rdm théorie des poutres

Toute reproduction sans a

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Rsistance des matriaux

Thorie des poutrespar Jean COURBON

Ingnieur en Chef des Ponts et ChaussesProfesseur Honoraire lcole Nationale des Ponts et Chausses

1. Bases de la thorie des poutres........................................................... C 2 010 - 21.1 Dfinitions et terminologie ......................................................................... 21.2 Forces extrieures appliques aux poutres............................................... 21.3 Premire hypothse fondamentale de la thorie des poutres................. 31.4 Deuxime hypothse fondamentale de la thorie des poutres............... 51.5 Validit des hypothses fondamentales .................................................... 6utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction C 2 010 1

ans cet article, nous exposerons deux hypothses permettant dobtenir desmthodes approximatives simples de calcul des structures composes de

poutres. Nous traiterons de leurs consquences dans le cas o le comportementest lastique.

1.6 Problmes poss par ltude des poutres ................................................. 6

2. Contraintes et dformation dues leffort normalet au moment flchissant ...................................................................... 6

2.1 Compression ou traction simples .............................................................. 62.2 Flexion pure ................................................................................................. 72.3 Flexion dvie.............................................................................................. 82.4 Flexion compose........................................................................................ 92.5 Flexion des poutres plan moyen forte courbure................................. 10

3. Contraintes et dformation dues leffort tranchant .................. 123.1 Gnralits ................................................................................................... 123.2 Thorie lmentaire (poutres plan moyen)............................................ 143.3 Poutres dont la section est un profil mince ouvert................................... 163.4 tude de la flexion simple dduite de la thorie de llasticit ............... 183.5 Poutres plan moyen de hauteur rapidement variable........................... 20

4. Contraintes et dformation dues au couple de torsion ................ 204.1 Thorie lmentaire. Poutre de section circulaire .................................... 204.2 Torsion pure. Solution de Saint-Venant..................................................... 214.3 Analogie de la membrane. Applications ................................................... 224.4 Torsion gne des poutres dont la section est un profil mince ouvert... 24

5. Formules de Bresse ................................................................................. 275.1 Poutre gauche.............................................................................................. 275.2 Poutre plan moyen ................................................................................... 275.3 Poutre droite plan moyen ........................................................................ 285.4 nergie de dformation dune poutre........................................................ 29

Rfrences bibliographiques ......................................................................... 30

D

RSISTANCE DES MATRIAUX ____________________________________________________________________________________________________________

TouteC 2 010 2

1. Bases de la thoriedes poutres

1.1 Dfinitions et terminologie

Une poutre est un solide engendr par une aire plane dont lecentre de gravit G dcrit une courbe G0G1 , le plan de restantnormal la courbe G0G1 .

Laire est appele section droite , ou simplement section , de lapoutre. La courbe G0G1 est appele fibre moyenne de la poutre. Levolume engendr par un lment d de laire porte le nom de fibre ;cette dfinition na, bien entendu, aucun rapport avec la structurede la matire.

Une poutre gauche est une poutre dont la fibre moyenne est unecourbe gauche ; une poutre plane est une poutre dont la fibremoyenne est une courbe plane ; une poutre droite est une poutredont la fibre moyenne est un segment de droite.

Une poutre plan moyen est une poutre plane dont le plan dela fibre moyenne est un plan de symtrie, appel plan moyen, dela poutre ; en particulier, une poutre droite peut tre plan moyen.

Dans ce qui prcde, nopoutre est alors dite de sectde proportionner les dimensupporter, laire varie lorsmoyenne ; la poutre est alo

On appelle prisme lmede la poutre compris entre

Pour dfinir une poutreconnatre :

la fibre moyenne dab la section daxes

dpendre de s ; lorientation de la sect

moyenne ; cette orientatinormale principale la fibGy li la section , ou encde passer du repre fixe ornorm Gx y z .

1.2 Forces extriappliques au

1.2.1 Gnralits

Les forces extrieures pefaon continue. Il faut enrpartie sur une trs petite

Nous supposerons que lla fibre moyenne de la poutsection de centre de gravthse fondamentale ( 1.3)lente applique en G et papar rapport au point G.

1.2.2 Forces donne

Les forces donnes, ou c des forces et ventue des forces et ventue

Une charge rpartie est dfinie par la densit de charge ;

un lment de poutre de longueur ds est soumis la force .

Parmi les charges, on peut distinguer celles qui sont appliquesde faon permanente (poids propre, par exemple) et celles qui sontappliques temporairement (poids dun vhicule, par exemple) ; lespremires constituent la charge permanente et les secondes lessurcharges.

Les ractions dappui , qui rsultent des liaisons externes, sonten gnral des forces concentres. En nous bornant aux poutres plan moyen charges dans leur plan, on distingue, parmi les dif-frents types de liaisons imposes aux poutres, les suivants(figure 1) :

lappui simple, constitu, par exemple, par un rouleau cylin-drique, donne lieu une raction de direction impose passant parle point dappui ; cette raction est dfinie par une seulecomposante ;

larticulation, constitue, pour les poutres mtalliques, par unerotule comprise entre deux balanciers en acier moul et, pour lespoutres en bton, par une section fortement rtrcie (articulationFreyssinet ), donne lieu une raction dont on ne connat pas la direc-tion, mais qui passe par le centre de la rotule ou par le centre de

Un exemple de forces csur la poutre par les roues d

f s( )f s( ) ds

R reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction

us avons suppos laire constante ; laion constante. Mais trs souvent, en vuesions de la poutre aux efforts quelle doitque son centre de gravit dcrit la fibrers dite de section variable.

ntaire ou lment de poutre le volume deux sections droites voisines.

dans le cas le plus gnral, il faut

scisse curviligne s ;centraux dinertie Gy et Gz ; peut

ion autour de la tangente Gx la fibreon peut tre dfinie par langle de lare moyenne et de laxe central dinertieore par la matrice orthogonale qui permetthonorm Oxyz au repre mobile ortho-

euresx poutres

uvent tre concentres ou rparties detendre par force concentre une force surface.

es forces extrieures sont appliques re. Une force applique en un point duneit G peut, en vertu de la premire hypo-, tre remplace par une force quipol-r un couple gal au moment de la force

s et ractions dappui

harges, comprennent :llement des couples concentrs ;llement des couples rpartis.

la section rtrcie ; cette raction est dfinie par ses deuxcomposantes suivant deux directions non parallles du plan moyen ;

lencastrement a pour objet dassurer linvariabilit de la sec-tion dextrmit dune poutre ; la raction dappui comprend une

force passant par le centre de gravit G de la section dencas-

trement et contenue dans le plan moyen, et un couple normalau plan moyen ; la raction dappui est donc dfinie par trois

composantes : les deux projections de sur deux axes situs dans

le plan moyen et la valeur algbrique de sur laxe normal au planmoyen.

oncentres est donn par laction exerceun vhicule.

Figure 1 Liaisons imposes aux poutres

R

R

___________________________________________________________________________________________________________ RSISTANCE DES MATRIAUX


1.2.3 Relations entre les forces donneset les ractions dappui

Toutes les forces appliques une poutre doivent, en vertu deslois de la statique, former un systme de forces en quilibre. Noussupposerons en gnral, pour crire les quations dquilibre de lastatique, que la dformation de la poutre peut tre nglige, autre-ment dit que la ligne daction dune force nest pas dplace par ladformation de la poutre. Cest l une des hypothses de la thoriede llasticit linaire (cf. article Thorie de llasticit [A 305] dansle trait Sciences fondamentales).

Il en rsulte que, pour assurer lquilibre dune poutre gauchesoumise des forces quelconques, il est ncessaire de disposer daumoins six composantes de ractions dappui. Ce nombre se rduit trois pour une poutre plan moyen charge dans son plan, et deux pour une poutre droite soumise des forces parallles. Il peutse faire que le nombre k de composantes des ractions dappui soitplus grand pour une structure compose de poutres o interviennentdes ractions intrieures (par exemple, arc trois articulations). Lenombre minimal k est gal au nombre dquations dquilibre ind-pendantes donnes par les lois de la statique.

Si le nombre r des composantes des ra k , toutes les ractions dappui sont dterla statique ; la poutre, ou la structure compoisostatique.

Si r est plus grand que k, la poutre, ou la poutres, est dite hyperstatique dordre r k

1.3 Premire hypothse fonde la thorie des poutre

1.3.1 Principe de Saint-Venantet ses consquences

Le principe de Saint-Venant (cf. article [A 305] dans le trait Sciences fondamecontrainte en un point loign des points dapde forces ne dpend que de la rsultante grsultant de ce systme de forces.

Considrons une section de centre de gtangente la fibre moyenne, Gy et Gz les de . La section spare la poutre en deux pade et lautre (B ) droite de (figure 2). La pasous laction des forces extrieures qui lui sques et des forces intrieures exerces psection ; ces forces intrieures ont pour dele vecteur contrainte qui sexerce en ce poinobtenons donc le principe dquivalence : le squi sexercent sur considre comme appdroite (B ) est quivalent au systme SA des fques la partie de gauche (A).

Le principe de Saint-Venant permet de supposer que lescontraintes qui sexercent sur la section ne dpendent que de la

rsultante gnrale et du moment rsultant en G des forcesappliques gauche de la section .

La rsultante gnrale et le moment rsultant dfinissentle systme des forces extrieures relatif la section , ou encore

la contrainte gnralise de la section . Notons que, si

dsigne la rsultante gnrale et le moment rsultant en Gdes forces appliques droite de la section , nous avons :

Cette remarque permet souvent un calcul plus rapide du sys-tme des forces extrieures relatif la section .

On peut dcomposer en deux forces, lune normale la

section et lautre contenue dans le plan de ; est leffort

normal et leffort tranchant relatifs la section ; nous dsi-

Figure 2 Contraintes exerces sur une sect

+ 0, + 0= =

N

T N

Tutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction C 2 010 3

ctions dappui est galmines par les lois dese de poutres, est dite

structure compose de.

damentales

Thorie de llasticitntales) snonce : laplication dun systmenrale et du moment

ravit G, et soit Gx laaxes centraux dinertierties, lune (A) gauchertie (B ) est en quilibreont directement appli-ar la partie (A ) sur lansit en un point de

t sur la section . Nousystme des contraintesartenant la partie deorces extrieures appli-

gnerons par N, Ty et Tz les projections de sur les axes Gxyz.

De mme, on peut dcomposer en deux couples, lun

normal la section et lautre contenu dans le plan de ;

est le couple de torsion et le moment flchissant relatifs lasection ; nous dsignerons par C, My et Mz les projections de

sur les axes Gxyz.

En Rsistance des matriaux, il est dusage courant de compterpositivement les contraintes de compression ; en un point m (y, z )de la section , les composantes du vecteur contrainte suivant lesaxes Gxyz sont 1 , 3 et 2 ; le principe dquivalence se traduitpar les relations :

(1)

Quant aux composantes 2 , 3 et 1 du tenseur contrainte, on lesconsidre en gnral comme ngligeables ; cela revient supposerque, sur tout lment plan parallle la fibre moyenne, ne sexercequune contrainte de cisaillement parallle la fibre moyenne.

Supposons la fibre moyenne, dfinie pour , soumise

des forces et des couples concentrs appliqus aux points

Gi , une densit de force et une densit de couple ;

la rsultante gnrale et le moment rsultant relatifs lasection dfinie par labscisse curviligne s de son centre de gravitG ont pour expressions :

(2)

dsignant une sommation relative aux points Gi situs gauche

de G , et g le point courant de la fibre moyenne dabscisse curviligne t.

ion de poutre

C

M C

M

N

1d , C y 2 z 3( )d= =Ty 3d , My 1z d= =Tz 2d , Mz 1y d= =

0 s L

P i ip s( ) s( )

P ig

0

sp t( )dt+=

i P i GiG+( ) 0s

t( ) p t( )+ gG[ ]dt+g=

g


TouteC 2 010 4

1.3.2 Cas particulier des poutres plan moyen charges dans leur plan

Dans ce cas (figure 3), les vecteurs units des axes Gxyz sont

le vecteur tangent la fibre moyenne oriente, le vecteur du

plan moyen, dduit de par une rotation de centre G et dangle

+ /2, et le vecteur normal au plan moyen. Les forceset densit de force appliques la poutre sont contenues dans leplan moyen ; les couples et densit de couple appliqus la poutre

sont normaux au plan moyen. Donc est un vecteur du plan moyen

et est un vecteur normal au plan moyen ; nous poserons :

(3)

Le systme des forces extrieures relatif la section est dfinipar leffort normal N, leffort tranchant T et le moment flchissantM. Un effort normal positif est un effort de compression. Laconvention de signe adopte pour le moment flchissant, dans lecas des poutres plan moyen, a pour but dobtenir des momentsflchissants positifs dans le des charges verticales di

Le systme des forces e

valent une force unique

de la force , dite force ele plan de la section en undplace le long de la fibre

Le principe dquivalenc

Les vecteurs vons la premire par rappo

et remplaons

En tenant compte des fo

dans lesquelles R est le ramoyenne (R est positif danles relations :

Drivons la seconde form

nous trouvons :

soit :

i j

i

k i j =

N i T j , + M k = =

F

N

1 d , T=

et

et p s( )

N i T j +=

d i ds---------

dNds

----------

TR----- p=

dGiGds

-------------

d ds

----------- Pi i g=

Figure 3 Poutre plan moyen charge dans son plan

d ds

----------- i s( )+= reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction

s poutres sur appuis simples soumisesriges vers le bas (forces de pesanteur).

xtrieures relatif la section est qui-

quipollente . La ligne daction

xtrieure relative la section , coupe point K qui dcrit, lorsque la section semoyenne, la ligne des pressions .

e se rduit aux trois relations :

(4)

sont donns par les formules (2). Dri-rt s :

par leurs expressions :

rmules :

yon de courbure algbrique de la fibres le cas de la figure 3), nous obtenons

(5)

ule (2) par rapport s ; puisque :

En remplaant par leurs expressions (3) et en dsi-

gnant par (s) la mesure algbrique du vecteur sur laxe Gz,nous obtenons :

(6)

relation qui se rduit, lorsque la densit de couple (s) est nulle, :

(7)

Il est souvent pratique, pour calculer M, N et T, de passer par

lintermdiaire des composantes X et Y de suivant les axesfixes Oxy ; si dsigne langle (Ox, Gx ), nous avons :

N = X cos + Y sin , T = X sin + Y cos Supposons, par exemple, que les forces appliques la poutre

comprennent : des forces concentres ayant pour projections Qi et Pi sur

les axes Ox et Oy et appliques aux points de coordonnes (xi, yi ) ; une densit de force ayant pour projections q (s) et p (s) sur

les axes Ox et Oy ; des couples concentrs ayant pour projections i sur laxe Oz

normal au plan Oxy ; une densit de couple ayant pour projection (s) sur laxe Oz.Nous trouvons pour valeurs de X, Y et M dans la section dont

le centre de gravit G a pour coordonnes (x, y ) :

(8)

F

3 d , M 1 y d= =

d ds

--------------p s( )=

, p s( ) p1 s( ) i p2 s( ) j +=

j R------- , d j

ds---------

i R-----= =

1 s( ),dTds---------

NR-------+ p2 s( )=

-----

dgGds

------------- i s( )= =

s( ) 0

sp t( ) i s( )dt s( )++

et

s( )

dMds--------- T s( )=

dMds

----------- T=

X Qig

0

sq t( )dt+=

Y Pi 0

sp t( )dt

g=

M Pi x x i( ) Qi y yi( ) i+ +[ ]g=

0 s p t ( ) x ( ) q t ( ) y ( ) t ( ) + + [ ] d t



Dans les formules (8), dsigne une sommation tendue aux

forces et aux couples appliqus gauche de la section : et dsignent les coordonnes dun point courant de la fibre moyennedabscisse curviligne t.

Nous avons compt la projection des forces parallles Oy avecle signe moins pour que, lorsque Oy est la verticale ascendante, lesprojections des forces de pesanteur soient positives.

Des formules (8) dcoulent les proprits suivantes : dans tout intervalle o la poutre ne supporte aucune force, le

moment flchissant M est une fonction linaire de x et de y ; X et Y, et par suite leffort normal N et leffort tranchant T

subissent des discontinuits au droit des points dapplication desforces concentres ;

dans le cas o la poutre ne supporte pas de couples concentrs(i = 0), le moment flchissant M est une fonction continue.

On notera les relations :

Nous laissons au lecteur le soin de retrodrivant la dernire formule (8).

1.3.3 Cas particulier des poutres plan moyen charges norm la fibre moyenne

Soit (figure 4) Ox la fibre moyenne de la prieures comprennent :

des forces concentres Pi dans les sectidensit de force p (x) parallles Oy ; ces forctivement sur laxe Oy oppos Oy ;

des couples concentrs i dans les sectidensit de couple (x) normaux au plan movement sur laxe Oz.

Dans ce cas, nous avons X = N et Y = T ; leque leffort normal est nul, et que leffort trflchissant ont pour valeurs :

Nous dduisons des relations prcdente

et par suite, lorsque (x ) est identiquement nu

1.4 Deuxime hypothse fondamentalede la thorie des poutres

1.4.1 Principe de Navier-Bernoulli gnralis

Lhypothse de Navier-Bernoulli consiste supposer que les sec-tions normales la fibre moyenne restent planes pendant la dfor-mation de la poutre. Cette hypothse, qui permet de calculer lescontraintes normales dues au moment flchissant, est bien vrifiedans le cas de la flexion pure o leffort tranchant est nul. Par contre,dans le cas de la flexion simple avec effort tranchant, les sectionsne restent pas planes, mais se gauchissent en forme dune lettre Strs aplatie. De mme, lorsque nous tudierons la torsion ( 4), nousverrons quune section non circulaire ayant deux axes de symtrieGy et Gz prend, sous leffet dun couple de torsion, un gauchis-sement radial, certains secteurs issus de G sortant en avant du plande la section pendant que dautres sortent en arrire. Il en rsulteque, lorsquune poutre est soumise des efforts tranchants et descouples de torsion, on ne peut plus conserver lhypothse deNavier-Bernoulli ; nous lui substituerons la suivante appele principe

Figure 4 Poutre droite plan moyen charg la fibre moyenne

g

dXds

---------- q s( ), dYds----------

p s ( ) = =

T Pi 0

xp t( )dt

g=

M Pi x xi( ) i+[ ] 0

xp t( ) x ([

g=

dTdx--------- p x ( ) , d M

d

x --------- T x ( ) = =

d2Mdx2------------ p x ( ) =

utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction

C 2 010

5

uver la relation (6) en

droitesalement

outre. Les forces ext-

ons dabscisse

x

i

et une

es sont comptes posi-

ons dabscisse

x

i

et une

yen et compts positi-

s formules (8) montrentanchant et le moment

(9)

s :

(10)

l ou est une constante :

(11)

de Navier-Bernoulli gnralis :

deux sections droites infinimentvoisines

et

de la poutre deviennent, aprs dformation, deuxsections

1

et

infiniment voisines, en gnral gauches ; les

sections

1

et

sont superposables par dplacement

.

Avant dformation, on passe de la section

de centre

G

et dabs-cisse curviligne

s

la section

de centre

G

et dabscisse curviligne

s

+ d

s

par une translation infiniment petite et par une rotation

infiniment petite autour de

G

. Le principe de Navier-Bernoullignralis montre quon passe de la section

1

de centre G1 la

section de centre par une translation infiniment petite

et par une rotation infiniment petite . Les

vecteurs caractrisent la dformation de la poutre auvoisinage de la section ; ils dfinissent donc la dformationgnralise.

Le principe de Navier-Bernoulli gnralis est fond sur lesobservations suivantes :

le gauchissement dune section est toujours trs petitvis--vis des dimensions de la section ;

la variation du gauchissement, lorsquon passe dune section une section infiniment voisine, est toujours trs petite, nonseulement vis--vis des dimensions de la section, mais aussivisI--vis de la distance des deux sections infiniment voisines.

Le principe de Navier-Bernoulli gnralis revient ngliger lesvariations de leffort tranchant et du couple de torsion dans ltudede la dformation dun lment de poutre.

On peut montrer que la variation de longueur pendant la dfor-mation dun lment de fibre compris entre deux sections voisinesest, dans lhypothse du principe de Navier-Bernoulli gnralis, lamme que dans lhypothse de la conservation des sections planes.Il nen rsultera donc aucune modification des formulesclassiques ( 2) donnant les contraintes normales dues au momentflchissant. Par contre, le principe de Navier-Bernoulli gnralispermet de calculer la dformation due leffort tranchant ou aucouple de torsion sans soulever de difficults ni de contradictions.

1.4.2 Formules de Bresse

Calculons le dplacement relatif pendant la dformation de deuxsections non infiniment voisines 0 et , de centres de gravit G0et G, et dabscisses curvilignes s0 et s ; nous pouvons ngliger legauchissement des sections, toujours trs petit devant le dpla-cement relatif, donc supposer que les sections se dplacent commeun solide indformable. Le dplacement relatif de deux sectionsinfiniment voisines de centres de gravit g et g , et dabscisses

e normalement

t ) t( )+ ]dt

x( )

1 1

ds

ds

1 G 1

+( )ds +( )ds et


TouteC 2 010 6

curvilignes t et t + dt (s0 < t < s ), rsultant dune translation

et dune rotation , le dplacement relatif de 0 par rapport rsulte dune translation :

et dune rotation :

Donc, si le dplacement de la section 0 pendant la dformation

rsulte dune translation et dune rotation , le dplacement

de la section rsulte dune translation et dune rotation gales :

(12)

Les formules (12) sont lesplus longuement ( 5) lorsq

nie par les vecteurs

1.5 Validit des hfondamentale

Les deux hypothses fo( 1.3 et 1.4) donnent desconditions suivantes sont m

Les dimensions transvepar rapport sa longueur. faibles, car la poutre devieconsistant ngliger les dforces extrieures relatif une poutre droite, le rapporde la poutre est en gnral plus courantes tant comprcourbes ou arcs, ce rappocompris entre 1/50 et 1/100. la poutre sont parallles, lement la direction des fo

Le rayon de courbure drapport la dimension tranplan osculateur la fibre morayon de courbure doit trsection mesure dans le pla

Lorsque la poutre est de doit tre lente et progressiv

1.6 Problmes popar ltude de

Deux problmes se pose

La recherche du systmsection quelconque : la solorsque la poutre est isostahyperstatique, il sera ncespoutre.

Le calcul des contraintes sexerant sur une section, connaissantle systme des forces extrieures relatif cette section : noussupposerons que le matriau constitutif de la poutre est lastique (lecomportement plastique sera tudi dans larticle consacr laplasticit). La connaissance des contraintes permet le calcul de ladensit dnergie de dformation par unit de longueur de fibremoyenne We (ou densit de potentiel ) et de la dformation dfinie

par les vecteurs ; lnergie de dformation dun lmentde poutre est Weds.

La rsolution complte du premier problme exigeant la connais-sance de la dformation de la poutre, nous tudierons dabord lesecond. Nous conseillons au lecteur de se reporter larticle Thoriede llasticit [A 305] dans le trait Sciences fondamentales, et derevoir notamment les dfinitions de lnergie de dformation W, dumodule dYoung E, du module dlasticit transversale G et du coef-ficient de Poisson .

2. Contraintes et dformation

t( )dt t( )dt

s 0

s t( ) t( ) gG+[ ]dt

s0

s

t( )dt

0 0

0 0 G0G s 0

s gG+( )dt++=

0 s0

s+=

et

et

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Techniques de lIngnieur, trait Construction

formules de Bresse

, que nous tudieronsue nous connatrons la dformation dfi-

( 2).

ypothses s

ndamentales de la thorie des poutres rsultats dautant plus prcis que les

ieux respectes.

rsales dune poutre doivent tre petites

Elles ne doivent cependant pas tre tropndrait trop dformable, et lhypothse

placements pour calculer le systme desune section ne serait plus vrifie. Pourt de la hauteur de la section la longueurcompris entre 1/5 et 1/30, les valeurs lesises entre 1/10 et 1/20. Pour les poutresrt peut tre notablement plus faible, et Par contre, lorsque les forces appliquesla largeur de la section mesure norma-rces peut tre plus leve.

e la fibre moyenne doit tre grand parsversale de la poutre, mesure dans leyenne

. Si la fibre moyenne est plane, sone suprieur cinq fois la hauteur de lan de la fibre moyenne.

section variable,

la variation de la sectione

.

sss poutres

nt dans ltude des poutres.

e des forces extrieures relatif une

lution de ce problme est immdiatetique. Par contre, lorsque la poutre estsaire de connatre la dformation de la

dues leffort normalet au moment flchissant

2.1 Compression ou traction simples

Soit une section

dune poutre de centre de gravit

G

;

Gx

estla tangente la fibre moyenne, et

Gy

et

Gz

sont les axes centrauxdinertie de la section.

Lorsque le systme des forces extrieures relatif

se rduit auseul effort normal

N

, on dit que lon est en

compression simple

si

N

> 0, et en

traction simple

si

N

< 0 ; on dit aussi

compression pure

et

traction pure

.

Considrons (figure

5

) llment de poutre compris entre deuxsections voisines

et

dabscisses curvilignes

s

et

s

+ d

s

. Leprincipe de Navier-Bernoulli gnralis ( 1.4.1) montre quelallongement dune fibre

PP

issue du point

P

(

y

,

z

) de

est une fonc-tion linaire de

y

et de

z

; en vertu des relations entre contrainteset dformations en lasticit linaire (cf. article

Thorie dellasticit

[A 305] dans le trait Sciences fondamentales), lacontrainte normale

1

est galement une fonction linaire :

1

=

a

+

by

+

cz

En reportant la valeur de

1

dans les relations (

principedquivalence

, 1.3) :

nous trouvons, en tenant compte du choix des axes

Gyz

:

S

dsignant l

aire de la section

. La contrainte

1

due leffort normal

N

est donc donne par la formule :

(13)

Tous les lments de fibre

PP

subissent le mme allongement :

dt

1d N, 1yd 0, 1zd 0= = =

a NS------- , b 0, c 0= = =

1NS-------=

1E

--------ds NES---------ds=



Il en rsulte que le vecteur est nul et que le vecteur serduit sa composante suivant Gx, de mesure algbrique :

(14)

Lnergie de dformation dW = Weds de llment de poutre devolume dV = Sds a pour valeur :

la densit dnergie de dformation a donc pour valeur :

(15)

Nous rappelons quil est dusage de compter positivement lescontraintes de compression en Rsistance des matriaux.

2.2 Flexion pure

2.2.1 Thorie lmentaire

Une section dune poutre est soumise le systme des forces extrieures se rduitlun des axes centraux dinertie, Gz par exe

Nous adopterons, pour le moment flchide signe des poutres plan moyen. Les axeau paragraphe 2.1, le principe de Navier-Bernencore que la contrainte normale 1 est une

1 = a + by + cz

En reportant la valeur de 1 dans ledquivalence) :

nous trouvons, en tenant compte du choix

I dsignant le moment dinertie de la sectio

La contrainte 1 due au moment flchissa

Lorsque M est positif, la partie de la sectiGz est comprime, et celle situe au-dessoude la figure 6). Sur Gz la contrainte 1 est nGz est appel axe neutre.

Une fibre PP comprise entre deux sectallongement :

x N

ES--------=

dW1

2

2E--------dV N

2

2ES------------ds= =

WeN 2

2ES------------=

1d 0, 1yd M,= =

a 0, b MI

------- , c= = =

I

y 2d=

1My

I----------=

1E

-------- ds ME

I

--------- y d s =

Figure 5 lment de poutre soumis une compression simple

utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction C 2 010 7

la flexion pure lorsque un couple port parmple (figure 6).ssant M, la conventions tant choisis commeoulli gnralis montre fonction linaire :

s relations (principe

des axes Gyz :

n par rapport Gz :

nt a donc pour valeur :

(16)

on situe au-dessus des de Gz est tendue (casulle ; pour cette raison

ions voisines subit un

Le dplacement relatif de par rapport est donc une rotation

autour de Gz dangle . Il en rsulte que le vecteur est

nul et que le vecteur se rduit sa composante suivant Gz demesure algbrique :

(17)

Lnergie de dformation dW = Weds de llment de poutre apour valeur :

la densit dnergie de dformation a donc pour valeur :

(18)

Remarque : la flexion pure exige que le moment flchissant soit constant, car, sil nentait pas ainsi, il existerait un effort tranchant T = dM/ds.

2.2.2 Influence de la forme de la section droite

Pour transmettre un moment flchissant donn avec une matirepermettant une contrainte de compression ou de traction, ilfaut une section droite ayant pour caractristique gomtriqueI/ |y |max = M / ; la quantit I/ |y |max est le module de rsistance dela section. La meilleure forme est celle qui, pour une aire donneS, assure la valeur maximale du module de rsistance. Ce seraitune erreur de croire quen augmentant la section on augmentencessairement le module de rsistance.

1zd 0=

0

Figure 6 lment de poutre soumis une flexion pure

Par exemple (figure 7), en enlevant une section ayant la formedun losange ou dun cercle les parties hachures, on accrot sonmodule de rsistance si les parties enleves sont assez petites.

MEI---------ds

zMEI--------=

dW ds 12

2E----------d ds M

2

2E I2-------------

y 2 d M

2

2EI------------ds= = =

WeM 2

2EI------------=


TouteC 2 010 8

Pour une hauteur donne h, le module de rsistance seraproportionnel I ; la valeur maximale du rayon de giration tant(1/2) h lorsque toute la matire est reporte la limite extrme dela section, nous pouvons crire :

I = (1/4)Sh2

S dsignant laire de la section ; le coefficient , infrieur lunit,est le rendement gomtrique de la section.

Nota : la meilleure forme est la forme en double t ; les profils lamins par les usinessidrurgiques ont un rendement v

Les rails et les profils en ont

Lanneau circulaire mince est la mun moment flchissant pouvant agirinfrieur 1/2.

Le rectangle a un rendement assefaible : = 1/4. Enfin, celui du losang

2.2.3 tude de la flexau moyen de la

Soit Oxyz trois axes recfibre moyenne Ox et de ssections tant parallles auencastre dans la section xconstant M.

Les contraintes en tout p

En effet, il est facile de vla thorie de llasticit et l(cf. article Thorie de llfondamentales).

Les composantes (u , v , wsont donnes par les quatpositivement les contrainte

Lintgration de ces quatrouve, compte tenu de le

Il est facile de dduire des formules (19) les consquencessuivantes :

aprs dformation, les sections restent planes et normales la fibre moyenne dforme ;

le rayon de courbure r de la fibre moyenne dforme est :

un quadrillage form de droites parallles Gy et Gz tracsur une section devient, aprs dformation, un rseau orthogonalcompos de droites issues du point de coordonnes ( r /, 0) et decercles concentriques (figure 8) ;

lorsque la poutre est de section rectangulaire, la face suprieurede la poutre se transforme, dans la dformation, en un parabolodehyperbolique dont les lignes de niveau sont des hyperboles ; langle2 des asymptotes de ces hyperboles est donn par la formule :

tg2 =

Cette relation a t utilise pour dterminer exprimentalementle coefficient de Poisson ; lorsque la face suprieure est polie etque lon place sur elle une plaque de verre concidant avec cetteface, il se produit, aprs flexion, un vide dpaisseur variable entrela plaque de verre et la surface dforme de la face suprieure.

Figure 7 Exemples de formes de section droite

1My

I--------- , =

1ux--------

MyEI--------- , 2= = =

21wy--------

vz--------+ 0, 22= =

u MEI--------x=

v M2EI----------- x[=

w MEI

-----------y=

r EIM--------=



oisin de 2/ 3.

un rendement

voisin de 3/ 5.

eilleure forme de section dune poutre qui supporte dans toute direction ; son rendement

est lgrement

z faible :

= 1/ 3. Le cercle a un rendement encore plus

e est franchement mauvais :

= 1/6.

ion pure thorie de llasticit

tangulaires. Considrons une poutre de

ection constante, les axes centraux desx axes

Oy

et

Oz

. Supposons cette poutre,

= 0, soumise un moment flchissant

oint de la poutre ont pour valeurs :

rifier que les quations dquilibre dees conditions aux limites sont satisfaites

asticit

[A 305] dans le trait Sciences

) du dplacement dun point de la poutreions (compte tenu de ce que lon comptes de compression) :

tions ne prsente aucune difficult ; onncastrement de la section

x

= 0 :

(19)

Cette paisseur variable peut tre mesure par des procdsoptiques : en dirigeant normalement la plaque un faisceau delumire monochromatique, on obtient des franges hyperboliques,analogues aux anneaux de Newton, qui dessinent les lignes deniveau de la face suprieure de la poutre.

2.3 Flexion dvie

Une section

dune poutre est soumise la

flexion dvie

lorsquelle supporte un moment flchissant qui nest pas dirigsuivant un axe central dinertie de la section (figure

9

) ; nous

dsignerons par

M

y

et

M

z

les projections de sur les axes

Gy

et

Gz

(il nest plus question ici de conserver la convention de signe despoutres plan moyen).

La contrainte normale

1

est encore, en vertu du principe deNavier-Bernoulli gnralis ( 1.4.1), de la forme :

1

=

a

+

by

+

cz

En reportant la valeur de

1

dans les relations (

principedquivalence

) :

nous trouvons, en tenant compte du choix des axes

Gyz

:

I

y

et

I

z

dsignant les moments dinertie de la section par rapportaux axes centraux

Gy

et

Gz

:

La contrainte normale

1

est donc donne par la formule :

(20)

2 3 1 2 3 0= = = = =

vy--------

MyEI

------------ , 3wz--------

MyEI

------------= = =

uz--------

wx--------+ 0, 23

vx--------

uy--------+ 0= = = =

y

2 y 2 z 2( )+ ]

z

M

M

1d 0, 1y d Mz , 1z d My===

a 0, b M

z I z ------- , c

M

y I

y

---------= = =

Iy z 2d, Iz y 2d==

1M yz

Iy------------

Mz yIz

------------=



Laxe neutre, dfini par 1 = 0, a pour qu

La contrainte est proportionnelle la distanneutre nest en gnral pas confondu ave

vecteur . Laxe neutre est le diamtre co

perpendiculaire par rapport lellipsesection :

La ligne daction du moment flchissa

concident donc que lorsque est dirig dinertie.

On peut retrouver la formule (20) en suppures, lune due au moment My et lautre d

La dformation de la poutre est caractris

nul et par un vecteur dont les compos

Les vecteurs nont pas, commla mme direction ; cette remarque justifidvie.

La densit dnergie de dformation We = dW /ds a pour valeur :

soit, compte tenu de la formule (20) :

(22)

2.4 Flexion compose

2.4.1 Calcul des contraintes et de la dformation

Une section dune poutre est soumise la flexion compose

lorsquelle supporte la fois un moment flchissant , decomposantes My et Mz suivant les axes principaux dinertie, et un

effort normal .

Les rsultats obtenus pour la compression simple et la flexion

Figure 8 Dformation dun quadrillage trac sur une section,par flexion pure

Figure 9 Section de poutre soumise la fle

MyzIy

-----------

Mz yIz

------------ 0=

M

M

y2

Iz-------

z 2

Iy-------+

1S------=

M

x 0, y M

y E I y

---------- , z = =

M et

We 12

2E---------d=

We12----- M y

2

EIy----------

M z2

EIz----------+=

M

N


C 2 010

9

ation :

ce laxe neutre. Laxec la ligne daction du

njugu de la direction

centrale dinertie de la

nt et laxe neutre ne

suivant un axe central

erposant deux flexions

ue au moment

M

z

.

e par un vecteur

antes sont :

(21)

e dans la flexion pure,e le nom de flexion

dvie montrent immdiatement que la contrainte

1

a pourvaleur :

(23)

Les seules composantes non nulles des vecteurs sont :

(24)

Enfin, la densit dnergie de dformation a pour valeur :

(25)

Laxe neutre, dfini par

1

= 0, a pour quation :

La contrainte

1

est donc proportionnelle la distance laxeneutre, qui ne passe pas par le centre de gravit.

Le systme des forces extrieures relatif la section est quivalent une force unique de grandeur

N

normale la section ; cette forcecoupe le plan de la section au point

K

de coordonnes :

Les vecteurs sont orthogonaux. Le point

K

est appel

point de passage de la force extrieure

.

Il existe une relation simple entre le point K et laxe neutre : lapolaire du point

K

par rapport lellipse centrale dinertie :

et laxe neutre sont symtriques par rapport au centre de gravit dela section. On dit que laxe neutre est l

antipolaire

du point depassage par rapport lellipse centrale dinertie. Rciproquement,le point de passage est l

antiple

(cest--dire le symtrique du plepar rapport

G

) de laxe neutre par rapport lellipse centraledinertie.

xion dvie

M

z E I z

----------=

1NS-----

MyIy

----------zMzIz

---------y+=

et

x NES

--------- , y M

y E

I y

---------- , z M

z

E I z

---------= = =

We12-----N 2ES--------

M y2

EIy----------

M z2

EIz----------+ +=

NS-----

MyIy

----------zMzIz

---------y+ 0=

yK M

z N --------- , z K

M

y

N

----------= =

GK et M

y 2

Iz--------

z 2

Iy-------+

1S------=


TouteC 2 010 10

2.4.2 Noyau central. Rsistance des maonneries

Certains matriaux (maonneries, bton non arm) ne peuventsupporter en toute scurit que des contraintes normales decompression. Il est donc intressant de dterminer dans quelle partiede la section doit se trouver le point de passage K de la force ext-rieure, qui est ncessairement une force de compression (N > 0),pour que la section soit entirement comprime. Cette partie de lasection est le noyau central.

Pour cela, il faut et il suffit que laxe neutre ne coupe pas la section.Cette condition dfinit la courbe qui limite le noyau central. La rela-tion entre le point de passage et laxe neutre montre que le contourlimite du noyau central est symtrique, par rapport au centre degravit de la section, de la polaire rciproque, par rapport lellipsecentrale dinertie, de lenveloppe des tangentes au contour de lasection qui ne recoupent pas la section. Cette rgle permet de trouverrapidement le noyau central de quelques sections.

2.5 Flexion des p forte courb

2.5.1 Flexion pure

Les hypothses fondamdonnent, dans ce cas, quRsal [8] a apport la thdonnent des rsultats trs

Considrons (figure 11)deux sections infiniment vocet lment peut tre assidangle au centre d ; R escas de la figure.

La flexion tant pure, normales la fibre moyenla section , la section vi est dfini par la variatraccourcissement a ds de lvariation de courbure de la

Une fibre PP situe la rayon de courbure initial R

elle subit un raccourciss

contrainte normale

1

a do

La rpartition des contraplus linaire, mais suit une

Pour dterminer les inconnues

a

et 1/

r

, crivons que lon a :

Exemple : Le noyau central dune section rectangulaire de cts b et h

(figure 10a ) est un losange de diagonales b /3 et h /3. Le noyau central dune section circulaire pleine de rayon R est un

cercle concentrique de rayon R /4. Le noyau central dun

est un cercle concentrique Le noyau central du

hauteur h et de rendement

diagonales 4r z2h h et=

ry Iy S et rz Iz S= =

Figure 10 Noyaux centraux dune section rectangulaireet dune section en double t



outres plan moyenure

entales de la thorie des poutres neune approximation grossire. Henriorie de la flexion des corrections quiprcis.

un lment de poutre compris entreisines

et

. La fibre moyenne

GG

demile un arc de cercle de rayon

R

et

t un nombre algbrique, positif dans le

les sections droites restent planes etne dforme. Si lon fixe la position de

ent en ; le dplacement de la section

ion

d

= d

s

/

r

de langle d

et par le

a fibre moyenne de llment ; 1/

r

est la fibre moyenne.

distance

y

de la fibre moyenne, donc de

y, a une longueur initiale (1 y /R)ds ;ement a ds + y d = (a + y /r )ds ; lanc pour valeur :

(26)

intes sur la hauteur de la section nest loi hyperbolique.

(27)

soit, en dsignant par b (y ) la largeur de la section lordonne y :

(28)

les intgrales tant calcules sur toute la hauteur de la section.

Si lon substitue la section relle une section fictive (figure 12)dfinie par :

(29)

les quations (28) sont identiques, pour cette section fictive, cellesque lon obtiendrait en supposant la poutre rectiligne. Donc, pourcalculer les contraintes dues la flexion dans la section relle, onapplique les rgles habituelles de la flexion la section fictive dfiniepar lquation (29), puis on multiplie les contraintes ainsi obtenues

par le facteur correctif .

Laxe neutre ne se trouve pas au niveau du centre de gravit dela section relle, mais au niveau du centre de gravit de la sectionfictive ; laxe neutre est dplac vers le centre de courbure de lapoutre ; sa distance au centre de gravit de la section relle este = ar.

Si lon dsigne par S1 laire de la section fictive, par m et J lemoment statique et le moment dinertie de la section fictive parrapport Gz, les quations (28) scrivent :

Nous en dduisons, I1 = J S1e2 dsignant le moment dinertie

de la section fictive par rapport laxe neutre :

(30)

e section annulaire mince (tube) de rayon Rde rayon R /2.ne section en double t (figure 10b ), degomtrique ( 2.2.2), est un losange de

(ry et rz sont les rayons de giration :

).

4r y2b

1

1 Ea y

r-----+

1 yR------

----------------=

1d 0, 1y d M= =

E a y/r+1 y/R--------------------b y( )dy 0, E a y/r+1 y/R--------------------b y( )ydy M= =

b y( ) b y( )1

yR------

-----------------=

1/1 yR-----

aS1mr

-------+ 0, E am Jr------+ M= =

e ar mS

1

-------- , 1 r

----- ME

I

1

--------= = =



La formule (26) donnant la contrainte peut donc scrire :

(31)

Il est remarquable que lon puisse exprimer simplement e et I1 ,connaissant laire S1 de la section fictive :

et laire S de la section relle. Un calcul simple montre que :

(32)

Les relations (32) permettent de donner la formule (31) uneforme trs simple. Si lon dsigne par v = y e la distance laxeneutre et par = R y le rayon de courbure de la fibre considre,la formule (31) peut scrire :

(33)

Les seules composantes non nulles des vecteurs sont :

2.5.2 Application quelques sections

Il suffit, pour pouvoir appliquer les formules donnes auparagraphe 2.5.1, de calculer les aires S et S1 de la section relleet de la section fictive, e et I1 tant dtermins par les formules (32).

2.5.2.1 Section rectangulaire de largeur b et de hauteur h

Nous avons (figure 13) :

Dans le cas dun barreau rectangulaire troit, nous pouvonscomparer les rsultats donns par la thorie de H. Rsal [8] et lesrsultats donns par la thorie de llasticit (cf. article spcialisdans le trait Sciences fondamentales).

Le tableau 1 donne, pour quelques valeurs du rapport :

Figure 11 Flexion dune poutre plan moye

Figure 12 Section fictive dune poutre soum

1

Er---- y e( )

1yR------

-----------------------

M y e( )I1

------------------------

1

1yR-----

---------------= =

S1 d1 y/R---------------------=

eR------ 1 S

S1------ , I1 SRe= =

1MvSe-----------=

et

x aer----- , z

1r-----

MEI1--------= = = =

S bh, S1 bR R 1/2( )h+R 1/2( )h------------------------------ln= =


C 2 010

11

[

R

+ (1/2)

h

] / [

R

(1/2)

h

]

des rayons des fibres extrmes, les contraintes sur les fibresextrmes (les contraintes seraient 10 si la poutre tait droite).

Ce tableau montre que la thorie de Rsal, fonde sur lhypo-thse dune rpartition hyperbolique des contraintes, fournit uneexcellente approximation, surtout en ce qui concerne la contraintemaximale qui se produit sur la fibre dont le rayon de courbure estminimal. (0)

n forte courbure

ise la flexion pure

Tableau 1 Contraintes sur les fibres extrmesdune poutre en flexion pure

Thorie de Rsal Thorie de llasticit

intrados extrados intrados extrados

1,3 10,95 9,19 10,96 9,202 12,87 8,10 12,92 8,193 15,23 7,30 15,28 7,53

Figure 13 Section rectangulaire de largeur b et de hauteur h

R 1/2( )h+R 1/2( )h------------------------------


TouteC 2 010 12

2.5.2.2 Section en double t

Avec les notations de la figure 14, nous trouvons :

2.5.2.3 Section circulaire ou elliptique

Soit h la hauteur de la section, b sa largeur et R le rayon de cour-bure de la fibre moyenne (figure 15), nous trouvons :

2.5.3 Flexion compose

La contrainte normale est donne par la formule (26) dans laquellea et 1/r sont dtermins par les quations :

soit, en conservant les notations dfinies au paragraphe 2.5.1 :

En tenant compte des relations :

m = eS1 , J = I1 + S1e2

et des relations (32), nous trouvons sans difficult :

(34)

Les formules (34) font connatre la dformation de la poutre ; enreportant les valeurs de a et de 1/r dans la formule (26), nousobtenons la valeur de la contrainte :

(35)

3. Contraintes et dformation dues leffort tranchant

3.1 Gnralits

3.1.1 Problme du calcul des contraintesde cisaillement

Considrons une section de centre de gravit G ; dsignonstoujours par Gx la tangente la fibre moyenne, et par Gy et Gz lesaxes centraux dinertie de la section . Nous devons dterminer, en

Figure 14 Section en dou

Figure 15 Section elliptiq

S1 R b1 R2R1-------- b2R3R2------- b3

R4R3-------ln+ln+ln=

S b1h1 b2h2 b3h3+ +=

S 1/4( )bh=S1 1/2( )bh 2Rh-------

21 1 h2R-------2 =

1d N, 1y d M= =

E aS1 mr-------+

Ea NS------

MeI1

---------- ,EI1r

---------- M Ne= =

1NS------

M y e( )I1

-----------------------

11 y/R( )------------------------+= reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction

fonction de leffort tranchant de composantes Ty et Tz , lescomposantes 3 et 2 suivant Gy et Gz de la contrainte de cisail-lement qui sexerce sur la section. Ces composantes 3 et 2doivent vrifier les relations (principe dquivalence) :

(36)

En outre, si lon dsigne par n la composante de la contrainte decisaillement normale au point P une courbe trace dans la section,il sexerce, sur llment plan normal la section et passant par latangente Pt la courbe, une contrainte de cisaillement dont lacomposante normale la section est n (thorme de Cauchy, cf.article Dformations et contraintes dans un milieu continu [A 303]dans le trait Sciences fondamentales). Puisquaucune force longi-tudinale nest applique sur la surface latrale de la poutre, lacomposante normale au contour de la contrainte de cisaillement doittre nulle ; donc en un point du contour, la contrainte de cisaillementest tangente au contour ou est nulle. Si (dy, dz) sont les composantesdun lment du contour de la section, nous devons avoir sur lecontour :

3dz 2dy = 0 (37)ble t

ue

N, E am Jr------+ M= =

Remarque : leffort tranchant est toujours accompagn

dun moment flchissant . En effet, en supposant le couple

de torsion nul, nous avons dansles formules (3) ; nous en dduisons la relation :

qui se rduit, dans le cas des poutres plan moyen, larelation (7) :

T

3 d Ty , 2 d Tz , 2y 3z( )d 0= = =

T

M

C M et T N i += =

d Mds

------------ i T i = =

T dMds

-----------=



Selon le principe de Navier-Bernoulli gnralis ( 1.4.1), lescontraintes normales et la dformation dues au moment flchissantne sont pas modifies par le gauchissement d leffort tranchant.

La flexion avec effort tranchant est appele flexion simple.

3.1.2 Centre de torsion

Lorsque le centre de gravit G dune section nest pas centre desymtrie de la section, la rsultante des forces lastiques dues auxcontraintes de cisaillement produites par leffort tranchant est uneforce unique quipollente leffort tranchant, mais cette force nepasse en gnral pas par G ; autrement dit, seules les deux premiresrelations (36) sont vrifies. Lorsquon fait varier la direction deleffort tranchant, la force unique rsultante des forces lastiquespasse par un point fixe O appel centre de torsion de la section.

Lintrt du centre de torsion est le suivant : si les charges appli-ques la poutre ne passent pas par le centre de torsion, la flexionde la poutre saccompagne dune torsion. Dans le cas des sectionsouvertes composes de profils minces, les contraintes de cisail-lement dues la torsion peuvent devenir prpondrantes, surtoutlorsque les sections sont libres de se gauchir.

Considrons une poutre droite de sectionlune de ses extrmits et libre lautre. Aplibre une force transversale F = 1 au point A dla section terminale tourne dun angle ausection. Appliquons un couple = 1 normal le point A se dplace transversalement de force F. Le thorme de rciprocit de MaThorie de llasticit [A 305] dans le trait Scmontre que = . Si le point A est confondu aO, est nul ; il en est donc de mme de . Apoutre droite sollicite la torsion tournenttudinal, lieu des centres de torsion des sect

Soit Iyz des axes lis la section terminaun couple = 1, une force Y = 1 ou une forcsection terminale, le dplacement de la sectpar la rotation et par la translation de compo

Si lon applique une force de composantecoordonnes et de la section terminale, la sune rotation :

= (Z Y )1 + Y 2 + ZLe point O sera le centre de torsion si es

Y et Z ; les coordonnes du centre de torsio

ou, puisquen vertu du thorme de rcipro

3.1.3 Formule fondamentale pourdes contraintes de cisaillem

Considrons une section soumise leffortAB un arc de courbe, appel coupure, qui parparties 0 et 1 (figure 16).

crivons lquilibre des forces appliques au prisme de base 1compris entre deux sections voisines et dabscisses curviligness et s + ds.

Sur la base du prisme situe dans la section est applique laforce totale, parallle Gx :

= 1 1 v1Y = 1 2 v2Z = 1 3 v3

3 1 ------- 2 1 -------

= =

w 1 1

------- v 1

1

-------= =

Figure 16 Section soumise un effort tranchant, avec coupure

1

1dutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction C 2 010 13

constante, encastre pliquons lextrmite la section terminale ;

tour de la normale la la section terminale ; dans la direction de laxwell-Betti (cf. articleiences fondamentales)vec le centre de torsioninsi, les sections dune autour dun axe longi-ions.

le. Lorsquon appliquee Z = 1 au point I de laion terminale est dfinisantes v et w du point I :

(0)

s Y et Z au point O deection terminale subira

3t nul, quels que soientn sont donc :

cit 2 = v1 et 3 = w1 :

le calculent

tranchant Ty = T et soittage la section en deux

1 dsignant la contrainte normale due au moment flchissant.

Sur la base du prisme situe dans la section est applique laforce totale, parallle Gx :

Sur la surface latrale du prisme ayant pour directrice la coupureAB est applique la force totale, parallle Gx :

dsignant llment darc de la coupure et n la composante dela contrainte de cisaillement normale la coupure.

Aucune force parallle Gx ntant applique la surface latralede la poutre, lquation dquilibre scrit :

En tenant compte des relations :

nous obtenons la formule fondamentale :

(38)

dans laquelle I est le moment dinertie de la section totale par rapport Gz et m le moment statique de laire de 1 par rapport Gz :

Si L dsigne la longueur de la coupure AB, la valeur moyenne dela composante de la contrainte de cisaillement normale la courbeAB est :

w1w2w3

1 1 d1+( )d

dsAB

nd

d

AB

nd 1d1ds

------------d=

1My

I--------- ,

d1ds

----------

yI----

dMds

-----------

TyI

-------= = =

AB

ndTm

I---------=

m 1

yd=

n( )moyenTmIL

---------=


TouteC 2 010 14

3.2 Thorie lmentaire(poutres plan moyen)

3.2.1 Calcul de la contrainte de cisaillement. Exemples

La thorie lmentaire consiste supposer la composante 2 ngli-geable et la composante 3 , parallle leffort tranchant, constantesur toute parallle AB Gz (figure 17). Donc, en dsignant par mle moment statique de laire hachure et par b la largeur de la sectionsuivant AB, la formule fondamentale (38) donne :

(39)

La contrainte 3 varie avec lordonne y comme le rapport m /b ;3 est nul aux points les plus loigns de Gz et passe par un maxi-mum pour lordonne correspondant au maximum de m /b. Cemaximum a lieu en gnral sur Gz pour les sections usuelles, maisce nest pas vrai pour toutes les sections (losange).

Sur laxe Gz, la contraidsignant le moment statiq

Le rapport I /m1 a alors de compression sur laire y

donc I/m1 = M /F est gal ala force F et la force totaledonc :

Examinons quelques sec

3.2.1.1 Section rectangu

Nous avons dans ce cas

I = (2/3)bh3

donc :

ou, en introduisant laire S

La rpartition de la contrainte de cisaillement sur la hauteur dela section suit une loi parabolique ; la contrainte maximale estgale (3/2) fois la contrainte moyenne.

3.2.1.2 Section circulaire de rayon R

Nous avons dans ce cas (figure 19

) :

et nous trouvons pour valeur de la contrainte de cisaillement :

La rpartition de la contrainte de cisaillement sur la hauteur dela section suit encore une loi parabolique ; la contrainte maximaleest gale (4/3) fois la contrainte moyenne.

On obtiendrait un rsultat identique pour une section elliptiquedaxes

Gy

et

Gz

.

Figure 17 Calcul de la con

3TmIb

----------=

F y 0>

1d=

3

3 =

b 2 R 2 y 2 , S R2 , I 1/4( ) R 4, m 2/3( ) R 2 y2( )3/ 2= = = =

3 4/3( ) TS------1 y2

R 2-------=



nte de cisaillement a pour valeur,

m

1

ue de laire

y

> 0 :

une signification simple ; la force totale

> 0 a pour valeur :

u bras de levier

Z

du couple form par

de traction sur laire

y

< 0. Nous avons

tions particulires.

laire de hauteur 2

h

et de largeur

b

(figure

18

) :

,

m

= (1/2)

b

(

h

2

y

2

)

= 2

bh

de la section :

3.2.1.3 Section en losange de hauteur 2het de largeur maximale b

Nous avons dans ce cas (figure 20) :

S = bh, I = (1/6)bh3

et, en nous bornant, en raison de la symtrie, y > 0 :

Nous trouvons pour valeur de la contrainte de cisaillement :

Sur Gz, la contrainte de cisaillement est gale la contraintemoyenne T /S ; elle est maximale et gale (9/8) (T /S ) pour y = (1/4)h.

trainte de cisaillement

3( )0Tm1Ib

------------=

MI

-------y 0> yd Mm1I--------------= =

3( )0T

Zb---------=

3T h 2 y 2( )4bh3

---------------------------------=

3/2( ) TS------1y 2

h 2-------- Figure 18 Section rectangulaire de hauteur 2h et de largeur b

Figure 19 Section circulaire de rayon R

b y( ) b1 yh----- =m 1/6( )b1 yh---- h2 hy 2y 2+( )=

3TS-----1 yh----- 2

y 2

h 2--------+=



3.2.2 Dformation due leffort tranchant. Exemples

La contrainte de cisaillement 3 ntant pas constante, la distorsiongale la variation de langle initialement droit, form par une fibreet la direction de leffort tranchant, nest pas constante ; la sectionne peut donc rester plane.

Considrons (figure 21) un lment de poutre de longueur dscompris entre deux sections voisines et . Pour calculer le dpla-cement relatif y ds de par rapport , nous utilisons le tho-rme de Castigliano (cf. article Thorie de llasticit [A 305] dansle trait Sciences fondamentales) ; soit Weds lnergie de dforma-tion de llment de poutre due la contrainte de cisaillement 3 ;nous avons, compte tenu du signe de T :

Lexpression de la densit dnergie de dformation We est, 3tant donn par la formule (39) et G tant le module dlasticittransversale :

soit :

S1 dsignant la section relative la dformapuisque d = bdy, la section rduite S1 est

lintgrale simple tant tendue toute la h

Le vecteur a donc pour seule compos

3.2.3 Poutres dont la section est Exemples

La poutre tant plan moyen, la section symtrie. Lpaisseur du profil constituant nous pouvons admettre que la contrainteparallle la tangente la ligne moyenne est uniformment rpartie sur lpaisseur d

Dans le cas dune section simplement conntelle quune section en double t, nous efnormale . Si e dsigne lpaisseur d

Exemple : la formule (41) permet de calcude la section rectangulaire reprsente sur l

S1 = (5/6)S

de la section circulaire reprsente sur la fig

S1 = (9/10)S

et de la section en losange reprsente sur l

S1 = (30/31)S

yWeT--------------=

We1

2G---------

3

2d T2

2GI2------------- 2= =

WeT 2

2GS1---------------=

1S1------

1I2---- m2b2--------- d 1I2----m--= =

y T

GS

1

------------=

( )

Figure 20 Section en losange de hauteur 2

h

et de largeur maximale

b

utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction C 2 010 15

(40)

tion deffort tranchant ;dfinie par :

(41)

auteur de la section.

ante non nulle :

(42)

un profil mince.

admet Gy pour axe dela section tant mince, de cisaillement est

du profil et quelleu profil.

exe, ou section ouverte,fectuons une coupureu profil, m le moment

statique de la partie de la section limite par la coupure par rapport Gz et le moment dinertie de la section totale par rapport Gz,nous trouvons, en appliquant la formule fondamentale (38) :

(43)

Dans le cas dune section doublement connexe, telle quun tubemince, la contrainte est nulle sur Gy par raison de symtrie ; laformule (43) est encore exacte, en dsignant par m le momentstatique de la partie de la section comprise entre Gy et la coupurenormale.

La densit dnergie de dformation We due a pour valeur,puisque , en dsignant par llment darc de laligne moyenne :

Les formules (40) et (42) sont donc encore exactes, conditionde dfinir la section rduite S1 par la formule :

(44)

Examinons quelques sections particulires.

3.2.3.1 Tube circulaire mince dpaisseur constante eet de rayon R

La section S et le moment dinertie I ont pour valeur, ensupposant e petit devant R (figure 22) :

S = 2Re, I = R 3e

Le moment statique m de laire hachure est :

m = eR2cos (y = R sin )

ler les sections rduitesa figure 18 :

ure 19 :

a figure 20 :

mb2--------d

2

b------dy

( )

Figure 21 lment de poutre en dformationdue un effort tranchant

TmIe

---------=

d ed= d( )

We1

2G--------

2d T

2

2GI2-------------- m2e2---------d T

2

2GI2-------------

( )m2

e---------d= = =

1S1------

1I2------

( )m2

e--------d=


TouteC 2 010 16

La contrainte de cisaillement a pour valeur :

La contrainte de cisaillement maximale est deux fois la contraintemoyenne.

La formule (44) donne pour valeur de la section rduite :

S1 = Re = (1/2)S

3.2.3.2 Section en double t

Nous supposons que e et e sont petits devant h et b. Nousdsignons par s la section de lme, par s la section dune membrureet par le rapport s /s . Nous avons (figure 23) :

s = 2(h e)e 2he, s = 2be

I = (4/3)bh 3 (2/3)(2b e )(h e)3 (1/3)h2(s + 6s )

Au point de lme de cote y, la contrainte de cisaillement estparallle Gy et a pour va

Il est facile de voir que let y = h (1/2) e sont donn

Lorsque le rapport escontrainte 3 est constante

En un point des membrcisaillement est parallle

Cette contrainte varie linla membrure, sa valeur jonction de la membrure e

On trouve que la section

avec

Pratiquement, S1 est toconfondue avec s.

3.3 Poutres dontmince ouvert

3.3.1 Contrainte de c

La section de la poutre

mince

AB ouvert

, donc sp

coupure. Elle supporte un

et

T

z

suivant les axes cent

la ligne moyenne du pzro en

A

L

en

B

.

La section est dfinie pa

y

et

z

dun point

P

de la li

en

P

.

En un point de la section, la contrainte de cisaillement

estparallle la tangente et ne dpend que de . La formulefondamentale (38) conduit la valeur :

(45)

Dans la formule (45),

I

z

et

I

y

dsignent les moments dinertie dela section par rapport aux axes

Gz

et Gy :

dsignent les moments statiques de la partie PB dela section par rapport aux axes Gz et Gy :

Nous dsignerons par le flux e de la contrainte de cisaillement :

2 TS----- cos=

3TIe----- 2b e( ) h[{=

3( )0 Ts----- 1 1(+1 1(+---------------=

2T

Ie-------=

1S---

S 1 s,

( )

( )

( ) 1e------ mz ( )Iz-------------------Tymy ( )

Iy-------------------Tz+=

Iz 0L

y 2ed, Iy 0L

z 2ed= =

mz ( ) et my ( )

mz ( )

Ly t( )e t( )dt, my ( )

Lz t( )e t( )dt= =



leur :

es valeurs de

3

pour

y

= 0

es approximativement par les formules :

t petit, on peut donc admettre que la

sur lme et gale

T

/

s

.

ures de coordonne

z

, la contrainte de

Gz

et a pour valeur (on suppose

z

> 0) :

airement de la valeur zro, au bord demaximale gale , lat de lme.

rduite est dfinie par :

ujours trs voisine de

s

et peut tre

la section est un profil

isaillement

(figure 24) est constitue par un profilar en deux parties distinctes par toute

effort tranchant de composantes Tyraux dinertie Gy et Gz. Nous orientons

rofil ; son abscisse curviligne varie de

r trois fonctions de : les coordonnesgne moyenne et lpaisseur e du profil

(46)1/2( )e ]e 1/2( )e h2 y2( )+ }

3( )0 et 3( )1

/4)/6)-------------- , 3( )1 Ts----- 11 1/6( )+-----------------------------=

b z( )e h 1/2( )e [ ]

1/2( ) e/e ( ) 3( )1

1---

1S 1---------

1S 1

----------+=

S1 6s h 2

b2-------- 1 1/3( )+[ ]

T

Figure 22 Tube circulaire mince dpaisseur constante eet de rayon R

Figure 23 Section en double t (profil mince)

Figure 24 Profil mince ouvert

( ) e

L

TyIz--------y t( )TzIy

-------z t( )e t( )dt+= =



3.3.2 Centre de torsion. Exemples

Il est ais de montrer que la rsultante des forces lastiques

est quipollente leffort tranchant .

Soit I un point quelconque de la section, de coordonnes yI et zI ;nous dsignerons par le double de laire du secteur API ; si hest la distance de I la tangente en P :

Le moment des forces lastiques par rapport I a pour valeur :

En intgrant par parties, nous trouvons, tant nul pour et pour :

soit, en remplaant d par sa valeur dduite de la formule (46) :

Or, si et sont les coordonnes du cenavons, daprs ce qui a t dit au paragraph

CI = ( yI)Tz ( zI)TLa comparaison des deux relations prc

formules qui permettent de calculer les cootorsion :

En particulier, si nous plaons le point I a

mais les formules (47) sont plus pratiques paun point I pour lequel lexpression de e

Enfin, en plaant le point I au centre de tles relations suivantes, qui caractrisent le c

Exemples : un profil en de hauteur 2h, de largeu

et dpaisseur de membrane e, a pour centde Gz (figure 25) dfini par :

dsignant le rapport de la section de lmembrure ;

le centre de torsion dun profil circulaire det douverture 2 (figure 26) est le point O d

Pour = (tube fendu suivant une gnratPour = /2 (demi-cercle) : .

e d d= T

I( )

I ( ) 0

hd=

CI 0

Lh e d

0

LdI= =

( ) 0= L=

CI 0

LId=

CITyIz

--------0

LIyed

TzIy-------

0

L+=

yI1Iy------

0

LIzed, zI = =

1Iy------

0

LGzed, 1Iz-----= =

I

0

L

o zed 0, 0Loye=

OIb 2h2 e

Iz--------------------- 1/2( )b

1 +--------=

OI 2Rsin cos

cossin----------------------------------------=

OI 4/( )R=

Figure 25 Profil en : centre de torsionutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction C 2 010 17

tre de torsion O, nouse 3.1.2 :

y

dentes nous donne lesrdonnes du centre de

(47)

u centre de gravit G :

rce quil existe souventst simple.

orsion, nous obtenonsentre de torsion :

3.3.3 Dformation due leffort tranchant

La densit dnergie de dformation We dun lment de poutrea pour valeur :

Le thorme de Castigliano (cf. article Thorie de llasticit[A 305] dans le trait Sciences fondamentales) donne les compo-

santes y et z du vecteur qui dfinit la dformation due leffort tranchant :

Nous trouvons ainsi :

Ces relations montrent que les vecteurs nont pas la

mme direction, mme si est parallle lun des axes centrauxdinertie ; il existe toutefois deux directions rectangulaires pour

lesquelles les vecteurs sont parallles.

Remarque : il est ais dtendre les rsultats prcdents au casdune section ouverte comportant plusieurs branches (sections en You en H, pont poutres multiples sous chausse). Il suffit dorienterla ligne moyenne plusieurs branches en choisissant une ou

plusieurs extrmits libres comme origine. Tout point P de

divise en deux parties, lune situe lamont de P et

lautre situe laval de P. Les formules donnes dans ceparagraphe 3.3 sont encore exactes, condition de remplacer

.

r b, dpaisseur dme ere de torsion le point O

me la section dune

e rayon R, dpaisseur ee Gz dfini par :

rice) : .

Ized

1Iz-----

0

LIyed

0

LGyed

d 0=

11/6( )--------------------

----

OI 2R=

Figure 26 Profil circulaire : centre de torsion

We1

2G----------

0

L2ed 1

2G----------

0

L 2e

---------d= =

yWeTy

-------------- , zWeTz

--------------= =

yTy

GIz2

-----------0

Lmz

2 de

--------

TzGIy Iz---------------

0

Lmymz

de

--------=

zTy

GIy Iz---------------

0

L

mymzde

--------

Tz

GIy2

-----------0

L

my2 d

e--------=

T et

T

T et

( )( )

( ) ( ) ( )

0

L ,

0

et

L respectivement par

( ) , ( ) et ( )


TouteC 2 010 18

3.4 tude de la flexion simpledduite de la thorie de llasticit

3.4.1 Lignes de cisaillement

La contrainte de cisaillement nest en gnral pas parallle Oy,ni indpendante de z, comme le suppose la thorie lmentaire( 3.2). Les lignes de cisaillement (figure 27) sont des courbestangentes en tout point la direction de la contrainte de cisaillement.Leur connaissance permet de calculer en tout point la valeur de lacontrainte de cisaillement : il suffit dcrire lquilibre dun prismeayant pour base laire hachure comprise entre deux lignes decisaillement voisine et un arc ab = e de trajectoire orthogonale ; sim dsigne le moment statique de laire hachure, on a :

On peut en dduire la section rduite relative la dformationdeffort tranchant :

Il nest en gnral pas pde cisaillement, mais on pevement en remarquant quelles ce dernier, sauf danssannule sur le contour, zolement sont normales au c

3.4.2 Solution de Sa(poutres plan

Considrons une poutreOx et de section constanteporte une charge P lextdont les axes centraux dindonc soumises au mme emin les contraintes 3 et donn par :

Les quations dquilibrcompte tenu de la valeur d

Les deux dernires quatpas de x ; la premire est v

(y, z ) tant une fonction dune fonction de z que nou

Les conditions dintgraarticle Thorie de llasticimentales), se rduisent :

dsignant le laplacien (par leurs expressions (48),

Il en rsulte que est une intgrale de lquation aux drivespartielles :

(49)

En effet, on peut montrer, la poutre ntant pas soumise latorsion, que la constante dintgration est nulle.

TmIe

---------=

1S1--------

1I2------- m2e2---------d=

1 =

3y----------

2z----------+ =

3z--------- -=

2 0=

y-------- ( ) 0,=

Figure 27 Lignes de cisaillement

1 +------------ T I ------z dfdz---------= reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction

ossible de tracer exactement les lignesut souvent les dterminer approximati-

les lignes voisines du contour sont paral- les zones o la contrainte de cisaillementnes dans lesquelles les lignes de cisail-ontour.

int-Venant moyen)

droite plan moyen de fibre moyenne. Cette poutre encastre pour x = 0 sup-rmit libre ; toutes les sections,ertie sont parallles Ox et Oy, sontffort tranchant T. Saint-Venant a dter-2 , en supposant 2 , 3 et 1 nuls, et 1

e de la thorie de llasticit scrivent,e 1 :

ions montrent que 3 et 2 ne dpendentrifie si lon pose :

(48)

e contrainte quil faut dterminer et f (z )s choisirons ultrieurement.

bilit, dites quations de Beltrami (cf.t [A 305] dans le trait Sciences fonda-

2/y2) + (2/z 2) ; en remplaant 2 et 3nous trouvons :

Sur le contour, la condition (37) devient, compte tenu desvaleurs (48) :

(50)

Sur le contour, y est une fonction de z ; nous pouvons donc choisirf (z) = (Ty 2)/(2I) de faon que , dfini une constante additive prs,soit nul sur le contour. Donc, f (z) tant ainsi choisi, la fonction estlintgrale de lquation (49) qui sannule sur le contour de la section.

Remarque : on peut aussi choisir la fonction :

de faon que lquation (49) se rduise = 0. Lquation (50) per-met de calculer les valeurs de le long du contour. Donc est unefonction harmonique qui prend des valeurs donnes le long ducontour. Cette proprit a t utilise pour dterminer exprimenta-lement la fonction ; si lon porte normalement la section lesvaleurs connues de le long du contour, on obtient une courbe gau-che ferme ; en tout point (y, z ) de la section, lordonne dunemembrane (film de savon) uniformment tendue, limite par cettecourbe gauche, est gale (y, z) ( 4.3.1).

3.4.3 Exemples de la solution de Saint-Venant

3.4.3.1 Section elliptique

Soit :

lquation du contour de la section. En prenant :

lintgrale de lquation (49) qui sannule sur le contour est :

Les relations (48) donnent les composantes de la contrainte :

x =

MyI

--------- T

I

--- x ( ) y =

T I --- y ,

3 x ---------- 0,

2 x ---------- 0 = =

T2I------y2 f z( ), 2+

y ---------=

, 31

1 +------------ T I ------=

z-------- ( )

1 +------------ T I ------ d

2fdz2-----------=

d 12----- T I ------y 2 f z( )dz=

f z( ) 1 +------------

T z 2

2I------------ =

y

2

a 2 --------

z

2 b 2

------- 1 + 0 =

f z( ) T2I---------a2 a

2

b 2-------- z 2=

1 +( )a2 b 2+

2 1 +( ) 3a2 b2+( )-----------------------------------------------------TI

------y2

a2------

z 2

b2------- 1a2 z+=

32 1 +( )a2 b2+

2 1 +( ) 3a2 b 2+( )-----------------------------------------------------TI

------ a 2 y 2 1 2( )a2

2 1 +( )a2 b 2+------------------------------------------z2=

21 +( )a2 b 2+

1 +( ) 3a2 b 2+( )-----------------------------------------------TI

------yz=



Au centre, la contrainte de cisaillement est maximale et se rduit sa composante 3 :

Aux extrmits de laxe horizontal (z = b ), la contrainte decisaillement se rduit sa composante 3 :

Lorsque b est petit devant a, compte tenu de la valeur deI = (1/4)a3b et de S = ab, ces deux contraintes 3(0,0) et 3(0,b) sontsensiblement gales la valeur donne par la thorie lmentaire :

Si au contraire b est grand devant a, nous trouvons :

La rpartition des contraintes de cisaillemloin dtre uniforme ; pour = 0,25, on trou

3.4.3.2 Section rectangulaire

Soit 2a et 2b les cts du rectangle (figure

nous voyons que est lintgrale de lqua

qui sannule sur le contour. Les formules (4santes de la contrainte de cisaillement :

Il en rsulte que la contrainte de compos

est la contrainte quil convient dajouter lement donne par la thorie lmentaire pcorrecte.

La fonction est la dformation dune metendue sur le contour du rectangle et sonormale proportionnelle z ; cette remarquesolution approche lorsque le rapport b /a est

Lorsque b est petit devant a, on peut petits cts, la surface de la membrane esratrices parallles Gy, donc que ne dpeainsi :

Nous en dduisons la valeur de la contra

Cette contrainte est toujours trs voisine dpar la thorie lmentaire.

Lorsque b est grand devant a, on peut admettre que, loin despetits cts, dpend linairement de z ; nous trouvons ainsi :

3 0,0( ) Ta2

2I----------- 2 1 +( )a

2 b2+1 +( ) 3a2 b2+( )----------------------------------------------=

3 0,b( ) Ta2

I----------- 1 +( )a

2 b2+1 +( ) 3a2 b2+( )---------------------------------------------=

43----- TS----- Ta

2

3I----------=

3 0,0( )2

1 +------------ TS------, 3 0,b( ) 4 T=

f z( ) Ta22I

----------=

1 +------------ TI-----z=

3T2I------- a2 y2( ) z-------- , 2+=

3z-------- , 2

---= =

z( ) 1 +-------------- T6I-------- z 3 b(=

3T2I--------a2 1 +------------ z2 1/3([+=

Figure 28 Section rectangulaire de largeur 2b et de hauteur 2a

y,z( ) 1 +------------ T2I-------- y 2 a 2( )z=


C 2 010

19

ent le long de Gz estve 3(0,0) = 23 (0,b).

28) ; si nous prenons :

tion :

8) donnent les compo-

antes :

la contrainte de cisail-our obtenir la solution

mbrane uniformmentumise une pression permet de trouver une trs petit ou trs grand.

admettre que, loin dest un cylindre de gn-nd que de z ; on trouve

inte 3 le long de Gz :

e la contrainte donne

et la contrainte de cisaillement au centre du rectangle se rduit sa composante 3 :

3(0,0) est donc la contrainte donne par la thorie lmentairedivise par (1 + ).

Dans le cas gnral, la solution peut tre trouve en dfinissantla fonction par une srie trigonomtrique double :

Le calcul, assez long, conduit aux expressions suivantes descontraintes de cisaillement au centre et aux extrmits de laxe hori-zontal du rectangle :

k1(a /b) et k2(a /b) sont les facteurs par lesquels il faut multiplier lesvaleurs donnes par la thorie lmentaire pour obtenir les valeursexactes. Le tableau 2 donne quelques valeurs de k1 et k2 calculesavec = 0,25.

Nota : pour une poutre de section rectangulaire, dont la hauteur est double de la largeur,la thorie lmentaire est exacte 3 % prs ; par contre, on notera limportance du termecorrectif ds que la hauteur est infrieure la largeur. On remarquera galement la dif-frence avec la section elliptique ( 3.4.3.1) ; dans cette dernire, la contrainte de cisail-lement maximale a lieu au centre de la section, tandis que, dans la section rectangulaire, lacontrainte de cisaillement maximale a lieu aux extrmits de laxe horizontal.

(0)

1 +------------ S------=

y--------=

y

-----

2z)

)b2]Tableau 2 Valeurs des coefficients k1 et k2

pour

a /b 4 3 2 1 1/2 1/3 1/4

k1 0,996 0,993 0,983 0,940 0,856 0,818 0,805

k2 1,008 1,015 1,033 1,126 1,396 1,691 1,988

3 0,0( )1

1 +------------ 3T2S----------=

A2m 1,n+2m 1+( )y

2a--------------------------------

nza

----------sincosn 0=

m 0=

=

3 0,0( )3T2S---------- 1

1 +------------b2a2------ 13----- 42------ 1( )

n

n2ch nab

-------------

---------------------------n 1=

+

=

3T2S----------k1 ab------=

3 0,b( )3T2S---------- 1

1 +------------b2a2------ 23----- 4 2 ------ 1 n 2 ch n a

b

-------------

--------------------------- n

1

=

+

=

3

T

2

S

----------

k

2

ab

------

=

0,25=


TouteC 2 010 20

3.5 Poutres plan moyen de hauteur rapidement variable

3.5.1 Poutre de section rectangulaire troite

Lorsque la hauteur de la section varie rapidement, les formulesdonnes prcdemment ne conduisent qu des valeurs approchesdes contraintes relles.

Dans le cas dune section rectangulaire troite de hauteur 2h(figure 29), le principe de Saint-Venant ( 1.3.1) montre que lescontraintes qui sexercent sur une section AB sont les contraintessur la section AB dun coin de sommet O et douverture 2 sollicitpar une force Y et un couple tels que :

On peut donc calculer les contraintes qui sexercent sur la sectionAB en utilisant les formules de la thorie de llasticit relatives aucoin (cf. article

Thorie de llasticit

[A 305] dans le trait Sciencesfondamentales).

Les corrections sont faibles et peuvent tre ngliges lorsquelangle

est infrieur 10

o

3.5.2 Poutre en doub

Considrons (figure

30

) moment flchissant et usuprieure soit comprimeune section donne, la rsqui sexercent sur la mecompression

F

tangente de la membrure suprieure

gente la fibre moyenne. Dtraction qui sexercent sur traction

F

tangente la coumembrure infrieure ; cette

la fibre moyenne.

Le

principe dquivalence

montre que la fraction de lefforttranchant supporte par lme de la poutre, appele

effort tran-chant rduit

, a pour valeur :

T

=

T

F

sin

F

rdm théorie des poutres

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