

1 + a1s + . . . + ansn

|M

|db

|M

|db

|M

|db

|M

|db

|M|db |M|db |M|db

ϕ,o ϕ,o ϕ,o ϕ,o

ϕ,o ϕ,o ϕ,o

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3

n + l − m = 1 n + l − m = 2 n + l − m = 3

−90o

−90o

−180o

−180o

−270o

−270o

ω = 0

ω = 0 ω = 0 ω = 0

ω = ∞ ω = ∞ ω = ∞

Basses fréquences

Hautes fréquences

ENSA-Tétouan



119/193

Diagramme de Black d’un élément intégral

G( jω) = K

jωτ

M(ω) = 20log10|G( jω)| = 20log10(K) − 20log10(ωτ )

ϕ(ω) = arg(G( jω)) = arctan(K ) − arctanτ ω

0

= −90o

ω 0 ∞ K/τ M(ω) ∞ −∞ 0ϕ(ω) −90o −90o −90o

M, db

ϕ,o

−90o

ω = 0

ω = ∞

0

ENSA-Tétouan



120/193

Diagramme de Black d’un élément différentiel

G( jω) = Kjωτ

M(ω) = 20log10|G( jω)| = 20log10Kωτ

ϕ(ω) = arg(G( jω)) = arctan KωT0

= +90o

ω 0 ∞ 1/(Kτ )M(ω) −∞ ∞ 0ϕ(ω) 90o 90o 90o

M, db

ϕ,o

+90o

ω = ∞

ω = 0

0

ENSA-Tétouan



121/193

Diagramme de Blackd’un élément du premier ordre

G( jω) = K

1 + jωτ

M(ω) = 20log10(K) − 20log10√

1 + ω2τ 2


ω 0 ∞√

K2−1τ

M(ω) 20log10(K) −∞ 0ϕ(ω) 0 −90o −arctan(√ K2 − 1)

M, db

K

ωc

−90oϕ

ω = 0

ω = ∞

ENSA-Tétouan



122/193

Diagramme de Blackde l’élément ≪ K(1 + jωτ ) ≫

G( jω) = K(1 + jωτ )

M(ω) = 20log10(K) + 20log10√

1 + ω2τ 2

ϕ(ω) = arctan(ωτ )

ω 0 ∞√

1−K2Kτ

M(ω) 20log10(K) ∞ 0

ϕ(ω) 0 90o arctan(√

1−K2K

)

M, db

ϕ,o

+90o

ω = 0

ω = ∞

K

ENSA-Tétouan



123/193

Diagramme de Black

d’un élément du second ordre

G( jω) = K

1 + 2ζ j ωωn + [ j ωωn ]

2 =

K1 − ω2ω

n2

+ j2ζ ωωn

M(ω) = 20log10(K) − 20log10

1 − ω

2

ωn2

2+ 4ζ 2

ω2

ωn2

ϕ(ω) = −arctan

2ζ ωωn1 − ω2ω

n2

ω 0 ∞M(ω) 20log10(K) −∞ϕ(ω) 0 −180o

M, db

ϕ−180oω = 0

ω = ∞

K

ωc

ENSA-Tétouan



124/193

Diagramme de Black

de l’élément ≪ K(1+ 2ζ

ωns + s2

ωn2 ) ≫

G( jω) = K

1 − ω

2

ωn2

+ j2ζ

ω

ωn

M(ω) = 20log10(K) + 20log10

1 − ω

2

ωn2

2+ 4ζ 2

ω2

ωn2

ϕ(ω) = arctan

2ζ ωωn

1 − ω2ωn2

ω 0 ∞M(ω) 20log10(K) ∞

ϕ(ω) 0 180o

M, db

ϕ

+180o

ω = 0

ω = ∞

K

ENSA-Tétouan



125/193


126/193

Diagramme de Nyquist

Fonction de transfert en boucle ouverte :

G(s) = K

sl

1 + b1s + . . . + bms

m

1 + a1s + . . . + ansn

ω = 0

ω = ∞

ω = 0

ω = ∞

ω = ∞ ω = ∞ ω = ∞

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3

n + l−

m = 1 n + l−

m = 2 n + l−

m = 3

basses fréquences

hautes fréquences

Im Im Im Im

Im Im Im

ReRe Re

Re Re Re

Re

ENSA-Tétouan



127/193

Diagramme de Nyquistd’un élément intégral

Fonction de transfert :

G(s) = 1

τ s =⇒ G( jω) = 1

jωτ = − j 1

ωτ

ω 0 ∞ 1/τ

Re(ω) = 0 0 0 0

Im(ω) = − 1ωτ −∞ 0 −1

1τ s

ω = ∞

ω = 0

Im

Re

ENSA-Tétouan



128/193

Diagramme de Nyquistd’un élément différentiel


G(s) = τ s =⇒ G( jω) = jωτ

ω 0 ∞ 1/τ

Re(ω) = 0 0 0 0

Im(ω) = ωτ 0 ∞ 1

τ s

ω = 0

ω = ∞

Im

Re

ENSA-Tétouan



129/193

Diagramme de Nyquistd’un élément du premier ordre


G(s) = 1

1 + τ s ⇒ G( jω) = 1

1 + jωτ =

1

1 + ω2τ 2 − j ωτ

1 + ω2τ 2

ω 0 ∞ 1/τ

Re(ω) = 1

1+ω2τ 2 1 0 1

2

Im(ω) = �

recueil logique sequentielle

Documents