mécanique des structures ms3:plaques: du · pdf filesatisfait en moyenne...

52
MS3:PLAQUES: DU 3D au 2D MS3:PLAQUES: DU 3D au 2D MÉCANIQUE DES STRUCTURES MÉCANIQUE DES STRUCTURES

Upload: vukhanh

Post on 06-Feb-2018

223 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

MS3:PLAQUES: DU 3D au 2DMS3:PLAQUES: DU 3D au 2D

MÉCANIQUE DES STRUCTURESMÉCANIQUE DES STRUCTURES

Page 2: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Programme Mécanique II - Mécanique des Structures 2004-2005

MS1 (02/12): Les méthodes énergétiques: Des méthodes « éclair » pour calculer des poutres à liaisons multiples• TD 1(02/12):Pont-Stade de France

MS2(10/12) :Structures complexes: les éléments finis simplifient les calculs• TD2(10/12) :Arbre d’alternateur

MS3(16/12) :Plaques :du 3D au 2D• TD3(16/12) :Etage cryogénique d'Ariane V: Plaque de révolution en flexion

MS4(06/01) : le flambement :un mode de ruine des structures inattendu• TD4(06/01) :Flambement par dilatation des rails de chemin de fer

MS5 (13/01):Vibrations des structure: les modes propres concentrent l’info• TD5(13/01) :Réponse dynamique d’un poteau de basket

Etude dynamique d'un arbre d'alternateur

Page 3: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

PLAQUES

••INTRODUCTION:MODELISATION COMME INTRODUCTION:MODELISATION COMME MILIEU 2DMILIEU 2D efforts intérieurs : introduction heuristique ••PLAQUES EPAISSES(REISSNERPLAQUES EPAISSES(REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)• Définitions , hypothèses, fonctionnement en membrane et flexion• Cinématique,Déformations•Théorème des puissances virtuelles:

tenseur des efforts de membrane N,tenseur des flexions M

•Equations d ’équilibre en N,MConditions aux limites

•Lois de comportement

Page 4: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

• Plaque(= surface 2D) soumise à:– une densité surfacique de

forces: fs=fST+fSn

– Une densité surfacique de couples cs dans le plan S

ii11

ii33

ii22

SS

En un point En un point ξξ, S exerce sur St:, S exerce sur St:••Une force linUne force linééique ique TT((νν))••Un couple linUn couple linééique ique MM((νν))

νν

StStΓΓ M(M(νν))

T(T(νν))

ξξ

Page 5: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

• Tenseur des efforts intérieurs• T(ν)=Nν ,N=N+ i3 ⊗ N,3• N,tenseur des "efforts de

membrane"(plan 1,2)• N,3vecteur des forces de

cisaillement

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

ii33

ii11

ii22

SS

T(ν)

νν N(ν)(ν.N,3) i3

• Réciprocité des efforts intérieurs:• T(-ν)=-T(ν)(équilibre d’un rectangle sur la plaque)

Page 6: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

• Equations d’équilibre pour St:

ii11

ii33

ii22

SS

νν

StStΓΓ M°(M°(νν))

T(T(νν))

∫∫∫∂

ν+=ρttt S

tS

tSS

t dl)(dSdS Tfa

∫∫∫∂

°+∧++∧=ρ∧ttt S

tS

tsSS

t dl))()((dS)f(dS ?M?Txcxax

Page 7: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

• Transformation des équations d’équilibre:équations locales

∫∫∫ −=∂ S

33xS

SS

ds)i(idivDivdl)( NN?NSn3n

StST

S

fdivN

Div

Div

+=ρ+=ρ

+=ρ

⋅a

fNa

fNa S

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

∫∫∫∂

+=ρttt S

tS

tSS

t dl)(dSdS ?Tfa

T(ν)=Nν , N=N+ i3 ⊗ N,3

Page 8: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

• Transformation des équations d’équilibre:équations locales

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

221

2

111

uSfdxdR

uSfdxdN

&&

&&

ρ

ρ

=+

=+

Équivalence avec les poutres

Sn3n

StST

S

fdivN

Div

Div

+=ρ+=ρ

+=ρ

⋅a

fNa

fNa S

Page 9: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

• Transformation des équations d’équilibre:équations locales Même démarche appliquée au moment dynamiqueMême démarche appliquée au moment dynamique

symétrique 3

MIcNMDiv sS Ψ&&=+− ⋅

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

021

3 =+ Rdx

dMPoutres:Poutres:

Page 10: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

• Transformation des équations d’équilibre:équations locales Même difficultés que pour un milieu 3D:

– Nécessité d’une loi de comportement pour trouver les déplacements

– N et M apparaissent intuitivement comme intégrales sur l’épaisseur des contraintes planeset de leur moment

• >Besoin d’une CINEMATIQUE des déplacementsde la plaque: du 3D au 2D

INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL

Page 11: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Définition Définition et hypothèses de baseet hypothèses de base::•Une plaque est un solide V engendré par un segment[-h/2,h/2]orthogonal à une surface plane S et dont le centre parcourt S; Sconstitue la surface moyenne de la plaque.•L ’épaisseur h est petite devant les dimensions transversalesde la plaque •On utilisera un repère Ox1,Ox2,Ox3,de vecteurs directeurs i1,i2,i3,tels que:

•S est contenue dans le plan Ox1,Ox2•i3 est normal à la plaque

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

ii11

ii33

ii22

SS

Page 12: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Définition et hypothèses de baseDéfinition et hypothèses de base::•H1:petits déplacements et petites déformations: les déplacements ui et leurs dérivées ui,j sont petits devant l ’unité;

•H2:un segment droit orthogonal à la surface moyenne reste indéformable dans la transformation,sans forcément rester orthogonal à S -analogie avec hypothèse de Timoshenko pour les poutres:on considèrera l ’influence du cisaillement transversecisaillement transverse

•H3:les contraintes normales suivant i3, σ33=i3.σ(i3),nulles sur les surfaces supérieures et inférieures de la plaque (surfaces libres), sont négligeables dans l ’épaisseur

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 13: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

FLEXION:forces/FLEXION:forces/depltdeplt⊥⊥planplan

MEMBRANE:forces/MEMBRANE:forces/depltdeplt.dans le plan.dans le plan

Deux effets de base:Deux effets de base:

Page 14: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 15: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)

••Hypothèse cinématique sur les déplacements:Hypothèse cinématique sur les déplacements:

Le déplacement d ’un point P projeté au repos sur S en G est: u(P) = u(G ) +Ω(G)∧X⊥ ,,où X⊥ ,= GP=x3i3

Ω,vecteur rotation du segment S orthogonal à i3:Ω=i3∧Ψou:Ψ=Ω∧ i3

u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψles indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)

les indices latins (3) à l ’épaisseur

ii33

ii11vw

Page 16: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

ΨΨ11

u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ

ii33

ii11vw

Ψ=Ω∧ i3, Ω=i3∧ΨΨ1 rabat l'axe 3 sur l'axe 1:rotation Ω2Ψ2 rabat l'axe 3 sur l'axe 2:rotation -Ω1

Page 17: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)

••Hypothèse cinématique sur les déplacements:Hypothèse cinématique sur les déplacements:

u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ

Déformations:Déformations:

les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)les indices latins (3) à l ’épaisseur

b= b= Ψ+gradSw

cisaillementcisaillement

+=

02

2 x

t

3

b

bKd

e

Déf. de membrane, Déf. de membrane, dans le plandans le plan

d=1/2(gradSv+tgradSv)

Flexion: Flexion: varaiation varaiation de courburede courbure

Κ=1/2(gradS Ψ+tgradS Ψ)

Page 18: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)

4.2Hypothèse cinématique sur les déplacements:4.2Hypothèse cinématique sur les déplacements:

les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)les indices latins (3) à l ’épaisseur

Déf. de Déf. de membranemembrane

d=1/2(gradSv+tgradSv)

Flexion:modifie la Flexion:modifie la courburecourbure

Κ=1/2(gradS Ψ+tgradS Ψ)

Page 19: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

4. 3 Théorème des puissances virtuelles4. 3 Théorème des puissances virtuelles

••Motivation: lors dMotivation: lors d ’’une rune réésolution numsolution numéérique (rique (ééllééments ments finis, quasi obligatoire pour tout problfinis, quasi obligatoire pour tout problèème de plaque), on me de plaque), on satisfait EN MOYENNE satisfait EN MOYENNE éénergnergéétique les tique les ééquations quations dynamiques sur la plaque.dynamiques sur la plaque.

••Le thLe thééororèème des puissances virtuelles permet me des puissances virtuelles permet dd’’introduire introduire rigoureusementrigoureusement les tenseurs N efforts de membrane, M les tenseurs N efforts de membrane, M flexions, et b cisaillement,flexions, et b cisaillement,

••Il permet de (re)trouver les Il permet de (re)trouver les ééquations dquations d’é’équilibrequilibre

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 20: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Cinématique Cinématique virtuelle CAvirtuelle CA

Les composantes du tenseur de la déformation virtuelle se calculent formellement identiquement:ε=d+x3K, 2εα3=bα , ε33=0

Théorème des puissances virtuellesThéorème des puissances virtuelles

u(P) = u(G ) +x3 Ψ= v+wi 3+ x3 Ψ

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ

Page 21: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

[ ]dVb)x.((TrdV).(TrWV

33SVi ∫∫ αασ++−−=δ Kdses&

Or, Or, dd,,KK et et bb ne dne déépendent que pendent que de xde x11 et xet x22::

On peut sOn peut sééparer:parer:••IntIntéégration dans le plan gration dans le plan ••IntIntéégration suivant xgration suivant x33

Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:puissance virtuelle des puissance virtuelle des efforts intérieursefforts intérieurs

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

=

03,t

3,S

sss

s

Page 22: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuelles:puissance virtuelle des Théorème des puissances virtuelles:puissance virtuelle des efforts efforts intérieursintérieurs

dSb.dx.dxxTr.dxTrWS 3

2h

2h 33

2h

2h 33

2h

2hi ∫ ∫∫∫

σ+

+

−=δ α

−α

−−Ksds&

MembraneMembrane flexionflexion cisaillementcisaillementtransversetransverse

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

dSbN).(Tr).(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&

Page 23: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

32h

2h dx∫−

= sN

Introduction de trois quantités: Introduction de trois quantités:

Tenseur des efforts de membrane:Tenseur des efforts de membrane:

Efforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREESEfforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREES

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

ii11

ii22

ii33

NN1111

NN2121

NN1313

NN1212

NN2222

NN2323

Page 24: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Introduction de trois quantités: Introduction de trois quantités: Tenseur des Tenseur des flexions:flexions:

32h

2h 3 dxx∫−

= sM

les deux premières quantités sont nécessairement des tenseursles deux premières quantités sont nécessairement des tenseurs

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

MM1111 et Met M2222 fléchissentfléchissent, M, M1212 M21 tordenttordent les facettes les facettes

ii11

ii22

ii33

MM1111

MM1212

MM2222MM2121

Efforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREESEfforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREES

Page 25: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Introduction de trois quantités: Introduction de trois quantités:

Vecteur des efforts de Vecteur des efforts de cisaillement:cisaillement:

32h

2h 33 dxN ∫−

αα σ=

les deux premières quantités sont nécessairement des tenseursles deux premières quantités sont nécessairement des tenseurs

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Efforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREESEfforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREES

Page 26: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuellesThéorème des puissances virtuelles

les contraintes intégrées N,M,Nles contraintes intégrées N,M,Nαα sont DUALES sont DUALES des termes des termes d,K,bd,K,b

dSbN)(Tr)(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

+ω−+

ω=ω−

dsvd

Tdsd

M),v,s(Pl

CfCf:Poutre en flexion:Poutre en flexion

Page 27: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuellesThéorème des puissances virtuelles

dSbN)(Tr)(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 28: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Puissance virtuelle des efforts Puissance virtuelle des efforts surfaciquessurfaciques extérieurs extérieurs F=FF=Fααi i αα sur sur ΣΣll::

( )dsWes ∫Γ

•++•=δ ?CwQvQ 3&

DD ’où:’où: ∫−= 2

h

2h 3dxFQ Densité linéique dDensité linéique d ’efforts de membrane (Q’efforts de membrane (Q11,Q,Q22))

transversal(Qtransversal(Q33))

∫−= 2h

2h 33 dxx FC

Vecteur Vecteur bidimbidim. . lié à la densité lié à la densité linéique de couple Cl=ilinéique de couple Cl=i33∧∧C, ou C, ou C= C= ii33∧∧ClCl

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

∫∫∂∂

++==δV

33V

es dS))G(xw.(dS),(W ?ivFuF&

Page 29: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Puissance virtuelle des efforts Puissance virtuelle des efforts volumiquesvolumiques extérieurs extérieurs f=ff=fααe e αα +f+f33ee33

DD ’où:’où: ∫−= 2

h

2h 3dxfp Densité Densité surfaciquesurfacique dd ’efforts de membrane (p’efforts de membrane (p11,p,p22))

normaux à S(pnormaux à S(p33))

∫− αα = 2h

2h 33 dxfxm Vecteur Vecteur bidimbidim. lié à la densité surfacique de couple . lié à la densité surfacique de couple

cscs=e=e33∧∧m, ou m= m, ou m= ee33∧∧cscs,g,géénnééralement nulralement nul

( )dSWS

ev ∫ •++•=δ ?mwpvp 3&

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 30: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorèmeécriture du théorème

0WWWW accevesi =δ−δ+δ+δ &&&&

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

dSbN)(Tr)(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&

Intégration par parties….Intégration par parties….

Page 31: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorèmeécriture du théorème

0WWWW accevesi =δ−δ+δ+δ &&&&

n ,

apdivIDiv

pDiv

3

n3

3S

TS

33

3

NQMniClMnC

NnQN

mNM

aN

=∧==

=ρ=+

Ψ=+−

ρ=+&&

Équations Équations dd ’équilibre’équilibre

Conditions Conditions à la à la

frontièrefrontière

Découplage Découplage membrane membrane --

flexionflexion

membranemembrane

effort tranchanteffort tranchant

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

flexionflexion

Page 32: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

nNMniCl Mn,C

NnQ

3

3

⋅=∧==

=

3Q

Analyse des forces sur le bord de la plaqueAnalyse des forces sur le bord de la plaque::

n:vecteur normal n:vecteur normal ext.ext. au bord au bord ΓΓ de S de S ττ:vecteur tangent :vecteur tangent àà ΓΓ(n, (n, ττ ,i3) direct,i3) direct

( ) ( )( ) ( ) αβαββαβ

αβαββαβ

τ−=∧=∧=

=∧=∧=

nMnMCl

nnMnM.Cl

t

3f

a33

a3

iin.Mnin.

iit .Mnit

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Distinguer flexion et torsion:Distinguer flexion et torsion:ii11

ii22

ii33

MM1111

MM1212

MM2222MM2121

Page 33: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

ContraintesContraintes( )[ ]ijij22112ij )1()(1

Eευ−+δε+εν

υ−=σ

( )[ ]

( )[ ]

1212

1122222

2211211

1E

1E

1E

ευ+

υε+ευ−

υε+ευ−

==σ

Comportement de membrane(dans le plan S)Comportement de membrane(dans le plan S)

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

LOI DE COMPORTEMENT:LOI DE COMPORTEMENT:σσ 3333=0 conduit à:=0 conduit à:

εεε

ν−ν

ν

ν−=

σσσ

12

22

11

2

12

22

11

1000101

1E

Page 34: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

εεε

ν−ν

ν

ν−=

σσσ

12

22

11

2

12

22

11

1000101

1E

En intégrant sur lEn intégrant sur l ’épaisseur pour N, ’épaisseur pour N,

[ ] [ ],100

0101

1Eh

2 dN

ν−ν

ν

ν−=

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Loi de comportementLoi de comportement

Page 35: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Loi de comportementLoi de comportement

εεε

ν−ν

ν

ν−=

σσσ

12

22

11

2

12

22

11

1000101

1E

En intégrant sur lEn intégrant sur l ’épaisseur, ’épaisseur, après après prémultipliprémultipli. par x. par x33 ::

Remarquer Remarquer D=EhD=Eh33/12(1/12(1--νν22))[ ] ( ) [ ]KM

ν−ν

ν

ν−=

1000101

112Eh

2

3

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 36: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Loi de comportementLoi de comportement

( )ααα +Ψυ+

= ,3 w)1(2

EhN

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Comportement en cisaillement transverseComportement en cisaillement transverse

2,1,1

E33 =αε

υ+=σ αα

Page 37: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

En résumé:En résumé:

On a décomposé le tenseur de la On a décomposé le tenseur de la déformation: edéformation: ess==dd+x+x 33 ΚΚ••un un tenseur 2D des déformations tenseur 2D des déformations de membranede membrane•d=1/2(grad2v+tgrad2v) ,

……••un un tenseur de tenseur de --variation devariation de--courburecourbure••…. …. κ=1/2(grad2 Ψ+tgrad2 Ψ) ,

••un un vecteur cisaillementvecteur cisaillement……••b= b= Ψ+grad2w

32h

2h dx ∫−

= sN

Introduction de trois quantités(duales): Introduction de trois quantités(duales):

Tenseur des efforts de membraneTenseur des efforts de membrane::

Tenseur des flexionsTenseur des flexions

32h

2h 3 dxx∫−

= sM

Vecteur des efforts de cisaillementVecteur des efforts de cisaillement::

32h

2h 33 dxN ∫−

αα σ=

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 38: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

En résumé:En résumé:

Principe des Principe des puissances virtuellespuissances virtuelles

ouou

Equations dEquations d ’équilibre ’équilibre + condition à la + condition à la

frontièrefrontière

+loi de +loi de comportementcomportement

nN

MniClMnCNnQ

N

NM

aN

3

3

=∧==

=ρ=+

Ψ=+−

ρ=+

3

3s33

3s

Ts

Q

,

updiv

ImDiv

pDiv

&&

&&

[ ] [ ],100

0101

1Eh

2 dN

ν−ν

ν

ν−= [ ] ( ) [ ]?M

ν−ν

ν

ν−=

1000101

112Eh

2

3

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 39: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

SYNTHESESYNTHESE

3s33

S

TS

updivN

IDiv

pDiv

&&

&&

ρ=+Ψ=+−

ρ=+

⋅ mNM

aN

3

[ ] [ ],100

0101

1Eh

2 dN

ν−ν

ν

ν−=

[ ] ( ) [ ]KM

ν−ν

ν

ν−=

1000101

112Eh

2

3

plaquesplaques

σσ(n)=(n)=ffss

DivDivxxσσ ++ffvv==ρρaa

Milieu 3DMilieu 3D poutrespoutres

0Rdx

dM

uSfdxdR

uSfdxdN

21

3

221

2

111

=+

ρ=+

ρ=+

&&

&&

21

22

33

1

1

dxudEIM

dxdu

ESN

=

=σσ==λλTrTr (e)I+2(e)I+2µµee

nN

MniClMnCNnQ

3

3

⋅=∧==

=

3Q

,(T,C) (T,C) (S+/S(S+/S--)) =+/=+/--(R,M)(R,M)

Page 40: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES

Page 41: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

PLAQUES MINCESPLAQUES MINCES (KIRCHOFF(KIRCHOFF--LOVE):LOVE):

Hypothèse cinématique sur les déplacements:Hypothèse cinématique sur les déplacements:

Le déplacement d ’un point P projeté au repos sur S en G est:

u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ

b= b= Ψ+gradSw=0αβ

βααβ −=

∂∂∂

−= ,wxx

wK

2

Courbure de la plaque déforméeCourbure de la plaque déformée

LE SEGMENT RESTE ORTHOGONAL A LA LIGNE MOYENNE: Ψ=-gradw

Page 42: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorème écriture du théorème

pour la flexionpour la flexion

( )

( )dS wpW

ds CwQW

dS W

0WWW

S3ev

FF3es

Si

eVeSi

∫∫

+=δ

Ω+=δ

−=δ

=δ+δ+δ

Γ

&

&

&

&&&

KM

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

tngradintdn

wddswdw3tF −=∧−=Ω+Ω=Ω

Se réduit à la flexion Se réduit à la flexion du bord:du bord:ww y est y est prescrit prescrit ddww//dsds=0=0

Page 43: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorème,double écriture du théorème,double intégration par partiesintégration par parties

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

( )

[ ] [ ] [ ]PwMds wQMddnwd

M-

dS wMW

n

S ,i

τΓ

τ

αβαβ

++

∫& ( )

( ) dS wpW

ds CwQW

S3ev

FF3es

∫++=δ

Ω+=δΓ

&

&

αβαβααβτ

βααβ

αβαβ

+τ=+=

==

=+

nM)nM(dsd

Qds

dMQ

nnMCM

0pM

,3

Fn

3,

Q3:effort tranchant effectifQ3:effort tranchant effectif

Discontinuité du Discontinuité du moment de torsion aux moment de torsion aux

coins:réaction coins:réaction ponctuelleponctuelle

Page 44: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

Discontinuité du moment de torsion aux coins:réaction Discontinuité du moment de torsion aux coins:réaction ponctuelleponctuelle

Page 45: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

alors:Kαβ= -w,αβ et bα=Ψα +w,α=0Lois de comportement:Lois de comportement:

[ ] ( ) [ ]KEh

M

−−

νν

ν100

0101

112 2

3

( )

∂∂∂

∂∂

∂∂

ν−ν

ν

ν−=

21

2

22

2

21

2

2

3

12

22

11

xxw

xw

xw

1000101

112Eh

MMM

DD( )[ ]KK)IM )1((tr112Eh

2

3

ν−+νν−

=

! Écriture ! Écriture matriciellematricielle

Page 46: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

Équations dÉquations d ’équilibre:’équilibre:

333

3 0

upDivN

NMDivapNDiv

S

TS

&&ρ

ρ

=+=−

=+

membranemembrane

flexionflexion

[ ] wpDivDiv 3S &&ρ=+M( )[ ]KK)IM )1((tr112Eh

2

3

ν−+νν−

=

wpwD 3 &&ρ=−∆∆

Page 47: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

Application :plaque rectangulaireApplication :plaque rectangulaire

byn

sina

xmsinp

bn

am

1D1

)y,x(w n,mn,m

2

2

2

2

24

ππ

= ∑

pwD =∆∆

∫∑ ππ=

ππ= dxdy

ayn

sina

xmsin)y,x(pp,

ayn

sina

xmsinp)y,x(p n,m

n,mn,m

bn

sina

msin

abP4

p

P)y()x(p

n,mπηπζ

=

η−δζ−δ=Charge concentréeCharge concentrée

Page 48: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Lo n g e r o n

T r a v e r s e e x t r ê m e a v a n t

RCA

THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES

Page 49: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

PLAQUES

En résumé:En résumé:

Principe des Principe des puissances virtuellespuissances virtuelles ouou

Equations dEquations d ’équilibre ’équilibre + conditions à la + conditions à la

frontièrefrontière

+loi de +loi de comportementcomportement

RESOLUTION PRESQUE TOUJOURS A PARTIR D’UNE RESOLUTION PRESQUE TOUJOURS A PARTIR D’UNE SOLUTION :fonction dSOLUTION :fonction d ’approximation ’approximation

ou éléments finisou éléments finis

Page 50: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

coques

Page 51: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

Inscriptions BE: du 6 au 13 janvierInscriptions BE: du 6 au 13 janvierPar binômePar binôme

Page 52: MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS3:PLAQUES: DU · PDF filesatisfait EN MOYENNE énergétique les équations dynamiques sur la plaque. ... les deux premières quantités sont nécessairement

BONNES FETESBONNES FETES