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Lois de Comportement MMC Thomas Gomez LML 2017-2018 // thomas.gomez@univ- lille1.fr 1/51 Outline I 1 Loi de comportement 2 Comportements de base 3 Les constantes élastiques 4 Au delà du comportement élastique 5 Loi de rhéologie pour les fluides Fluides de Stokes Fluides Newtoniens Fluides non Newtonien // thomas.gomez@univ- lille1.fr 2/51 Loi de comportement Définition lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements, tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs des contraintes) - Non universel Solide indéformable : la donnée des eorts extérieurs déterminent les 6 ddls inconnus du mouvement. Solide déformable : bp plus d’inconnues -! vecteur déplacement, tenseur des déformations, tenseurs des contraintes. Loi de comportement = ) resoudre le pb de fermeture Loi de comportement// thomas.gomez@univ- lille1.fr 3/51 Problème de fermeture Définition Inconnues : Densité , Déplacements u i , Déformations ij et Contraintes σ ij Lois universelles : Conservation de la masse @t + @j (vj )=0 Lois d’équilibre : Conservation de la quantité de mouvement ⇢γ i = f i + @ j (σ ij ) Conservation de l’énergie Définition des déformations (HPP) : ij = 1 2 (@j ui + @i uj ) La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entre les grandeurs dynamiques et les grandeurs cinématiques f (σ ij ,u i , ij , ...)=0 Loi de comportement// thomas.gomez@univ- lille1.fr 4/51

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Lois de ComportementMMC

Thomas Gomez

LML

2017-2018

// [email protected] 1/51

Outline I

1 Loi de comportement

2 Comportements de base

3 Les constantes élastiques

4 Au delà du comportement élastique

5 Loi de rhéologie pour les fluidesFluides de StokesFluides NewtoniensFluides non Newtonien

// [email protected] 2/51

Loi de comportement

Définition⌘ lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements,tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indéformable : la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6ddls inconnus du mouvement.Solide déformable : bp plus d’inconnues �! vecteur déplacement,tenseur des déformations, tenseurs des contraintes.Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture

Loi de comportement// [email protected] 3/51

Problème de fermeture

DéfinitionInconnues : Densité ⇢, Déplacements ui, Déformations ✏ij etContraintes �ij

Lois universelles :Conservation de la masse

@t⇢+ @j(⇢vj) = 0

Lois d’équilibre :

Conservation de la quantité de mouvement

⇢�i = ⇢fi + @j(�ij)

Conservation de l’énergieDéfinition des déformations (HPP) :

✏ij =12(@jui + @iuj)

La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinématiques

f(�ij , ui, ✏ij , ...) = 0

Loi de comportement// [email protected] 4/51

Comportements de base

Elasticité

Comportements de base// [email protected] 5/51

Comportements de base

Viscosité1687 : Isaac Newton évoque les liquideset les écoulements sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other things being equal, isproportional to the velocity with whichthe parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton : T = ⌘ dy

dt

Coefficient de viscosité Newtonien : ⌘(1643-1727)

Comportements de base// [email protected] 6/51

Comportements de base

Viscosité

Comportements de base// [email protected] 7/51

Principaux comportements

Plasticité

Comportements de base// [email protected] 8/51

Comportements de base

Comportements mixtesElastoplasticitéViscoplasticitéElastoviscoplasticité...

Exemple : Viscoelasticite - Modèle de Maxwell

�x = �xressort +�xpatin =F

k+

F

=) F (t) = k

Z t

�1exp

�k

⌘(t� s)

��x ds = L

0st(�x)

Généralisable au 3D : ���(x, t) = L0st,y2⌦0

(���(y, s))

Comportements de base// [email protected] 9/51

Comportements : Pb modèles

Comportements de base// [email protected] 10/51

Comportements de base : Non Newtonien

Comportements de base// [email protected] 11/51

Les essais

PlasticitéLes essais de base

Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de

sollicitation

Essai de traction, ou essai d’écrouissage.Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue.

Matériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de

sollicitation

Essai à contrainte constante, ou de fluage.Essai à déformation constante ou de relaxation.

Autres essaisEssai sous chargement multiple

Traction/torsion

Pression interne ou externe

Essais en flexion

Essais de fissuration

Comportements de base// [email protected] 12/51

Les essais : Traction

Comportements de base// [email protected] 13/51

Les essais : Compression

Comportements de base// [email protected] 14/51

Les essais : Observations

ZonesDéformations réversiblesDéformations irréversiblesFonction de la nature dumatériau

Comportements de base// [email protected] 15/51

Comportement élastique

DéfinitionUn milieu est dit élastique si l’état de contrainte actuel est entièrementdéterminé par le gradient de la transformation à l’instant actuel et non par sonhistoire passée

���(x, t) = L⌦0

(F (X, t))

PropriétésLe comportement ne dépend pas de la vitesse de sollicitation.La forme de la loi dépend à priori de la configuration de référence choisie⌦0.

Comportements de base// [email protected] 16/51

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

PropriétésCas Hypothèse des Petites Perturbations (HPP) :

���(x, t) = L(E(X, t))

Elasticité classique : Relation linéaire entre contraintes et déformations –Existence d’un potentiel élastique w

�ij =@w

@✏ij

Comportement élastique homogène s’il est indépendant du point d’espace

��� = ���0 +⇤⇤⇤ : E ,

⇤⇤⇤ Tenseur des modules d’élasticité.

���0 Tenseur des contraintes résiduelles.

+ Effets thermiques (linéaires)��� = ���0 +⇤⇤⇤ : E+RRR�T 0 .

Comportements de base// [email protected] 17/51

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

Loi de HookeSans contraintes résiduelles ni effet thermique

��� = ⇤⇤⇤ : E

Notation indicielle�ij = ⇤ijkl✏kl

Tenseur d’ordre 4 : 81 coefficients pour les matériaux anisotropes.

Robert Hooke1678 : développe sa "True Theory of elasticity"� = E✏ avec E module d’Young (Rigidité)

(1634-1703)

Comportements de base// [email protected] 18/51

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

SymétrieSymétrie des tenseurs des déformations et des contraintes

⇤ijkl = ⇤ijlk et ⇤ijkl = ⇤jikl

Se réduit à 36 coefficientsHypothèse thermodynamique - Le tenseur d’élasticité est symétrique

⇤ijkl = ⇤klij

=) Notation de Voigt : 21 coefficients indépendants0

BBBBBB@

�11

�22

�33

�23

�31

�12

1

CCCCCCA=

0

BBBBBB@

⇤11 ⇤12 ⇤13 ⇤14 ⇤15 ⇤16

⇤12 ⇤22 ⇤23 ⇤24 ⇤25 ⇤26

⇤13 ⇤23 ⇤33 ⇤34 ⇤35 ⇤36

⇤14 ⇤24 ⇤34 ⇤44 ⇤45 ⇤46

⇤15 ⇤25 ⇤35 ⇤45 ⇤55 ⇤56

⇤16 ⇤26 ⇤36 ⇤46 ⇤56 ⇤66

1

CCCCCCA

0

BBBBBB@

✏11✏22✏33

�23 = 2✏23�31 = 2✏31�12 = 2✏12

1

CCCCCCA

Comportements de base// [email protected] 19/51

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

Cas orthotropeDéfinition : les propriétés élastiques présentent une symétrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modèle isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais l’inverse n’est pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope : 9 coefficients indépendants

0

BBBBBB@

�11

�22

�33

�23

�31

�12

1

CCCCCCA=

0

BBBBBB@

⇤11 ⇤12 ⇤13 0 0 0⇤12 ⇤22 ⇤23 0 0 0⇤13 ⇤23 ⇤33 0 0 00 0 0 ⇤44 0 00 0 0 0 ⇤55 00 0 0 0 0 ⇤66

1

CCCCCCA

0

BBBBBB@

✏11✏22✏33

�23 = 2✏23�31 = 2✏31�12 = 2✏12

1

CCCCCCA

Comportements de base// [email protected] 20/51

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

Cas isotropeDéfinition : propriétés du matériau sont supposées identiques dans toutesles directions de l’espace.Cas isotrope : 2 coefficients indépendants

0

BBBBBB@

�11

�22

�33

�23

�31

�12

1

CCCCCCA=

0

BBBBBB@

⇤11 ⇤12 ⇤12 0 0 0⇤12 ⇤11 ⇤12 0 0 0⇤12 ⇤12 ⇤11 0 0 00 0 0 ⇤44 0 00 0 0 0 ⇤44 00 0 0 0 0 ⇤44

1

CCCCCCA

0

BBBBBB@

✏11✏22✏33

�23 = 2✏23�31 = 2✏31�12 = 2✏12

1

CCCCCCA

Coefficients de Lamé : � et µ

⇤11 = �+ 2µ , ⇤12 = � , ⇤44 = µ

Comportements de base// [email protected] 21/51

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

Termes de rigidité élastiqueDéfinition : propriétés du matériau sont supposées identiques dans toutesles directions de l’espace.

�ij = ��ij✏kk + 2µ✏ij

avec ✏kk = trace(E).Cette loi s’inverse pour obtenir les déformations à partir des contraintes(souplesses élastiques)

�kk = (3�+ 2µ)✏kk =) ✏ij =1

2µ�ij �

2µ(3�+ 2µ)�kk�ij

Les coefficients de Lamé (Pa) ont une signification physiqueMesurables à partir d’essais spécifiques (traction, ...)

Comportements de base// [email protected] 22/51

Les constantes élastiques

Essai de traction simple

��� =

0

@� 0 00 0 00 0 0

1

A ()Loi de comportement

EEE =

0

@✏L 0 00 ✏T 00 0 ✏T

1

A

Les constantes élastiques// [email protected] 23/51

Les constantes élastiques

Essai de traction simple

��� =

0

@� 0 00 0 00 0 0

1

A ()Loi de comportement

EEE =

0

@✏L 0 00 ✏T 00 0 ✏T

1

A

Définition : On définit le module d’Young et le coefficient de Poisson

E =�

✏Let ⌫ = �✏T

✏L

D’après la loi de comportement élastique

✏ij =1

2µ�ij �

2µ(3�+ 2µ)�kk�ij

=)(✏L = 1

2µ� � �2µ(3�+2µ) =

�+µµ(3�+2µ)�

✏T = � �2µ(3�+2µ)�

Les constantes élastiques// [email protected] 24/51

Les constantes élastiques

Essai de traction simple

��� =

0

@� 0 00 0 00 0 0

1

A ()Loi de comportement

EEE =

0

@✏L 0 00 ✏T 00 0 ✏T

1

A

On en déduit :Module d’Young

E =µ(3�+ 2µ)

�+ µ

Coefficient de Poisson

⌫ =�

2(�+ µ)

Les constantes élastiques// [email protected] 25/51

Les constantes élastiques

Essai de glissement simple

��� =

0

@0 � 0� 0 00 0 0

1

A ()Loi de comportement

EEE =

0

@0 �/2 0

�/2 0 00 0 0

1

A

Les constantes élastiques// [email protected] 26/51

Les constantes élastiques

Essai de glissement simple

��� =

0

@0 � 0� 0 00 0 0

1

A ()Loi de comportement

EEE =

0

@0 �/2 0

�/2 0 00 0 0

1

A

Définition : On définit le module de Coulomb (de cisaillement) par

G =⌧

Loi de comportement élastique

✏ij =1

2µ�ij �

2µ(3�+ 2µ)�kk�ij =) �/2 = ⌧ ⇥ 1/2µ

Module de CoulombG = µ

Les constantes élastiques// [email protected] 27/51

Les constantes élastiques

Essai de compression hydrostatique

��� =

0

@� 0 00 � 00 0 �

1

A ()Loi de comportement

EEE =

0

@✏ 0 00 ✏ 00 0 ✏

1

A

Définition : On définit le module de compressibilité par

K =�

3✏

Loi de comportement élastique

✏ij =1

2µ�ij �

2µ(3�+ 2µ)�kk�ij =) 3K = 3�+ 2µ

Les constantes élastiques// [email protected] 28/51

Les constantes élastiques

En résumé

E =µ(3�+ 2µ)

�+ µ, ⌫ =

2(�+ µ), 3K = 3�+ 2µ , G = µ

µ = G =E

2(1 + ⌫), � =

⌫E

(1� 2⌫)(1 + ⌫), 3K =

E

1� 2⌫

Lois de comportement

✏ij =1 + ⌫

E�ij �

E�kk�ij () �ij = ��ij✏kk + 2µ✏ij

Les constantes élastiques// [email protected] 29/51

Equations de Navier / Beltrami

Problème de mécanique des solides déformables (cas élastique déformable)

(ui,�ij)

8>>>>>>><

>>>>>>>:

✏ij =12 (@jui + @iuj)

✓@2ui

@t2� fi

◆� @�ij

@xj= 0 , 8M 2 ⌦0

�ij = ��ij✏kk + 2µ✏ij , 8M 2 ⌦0

TTT = ��� · n = td , 8M 2 @⌦td

uuu = ududud , 8M 2 @⌦u

+ Conditions initialesSolutions analytiques trop complexes =) traitement numérique2 schémas possibles selon les variables retenues

En déplacements si on élimine les contraintes - Equations de Navier

En contraintes si on élimine les déplacements - Equations de Beltrami

Les constantes élastiques// [email protected] 30/51

Equations de Navier / Beltrami

Problème de mécanique des solides déformables (cas élastique déformable)Formulation en déplacement - Equations de Navier

(�+ µ)@i(@juj) + µ@2jjui + ⇢fi = ⇢@2

ttui

Formulation en contrainte - Equations de Beltrami

@2kk�ij +

1

1 + ⌫@i@j�kk +

1� ⌫⇢@kfk�ij + ⇢(@ifj + @j fi) = 0

avecfi = fi �

@2ui

@t2

Les constantes élastiques// [email protected] 31/51

Modules d’élasticité

Les constantes élastiques// [email protected] 32/51

Synthèse des lois de comportements

Les constantes élastiques// [email protected] 33/51

Constantes d’élasticité

Les constantes élastiques// [email protected] 34/51

Au delà du comportement élastique

Comportement non linéaireComportement plastiqueComportement visco-élastiqueRéponse rhéologique non-linéaire

� = f( ✏|{z}plasticité

,d✏

dt|{z}viscosité

)

Au delà du comportement élastique// [email protected] 35/51

Fluides de Stokes

HypothèsesTenseur des contraintes �ij

Fonction continue du tenseur des taux de déformation Sij et de l’état

thermodynamique local.

Indépendant de la translation et de la rotation de l’élément : ie. propriétés

du fluide identiques pour tous les observateurs, qques soient les systèmes

d’axes qui les transportent.

Le fluide est sans élasticité, ie aucun effet mémoire.Le fluide est homogène : �ij ne peut dépendre explicitement descoordonnées.Le fluide est isotrope : mêmes propriétés dans toutes les directions.

Les directions principales des contraintes et des déformations coïncident.

La loi de comportement peut s’écrire dans un repère principal

�ij = f(S11, S22, S33)�ij avec f symétrique par rapport aux deux dernières

variables.

En absence de taux de déformation Sij = 0, le tenseur des contraintes se

réduit à celui créé par une pression hydrostatique, càd

�11 = �22 = �33 = f(S11, S22, S33) = �p, lorsque S11 = S22 = S33 = 0.

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides de Stokes/ [email protected] 36/51

Loi de rhéologie

Fluides Newtonien = Fluide de Stokes linéaireHypothèses pour les Contraintes visqueuses ⌧ij

Dépendance linéaire et isotrope avec Sij :

µ = ⌧/� = cstePas de dissipation dans une compression isotrope (hypothèse de Stokes)

Seuls les gaz et les liquides ayant une structure chimique suffisamment

simple.

Taux de déformation pas trop importants.

Tenseur des contraintes

�ij = �p�ij + ⌧ij = �p�ij +2µ

3@kuk�ij + 2µSij

Tenseur des taux de déformations : Sij = 12 (@iuj + @jui)

Viscosité dynamique (resistance au cisaillement) : µ

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides Newtoniens/ [email protected] 37/51

Loi de rhéologie

FluidesNewtonien : eau, huile, airNon Newtonien : Mayonnaise, Polymères, Crèmes, Sang ...

Seuil de contrainte : il faut exercer une contrainte minimale pour que la

mayonnaise s’écoule.

Effet Weissenberg(1893-1976) : Polymères (longues chaines de

macromolécules)

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 38/51

Loi de réhologie

Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance

Rhéo-épaississant⌧ / �n

avec n > 1Produits alimentaires à base d’amidon, ...

Rhéo-fluidifiant⌧ / �n

avec n < 1Ketchup, Peintures

Viscosité apparanteµ = ⌧/� = m(�)n�1

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 39/51

Loi de réhologie

Non Newtonien : Mesures expérimentales

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 40/51

Loi de réhologie

Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 41/51

Loi de réhologie

Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 42/51

Loi de réhologie

Non Newtonien : Rého-épaississant

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 43/51

Exemple d’application des écoulements non Newtoniens

Les écoulements sanguinsConsidéré comme Newtonien dans les vaisseaux de diamètre assez large(Artéres).Vaisseaux de petite taille (< 1mm) ⇠ taille des globules rouges =) µn’est plus constante.Fluide rhéofluidifiant : viscosité décroit quand le taux de cisaillementaugmente

� ⌘ Taux de déformation

� =p

2(tr(Sij))2

Viscosité

µf (�) = k�n�1 , n < 1

où k et n sont des caractéristiques biologiques du sang.

Contraintes

�ij = 2µf (�)Sij

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 44/51

Exemple d’application des écoulements non Newtoniens

Autres type de modèle pour le sangFonction de pondération avec µ0 = 0.056Pa.s et µ1 = 0.00345Pa.s.

�(�, µ1, µ0) =µ(�)� µ1µ(0)� µ1

Autres exemples de fonction de pondération

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 45/51

Exemple d’application des écoulements non Newtoniens

Les écoulements sanguins

MultiphysiqueInteraction fluide/structurePulséGéométrie complexeMulti-échelleViscoélasticité (mémoire) : la viscosité dépend aussi de la déformation

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 46/51

Application des écoulements non Newtoniens

Réduction de traînéePetite quantité de polymère dans un fluide NewtonienCoefficient de frottement de Fanning

f =1

4

D

L

�p

⇢v2/2

D diamètre de la conduite, �p gradient de pression, L longueur, v vitessemoyenneRe ⇠ 105 + concentration de 5ppm (parts per million) =) réduction de40% du nombre de Fanning.

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 47/51

Application des écoulements non Newtoniens

Effet Weissenberg

Effets centrifugesContraintes centripètes dues au cisaillement

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 48/51

Application des écoulements non Newtoniens

Siphon sans tube

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 49/51

Application des écoulements non Newtoniens

Contraction

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 50/51

Application des écoulements non Newtoniens

Extrusion

Comprimé de façon élastique dans le direction radiale"Mémoire" de l’historique de la déformationLe cisaillement produit une contrainte élastique de traction dans ladirection axiale (longues chaines moléculaires).

Loi de rhéologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 51/51