rapport mastere mariam

5/12/2018 Rapport Mastere Mariam - slidepdf.com

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Ecole DoctoraleSciences et Technologies

Mémoire de MASTERE

Mécanique et Ingénierie

N° d’ordre: 2010− 07

République TunisienneMinistère de l’Enseignement Supérieur,

De la Recherche Scientifique

Université de SfaxÉcole Nationale d’Ingénieurs de Sfax

MEMOIRE

Présenté à

L’Éc ole Nat ionale d ’ Ingénieurs de Sfax

en vue de l’obtention du

MASTERE

Dans la discipline Mécanique et Ingénierie

Par

Mariam MILADI épouse CHAABENE

Caractérisation vibratoire des

structures par analyse modale

opérationnelle

Soutenu le 24 Avril 2010, devant le jury composé de :

Mr. Mohamed HADDAR (Professeur, ENIS) Président

Mr. Fakher CHAARI (Maître Assistant Habilité, ENIS) examinateur

Mr. Tahar FAKHFAKH (Maître de Conférences, ENIS) Encadreur

Mr. Mohamed Slim ABBES (Maître Assistant, ENIS) Encadreur



Caractérisation vibratoire des structures par analyse modale opérationnelle Mariam MILADI

Dédicace

DE PLUS PROFOND DE MON CŒUR

A MON MARI,

A MES PARENTS,

A MES FRERES,

A TOUTE LA FAMILLE,

ET AU ‘’MINI NOUS’’ QUI ARRIVERA BIENTÔT.




Remerciement

Remerciements

Ce travail de recherche a été dirigé au sein de l’Unité de Mécanique, Modélisation et Produc-

tion (U2MP) du département de génie mécanique de l’Ecole Nationale d’Ingénieur de Sfax

par Monsieur Tahar FAKHFAKH, Maître de Conférences à l’ENIS et Monsieur Mohamed

Slim ABBES, Maître Assistant à l’ENIS.

En premier lieu, Je tiens à exprimer ma respectueuse gratitude à Monsieur Tahar FAKH-

FAKH et Monsieur Mohamed Slim ABBES pour leurs nombreux conseils, leur bonne hu-

meur, leur disponibilité et leurs encouragements le long du déroulement de ce mémoire.

Mes remerciements vont aussi à Monsieur Ali AKROUT pour l’aide qu’il a présenté pour le

développement de ce travail de recherche.

Je suis particulièrement honorée que Monsieur Mohamed HADDAR, Professeur à l’ENIS,

soit le président du jury de ce mémoire et je tiens à bien le remercier pour son accueil au sein

de l’U2MP et pour les discussions fructueuses qu’on a eu ensemble et qui ont été intéressants

pour le développement de ce travail de recherche.

J’adresse également mes remerciements à Monsieur Fakher CHAARI, Maître Assistant Habi-

lité, pour avoir accepté de rapporter ce mémoire.

Enfin, pour finir, j’exprime ma profonde et sincère amitié à tous les chercheurs de l’U2MP et

je remercie tous ceux qui ont contribué de loin ou de près à l'achèvement de ce travail.




Sommaire 1

Sommaire

Introduction générale ..................................................................................................................... 6

Chapitre I.Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources

1. Bref historique ....................................................................................................................... 10 2. Modélisation du problème .................................................................................................... 10

2.1. Mélange linéaire instantané ....................................................................................................... 11 2.1.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 11 2.1.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 12 2.1.3. Indéterminations .................................................................................................................. 13 2.1.4. La séparation ....................................................................................................................... 13

2.2. Mélange linéaire convolutif ....................................................................................................... 14 2.2.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 14 2.2.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 14 2.2.3. La séparation ....................................................................................................................... 14 2.2.4. Indétermination ................................................................................................................... 15

3. Etat de l’art ............................................................................................................................ 15 3.1. Introduction ................................................................................................................................ 15 3.2. Mélange instantané .................................................................................................................... 15

3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants .............................................................. 16 3.2.2. Fonctions de contraste ........................................................................................................ 16 3.2.3. Déflation .............................................................................................................................. 17 3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles.............................. 17 3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance ......................................... 18 3.2.6. Statistique du second ordre ................................................................................................. 18 3.2.7. Approche Géométrique ........................................................................................................ 19

3.3. Mélange convolutif ..................................................................................................................... 19




Sommaire 2

3.3.1. Statistique d'ordre élevée .................................................................................................... 19 3.3.2. Statistique du second ordre ................................................................................................. 20 3.3.3. Approches fréquentielles ..................................................................................................... 20

3.4. Applications ................................................................................................................................ 21 4. Conclusion ............................................................................................................................. 22

Chapitre II. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle

1. Introduction ........................................................................................................................... 24 2. Analyse en composantes indépendantes (ACI) .................................................................. 24

2.1. Motivation ................................................................................................................................... 24 2.2. Définition .................................................................................................................................... 27 2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes ........................................................ 29 2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes ......................................................... 29

3. Concept de l’indépendance des signaux .............................................................................. 32 3.1. Définition et propriétés fondamentales ...................................................................................... 32 3.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes ............................... 33 3.3. Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ? ...................................................................... 33

4. Critères de l’ACI ................................................................................................................... 34 4.1. Maximisation de la non-gaussianité .......................................................................................... 35 4.2. Mesure de la non-gaussianité .................................................................................................... 36

4.2.1. Kurtosis ............................................................................................................................... 36 4.2.2. Néguentropie ....................................................................................................................... 40

4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance ................................................................. 42 4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle ........................................................ 43

5. Traitement pour ACI ............................................................................................................ 44 5.1. Centrage ...................................................................................................................................... 44 5.2. Blanchiment ................................................................................................................................ 44

6. Analyse modale opérationnelle ............................................................................................ 46 6.1. Définition .................................................................................................................................... 46 6.2. Avantages .................................................................................................................................... 47

7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI ......................................... 47 8. Conclusion ............................................................................................................................. 50




Sommaire 3

Chapitre III. Mise en œuvre numérique de l’approche

1. Introduction ........................................................................................................................... 53 2. Présentation de l’algorithme RobustICA ........................................................................... 53

2.1 Extraction d’une composante indépendante ............................................................................. 54 2.2 Déflation ..................................................................................................................................... 55

3. Validation de la méthode ...................................................................................................... 57 3.1. système libre sans amortissement ............................................................................................ 58

3.1.1. Méthodes classiques : Méthode de superposition modale ................................................... 58 3.1.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 59 3.1.3. Résultats numériques ........................................................................................................... 60

3.2. Système libre avec amortissement ........................................................................................... 69 3.2.1. Méthode classique : méthode de superposition modale ...................................................... 69 3.2.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 71 3.2.3. Détermination des paramètres structuraux ......................................................................... 72

4. Conclusion ............................................................................................................................. 82

Chapitre IV. Détermination des caractéristiques modales des

structures par analyse modale opérationnelle

1. Introduction ........................................................................................................................... 85 2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion ................................................................ 85

2.1. Poutre encastrée-libre ................................................................................................................ 86 2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 86 2.1.2. Méthode de superposition modale ....................................................................................... 87 2.1.3. Signaux observés ................................................................................................................. 91 2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle .......................................................................... 93 2.1.5. Les critères de performances ............................................................................................... 97

2.2. Poutre encastrée-encastrée ......................................................................................................... 97 2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 97 2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ........................................... 99 2.2.3. Signaux observés ............................................................................................................... 102 2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ......................................... 104




Sommaire 4

2.2.5. Les critères de performances ............................................................................................. 108 3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords ................................ 108

3.1. Validation du modèle de l’élément fini ...................................................................................... 108 3.2. Méthode de superposition modale ............................................................................................. 110

3.2.1. Les fréquences propres théoriques .................................................................................... 110 3.2.2. Les déformées modales théoriques .................................................................................... 112

3.3. Signaux observés ....................................................................................................................... 114 3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ................................................. 116

3.4.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 116 3.4.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 118 3.4.3. Les critères de performances ............................................................................................. 120

4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois .................................................... 121 4.1. Description de l’exemple .......................................................................................................... 121 4.2. Equation du mouvement du système double parois ................................................................ 121

4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé ................................................................. 121 4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie .......................................... 123 4.2.3. Energie de déformation de la plaque .............................................................................. 124 4.2.4. Energie cinétique de la plaque i ........................................................................................ 126 4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique 0 .......................... 126 4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2) ............... 128 4.2.7. Equation matricielle .......................................................................................................... 128

4.3. Validation du modèle de l’élément fini .................................................................................... 129 4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ............................................... 131


4.5. Signaux observés ...................................................................................................................... 135 4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle ............................................. 137


5. Conclusion ........................................................................................................................... 142




Sommaire 5

Conclusion générale ................................................................................................................... 143 Références bibliographiques ..................................................................................................... 145 Annexes ....................................................................................................................................... 150

Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimal .............................................................. 151 Annexe B : Expressions des fréquences analytiques ............................................................... 153




Chapitre 1. Etude bibliographique : Séparation aveugle de sources 6

Introduction générale

L’analyse modale permet la détermination, à partir de l’expérimentation, des caractéristiques

dynamiques des structures tels que : les fréquences de résonance, l’amortissement et les

déformées modales. La connaissance de ces paramètres structuraux est essentielle à la résolution

de plusieurs problèmes de vibration. La technique d’analyse modale a été développée d’abord

dans l’industrie aéronautique dans les années 1940 et est devenue très populaire dans beaucoupde domaines technologiques à partir des années 1970. L’analyse modale est très largement

appliquée à nos jours.

La réalisation d’un essai d’analyse modale classique, menée en laboratoire, nécessite

généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi que de la force d’excitation

en différents points permettant ainsi le calcul de la Fonction de Réponse en Fréquence (FRF).

Cependant, pour des grandes structures encombrantes, comme par exemple un pont, un avion ou

un train, il est difficile de faire un tel type d’analyse. Une autre méthode d’analyse modale dite

opérationnelle (AMO) constitue une alternative dans ce type de cas et permet des mesures en

environnement opérationnel. C’est une analyse modale où la structure est étudiée « in situ » et en

conditions de fonctionnements réelles. Ainsi, pour un pont, on pourra déterminer les modes du

pont excités par le vent et/ou par le passage de véhicules sur le tablier. L’analyse modale

opérationnelle permet alors de déterminer les paramètres modaux d’une structure à partir de sa

réponse à l’excitation à laquelle cette structure est habituellement soumise.

Ce manuscrit présente une approche numérique basée sur l’application de la procédure de

séparation aveugle de sources en analyse modale opérationnelle. La mise en œuvre d’une

méthode d’analyse en composantes indépendantes (ACI) et le développement des techniques

d’analyse modale dans le domaine temporel ont permis l’identification des paramètres

dynamiques des structure sans connaissance a priori les sources excitatrices. Dans le but de

montrer l’efficacité de la méthode développée dans ce travail de recherche l’étude est réalisée sur





trois différents types de structures : unidimensionnelle, bidimensionnelle et tridimensionnelle.

Dans une première étape, nous avons étudié le comportement dynamique de chaque type de

structure. Les réponses temporelles simulées aux différents nœuds sont ensuite utilisée pour

extraire par analyse modale opérationnelle les paramètres modaux (fréquence, amortissement et

déformée) des structures.

Ce manuscrit est donc décomposé comme suit :

Le premier chapitre est consacré à la présentation générale du problème de séparation de sources

en donnant son modèle mathématique dans le cas d’un mélange linéaire instantané et dans le cas

d’un mélange linéaire convolutif, en faisant un état de l’art sur quelques méthodes de séparation

de sources et en citant quelques exemples d’applications de la séparation de sources.Le second chapitre concerne la présentation de l’une des voies majeures de la séparation aveugle

de sources qui est l’analyse en composantes indépendantes (ACI) en montrant comment elle peut

être utiliser en analyse modale opérationnelle.

Le troisième chapitre à pour objet le développement et la mise en œuvre d’une méthode

numérique permettant d’extraire les paramètres modaux (fréquence, amortissement et déformée)

des structures en utilisant l’algorithme RobustICA comme approche numérique permettant

l’application de l’analyse en composantes indépendantes en analyse modale opérationnelle. Un

exemple de système masse ressort à trois degrés de liberté est retenu pour la validation du modèle

numérique développé.

Le dernier chapitre est consacré à l’analyse modale opérationnelle de trois différents types de

structures :

- structure unidimensionnelle : poutre encastrée-libre, poutre encastrée-encastrée,

- structure bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords,

- structure tridimensionnelle : système double parois.

L’identification des caractéristiques modales et l’analyse des résultats sont effectuées pourchaque exemple de structure.





Chapitre I

Etude bibliographique : Séparation aveugle de

sources

1. Bref historique ....................................................................................................................... 10 2. Modélisation du problème .................................................................................................... 10

2.1. Mélange linéaire instantané ....................................................................................................... 11 2.1.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 11 2.1.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 12 2.1.3. Indéterminations .................................................................................................................. 13 2.1.4. La séparation ....................................................................................................................... 13

2.2. Mélange linéaire convolutif ....................................................................................................... 14 2.2.1. Modèle du mélange ............................................................................................................. 14 2.2.2. Hypothèses ........................................................................................................................... 14 2.2.3. La séparation ....................................................................................................................... 14 2.2.4. Indétermination ................................................................................................................... 15

3. Etat de l’art ............................................................................................................................ 15 3.1. Introduction ................................................................................................................................ 15 3.2. Mélange instantané .................................................................................................................... 15

3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants .............................................................. 16 3.2.2. Fonctions de contraste ........................................................................................................ 16 3.2.3. Déflation .............................................................................................................................. 17 3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles.............................. 17 3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance ......................................... 18 3.2.6. Statistique du second ordre ................................................................................................. 18 3.2.7. Approche Géométrique ........................................................................................................ 19

3.3. Mélange convolutif ..................................................................................................................... 19 3.3.1. Statistique d'ordre élevée .................................................................................................... 19 3.3.2. Statistique du second ordre ................................................................................................. 20





3.3.3. Approches fréquentielles ..................................................................................................... 20 3.4. Applications ................................................................................................................................ 21

4. Conclusion ............................................................................................................................. 22





1. Bref historique

La séparation de sources est un problème récent en traitement du signal. Il a été tout d’aborddéveloppé en 1984 par les travaux d’Hérault et Ans [31] et Jutten [32]. Malgré son importance et

ses nombreuses applications en traitement de signal, son origine est liée à la modélisation d'un

phénomène biologique [11,31] pour modéliser biologiquement le codage du mouvement (étudier

les réponses musculaires émises à l’issue de différentes sortes d’excitations). L'algorithme

développé en 1984 était robuste mais les explications théoriques de ses propriétés étaient

incomplètes.

Un premier formalisme du problème de séparation aveugle de sources, ainsi qu'un algorithme

permettant d'en obtenir une solution, a été proposé par C. Jutten et J. Hérault en 1991. Ensuite les

travaux de Comon en 1994 [33] ont permis la formalisation mathématique dans le cas le plus

simple d’un mélange linéaire instantané aboutissant au concept de l’analyse en composantes

indépendantes.

Depuis les années 90 et à partir de ces travaux, la recherche dans ce domaine devint très active

et des chercheurs du monde entier s'intéressent au problème de séparation de sources. C'est

maintenant, un problème très général qui se manifeste dans plusieurs domaines et dans plusieures

applications.

2. Modélisation du problème

Le problème de la séparation de sources est modélisé d’une manière générale indépendamment

du domaine d’application comme suit : des signaux (sources) émis par un nombre fini

d’émetteurs indépendants, traversant un mélange de dimension (environnement de

propagation), sont reçus par un nombre fini

de capteurs.

En se plaçant au niveau des capteurs, on a accès seulement aux signaux reçus (mélangés), les

signaux émis ainsi que le mélange sont tous inconnus. L’objectif est alors de restituer les signaux

émis en utilisant uniquement les signaux reçus. Pour se faire plusieurs hypothèses sur les sources

et le mélange sont nécessaires. Les chercheurs se basent essentiellement sur l’hypothèse de

l’indépendance mutuelle des signaux sources, c’est à dire que, la densité de probabilité des

signaux sources est égale au produit de ses densités de probabilités marginales afin de déterminer

les signaux estimés. Dans ce cas le problème est connu aussi sous le nom de l’analyse en





composantes indépendantes. Le mélange peut être linéaire ou non linéaire, instantané ou

convolutif. Aussi, il peut être variant ou invariant dans le temps. En général, c’est le modèle

linéaire invariant dans le temps qui est considéré dans la plupart des algorithmes proposés. La

séparation consiste à chercher un système de séparation qui permet de retrouver les signaux

sources estimés.

Afin de modéliser le problème de séparation des sources dans le cas où le mélange est linéaire, on

considère la version discrète dans laquelle les signaux sont à variable de temps discrète n

(échantillons temporels).

Dans ce qui suit, on utilise la notation suivante :

- les signaux mélangés : (pour 1, . . . , )- les signaux sources : (pour 1, . . . ,

- Les signaux estimés :

- matrice des filtres où matrice des mélanges

- matrice de séparation

Le phénomène se présente comme suit :

Figure 1-1. Structure générale de la séparation de sources

2.1. Mélange linéaire instantané

2.1.1. Modèle du mélange

Dans le cas instantané, les réponses impulsionnelles des filtres de propagation, exprimées par la

matrice sont toujours nulles sauf à l’instant d’indice 0, les signaux mélangés seront

alors instantanément établis et est une matrice de scalaires noté .

Donc, dans le cas d’un mélange instantané et pour un système avec émetteurs et capteurs, signaux sources sont émis à travers un système de mélange instantané (sans mémoire).





Chacun des signaux reçus, représente un mélange linéaire des signaux sources émis. Le

modèle se traduit par l’équation suivante :

, 1 , … ,

1.1

ou bien sous forme matricielle par :

1.2

où , … , est le vecteur des observations, , … ,

est

le vecteur contenant les signaux sources, tandis que , … , est la matrice de

mélange de dimension ( , … , , 1, . . . , est le jème vecteur colonne

de ), elle représente un mélange instantané et est un possible bruit additif.

2.1.2. Hypothèses

En général afin d’accomplir la séparation des signaux sources, quelques hypothèses sur lesquelles

la séparation des sources est basée sont nécessaires. On distingue des hypothèses sur les sources

et d’autres sur l’environnement de propagation et les mélanges.

Dans le cas d’un mélange instantané, on a les hypothèses suivantes :

Hypothèses sur les sources :

Hypothése1 : Presque tous les algorithmes de séparation aveugle des sources supposent que les

signaux sources sont indépendants et identiquement distribués et mutuellement indépendants.

Hypothése2 : Les sources sont non gaussiennes sauf au plus une.

Hypothèses sur l’environnement de propagation et les mélanges

Hypothése3 : En général, on suppose que le nombre des capteurs est égal au nombre

d’émetteurs . Certaines méthodes traitent le cas particulier

Hypothése4 : La matrice de mélange est de rang complet .

Hypothése5 : Le bruit est additif indépendant des signaux sources.





On peut avoir d’autres hypothèses sur les signaux sources, le bruit et/ou la matrice de mélange ce

qui permet la conception de nouveaux algorithmes.

2.1.3. Indéterminations

Dans le cas où les signaux sources et la matrice de mélange sont tous des inconnus, la séparation

peut être obtenus avec une infinité de vecteurs . On remarque que le même vecteur peut

être généré à partir d’une infinité de vecteurs . En effet, l’ordre des signaux est arbitraire car

toute permutation appliquée sur les signaux sources et sur les lignes de la matrice

correspondantes donne le même vecteur

. Donc les signaux sources ne peuvent être

récupérés qu’à une permutation près (Ambiguïté de permutation). En plus, la multiplication d'unecolonne de la matrice de mélange et la division d'un signal source par le même scalaire ne

changera pas le vecteur mélangé (Ambiguïté d'échelle). Ceci peut être montré facilement à

travers l’équation suivante :

1.3

Donc, les signaux sources sont estimés à une permutation et un facteur d’échelle près. Ceci est dû

au fait que les signaux sources et la matrice de mélange sont tous des inconnus.

2.1.4. La séparation

L'idée de séparation aveugle de sources consiste à trouver une matrice permettant d’obtenir

des signaux sources qui sont mutuellement indépendants, ou encore de calculer l’inverse de la

matrice de mélange

. Alors, on a :

1.4

avec est la matrice de séparation de dimension permettant de récupérer les signaux

sources à partir des signaux reçus qui sont mesurés par les capteurs à un facteur d’échelle et une

permutation près.





2.2. Mélange linéaire convolutif

2.2.1. Modèle du mélange

Dans le cas d’un mélange linéaire convolutif le signal reçu se modélise comme suit :

1.5

Avec , … , est le vecteur des observations,

, … , est le vecteur contenant les signaux sources, le vecteur bruit et , 0, . . . , , la suite des 1 matrices de dimension de la réponse impulsionnelle

(des filtres de propagation) du canal.

2.2.2. Hypothèses

Afin de réaliser la séparation, des hypothèses sur les signaux sources et le mélange sont

nécessaires. Dans le cas convolutif, en plus des hypothèses H1, H2 et H5, on considère les

hypothèses suivantes:

Hypothése6 : , c’est à dire que le nombre des capteurs est strictement supérieur au

nombre d’émetteurs.

Hypothése7 : La matrice de transfert est une matrice irréductible, c'est-à-

dire: ,

Hypothése8 : La matrice de transfert est une matrice à colonnes réduites, c’est à dire :, , … , , 2.2.3. La séparation

En considérant les hypothèses déjà citées, il existe un filtre inverse du mélange. L’objectif de la

séparation de sources est de calculer un filtre séparateur W(n) qui permet d’inverser la matrice du

mélange. La sortie du filtre séparateur s’écrit alors :

1.6





2.2.4. Indétermination

Comme dans le cas d’un mélange instantané, la séparation ne peut se faire qu’à un facteur

d’échelle et une permutation prés. En plus, la séparation ne peut être accomplie qu’à un filtrage

près. En effet, le plus souvent la séparation des mélanges convolutifs de sources est ramenée à un

ensemble de séparations instantanées. Ceci est réalisé par le passage dans le domaine fréquentiel

en utilisant la transformée de Fourier, où on obtient un modèle de mélange instantané à chaque

fréquence. Ainsi, des ambiguïtés peuvent se produire à chaque fréquence ce qui implique un

filtrage des signaux dans le temps.

1.7

3. Etat de l’art

3.1. Introduction

Selon ce que l’on trouve dans la littérature [25, 6, 7, 51, 12,26,…], le problème de séparation de

sources a été formulé initialement par Ans, Hérault [31] et Jutten [32], qui publiaient en 1985 le

premier algorithme de séparation de sources dans le cas d’un mélange linéaire instantané. Lespremiers travaux concernant le problème de séparation des mélanges convolutifs de sources ont

été initiés au début des années 90. Ainsi, le premier travail qui traite le mélange convolutif est

celui de Jutten et L. Nguyen [15,27]. On remarque que par rapport au mélange instantané, le

mélange convolutif a été moins étudié.

Dans ce qui suit, on va essayer de classer les différentes méthodes de séparation de sources pour

chaque type de mélange instantané ou convolutif suivant leur aspect le plus remarquable.

3.2. Mélange instantané

Plusieurs algorithmes basés sur différents critères existent dans la littérature par exemple :

approches basées sur le maximum de vraisemblance, approches basées sur l'information

mutuelle, approches basées sur la déflation, approches géométrique, approches basées sur le

maximum d'entropie … .

Dans ce qui suit, quelques exemples de critères sont présentés.





3.2.1. Critères basées sur les moments où les cumulants

Pour une architecture récursive, Jutten et J. Hérault dans [14,13] cherchent une matrice

telque et . Donc le problème se réduit à estimer les autres

coefficients suivant la règle :

1 1.8

où et sont deux fonctions impaires si les sources sont à densité de probabilité symétrique, de

sorte que les moments d'ordre impair sont nuls [43] et

un scalaire appelé pas d’adaptation.

Afin de généraliser leur application à toutes les sources indépendamment de leur loi de

probabilité, Jutten et al. [16] ont suggéré d'ajuster les coefficients de par annulation des

cumulants croisés , .

3.2.2. Fonctions de contraste

Une fonction de contraste pour la séparation de sources est une fonction d’évaluation de la

distribution d’un vecteur aléatoire qui se réduit au minimum quand la séparation de sources est

réalisée.La première fonction de contraste introduite par Comon [44,45] était la somme au carrée des

auto cumulants d'ordre quatre des signaux estimés :

|| 1.9

La minimisation de cette fonction de contraste est difficile. C’est pour cette raison qu’une autre

fonction qui est la somme en valeur absolue des cumulants de quatrième ordre est proposée par

Moreau et Macchi [21]:

|| 1.10





Cette fonction de contraste est valable pour des sources de même signe de kurtosis et nécessite

une étape de blanchiment (voir chapitre 2 : paragraphe 5.2).

Dans [42,22], Macchi et Moreau proposent une autre fonction de contraste (dans le cas où 1 , 0 ) qui ne nécessite pas une étape de blanchiment.

||

1.11

3.2.3. Déflation

Pour les signaux de même signe de kurtosis, Delfosse et Loubaton [38] proposent une méthode

de déflation (c'est-à-dire restituer un signal à chaque étape).

Après blanchiment, ils minimisent une fonction de contraste, par rapport à un vecteur

séparateur . Soit cette fonction de contraste définie par :

4 1.12

Si

correspond au minimum de

, alors le signal

est l'une des sources

estimées. Et ainsi, on sépare une source à chaque étape et on diminue le nombre des sourcesd'une unité à la fois. Pour avoir la séparation totale, il faut appliquer leur algorithme 1 fois.

C’est la seule méthode qui ne présente pas des solutions parasites et qui peut être étendue au cas

où les signes de kurtosis sont quelconques [39]. Pour cela, il suffit de remplacer la fonction K par

la fonction J définie par :

3

4 1.13

3.2.4. Séparation avec un estimateur de Maximum d'Informations Mutuelles

L’information mutuelle dépend des densités des variables aléatoires et elle est définie par :

∏ 1.14





Comon et Lacoume ont montré [47] que l'information mutuelle est une fonction de contraste. Par

conséquent, des algorithmes de séparations peuvent être conçus en se basant sur sa maximisation.

3.2.5. Séparation avec un estimateur de Maximum de Vraisemblance

La séparation avec un estimateur de maximum de Vraisemblance est considérée parmi les

méthodes les plus utilisées dans la séparation des sources.

Gaeta et Lacoume [36] proposent une approche fondée sur le maximum de vraisemblance. Pour

approximer la densité de probabilité des sources, ils utilisent le développement de Gram-Charlier.

D’autre part Pham et al. [19] proposent eux aussi une approche fondée sur le maximum de

vraisemblance en supposant que les sources sont identiquement distribuées avec des densités deprobabilités connues.

Dans le cas de communications numériques les distributions des sources étant connues,

Belouchrani [4,5] propose deux algorithmes MLS (Maximum Likelihood Séparation) et SMLS

(Stochastic Maximum Likelihood Separation) en se servant de l’algorithme EM [57,37].

3.2.6. Statistique du second ordre

Les algorithmes basés sur les statistiques du second ordre utilisent le fait que dans de nombreux

cas les signaux ont des échantillons temporellement corrélés. Ils utilisent des matrices de

covariance des signaux à différents instants et nécessitent que les densités spectrales de sources

sont distinctes [20].

Pour des sources mutuellement indépendantes mais temporellement corrélées, il existe 0, tel

que :

1.15

où est l'espérance mathématique et la matrice est une matrice diagonale non nulle.

Féty [34] propose de diagonaliser plusieurs matrices de covariance des signaux observés jusqu' à

la séparation souhaitable:

1.16





Cette idée a été améliorée par les travaux de Tong [35] et Comon [46]. L'algorithme proposé par

Comon est détaillé dans [47].

3.2.7. Approche Géométrique

Une autre méthode pour la séparation de sources est l’algorithme géométrique de séparation de

source. Cette approche est basée sur l’interpolation géométrique de l’indépendance des variables

indépendantes et elle est essentiellement restreint au cas de deux sources par exemple dans [24],

on trouve un algorithme de ce type.

3.3. Mélange convolutif

Dans le cas des mélanges linéaires instantanés, on a estimé le milieu de propagation des signaux

sources par une matrice de mélange à coefficient scalaire. Cependant, dans plusieurs applications

ce n’est pas le cas, car il faut tenir compte de la propagation dans le milieu. Par conséquent,

chaque source traverse différentes fonctions de transfert pour arriver aux différents capteurs.

Les algorithmes existants pour résoudre ce problème peuvent être principalement divisés dans

deux catégories différentes : les algorithmes dans le domaine de temps (statistique d’ordre élevée

et statistique du second ordre) et les algorithmes dans le domaine de fréquence.

3.3.1. Statistique d'ordre élevée

Parmi les premiers algorithmes, on trouve l’algorithme proposé par Jutten et L. Nguyen [17] qui

est une généralisation de leur méthode déjà développée pour le mélange instantané. Dans cet

algorithme, ils proposent une façon adaptative pour annuler les moments croisés d’ordre impair

des sources estimées prises à différents instants.

0 1.17

où f et g sont deux fonctions non linéaires et impaires.





3.3.2. Statistique du second ordre

Ces algorithmes emploient une approche du second ordre pour convertir le mélange, qui sera

séparé par une approche d’ordre supérieur.

Les algorithmes apparus pour le mélange convolutif sont généralement des méthodes de sous-

espace et supposent que le nombre de capteurs est plus grand que celui de sources .

Par exemple Delfosse et Loubaton ont montré que la séparation d’un mélange convolutif peut se

faire en trois étapes [40] : prédiction linéaire, séparation instantané et mise en œuvre de l’inverse

du filtre prédicateur en supposant que le filtre de mélange H(z) est causal et rationnel et de rang

plein

(en plus que le nombre de capteurs est supérieur à celui de sources).

3.3.3. Approches fréquentielles

La transformée de Fourier, de l’équation 1.5 (en ne tenant pas compte du bruit additif), donne :

1.18

La matrice est constante pour une fréquence donnée, ce qui permet d’obtenir un mélange

linéaire instantané dans chaque bande de fréquence considérée. En séparant les sources danschacune de ces bandes, il est alors possible de remonter aux signaux d’origine par transformée de

Fourier inverse et sommation des sorties associées à chaque bande. Ce type de problème peut

alors être résolu par les méthodes de séparation de source classiques, c-à-d applicables à des

mélanges linéaires instantanés.

Il apparait alors que le problème semble très simple : il suffit d’appliquer les méthodes utilisées

pour les mélanges instantanés et de reconstruire chaque source (mais avec une matrice de

mélange variable).

Cependant les indéterminations sur le facteur d’échelle et la permutation sont autant d’obstacles

majeurs à ces approches. En effet, à cause des permutations rien ne garantit a priori que les

contributions fréquentielles extraites sur une sortie pour les différentes bandes proviennent de la

même source. De plus l’indétermination sur l’amplitude amenée par les méthodes normalisant les

signaux de sortie va également perturber la reconstruction des différentes bandes de fréquences :

avec ce type de méthode aucune information n’est disponible sur la vraie amplitude du signal

dans une bande par rapport à une autre.





Quelques travaux ont ainsi été réalisés en bande étroite. D’autres études portent toutefois sur le

problème en large bande.

Il faut noter en outre que la transformée de Fourier a tendance à gaussianiser les signaux, ce qui

ne facilite pas leur séparation par les méthodes habituelles hormis pour des cas bien particuliers.

Ainsi l’approche fréquentielle possède un réel problème d’indétermination pouvant amener à une

reconstruction erronée des sources.

3.4. Applications

Le problème de séparation de sources attire l'attention d'un grand nombre de chercheurs. Dans ce

paragraphe, on essaie d'énumérer quelques applications de séparation de sources:

• La séparation de sources sert au rehaussement de parole. : Dans [28], Le principe de la

séparation de sources permet de rehausser la parole quelle que soit la nature de

perturbation, en plus il est capable de restituer tous les signaux primitifs dans un mélange

de prise de son.

• En sismique: Thirion, Mars et Lacoume exploitent certains concepts de la séparation de

sources afin d’adopter des réponses à la question de la séparation aveugle d’onde

acoustique [41].

• Un domaine nouveau dans lequel la séparation aveugle de sources intervient est

l’interface machine/homme : plusieurs travaux de recherche traitent la séparation des

sources vibratoires des machines tournantes pour le diagnostic de l’état de santé de la

machine [56].

• La séparation de sources a été employée par Nuzillard en astronomie et en traitement

d'images astronomiques [18].• En biomédecine, Yannick Deville [57] présente un panorama des applications

biomédicales des méthodes de séparation aveugle de sources des signaux

ElectroCardiographiques (ECG), MagnétoEncéphaloGraphiques (MEG) et

ElectroEncéphaloGraphiques (EEG). Par exemple la séparation de source est utilisée

pour l’extraction de battements cardiaques fœtaux à partir d’un ensemble de signaux

ECG enregistrés à l’aide d’électrodes cutanées placées sur la peau de la mère.





4. Conclusion

Dans ce premier chapitre, on a donné un aperçu général sur le problème de séparation desources : modélisation du problème dans le cas d’un mélange linéaire instantané et convolutif, les

hypothèses utilisées, les ambiguïtés de la séparation, un état de l’art sur les différents critères

utilisés et quelque exemple d’applications.

On retient que la solution fournie par les méthodes de séparation aveugle n’est pas unique mais

les sources sont déterminées à une permutation et un facteur d’échelle (dans le cas instantané) et

à un filtrage prés (dans le cas convolutif).

Dans le deuxième chapitre, on va s’intéresser à l’une des méthodes les plus utilisées dans la

séparation aveugle de sources qui est l’analyse en composantes indépendantes en montrant

comment elle peut être appliquée en analyse modale opérationnelle.




Chapitre 2. Application de l’ACI en analyse modale opérationnelle 23

Chapitre II

Application de l’ACI en analyse modale

opérationnelle

1. Introduction ........................................................................................................................... 24 2. Analyse en composantes indépendantes (ACI) .................................................................. 24 2.1. Motivation ................................................................................................................................... 24

2.2. Définition .................................................................................................................................... 27 2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes ........................................................ 29 2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes ......................................................... 29

3. Concept de l’indépendance des signaux .............................................................................. 32 3.1. Définition et propriétés fondamentales ...................................................................................... 32 3.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes ............................... 33 3.3.

Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ?

...................................................................... 33 4. Critères de l’ACI ................................................................................................................... 34

4.1. Maximisation de la non-gaussianité .......................................................................................... 35 4.2. Mesure de la non-gaussianité .................................................................................................... 36

4.2.1. Kurtosis ............................................................................................................................... 36 4.2.2. Néguentropie ....................................................................................................................... 40

4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance ................................................................. 42 4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle ........................................................ 43

5. Traitement pour ACI ............................................................................................................ 44 5.1. Centrage ...................................................................................................................................... 44 5.2. Blanchiment ................................................................................................................................ 44

6. Analyse modale opérationnelle ............................................................................................ 46 6.1. Définition .................................................................................................................................... 46 6.2. Avantages .................................................................................................................................... 47

7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI ......................................... 47 8. Conclusion ............................................................................................................................. 50





1. Introduction

La connaissance des paramètres structuraux est essentielle à la résolution de plusieurs problèmesde vibration. Ceci nécessite généralement la mesure de la réponse vibratoire de la structure ainsi

que de la force d’excitation en différents points. Or dans presque toutes les structures réelles,

comme les structures de génie civil et de génie mécanique, il est parfois très difficile de connaitre

les forces d’excitation puisqu’ils sont exercés par des phénomènes naturels (le vent, les

vagues,…) où par des forces d’opération (les vibrations, les surcharges, …). C’est pourquoi

l’analyse modale opérationnelle des structures est basée sur les conditions d’opération naturelle.

Il consiste à caractériser les modes propres de structure en fonctionnement sans connaitre ni la

source d’excitation ni la structure. La méthode doit donc se baser uniquement sur la réponse de la

structure.

Dans ce chapitre, on présente l’une des méthodes les plus utilisées dans la séparation aveugle de

sources qui est l’analyse en composantes indépendantes et on montre comment elle peut être

utilisée en analyse modale opérationnelle [29, 53, 30,54].

2. Analyse en composantes indépendantes (ACI)

2.1. Motivation

Considérant une chambre où deux personnes parlent simultanément. On dispose de deux

microphones placés dans des endroits différents. Chaque microphone enregistre la superposition

des discours des deux personnes à ses alentours en fonction de temps, qu’on peut noter par

et avec et les amplitudes, et t l'indice de temps. Chacun de ces signaux enregistrés est

un mélange des discours émis par les deux personnes, qu’on note par et (figure2-1).





Figure 2-1. Schématisation du problème

Ce problème peut s’exprimer sous la forme suivante:

2.1

2.2

où , , et sont des paramètres qui dépendent des distances entre chaque

microphone et les deux personnes (on omet qu’il n’existe aucun retard ou facteurs influant sur le

mélange). Il serait très utile si on peut maintenant estimer les deux discours originaux

et

, en utilisant seulement les deux signaux enregistrés

et

. Ceci s'appelle le

problème de la soirée cocktail «cocktail-party ».

Comme illustration, on considère les formes d'ondes présentées dans la figure 2-2 et la figure 2-3.

Ces formes d’onde ne présentent pas des sons réels, mais elles suffisent pour cette illustration.

Les discours originaux pourraient ressembler à ceux représentés dans la figure 2-2 et les discours

mélangés pourraient ressembler à ceux dans la figure 2-3.





Figure.2-2. les signaux originaux

Figure 2-3. Le mélange observé des signaux originaux de la figure 2-2

Le problème consiste alors à récupérer les signaux originaux dans la figure 2-2 en utilisant

seulement le mélange observé dans la figure 2-3.

Si les paramètres sont connus, on pourra résoudre les équations linéaires (2.1) et (2.2) par des

méthodes classiques. Ceci n’est pas toujours le cas : le problème est très complexe.

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2





Une approche pour résoudre ce problème serait d'employer les informations sur les propriétés

statistiques des signaux

pour estimer les

. En fait, il suffi de supposer que

et

à

chaque instant t sont statistiquement indépendants.

La technique récemment développée de l'analyse en composantes indépendantes (ACI), peut être

employée pour estimer les en se basant sur l'information de leur indépendance, ce qui permet

la séparation des deux signaux originaux et de leurs mélanges et . La

figure 2-4 donne les deux signaux estimés par la méthode d'ACI.

Figure. 2-4. Les signaux estimés en utilisant seulement les signaux observés dans la figure 2-2

2.2. Définition

L’ACI est l’une des voies majeures de la séparation aveugle de sources (Une " source " signifie

ici un signal original, c.-à-d. composant indépendant, " aveugle " signifie qu’on ne connait riensur la matrice de mélange). Elle permet d’obtenir des signaux de sorties statistiquement

indépendants, égaux aux signaux sources aux indéterminations d’échelle et de permutation prés

dans le cas de mélanges linéaires instantanés. On va étudier le cas où le nombre des signaux

observés est égal au nombre des signaux sources .

On suppose qu’on observe mélanges linéaires , … , de composantes indépendantes.

-2

-1

0

1

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1





; 1,… 2 .3

On suppose que chaque mélange aussi bien que chaque composante indépendante est une

variable aléatoire. Les valeurs observées sont alors un échantillon de cette variable

aléatoire. Sans perte de généralité, on peut supposer que les variables mélangées et les

composantes indépendantes sont centrées (leur moyenne est nulle): même si ce n'est pas vrai, les

variables observées peuvent toujours être centrées en soustrayant leur valeur moyenne.

Il est recommandé d'employer la notation matricielle. On note par le vecteur aléatoire dont les

éléments sont les mélanges

, … , et de même par

le vecteur aléatoire avec des

éléments , … , . On note par la matrice avec les éléments . En utilisant cette notation

matricielle, le modèle de mélange s’écrit :

2.4Parfois on a besoin des colonnes de la matrice ; qu’on note par . Le modèle peut être écrit

sous la forme suivante :

2.5Les composantes indépendantes sont des variables latentes, signifiant qu'elles ne peuvent pas être

directement observées. Aussi, on assume que la matrice de mélange est inconnue. Tout ce qu’on

observe est le vecteur aléatoire et nous devons estimer et en l’utilisant.

Le point de départ pour l’ACI est l’hypothèse très simple que les composantes sont

statistiquement indépendantes.

L'indépendance statistique sera rigoureusement définie dans le paragraphe 3 et on montre ensuitequ’on doit également supposer que les composantes indépendantes doivent avoir des

distributions non gaussiennes. Pour la simplicité, on suppose que la matrice de mélange est

carrée. Ensuite, après avoir estimé la matrice on peut calculer son inverse, noté et obtenir

les composantes indépendantes simplement par:

2.6





Dans beaucoup d'applications, il serait plus réaliste de supposer qu'il y a un certain bruit dans les

mesures, qui signifierait d’ajouter un terme de bruit dans le modèle. Mais pour la simplicité, on

omet tous les termes de bruit, puisque l'évaluation du modèle sans les termes de bruit semble être

suffisante pour beaucoup d'applications.

2.3. Ambiguïtés de l’Analyse en Composantes indépendantes

Dans le modèle de l’ACI décrit par l’équation 2.5, il est facile de voir les ambiguïtés suivantes :

1. On ne peut pas déterminer les variances (énergies) des composantes indépendantes.

La raison est que,

et

étant inconnus, n'importe quel multiplicateur scalaire dans une des

sources pourrait toujours être simplifiés en divisant la colonne correspondante de par la

même grandeur scalaire; voir l'équation 2.5. Par conséquent, on peut fixer les importances des

composantes indépendantes; puisqu’ils sont des variables aléatoires, on suppose que chacune a

une variance égale à l’unité: 1. Alors la matrice sera adaptée dans les méthodes

d'ACI pour tenir compte de cette restriction.

2. on ne peut pas déterminer l'ordre des composantes indépendantes.

La raison est que, et étant encore inconnus, on peut librement changer l'ordre des termes

dans la somme de l’équation 1.5, et appeler n'importe quelle composante indépendante la

première. Formellement, une matrice de permutation et son inverse peuvent être substitués

dans le modèle pour donner . Les éléments de sont les variables indépendantes

originales mais dans un autre ordre. La matrice est une nouvelle matrice de mélange

inconnue, qui va être résolue par les algorithmes d'ACI.

2.4. Illustration de l’Analyse en composantes indépendantes

Afin d’illustrer le modèle d'ACI en termes statistiques, on considère deux composantes

indépendantes qui ont les distributions uniformes suivantes:





1

2√ 3|| √ 3

0 2.7

Les valeurs pour cette distribution uniforme ont été choisies afin de rendre la moyenne égale à

zéro et la variance égale à un. La densité commune de et de est alors uniforme (carré).

C’est la conséquence de la définition de base : la densité commune de deux variables

indépendantes est le produit de leurs densités marginales (l'équation 2.9). La densité commune

est illustrée sur la figure 2-5.

Figure 2-5. La distribution commune des composantes indépendantes et avec une

distribution uniforme. L’axe horizontal correspond à , l’axe vertical correspond à

En prenant la matrice de mélange suivante:

2 32 1 On obtient deux variables mélangées et . Les données mélangées ont une distribution

uniforme sur un parallélogramme, comme représenté sur la figure 2-6. On remarque que les

variables aléatoires

et

ne sont pas indépendantes. Une manière facile de voir ceci est de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1





considérer, s’il est possible de prévoir la valeur de l’une connaissant la valeur de l'autre.

Clairement si

atteint un de ses valeurs maximum ou minimum, on peut déterminer la valeur

de . Elles sont donc non indépendantes. (Pour les variables et la situation est différente:

à partir de la figure 2-5 on peut voir que la connaissance de la valeur de ne peut donner

aucune information sur la valeur de .)

Figure 2-6. La distribution commune des mélanges observés x1 et x2. L’axe horizontal

correspond à x1, l’axe vertical correspond à x2

Le problème d'estimer le modèle d'ACI est maintenant d'estimer la matrice de mélange en

utilisant seulement l'information contenue dans les mélanges et . En fait, on peut voir de la

figure 2-6 une manière intuitive d’estimer . Les bords du parallélogramme sont dans les

directions des colonnes de

. Ceci signifie qu’on peut, en principe, estimer le modèle d'ACI en

estimant d'abord la densité commune de et de , et alors localisant les bords. Ainsi, leproblème semble avoir une solution.

En réalité, ce serait une méthode très faible parce que cela fonctionne seulement avec les

variables qui ont exactement des distributions uniformes.

Dans la suite, on considère la définition exacte de l'indépendance avant de commencer à

développer des méthodes pour l'évaluation du modèle d'ACI.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3





3. Concept de l’indépendance des signaux

3.1. Définition et propriétés fondamentales

Pour définir le concept de l'indépendance, on considère deux variables aléatoires et .

Fondamentalement, les variables et seraient indépendantes si l'information sur la valeur de ne fournit aucune information sur la valeur de , et vice versa. Dans le paragraphe précédent,

on a noté que c'est le cas avec les variables et , mais pas avec les variables mélangées

et .

Techniquement, l'indépendance peut être définie par les densités de probabilité. On note par

, la fonction de densité de probabilité commune de et de et par la densitéde probabilité marginal de et par la densité de probabilité marginal de : , , 2.8

et de même pour

.

Alors et sont indépendantes si et seulement si leur densité de probabilité commune peutêtre factorisée de la manière suivante:

, 2.9

Cette définition se prolonge pour tout nombre de variables aléatoires. Dans ce cas la densité

commune est un produit de termes.

La définition peut être employée pour dériver la propriété la plus importante pour les variables

aléatoires indépendantes. En se donnant deux fonctions, et , le moment croisée d’ordre deux

des deux variable et s’écrit :

. 2.10

Ceci peut être prouvé comme suit:





,

, 2.113.2. Les variables décorrélatives sont seulement partiellement indépendantes

Une forme plus faible de l'indépendance est le décorrélation. Deux variables aléatoires et

seraient décorrélatives, si leur covariance est nulle:

0 2.12Si les variables sont indépendantes, elles sont décorrélatives, ce qui peut être directement

démontré de l’équation 2.10 en prenant et .

D'autre part, la décorrélation n'implique pas l'indépendance. Par exemple, on suppose que

et sont des valeurs discrètes et que la paire , est égale à n'importe quelle des valeurs

suivantes: (0.1), (0, -1), (1.0), (-1.0) avec la probabilité 1/4. Alors,

et

sont décorrélatives.

D'autre part,

0 , 2.13

Ainsi la condition dans l’équation 2.10 n’est pas respectée et les variables ne peuvent pas être

indépendantes.

3.3. Pourquoi on interdit les variables gaussiennes ?

La restriction fondamentale dans l’ACI est que les composantes indépendantes doivent être non

gaussiennes pour que l’analyse en composantes indépendantes soit possible.

Pour voir pourquoi les variables gaussiennes rendent l’ACI impossible, on suppose que la matrice

de mélange est orthogonale et les sont gaussiennes. Aussi, on suppose que les sont

gaussiennes, décorrélatives, et de variance égale à l'unité. On considère le cas où 2. La

densité commune de

et

est donnée par :





, 12

2 2.14

Cette distribution est illustrée dans la figure 2-7. La figure prouve que la densité est

complètement symétrique. Par conséquent, elle ne contient aucune information sur les directions

des colonnes de la matrice de mélange . C'est pourquoi ne peut pas être estimée.

Figure 2-7. Distribution multivariable de deux variables gaussiennes indépendantes

Plus rigoureusement, on peut montrer que la distribution de n'importe quelle transformation

orthogonale du gaussien , a exactement la même distribution que , , et que et

sont indépendantes. Ainsi, la matrice n'est pas identifiable pour les composantes indépendantes

gaussiennes. (En fait, si juste une des composantes indépendantes est gaussienne, le modèle de

l’ACI peut encore être estimé.)

4. Critères de l’ACI

On peut définir de façon générale l’ACI de la manière suivante : L’ACI d’un vecteur aléatoire

consiste à trouver une transformée linéaire de telle façon que les signaux soient aussi

indépendants que possible, dans le sens de la maximisation ou minimisation d’une fonction qui

mesure l’indépendance (figure 2-8).

-5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5





Figure 2-8. Principe de la séparation par la méthode d’ACI

4.1. Maximisation de la non-gaussianité

Intuitivement parlant, la clef à estimer le modèle d'ACI est la non-gaussianité. En fait, sans non-

gaussianité l'évaluation n'est pas possible du tout, comme mentionné dans le paragraphe 3.3.

Le théorème de limite centrale, un résultat classique dans la théorie des probabilités, indique que

la somme de variable aléatoires tend vers une distribution gaussienne. On considère alors qu’une

combinaison linéaires de sources aléatoires non gaussiennes, de même distribution, est plusgaussienne que les sources elles mêmes.

On suppose dans ce paragraphe que toutes les composantes indépendantes ont des distributions

identiques.

Pour estimer une des composantes indépendantes, on considère une combinaison linéaire des tel que

∑

où

est un vecteur à déterminer. Si

était une des rangées de

l'inverse de cette combinaison linéaire égalerait réellement à l’une des composantesindépendantes. La question est maintenant: Comment peut on employer le théorème de la limite

centrale pour déterminer le vecteur de sorte qu'il soit égal à une des rangées de l'inverse de ? Dans la pratique, on ne peut pas déterminer un tel exactement, parce qu’on n’a aucun

information sur la matrice , mais on peut trouver un estimateur qui donne une bonne

approximation.





Afin de voir comment ceci mène au principe de base de l'évaluation d'ACI, on va faire un

changement de variable : En définissant

, on a alors

, y

est ainsi une combinaison linéaire de avec des coefficients donnés par . Puisque la somme de deux variables aléatoires indépendantes est plus gaussienne que les

variables originales, est plus gaussien que n'importe qu’elle et devient moins gaussien

quand il égale un des . Dans ce cas, seulement un des éléments de est différent de zéro.

Par conséquent, on peut prendre comme un vecteur qui maximise la non-gaussianité de .

Un tel vecteur correspond nécessairement à un qui a seulement une composante différente de

zéro. Ceci signifie que

égale une des composantes indépendantes : La

maximisation du non-gaussianité de donne ainsi une des composantes indépendantes. Enfait, le paysage d'optimisation pour la non-gaussianité dans l'espace n-dimensionnel des vecteurs a 2 maximum locaux, deux pour chaque composante indépendante, correspondant au et (rappelant que les composantes indépendantes peuvent être estimées seulement à un signe

multiplicatif). Pour trouver plusieurs composantes indépendantes, on doit trouver tous ses

maximums locaux. Ce n'est pas difficile, parce que les différentes composantes indépendantes

sont décorrélatives : on peut toujours contraindre la recherche à l'espace qui donne des

évaluations décorrélatives avec les précédentes. Ceci correspond à l'orthogonalisation dans unespace convenablement transformé (c.-à-d. blanchi).

4.2. Mesure de la non-gaussianité

Pour employer la non-gaussianité dans l'évaluation d'ACI, on doit avoir une mesure quantitative

de la non-gaussianité d'une variable aléatoire, noté . Pour la simplification, on suppose que est

centrée (de moyenne nulle) et a une variance égale à l’unité.

4.2.1. Kurtosis

Le tout premier critère utilisé pour évaluer la non-gaussianité fut le Kurtosis ou auto-cumulant

d’ordre 4. On considère la forme simplifiée suivante :

,,, 3 2.15





En fait, puisque on a supposé que a une variance égale à l’unité 3. Ceci

montre que le kurtosis est simplement une version normalisée du moment d’ordre quatre

Ey

.

Pour une variable aléatoire gaussienne, le moment d’ordre quatre est égal à 3Ey. Ainsi, le

kurtosis est nul pour une variable aléatoire gaussienne.

Le kurtosis peut être positif ou négatif. Les variables aléatoires qui ont un kurtosis négatif

s'appellent sous-gaussienne, et celles avec le kurtosis positif s'appellent sur-gaussienne.

Les variables aléatoires sur-gaussienne ont typiquement une fonction de densité de probabilité

fdp ‘aigu’ avec des queues lourdes, c.-à-d. la fdp est relativement grand à zéro et à des grandes

valeurs de la variable, tout en étant petit pour des valeurs intermédiaires.

Un exemple typique est la distribution de Laplace, dont la fdp (normalisée pour une variance

égale à l’unité) est donnée par :

1√ 2 exp√ 2|| 2.16

Cette fdp est illustrée dans la figure 2-9 (Pour la comparaison, la densité gaussienne est

représentée par des traits discontinus. Les deux densités sont normalisées afin d’avoir une

variance égale à l'unité).





Figure 2-9. La fonction de densité de probabilité d’une distribution de Laplace, qui est une

distribution sur-gaussienne.

D’ autre part, les variables aléatoires sous-gaussiennes, ont typiquement une fdp ‘plate’, qui est

plutôt constante près de zéro, et très petite pour des grandes valeurs de la variable. Un exemple

typique est la distribution uniforme dans l’équation 2.7.

Le kurtosis, ou plutôt sa valeur absolue, a été largement répandu comme mesure de non-

gaussianité dans l’ACI. La raison principale est sa simplicité, informatique et théorique.

Informatiquement, le kurtosis peut être estimé simplement en employant le moment d’ordre

quatre des données échantillonnés. L'analyse théorique est simplifiée en raison de la propriété

suivante de linéarités: Si

et

sont deux variables aléatoires indépendantes, on a :

2.17et

2.18

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

variable

d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é

fonction densité de probabilité

laplace

normale





où est une grandeur scalaire. Ces propriétés peuvent être facilement prouvées en utilisant la

définition.

Pour illustrer dans un exemple simple à quoi le paysage d'optimisation pour le kurtosis

ressemble, et comment les composantes indépendantes ont pu être trouvées par minimisation ou

maximisation de kurtosis, on prend un modèle à deux dimensions . On suppose que les

composantes indépendantes et ont des valeurs de Kurtosis notées et

respectivement, tous les deux sont différentes de zéro. On rappelle qu’on a supposé qu'elles ont

des variances égales à l'unité. On cherche une des composantes indépendantes telles que

.En effectue encore la transformation , on a alors . Maintenant, en se basant sur la propriété additive du kurtosis, on a :

D' autre part, on a la contrainte que la variance de y est égale à 1 en se basant sur la même

hypothèse concernant et . Ceci implique une contrainte sur z : .

Géométriquement, ceci signifie que le vecteur est contraint au cercle d'unité dans un plan à

deux dimensions. Le problème d'optimisation consiste à situer les maximums de lafonction || | | sur le cercle d'unité? Pour la simplicité, on

peut considérer que les valeurs du kurtosis sont du même signe, dans ce cas les opérateurs de

valeur absolue peuvent être omis. Le graphique de cette fonction est le paysage d'optimisation

pour le problème.

Les maximum sont aux points où exactement l’un des éléments du vecteur z est zéro et l'autre

différent de zéro; en raison de la contrainte de cercle d'unité, l'élément différent de zéro doit être

égal à 1 ou à -1. Mais ces points sont exactement ceux quand y est égale à l’une des composantes

indépendantes et le problème a été résolu.

Dans la pratique on commence à partir d'un certain vecteur , on calcule la direction suivant

laquelle le kurtosis se développe le plus fortement (si le kurtosis est positif) où

diminue le plus fortement (si le kurtosis est négatif) en se basant sur les échantillons disponibles 1 . . , du vecteur de mélange et en employant la méthode du gradient ou un de ces





prolongements pour la détermination d’un nouveau vecteur w. L'exemple peut être généralisé

aux dimensions arbitraires.

4.2.2. Néguentropie

L’entropie est le concept de base de la théorie de l’information. L’entropie d’une variable

aléatoire peut être interprétée comme le degré d’information que l’observation de la variable

fournit. Plus la variable y sera aléatoire et plus grande sera sa valeur de l’entropie.

L’entropie est définie pour une variable aléatoire discrète par :

2.19

où sont les valeurs possibles de

Cette définition peut être généralisée pour des variables aléatoires continues, dans ce cas elle

s’appelle l’entropie différentielle. Elle est définie par : log 2.20

où . est la densité de probabilité de la variable aléatoire .

Un résultat fondamental de la théorie de l’information est qu’une variable gaussienne a la plus

grande entropie parmi toutes les variables aléatoires à variance donnée.

Ceci signifie que l’entropie pourrait être employée comme mesure de non gaussianité. On emploi

souvent une version légèrement modifiée de la définition de l’entropie différentielle, appelée

néguentropie. Elle est définie comme suit :

2.21

est toujours positive ou nulle. En particulier, elle est nulle si est seulement si a une

distribution gaussienne. C’est donc une bonne mesure de non-gaussianité, bien justifiée par les





théories statistiques. L’inconvénient de la néguentropie est qu’elle nécessite l’estimation des

densités de probabilité des sources qui sont inconnues. Pour cette raison la néguentropie peut être

approximée en utilisant les cumulants d’ordre supérieur comme suit :

112 148 2.22

Cette approximation est non robustesse. C’est pourquoi une autre forme plus générale de

l’approximation de la néguentropie est introduite :

2.23

où : sont des constantes positives : sont des fonctions non-quadratiques.

Une autre approche consiste à n’utiliser qu’une seule fonction non-quadratique

. Dans ce cas,

l’approximation devient : 2.24

On remarque qu’en prenant , on obtient alors exactement l’équation 2.22. Mais le

point fort ici est celui en choisissant soigneusement, on obtient des approximations de

néguentropie qui sont meilleures que celle donnée par l’équation 2.22. Les choix suivants de

sont prouvés être très utiles:

1 , exp 2

où 1 2 est une constante appropriée.





4.3. ACI par estimation du maximum de vraisemblance

Une approche très populaire pour le modèle de l’ACI est l’estimation du maximum devraisemblance. Le but est de trouver les paramètres du mélange qui maximisent la probabilité

d’occurrence des observations. Ainsi, à partir de l’expression matricielle du mélange , on

peut exprimer la densité de probabilité du vecteur en fonction des densités de probabilité des

sources supposées indépendantes et du déterminant de l’inverse , … , de la

matrice de mélange

|det| 2.25

|det|

Cette relation peut être exprimée par rapport aux colonnes de la matrice et aux

observations :

|det| 2.26

Si on considère échantillons de , alors la vraisemblance peut être obtenue comme le

produit de cette densité évaluée à ces points et peut s’exprimer comme une fonction de :

∏ |det| ∏ 2.27

Il est souvent plus pratique de considérer le logarithme de la vraisemblance qui s’écrit :

log

|det| 2.28

Ce qui donne, en divisant par et en considérant la moyenne empirique notée . ,





1 log log

|det| 2.29

Comme pour la néguentropie, le principal inconvénient de la vraisemblance est que l’on ne

connait pas les densités de probabilité des sources. On peut alors supposer soit qu’elles sont

connues à priori, soit qu’elles appartiennent à une famille de distributions donnée. En utilisant les

fonctions score . log . et en supposant que le déterminant de est constant,

alors maximiser la vraisemblance correspond à minimiser la néguentropie ou maximiser

l’entropie. Les fonctions score

. s’appellent Infomax.

4.4. ACI basée sur la minimisation de l’information mutuelle

En utilisant le concept de l’entropie différentielle, on définit l’information mutuelle entre

variable comme suit :

, , … ,

2.30

L’information mutuelle est une mesure naturelle de la dépendance entre des variables aléatoires.

Elle est toujours positive ou nulle. En particulier, elle est nulle si et seulement si les variables sont

statistiquement indépendantes. Ainsi, on peut utiliser l’information mutuelle comme un critère

pour l’ACI. En effet, une propriété importante de l’information mutuelle est que pour une

transformation linéaire On a :

, , … , |det| 2.31

Pour de variance unité, on a : , et on a :d e t 1

Ceci implique que doit être constant. Donc, pour de variance égale à l’unité,

l’information mutuelle et néguentropie diffèrent seulement par une constante et le signe. Ainsi on

obtient,





, , … , .

2.32

Cette relation montre donc le rapport entre l’information mutuelle et la néguentropie.

5. Traitement pour ACI

Dans le paragraphe précédent, on a présenté les méthodes fondamentales des principes

statistiques de l’ACI. Cependant, avant d'appliquer un algorithme d'ACI sur les données, il est

habituellement très utile de faire un certain prétraitement. Dans cette section, on présente

quelques techniques de prétraitement qui rendent le problème de l'évaluation d'ACI plus simple.

5.1. Centrage

Le prétraitement le plus fondamental et le plus nécessaire dans l’analyse en composantes

indépendantes est le centrage de c.-à-d. la soustraction de son vecteur moyen afin

que devient de moyenne nulle et donc est aussi de moyenne nulle (ceci peut être démontré enprenant les espérances des deux côtés de l’équation 2.4.

Le seul but de ce prétraitement est la simplification des algorithmes d'ACI: Il ne signifie pas que

la moyenne ne pourrait pas être estimée. Après avoir estimé la matrice de mélange avec des

données centrées, on peut accomplir l'évaluation en ajoutant le vecteur moyen de aux

évaluations centrées de . Le vecteur moyen de est donné par où m est la moyenne qui

a été soustraite dans le prétraitement.

5.2. Blanchiment

Une autre stratégie utile de prétraitement dans l’ACI est le blanchiment des variables observées.

Ceci signifie qu'avant l'application de l'algorithme d'ACI (et après centrage), on transforme le

vecteur observé linéairement de sorte qu’on obtient un nouveau vecteur qui est blanc, c.-à-d.

ses composantes sont non-corrélées et leur variance égale à l’unité. En d'autres termes, la matrice

de covariance de

est égale à la matrice identité:





2.33

La transformation de blanchiment est toujours possible. Une méthode populaire pour blanchir est

d'employer la décomposition en valeur propre de la matrice de covariance tel que : où est la matrice orthogonale des vecteurs propres de et est la matrice

diagonale de ses valeurs propres , . . . , . peut être estimée des échantillons disponibles 1, . . . , . Le blanchiment se fait

alors comme suit :

2.34

où la matrice est calculée par l’opération suivante : , . . . , .

Le blanchiment transforme la matrice de mélange à une nouvelle matrice noté . On a à partir

des équations 2.4 et 2.34:

2.35

L'utilité du blanchiment réside dans le fait que la nouvelle matrice de mélange est orthogonale.

Ceci peut être remarqué à partir de :

2.36

Ici on peut voir que le blanchiment réduit le nombre des paramètres à estimer. Au lieu d’estimer

paramètres qui sont les éléments de la matrice originale , on doit seulement estimer la

nouvelle matrice de mélange orthogonale. Une matrice orthogonale contient 1 2⁄ degrés

de liberté. Par exemple, en deux dimensions, une transformation orthogonale est déterminée par

un paramètre simple d'angle. Dans de plus grandes dimensions, une matrice orthogonale contient

seulement environ la moitié du nombre de paramètres d'une matrice arbitraire. Ainsi, on peut

indiquer que le blanchiment résout la moitié du problème d'ACI.





Une illustration graphique de l'effet du blanchiment peut être vue sur la figure 2-10, dans lequel

les données sur la figure 2-6 ont été blanchies. Le carré définissant la distribution est maintenant

clairement une version tournée du carré original sur la figure 2-5. Tout ce qui reste est

l'évaluation d'un angle simple qui donne la rotation.

Figure 2-10. Distribution commune des mélanges blanchis

6. Analyse modale opérationnelle

6.1. Définition

L’analyse modale opérationnelle (AMO) est la technique d’analyse modale basée sur seulement

les réponses de la structure afin de déterminer ses paramètres modaux: les pulsations propres, les

modes propres et les coefficients d’amortissement. La technique est appliquée en remplacement

des méthodes classiques lorsqu’il est difficile d’exercer une force artificielle sur la structure [51,

55, 23].

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8





6.2. Avantages

Les avantages principaux de l'AMO sont:- La réponse mesurée représente des vraies conditions de fonctionnement de la

structure.

- L'installation est simple, franche et rapide, parce que seulement des accéléromètres

sont utilisés.

- Le prix d’exécution est très bas.

- L’opération ne demande pas un arrêt de production.

7. Identification des paramètres modaux par la méthode d’ACI

L'analyse en composante indépendante (ACI) / séparation aveugle des sources (BSS) est un

secteur naissant de recherche dans le domaine du traitement des signaux. Le but des techniques

d'ACI / BSS est d'identifier statistiquement des sources indépendantes et non gaussiennes d'un

mélange linéaire de telles sources. Il extrait également la matrice inconnue de mélange dans le

processus. Le but de ce travail est d’explorer la possibilité d’utiliser ce concept d’ACI dans

l'analyse modale opérationnelle dans laquelle le système est identifié seulement sur la base de ses

réponses qui sont une fonction des forces inconnues et des caractéristiques fondamentales du

système.

L’identification des paramètres modaux consiste à déterminer les fréquences naturelles, les

facteurs d’amortissement et les déformées modales.

Considérons l’équation de mouvement suivante d’un système à n degrés de liberté en vibration

libre soumis à des conditions initiales données ( et ) :

0 2.37

avec :: Matrice masse , : Matrice d’amortissement , : Matrice de rigidité , : Vecteur déplacement ,

: Vecteur vitesse

,





: Vecteur accélération .

En utilisant la méthode de superposition modale, La réponse s’écrit sous la forme matricielle

suivante :

2.38

avec : : Vecteur des grandeurs physiques mesurées (déplacement),

: Matrice modale composée des déformées modales

,

: Vecteur contenant les réponses modales. Ce dernier s’écrit sous la forme suivante :

exp sin 2.39

avec :

: Coefficients d’amortissements modaux

: Fréquences naturelles du système : Fréquences amortis du système : Angles de phase : Constantes à déterminer à partir des conditions initiales : Temps

Donc peut s’écrire :

exp sin 2.40

L’analyse modale opérationnelle consiste à déterminer la matrice des déformées modales , les

fréquences naturelles et les coefficients d’amortissements contenu dans en utilisant

seulement les signaux de sortie . D’où la similarité entre l’analyse modale et l’analyse en

composantes indépendantes.





En résumant, l'idée principale est d'interpréter les coordonnées physiques d’une structure en tant

que sources virtuelles avec différents contenus spectraux. En utilisant certaines hypothèses, les

techniques d'ACI fournissent la matrice de mélange et les réponses modales de la structure, ce

qui forme la base d'un procédé d'analyse modale véritablement simple:

(1) Effectuer les mesures expérimentales des réponses du système examinées dans différentes

positions.

(2) appliquer les techniques d'ACI aux mesurés pour estimer la matrice de mélange H et les

sources s(t).

(3) les déformées modales sont contenues dans la matrice de mélange

(4) on peut alors identifier la fréquence naturelle et le coefficient d'amortissement du modecorrespondant de vibration.

Le processus intégral est illustré dans la figure 2-11.

Figure 2-11. Processus de l’application de l’ACI dans l’AMO





Critères de performances

Afin de comparer la matrice propre théorique et estimée, on utilise les deux critères suivants :

Critère Modal d'Assurance Modale (MAC) :

Il est défini par :

2.41

avec et représentent respectivement les vecteurs modaux théoriques et estimés.

Si le critère d'assurance modale a une valeur près de zéro, donc les vecteurs modaux ne sont pas

conformes.Si le critère d'assurance modale a une valeur près de l'unité, ceci est une indication que les

vecteurs modaux sont conformes. Mais, Ceci ne signifie pas nécessairement qu'ils sont corrects.

L’erreur de l'approximation des déformées modales (Er), est la distance euclidienne de deux

vecteurs de la déformée modale. Il est défini par :

2.42

Afin de comparer les fréquences propres théoriques et estimées, on utilise le critère suivant :

L’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par

l’analyse modale opérationnelle (Ef), est définie de la manière suivante :

% 100 2.43

avec et représentent respectivement les fréquences propres théoriques et estimées.

8. Conclusion

L’analyse en composantes indépendantes est un problème fondamental en traitement de signal

qui peut être appliquée dans plusieurs domaines. Dans ce chapitre, on a présenté cette méthode en

commençant par une motivation afin de comprendre le principe de l’ACI et en présentant ces





principaux critères de séparation (maximisation de la non-gaussianité, maximisation de la

vraisemblance et minimisation de l’information mutuelle). A la fin on a montré comment l’ACI

peut être appliquée en AMO en prenant l’équation de mouvement d’un système discret à n degrés

de liberté en vibration libre soumis à des conditions initiales.




Chapitre 3. Mise en œuvre numérique de l’approche 52

Chapitre III

Mise en œuvre numérique de l’approche

1. Introduction ........................................................................................................................... 53

2. Présentation de l’algorithme RobustICA ........................................................................... 53 2.1 Extraction d’une composante indépendante ............................................................................. 54 2.2 Déflation ..................................................................................................................................... 55

3. Validation de la méthode ...................................................................................................... 57 3.1. système libre sans amortissement ............................................................................................ 58

3.1.1. Méthodes classiques : Méthode de superposition modale ................................................... 58 3.1.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 59 3.1.3. Résultats numériques ........................................................................................................... 60

3.2.

Système libre avec amortissement ........................................................................................... 69

3.2.1. Méthode classique : méthode de superposition modale ...................................................... 69 3.2.2. Description de l’exemple ..................................................................................................... 71 3.2.3. Détermination des paramètres structuraux ......................................................................... 72

4. Conclusion ............................................................................................................................. 82





1. Introduction

Dans le chapitre précédent, on a discuté les méthodes fondamentales des principes statistiques del’ACI tel que la maximisation du non gaussianité en utilisant comme critère de mesure le

Kurtosis ou la néguentropie, la maximisation de la vraisemblance et la minimisation de

l’information mutuelle.

Dans ce chapitre, on propose un nouvel algorithme pour l’ACI à déflation appelée RobustICA

qui consiste à réaliser l’optimisation exacte du Kurtosis et on va l’appliquer en analyse modale

opérationnelle d’un système mécanique discret en utilisant seulement les réponses au niveau des

masses discrétisées.

Dans une première partie, on va présenter l’algorithme RobustICA. Dans la deuxième partie, on

va valider l’algorithme en l’appliquant à un système discret (masse-ressort) à trois degrés de

liberté sans et avec amortissement. L’idée consiste alors à déterminer à partir des réponses

seulement les caractéristiques modales de la structure.

2. Présentation de l’algorithme RobustICA

RobustICA est un algorithme d’analyse en composantes indépendantes basé sur le kurtosiscomme critère de maximisation du non gaussianité afin de déterminer les composantes

indépendantes. Ce dernier est défini comme le cumulant marginal normalisé d’ordre quatre

[52,53].

Κ || 2|| |||| 3.1

On peut voir que ce critère est peu sensible au facteur d’échelle c'est-à-dire :Κ Κ , 0

Puisque cette indétermination d’échelle est en général sans importance, on peut imposer, sans

perte de généralité, la normalisation 1.

Le critère de maximisation du Kurtosis basé sur l’équation 3.1 est tout à fait général parce qu'il

n'exige pas que les observations soient blanchies et peut être appliqué à des sources complexes

ou réelles sans aucune modification.





2.1 Extraction d’une composante indépendante

L’approche consiste à réaliser l’optimisation exacte de la direction de recherche du contrasteabsolu de Kurtosis défini dans l’équation 3.1.

arg|Κ| 3.2

La direction recherchée est typiquement mais pas nécessairement le gradient, Κw

défini par :

Κw 4|| E|| EyxEy || || EyxE|y| 3.3

Le pas optimal menant au maximum global du contraste dans cette direction se trouve parmi les

racines d’un polynôme de quatrième degré.

À chaque itération, RobustICA cherche le pas optimal et il comporte les étapes suivantes :

S1) calculer les coefficients du polynôme du pas optimal.

Pour le contraste de kurtosis, le polynôme de pas optimal est donné par:

3.4

Les coefficients peuvent être obtenus à chaque itération à partir des signaux observés et

les valeurs actuelles de w et g. Leurs expressions se trouvent dans l’Annexe A [54]. Le

traitement numérique dans la détermination de peut être amélioré en normalisant le vecteur

de gradient à l'avance.

S2) Extraire les racines de polynôme de pas optimal

S3) choisir la racine menant au maximum absolu du contraste le long de la direction de

recherche .

arg|Κ | 3.5

S4) mettre à jour w :





3.6

S5) Normaliser :

3.7

L’algorithme peut être arrêté quand

1 || 3.8

avec est une petite constante statique qui peut être définie par : / avec 1

2.2 Déflation

Pour extraire plus d'un composant indépendant, le procédé déflationniste d'orthogonalisation de

Gram-Schmidt peut être employé dans RobustICA avec blanchiment, même si le blanchiment

n'est pas obligatoire pour cette méthode. Après l'étape 4, le vecteur extrait mis à jour est contraintpour se situer dans le sous-espace orthogonal des vecteurs extraits précédemment trouvés , , … , .Dans l'approche de régression linéaire à la déflation, après la convergence de l'algorithme de

recherche, la contribution de la source estimée à l'observation est calculée par l'intermédiaire de

la solution minimum de carré moyenne d’erreur au problème de régression linéaire ̂,

donné par :

arg ̂ ̂|̂| 3.9

Les observations sont alors dégonflées avant de réinitialiser l'algorithme dans la recherche de la

prochaine source comme suit : ̂ 3.10

Si le blanchiment n'est pas exécuté, l'orthogonalisation n'est plus une option alors que la

régression devient forcée.





Initialisations : ;

Entrées: ; pewhi; do-reg; tol2; max-it

Centrage

Prewhi

=?

Blanchiment

1Initialisation de ⁄

1

1

Calcul et

(Fonction kurt-gradient-optstep) 1

1

2 0

:

Do-reg

= ?

: ,

= ?

Fonction :deflation-regression

1

010

Vrai

Faux

Faux

Vrai





Fonction kurt-gradient-optstep Fonction :deflation-regression

Figure 3-1. Organigramme simplifié de la méthode de séparation de sources

3. Validation de la méthode

Afin de valider le programme RobustICA. On va utiliser dans une première partie la méthode de

superposition modale pour déterminer les paramètres modaux théoriques (les fréquencesnaturelles, les facteurs d’amortissements et les déformées modales) dans le cas d’un système

discret à trois degrés de liberté. Ensuite, on va utiliser le programme de séparation de sources

RobustICA pour estimer ces paramètres et enfin on va comparer les résultats obtenus par les deux

méthodes.

Initialisations : 0

Entrées: Calcul de

?

⁄ Calul des

arg| |

Entrées: ;

arg





3.1. système libre sans amortissement

3.1.1. Méthodes classiques : Méthode de superposition modale

On considère le système libre sans amortissement à plusieurs degrés de liberté défini par l’Eq.

(3.11) :

0à 0 3.11

La méthode de superposition modale convertit un ensemble couplé d'équations différentielles en

des équations désaccouplées en utilisant une transformation appropriée des coordonnées.

La transformation est représentée par :

3.12

avec est la matrice des déformées modales et est un vecteur de transformation des

coordonnées appelé vecteur des réponses modales.

La substitution de l’équation 3.12 dans l’équation de mouvement 3.11 et la multiplication des

deux cotés de l’équation résultante par , donnent : 0 3.13

En utilisant les propriétés d’orthogonalité de la matrice masse et de la matrice de rigidité, on

obtient l’équation de mouvement non couplée :

3.14

L’équation 3.14 peut être écrite aussi sous la forme suivante :

0 1,2, … , 3.15

L’équation 3.15 est composée de équations de mouvement d’un système à un seul degré de

liberté.





Avant de résoudre l’équation 3.15, on doit convertir les conditions initiales et du système

de coordonnées physiques au système de coordonnées modales. On les note par

et

, on a :

3.16

De même pour le vecteur de vitesse initial :

3.17

Le système de vibration libre dans l’espace modal est donné par :

0 1 , 2 , … , à 0 3.18

La solution de l’équation i est la même que celle d’un système à un seul degré de liberté.

cos sin 3.19

Une fois que la solution est trouvée dans l'espace modal, on emploie la transformation modale

donnée par l’équation 3.12 pour retourner à l'espace des coordonnées physiques .

3.1.2. Description de l’exemple

Le premier exemple est un système discret sans amortissement à 3 degrés de liberté en vibration

libre soumis à des conditions initiales (Figure3-2).





Figure3-2. Système vibratoire à trois degrés de liberté sans amortissement

On veut chercher les paramètres modaux de la structure par la méthode classique de

superposition modale et l’analyse modale opérationnelle.

3.1.3. Résultats numériques

3.1.3.1. Méthode classique

L’équation du mouvement du système est : 0

avec

La matrice de masse est:

2 0 00 1 00 0 1

La matrice de rigidité est: 2 1 01 2 10 1 1 Les déplacements initiaux sont : 100 Les vitesses initiales sont : 000

En utilisant la méthode de superposition modale, on obtient la matrice modale

0.3602 0.7071 0.23380.5928 0.0000 0.85240.7204 0.7071 0.4676 et les pulsations propres : 0.42091.00001.6801





Les réponses modales qui représentent les signaux sources à déterminer à partir de la méthode de

séparation de source

ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-3.

Figure 3-3.les réponse modales et leur spectre

Pour chaque réponse modale, le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la fréquence

propre du mode i (i=1, 2, 3). Les fréquences propres du système sont : 0.0670.15920.2674





3.1.3.2. Méthode d’analyse modale opérationnelle

En partant des réponses physiques mesurées au niveau des masses i (i=1,2 et 3), on utilise le

programme RobustICA afin de déterminer les signaux sources estimés qui contiennent les

informations sur les fréquences propres estimées et la matrice de mélange qui présente la matrice

modale estimée.

Les coordonnées physiques (où signaux observés) au niveau des masses i (i= 1, 2, 3) ainsi que

leur spectre sont présentés dans la figure 3-4.

Figure 3-4. Réponses vibratoires du système et leur spectre





On constate que le contenu spectral des signaux observés présente les différentes fréquences

propres du système discret étudié.

Afin de trouver les signaux séparés (les réponses modales), on va appliquer le programme

RobustICA dans un premier temps sans matrice de permutation et dans un deuxième temps avec

matrice de permutation puisque l’analyse en composantes indépendantes permet la séparation à

un facteur d’échelle et une permutation prés.

- Sans matrice de permutation

Les résultats de la séparation des signaux observés sont donnés par la figure 3-5 et la figure 3-6.

La figure 3-5 présente une comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.

La figure 3-6 représente le spectre des signaux estimés.





Figure 3-5. Comparaison des réponses modales théoriques et estimées

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps(s)

Résultat de la séparation: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estimé

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps(s)






Figure 3-6. Spectres des réponses modales estimées

Il est clair que les signaux sources sont estimés à un facteur d’échelle et une permutation prés.

Pour la permutation: la première source estimée correspond à la deuxième source théorique et la

deuxième source estimée correspond à la première source théorique.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

f=0.16Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

F F T ( Y ' ( 2 ) )

fréquence(Hz)

f=0.07Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

f=0.27Hz





Pour le facteur d’échelle : la première réponse modale est déterminée à un facteur d’échelle égal

à 0.5. La deuxième est déterminée à un facteur d’échelle égal à -1. La troisième est déterminée

à un facteur d’échelle égal à .

La matrice de mélange estimée fournit les informations sur les déformées modales. Les résultats

de la séparation après avoir ordonné les modes sont présentés dans le tableau 3-1.

Les déformées modales

Mode1 Mode2 Mode3

théorique estimée théorique estimée théorique estimée

0.3602 -0.1875 0.7071 -0.7064 0.2338 -0.07770.5928 -0.3034 0.0000 -0.0081 0.8524 0.28850.7204 -0.3732 0.7071 0.7040 0.4676 -0.1566

Tableau 3-1. Comparaison des déformées modales théoriques et estimées

- Avec matrice de permutation

Après avoir estimé les signaux sources, le programme RobustICA permet l’utilisation d’une

matrice de permutation qui permet de comparer les signaux sources estimés avec ceux théoriqueset les ordonnées en résolvant l’indétermination d’échelle tel que

Dans notre cas :

0 0.5167 00.9999 0 00 0 0.3357 La figure 3-7 présente une comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.

La figure 3-8 représente le spectre des signaux estimés.





Figure 3-7. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

temps(s)






Figure 3-8. Spectre des signaux estimés

Pour chaque coordonnée modale, le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la

fréquence propre estimée du mode i (i=1, 2, 3). D’où les fréquences propres estimées du

système :

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

f=0.07Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

F F T ( Y ' ( 2 ) )

fréquence(Hz)

f=0.16Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

500

1000

1500

2000

2500

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

f=0.27Hz





0.070.160.27

Hz


Mode1 Mode2 Mode3

théorique estimée théorique estimée théorique estimée0.3602 -0.3628 0.7071 0.7079 0.2338 0.23110.5928 -0.5872 0.0000 0.0081 0.8524 -0.85820.7204 -0.7223 0.7071 -0.7055 0.4676 0.4599

Tableau 3-2. Comparaison entre les déformées modales théoriques et estimées

L’erreur de l’approximation des déformées modales ainsi que le critère d’assurance modale sont

présentés dans le tableau suivant :

N° du mode MAC Er

1 1.0000 0.0065

2 0.9999 0.0083

3 0.9999 0.0100

Tableau 3-3. Critères de performance

Dans cette partie, on a essayé de valider la performance de l’algorithme RobustICA dans le cas

d’un système en vibration libre soumis à des conditions initiales et on a montré les ambigüités de

l’analyse en composantes indépendantes qui permet d’estimer les sources à un facteur d’échelle

et une permutation près.

Dans la suite de ce chapitre, on va utiliser le programme RobustICA avec la matrice de

permutation.

3.2. Système libre avec amortissement

3.2.1. Méthode classique : méthode de superposition modale

On considère l’équation de mouvement d’un système libre avec amortissement à plusieurs degrés

de liberté :





0

à

0

3.20

Pour appliquer la méthode de superposition modale, on va utiliser la transformation des

coordonnées physiques donnée par l’équation 3.12.

La substitution de l’équation 3.12 dans l’équation de mouvement et la multiplication des deux

cotés par , donnent l’équation de mouvement suivante dans l’espace des coordonnées

modales.

0à 0 3.21Si les coefficients d’amortissement pour tous les modes , , … , sont connus pour une

structure à degrés de liberté, la matrice d’amortissement transformée peut s’écrire :

2 0 00 … 0

0 0 2

3.22

La substitution de l’équation 3.22 dans l’équation de mouvement 3.21 donne le système

d’équation suivant :

2 0 1 , 2 , … , à 0 3.23

La solution de l’équation i est la même que celle d’un système à un seul degré de liberté.

On distingue 3 cas :

• Système amorti critique : 1 3.24





Le mouvement n'est pas oscillant

•

Système sur amorti: 1 3.25

avec

et sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales et

sont les pulsations propres amorties qui sont données par :

1 3.26

• Système sous amorti: 1

cos sin 3.27

avec sont données par :

1 3.28

La solution donnée par l’équation 3.28 peut être écrite sous la forme suivante :

sin 3.29

3.2.2. Description de l’exemple

Le deuxième exemple est un système discret à trois degrés de liberté avec amortissement en

vibration libre suomi à des conditions initiales comme illustré dans la figure 3-9.

Figure3-9. Système discret à trois degrés de liberté avec amortissement





Afin de valider le programme RobustICA en présence d’amortissement, on va considérer deux

cas. Le premier cas

0 . 0 1 , 1 , 2 , 3. Dans le deuxième cas, on augmente les valeurs des

coefficients d’amortissement en prenant 0.02, 1, 2,3

3.2.3. Détermination des paramètres structuraux

3.2.3.1. Méthode de superposition modale

L’équation du mouvement du système est : 0

avec la matrice de masse, la matrice de rigidité, les déplacements initiaux et les vitesses initiales

sont les mêmes que l’exemple1.

En utilisant la méthode de superposition modale, on obtient la matrice modale :

0.3602 0.7071 0.23380.5928 0.0000 0.85240.7204 0.7071 0.4676 et les pulsations propres : 0.42091.00001.6801

Les réponses modales qui représentent les signaux séparés à déterminer à partir de la méthode de

séparation de source

ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-10 pour le

premier cas, et par la figure 3-11 pour le deuxième cas.





Figure 3-10. Les réponses modales théoriques et leur spectre pour 0 . 0 1 , 1 , 2 , 3





Figure 3-11. Les réponses modales théoriques et leur spectre pour 0 . 0 2 , 1 , 2 , 3

3.2.3.2. Méthode d’analyse modale opérationnelle

Cas1 : . , , ,

Les signaux observés ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-12.





Figure 3-12. Les signaux observés et leur spectre

Le résultat de la séparation par la méthode d’analyse modale opérationnelle des signaux observés

est donné par la figure 3-13 qui présente une comparaison entre les réponses modales théoriques

et estimées.

La figure 3-14 présente les spectres des réponses modales estimées.





Figure 3-13. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

temps(s)







Les fréquences propres estimées du système sont:

0.070.160.27 Hz

La matrice de mélange estimée fournit les informations sur les déformées modales. Les résultats

de la séparation sont présentés dans le tableau 3-4.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

f=0.07Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1000

2000

3000

4000

5000

F F T ( Y ' ( 2 ) )

fréquence(Hz)

f=0.16Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

200

400

600

800

1000

1200

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

f=0.27Hz






Mode1 Mode2 Mode3

théorique estimée théorique estimée théorique estimée0.3602 -0.3587 0.7071 0.7086 0.2338 0.24990.5928 -0.5922 0.0000 0.0048 0.8524 -0.85210.7204 -0.7224 0.7071 -0.7042 0.4676 0.4521

Tableau 3-4. Comparaison des déformées modales et théoriques


présentés dans le tableau 3-5

N° du mode MAC Er

1 1.0000 0.0026

2 1.0000 0.0058

3 0.9995 0.0224

Tableau 3-5. Les critères de performances

Cas2 : . , , ,

Les signaux observés ainsi que leur spectre sont représentés par la figure 3-15.





Figure 3-15. Les signaux observés et leur spectre

Le résultat de la séparation par la méthode d’analyse modale opérationnelle des signaux observés

est donné par la figure 3-16 qui présente une comparaison entre les réponses modales théoriques

et estimées.

La figure 3-17 présente les spectres des réponses modales estimées.





Figure 3-16. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

temps(s)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

temps(s)







On constate que les signaux estimés ne sont pas conformes aux signaux sources.

Le tableau 3-6 présente les résultats de la séparation.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

500

1000

1500

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

500

1000

1500

2000

2500

F F T ( Y ' 2 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)






Mode1 Mode2 Mode3

théorique estimée théorique estimée théorique estimée0.3602 0.2655 0.7071 0.8773 0.2338 00.5928 -0.5432 0.0000 0.2447 0.8524 00.7204 -1.3868 0.7071 -0.3666 0.4676 0

Tableau 3-6. Comparaison entre les déformées modales théoriques et estimées


présentés dans le tableau 3-7

N° du mode MAC Er

1 0.6560 0.9155

2 0.8026 0.4525

3 NaN 1.0000

Tableau 3-7. Critères de performances

Suite à ces deux cas, on remarque que les coefficients d’amortissements affectent la performance

de l’algorithme RobustICA. Plus le coefficient d’amortissement augmente plus la séparation est

incorrect. On peut donc conclure que le programme RobustICA est fiable en absence

d’amortissement où dans le cas où les coefficients d’amortissements sont très faibles.

4. Conclusion

Dans ce chapitre, un nouvel algorithme d’analyse en composantes indépendantes ‘RobustICA’est proposé pour l’analyse modale opérationnelle. Suite à son application à un système discret à

3 degrés de liberté, on a pu le valider dans le cas non amortis. Pour l’autre cas c'est-à-dire pour

des systèmes discrets amortis, le programme reste fiable pour des coefficients d’amortissement

très faible.

Dans la suite de ce rapport, on va considérer seulement des structures dynamiques déformables

de géométrie plus au moins simple sans amortissement.




Chapitre 4. Détermination des caractéristiques modales des structures par AMO 83

Chapitre IV

Détermination des caractéristiques modales des

structures par analyse modale opérationnelle

1. Introduction ........................................................................................................................... 85 2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion ................................................................ 85

2.1. Poutre encastrée-libre ................................................................................................................ 86 2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 86 2.1.2. Méthode de superposition modale ....................................................................................... 87 2.1.3. Signaux observés ................................................................................................................. 91 2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle .......................................................................... 93 2.1.5. Les critères de performances ............................................................................................... 97

2.2. Poutre encastrée-encastrée ......................................................................................................... 97 2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini ................................................................................ 97 2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ........................................... 99 2.2.3. Signaux observés ............................................................................................................... 102 2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ......................................... 104 2.2.5. Les critères de performances ............................................................................................. 108

3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords ................................ 108 3.1. Validation du modèle de l’élément fini ...................................................................................... 108 3.2. Méthode de superposition modale ............................................................................................. 110


3.3. Signaux observés ....................................................................................................................... 114 3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle ................................................. 116

3.4.1. Les fréquences propres estimées ....................................................................................... 116





3.4.2. Les déformées modales estimées ....................................................................................... 118 3.4.3. Les critères de performances ............................................................................................. 120

4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois .................................................... 121 4.1. Description de l’exemple .......................................................................................................... 121 4.2. Equation du mouvement du système double parois ................................................................ 121

4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé ................................................................. 121 4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie .......................................... 123 4.2.3. Energie de déformation de la plaque .............................................................................. 124 4.2.4. Energie cinétique de la plaque i ........................................................................................ 126 4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique

0 .......................... 126

4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2) ............... 128 4.2.7. Equation matricielle .......................................................................................................... 128

4.3. Validation du modèle de l’élément fini .................................................................................... 129 4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale ............................................... 131


4.5. Signaux observés ...................................................................................................................... 135 4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle ............................................. 137


5. Conclusion ........................................................................................................................... 142





1. Introduction

Ce chapitre est consacré à l’étude du comportement vibratoire de différents types de structure paranalyse modale opérationnelle en utilisant le programme RobustICA présenté dans le chapitre

précédent. Les structures étudiées sont :

- Structure unidimensionnelle : Poutre encastrée libre et poutre encastrée-encastrée,

- Structure bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords,

- Structure tridimensionnelle : système double parois.

Pour chaque structure : D’abord, on va valider le modèle de l’élément fini. Ensuite, On va

chercher les paramètres modaux (fréquences propres et déformées modales) dans un premier

temps en appliquant la méthode de superposition modale et dans un deuxième temps en

appliquant la méthode d’analyse modale opérationnelle. Enfin, on va comparer les résultats

obtenus par les deux méthodes.

2. Structure unidimensionnelle: Poutre en flexion

On considère une poutre en acier. Ces caractéristiques sont :

Longueur : 1

Section: 2 1 0

Module d’Young: 2 1 0/²

Coefficient de Poisson : 0 . 2 9Masse volumique : 7858 /

On va étudier deux cas pour la fixation de la poutre :

- Poutre encastrée-libre,

- Poutre encastrée-encastrée.





2.1. Poutre encastrée-libre

2.1.1. Validation du modèle de l’élément fini

Les fréquences analytiques sont calculées, pour un mode i donné, de la manière suivante (Annexe

B [50]):

2 ;1,2,3,… 4.1

avec :

Longueur de la poutre

Masse par unité de longueur de la poutre

: Module de Young

: Moment d’inertie de la poutre

1 1.8751047

2 4.69409113 3 7.85475744 4 10.99554073 5 14.13716839 5 41 2

Tableau 4-1. Les valeurs de

dans le cas d’une poutre encastrée-libre (Annexe B [50])

Les fréquences numériques sont obtenues en utilisant un maillage de 20 éléments (21 nœuds) :

Figure 4-1. Maillage de la poutre par 20 éléments





Figure 4-2.Comparaison des calculs numériques et analytiques

2.1.2. Méthode de superposition modale

2.1.2.1. Les fréquences propres

La figure 4-3 présente les quatre premières réponses modales de la poutre et leur spectre.

1 2 3 4 5 60

200

400

600

800

1000

1200

1400

n°du mode

f r é q u e n c e s e n H z

fréquences analytiques

fréquences numériques





Figure 4-3. Réponses modales de la poutre et leur spectre

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

Y ( 1 )

temps(s) 0 200 400 600 800 10000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

F F T ( Y ( 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-4

-2

0

2

4x 10

-7

Y ( 2 )

temps(s) 0 200 400 600 800 10000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

F F T ( Y ( 2 ) )

fréquence(Hz)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2

-1

0

1

2x 10

-7

Y ( 3 )

temps(s)

0 200 400 600 800 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

F F T ( Y ( 3 ) )

fréquence(Hz)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

-1

0

1

2

x 10-8

Y ( 4 )

temps(s)

0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.5

1

1.5

2x 10

-3

F F T ( Y ( 4 ) )

fréquence(Hz)





Pour chaque réponse modale le contenu spectral montre une seule fréquence qui est la fréquence

propre de la poutre. Le tableau 4-2 regroupe les fréquences propres théoriques de la poutre

encastrée-libre.

N° du mode Fréquence propres (Hz) N° du mode Fréquences propres (Hz)

1 16.29 11 5067.7

2 102.1 12 6090.6

3 286.02 13 7213

4 560.51 14 8437.7

5 926.6 15 9767.4

6 1384.6 16 11205

7 1934.5 17 12750

8 2576.9 18 14398

9 3312.5 19 16116

10 4142.3 20 17718

Tableau 4-2. Fréquences propres théoriques de la poutre encastrée-libre

2.1.2.2. Les déformées modales théoriquesLa figure 4-4 présente les six premières déformées modales de la poutre.





Figure 4-4. Déformées modales de la poutre

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

-1

0

m o

d e 1

x(m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 2

x(m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 3

x(m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d

e 4

x(m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 5

x(m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 6

x(m)





2.1.3. Signaux observés

Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par l’analyse modale

opérationnelle, on utilise les 20 réponses vibratoires au niveau des nœuds présentés en bleu sur la

figure 4-5. La poutre est en vibration libre soumises à des conditions initiales aléatoires générées

selon une loi de probabilité uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal à 10.

.

Figure 4-5. Emplacement des signaux observés sur la poutre

Les signaux observés sont numérotés de 1 à 20. La figure 4-6 présente quelques signaux

observés au niveau des nœuds 2, 6, 12 et 16.





Figure 4-6. Signaux observés et leur spectre

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

X ( 1 )

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

F F T ( X ( 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-6

X ( 5 )

temps(s) 0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

F F T ( X ( 5 ) )

fréquence(Hz)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-6

X ( 1 1 )

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

F F T ( X ( 1 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

-1

0

1

2x 10

-6

X ( 1 5 )

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

F F T ( X ( 1 5 ) )

fréquence(Hz)





2.1.4. Méthode d’analyse modale opérationnelle

2.1.4.1. Les fréquences propres estimées

En partant des réponses vibratoires i 1, …20, on utilise le programme RobustiCA afin de

déterminer les réponses modales 1 … 2 0 qui contiennent les fréquences propres

estimées. La figure 4-6 présente une comparaison entre les quatre premières réponses modales

théoriques et estimées ainsi que les spectres des réponses modales estimées.





Figure4-6. Comparaison entre les réponses modales théoriques et estimées ainsi et les spectres

des réponses modales estimées

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

0.5

0

0.5

1x 10

-6

temps(s)


0 200 400 600 800 10000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

16Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-4

-2

0

2

4x 10

-7

temps(s)

Rés ultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, e n rouge Y(2) es timé

0 200 400 600 800 10000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

F F T ( Y ' ( 2 ) )

fréquence(Hz)

102Hz

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

-1

0

1

2x 10

-7

temps(s )

Rés ultat de la sé paration: en bleu Y(3) théorique, en r ouge Y(3) estimé

0 200 400 600 800 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

286Hz

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

-1

0

1

2x 10

-8

temps(s)

Résultat de la séparation: en bleu Y(4) théorique, en r ouge Y(4) estim é

0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.5

1

1.5

2x 10

-3

F F T ( Y ' ( 4

) )

fréquence(Hz)

561Hz





Pour chaque réponse modale, le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui est la

fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-3 présente les fréquences propres

estimées

N° du

mode

Fréquences propres estimées

(Hz)

N° du

mode


(Hz)

1 16 11 5068

2 102 12 6091

3 286 13 7213

4 561 14 8438

5 927 15 9767

6 1385 16 11205

7 1934 17 12750

8 2577 18 14398

9 3312 19 16116

10 4142 20 17718

Tableau 4-3. Les fréquences propres estimées

2.1.4.2. Les déformées modales estimées

La figure 4-7 présente une comparaison entre les six premières déformées modales de la poutre

estimées et théoriques.





Figure 4.7. Comparaison des déformées modales estimées et théorique de la poutre

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

-1

0

m o d e 1

x(m)

Résultat de la séparation: en bleu mode(1) théorique, en rouge mode(1) estimé

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 2

x(m)

Résultat de la séparation: en bleu m ode(2) théorique, e n rouge mode (2) estimé

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 3

x(m)

Résultat de la séparation: en bleu mode(3)théorique, en rouge mode(3) estimé

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e 4

x(m)

Résultat de la séparation: en bleu mode(4} théorique, en rouge mode(4} estimé

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1

-2

0

2

m o d e 5

x(m)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e 6

x(m)

Résultat de la sépara tion: en bleu m ode(6) théorique, e n rouge mode (6) estimé





2.1.5. Les critères de performances

Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela poutre encastrée-libre.

MAC Er Ef (%) MAC Er Ef (%)

Mode 1 1.0000 0.0036 1.7802 Mode 11 1.0000 0.0006 -0.0059

Mode 2 1.0000 0.0094 0.0979 Mode 12 1.0000 0.0008 -0.0066

Mode 3 1.0000 0.0083 0.0069 Mode 13 1.0000 0.0005 0.0000

Mode 4 1.0000 0.0067 -0.0874 Mode 14 1.0000 0.0008 -0.0036

Mode 5 1.0000 0.0015 -0.0431 Mode 15 1.0000 0.0004 0.0041

Mode 6 1.0000 0.0101 -0.0288 Mode 16 1.0000 0.0004 0.0000

Mode 7 1.0000 0.0007 0.0258 Mode 17 1.0000 0.0020 0.0000

Mode 8 1.0000 0.0022 -0.0039 Mode 18 1.0000 0.0021 0.0000

Mode 9 1.0000 0.0007 0.0151 Mode 19 1.0000 0.0026 0.0000

Mode 10 1.0000 0.0208 0.0072 Mode 20 1.0000 0.0007 0.0000


On remarque que le critère d’assurance modal MAC est égal à 1 pour les 20 modes et que l’erreur

de l’approximation des déformées modale Er n’a pas dépassé 0.03. En plus, l’erreur relative entre

les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par l’AMO Ef n’a pas dépassé

2%. Donc, les résultats obtenus par la méthode de superposition modale et la méthode d’analyse

modale opérationnelle sont très proches.

2.2. Poutre encastrée-encastrée

2.2.1. Validation du modèle de l’élément fini

Les fréquences analytiques sont calculées en utilisant l’équation 4.1, avec les valeurs de données par le tableau 4-5.





Tableau 4-5 .Valeurs de pour une poutre encastrée-encastrée (Annexe B [50])

Les fréquences numériques sont obtenues en utilisant un maillage de 20 éléments.

Figure 4-8. Maillage de la poutre par 20 éléments

Figure 4-9. Comparaison des calculs numériques et analytiques

1 4.73004074

2 7.85320462 3 10.9956078 4 14.1371655 5 17.2787597 5 21 2

1 2 3 4 5 60

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

n°du mode

f r é q u e n c e

s e n H z







2.2.2. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale

2.2.2.1. Les coordonnées modales

La figure 4-10 présente les quatre premières réponses modales de la poutre et leur spectre.

Figure 4-10. Réponses modales de la poutre et leur spectre

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

Y ( 1 )

temps(s) 0 500 1000 1500 20000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

F F T ( Y ( 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-7

Y ( 2 )

temps(s)

0 500 1000 1500 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

F F T ( Y ( 2 ) )

fréquence(Hz)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-2

-1

0

1

2x 10

-7

Y ( 3 )

temps(s)

0 500 1000 1500 20000

0.005

0.01

0.015

0.02

F F T ( Y ( 3 ) )

fréquence(Hz)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-

Y ( 4

)

temps(s)

0 500 1000 1500 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

F F T ( Y

( 4 ) )

fréquence(Hz)






propre du mode correspondant. Le tableau 4-6 regroupe les fréquences propres théoriques de la

poutre encastrée-libre.

N° du mode Fréquences propres en

Hz

N° du mode Fréquences propres en

Hz

1 103.72 11 6091.8

2 285.91 12 7215.2

3 560.52 13 8441.44 926.66 14 9773.5

5 1384.6 15 11214

6 1934.5 16 12765

7 2576.9 17 14419

8 3312.6 18 16144

9 4142.6 19 17743

10 5068.4Tableau 4-6. Les fréquences propres théoriques de la poutre encastrée-libre.

2.2.2.2. Les déformées modales théoriques

La figure 4-11 présente les six premières déformées modales théoriques de la poutre encastrée-

encastrée.





Figure 4-11. Les déformées modales théoriques de la poutre encastrée-encastrée.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

0.5

1

1.5

m o

d e 1

x(m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e 2

x(m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e 3

x(m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e

4

x(m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e 5

x(m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1-2

0

2

m o d e 6

x(m)





2.2.3. Signaux observés

Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analyse

modale opérationnelle, on utilise les 19 réponses vibratoires au niveau des nœuds présentées en

bleu sur la figure 4-12.

Figure 4-12. Emplacement des signaux observés sur la poutre


observés au niveau des nœuds 2, 6, 12 et 16. La poutre est en vibration libre soumise à des

conditions initiales aléatoires générées selon une loi de probabilité uniforme de moyenne nulle et

d’écart type égal à

10.





Figure 4-13.Quelques réponses vibratoires au niveau de la poutre.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

X ( 1 )

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

F F T ( X ( 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-6

X ( 5 )

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

F F T ( X ( 5 ) )

fréquence(Hz)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

-1

0

1

2x 10

-6

X ( 1 1

)

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

F F T ( X ( 1

1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-6

X ( 1 5 )

temps(s)0 0.5 1 1.5 2

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

F F T ( X

( 1 5 ) )

fréquence(Hz)





2.2.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle

2.2.4.1. Les fréquences propres estimées

En partant des réponses vibratoires 1,…,19, on utilise le programme RobustiCA afin de

déterminer les réponses modales estimées 1,…,19 qui contiennent les fréquences

propres estimées. La figure 4-14 présente les quatre premières réponses modales de la poutre

encastrée-encastrée.





Figure 4-14. Réponses modales de la poutre encastrée-encastrée.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

temps(s)

Résultat de la sé paration: en bleu Y(1) théorique, en rouge Y(1) estim é

0 500 1000 1500 20000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

f=104Hz

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-7

temps(s)


0 500 1000 1500 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

F F T ( Y ' ( 2 ) )

fréquence(Hz)

f=286Hz

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-2

-1

0

1

2x 10

-7

temps(s)

Résultat de la sé paration: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) estimé

0 500 1000 1500 20000

0.005

0.01

0.015

0.02

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

f=561Hz

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-7

temps(s)

Résultat de la sé paration: en bleu Y(4) théorique, en rouge Y(4) estim é

0 500 1000 1500 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

F F T ( Y ' ( 4 ) )

fréquence(Hz)

f=927Hz





Pour chaque réponse modale, le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui est la

fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-7 présente les fréquences propres

estimées.

N° du

mode


(Hz)

N° du

mode


(Hz)

1 104 11 6092

2 286 12 7215

3 561 13 84414 927 14 9774

5 1385 15 11214

6 1935 16 12765

7 2577 17 14419

8 3313 18 16155

9 4143 19 17743

10 5068Tableau 4.7. Les fréquences propres estimées de la poutre encastrée- encastrée

2.2.4.2. Les déformées modales estimées

La figure 4-15 présente une comparaison entre les six premières déformées modales de la poutre

estimées et théoriques.





Figure 4-15. Comparaison des déformées modales de la poutre estimées et théoriques.

0 0.5 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10

0.5

1

1.5

m o d

e 1

x(m)

Résultat de la sépara tion: en bleu mode(1) théorique, en rouge mode(1) estimé

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 2

x(m)

Résultat de la sépara tion: en bleu mode (2) théorique, e n rouge mode(2) estimé

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 3

x(m)

Résultat de la séparation: en bleu m ode(3) théorique, en rouge mode(3) estimé

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 4

x(m)


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

-1

0

1

2

m o d e 5

x(m)

Résultat de la séparation: en bleu m ode(5) théorique, en rouge m ode(5) estimé

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

0

2

m o d e 6

x(m)







Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela poutre encastrée-encastrée.

MAC Er Ef (%) MAC E Ef (%)

Mode 1 1.0000 0.0006 -0.2700 Mode 11 1.0000 0.0004 -0.0033

Mode 2 0.9996 0.0751 -0.0315 Mode 12 1.0000 0.0062 0.0028

Mode 3 1.0000 0.0015 -0.0856 Mode 13 1.0000 0.0002 0.0047

Mode 4 1.0000 0.0016 -0.0367 Mode 14 1.0000 0.0010 -0.0051

Mode 5 1.0000 0.0034 -0.0289 Mode 15 1.0000 0.0012 0Mode 6 1.0000 0.0019 -0.0258 Mode 16 1.0000 0.0027 0

Mode 7 1.0000 0.0010 -0.0039 Mode 17 1.0000 0.0005 0

Mode 8 1.0000 0.0005 -0.0121 Mode 18 1.0000 0.0005 -0.0681

Mode 9 1.0000 0.0079 -0.0097 Mode 19 1.0000 0.0038 0

Mode 10 1.0000 0.0007 0.0079


On remarque que le critère d’assurance modal MAC est égal à 1 sauf pour le deuxième mode(0.9996) et que l’erreur de l’approximation des déformées modale Er n’a pas dépassé 0.08. En

plus, l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par

l’AMO Ef varie entre 0 et 0.27%. Donc, les résultats obtenus par la méthode de superposition

modale et la méthode d’analyse modale opérationnelle sont très proches.

3. Structure bidimensionnelle : Plaque encastrée à ces quatre bords

3.1. Validation du modèle de l’élément fini

Les fréquences analytiques sont calculées, pour un mode i donné, de la manière suivante (Annexe

B [50]) :

2 121 ; 1,2,3,…;1,2,3,… 4.2





avec :

1 . 2 : Longueur de la plaque

0 . 8 : Largeur de la plaque

: En fonction de

0 . 2 9 : Coefficient d’amortissement

4620 10/² : Masse par unité de surface

2 1 0 : Module de Young

0.004: Épaisseur de la plaque

Tableau 4.9. Valeurs de pour une plaque encastrée sur les quatre bords (Annexe B [50])

Les fréquences numériques sont obtenues en utilisant un maillage de 324 éléments QKT.

1 2 3 4 5 6 1.5

60.77

(1,1)

93 .86

(2,1)

148.8

(1,2)

149.74

(3,1)

179.7

(2,2)

226.9

(4,1)





Figure4-16. Comparaison des calculs numérique QKT et analytique

3.2. Méthode de superposition modale

3.2.1. Les fréquences propres théoriques

La figure 4-17 présente les quatre premières réponses modales de la plaque et leur spectre.

1 2 3 4 5 660

80

100

120

140

160

180

200

220

240

n°du mode

f r é q u e n c e e n H z







Figure4-17. Réponses modales de la plaque et leur spectre

0 0.05 0.1 0.15-2

-1

0

1

2x 10

-6

Y ( 1 )

temps(s)0 200 400 600 800

0

0.02

0.04

0.06

0.08

F F T ( Y ( 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

Y ( 2 )

temps(s) 0 200 400 600 8000

0.01

0.02

0.03

0.04

F F T ( Y ( 2

) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15-2

-1

0

1

2x 10

-7

Y ( 3 )

temps(s) 0 200 400 600 8000

1

2

3

4

5x 10

-3

F F T ( Y

( 3 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-6

Y ( 4 )

temps(s) 0 200 400 600 8000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

F F T ( Y ( 4 ) )

fréquence(Hz)






propre du mode correspondant. Le tableau 4-10 regroupe les fréquences propres théoriques de la

plaque encastrée à ces quatre bords.

N° du mode Fréquences propres (Hz) N° du mode Fréquences propres (Hz)

1 63.0178 14 436.4142

2 96.9054 15 456.7740

3 154.2756 16 476.6319

4 154.4067 17 502.28375 184.5595 18 524.1467

6 234.0256 19 525.9426

7 236.6691 20 546.0240

8 292.3649 21 599.4082

9 310.8788 22 608.7174

10 320.2663 23 636.5955

11 334.9091 24 662.518812 368.0194 25 691.1654

13 406.8240

Tableau. 4-10. Les fréquences propres théoriques de la plaque encastrée à ces quatre bords.

3.2.2. Les déformées modales théoriques

La figure 4-18 présente les six premières déformées modales de la plaque.





Mode 1 :

63.0178Mode 2 :

96.0178

Mode 3 : 154.2756 Mode 4 : 154.4067

Mode 5 : 184.5595 Mode 6 : 234.0256

Figure 4-18. Déformées modales de la plaque

0

0.5

1

0

0.5

-0.4

-0.2

0

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

x 0

0.5

1

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

xy

w





3.3. Signaux observés

Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analyse

modale opérationnelle, on utilise les 25 réponses vibratoires au niveau des nœuds présentés en

bleu sur la figure 4-19. La plaque est en vibration libre soumise à des conditions initiales

aléatoires générées selon une loi de probabilité uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal

à 10.

Figure 4-19. Emplacement des signaux observés


observés au niveau des nœuds 64, 124, 175 et 298.





Figure.4-20. quelques signaux observés au niveau de la plaque

(b1) (a1) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-5

0

5x 10

-7

X ( 2 )

temps(s)0 200 400 600 800

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

F F T ( X ( 2 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

X ( 8 )

temps(s)0 200 400 600 800

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

F F T ( X ( 8

) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

X ( 1 1 )

temps(s)0 200 400 600 800

0

0.005

0.01

0.015

0.02

F F

T ( X ( 1 1 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-7

X ( 2 4 )

temps(s)0 200 400 600 800

0

2

4

6

8x 10

-3

F

F T ( X ( 2 4 ) )

fréquence(Hz)





3.4. Résultats de la séparation par analyse modale opérationnelle

3.4.1. Les fréquences propres estimées

En partant des réponses vibratoires 1,…,25, on utilise le programme RobustiCA afin de

déterminer les réponses modales 1 , … , 2 5 qui contiennent les fréquences propres


théoriques et estimées de la plaque ainsi que les spectres des réponses modales estimées.





Figure.4-21. Comparaison des réponses modales théoriques et estimées

0 0.05 0.1 0.15-2

-1

0

1

2x 10

-6

temps(s)


0 200 400 600 8000

0.02

0.04

0.06

0.08

F F T ( Y ' ( 1 ) )

fréquence(Hz)

f=63Hz

0 0.05 0.1 0.15-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-6

temps(s)

Résultat de la séparation: en bleu Y(2) théorique, en r ouge Y(2) estimé

0 200 400 600 8000

0.01

0.02

0.03

0.04

F F T ( Y ' ( 2 ) )

fréquence(Hz)

f=97Hz

0 0.05 0.1 0.15-2

-1

0

1

2x 10

-7

temps(s)

Résultat de la séparation: en bleu Y(3) théorique, en rouge Y(3) est imé

0 200 400 600 8000

1

2

3

4x 10

-3

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

f=154Hz

0 0.05 0.1 0.15-2

-1

0

1

2x 10

-6

temps(s)

Résultat de la séparation: en bleu Y(4) théorique, en r ouge Y(4) estimé

0 200 400 600 8000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

F F T ( Y ' ( 4 ) )

fréquence(Hz)

f=154.5Hz





Pour chaque réponse modale estimée le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui

est la fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-11 présente les fréquences

propres estimées.

N° du

mode

Fréquences propres

estimées (Hz)

N° du

mode

Fréquences propres

estimées (Hz)

1 63 14 436.5

2 97 15 457

3 154 16 476.54 154.5 17 502.5

5 184.5 18 524

6 234 19 526

7 236 20 546

8 292.5 21 599

9 311 22 608.5

10 320.5 23 636.511 335 24 662.5

12 368 25 691

13 407

Tableau.4-11. Les fréquences propres estimées.

3.4.2. Les déformées modales estimées

La figure 4-22 présente les six premières déformées modales estimées de la plaque.





Mode 1 : 64 Mode 2 : 97

Mode 3 : 154 Mode 4 : 154.5

Mode 5 : 184.5 Mode 6 : 234

Figure 4-22. Les déformées modales estimées de la plaque.

0

0.5

1

0

0.5

-0.4

-0.2

0

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

00.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

00.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w






Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dela plaque encastrée à ces quatre bords.

Tableau4-12. Les critères de performances

On remarque que le critère d’assurance modal MAC a des valeurs égales à 1 ou à peu prés égales

à 1 pour les 25 modes et que l’erreur de l’approximation des déformées modale Er n’a pas

dépassé 0.17. En plus, l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les

fréquences estimées par l’AMO Ef n’a pas dépassé 0.3%. Donc, les résultats obtenus par laméthode de superposition modale et la méthode d’analyse modale opérationnelle sont très

proches.


Mode 1 1.0000 0.0010 0.0284 Mode 14 1.0000 0.0042 -0.0196

Mode 2 1.0000 0.0018 -0.0976 Mode 15 0.9992 0.0091 -0.0495

Mode 3 0.9998 0.0076 0.1787 Mode 16 0.9999 0.0078 0.0277

Mode 4 0.9933 0.1298 -0.0604 Mode 17 0.9997 0.0039 -0.0431

Mode 5 0.9998 0.0046 0.0323 Mode 18 0.9248 0.0377 0.0280

Mode 6 1.0000 0.0074 0.0109 Mode 19 0.8500 0.0077 -0.0109

Mode 7 0.9997 0.0059 0.2827 Mode 20 1.0000 0.0264 0.0044

Mode 8 0.9909 0.0013 -0.0462 Mode 21 1.0000 0.0004 0.0681

Mode 9 0.9988 0.1606 -0.0390 Mode 22 1.0000 0.0105 0.0357

Mode 10 0.9999 0.0046 -0.0730 Mode 23 1.0000 0.0035 0.0150

Mode 11 1.0000 0.0024 -0.0271 Mode 24 1.0000 0.0176 0.0029

Mode 12 1.0000 0.0074 0.0053 Mode 25 0.9999 0.0912 0.0239

Mode 13 0.9898 0.0035 -0.0432





4. Structure tridimensionnelle: Systèmes double parois

4.1. Description de l’exemple

On considère le système double parois schématisé par la figure suivante :

Figure. 4-23. Système double parois

Ce système est constitué de deux plaques minces reliées bords à bord par un joint viscoélastique

de rigidité linéique et d’amortissement linéique nul. L’ensemble plaques-joint est placé, à

l’aide de deux autres joints viscoélastiques de rigidité linéique comme indiqué par la figure. Lesdeux plaques sont supposées minces, d’épaisseurs constantes et en flexion pure.

4.2. Equation du mouvement du système double parois

On présente dans ce paragraphe une formulation variationnelle des deux plaques et des joints

viscoélastiques ce qui conduit à la détermination de la formulation variationnelle totale du

système couplé. Cette formulation est établie en termes de déplacement des deux plaques.

La discrétisation par éléments finis de la formulation variationnelle du système couplé conduit à

un système matriciel symétrique dont la résolution permet la détermination des déplacements

transversaux des deux plaques.

4.2.1. Formulation variationnelle du système couplé

La fonctionnelle d’énergie associée au système double parois s’écrit (la masse des joints étant

négligée par rapport à celle des plaques) :





é

é

é

é

é

é

é 4.3

Les différentes quantités énergétiques du système couplé sont définies par :

12 ∑ ∑ 4.4

2 ∑ ∑ 4.5

é 12 ∑ 4.6

é

12

∑ 4.7

é 12 ∑ 4.8

avec :

: La rigidité à la flexion de la plaque i (i=1,2)

121 4.9

: sont respectivement le module d’Young et le coefficient de Poisson du matériau

isotrope constitutif de la plaque i

: est la masse volumique de la plaque i





: est l’épaisseur de la plaque i.

4.2.2. Discrétisation par élément finis de la fonctionnelle d’énergie

La discrétisation par éléments finis de la fonctionnelle d’énergie associée à la formulation

variationnelle du système double parois permet la construction d’un système matriciel dont la

résolution aboutit à la détermination des inconnues du problème qui sont les déplacements des

deux plaques et .

Les deux plaques sont discrétisées par un élément finis surfacique rectangulaire à quatre nœuds et

trois degrés de liberté par nœud : le déplacement transversal

et les deux rotations de la normale

à la plaque autour des axes et .

Figure 4-24. Elément fini plaque

Les déplacements des deux plaques qui sont respectivement et s’écrivent comme suit :

4.10

4.11





et : sont les fonctions d’interpolation respectivement pour la plaque 1 et la

plaque 2.

et : sont les vecteurs déplacements nodaux respectivement de la plaque 1 et de la

plaque 2.

: est l’élément de référence de coordonnées et .

4.2.3. Energie de déformation de la plaque L’énergie de déformation de la plaque

1,2s’écrit sous la forme discrète suivante :

12 ∑∑ ∑4.12

Le terme

s’écrit de la manière suivante :

4.13

avec et

, où représente la matrice Jacobéenne de la transformation géométrique del’élément de référence à l’élément réel.

Le terme s’écrit de la manière suivante :

, , , 4.14

ξ 1ξ 2ξ

[ ] [ ]

1

j J

−

= [ ]J





avec :

et

, , , : représente l’opérateur de dérivation pour la transformation des dérivées

secondes de l’élément de référence à l’élément réel.

On pose :

, , , 4.15

4.16

En faisant une intégration sur l’élément de référence, on obtient :

∑

J : est le déterminant de la matrice Jacobéenne

On définit la matrice de rigidité associée à la plaque par :

∑ ∑ 4.18

D’où :

4.19





4.2.4. Energie cinétique de la plaque i

L’énergie cinétique de la plaque i (i= 1,2) s’écrit sous la forme suivante :

2 ∑∑ ∑ 4.20

L’intégration sur l’élément de référence du terme ∑ donne :

∑ 4.21

On définit la matrice masse associée à la plaque i par :

4.22∑ ∑

D’où :

2 4.23

4.2.5. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique

On considéré le joint viscoélastique reliant les deux plaques par leurs bords. L’énergie de

déformation du joint s’écrit :

é – 4.24





On pose

12 1 , 2 4.25

12 1,2; 1,2 4.26

:Traduit l’énergie de couplage des deux plaque.

L’intégration sur l’élément de référence du terme donne :

12 1 , 2 4.27

4.28

On pose :

1 , 2 4.29

12 1 , 2 4.30


12 1,2; 1,2 4.31

4.32 On pose :

1,2; 1,2 4.33





12

1,2; 1,2 4.34

4.2.6. Energie de déformation du joint viscoélastique de rigidité linéique (i=1,2)

On a :

é 12 4.35


4.36

On pose :

1 , 2 4.37

é 12 1 , 2 4.38

4.2.7. Equation matricielle

Pour le système double parois, la fonctionnelle d’énergie s’écrit alors :

12

12

2

2

12 12 12 12 12 12 4.39

La discrétisation de la fonctionnelle d’énergie, associée au système total couplé conduit à

l’équation matricielle suivante :





0

0 4.40

Cette écriture matricielle peut s’écrire sous la forme suivante :

00 00 4.41

On pose :

é 4.42

é 00 4.43

é 4.44

On obtient alors le système aux valeurs propres suivant :

é é é à 0 é é

é é 4.45

4.3. Validation du modèle de l’élément fini

Plaques

Les deux plaques sont identiques et espacées d’une distance e :

Espacement : 0.01

Longueur : 1 . 2

Largeur: 0 . 8





Module d’Young: 7 2 . 1 0N/m² Coefficient de Poisson : 0 . 2 2Epaisseur : 0.004

Masse volumique : 2500 / Les joints

Les trois joints sont identiques (l’amortissement n’est pas pris en compte) et ont pour rigidité

linéique :

0.264 10/²

En comparant les résultats pour 3 types de maillage on va utiliser celui d’un maillage 1 6 1 6(puisque la variation des fréquences par rapport à celui de 1 0 1 0 est faible (figure 4-25).

Figure 4-25. Choix du maillage

1 2 3 4 5 620

30

40

50

60

70

80

n°du mode

f r é q u e n c e s e n H z

maillage 7X7

maillage 10X10

maillage 16X16





4.4. Résultats théoriques par la méthode de superposition modale

4.4.1. Les fréquences propres théoriques

Les déformées modales des plaques reliées par des joints sont différentes des celles que l’on a

l’habitude de rencontrer (plaques encastrée ou simplement appuyées). Pour cette raison, on va

présenter le cas d’une plaque seule (figure 4-26). Ceci facilitera l’analyse des modes propres

couplés.

Figure 4-26. Plaque supporté par des joints





plaqueSystème double

paroisplaque

Système double

parois

Mode1 22.1461 22.1484 Mode 19 270.1584 161.9355

Mode 2 42.1660 22.3379 Mode 20 280.6785 165.3001

Mode 3 67.2508 42.1669 Mode 21 302.6300 180.3477

Mode 4 75.4712 42.7133 Mode 22 330.9799 182.2922

Mode 5 85.5372 67.2503 Mode 23 331.1592 184.8501

Mode 6 116.1881 68.3922 Mode 24 341.8613 191.6627

Mode 7 121.7125 75.4710 Mode 25 346.2985 214.1965

Mode 8 139.5177 76.6664 Mode 26 352.9659 220.4762

Mode 9 155.4216 85.5364 Mode 27 357.7432 223.5518

Mode 10 159.1653 87.7125 Mode 28 372.2579 233.5633

Mode 11 180.3476 116.1886 Mode 29 400.9319 233.7431

Mode 12 182.2921 120.0102 Mode 30 401.3528 246.9886

Mode 13 214.1963 121.7129 Mode 31 402.9998 248.2131

Mode 14 220.4761 124.0912 Mode 32 420.0719 250.5317

Mode 15 233.7432 139.5176 Mode 33 440.0263 258.7671Mode 16 246.9887 144.2061 Mode 34 443.5897 263.9222

Mode 17 250.5317 155.4215 Mode 35 457.6291 269.6979

Mode 18 269.6980 159.1653 Mode 36 467.4175 270.1583

Tableau 4-13. Fréquences propres du système double parois et de la plaque soumise par des joints

L’analyse des fréquences propres du système couplé, formé des deux plaques et des joints et

celui de la plaque seule montre qu’on retrouve toutes les fréquences de la plaque seule dans le

système couplé. Pour ces fréquences les plaques vibrent en phase. Pour les autres modes lesplaques vibrent en opposition de phase : Le joint intermédiaire pousse les deux plaques.





4.4.2. Les déformées modales théoriques

Mode 1 : 22.1461 Mode 2 : 42.1660

Mode 3 : 67.2508 Mode 4 : 75.4712

Mode 5 : 85.5372 Mode 6 : 116.1881

Figure 4-27. Déformées modales de la plaque

0

0.5

1

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-1

0

1

xy

w

00.5

1

0

0.5

-1

0

1

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-1

0

1

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-1

0

1

xy





Mode 1 : 22.1484 Mode 2 : 22.3379

Mode 3 : 42.1660 Mode 4 : 42.7133

Figure.4-28. Les déformées modales du système double parois

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w





4.5. Signaux observés

Afin de déterminer les fréquences propres et les déformées modales par la méthode d’analysemodale opérationnelle, on utilise les 32 réponses vibratoires du système double parois 1,…32 au niveau des nœuds présentés en bleu sur la figure 4-29 (16 nœuds au niveau de chaque

plaque). Les signaux observés sont numérotés de 1 à 32. Le système double parois est en

vibration libre soumis à des conditions initiales aléatoires générées selon une loi de probabilité

uniforme de moyenne nulle et d’écart type égal à 10 au niveau de la plaque 1.

Figure.4-29. Emplacement des signaux observés au niveau du système double parois





La figure 4.30 présente quelques signaux observés pour le système doubles parois au niveau des

nœuds 166, 246, 417 et 502.

Figure 4-30. Quelques signaux observés pour le système doubles parois

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-7

X ( 1 0 )

temps(s)0 50 100 150 200 250 300

0

1

2

3

4x 10

-4

F F T ( X ( 1 0 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1 x 10

-7

X ( 1 4 )

temps(s)

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3x 10

-4

F F T ( X ( 1 4 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-7

X ( 2 5 )

temps(s)

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4x 10

-4

F F T ( X ( 2 5 ) )

fréquence(Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-5

0

5

10x 10

-8

X ( 3 0 )

temps(s)

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4x 10

-4

F F T ( X ( 3 0 ) )

fréquence(Hz)





4.6. Résultats de la séparation par l’analyse modale opérationnelle

4.6.1. Les fréquences propres estimées

En partant des réponses vibratoires 1, …32, on utilise le programme RobustiCA afin de

déterminer les réponses modales estimées 1 … 3 2 qui contiennent les fréquences propres


théoriques et estimées ainsi que les spectres des réponses modales estimées.





Figure.4-31. comparaison entre les quatre premières réponses modales théoriques et estimées

ainsi que les spectres des réponses modales estimées

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-4

-2

0

2

4x 10

-9

temps(s)


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-5

F F T ( Y ( 1 ) )

fréquence(Hz)

f=22Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-2

-1

0

1

2x 10

-9

temps(s)


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5x 10

-5

F F T ( Y ' (

2 ) )

fréquence(Hz)

f=22.5Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-8

temps(s)


0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5x 10

-5

F F T ( Y ' ( 3 ) )

fréquence(Hz)

f=42Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-9

temps(s)


0 50 100 150 200 250 3000

2

4

6

8x 10

-6

F F T ( Y ' ( 4 ) )

fréquence(Hz)

f=42.5Hz





Pour chaque réponse modale estimée le contenu spectral montre une seule fréquence propre qui

est la fréquence propre estimée du mode correspondant. Le tableau 4-14 présente les fréquences

propres estimées du système double parois.

N° du

mode


(Hz)

N° du

mode


(Hz)

1 22 17 155.5

2 22.5 18 159

3 42 19 1624 42.5 20 165.5

5 67.5 21 180.5

6 68.5 22 182.5

7 75.5 23 185

8 76.5 24 191.5

9 85.5 25 214

10 87.5 26 220.511 116 27 223.5

12 120 28 233.5

13 121.5 29 234

14 124 30 247

15 139.5 31 248

16 144 32 250.5

Tableau4-14. Les fréquences propres estimées du système double parois.

4.6.2. Les déformées modales estimées

La figure 4-32 présente les six premières déformées modales du système double parois estimées.





Mode 1 : 22 Mode 2 : 22.5

Mode 3 : 42 Mode 4 : 42.5

Figure 4-32. Les déformées modales du système double parois estimées.

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w

0

0.5

1

0

0.5

-0.5

0

0.5

xy

w






Le tableau ci-dessous présente les différents critères de performances calculés pour l’exemple dusystème double parois.


Mode 1 0.9976 0.0041 0.6700 Mode 17 0.9999 0.0026 -0.0505

Mode2 0.9823 0.0516 -0.7257 Mode 18 0.9986 0.0143 0.1039

Mode3 0.9999 0.0044 0.3958 Mode19 0.9973 0.0194 -0.0398

Mode4 0.8579 0.0319 0.4994 Mode20 0.6029 0.0669 -0.1209

Mode5 0.9990 0.0078 -0.3713 Mode21 0.9739 0.0380 -0.0844

Mode6 1.0000 0.0052 -0.1576 Mode22 1.0000 0.0031 -0.1140

Mode7 1.0000 0.0095 -0.0384 Mode23 0.9988 0.0508 -0.0811

Mode8 0.4290 0.4122 0.2170 Mode24 0.9667 0.0444 0.0849

Mode9 0.9988 0.0079 0.0426 Mode25 0.8701 0.0899 0.0917

Mode10 0.9998 0.0228 0.2423 Mode26 0.9999 0.0132 -0.0108

Mode11 1.0000 0.0018 0.1623 Mode27 0.9995 0.0325 0.0232

Mode12 0.9971 0.0124 0.0085 Mode28 0.9519 0.0508 0.0271

Mode13 0.9914 0.0075 0.1749 Mode29 0.0790 0.3331 -0.1099

Mode14 0.9995 0.0085 0.0735 Mode30 0.9957 0.0256 -0.0046

Mode15 0.9898 0.0391 0.0126 Mode31 0.8778 0.1391 0.0859

Mode16 0.9583 0.0167 0.1429 Mode32 0.8699 0.0306 0.0127


On remarque que le critère d'Assurance Modal (MAC) a des valeurs proches de 1 dans presque

touts les modes sauf pour les modes 8, 20 et 29. Dans ces trois cas, l’erreur de l'approximation

des déformées modales (Er) est plus ou moins remarquable 0.4122, 0.0669 et 0.3331. Aussi,

l’erreur relative entre les fréquences calculées numériquement et les fréquences estimées par

l’analyse modale opérationnelle (Ef) n’a pas dépassé 1%. En résumant, on peut dire que les

résultats obtenus par la l’AMO restent acceptables pour tous les modes.





5. Conclusion

Durant ce chapitre, on a essayé de déterminer les fréquences propres et les déformées modalespour des structures dynamiques déformables de géométries plus au moins simples (poutre,

plaque, système double parois) en utilisant la méthode d’AMO.

En calculant les critères de performance, on montre que les résultats sont très proches des

résultats théoriques calculés par la méthode de superposition modale pour les deux cas de la

poutre et de la plaque. Pour le système double parois, malgré que l’erreur de l’approximation des

déformées modale Er a augmenté pour quelques modes (3 sur 32), les résultats obtenus par

l’AMO restent acceptables et proches des résultats théoriques.




Conclusion générale 143

Conclusion générale

Ce mémoire de mastère est focalisé sur l’analyse modale opérationnelle des systèmes

dynamiques en appliquant l’une des techniques de la séparation aveugle de sources qui est l’ACI.

L’algorithme de séparation de sources proposé est RobustICA basé sur le Kurtosis comme critère

de séparation.

Tout d’abord, on a présenté le problème de séparation de sources en donnant son modèle

mathématique dans le cas d’un mélange linéaire instantané et dans le cas d’un mélange linéaire

convolutif, en faisant un état de l’art sur quelques méthode de séparation de source et en citant

quelques exemples d’applications de la séparation de sources. Puis, on a présenté la technique de

l’analyse en composantes indépendantes en montrant comment elle peut être utilisée en analyse

modale opérationnelle. Ensuite, on a proposé l’algorithme RobustICA comme approche

numérique permettant l’application de l’analyse en composantes indépendantes en analyse

modale opérationnelle et on a pu le valider en l’appliquant pour un système discret à trois degrés

de liberté en vibration libre dans le cas non amortis où pour des coefficients d’amortissement très

faible. Enfin, on a étudié le comportement vibratoire de différents structure dynamiques

déformables de géométrie plus ou moins simple (unidimensionnelle : poutre en flexion,

bidimensionnelle : plaque encastrée à ces quatre bords, tridimensionnelle : système double

parois) en déterminant leurs fréquences propres et leurs déformées modales par la méthode

d’analyse modale opérationnelle. Pour les trois cas étudiés, on a montré que les résultats obtenus

sont proches à ceux calculés théoriquement. Donc, l’analyse en composantes indépendantes peutêtre appliquée en analyse modale opérationnelle pour déterminer les caractéristiques modales des

structures dynamiques en utilisant seulement les réponses vibratoires mesurées sur quelques

points de la structure étudiée.




Conclusion générale 144

Ce travail a été limité au cas des systèmes en vibration libre sans amortissement. Cependant il

peut être prolongé au cas des systèmes amortis avec force d’excitation quelconque et aux

structures à géométrie complexe. Il serait aussi intéressant de mener des études expérimentales

pour analyser le comportement vibratoire des systèmes dynamiques en utilisant l’analyse modale

opérationnelle.




Références bibliographiques 145

Références bibliographiques

[1]Aapo Hyvärinen et Erkki Oja, Independent Component Analysis: Algorithms and

Applications. Neural Networks Research Centre. Helsinki University of Technology. P.O. Box

5400, FIN-02015 HUT, Finland. Neural Networks, 13(4-5):411-430, 2000.

[2]A. Belouchrani et K. Abed-Meraim, Séparation aveugle au second ordre de sources

corrélées. In GRETSI, pages 309-312, Juan-Les-Pins, France, September 1993.[3]A. Belouchrani, K. Abed-Meraim, J. F. Cardoso et E. Moulines. Second-order blind

separation of correlated sources. In Int. Conf. on Digital Sig., pages 346-351, Nicosia, Cyprus,

july 1993.

[4]A. Belouchrani. Séparation autodidacte de sources: Algorithmes, performances et application

à des signaux expérimentaux. PhD thesis, ENST Paris, 1995.

[5]A. Belouchrani et J. F. Cardoso. Maximum likelihood source separation for discrete sources.

In M.J.J. Holt, C.F.N. Cowan, P.M. Grant, and W.A. Sandham, editors, Signal Processing VII,

Theories and Applications, pages 768-771, Edinburgh, Scotland, September 1994. Elsevier.

[6]Aissa IKHLEF, Séparation aveugle de sources dans les systèmes de communication MIMO,

Thèse de doctorat, Université de RENNES , 19 septembre 2008.

[7]Ali MANSOUR , contribution à la séparation aveugle de sources, Thèse de doctorat, institut

national polytechnique de Grenoble, 13 Janvier 1997.

[8]A. P. Dempster, N. M. Laird et D. B. Rubin. Maximum likelihood from incomplete data via

the EM algorithm. J. Roy. Stat; Soc. B, 39:1-38, 1977.

[9]A. Souloumiac. Utilisation des statistiques d'ordre supérieur pour le filtrage et la séparation desources en traitement d'antenne. PhD thesis, ENST Paris, 1993.

[10]A. Souloumiac et J. F. Cardoso. Comparaison de méthodes de séparation de sources. In

GRETSI, pages 661-664, Juan-Les-Pins, France, Septembre 1991.

[11]B. Ans, J. C. Gilhodes, and J. Hérault. Simulation de réseaux neuronaux (sirene). II.

hypothèse de décodage du message de mouvement porté par les afférences fusoriales IA et II par

un mécanisme de plasticité synaptique. C. R. Acad; Sci. Paris, série III:419-422, 1983.





[12]Cédric Févotte, Approche temps-fréquence pour la séparation aveugle de sources non-

stationnaires, Thése de Doctoratde, l’´Ecole Centrale de Nantes et de l’Université de Nantes, 23

octobre 2003

[13]C. Jutten. Calcul neuro-mimétique et traitement du signal: Analyse en composantes

indépendantes. PhD thesis, UJF-INP Grenoble, 1987.

[14]C. Jutten et J. Hérault. Une solution neuromimétique du problème de séparation de sources.

Traitement du signal, 5(6):389-403, 1988.

[15]C. Jutten, L. Nguyen Thi, E. Dijkstra, E. Vittoz et J. Caelen. Blind separation of sources:

an algorithm for separation of convolutive mixtures. Int. Signal Processing Workshop on Higher

Order Statistics, pages 273-276, July 1991.[16]C. Jutten, L. Nguyen Thi et J. Hérault. Nouveaux algorithmes de séparation de sources. In

Con. satellite du cong. Europée de mathématiques: Aspects théoriques des réseaux de neurones,

Paris, France, July 1992.

[17]C. Jutten, L. Nguyen Thi, E. Dijkstra, E. Vittoz et Caelen J. Blind separation of sources:

An algorithm for separation of convolutive mixtures. In International Signal Processing

Workshop on Higher Order Statistics, pages 273-276, Chamrousse, France, July 1991.

[18]D. Nuzillard et A. Bijaoui. Blind source separation and analysis of multispectral

astronomical images. Astronomy & Astrophysics Supplement Series, Ser. 147 :129- 138, 2000.

[19]D. T. Pham, P. Garat et C. Jutten. Separation of a mixture of independent sources through

a maximum likelihood approach. In J. Vandewalle, R. Boite, M. Moonen, and A. Oosterlinck,

editors, Signal Processing VI, Theories and Applications, pages 771-774, Brussels, Belgium,

August 1992. Elsevier.

[20]D. T. Pham et P. Garat. Séparation aveugle de sources temporellement corrélées. In XIV

Colloque GRETSI, pages 317-320, Juan-Les-Pins, France, Septembre 1993.

[21]E. Moreau et O. Macchi. New self-adaptive algorithms for source separation based on

contrast functions. In IEEE Signal Processing Workshop on Higher-Order Statistics, pages 215-

219, South Lac Tahoe, USA (CA), June 1993.

[22]E. Moreau. Apprentissage et adaptativité. Séparation auto-adaptative de sources

indépendantes. PhD thesis, Université de Paris-Sud, 1995.





[23]F.Poncelet,G.Kerschen,J-C.Golinval et D.Verhelst, Output-only modal analysis using

blind source separation techniques, Mechanical Systems and Signal Processing 21 (2007) 2335-

2358.

[24]G. Puntonet, C., A. Mansour et C. Jutten. Geometrical algorithm for blind separation of

sources. In Actes du XVème colloque GRETSI, pages 273 - 276, Juan-Les-Pins, France, 18 - 21

september 1995.

[25]Hakim BOUMARAF, séparation aveugle de mélanges convolutifs de sources, Thèse de

doctorat, université Joseph Fourier, 2005.

[26]Hicham GHENNIOUI, Séparation aveugle de mélanges linéaires convolutifs de sources

corrélées, Thèse de doctorat, Coopération franco-marocaine dans le domaine des STIC, le 19 juillet 2008.

[27]H.-L. Nguyen Thi et C. Jutten. Blind source separation for convolutive mixtures. Signal

Processing, 45 n°2 :209_229, Aug. 1995.

[28]H.L. NGUYEN THI, J. CAELEN et Ch. JUTTEN. Rehaussement de la parole par la

séparation de sources dans un mélange convolutif . JOURNAL DE PHYSIQUE IV Colloque C5,

supplément au Journal de Physique III, Volume 4, mai 1994.

[29]Jean-François Cardoso, Analyse en composantes indépendantes, CNRS/ENST Paris,

France.

[30]Jean-François Cardoso, le cocktail party et autres problèmes compliques.

[31]J. Hérault et B. Ans. Réseaux de neurones à synapses modifiables: décodage de messages

sensoriels composites par un apprentissage non supervisé et permanent . C. R. Acad; Sci. Paris,

série III:525-528, 1984.

[32]J. Hérault, C. Jutten et B. Ans. Détection de grandeurs primitives dans un message

composite par une architecture de calcul neuromimétique en apprentissage non supervisé . In

Actes du Xème colloque GRETSI, pages 1017-1022, Nice, France, 20-24, Mai 1985.[33]K. Matsuoka, M. Ohya et M. Kawamoto. A neural net for blind separation of

nonstationary signals. Neural Networks, 8(3):411-419, 1995.

[34]L. Féty. Méthodes de traitement d'antenne adaptées aux radiocommunications. PhD thesis,

ENST Paris, 1988.





[35]L. Tong, G. Xu et T. Kailath. A new approach to blind identification and equalization of

multipath channels. In The 25th Asilomar Conference, pages 856-860, Pacific Grove, 1991.

[36]M. Gaeta et J. L. Lacoume. Estimateurs du maximum de vraisemblance étendus à la

séparation de sources non gaussiennes. Traitement du Signal, 7(5):419-434, 1990.

[37]M. Lavielle, E. Moulines et J. F. Cardoso. On a stochastic approximation version of the

EM algorithm. In HOS 95, pages 61-63, Girona - Spain, 12-14 June 1995.

[38]N. Delfosse et P. Loubaton. Séparation adaptative de sources indépendantes par une

approche de déflation. In GRETSI, pages 309-312, Juan-Les-Pins, France, Septembre 1993.

[39]N. Delfosse et P. Loubaton. Adaptive blind separation of independent sources: A deflation

approach. Signal Processing, 45(1):59-83, July 1995.[40]N. Delfosse. Séparation aveugle des sources : méthodes de type sous - espace. PhD thesis,

ENST Paris, Décembre 1995.

[41]N. Thirion, J. Mars et J. L. Lacoume. Séparation aveugle de signaux large bande: un

nouveau challenge en prospection sismique. In Actes du XVème colloque GRETSI, pages 1335-

1338, Juan-Les-Pins, France, 18 - 21 septembre 1995.

[42]O. Macchi et E. Moreau. Self-adaptive source separation using correlated signals and

cross-cumulants. In Proc. Workshop Athos working group, Girona, Spain, June 1995.

[43]P. Comon, C. Jutten et J. Hérault. Blind separation of sources, Part II: Statement problem.

Signal Processing, 24(1):11-20, November 1991.

[44]P. Comon. Analyse en composantes indépendantes et identification aveugle. Traitement du

signal, 7(5):435-450, Dec 1990.

[45]P. Comon. Independent component analysis, a new concept? Signal Processing, 36(3):287-

314, April 1994.

[46]P. Comon. Remarque sur la diagonilisation tensorielle par la méthode de jacobi. In

GRETSI, pages 125-128, Juan-Les-Pins, France, Septembre 1993.[47]P. Comon et Lacoume J. L. Statistiques d'ordres supérieurs pour le traitement du signal. In

Traitement du signal - Developpements Recents, Les Houches, France, Août - Septembre 1993.

[48]P. Comon. Quelques développements récents en traitement du signal. Technical report,

Univ. Nice Sophia-Antipolis, 18 september 1995. Habilitation de diriger des recherches.

[49]Randall J. Allemang. The Modal Assurance Criterion – Twenty Years of Use and Abuse.

University of Cincinnati, Cincinnati, Ohio.





[50]Robert D.Belvins, Formulas for natural frequency and mode shape. Original edition

1979.reprint Edition 1984.

[51]S. Chauhan, R.J. Allemang, R. Martell et D.L. Brown, Application of Independent

Component Analysis and Blind Source Separation Techniques to Operational Modal Analysis.

Structural Dynamics Research Laboratory .University of Cincinnati, Cincinnati, OH.

[52]Sophie ACHARD, mesures de dépendance pour la séparation aveugle de sources application

aux mélanges post non linéaires, Thèse de doctorat, Université JOSEPH FOURIER

(GRENOBLE I), soutenue le 2 décembre 2003.

[53]Vicente Zarzoso et Pierre Comon, Robust Independent Component Analysis for Blind Source Separation and Extraction with Application in Electrocardiography, 30th Annual

International IEEE EMBS Conference. Vancouver, British Columbia, Canada, August 20-24,

2008.

[54]Vicente Zarzoso et Pierre Comon, Robust Independent Component Analysis, Rapport de

recherche. ISRN I3S/RR-2009-02-FR, Mars 2009.

[55]Wenliang Zhou et David Chelidze, Blind Source Separation based vibration mode

identification, Mechanical Systems and Signal Processing 21 (2007) 3072-3087.

[56]W. Kellermann, H. Buchner, W. Herbordt et R. Aichner. Multichannel acoustic signal

processing for human/machine interfaces - fundamental problems and recent advances. In

Proceeding of Int. Conf. on Acoustics, 2004.

[57]Y. Deville. Panorama des applications biomédicales des méthodes de séparation aveugle de

sources. Proceedings of GRETSI'2003, 1 :31_34, Paris, France, Sept. 8-11, 2003.




Annexes 150

Annexes

Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimalAnnexe B : Expressions des fréquences analytiques




Annexes 151

Annexe A : Dérivation du polynôme du pas optimal

Le contraste évalué à devient une fonction de seulement, et est donné par la fraction

rationnelle :

Κ || |||| 2 2

Avec , , , ||, ||,

et

||

.

Notons par :

Après une certaine manipulation algébrique pénible mais autrement franche, les polynôme ci-

dessus s'avèrent être :

Avec |²| ||² 4|| 4 4² 2|||| 4|| 2

4|| 4

|²| ||²

||, 2||, || Par conséquent, le dérivé de par rapport à s’écrit :

Κ 2

Donc, le polynôme est donné par l’équation (3.4) avec :




Annexes 152

2

4 2 3 3 2 4 2 Les parties réelles des racines de ce polynôme sont les pas optimal à trouver dans l’étape 2 de

l’algorithme. Ces racines sont alors branchés de nouveau dans les équations pour vérifier lequel

de ces valeurs fournit la valeur optimale de de ||; cette valeur est alors le pas

optimale cherchée dans l'étape 3 de l'algorithme




Annexes 153

Annexe B : Expressions des fréquences analytiques

B.1. Single-Span Beams

Notation: =distance along span of beam; =mass per unit length of beam; =modulus of

elasticity; = area moment of inertia of beam about neural axis; =span of beam.

Natural frequency (hertz):

; , , , …

Description : , , , … Mode shapes, : , , , …- Clamped- Free 1.875104074.694091137.8547574410.9955407314.137168392 1

2; 5

cosh cos sinh sin

0.7340955141.018467319 0.999224497 1.000033553 0.999998550 1.0 ; 5

- Clamped-Clamped 4.730040747.8532046210.995607914.137165517.27875972 1 2 ; 5

cosh cos sinh sin

0.9825022151.000777312 0.999966450 1.000001450 0.999999937 1.0 ; 5

B.2. Rectangular Plates

Notation: a= length of plates; b= width of plates; h= thickness of plate; i= number of half-waves

in mode shape along horizontal axis; j= number of half-waves in mode shape along vertical axis;

C= clamped edge; E= modulus of elasticity; = mass per unit area of plate ( for a plate of a

material with density ); = Poisson’s ratio.




Annexes 154

Natural frequency (hertz):

; , , , … ; , , , …

Description and ,

- Clamped- Clamped-Clamped- Clamped

is independent of

1 2 3 4 5 60.4 23.65

(11)

27.82

(12)

35.45

(13)

46.70

(14)

61.55

(15)

63.10

(21)

23 27.01

(11)

41.72

(12)

66.14

(21)

66.55

(13)

79.85

(22)

100.9

(14)1.0 35.99

(11)

73.41

(21)

73.41

(12)

108.3

(22)

131.6

(31)

132.2

(13)1.5 60.77

(11)

93 .86

(21)

148.8

(12)

149.74

(31)

179.7

(22)

226.9

(41)2.5 147.8

(11)

173.9

(21)

221.5

(31)

291.9

(41)

384.7

(51)

394.4

(12)



Carac t ér isa t ion v ibra t o i re des s t ruc t ures par

Analyse Modale Opérat ionnel le

Mariam MILADI épouse CHAABENE

Résumé : L’Analyse Modale Expérimentale (AME) n’est pas toujours réalisable dans toutesles structures réelles de génie civil et de génie mécanique : taille importante, inaccessibili-

té…etc. Il faut donc faire appel à d’autres méthodes d’analyse.

Le sujet de recherche objet de ce mémoire rentre dans ce cadre. Il consiste à étudier une nou-

velle approche d’Analyse Modale appelée Analyse Modale Opérationnelle (AMO) qui est en

mesure de caractériser les modes propres de structures en fonctionnement sans connaître ni la

source ni la structure. Cette approche est basée sur l’Analyse en Composantes Indépendantes

(ACI) qui est l’une des méthodes les plus utilisées dans la Séparation Aveugle de Sources.

La technique d’AMO développée est appliquée ensuite pour la caractérisation vibratoire de

différents types de structures : structure unidimensionnelle (poutre encastrée-libre et poutre

encastrée-encastrée), structure bidimensionnelle (plaque encastrée à ces quatre bords) et struc-

ture tridimensionnelle (système double parois). Les résultats sont comparés à ceux obtenus

numériquement par la méthode de superposition modale.

Mots clés: Analyse Modale Opérationnelle (AMO), Analyse en Composantes Indépendantes

(ACI), Séparation Aveugle de sources (SAS), Méthode de superposition modale, Caractéris-

tiques modales, poutre, plaque, système double parois.

Abstract: The Experimental Modal Analysis (EMA) is not always realizable in all the real

structures of civil engineering and mechanical engineering: big dimensions, inaccessibility...

etc. It is thus necessary to call upon other methods of analysis.

It’s with this context that the present research work is presented. It consists in studying a new

approach of Modal Analysis called Operational Modal Analysis (OMA) which is able to cha-racterize eigenmodes of structures during operation without knowing neither the source nor

the structure. This approach is based on the Independent Component Analysis (ICA) which is

one of the major ways in Blind Source Separation.

The developed technique of OMA is then applied for vibratory characterization of various

types of structures: one-dimensional structure (clamped-free beam and clamped-clamped

beam), two-dimensional structure (plate clamped on these four boards) and three-dimensional

structure (double panel system). The results are compared with those numerically achieved by

the modal recombination method

Key-words: Operational Modal Analysis (OMA), Independent Component Analysis (ICA),

Blind source separation (BSS), modal recombination method, modal characteristics, beam,

plate, double panel system.

Ecole DoctoraleSciences et Technologies

Mémoire de MASTERE

Mécanique et Ingénierie

N° d’ordre: 2010− 07

République TunisienneMinistère de l’Enseignement Supérieur,

De la Recherche Scientifique

Université de SfaxÉcole Nationale d’Ingénieurs de Sfax

rapport mastere mariam

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