recherche opérationnelle : cours 3 - université de...
TRANSCRIPT
Recherche Opérationnelle : Cours 3PCM : Complément du cours
Prof Kaninda Musumbu
1Université de BordeauxM1 - MIAGE
K Musumbu Warshall
PCM entre deux sommets quelconques
objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.
RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que
∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k
Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.
K Musumbu Warshall
PCM entre deux sommets quelconques
objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.
RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que
∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k
Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.
K Musumbu Warshall
PCM entre deux sommets quelconques
objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.
RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que
∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k
Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.
K Musumbu Warshall
PCM entre deux sommets quelconques
objectifDéterminer pour tout couple de sommets, le chemin de coûtminimum, à condition qu’il n’existe pas de circuit absorbant.
RemarquesL’idée est de prolonger un chemin minimum avec unsommet intermediaire k tel que
∀m ∈ chemin(i , j) : 1 ≤ m < k
Le chemin n’est pas nécessairement ordonné !le chemin prolongé est issu de la concaténation de deuxchemins, entre i et k et k et j respectivement.
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 1A la lumière de l’exemple ci-dessus, reprendre l’exemple ducours et déterminer tous les chemins de coûts minimum entretout couple de sommets.
Matrice initiale k = 1 :
M =
1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 0 −5 0 05 ∞ ∞ ∞ 6 0
Initialisation k = 0 :
D0 = M
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 1A la lumière de l’exemple ci-dessus, reprendre l’exemple ducours et déterminer tous les chemins de coûts minimum entretout couple de sommets.
Matrice initiale k = 1 :
M =
1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 0 −5 0 05 ∞ ∞ ∞ 6 0
Initialisation k = 0 :
D0 = M
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 1A la lumière de l’exemple ci-dessus, reprendre l’exemple ducours et déterminer tous les chemins de coûts minimum entretout couple de sommets.
Matrice initiale k = 1 :
M =
1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 0 −5 0 05 ∞ ∞ ∞ 6 0
Initialisation k = 0 :
D0 = M
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Matrice de Père k = 0Matrice initiale :
Pere0 =
1 2 3 4 51 NIL NIL NIL NIL NIL2 NIL NIL NIL NIL NIL3 NIL NIL NIL NIL NIL4 NIL NIL NIL NIL NIL5 NIL NIL NIL NIL NIL
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Itéeartion k = 1 :
D1 =
1 2 3 4 51 0 3 8 ∞ −42 ∞ 0 ∞ 1 73 ∞ 4 0 ∞ ∞4 2 5 −5 0 −25 ∞ ∞ ∞ 6 0
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Matrice de Père k = 1
Pere0 =
1 2 3 4 51 NIL 1 1 NIL 12 NIL NIL NIL 2 23 NIL 3 NIL NIL NIL4 4 1 4 NIL 15 NIL NIL NIL 5 NIL
Reamarque
Pere[i , j] signifie que j est le père de i
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Matrice de Père k = 1
Pere0 =
1 2 3 4 51 NIL 1 1 NIL 12 NIL NIL NIL 2 23 NIL 3 NIL NIL NIL4 4 1 4 NIL 15 NIL NIL NIL 5 NIL
Reamarque
Pere[i , j] signifie que j est le père de i
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Itéeartion k = 5 :
D5 =
1 2 3 4 51 0 1 −3 2 −42 3 0 −4 1 −13 7 4 0 5 34 2 −1 −5 0 −25 8 5 1 6 0
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Matrice de Père k = 5
Pere5 =
1 2 3 4 51 NIL 3 4 5 12 4 NIL 4 2 13 4 3 NIL 2 14 4 3 4 NIL 15 4 3 4 5 NIL
Reamarque
Pere[i , j] signifie que j est le père de i
K Musumbu Warshall
Corrigé Exercice 1
Matrice de Père k = 5
Pere5 =
1 2 3 4 51 NIL 3 4 5 12 4 NIL 4 2 13 4 3 NIL 2 14 4 3 4 NIL 15 4 3 4 5 NIL
Reamarque
Pere[i , j] signifie que j est le père de i
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 2Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ci-dessous
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;
l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11
Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;
l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11
Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;
l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11
Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?
K Musumbu Warshall
Travaux Dirigés
Exercice 3Dans le graphe étudié dans l’exercice précédent, on modifie lesarcs suivants ;
l’arc(C,A)=-3l’arc(B,D)=-8l’arc(F,E)=-11
Déterminer le plus court chemin entre le sommet A et tous lesautres sommets du graphe ainsi modifié.Quel algorithme faut-il utiliser et pourquoi ?
K Musumbu Warshall