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Sûreté des réacteurs et information incomplète

Rapport n°1

adressé à

l’IRSN

(à l’attention de M. Giovanni Bruna)

par la

Société de Calcul Mathématique SA

Décembre 2010

Rédaction : Hélène Bickert, Olga Zeydina

è

Société de Calcul Mathématique, S. A.

Algorithmes et Optimisation

SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 2

Rapport 1 - Décembre 2010

Résumé

La sûreté d’un EPR repose sur un système de surveillance, composé d’un certain nombre de

capteurs, placés à l’intérieur du réacteur.

Dans le cadre de ses missions de surveillance, l’IRSN s’intéresse aux conséquences d’une dé-

faillance de capteurs. Pour y répondre, il est nécessaire de mettre en place des méthodes ma-

thématiques. Elles permettront de mieux garantir la sûreté, que sont la conception et la main-

tenance d’un réacteur.

Nous nous intéressons aux collectrons. Il s’agit de dispositifs de mesure comptant les neutrons

qu’ils reçoivent. Ils sont répartis selon douze cannes verticales au sein de l’EPR ; chaque canne

contient six instruments : il y a donc en tout 72 capteurs. Chaque collectron donne en sortie un

courant, mesuré à partir du comptage de rayons gamma issus de la capture neutronique.

Ces collectrons permettent de surveiller la propagation des neutrons au sein du cœur, et sont

sensés détecter la présence d’un « point chaud » dans le réacteur, c’est-à-dire un endroit où les

neutrons sont émis en quantité significativement supérieure à la moyenne.

La question posée par l’IRSN est la suivante : que se passe-t-il si certains collectrons sont dé-

faillants ? L’incertitude sur la reconstruction de l’intensité du point chaud est-elle acceptable ?

Pour répondre à cette question, la SCM a modélisé la propagation des neutrons au sein du

réacteur, et mis en place deux méthodes de reconstruction de l’intensité du point chaud, en 2D

et 3D.

Hypothèses de travail

Cette approche utilise un certain nombre d’hypothèses sur la configuration du cœur et la pro-

pagation des neutrons :

- Les cannes sont assimilées à des parallélépipèdes de de haut et de côté,

discrétisées en 7 mailles verticales de de haut. Les collectrons ne sont pas exac-

tement contenus dans les mailles ; on admet que ce décalage n’a pas d’importance. On

admet de plus que la présence d’un collectron dans une canne ne modifie pas le compor-

tement du matériau ;

- Les coefficients multiplicateurs des matériaux ont été normalisés. Nous utilisons les

valeurs pour un épuisement nul (début de vie du réacteur), et pour un épuisement de

;

- L’émission de neutrons est isotrope : lorsqu’une cellule émet des neutrons, ils se répar-

tissent à égalité entre les proches voisins (quatre cellules dans le cas à deux dimen-

sions, six cellules dans le cas à trois dimensions). De même, la réception des neutrons

par les collectrons est supposée isotrope ;

- Le point chaud émet des neutrons de manière continue ;



- On admet l’existence d’une couche supplémentaire absorbante en frontière du cœur :

ces cannes absorbent l’intégralité des neutrons reçus sans en émettre (le coefficient

multiplicateur du matériau vaut ) ;

- Les neutrons sont supposés monochromatiques : il existe une seule famille de neutrons

au sein du cœur.

Problème direct

La première étape du travail consiste à modéliser le problème direct : connaissant la position

et l’intensité d’un point chaud dans l’une des cannes du réacteur, que reçoit chacun des collec-

trons ?

La méthode mise en place utilise un « calque » que l’on déplace dans le réacteur, et qui calcule

la propagation des neutrons à chaque étape.

La difficulté tient au fait que ce ne sont pas les neutrons émis par le point chaud qui sont re-

çus par le collectron, mais les descendants des descendants… des descendants de ces neutrons,

en raison des propriétés des matériaux composant le réacteur.

Cette modélisation a été enrichie par la prise en compte des incertitudes liées à la composition

des matériaux, ainsi qu’à l’isotropie de l’émission des neutrons depuis une cellule ; ceci permet

de représenter plus finement la réalité de la propagation : on dispose non pas d’une valeur

déterministe de la quantité de neutrons reçue par les collectrons, mais de lois de probabilité.

Problème inverse

La résolution du problème inverse est basée sur ce que l’on nommera des fonctions de trans-

fert. La méthode permet de répondre à la question suivante : connaissant les quantités de

neutrons reçues par les collectrons à un instant donné, quelle la loi de probabilité de l’intensité

du point chaud ? Plus précisément, elle permet de quantifier l’incertitude de la reconstruction

de l’intensité.

La fonction de transfert du point chaud vers le collectron est définie par le rapport entre

l’intensité du point chaud et la quantité de neutrons reçue par le collectron. Par exemple, dans

le cas déterministe, nous savons que lorsque le point chaud émet neutrons, le collectron

reçoit neutrons. La fonction de transfert du point chaud vers le collectron 1 vaut donc

. Nous pouvons donc en déduire que, si par exemple le collectron mesure une intensité

de neutrons, cela signifie que l’intensité du point chaud est de neutrons.

Lorsqu’on prend en compte les incertitudes liées à l’émission des neutrons, cette fonction de

transfert est une variable aléatoire, représentée par sa loi de probabilité. On pourra dire (par

exemple) : sachant que le collectron 1 mesure une intensité de neutrons, l’intensité du point

chaud vaut avec une probabilité , avec une probabilité .

On dispose ainsi des lois de probabilité de l’intensité du point chaud, sachant la valeur relevée

en chacun des collectrons. Ces lois sont combinées de manière à construire la loi de probabilité

de l’intensité du point chaud.



L’objectif de l’étude est, non seulement, de disposer d’une méthode de reconstruction de

l’intensité du point chaud, mais aussi de pouvoir caractériser la qualité de la reconstruction,

notamment en cas de panne d’un (ou plusieurs) collectron(s) : l’incertitude sur la valeur

moyenne reconstituée est-elle suffisamment faible pour pouvoir assurer la sureté du réacteur ?

On s’intéresse alors à l’intervalle de confiance à , ayant pour bornes les quantiles à et

: il quantifie l’incertitude autour de la valeur moyenne reconstituée. Nous comparons la

valeur des quantiles à celle de l’espérance : si l’écart relatif est supérieur à , la reconstruc-

tion est considérée comme mauvaise par l’IRSN, en ce sens que la connaissance de l’intensité

du point chaud n’est pas suffisante pour garantir la sureté.

Résultats obtenus

En 2D et 3D, l’absence d’un collectron augmente l’incertitude sur la valeur reconstruite. toute-

fois, on remarque que par cette méthode, l’incertitude sur la valeur reconstruite dépend forte-

ment des quantités mesurées par les collectrons.

En 2D, pour contourner cette limite, nous appliquons la reconstruction pour un grand nombre

de relevés ( ). Nous construisons ensuite l’histogramme des incertitudes obtenues pour les

pannes successives des 12 collectrons ; ceci nous permet de déterminer quel collectron a le plus

d’influence sur la qualité de la reconstruction de l’intensité du point chaud.

Le tableau suivant contient les moyennes de l’incertitude de la reconstruction, ainsi que la

probabilité que l’incertitude soit supérieure ou égale à . Ces deux indicateurs permettent de

juger la fiabilité du système.

Moyenne de

l’incertitude de la

reconstruction de

l’intensité du point

chaud

Probabilité que

l’incertitude de

la reconstruc-

tion soit supé-

rieure ou égale à

5%

12 collectrons présents 4,03% 5,72E-04

Panne du collectron 1 4,15% 1,14E-03












Tableau 1 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons

Quel que soit le collectron en panne, la panne « décale » la loi vers la droite. Cela signifie que

l’incertitude de la reconstruction est plus élevée lorsqu’un collectron est en panne que lorsque

les mesures des 12 capteurs sont disponibles.



Les résultats sont cohérents avec la géographie du réacteur : en moyenne, la reconstruction

est plus incertaine lorsqu’un des capteurs les plus proches du point chaud est en panne. De

même, la probabilité pour que l’incertitude de la reconstruction dépasse le seuil fixé par

l’IRSN ( ) est grande lorsque les collectrons proches sont défaillants (collectrons 4, 7, 9 et

11). L’information apportée par ces capteurs est donc importante.

On peut noter que la probabilité que la connaissance du point chaud soit jugée insuffisante

(incertitude supérieure à ), est importante, et ce même lorsque tous les collectrons fonc-

tionnent ( ).

En 3D, nous appliquons la reconstruction pour un petit nombre de relevés (étant donnés les

temps de calcul, une vingtaine de cas ont été étudiés). Nous construisons ensuite

l’histogramme des incertitudes obtenues pour les pannes successives des 72 capteurs.

Les résultats sont similaires à ceux obtenus en 2D : lorsque le capteur en panne est situé à

proximité du point chaud, la reconstruction de l’intensité est de meilleure qualité. Toutefois,

quel que soit le capteur en panne, la reconstruction est meilleure qu’en 2D : l’incertitude ne

dépasse jamais les ; la probabilité qu’elle soit supérieure au seuil fixé par l’IRSN est donc

nulle.

EPH

La seconde méthode de reconstruction mise en place utilise un outil théorique développé par la

SCM, l'EPH (Experimental Probabilistic Hypersurface), qui a été adapté au milieu hétérogène

multiplicateur du réacteur.

Grossièrement, chaque mesure faite envoie une information dans tout l'espace, sous forme

d'une loi de probabilité (que l'on pense à un champ gravitationnel : chaque masse de l'espace

envoie un champ partout dans l'espace). En un point donné, les diverses lois se recombinent en

une loi unique (de même que le champ gravitationnel en un point est la combinaison des di-

vers champs provenant des diverses masses). L'intérêt de la construction est qu'elle ne fait

aucune hypothèse factice : elle repose entièrement sur un principe d'entropie maximale.

La méthode ne repose pas sur un relevé de mesures des collectrons ; elle permet de quantifier

de manière globale l’incertitude d’une reconstruction de l’intensité du point chaud, en utilisant

l’information apportée par chaque collectron, et en prenant en compte les incertitudes de cha-

cun. Le résultat de cette méthode n’est pas plusieurs reconstructions liées à des relevés, mais

une loi unique. Comme dans la méthode précédente, nous quantifions l’incertitude par l’écart

des quantiles et à l’espérance de la loi obtenue.



Les résultats en 2D sont les suivants :

Espérance

Ecart

quantile

5%

Ecart

quantile

95%

all 12 collectrons 9927 3,8% 3,8%

11coll (without 1st one) 9926 3,8% 3,8%

without 2nd 9932 3,8% 4,0%

without 3rd 9930 3,8% 3,7%

without 4th 9933 3,9% 3,9%

without 5 9922 3,8% 3,8%

without 6 9930 3,8% 4,0%

without 7 9932 3,8% 4,0%

without 8 9925 3,8% 3,8%

without 9 9930 3,8% 4,0%

without 10 9927 3,8% 3,8%

without 11 9927 3,8% 3,8%

without 12 9930 3,8% 3,7%

without 7 and 4 9938 4,2% 4,1%

without 7 and 6 9934 4,1% 4,2%

without 7 and 9 9934 4,1% 4,2%

Tableau 2 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons par la méthode de l’EPH

Comme dans la première méthode, les résultats sont cohérents avec la position des capteurs

dans le réacteur: plus le capteur est proche du point chaud, plus son impact sur la qualité de

la reconstruction est important.

On remarque toutefois que le seuil des fixé par l’IRSN n’est pas atteint : quel que soit le

capteur en panne, la connaissance de l’intensité du point chaud sera jugée suffisante.

Lorsqu’on augmente l’incertitude de la propagation des neutrons (déviation de , ce seuil

est atteint, et ce même lorsque tous les collectrons fonctionnent :



Espérance

Ecart

quantile

5%

Ecart

quantile

95%


without 1 9858 5,7% 5,5%

without 2 9858 5,7% 5,7%

without 3 9863 5,5% 5,4%

without 4 9868 5,8% 5,6%

without 5 9847 5,6% 5,6%

without 6 9861 5,9% 5,7%

without 7 9860 5,7% 5,7%

without 8 9858 5,7% 5,5%

without 9 9855 5,9% 5,8%

without 10 9860 5,7% 5,5%

without 11 9855 5,6% 5,5%

without 12 9856 5,6% 5,8%

without 7 and 4 9872 6,3% 5,9%

without 7 and 6 9863 6,2% 6,0%

without 7 and 9 9857 6,2% 6,0%

Tableau 3 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons par la méthode de l’EPH lorsque

l’incertitude sur la propagation augmente

De même, lorsqu’on considère un point chaud situé en bordure du réacteur, l’incertitude de la

reconstruction de l’intensité du point chaud est importante.

Espérance

Ecart

quantile

5%

Ecart

quantile

95%


without 1 9953 5,3% 5,0%

without 2 9955 5,8% 5,7%

without 3 9951 5,0% 5,0%

without 4 9953 5,1% 5,0%

without 5 9959 5,4% 5,2%

without 6 9955 5,3% 5,2%

without 7 9953 5,1% 4,7%

without 8 9953 5,1% 4,7%

without 9 9953 5,1% 5,0%

without 10 9961 5,1% 4,9%

without 11 9953 5,1% 4,7%

without 12 9954 5,1% 5,0%

without 2 and 1 9955 6,3% 6,0%

without 2 and 4 9954 6,1% 6,0%

Tableau 4 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons par la méthode de l’EPH pour une

autre position du point chaud

Ceci montre l’importance de la surveillance du cœur.



Cette méthode a été appliquée en 3D ; les résultats sont du même ordre de grandeur que ceux

obtenus par la première méthode :

Espérance

Ecart

quantile

5%

Ecart

quantile

95%

72 collectrons 9986 1,11% 0,89%

Without Collectron7_3 9987 1,12% 0,88%

Without 7_3; 7_2; 4_3 and 9_3 9984 1,19% 0,92%

Without 7th array 9983 1,34% 1,01%

Tableau 5 : Exemples de reconstruction en 3D par l’EPH

Les conclusions sont identiques : en 3D, la panne d’un collectron a peu d’effet sur la qualité de

la reconstruction et le seuil d’acceptabilité n’est pas atteint.

Outils développés

Un certain nombre d’outils ont été programmés en VBA sous Excel, pour les cas 2D et 3D :

- Calcul direct de la propagation : l’outil prend en entrée les données générales du réac-

teur (position des mailles, des collectrons, valeurs des coefficients multiplicateurs des

matériaux, position et intensité du point chaud), et fournit les lois de probabilité des

quantités de neutrons reçues par les collectrons ;

- Méthode de reconstruction par les fonctions de transfert : l’outil prend en entrée les lois

de probabilité des quantités reçues par les collectrons, et permet de simuler l’impact

d’une panne d’un ou plusieurs collectrons sur la reconstruction de l’intensité du point

chaud ;

- Méthode de reconstruction par l’EPH : les entrées et sorties de l’outil sont similaires au

précédent.

Ces outils seront remis à l’IRSN.

Améliorations prévues

Dans le cadre d’un avenant au contrat, nous affinerons la modélisation, en prenant en compte

l’existence de deux familles de neutrons :

- Les neutrons rapides : ils sont émis par une cellule vers les cellules voisines, sans subir

l'effet du coefficient multiplicateur des matériaux. A leur arrivée dans la cellule voi-

sine, ils se transforment en neutrons thermiques.

- Les neutrons thermiques : ces neutrons subissent l’effet du coefficient multiplicateur

des cellules. A leur arrivée dans une cellule, ils génèrent des fissions, donnant nais-

sance à des neutrons rapides se propageant dans les cellules voisines.



Sommaire

I. Données du problème et hypothèses de travail ................................................................... 11

A. Configuration du cœur de l’EPR ................................................................................... 11

B. Disposition verticale des collectrons ............................................................................. 11

C. Comportement des matériaux ....................................................................................... 13

D. Propagation des neutrons ............................................................................................. 13

E. Valeur des coefficients multiplicateurs ........................................................................ 13

F. Position et intensité du point chaud ................................................................................. 17

G. Conditions aux limites .................................................................................................. 17

II. Propagation des neutrons : calcul direct .......................................................................... 18

A. Description du modèle 2D ............................................................................................. 18

B. Exemple simple ............................................................................................................. 20

C. Etude asymptotique ...................................................................................................... 22

D. Extension de la méthode au problème 3D .................................................................... 23

E. Implémentation de la méthode ..................................................................................... 24

1. Principe ............................................................................................................................................ 24

2. Outil développé ............................................................................................................................... 24

3. Exemple ........................................................................................................................................... 26

4. Analyses de sensibilité ..................................................................................................................... 27

F. Prise en compte des incertitudes ...................................................................................... 29

III. Résolution du problème inverse : reconstruction de l’intensité du point chaud à l’aide de

fonctions transfert ....................................................................................................................... 31

A. Méthode de reconstruction ............................................................................................ 31

1. Notations et méthode ..................................................................................................................... 31

2. Implémentation ............................................................................................................................... 33

B. Exemple 2D et indicateurs de la qualité de la reconstruction ..................................... 34

1. Cas sans panne ................................................................................................................................ 34

2. Simulations de pannes ..................................................................................................................... 35

C. Résultats de la reconstruction en 2D pour un grand nombre de relevés ..................... 37

D. Exemples 3D .................................................................................................................. 39

1. Exemple de reconstruction pour un relevé de mesures ................................................................. 39

2. Résultats de la reconstruction 3D pour un petit nombre de relevés .............................................. 41

IV. Reconstruction de l’intensité du point chaud par l’EPH .................................................. 42



A. Computation in two-dimensional space ........................................................................ 42

1. General construction of the EPH ..................................................................................................... 42

2. Before the measurements ............................................................................................................... 43

3. The propagation of the uncertainty considering only one collectron. ............................................ 44

4. The propagation of the information considering 12 collectrons. ................................................... 47

5. Incorporation of the uncertainties in the construction. .................................................................. 49

6. Analysis of the uncertainties ........................................................................................................... 55

7. Considering other hot spots ............................................................................................................ 57

8. Coefficients of multiplication .......................................................................................................... 60

B. Computation in three-dimensional space ..................................................................... 61

1. Analysis of the uncertainties ........................................................................................................... 64

Coefficients of multiplication, 10%dev ....................................................................... 64

Références .................................................................................................................................... 65



I. Données du problème et hypothèses de travail

A. Configuration du cœur de l’EPR

Le réacteur est assimilé à un cylindre discrétisé, dont la section horizontale est découpée en

carrés de taille identique, comme présenté sur la figure suivante. 12 cannes comportant des

collectrons sont réparties sur cette grille.

C5

C10

C2

C6

C9 C12

C1 C4

C7

C11

C3

C8

Figure 1 : Section de l’EPR et position des collectrons

On suppose que la réception des neutrons par les collectrons est isotrope (pas de direction pri-

vilégiée).

On peut remarquer que la position des collectrons choisie par Areva n’est pas optimale : toutes

les zones ne sont pas surveillées de la même façon. De plus, en les disposant autrement, on

aurait pu mieux surveiller, avec moins de capteurs.

B. Disposition verticale des collectrons

Chaque canne de collectrons contient 6 collectrons disposés verticalement, comme indiqué

page suivante :



Figure 2 : Position des collectrons dans une canne verticale

Chaque collectron mesure 21 cm de haut. La distance entre collectrons n’étant pas régulière,

la discrétisation n’est pas aisée. Nous choisissons dans une première approche de discrétiser

verticalement en 7 mailles de 60 cm de haut. On remarque dans le schéma suivant que cette

discrétisation ne « colle » pas exactement avec le positionnement des collectrons.

Figure 3 : Discrétisation verticale des cannes

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4

Haut du réacteurcollectron 1

collectron 2

collectron 3

milieu réacteur

collectron 4

collectron 5

collectron 6

base du réacteurMaillage



On considère pour le moment que ce décalage n’a pas d’importance. On fait l’hypothèse que

chaque maille contient exactement un collectron, hormis la maille centrale.

On suppose que la présence des collectrons dans une canne ne modifie pas le comportement du

matériau.

C. Comportement des matériaux

Les mailles de la section horizontale représentent des cannes verticales de différents maté-

riaux. Selon le type de matériau, l’arrivée d’un neutron au centre d’une maille peut donner

lieu à trois comportements : absorption, neutre ou multiplication. A chaque matériau est asso-

cié un coefficient multiplicateur, noté :

- Pour un matériau absorbant, la quantité de neutrons émis est inférieure à la quan-

tité de neutrons reçue. Le coefficient est inférieur à 1 ;

- Dans le cas d’un matériau dit neutre, l’arrivée d’un neutron provoque l’émission

d’un neutron. Le coefficient est égal à 1 ;

- Le matériau est multiplicateur si l’arrivée d’un neutron donne naissance à plusieurs

neutrons. Dans ce cas, est supérieur à 1.

D. Propagation des neutrons

On suppose l’émission des neutrons isotrope : les neutrons émis par une cellule se répartissent

dans toutes les directions avec égale probabilité.

En 2D, les mailles étant des carrés, les neutrons se répartissent entre les quatre cases voisines

(nord, sud, est, ouest) avec une probabilité dans chacune des directions. En 3D, les mailles

sont des parallélépipèdes ; la probabilité qu’un neutron se dirige vers l’une des six cellules voi-

sines est proportionnelle à la surface de contact avec la cellule émettrice. Etant donné les di-

mensions des mailles, les probabilités sont les suivantes :

- La probabilité qu’un neutron se dirige vers l’une des cellules situées sur le même

plan horizontal que la cellule émettrice (nord, sud, est, ouest) est de ;

- La probabilité qu’un neutron se dirige vers la cellule supérieure ou inférieure est de

.

E. Valeur des coefficients multiplicateurs

Le cœur est composé de cinq types d’assemblage :

- 85 cannes enrichies à 1.4% d’Uranium235, sans Gadolinium (C_140_0gd) ;

- 32 cannes enrichies à 2.3%, avec 8 crayons de Gadolinium (C_230_8gd) ;

- 52 cannes enrichies à 2.3%, avec 12 crayons de Gadolinium (C_230_12gd) ;

- 16 cannes enrichies à 3.2%, sans Gadolinium (C_320_0gd) ;



- 56 cannes enrichies à 3.2%, avec 12 crayons de Gadolinium (C_320_12gd).

Le coefficient multiplicateur de ces assemblages dépend de l’épuisement du combustible.

L’IRSN nous a fourni le tableau suivant. Il s’agit de l’évolution du coefficient multiplicateur en

fonction de l’épuisement, pour les cinq types d’assemblage.

Epuisement

assemblage

(MWJ/t)

1,4% 0GD 2,3% 8GD 2,3% 12GD 3,2% 0GD 3,2% 12GD

0 0,99726 1,04705 0,99004 1,25001 1,09625

150 0,97113 1,01737 0,96439 1,21021 1,06613

500 0,97297 1,01602 0,96533 1,20342 1,06354

1000 0,97581 1,01712 0,96921 1,19798 1,06333

2000 0,9747 1,01744 0,97484 1,188 1,0627

4000 0,96045 1,01426 0,98212 1,16566 1,05927

6000 0,9452 1,01125 0,98952 1,14293 1,05589

8000 0,93022 1,0111 1,0005 1,12126 1,05386

10000 0,91583 1,01255 1,01045 1,10068 1,05419

12000 0,90241 0,99973 0,99817 1,08153 1,058

14000 0,88984 0,98274 0,98117 1,06344 1,05359

16000 0,87801 0,96656 0,96499 1,04623 1,03833

18000 0,86689 0,95118 0,94963 1,02974 1,02199

20000 0,85644 0,93652 0,935 1,01389 1,00622

22000 0,84663 0,9225 0,92102 0,99858 0,99102

24000 0,8374 0,90905 0,9076 0,98368 0,97625

26000 0,82884 0,89632 0,89491 0,96943 0,96215

28000 0,82081 0,88433 0,88295 0,95578 0,94864

30000 0,8133 0,87282 0,87148 0,94249 0,9355

32000 0,80627 0,86183 0,86052 0,92956 0,92272

34000 0,7997 0,85136 0,85008 0,917 0,91032

36000 0,79357 0,8414 0,84015 0,90481 0,8983

38000 0,78784 0,83196 0,83074 0,89302 0,88667

40000 0,7825 0,82304 0,82184 0,88163 0,87544

42000 0,77752 0,81462 0,81344 0,87064 0,86461

44000 0,77285 0,80668 0,80553 0,86006 0,85421

46000 0,76848 0,79923 0,7981 0,84992 0,84423

48000 0,76438 0,79224 0,79113 0,84022 0,83469

50000 0,76054 0,78569 0,7846 0,83095 0,82558

Tableau 6 : Evolution des coefficients multiplicateurs des matériaux en fonction de l’épuisement du combustible

Il faudra donc simuler la présence d’un point chaud pour les différentes périodes de vie du

réacteur. Nous avons sélectionné les deux exemples marqués en bleu : en début de fonction-

nement (épuisement nul) et en fin de vie du réacteur (épuisement égal à ).

Toutefois, ces coefficients ne peuvent être exploités directement. Pour des raisons de conserva-

tion, il faut les normaliser en fonction du nombre de mailles de chaque assemblage. Les coeffi-

cients utilisés après normalisation sont les suivants :



1,4% 0GD 2,3% 8GD 2,3% 12GD 3,2% 0GD 3,2% 12GD

Coefficients multiplicateurs

pour un épuisement nul 0,956975 1,00475 0,95004 1,19951 1,05196

Coefficients multiplicateurs

pour un épuisement de

0,95521 0,99702 0,99560 1,06299 1,05576

Tableau 7 : Coefficients multiplicateurs des matériaux après normalisation

Les deux figures suivantes présentent la section horizontale du réacteur, en indiquant la va-

leur du coefficient multiplicateur de chaque canne. Les matériaux absorbants sont en rouge,

les multiplicateurs en vert.

Epuisement = 0 MWJ/t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

Figure 4 : Coefficients multiplicateurs représentés dans la section de l’EPR (épuisement )



Epuisement = 44000 MWJ/t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06

2 1,06 1,06 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,06 1,06

3 1,06 1,06 1,00 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 1,00 1,06 1,06

4 1,06 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06 1,06

5 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06

6 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06

7 1,06 1,00 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 1,00 1,06

8 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06

9 1,06 1,00 0,96 0,96 1,00 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 1,00 0,96 0,96 1,00 1,06

10 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06

11 1,06 1,00 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 1,00 1,06

12 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06

13 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06

14 1,06 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06 1,06

15 1,06 1,06 1,00 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 1,00 1,06 1,06

16 1,06 1,06 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,06 1,06

17 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06

Figure 5 : Coefficients multiplicateurs représentés dans la section de l’EPR (épuisement )

Dans les deux cas, on remarque que les matériaux sont faiblement multiplicateurs ou absor-

bants : les coefficients sont proches de . De plus, les matériaux multiplicateurs sont situés en

frontière du réacteur, alors que les assemblages absorbants se concentrent au cœur.



F. Position et intensité du point chaud

Un point chaud ne peut se créer que dans certaines cannes, représentées en orange sur la

carte suivante :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

2 C

3 C

4

5 C

6 C

7 C C

8

9

10

11 C C

12 C

13 C

14

15 C

16 C

17

Figure 6 : Positionnements possibles d’un point chaud

L’intensité du point chaud peut varier entre et

.

On considère que le point chaud émet continuellement toujours la même intensité de neu-

trons.

G. Conditions aux limites

On suppose l’existence d’une couche supplémentaire absorbante autour du cylindre : ces

cannes absorbent l’intégralité des neutrons qu’elle reçoit, sans en émettre (le coefficient multi-

plicateur de ces mailles vaut ).



II. Propagation des neutrons : calcul direct

L’objectif est de déterminer la quantité de neutrons reçue par chaque collectron, due à la pré-

sence d’un point chaud dans l’une des mailles, en fonction de la position du point chaud et de

l’intensité de l’émission neutronique. La méthode mise en place consiste à déterminer com-

ment l’émission du point chaud se propage dans les différentes mailles du cœur de l’EPR.

A. Description du modèle 2D

Dans un premier temps, on considère le problème en 2D : les collectrons et le point chaud sont

situés dans un même plan horizontal.

Chaque maille est représentée par ses coordonnées . Nous notons le coefficient multi-

plicateur de la maille . Un neutron frappant le centre d’une maille donne donc nais-

sance à neutrons, émis de manière isotrope vers les 4 mailles voisines.

Le point chaud émet un certain nombre de neutrons ; cette quantité est notée .

L'approche que nous utilisons ici s'inspire de celle que nous avions développée pour le Minis-

tère de la Défense, en 2001, pour le traitement de l'image (opérateurs de rétine, voir [1]).

On dispose d'un "croisillon" : c'est un ensemble de cinq cellules en forme de croix :

Figure 7 : Représentation du "croisillon"

Ce croisillon va être déplacé sur toute la surface représentant le réacteur ; les coordonnées

sont celles de la cellule centrale. La forme du croisillon est invariable, ainsi que sa dimension.

On utilisera la notion de "calque", commune en traitement de l'image : deux calques sont deux

copies indépendantes de la même image, considérées comme superposées (l'une est au dessus

de l'autre) ; on peut écrire sur l'une ou sur l'autre et les fusionner ensuite.

Nous partons d'un point chaud , dont les coordonnées sont (l'origine des axes est fixée

au coin en bas à gauche d'un carré englobant le disque).



Figure 8 : Représentation du point chaud

Nous travaillons, non sur les nombres de neutrons, mais sur les fractions émises. Nous consi-

dérons des pas de temps successifs.

Au temps , le point chaud émet un neutron ; l’émission étant isotrope, il parvient une

fraction à chacun de ses quatre voisins.

Au temps , émet encore un neutron, et ses voisins réémettent une fraction de ce qu'ils

ont reçu, chacun dans quatre directions.

Voici les valeurs obtenues pour les trois premiers pas de temps, en supposant que les coeffi-

cients multiplicateurs des mailles valent :

1

Figure 9 : Propagation de l’émission du point chaud, t=1

1/4

1/4 1 1/4

1/4




2/16 1/4 2/16

1/16 1/4 1+4/16 1/4 1/16

2/16 1/4 2/16

1/16


Nous formalisons ceci par récurrence :

A l'instant , seul le point chaud émet des neutrons. L'image est constituée de la valeur 1

dans la case ; toutes les autres cases sont à .

Supposons définie l'image à l'instant , notée : c'est un ensemble de cases, avec des

valeurs. Alors l'image à l'instant , notée , est définie de la manière suivante :

1) on promène le croisillon, dans l'ordre lexicographique (ou dans un ordre quelconque), sur un

nouveau calque vierge au-dessus de . Pour chaque position du croisillon, on met au centre,

sur le nouveau calque, les valeurs issues des quatre voisins, à savoir :

où désigne le coefficient d'atténuation de la cellule située au nord du croisillon, et de même

pour les autres.

L'ordre des opérations n'a pas d'importance : il suffit que toutes les positions possibles soient

explorées. La valeur inscrite dans une case ne dépend que des valeurs du calque précédent,

. Ceci représente, pour le centre du croisillon, ce qu'il reçoit de ses quatre voisins.

2) Lorsque ceci est fait, on rajoute 1 au point chaud et on substitue le nouveau calque à l'an-

cien ; on obtient ainsi .

B. Exemple simple

Voici un exemple (en supposant que les coefficients multiplicateurs sont égaux à 1).

On travaille sur un carré 4x4 ; le point chaud est situé en :



1

Figure 12 : Exemple 2D, t=1

0 0,25 0

0,25 0 0,25

0 0,25 0

Figure 13 : Exemple 2D, t=2, calque supplémentaire

0 0,25 0

0,25 1 0,25

0 0,25 0

Figure 14 : Exemple 2D, t=2, calque final

0 0,0625 0 0

0,125 0,25 0,125 0

0,25 0,25 0,25 0,0625

0,125 0,25 0,125 0

Figure 15 : Exemple 2D, t=3, calque intermédiaire

0 0,0625 0 0

0,125 0,25 0,125 0

0,25 1,25 0,25 0,0625

0,125 0,25 0,125 0

Figure 16 : Exemple 2D, t=3, calque final

Dans ce modèle, seul le point chaud fabrique des neutrons : un à chaque pas de temps. Les

autres cases se contentent de s'échanger des neutrons ; elles n'en fabriquent pas.



Remarque importante

Le déplacement du croisillon doit se faire sur un nouveau calque et non sur l'ancien. Prenons

le cas où le point chaud est en haut à gauche, et nous déplaçons le croisillon à partir de ce

point, sur le même calque, à l'horizontale. Nous aurions :

1 1/4 1/16 1/64 etc

alors qu'il s'agit du même pas de temps.

C. Etude asymptotique

Lorsque tous les coefficients d'atténuation sont égaux à 1, il est facile de calculer l'état asymp-

totique (lorsque ) du réacteur.

Notons le nombre de neutrons (en pourcentage) de la case de coordonnées à

l'instant . Il est évident que, pour fixés, ne peut qu'augmenter avec Montrons-

le par récurrence. Supposons que pour tous , . Alors :

Chaque est donc une suite croissante en ; il y a deux possibilités : ou bien elle est

convergente, ou bien elle tend vers l'infini.

Admettons que l'une d'entre elles tend vers l'infini. Alors c'est le cas de toutes, car elles sont

reliées par une relation de proche en proche : chaque cellule est au moins le quart de chacun

de ses voisins.

Mais alors on peut trouver assez grand pour que toutes les cellules du bord soient stricte-

ment supérieures à . Mais ceci mène à une contradiction, puisque pour chaque cellule du

bord, un quart disparaît à chaque étape, et que l'alimentation n'est que de , au point chaud, à

chaque étape. La somme des cellules ne pourrait être croissante.

Cette contradiction montre que toutes les suites sont convergentes lorsque tend

vers l'infini.

La limite, notée , vérifie la relation :

sauf pour le point chaud :



Nous obtenons ainsi un système linéaire qui permet de calculer toutes les valeurs limites

.

D. Extension de la méthode au problème 3D

En 3 dimensions, le principe est le même.

Les collectrons et le point chaud ne sont pas situés dans le même plan horizontal. Le "calque"

utilisé est cette fois-ci composé de 7 parallélépipèdes, déplacé sur l’ensemble du cylindre com-

posant le réacteur.

Figure 17 : Représentation du croisillon 3D

Ce calque est déplacé dans le réacteur, en partant du point chaud, un certain nombre d’étapes,

jusqu’à stabilisation des quantités de l’émission de neutrons par les matériaux.



E. Implémentation de la méthode

1. Principe

L'intérêt de cet algorithme est qu'il est d'une complexité constante avec le temps : le

pas de temps est identique au précédent, et consiste en un balayage de l'ensemble des cases du

carré englobant.

Initialement, toutes les cases sont à 0, sauf le point chaud qui est à 1. Toutes les cases du car-

ré, hors du disque, doivent rester à 0 : un neutron qui sort du disque est perdu.

Les coefficients figurent sur un calque à part, qui est interrogé à chaque étape.

Comme le croisillon ne comporte que trois cases dans chaque sens, il est inutile de parcourir le

carré tout entier : il suffit de commencer au voisinage du point chaud. Si les coordonnées de

celui-ci sont (nombres entiers), la première étape de déplacement du croisillon sera :

For to , for to (il y a donc positions seulement)

La seconde sera :

For to , for to (il y a donc positions seulement)

et la :

For to , for to (il y a donc positions seule-

ment)

Les valeurs de début et de fin doivent être remplacées par les bords du carré, lorsque celui-ci

est atteint ; par exemple sera remplacé par si .

2. Outil développé

Nous avons implémenté cette méthode en VBA pour Excel, en 2D et 3D. Un onglet permet de

renseigner les données d’entrée : position des collectrons, valeur des coefficients multiplica-

teurs des mailles, position et intensité du point chaud.



Figure 18 : Données d’entrée de l’outil (2D)

L’outil créé permet ainsi de simuler la présence d’un point chaud de position et d’intensité

quelconques.

L’implémentation reprend l’algorithme décrit dans la partie précédente. Pour chaque étape ,

(le nombre maximal d’étapes étant à déterminer), on calcule la quantité de neutrons reçus

dans chaque maille, en fonction des quantités de neutrons présents dans les mailles voisines à

l’étape , et de leurs coefficients multiplicateurs. On suppose que le point chaud émet la

même quantité de neutrons de manière continue, et que les autres mailles se "vident" à

chaque étape.

A l’issue des calculs, on connaît la quantité de neutrons présente dans chaque maille. Nous en

extrayons l’information qui nous intéresse, c’est-à-dire la quantité de neutrons reçue par les

collectrons à l’étape .



Figure 19 : Résultats donnés par l’outil (2D)

Les calculs sont immédiats.

3. Exemple

Nous simulons la présence d’un point chaud d’intensité neutrons, situé au point de

coordonnées . Les résultats sont les suivants :

Collectron1 209,1

Collectron2 232,8

Collectron3 206,2

Collectron4 1360,0

Collectron5 215,0

Collectron6 1356,1

Collectron7 3559,2

Collectron8 523,1

Collectron9 1731,6

Collectron10 186,2

Collectron11 833,6

Collectron12 377,4

Tableau 8 : Quantités de neutrons reçus par les collectrons

On remarque que la quantité de neutrons reçue par chaque collectron dépend fortement de la

distance au point chaud : les collectrons les plus proches sont ceux recevant le plus de neu-

trons, et inversement. Ceci est dû au caractère peu absorbant ou multiplicateur des maté-

riaux. Si les coefficients multiplicateurs étaient plus importants et/ou les coefficients absor-

bants plus faibles, les résultats seraient différents.

Cette première étape permettra ensuite de déterminer la quantité d’information perdue, selon

les différentes pannes de collectrons envisageables.



4. Analyses de sensibilité

Sensibilité au nombre de runs

L’analyse de sensibilité permet de déterminer le nombre d’étapes de calcul nécessaires. On a

vu dans la partie précédente que la quantité de neutrons présente dans une maille converge

lorsque le nombre d’étapes tend vers l’infini. Il nous faut donc déterminer à partir de combien

d’étapes la limite est atteinte.

Nous avons lancé l’algorithme pour différentes valeurs du nombre d’étapes , et étudié

l’impact sur les résultats de sortie (quantités de neutrons reçues par les 12 collectrons de la

tranche). La limite est atteinte dès étapes.

Sensibilité à la position du point chaud

Le point chaud utilisé dans notre étude est le point de coordonnées en 2D, le point de

coordonnées en 3D.

Nous avons fait varier la position de ce point chaud autour de la position « de référence » -

sans modifier son intensité - et étudié l’impact sur la quantité de neutrons reçue par chaque

collectron. En 2D, les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

Position du

point chaud (10;10) (11;10) (9;10) (10;11) (10;9) (9;9) (11;11) (9;11) (11;9)

Collectron1 209 224

(-7%)

191

(9%)

140

(33%)

325

(-55%)

292

(-40%)

145

(31%)

135

(35%)

357

(-71%)

Collectron2 233 181

(22%)

304

(-31%)

173

(26%)

322

(-38%)

434

(-87%)

133

(43%)

226

(3%)

250

(-8%)

Collectron3 206 279

(-35%)

152

(26%)

149

(28%)

288

(-40%)

205

(1%)

189

(9%)

119

(42%)

413

(-100%)

Collectron4 1360 1538

(-13%)

1121

(18%)

889

(35%)

2178

(-60%)

1697

(-25%)

954

(30%)

794

(42%)

2601

(-91%)

Collectron5 215 145

(33%)

334

(-55%)

206

(4%)

220

(-2%)

344

(-60%)

136

(37%)

323

(-50%)

154

(29%)


(34%)

2182

(-61%)

1191

(12%)

1449

(-7%)

2422

(-79%)

783

(42%)

1850

(-36%)

965

(29%)


(-65%)

2182

(39%)

2629

(26%)

4310

(-21%)

2422

(32%)

3675

(-3%)

1850

(48%)

8605

(-142%)

Collectron8 523 847

(-62%)

334

(36%)

472

(10%)

550

(-5%)

344

(34%)

717

(-37%)

323

(38%)

926

(-77%)


(32%)

2548

(-47%)

2312

(-34%)

1245

(28%)

1697

(2%)

1443

(17%)

3791

(-119%)

945

(45%)


(30%)

272

(-46%)

237

(-27%)

145

(22%)

205

(-10%)

156

(16%)

364

(-95%)

109

(41%)


(-32%)

617

(26%)

1218

(-46%)

573

(31%)

434

(48%)

1647

(-98%)

890

(-7%)

757

(9%)


(19%)

455

(-21%)

578

(-53%)

251

(34%)

292

(23%)

434

(-15%)

740

(-96%)

219

(42%)

Tableau 9 : Sensibilité des résultats à la position du point chaud (2D)



On constate qu’en 2D, les quantités de neutrons mesurées par les collectrons sont très sen-

sibles à la position du point chaud : en moyenne, l’écart par rapport à la position initiale est de

, et peut aller jusqu’à .

En 3D, cette sensibilité est plus importante : l’écart moyen à la position initiale est de , et

varie de à .



F. Prise en compte des incertitudes

Cette première approche est déterministe : pour une configuration donnée du point chaud (po-

sition et intensité), nous obtenons une valeur unique de la quantité de neutrons reçue par

chaque collectron.

Cette approche est complétée afin de prendre en compte les aléas de l’activité réelle du réac-

teur :

- L’hypothèse d’isotropie de l’émission de neutrons est une simplification de la réali-

té : même s’il existe une isotropie globale, la répartition des neutrons émis vers les

cellules voisines ne vaut exactement (dans le cas 2D), pour chaque émission,

dans chaque cellule. Cet aléa est représenté par une incertitude : dans le cas du 2D

par exemple, cela signifie que la probabilité qu’un neutron se dirige vers l’un des

quatre voisins n’est pas

mais

. Nous faisons l’hypothèse que cette incertitude

est comprise entre et , et qu’elles sont indépendantes d’une cellule à

l’autre.

- Les valeurs considérées pour les coefficients multiplicateurs des matériaux relèvent

de différentes hypothèses faites sur l’évolution du cœur. Suite aux recommanda-

tions de l’IRSN, nous introduisons une incertitude de l’ordre de sur la valeur

des coefficients multiplicateurs des cellules.

Nous simulons différentes configurations possibles de l’incertitude ; nous disposons alors d’un

certain nombre de « runs » des quantités de neutrons reçues par les collectrons. Ceci nous

permet de construire les lois de probabilité pour chaque collectron ; le nombre de runs néces-

saire (environ ) est atteint lorsque les lois se stabilisent.

Figure 20 : Lois de probabilité de la quantité de neutrons mesurée par les 12 collectrons (2D)

La dispersion relative est la même pour les 12 lois.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

50

25

0

45

0

65

0

85

0

10

50

12

50

14

50

16

50

18

50

20

50

22

50

24

50

26

50

28

50

30

50

32

50

34

50

36

50

38

50

40

50

42

50

44

50

46

50

48

50

Pro

bab

ilité

Quantité de neutrons

Lois de probabilité des quantités de neutrons reçues par les collectrons

Collectron 1

Collectron 2

Collectron 3

Collectron 4

Collectron 5

Collectron 6

Collectron 7

Collectron 8

Collectron 9

Collectron 10

Collectron 11

Collectron 12



En 3D, les résulats sont les suivants :

Figure 21 : Loi de probabilité de la quantité de neutrons reçue par les 72 collectrons (3D)

La majorité des collectrons mesurent une quantité très faible de neutrons : étant données les

dimensions du réacteur, l’atténuation du flux de neutrons au sein du cœur est importante.

Comme en 2D, les dispersions relatives sont du même ordre de grandeur : la distance des cap-

teurs au point chaud n’a donc pas d’influence sur la variabilité de la mesure lorsqu’on intro-

duit des incertitudes.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Pro

bab

ilité

Loi de probabilité de la quantité de neutrons mesurée par les collectrons

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18






III. Résolution du problème inverse : reconstruction de l’intensité

du point chaud à l’aide de fonctions transfert

La résolution du problème inverse est basée sur ce que l’on nomme des fonctions de transfert.

La méthode permet de répondre à la question suivante : connaissant les quantités de neutrons

reçues par les collectrons à un instant donné, quelle la loi de probabilité de l’intensité du point

chaud ?

A. Méthode de reconstruction

La fonction de transfert du point chaud vers le collectron est définie par le rapport entre

l’intensité du point chaud et la quantité de neutrons reçue par le collectron.

Dans le cas déterministe, il s’agit d’une valeur unique. Par exemple, nous savons que lorsque

le point chaud émet neutrons, le collectron reçoit neutrons. La fonction de trans-

fert du point chaud vers le collectron 1 vaut donc

. Nous pouvons donc en déduire que, si

par exemple le collectron mesure une intensité de neutrons, cela signifie que l’intensité

du point chaud est de neutrons.

Lorsqu’on prend en compte les incertitudes liées à l’émission des neutrons, cette fonction de

transfert est une variable aléatoire, représentée par sa loi de probabilité. On pourra dire (par

exemple) : sachant que le collectron 1 mesure une intensité de neutrons, l’intensité du point

chaud vaut avec une probabilité , avec une probabilité .

En connaissant le relevé de mesures indiquées par les capteurs, on peut reconstituer ainsi

l’intensité du point chaud de manière indépendante pour chaque collectron. Ces informations

sont ensuite combinées de manière à obtenir la loi de probabilité de l’intensité du point chaud,

sachant la valeur indiquée par l’ensemble des collectrons.

1. Notations et méthode

Notons la fonction transfert du point chaud vers le collectron ; il s’agit d’une variable

aléatoire, représentée par une loi de probabilité. Cette loi se construit facilement à l’aide des

relevés de capteurs simulés lors de la prise en compte de l’incertitude, pour une même valeur

connue de l’intensité du point chaud.



Voici un exemple de quelques runs en 2D, pour un point chaud d’intensité :

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12

Run 1 18,6 22,7 20,7 123,7 21,5 128,5 343,5 51,3 169,3 17,8 93,6 42,5

Run 2 21,6 24,1 23,5 143,6 19,8 123,0 338,8 54,9 171,4 20,5 79,1 37,6

Run 3 20,3 21,5 18,2 122,2 21,0 141,6 347,8 48,1 177,0 22,7 78,9 40,2

Run 4 22,9 22,9 22,6 150,9 19,5 120,5 371,2 56,2 185,2 18,8 94,3 34,1

Run 5 20,0 24,2 18,5 134,1 22,9 126,7 339,5 45,3 190,3 21,0 81,9 41,4

Run 6 20,6 24,2 20,2 135,8 22,5 144,6 367,6 52,0 179,0 16,7 79,4 39,6

Run 7 20,9 21,8 20,2 149,4 23,0 149,5 364,1 51,6 182,6 20,6 73,9 39,0

Run 8 20,2 24,2 19,6 131,4 21,3 141,0 360,3 44,9 190,4 19,5 82,9 37,6

Run 9 21,3 24,0 22,0 146,6 21,0 139,1 348,7 54,8 175,9 19,3 72,2 35,0

Run 10 20,0 23,4 20,2 118,5 20,6 129,0 347,5 51,4 178,5 21,1 80,3 41,2

Tableau 10 : Exemples d’échantillons de mesures possibles sur les 12 collectrons (modèle 2D)

La loi de probabilité pour un collectron est obtenue en divisant les relevés du collectron par la

valeur de l’intensité du point chaud, et en construisant l’histogramme des valeurs obtenues.

Nous disposons de runs dans le cas 2D, dans le cas 3D.

On peut alors en déduire la loi de probabilité de la fonction transfert du collectron vers le

point chaud, notée : il s’agit de l’inverse la loi de probabilité de .

Si l’on connaît la quantité de neutrons mesurée par le collectron , alors on peut déterminer

l’intensité du point chaud sachant le collectron :

L’intensité est représentée par une loi de probabilité, de densité .

Chaque collectron nous donne une reconstruction de l’intensité du point chaud. La combinai-

son de ces informations permet une meilleure connaissance de la loi de probabilité de

l’intensité. En faisant l’hypothèse que les capteurs sont indépendants, la densité de probabilité

de l’intensité du point chaud se calcule à partir du produit des densités de probabilité de

l’intensité, sachant les valeurs de l’ensemble des collectrons.

Où est un coefficient de normalisation et le nombre de collectrons considéré (12

dans le modèle 2D, 72 dans le modèle 3D). Ce produit de lois est plus concentré que chaque loi

prise indépendamment : la quantité d’information est plus importante.

L’hypothèse d’indépendance des capteurs signifie que les erreurs faites par un collectron

n’influence pas celles des autres capteurs. Dans notre modèle, ce n’est pas tout à fait le cas,

dans la mesure où plusieurs chemins de neutrons sont communs à différents collectrons. Mais

dans la réalité, les collectrons sont indépendants ; cette hypothèse est donc justifiée.



2. Implémentation

Pour limiter les erreurs liées aux discrétisations de lois et assurer un temps de calcul limité,

nous limitons la construction de lois de probabilité à la dernière étape de calcul.

L’implémentation de la méthode se fait comme suit.

Nous disposons :

- D’une liste de mesures, pour une valeur connue de l’intensité du point chaud. Ces

relevés permettent de calculer les fonctions transfert ;

- D’un relevé de mesures indiquées par les collectrons, pour une valeur inconnue de

l’intensité du point chaud (c’est justement ce qu’on cherche à déterminer).

Pour chaque collectron , chaque mesure est inversée, multipliée par la valeur de l’intensité du

point chaud pour laquelle elles ont été réalisées, puis multipliées par la valeur du relevé pour

lequel on cherche à reconstituer l’intensité. On peut alors construire l’histogramme des va-

leurs obtenues : il s’agit de la loi de probabilité de l’intensité du point chaud, sachant le collec-

tron . Les densités sont calculées en supposant les lois uniformes sur chaque intervalle de

discrétisation : pour obtenir la valeur de la densité de probabilité en un point , il suffit de

diviser la valeur de la probabilité de l’intervalle auquel appartient par la largeur de cette

intervalle.

Les histogrammes sont construits avec les mêmes intervalles de discrétisation : la multiplica-

tion des densités est alors très simple. Le produit des densités aura lui-même les mêmes in-

tervalles de discrétisation.

On dispose alors de la densité de probabilité de l’intensité du point chaud, prenant en compte

l’information provenant de l’ensemble des capteurs. Il s’agit d’une loi discrète, dont nous calcu-

lons l’espérance, ainsi que les quantiles à et .



B. Exemple 2D et indicateurs de la qualité de la reconstruction

1. Cas sans panne

Considérons par exemple que les relevés des collectrons sont les suivants, pour un point chaud

de coordonnées :

Quantités de neutrons

mesurées par les collectrons

Collectron1 186,3

Collectron2 227,4

Collectron3 207,1

Collectron4 1236,6

Collectron5 215,5

Collectron6 1285,3

Collectron7 3435,3

Collectron8 512,7

Collectron9 1692,9

Collectron10 178,3

Collectron11 936,4

Collectron12 424,9

Tableau 11 : Exemple de relevés des collectrons (2D)

La méthode de reconstruction fournit la loi de probabilité de l’intensité du point chaud sui-

vante :

Figure 22 : Exemple de reconstruction de la loi de probabilité de l’intensité du point chaud (2D)

La moyenne de la loi de probabilité est de neutrons (proche de ) ; il n’y a pas de

déséquilibre vers les valeurs inférieures ou supérieures.

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

90

07

90

57

91

07

91

57

92

07

92

57

93

07

93

57

94

07

94

57

95

07

95

57

96

07

96

57

97

07

97

57

98

07

98

57

99

07

99

57

10

00

71

00

57

10

10

71

01

57

10

20

71

02

57

10

30

71

03

57

10

40

71

04

57

10

50

71

05

57

10

60

71

06

57

10

70

71

07

57

10

80

71

08

57

10

90

71

09

57

Pro

bab

ilité

Intensité du point chaud (nombre de neutrons)

90%



L’objectif de l’étude est, non seulement, de disposer d’une méthode de reconstruction de

l’intensité du point chaud, mais aussi de pouvoir caractériser la qualité de la reconstruction,

notamment en cas de panne d’un (ou plusieurs) collectron(s) : l’incertitude sur la valeur

moyenne reconstituée est-elle suffisamment faible pour pouvoir assurer la sureté du réacteur ?

On s’intéresse alors à l’intervalle de confiance à , ayant pour bornes les quantiles à et

: il quantifie l’incertitude autour de la valeur moyenne reconstituée. Nous comparons la

valeur des quantiles à celle de l’espérance : si l’écart relatif est supérieur à , alors la recons-

truction est considérée comme mauvaise par l’IRSN, en ce sens que la connaissance de

l’intensité du point chaud n’est pas suffisante.

Dans l’exemple ci-dessus, les écarts relatifs des quantiles à et valent respectivement

et . La sureté du réacteur n’est pas en danger.

2. Simulations de pannes

On peut ensuite simuler la panne d’un ou plusieurs collectrons, et étudier l’impact sur la loi de

probabilité, et notamment sur la dispersion. Sur le graphique suivant, nous superposons la loi

de probabilité précédente à celle obtenue lorsque le collectron 11 est en panne.

Figure 23 : Comparaison des lois de probabilité de l’intensité du point chaud en cas de panne de collectron (2D)

On remarque que l’absence du collectron 11 décale la loi de probabilité vers la gauche. La va-

leur moyenne reconstruite est plus faible ( neutrons), et la loi de probabilité plus étendue.

Les écarts relatifs des quantiles à l’espérance valent et : l’incertitude sur la recons-

truction est plus importante, tout en restant inférieure au seuil toléré par l’IRSN.

En simulant la panne de chacun des collectrons, nous obtenons les résultats suivants :

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0,045

90

07

90

67

91

27

91

87

92

47

93

07

93

67

94

27

94

87

95

47

96

07

96

67

97

27

97

87

98

47

99

07

99

67

10

02

7

10

08

7

10

14

7

10

20

7

10

26

7

10

32

7

10

38

7

10

44

7

10

50

7

10

56

7

10

62

7

10

68

7

10

74

7

10

80

7

10

86

7

10

92

7

10

98

7

Pro

bab

ilité


12 collectrons collectron 11 manquant



Espérance

Ecart

relatif

quantile

5%

Ecart

relatif

quantile

95%

12 collectrons présents 9854 2.6% 3.5%

Panne du collectron 1 9900 2.7% 3.8%












Tableau 12 : Impact d’une panne de collectron sur la reconstruction du point chaud (2D)

Dans tous les cas, l’absence d’un collectron augmente l’incertitude sur la valeur reconstruite.

Toutefois, les résultats ne sont pas ceux auxquels nous nous attendions : en confrontant ces

résultats à la carte des collectrons, on se rend compte que l’impact d’une panne sur

l’incertitude de la reconstruction ne dépend pas forcément de la distance du collectron au point

chaud. Les capteurs les plus proches du point chaud sont les collectrons 4 et 7 ; c’est pourtant

la panne du collectron 11 qui a le plus d’impact sur la reconstruction de l’intensité du point

chaud.

C5

C10

C2

C6

C9 C12

HS

C1 C4

C7

C11

C3

C8

Figure 24 : Position du point chaud et des collectrons



Ceci est lié au relevé de mesures des collectrons : dans l’exemple considéré, la majorité des

collectrons donnent une reconstruction de l’intensité centrée autour de . Seul le collectron

fournit une reconstruction du point chaud supérieur à ; c’est pour cette raison que le

fait de supprimer l’information apportée par ce collectron décale fortement la loi de probabilité

de l’intensité du point chaud vers la gauche, et augmente l’incertitude du résultat.

On constate donc que par cette méthode, l’incertitude sur la valeur reconstruite dépend forte-

ment des quantités mesurées par les collectrons.

C. Résultats de la reconstruction en 2D pour un grand nombre de relevés

Pour contourner cette limite de la méthode, nous appliquons la reconstruction pour un grand

nombre de relevés ( ). Nous construisons ensuite l’histogramme des incertitudes obtenues

pour les pannes successives des 12 collectrons ; ceci nous permet de déterminer quel collectron

a le plus d’influence sur la qualité de la reconstruction de l’intensité du point chaud.

Les trois graphiques suivants présentent les histogrammes obtenus pour les reconstructions

réalisées :

- Lorsque tous les collectrons fonctionnent ;

- Lorsque le collectron 1 est en panne (situé loin du point chaud) ;

- Lorsque le collectron 7 est en panne (situé à proximité du point chaud).

Figure 25 : Histogramme de l’incertitude de la reconstruction lorsque tous les collectrons fonctionnent

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

2-2,5% 2,5-3% 3-3,5% 3,5-4% 4-4,5% 4,5-5% 5-5,5% 5,5-6% 6-6,5% 6,5-7%

Pro

bab

ilité

Incertitude de la reconstruction

Tous collectrons



Figure 26 : Histogramme de l’incertitude de la reconstruction lorsque le collectron 1 est en panne

Figure 27 : Histogramme de l’incertitude de la reconstruction lorsque le collectron 7 est en panne

Quel que soit le collectron en panne, la panne « décale » la loi vers la droite. Cela signifie que

l’incertitude de la reconstruction est plus élevée lorsqu’un collectron est en panne que lorsque

les mesures des 12 capteurs sont disponibles.

De plus, les résultats sont cohérents avec la position des capteurs : sur les graphiques ci-

dessus, le décalage vers la droite de la loi est plus fort dans le cas d’une panne du collectron 7

que dans celui d’une panne du collectron 1.

Le tableau suivant contient les moyennes de l’incertitude de la reconstruction, ainsi que la

probabilité que l’incertitude soit supérieure ou égale à . Ces deux indicateurs permettent de

juger la fiabilité du système.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

2-2,5% 2,5-3% 3-3,5% 3,5-4% 4-4,5% 4,5-5% 5-5,5% 5,5-6% 6-6,5% 6,5-7%

Pro

bab

ilité


Collectron 1 manquant

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

2-2,5% 2,5-3% 3-3,5% 3,5-4% 4-4,5% 4,5-5% 5-5,5% 5,5-6% 6-6,5% 6,5-7%

Pro

bab

ilité


Collectron 7 manquant



Moyenne de

l’incertitude de la

reconstruction de

l’intensité du point

chaud

Probabilité que

l’incertitude de

la reconstruc-

tion soit supé-

rieure ou égale à

5%

12 collectrons présents 4,03% 5,72E-04













Tableau 13 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons

Les résultats sont cohérents avec la géographie du cœur : en moyenne, la reconstruction est

plus incertaine lorsqu’un des capteurs les plus proches du point chaud est en panne. De même,

la probabilité pour que l’incertitude de la reconstruction dépasse le seuil fixé par l’IRSN ( )

est grande lorsque les collectrons proches sont défaillants (collectrons 4, 7, 9 et 11).

L’information apportée par ces capteurs est donc importante.

On peut noter que la probabilité que la connaissance du point chaud soit jugée insuffisante

(incertitude supérieure à ), est importante, et ce même lorsque tous les collectrons fonc-

tionnent ( ).

D. Exemples 3D

1. Exemple de reconstruction pour un relevé de mesures

En 3D, le principe est identique : on cherche à déterminer l’impact de la panne d’un capteur

sur la qualité de la connaissance de l’intensité du point chaud. On utilise cette fois les relevés

des 72 collectrons présents dans le cœur du réacteur.

Nous donnons ici un exemple de reconstruction de l’intensité du point chaud en trois dimen-

sions, utilisant l’information provenant des 72 collectrons.



Figure 28 : Loi de probabilité de l’intensité du point chaud (3D)

La reconstruction est de bonne qualité : la loi de probabilité est centrée en neutrons, et la

dispersion est faible : l’écart relatif des quantiles à et à l’espérance ne dépasse pas

. Dans cet exemple, la reconstruction est moins incertaine que celle présentée dans le

premier exemple 2D.

Nous supprimons à présent le collectron le plus proche du point chaud, et étudions l’impact de

cette panne sur la qualité de la reconstruction :

Figure 29 : Comparaison des lois de probabilité de l’intensité du point chaud en cas de panne de collectron (3D)

On constate que la panne de ce collectron a peu d’impact sur la reconstruction du point chaud :

la moyenne et la dispersion sont du même ordre de grandeur.

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

95

09

95

39

95

69

95

99

96

29

96

59

96

89

97

19

97

49

97

79

98

09

98

39

98

69

98

99

99

29

99

59

99

89

10

01

9

10

04

9

10

07

9

10

10

9

10

13

9

10

16

9

10

19

9

10

22

9

10

25

9

10

28

9

10

31

9

10

34

9

10

37

9

10

40

9

10

43

9

10

46

9

10

49

9

Pro

bab

ilité


0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

95

09

95

39

95

69

95

99

96

29

96

59

96

89

97

19

97

49

97

79

98

09

98

39

98

69

98

99

99

29

99

59

99

89

10

01

9

10

04

9

10

07

9

10

10

9

10

13

9

10

16

9

10

19

9

10

22

9

10

25

9

10

28

9

10

31

9

10

34

9

10

37

9

10

40

9

10

43

9

10

46

9

10

49

9

Pro

bab

ilité


72 collectrons collectron 7_3 manquant



Espérance

Ecart

relatif

quantile

5%

Ecart

relatif

quantile

95%

72 collectrons présents 9947 0.8% 1.2%

Panne du collectron le plus

proche du point chaud 9954 0.9% 1.2%

Tableau 14 : Exemple de l’impact d’une panne de collectron sur la reconstruction du point chaud (3D)

2. Résultats de la reconstruction 3D pour un petit nombre de relevés

Comme en 2D, nous avons appliqué la reconstruction pour un petit nombre de relevés (étant

donnés les temps de calcul, une vingtaine de cas ont été étudiés). Nous construisons ensuite

l’histogramme des incertitudes obtenues pour les pannes successives des 72 capteurs.

Les résultats sont similaires à ceux obtenus en 2D : lorsque le capteur en panne est situé à

proximité du point chaud, la reconstruction de l’intensité est de meilleure qualité. Toutefois,

quel que soit le capteur en panne, la reconstruction est meilleure qu’en 2D : l’incertitude ne

dépasse jamais les ; la probabilité qu’elle soit supérieure au seuil fixé par l’IRSN est donc

nulle.



IV. Reconstruction de l’intensité du point chaud par l’EPH

A. Computation in two-dimensional space

In the previous chapters, we give a description of the deterministic method which permits us

to solve two kinds of problem : the direct one, that is, to calculate the quantity of neutrons re-

ceived by each collectrons knowing the exact position and the intensity of the hot spot; and the

inversed one, that is, to reconstruct the emission of neutrons using information from each col-

lectrons.

The deterministic method is rather clear. Using physics, we can link the emission of neutrons

at the hot spot to the quantity received by each collectron. If there were no uncertainties, this

link would be biunivocal : a quantity q which is emitted gives a quantity q which is received

( 1 depends from the position of the captor with respect to hot spot, from the multiplica-

tion or attenuation property of the cells, and so on). So, if a quantity 1q is received at a first

collectron, then the quantity emitted in the hot spot is simply 1q

. Considering as well the un-

certainties, we do not reconstruct exactly 1q

, but a probability law around it. This way, rely-

ing on some random sample1 12, ,q q , we reconstruct the intensity of emission in the hot spot.

But, will be our reconstruction robust at these conditions? Will it be stable considering anoth-

er sample?

Below we are going to present the probabilistic method called “Experimental Probabilistic

Hypersurface” (EPH), which could handle the reconstruction of the emission considering not a

sample but the “distances” (other words “importance”) between the hot spot and each collec-

tron. Thereby, the second chapter will be devoted: first, to the general description of the EPH

and then, to the practical application for the current target setting.

1. General construction of the EPH

EPH is mathematical model which introduces the way of “propagation” of information with

distances. The key point of the construction is its relying upon a general principle of maximal

entropy: at the furthest distance in the configuration space the uncertainty takes a form of an

uniform law (we have the worst information), and it becomes more and more precise when we

move towards the observed information. Initially, it was built in order to reconstruct or predict

some data resting upon the values already given or calculated.

So, in order to explain the fundamental ideas of the construction, we will start with the sim-

plest case: when we do not have any information.



2. Before the measurements

Let us imagine the situation when we do not have any captors, what we can conclude for the

hot spot?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

Figure 1: The section of the EPR without the captors

All we know in this case is that the result will be in the interval min max,QN QN , where

minQN

and max

QN are the extreme meanings of the quantity of neutrons which could be emitted (it

comes from the expert knowledge), and it represents a discrete uniform law on this interval:

1

1jp QE ,

where the coefficients j and came from the following discretization:

min max min,

j

jQN QN QN QN 0,...,j

QN – Quantity of Neutrons, the width of subdivision we choose as 25 , then the number

of points in subdivision is:

max minQN QN

.



3. The propagation of the uncertainty considering only one collectron.

Assume, we have 1 collectron (11, 2) which has received 1

QR neutrons.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

Figure 2: The section of the EPR with only one captor

Since we obtain some data, the total available information has increased. We established that

the for any intermediate point (in our case, hot spot) the distribution of probability has a form

of a discrete Gaussian, where the “size” of its bump depends from the distance between the hot

spot and the collectron, this way, the quantity of neutrons emitted in the hot spot (10, 10) will

have the following distribution ([1], p 17, formula (1.25)) :

10,10

21

1, 2

( )exp

22

jj

QN QEcp QE ,

with a dispersion:

1

2

de

e,

and (10,10)

1j

jp QE

Here, tau is the step of subdivision as we already mentioned 25 . 1

QE is the quantity of

neutrons emitted in the hot spot deducted from the value 1

QR using a transfer function (just to

start with, we suppose that 1

10 000QE ), c is a normalization coefficient connected with

the truncation effect, 1d is the distance between the first collectron and the hot spot (see be-

low), is the propagation coefficient connected with the entropy.



As we said, the propagation of information is governed by a general principle of the maximal

entropy. The entropy itself is defined by the formula :

1j

j j

I p Logp

.

We will explain this principle giving the following statements:

If the hot spot was situated at the same loop as a collectron, then the entropy would be equal

0I (the information is certain here), thus the density is a Dirac mass.

Now, moving away from the collectron, the entropy increases linearly (minimal information

lemma ([1], lemma 1, p 8), and we proved that it could be represented by the relation :

1I d .

(Note, that it concerns only the homogeneous space, the case which takes into account the co-

efficient of multiplication will be considered below).

Finally, we arrive to a uniform law at the furthest point from the collectron, we note this point

as max,1 max,1,x y , where the entropy reaches the maximum value, we computed it explicitly ([1],

lemma 2, p11) :

(1 )I Log

Using these statements we defined the formula for the coefficient ([1], p 18, formula (1.26)) :

max

1,

Log

d

where maxd is the distance between the collectron and

max,1 max,1,x y :

max 1 max,1 max,1, ,d d Collectron x y

In the homogeneous space the distances between the points are the usual Euclidean ones. But

as it often happens in practice, sometimes we are conditioned by physical processes which

should be well understood and then properly included in the formulas. In our case, it concerns

the nature of motion of the neutrons: before reaching the collectron, they can choose any tra-

jectory. In order to take this into account, we must consider all possible paths, evaluating also

their probability. Since the neutrons may move only in four directions, then the probability of

each path depends directly from its length. We denote this probability as wp for each w th

path, then the distance between the collectron and the hot spot will be computed as :



1 1 1 1, ... ,

w wd Collectron HotSpot path p path p

with 1... 1

wp p

and each

wpath consists of number of steps needed to be passed from

the hot spot to the collectron. For example:

1

1 1(10,10) (10,9) ... (11,3) (11,2)

k

path k with 1

1 1

1

4kp

2

2 2(10,10) (9,10) ... (12,2) (11,2)

k

path k with 2

2 1

1

4kp

and so on.

Now we come back to the way of propagation of information in the space of nuclear reactor

which is not homogeneous. Instead of linear uniform propagation everywhere, we deal with

the non linear one, which depends from the coefficients of multiplication of each loop. There-

fore the entropy will have the following form :

1

1

1

1,1 ,1 1, ,

1 1 1 1... ... ... ,

n

w

wk w k w

path path

I p p

where ,k w

is a coefficient of multiplication of the corresponding loop.

Using the obtained formulas and having determined the point which is farthest from the col-

lectron max,1 max,1, 3,15x y , we can proceed to the numerical computation of the probability

distribution of the neutrons in the hot spot.

We present the shape of the function 10,101,jp QE on the graph:



Probability distribution of the emitted neutrons in the hot spot considering only one captor, with above value

Interpretation of the obtained calculations:

So, knowing a quantity collected by the first collectron 1

QR , and knowing the expected inten-

sity of emission 1

10 000QE , we could get a probability law for reconstruction. Note, here

we do not take into account the uncertainty attributed to value 1

QE itself, for a time being we

just consider a “distance” between the hot spot and the first captor.

Using obtained law, for example, we can conclude the following:

(10,10)9 975, 10 025 0,10P QE

We could increase the interval of investigation :

(10,10)9 925, 10 075 0,31P QE

and so on.

4. The propagation of the information considering 12 collectrons.

Assume now we have 12 collectrons which record 1 12,...,QR QR (for the preliminary step, we

suppose that all 1 12,...,QE QE are equal 10 000 as before).

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

87

50

88

50

89

50

90

50

91

50

92

50

93

50

94

50

95

50

96

50

97

50

98

50

99

50

10

05

0

10

15

0

10

25

0

10

35

0

10

45

0

10

55

0

10

65

0

10

75

0

10

85

0

10

95

0

11

05

0

11

15

0

11

25

0

Pro

bab

ility

Quantity of neutrons (QNj)

Probability distribution of the neutrons



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05

11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05

12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20

13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05

14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20

15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05

16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20

17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20

Figure 3: The section of the EPR with 12 captors

Each captor is supposed to contribute in the resulting probability subject to its proximity to

the hot spot. The general form of probability was presented as :

1 1210,10 10,10 10,101, 12,j j jp QE p QE p QE ,

where , 10,10n jp QE represents a contribution from n th captor :

10,10

2

, 2,

( )exp

22n j n

n j

QN QEcp QE

1, ,12n

and the 'ns here take the following form:

1

K

n

n N K

ii

d

d

, 1, ,12n

where K is a dimension of the space, so 2K in our case.

The farthest distance is determined by the formula:

max max, max,max , ,

n n nd d Collectron x y ,

1, ,12n

in our case: max 10 max,10 max,10

, , 3,14 , 15,3d d Collectron x y d



Adaptation of the model for the current problem:

As we mentioned, EPH initially was constructed in order to predict or reconstruct the infor-

mation relying on some existing data. For instance, it can be used to predict the value which

will be measured in 2015, from the values observed in 1995 and 2000. So, the information we

would like to predict and the incoming data are of the same “nature”. Quite clearly, the value

predicted for 2015 needs to depend from each existing measures, with weights according to the

distances. This way, more observations usually lead to a probability law which is less and less

sharp due to summation of the individual laws. But this statement contradicts with our physi-

cal phenomenon here, where the more captors are enable, the more precise probability law for

the hot spot is. As well, we must point out, that the captors and the hot spot do not represent

the same physical meaning : captors collect neutrons and the hot spot emits them.

Generally, EHP is useful in the case when we know nothing about the process itself, namely,

it is hard to establish some correlation between the data which were obtained. As a conse-

quence, the prediction or reconstruction is not oblivious. The dependence between emitted

quantity and quantity received appears quite clear here. So, the question is, could we apply

the EPH in order to reconstruct the hot spot? The answer is yes, but we have to modify it.

When we have just one single captor for the reconstruction, then the general rules of EPH are

respected: situating further from the hot spot, collectron receives less precise information from

it and its ability to reconstruct the hot spot weakens as well; so, all , 10,10n jp QE

keep the

same form (a gaussian). We do this computation separately for all captors 1, ,12n . Then

we multiply together the individual laws (instead of sum them as in classical EPH), that is,

our final probability will be of the following type:

10,10 10,10 10,101, 12,j j jp QE p QE p QE

5. Incorporation of the uncertainties in the construction.

As we have showed in the previous chapter, the deterministic method was enriched by the

consideration of a non isotropic emission of neutrons within certain limits. The next step is to

analyse them and to include correctly into construction.

Initially, the emission was assumed isotropic, namely it gives a fraction 1 4 to each of four

neighbours. We established that, if the hot spot has coordinates (10, 10) and it emits 10 000

neutrons, then each collectron receives precise quantity of neutrons :



Collectron Coordinates Quantity received Percentage from 10 000

Collectron1 (11,2) 209,1 2,1%

Collectron2 (5,4) 232,8 2,3%

Collectron3 (15,4) 206,2 2,1%

Collectron4 (11,6) 1360,0 13,6%

Collectron5 (2,9) 215,0 2,2%

Collectron6 (6,9) 1356,1 13,6%

Collectron7 (12,9) 3559,2 35,6%

Collectron8 (16,9) 523,1 5,2%

Collectron9 (7,12) 1731,6 17,3%

Collectron10 (3,14) 186,2 1,9%

Collectron11 (13,14) 833,6 8,3%

Collectron12 (7,16) 377,4 3,8%

Table 1

We note that the percentage does not change with the amount of emitted neutrons. This way,

we used this ratio as a basis for resolving the inverse problem, that is, to reconstruct the in-

tensity of the hot spot using the data from the captors. For example, if the first collectron rece-

ives 1

QR neutrons (QR

- Quantity Received), it means that the hot spot has emitted

11

1

QRQE

percentage neutrons (QE

- Quantity Emitted and

1percentage concerns the first col-

lectron) and so on. It is clear, that the conclusive meaning of the emitted amount of neutrons

in the hot spot will be the composition of 1 12,...,QE QE .

In order to estimate the uncertainties, we performed a kind of simulation, supposing a random

deviation from 1 4 in the range of 10% (we note it 10%dev ):

1/4+

1

1/4+4

1

1/4+2

1/4+

3

where 1 2 3 4, , , 1 40, 1 40 and

1 2 3 40 .

The 20 000 runs of simulation were accomplished (this threshold was defined by the sensibil-

ity test). It is clear that the randomness of deviation brings some dispersion in the construc-

tion: the resulting probability will become less concentrated and more irregular.

Considering each of this sample, we “convert” them into “emitted quantity” using a corre-

sponding percentage of the captor Cn :



C1 C2 C3 C4 …

C1 C2 C3 C4

1 234 238 217 1453

1 11214 10208 10510 10686

2 200 207 215 1346

2 9575 8878 10423 9900

3 210 241 207 1276

3 10061 10333 10016 9384

4 222 248 234 1446

4 10606 10636 11357 10635

5 206 231 173 1286

→ 5 9854 9930 8388 9455

6 203 219 237 1400

6 9720 9407 11508 10294

7 176 222 201 1132

7 8398 9550 9737 8322

8 201 225 204 1402

8 9604 9648 9915 10307

… … … … …

… … … … …

20000 196 232 181 1251

20000 9383 9960 8799 9199

Analysing obtained data (second table), we see that all values belong to the interval

675 ; 13625 neutrons neutrons . In order to omit the complication in calculations, we fix the

same discretization for both methods. For EPH we took the width of subdivision as 25 ,

so, we discretize the range of emitted amount of neutrons in the same way and we computed

the probability to fall into each interval. Below we give a fragment of this table, where j

QE

represents the “media” of each interval and corresponding cell shows a probability of each j

QE

:

QEj\Collect. 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 7th 8th 9th 10th 11th 12th

… … … … … … … … … … … … …

9600 0,02015 0,0286 0,02105 0,02435 0,022 0,02615 0,0303 0,0208 0,0257 0,02015 0,0268 0,02185

9650 0,0223 0,02725 0,0203 0,02875 0,02105 0,03015 0,0297 0,02285 0,0261 0,0223 0,02635 0,02135

9700 0,021 0,02715 0,02375 0,0267 0,02415 0,02955 0,0305 0,02395 0,0276 0,0206 0,02535 0,024

9750 0,02345 0,02785 0,01915 0,02855 0,0244 0,0309 0,0308 0,0228 0,02785 0,02315 0,0266 0,02375

9800 0,0228 0,02915 0,02105 0,02745 0,02655 0,0303 0,03235 0,02335 0,02855 0,0217 0,02675 0,02545

9850 0,0247 0,031 0,0219 0,02825 0,02455 0,0303 0,03145 0,024 0,02915 0,02165 0,02685 0,0218

9900 0,0244 0,0287 0,0235 0,02965 0,02695 0,0293 0,03155 0,0221 0,0269 0,0241 0,0275 0,0227

9950 0,0239 0,02845 0,02205 0,0305 0,0248 0,0315 0,03355 0,0247 0,0305 0,0213 0,029 0,0227

10000 0,02435 0,0309 0,0228 0,0284 0,0286 0,03095 0,0291 0,02605 0,02845 0,0212 0,02855 0,02375

10050 0,0232 0,02975 0,0219 0,0286 0,02455 0,02935 0,0309 0,02235 0,02705 0,0184 0,02725 0,0233

10100 0,02115 0,02835 0,02125 0,02685 0,02475 0,0304 0,0294 0,02515 0,0264 0,02185 0,02685 0,0229

10150 0,0213 0,0289 0,02215 0,02595 0,02485 0,02995 0,02955 0,0224 0,02645 0,02285 0,02545 0,02245

10200 0,0229 0,02745 0,02175 0,0237 0,0268 0,02855 0,0287 0,0231 0,02775 0,02345 0,02625 0,02205

10250 0,0229 0,02475 0,0207 0,02425 0,0247 0,0282 0,02645 0,0223 0,02475 0,0195 0,02685 0,0208

10300 0,0221 0,0235 0,0199 0,0245 0,0246 0,0269 0,02965 0,0241 0,02435 0,0214 0,0257 0,0207

10350 0,02115 0,02365 0,019 0,0239 0,02575 0,0226 0,02905 0,02205 0,0241 0,02215 0,0239 0,02095

10400 0,02025 0,0229 0,01905 0,0214 0,0221 0,02225 0,0238 0,0193 0,0236 0,02015 0,0213 0,0205

… … … … … … … … … … … … …

Table 3

Below, as an example, we illustrate the graphs of obtained uncertainties for the 1st and 7th

captors :



Probability distribution of the emitted neutrons for 1st and 7th captors.

The uncertainty for the 7th collectron is more concentrated comparing with the 1st one. It links

with the fact that the 7th captor seats closer to the hot spot (10, 10).

Pondering over the meaning of the obtained laws, we could say, that this table represents the

“capacity” of each individual captor to reconstruct the intensity in the hot spot, (it was build

taking into account the “physics” of the process). We will call them “probability laws for recon-

struction”.

In order to estimate these probability laws we are going to use the following characteristics:

5%

1

E X QCh

E X ,

95%

2

Q E XCh

E X and

95% 5%Delta Q Q

where E X is the corresponding mathematical expectation and 95%Q where

95%P QE

So, for the 7th collectron : 19,1%Ch

211,3%Ch

2025Delta

neutrons.

For the 1st collectron : 112,6%Ch

214,3%Ch

2675Delta

neutrons

Our concern is to combine obtained “probability laws for reconstruction” considering their

“importance” relative to the hot spot. We will follow the rules of the EPH presented above.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

70

50

72

50

74

50

76

50

78

50

80

50

82

50

84

50

86

50

88

50

90

50

92

50

94

50

96

50

98

50

10

05

0

10

25

0

10

45

0

10

65

0

10

85

0

11

05

0

11

25

0

11

45

0

11

65

0

11

85

0

12

05

0

12

25

0

12

45

0

12

65

0

12

85

0

13

05

0

Pro

bab

ility

Probability laws for reconstruction

Collectron 1

Collectron 7



Let us come back again to the situation when we have only one captor (the first one). Before to

have an information regarding to its uncertainty, the write the form of probability as :

110,10

21

1, 2

( )exp

22

jj

QN QEcp QE ,

with 11

1

QRQE

percentage

where 1

QR is the quantity of neutrons collected by the first collec-

tron.

Now, considering the uncertainties, instead of precise value 1

QE , we have a probability distri-

bution (see the table 3), for example, the first collectron could “predict” that :

...

19 950nQE neutrons would be emitted with probability

10,0239

110 000nQE neutrons with probability

20,02435

110 050nQE neutrons with probability

30,0232

... and so on.

This way, 1,jp will be transformed into following composition :

1 2 3

1 1, 2 1, 3 1,10,101, ...j j jjp QE p p p

where 1

1, 10,10

2

2exp

22

njn n

j

QN QEcp QE

1,2,3...n

The implementation of uncertainties of other captors occurs in the same way: using the table

3, we convert all , 'n j sp into corresponding composition

,,n

n n jn

n jp p .

Resulting probability for the hot spot (10, 10)

Finally, having all needed components we could proceed to the computation of the resulting

probability considering all 12 collectrons.

Below we present a graph of the obtained probability law :



Probability distribution of the emitted neutrons in the hot spot considering 12 collectrons

Interpretation of the obtained calculations:

The graph below represents the probability distribution of the emitted neutrons in the hot

spot (10, 10) having all 12 collectrons. It was obtained combining two methods: on the one

hand, we use the EPH in order to propagate the uncertainties with the distances (we deter-

mined a special formula for the “distance”); on the other hand, we use the result coming from

the deterministic method together with the uncertainties it provides. In other words, what we

have obtained is our “capacity” to reconstruct the emission in hot spot using given captors,

considering their own “capacities” and considering their proximity to the hot spot.

The characteristics are following :

13,8%Ch

23,8%Ch

750Delta

neutrons.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

90

00

90

75

91

50

92

25

93

00

93

75

94

50

95

25

96

00

96

75

97

50

98

25

99

00

99

75

10

05

0

10

12

5

10

20

0

10

27

5

10

35

0

10

42

5

10

50

0

10

57

5

10

65

0

10

72

5

10

80

0

10

87

5

10

95

0

Pro

bab

ility

Quantity of neutrons




6. Analysis of the uncertainties

In this paragraph we are going to estimate the increase in the uncertainty when one or more

collectrons are considered as “unreliable”. Excluding some captors, we recompute the probabil-

ity law for the hot spot. We present the obtained characteristics :

What we use E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9927 3,8% 3,8% 750

11coll (without 1st one) 9926 3,8% 3,8% 750

without 2nd 9932 3,8% 4,0% 775

without 3rd 9930 3,8% 3,7% 750

without 4th 9933 3,9% 3,9% 775

without 5 9922 3,8% 3,8% 750

without 6 9930 3,8% 4,0% 775

without 7 9932 3,8% 4,0% 775

without 8 9925 3,8% 3,8% 750

without 9 9930 3,8% 4,0% 775

without 10 9927 3,8% 3,8% 750

without 11 9927 3,8% 3,8% 750

without 12 9930 3,8% 3,7% 750

without 7 and 4 9938 4,2% 4,1% 825

without 7 and 6 9934 4,1% 4,2% 825

without 7 and 9 9934 4,1% 4,2% 825

The strongest impact on the probability was brought by the removing one of the four captors:

4th, 6th 7th or 9th, since they are the closest ones to the hot spot. Thereby, our capacity to recon-

struct the emission (Ch2) reduces by 0,2% if one of these captors are broken.

Random deviation from 1 4 in the range of 15%:

As well, we investigate the case of random deviation from 1 4 in the range of 15%dev that

is :1 2 3 4, , , 1 60, 1 60 with

1 2 3 40 . The characteristics of the result-

ing probabilities for the hot spot (10, 10) are the following:



E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9857 5,4% 5,5% 1075

without 1 9858 5,7% 5,5% 1100

without 2 9858 5,7% 5,7% 1125

without 3 9863 5,5% 5,4% 1075

without 4 9868 5,8% 5,6% 1125

without 5 9847 5,6% 5,6% 1100

without 6 9861 5,9% 5,7% 1150

without 7 9860 5,7% 5,7% 1125

without 8 9858 5,7% 5,5% 1100

without 9 9855 5,9% 5,8% 1150

without 10 9860 5,7% 5,5% 1100

without 11 9855 5,6% 5,5% 1100

without 12 9856 5,6% 5,8% 1125

without 7 and 4 9872 6,3% 5,9% 1200

without 7 and 6 9863 6,2% 6,0% 1200

without 7 and 9 9857 6,2% 6,0% 1200

The characteristics 1

Ch and

2Ch have overstepped the threshold 5%.


E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9728 7,0% 7,4% 1400

without 1 9738 7,3% 7,6% 1450

without 2 9734 7,3% 7,9% 1475

without 3 9741 7,3% 7,8% 1475

without 4 9739 7,3% 7,8% 1475

without 5 9724 7,2% 7,7% 1450

without 6 9721 7,4% 8,0% 1500

without 7 9733 7,5% 7,6% 1475

without 8 9729 7,2% 7,7% 1450

without 9 9727 7,2% 7,7% 1450

without 10 9739 7,3% 7,6% 1450

without 11 9722 7,4% 7,7% 1475

without 12 9735 7,0% 7,6% 1425

without 7 and 4 9744 8,2% 8,3% 1600

without 7 and 6 9724 8,2% 8,5% 1625

without 7 and 9 9731 8,0% 8,2% 1575

Conclusion: with the increase of deviation by 5%, the dispersion (in our case 2

Ch ) is augment-

ing on the average by 1,8%. Together with this phenomenon, we observe that the higher devia-



tion “shifts” the mathematical expectation to the left of 10 000. Example: probability law for

reconstruction for the 7th captor in the case of several deviations:

7. Considering other hot spots

As we mentioned above, hot spot could appear only at certain canes. We have four candidates

at the centre of core: (8; 8), (8; 10), (10; 8), (10; 10), and eight ones at the border: (4; 3), (3; 4),

(3; 14), (4; 15), (14; 3), (15; 4), (15; 14), (14; 15).

The central hot spots are symmetric relative to the disposition of collectrons, that is (10, 10) is

identical to (8, 8), and (10, 8) is the same as (8, 10). Performing the similar computations for

(10, 8) ( 10%dev ) we established that the result is similar to (10,10):

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,02

50

00

53

25

56

50

59

75

63

00

66

25

69

50

72

75

76

00

79

25

82

50

85

75

89

00

92

25

95

50

98

75

10

20

0

10

52

5

10

85

0

11

17

5

11

50

0

11

82

5

12

15

0

12

47

5

12

80

0

13

12

5

13

45

0

13

77

5

14

10

0

14

42

5

14

75

0

Pro

bab

ility


Probability laws for reconstruction

10%

15%

20%



E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9944 3,5% 3,3% 675

without 1 9950 3,8% 3,5% 725

without 2 9946 3,7% 3,6% 725

without 3 9948 3,8% 3,5% 725

without 4 9948 3,8% 3,5% 725

without 5 9937 3,6% 3,7% 725

without 6 9938 3,6% 3,6% 725

without 7 9947 3,7% 3,8% 750

without 8 9943 3,7% 3,6% 725

without 9 9941 3,7% 3,6% 725

without 10 9945 3,7% 3,6% 725

without 11 9939 3,7% 3,6% 725

without 12 9948 3,8% 3,5% 725

without 7 and 4 9952 4,3% 4,0% 825

without 7 and 6 9941 4,2% 4,1% 825

without 7 and 9 9945 4,0% 4,1% 800

The hot spots situated at a border achieve a diverse position with respect to the captors. We

are going to investigate the points (4; 3), (3; 4), (14; 3) and (15; 4), the rest is just symmetric to

them.

Boundary hot spot (4, 3) ( 10%dev ):

E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9954 5,1% 4,7% 975

without 1 9953 5,3% 5,0% 1025

without 2 9955 5,8% 5,7% 1150

without 3 9951 5,0% 5,0% 1000

without 4 9953 5,1% 5,0% 1000

without 5 9959 5,4% 5,2% 1050

without 6 9955 5,3% 5,2% 1050

without 7 9953 5,1% 4,7% 975

without 8 9953 5,1% 4,7% 975

without 9 9953 5,1% 5,0% 1000

without 10 9961 5,1% 4,9% 1000

without 11 9953 5,1% 4,7% 975

without 12 9954 5,1% 5,0% 1000

without 2 and 1 9955 6,3% 6,0% 1225

without 2 and 4 9954 6,1% 6,0% 1200



Boundary hot spot (3, 4):

E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9949 5,0% 5,0% 1000

without 1 9954 5,3% 5,2% 1050

without 2 9952 5,5% 5,5% 1100

without 3 9947 5,3% 5,3% 1050

without 4 9951 5,3% 5,3% 1050

without 5 9957 5,6% 5,4% 1100

without 6 9948 5,5% 5,5% 1100

without 7 9948 5,0% 5,0% 1000

without 8 9948 5,0% 5,0% 1000

without 9 9945 5,2% 5,3% 1050

without 10 9955 5,3% 5,2% 1050

without 11 9948 5,0% 5,0% 1000

without 12 9948 5,3% 5,0% 1025

without 2 and 1 9957 6,1% 6,0% 1200

without 2 and 4 9954 5,8% 5,7% 1150

Boundary hot spot (14, 3):

E[X] Ch1 Ch2 Delta

all 12 collectrons 9940 5,2% 5,1% 1025

without 1 9943 5,5% 5,6% 1100

without 2 9939 5,4% 5,4% 1075

without 3 9947 6,0% 5,8% 1175

without 4 9944 5,5% 5,6% 1100

without 5 9940 5,2% 5,1% 1025

without 6 9940 5,2% 5,1% 1025

without 7 9944 5,5% 5,3% 1075

without 8 9946 5,5% 5,6% 1100

without 9 9940 5,2% 5,1% 1025

without 10 9940 5,2% 5,1% 1025

without 11 9942 5,5% 5,4% 1075

without 12 9940 5,2% 5,1% 1025

without 3 and 1 9951 6,5% 6,8% 1325

without 3 and 4 9951 6,5% 6,5% 1300

Conclusion:

The border hot spots hold less favorable position in comparison with the central ones. Thus, if

the closest to them captors fail, then the dispersion increases considerably.

The evaluation of the variance for the hot spot (15, 4) cannot be analysed by means of EHP. Its

position coincides with the location of the collectron. So, by rule of EHP, there is only one cap-



tor which figures in the construction, in our case it is the 3rd one with the following characte-

ristics:

13,1%Ch

22,9%Ch

600Delta

neutrons.

8. Coefficients of multiplication

The coefficients of multiplication of the material ( , )i j

could also admit some uncertainties. We

fix it as 2,5% from already calculated coefficients and we explore how this will affect the

result.

At this point, we choose randomly some value in the interval ( , ) ( , )

0,975; 1,025i j i j

for each

coefficient and we recompute the resulting probability for the hot spot, following all procedure

from the very beginning. Repeating this operation a certain number of times (we could per-

formed just 20 times because of long duration of the computations), we compare the obtained

resulting probabilities with the initial one (having the original coefficients).

Thus, considering all 12 collectrons, we build the probability laws for the hot spot (10,10) with

10%dev , changing every time all coefficients of multiplication in mentioned limits. We ob-

serve how the characteristics 1

Ch and

2Ch are varying with these 20 experiments :

Ch1 Ch2

12 collectrons (with the original coefficients) 3,8% 3,8%

experimmax iCh Ch 1,...,20i 0,24% 0,30%

20

experim1

20

i

i

Ch Chaverage

0,08% 0,13%



B. Computation in three-dimensional space

Above we presented the structure of the discritazed nuclear core in the 3 dimensional space:

each loop has the width and the length equal 21,5 cm each with the 12 captors in a horizontal

plane, and with the height equal 60 cm with 6 captors in a vertical plane. In total we dispose

of 72 collectrons.

21,5 cm

21,5 cm 121,5 21,5 462,25S 2cm

221,5 60 1290S 2cm

60cm

The repartition of neutrons in a case 2D was uniform since the width and the length coincide.

In 3D we are going to study two cases:

- Cube-repartition: namely it gives a fraction 1 6 to each of six neighbours.

- Parallelepiped-repartition in proportion to the areas of the sides of parallelepiped,

namely it gives a fraction 1290

0,2126084,5

to the south, north, east and west directions;

and it gives 462,25

0,0766084,5

to the upper and lower neighbours.

The procedure is the same as in 2D. First, we count the quantity of neutrons which will be

received by each collectron in a case of isotropic emission. We start with the hot spot (10, 10, 3)

which emits 10 000 neutrons. In the graph below we present obtained quantities:



X-axis represents the collectrons in the following order: 1st array (which contains the 1st collec-

tron in 2D), 2nd array and so on.

We can notice that in a case of parallelepiped-repartition, the captors which are situated on

the same “plane” with the hot spot collect much more neutrons than in a cube-repartition case,

whereas the other captors keep the same quantity. We will see the impact on the resulting

probability considering these two situations.

We start an investigation of the uncertainties admitting the deviation from 1/4 by 10%:

10%dev . Relying on 20 000 samples we build the table of condition probability for each

collectron. Below we present the “probability laws for reconstructions” for the collectron7_3

with coordinate (12, 9, 3) and collectron1_3 with coordinate (11, 2, 3):

So, for the collectron7_3 : 18,2%,Ch

28,3%,Ch

1650Delta

neutrons.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Coll

ect

ron

1_1

Coll

ect

ron

1_3

Coll

ect

ron

1_5

Coll

ect

ron

2_1

Coll

ect

ron

2_3

Coll

ect

ron

2_5

Coll

ect

ron

3_1

Coll

ect

ron

3_3

Coll

ect

ron

3_5

Coll

ect

ron

4_1

Coll

ect

ron

4_3

Coll

ect

ron

4_5

Coll

ect

ron

5_1

Coll

ect

ron

5_3

Coll

ect

ron

5_5

Coll

ect

ron

6_1

Coll

ect

ron

6_3

Coll

ect

ron

6_5

Coll

ect

ron

7_1

Coll

ect

ron

7_3

Coll

ect

ron

7_5

Coll

ect

ron

8_1

Coll

ect

ron

8_3

Coll

ect

ron

8_5

Coll

ect

ron

9_1

Coll

ect

ron

9_3

Coll

ect

ron

9_5

Coll

ect

ron

10

_1

Coll

ect

ron

10

_3

Coll

ect

ron

10

_5

Coll

ect

ron

11

_1

Coll

ect

ron

11

_3

Coll

ect

ron

11

_5

Coll

ect

ron

12

_1

Coll

ect

ron

12

_3

Coll

ect

ron

12

_5

Qu

an

tity

of

the

ne

uto

ns

Collectrons

Isotropic emission of the neutrons, hot spot (10, 10, 3)

Cube-repartition

Parallelepiped-repartition

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

78

00

79

50

81

00

82

50

84

00

85

50

87

00

88

50

90

00

91

50

93

00

94

50

96

00

97

50

99

00

10

05

0

10

20

0

10

35

0

10

50

0

10

65

0

10

80

0

10

95

0

11

10

0

11

25

0

11

40

0

11

55

0

11

70

0

11

85

0

12

00

0

12

15

0

12

30

0

Pro

bab

ility


Probability laws for reconstuction

Collectron7_3

Collectron1_3



For the collectron1_3 : 110,9%,Ch

210,8%,Ch

2175Delta

neutrons.

We laid on this example purposely. It is interesting to see how the “capacity” of each separate

collectron is changing passing from 2D to 3D. Recall that:

For the 7th collectron in 2D : 19,1%Ch

211,3%Ch

2025Delta

neutrons.

For the 1st collectron in 2D : 112,6%Ch

214,3%Ch

2675Delta

neutrons

So, comparing the results, we found out that the reconstruction of the hot spot value from the

same captors gets better in 3D.

Sensibility test

In order to study the sensibility of the obtained reconstruction depending from a number of

samples we generate, we rely by turns on 1 000, 5 000, 10 000 and 20 000 samples. We com-

pare obtained probabilities (Ch2) calculating a difference :

Number of the samples Difference in probability

2 2Ch Ch

1 000 0,3%

5 000 0,1%

10 000 0,07%

20 000 0,01%

Thus, considering 20 000 samples the error will be less than 0,01%

Computing a resulting probability law for the hot spot (10, 10, 3), 10%dev :

Blue color represents the probability which was obtained supposing a cube-repartition; red

color – parallelepiped-repartition.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

97

00

97

25

97

50

97

75

98

00

98

25

98

50

98

75

99

00

99

25

99

50

99

75

10

00

0

10

02

5

10

05

0

10

07

5

10

10

0

10

12

5

10

15

0

10

17

5

10

20

0

10

22

5

10

25

0

10

27

5

Pro

ba

bil

ity





The characteristics are the following :

E[X] Ch1 Ch2 Delta

Cube-repartition 9973 1,2% 1,0% 225

Parallelepiped-repartition 9986 1,1% 0,9% 200

We note that a probability law “parallelepiped-repartition” shows less uncertainty and it re-

constructs more accurate the hot spot value, namely, its mathematical expectation is closer to

10 000).

So, hereinafter we will consider the “parallelepiped-repartition”.

1. Analysis of the uncertainties

Next, we eliminate the closest captors to the hot spot and we will see how this breakdown will

affect the quality of the reconstruction.

E[X] Ch1 Ch2 Delta

72 collectrons 9986 1,11% 0,89% 200

Without Collectron7_3 9987 1,12% 0,88% 200

Without 7_3; 7_2; 4_3 and 9_3 9984 1,19% 0,92% 225

Without 7th array 9983 1,34% 1,01% 250

Conclusion:

The breakdown of one captor (even the closest one) does not affect so much the reconstruction

of the hot spot value. Removing whole array (it could happen) we obtain the same increase of

uncertainty when we delete the 7th collectron in a 2D case.


E[X] Ch1 Ch2 Delta

72 collectrons 9953 1,63% 1,54% 325

Coefficients of multiplication, 10%dev

Changing the coefficients of multiplication in a range of 2,5% from their original values and

recomputing the probability law of reconstruction, we see that the difference between the

characteristics (Ch2) makes only 0,05%.



Références

[1] MR1897456 (2003e:68126) Beauzamy, Bernard The complexity of retina operators. J. Appl.

Math. 2 (2002), no. 1, 23--50. 68T45

rapport n°1 adressé à - scm sa

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