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Stage de M2, mars a juin 2010

Rapport de Stage de M2

–

Dissipation numerique et cascades turbulentes

Evaluation dans un modele idealise de

l’atmosphere

Departement de Genie Mecanique,

Ecole Normale Superieure, Cachan

–

Laboratoire Meteorologique Dynamique

Ecole Polytechnique, Palaiseau

–

Etudiant : Marine Tort

Encadrant : Thomas Dubos

Table des matieres

1 Introduction 4

1 Le laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Contexte de l’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Sujet de stage et problematiques associees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Travaux anterieurs 6

1 The Dynamics of Finite-Difference Models of the Shallow-Water Equations -

Decembre 1974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dissipation and Cascades to Small Scales in Numerical Models Using a Shape-

Preserving Advection Sheme - Novembre 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 The use of Finite-Volume Methods for Atmospheric Advection of Trace Species

- Mai 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Presentation des differentes discretisations 8

1 Les equations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Le schema en differences finies de Sadourny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Une variante du schema de Sadourny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Le schema en volumes finis de Bouchut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Les schemas temporels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Turbulence en declin 14

1 Cadre des experiences numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 Descriptions des experiences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Choix de la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Choix de la simulation de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

2 Comportements vis a vis des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Les spectres energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 L’equilibre statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Turbulence forcee 30

1 Cadre des experiences numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Comportements vis a vis des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Les spectres energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Les flux spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Conclusions et Perspectives 36

Bibliographie 37

Introduction

1 Le laboratoire

Le Laboratoire de Meteorologique Dynamique a ete fonde en 1968 et comprend environ 150

membres repartis sur trois sites : l’Ecole Polytechnique, l’Ecole Normale Superieure et l’Uni-

versite Pierre et Marie Curie. Il depend de quatre tutelles : CNRS, Ecole Normale Superieure,

Ecole Polytechnique, Universite Paris 6. Il est associe au CNES par son statut de laboratoire

spatial et est membre de l’Intitut Pierre et Simon Laplace (IPSL).

L’objet d’etude principal du laboratoire est la dynamique de l’atmosphere, a des echelles

d’espace et de temps qui sont en premier lieu dictees par l’etude du climat et de ses fluctua-

tions interannuelles. C’est donc souvent l’echelle continentale et l’echelle globale qui servent

de reference pour les etudes menees au LMD, mais leur comprehension ou leur prediction

implique aussi d’etudier le role d’echelles plus petites, et la contribution des processus at-

mospheriques « elementaires ». L’atmosphere constitue en effet un milieu particulierement

complexe, au comportement fortement non-lineaire : qu’il s’agisse de processus fondamentaux

(role de la stratification, des interactions avec la surface et sa topographie, des interactions

entre echelles), ou de processus deja plus heterogenes et souvent organises a grande echelle

(telles que les circulations stratospheriques, la mousson et les perturbations tropicales, ou en-

core les perturbations des moyennes latitudes), il est toujours necessaire de mettre en avant

des approches axees sur la comprehension physique, qui combinent modelisation, etudes theo-

riques et observations.

L’etude qui fait l’objet de ce stage de recherche se positionne du cote de la modelisation

numerique de l’atmosphere visant a predire le climat.

2 Contexte de l’etude

Le LMD developpe et utilise depuis les annees 70 le modele de circulation generale atmo-

spherique LMDZ (Sadourny and Laval, 1984) base sur un noyau dynamique qui integre sur la

sphere et dans le temps les equations primitives de la meteorologie. Les equations sont discre-

tisees spatialement sur une grille horizontale rectangulaire dans le plan longitude-latitude. La

repartition des longitudes et latitudes peut etre fixee arbitrairement pour raffiner le maillage

sur une region du globe (le Z de LMDZ signifie Zoom). La discretisation horizontale privilegie

la conservation de l’enstrophie (Sadourny). Des operateurs de dissipation sont introduits pour

4

Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010

representer l’interaction entre echelles horizontales explicites et echelles sous-mailles, et notam-

ment le pompage d’enstrophie aux petites echelles. Dans sa version terrestre, LMDZ constitue,

couple a d’autres modeles (surfaces continentales, ocean, glaces ...) le cœur atmospherique du

modele integre du climat de l’IPSL.

Les evolutions futures necessitent une revision de l’ecriture du coeur dynamique de LMDZ.

L’augmentation de la resolution est, par exemple, une evolution naturelle du modele mais la

discretisation actuelle pose un probleme au niveau des poles. Le developpement d’une dyna-

mique sur une grille icosaedrique est actuellement en cours et vise a palier ce probleme.

Dans ce meme esprit de revision du coeur dynamique du modele climatique, la presente

etude s’inscrit dans une volonte d’explorer differentes methodes de discretisation spatiales et

temporelles des equations du climat.

3 Sujet de stage et problematiques associees

Le theme principal aborde a travers cette etude est le role de la dissipation dans differents

schemas de discretisation.

Actuellement une dissipation explicite (type bilaplacien ∆2 dans l’equation de la conserva-

tion de mouvement) avec une discretisation en differences finies (Sadourny) est utilisee dans

le cœur dynamique de LMDZ pour assurer l’evacuation de l’enstrophie aux petites echelles,

necessaire a la stabilite des simulations.

En revanche, les traceurs atmospheriques sont advectes par volumes finis. Cette discreti-

sation est une methode a dissipation implicite, l’ajout d’un bilaplacien n’etant pas necessaire.

F.Bouchut a developpe une methode par volumes finis pour resoudre les equations de Saint

Venant sur le plan f garantissant la decroissance de l’energie. Une variante du schema en dif-

ferentes finies de R.Sadourny consiste a reconstruire la vorticite potentielle par volumes finis.

Ces differentes methodes vont etre comparees du point de vue du role joue par la dissipation.

La problematique du stage pourrait ainsi se resumer ainsi : faut-il preferer une dissipation

implicite ou explicite dans le nouveau cœur dynamique de LMDZ ?

Cette problematique sera examinee a travers deux grandes parties d’etude de la turbulence

atmospherique bidimensionnelle en declin puis forcee. Prealablement, il sera presente quelques

travaux anterieurs sur le meme type de problematique et les differentes discretisations compa-

rees dans l’etude pour modeliser la turbulence bidimensionnelle de l’atmosphere.

Rapport.pdf 5 Edite le 16 juin 2010

Travaux anterieurs

1 The Dynamics of Finite-Difference Models of the

Shallow-Water Equations - Decembre 1974

R.Sadourny [15] compare deux schemas en differences finies pour la discretisation des equa-

tions de Saint-Venant :

– un privilegiant la conservartion de l’energie,

– un privilegiant la conservation de l’enstrophie.

Il en deduit que :

– pour une dissipation nulle, les deux schemas sont instables numeriquement mais que

l’instabilite arrive bien plus tard pour le schema conservant l’enstrophie,

– pour une dissipation numerique non nulle, il existe une valeur de dissipation critique νcau dela de laquelle les schemas deviennent stables,

– la valeur de dissipation necessaire a la stabilite est bien plus grande pour le schema

conservant l’energie,

– pour une valeur de dissipation bien superieure a la dissipation critique, une diminution

soudaine de l’energie apparaıt au dela d’un certain temps.

Pour ces raisons, il a ete implante un schema privilegiant la conservation de l’enstrophie

dans le modele LMDZ.

2 Dissipation and Cascades to Small Scales in Nu-

merical Models Using a Shape-Preserving Advection

Sheme - Novembre 1994

J. Thuburn [6] utilise un schema up-wind pour l’equation d’advection. Ce type de schema

preserve certaines proprietes impliques par l’equation de continuite :

– la quantite advectee est conservee,

– aucun nouveau extrema de cette quantite n’est genere.

L’equation de continuite implique aussi la conservation de la variance de la quantite advectee

6


(enstrophie pour les equations de Saint-Venant). En revanche la conservation de l’anologue

discret de cette quantite n’est pas assuree et ce type de schema est dissipatif en ce sens.

Plusieurs tests de ce schema pour plusieurs ordres d’interpolation ont ete realises en utili-

sant l’equation d’advection de la vorticite potentielle sur une grille plane hexagonale.

Une partie de l’etude tente de verifier que le schema utilise dissipe suffisamment pour eviter

l’accumulation d’enstrophie aux petites echelles et ce sans utilisation de parametrisation. La

vorticite potentielle est advectee en utilisant differents schemas : un schema up-wind d’ordre

1 et d’ordre plus eleve, un schema par differences centrees d’ordre 2.

Il a ete note que le schema d’advection a un ordre eleve donne une simulation de reference,

les petites echelles semblent assez bien resolues et il ne semble pas y avoir de bruits de petites

echelles comme c’est le cas pour les schemas type differences centrees et pour lesquels une

parametrisation de la cascade a petite echelle se revele donc necessaire. Le schema up-wind a

l’ordre le plus bas est nettement plus diffusif.

L’enstrophie est quasiment conservee pour le schema en differences centree, et decroıt avec

le temps pour les deux schemas upwind.

Une analyse spectrale permet de verifier que la dissipation implicite des schemas up-wind

est suffisante.

3 The use of Finite-Volume Methods for Atmospheric

Advection of Trace Species - Mai 1998

Dans cette etude, F.Hourdin et A.Armengaud [3] mettent en œuvre differents tests compa-

ratifs de differentes hierarchies de methodes par volumes finis decrit par B. Van Leer [7] dans

le contexte du transport 3D des traceurs atmospheriques.

Diverses simulations numeriques sont realisees utilisant differents schemas et ce pour dif-

ferentes resolutions spatiales.

De maniere evidente, les schemas utilisant un ordre d’interpolation plus eleve se revele plus

precis et moins dissipatifs que ceux utilisant l’ordre le plus bas. En revanche, a cout egal, les

resultats sont beaucoup plus comparables lorsque le schema a l’ordre le plus bas est utilise sur

une grille plus fine. Ainsi, le nombre de degres de liberte utilise pour representer la distribution

globale des traceurs atmospheriques est un parametre cle.

Les auteurs suggerent d’implementer le schema d’ordre 1 de Van Leer [7] dans le modele

couple du LMD pour l’advection des traceurs. Les proprietes de ce schema sont les suivantes :

– conservatif,

– monotone, assurant la positivite des valeurs calculees,

– l’advection d’un champ de traceur constant n’est pas modifie, et ce independamment de

la repartition du champ de vent.


Presentation des differentes discretisations

De maniere generale, les ecoulements geophysiques ont une tendance naturelle a la bidi-

mensionnalite. D’une part leurs dimensions horizontales sont beaucoup plus grande que leurs

dimensions verticales, d’autre part ils sont souvent stratifies, ce qui inhibe les mouvements

verticaux. De plus, la rotation de la Terre tend a confiner les mouvements lents de ces fluides

dans des plans.

Ainsi la motivation premiere pour l’etude de la turbulence bidimensionnelle plutot que la

tridimensionnelle est qu’elle constitue le modele conceptuel le plus simple decrivant les mou-

vements de l’atmosphere et de l’ocean. Dans la hierarchie des modeles, il occupe la place la

moins elevee mais il permet d’expliquer certaines caracteristiques des grandes echelles de la

circulation atmospherique et oceanique.

Les equations de Saint-Venant pour un fluide tournant constitue un modele simple pour

la description de la turbulence atmospherique bidimensionnelle. C’est pourquoi ce modele sera

utilise pour l’etude comparative de differentes methodes numeriques.

1 Les equations de Saint Venant

Les equations utilisees pour cette etude sont les equations de Saint Venant pour un fluide

tournant (Rotating Shallow Water) une couche sur le plan f .

Elles sont en fait la forme integree sur la verticale des equations de Navier Stokes [5].

∂u

∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p

∂p

∂t+∇.(pu) = 0

ou :

– t est le temps,

– u = (u, v)T est le vecteur du champ de vitesse 2D,

– p = Pρ est la le rapport de la pression sur la masse volumique du fluide, constante dans

la couche,

– f est le parametre de Coriolis, constant sur le plan f .

Ces equations admettent des invariants analogues aux equations de Navier-Stokes :

8


La vorticite potentielle q est un invariant Lagrangien :

q =(∇∧ u).z + f

p=ζ + f

p

ou ζ = (∇∧ u).z est la vorticite relative.

L’energie E et l’entrophie Z sont des invariants integraux :

E =1

2

∫Ωp(p+ u2)dΩ

Z =

∫Ωp.q2dΩ

Ce modele des equations de Saint-Venant pour l’eau peu profonde en rotation presente

l’avantage de comporter des modes tourbillonnaires et des modes d’ondes d’inertie-gravite.

Plusieurs schemas numeriques existent pour resoudre ce type d’equation aux derivees par-

tielles.

2 Le schema en differences finies de Sadourny

La discretisation en differences finies etablie par R.Sadourny [15] est basee sur la forme

suivante des equations de Saint-Venant :

∂u

∂t+ qz ∧ (pu) +∇

(p+

1

2u.u)

= −ν∆2u

∂p

∂t+∇.(pu) = 0

La discretisation spatiale utilise une grille dite C, la pression et la vorticite potentielle etant

calculees sur des grilles duales (figure 3.1).

v(i,j) q(i,j)

dx

p(i,j) u(i,j) p(i,j+1)

p(i+1,j)

p(i,j-1)

p(i-1,j)

p(i+1,j+1)p(i+1,j-1)

p(i-1,j-1) p(i-1,j+1)

Figure 3.1 – Grille C pour la discretisation spatiale en differences finies

La discretisation spatiale se fait en plusieurs etapes de calcul :

1) calcul des flux de masses aux points de vitesses : U = pxu, V = pyv,



2) calcul de la fonction de Bernoulli au point de pression : H = p+ 12(u2

x+ v2

y),

3) calcul de la vorticite potentielle aux centres de la grille dual : q =δxv−δyu+f

pxy

4) reconstruction de la vorticite potentielle aux points de champ de vitesses qx, qy,

5) calcul des tendances selon un schema conservant l’enstrophie :∂u∂t − q

yVxy

+ δxH = 0∂v∂t + qxU

yx+ δyH = 0

∂p∂t + δxU − δyV = 0

avec :

– δxv = v(i,j+1)−v(i,j)δx ,

– δyu = u(i−1,j)−u(i,j)δy ,

– .x = .(i,+1j)+.(i,j)2 ,

– .y = .(i−1,j)+.(i,j)2 .

Pour allonger le temps de stabilite numerique, il a ete introduit un terme de dissipation ex-

plicite du type bilaplacien, qui permet d’evacuer l’enstrophie aux petites echelles. Les deux

schemas presentes ci-apres ne necessitent pas cet ajout puisque la maniere meme de discretiser

spatialement introduit une dissipation implicite.

3 Une variante du schema de Sadourny

Une variante du schema de Sadourny presente precedemment consiste a reconstruire la

vorticite potentielle par volumes finis. C’est de cette maniere qu’est introduit une dissipation

implicite.

Les premieres etapes de discretisation (de 1 a 4), sont les memes que precedemment.

Ensuite la vorticite potentielle est reconstruite aux point de vitesse pour le calcul des

tendances du champs de vitesse :∂u∂t − q(i−

12 , j)V

xy+H,x = 0

∂v∂t + q(i, j − 1

2)Uyx

+H, y = 0

La vorticite potentielle est reconstruite aux points de vitesse par une approximation par

differences decentrees (upwind) (figure 3.2).

A l’ordre 1, le champ de vorticite potentielle dans chaque cellule est considere constant.q(i− 1

2 , j) = q(i− 1, j) si Vxy> 0

q(i− 12 , j) = q(i, j) si V

xy ≤ 0



V(i,j)

q(i,j)

q(i-1,j)

q(i-1/2,j)

Figure 3.2 – Reconstruction de q sur la grille duale

Pour une plus grande precision, l’ordre d’interpolation peut etre augmente a l’ordre 2, ou

q est interpole lineairement dans la cellule. Dans ce cas :q(i− 1

2 , j) = q(i− 1, j) + δx2δq(i−1,j)

δx si Vxy> 0

q(i− 12 , j) = q(i, j)− δx

2δq(i,j)δx si V

xy ≤ 0

δq(i)δx est la derivee approximee de q au point i et est egale a q(i+1)−q(i−1)

2δx (figure 3.6).

q

ii i+1i+1/2i-1/2i-1

V(i-1/2) V(i+1/2)

dq(i)=0.5(q(

i+1)-q(i-1))

Figure 3.3 – Calcul du flux de vorticite potentielle par volumes finis

De plus, ce type de reconstruction utilise couramment des limiteurs de pentes pour s’assurer

de la positivite du schema. Plusieurs fonctions de limiteurs de pentes existent [3], il est courant

d’utiliser la fonction minmod (figure 3.4) :

– β = q(i, j)− q(i− 1, j) et α = q(i+ 1, j)− q(i, j),– si α.β < 0 alors δq(i)

δx = 0,

– si α > 0 et β > 0 alors δq(i)δx = min(α, β),

– si α < 0 et β < 0 alors δq(i)δx = max(α, β).

q

xi i+1i+1/2i-1/2i-1

q(i)-q(i-1) q(i+1)-q(i)

(a)

q

xi i+1i+1/2i-1/2i-1

q(i)-q(i-1)

q(i+1)-q(i)

(b)

q

xi i+1i+1/2i-1/2i-1

q(i)-q(i-1)q(i+1)-q(i)

(c)

Figure 3.4 – Limiteurs de pente



4 Le schema en volumes finis de Bouchut

Le schema de discretisation de F.Bouchut [17] en volumes finis repose sur la forme conser-

vative des equations de Saint-Venant :

∂pu

∂t+ fz ∧ (pu) +∇.(pu⊗ u) +∇

(p2

2

)= 0

∂p

∂t+∇.(pu) = 0

La discretisation spatiale s’effectue en utilisant une grille de type A, sur laquelle toutes les

grandeurs sont colocalisees (figure 3.5).

dx

p(i,j), q(i,j)u(i,j), v(i,j)

(i+1,j)(i+1,j-1)

(i,j-1)

Figure 3.5 – Grille A pour la discretisation spatiale en volumes finis

La forme generale de l’equation d’un systeme 1D conservatif est :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= 0

U

xi i+1i+1/2i-1/2i-1

F(i-1/2) F(i+1/2)

Figure 3.6 – Discretisation spatiale

Le schema en volumes finis de cette equation s’ecrit (figure 3.6) :

∂tUi +1

δx(Fi+1/2 − Fi−1/2) = 0

avec Fni+1/2 = F(Ui, Ui+1).

Fni+1/2 est appele le flux numerique et est calcule par des solveurs specifiques [17].



5 Les schemas temporels

Le choix du schema d’integration est important car il determine la stabilite numerique du

schema. Ce choix depend de la discretisation spatiale.

R.Sadourny [15] utilise un schema temporel type leap-frog (saute mouton) pour les equa-

tions de Saint-Venant discretisees par differences finies.

L’equation de conservation de la masse s’ecrit suivant ce schema par :

pn+1 = pn−1 + 2δt(∂xUn + ∂xV

n)

Ce type de schema n’est pas stable pour des discretisations ou est introduit de la dissipa-

tion implicite comme la variante de R.Sadourny comparee dans cette etude. C’est pourquoi il

a ete choisi d’utiliser un schema temporel d’Adams-Bashforth, a pas multiples.

Dans l’equation differencielle suivante ∂u(x,t)∂t = F (x, t), le developpement de Taylor de

un+1 est a l’ordre 3 :

un+1 = un +∂un

∂tδt+

∂2un

δt2δt2

2+∂3un

∂t3δt3

6

un+1 = un + Fnδx+∂Fn

∂t

δ2un

2+∂2Fn

∂t2δx3

6

Les derivees successives de Fn sont evaluees a l’aide de polynomes d’interpolation bases

sur les valeurs de F a differents instants.

Ainsi le schema d’Adams-Bashforth a l’ordre 3 s’ecrit :

un+1 = un +δt

12(23Fn − 16Fn−1 + 5Fn−2)

Concernant le schema de discretisation spatial en volumes finis de F.Bouchut [17], le schema

temporel utilise est un schema de type Runge-Kutta d’ordre 2 (schema d’Heun) :un+1 = un + k1+k2

2

k1 = δtF (tn, un)

k2 = δtF (tn + δt, un + k1)

C’est ce schema temporel couple aux volumes finis qui assure la decroissante de l’energie

au cours du temps dans le respect d’un critere sur la valeur du pas de temps δt.

Ce critere est appele critere Courant-Friedrich-Levy (CFL), portant le nom de ses auteurs.

Il determine la valeur minimale du pas de temps de simulations numeriques pour eviter l’in-

stabilite numerique.

Pour les deux premiers schemas temporels, la valeur du critere CFL n’est que ad hoc. Il

est courant d’utiliser :

δt = αδx

c

avec c la vitesse de ondes d’inertie gravite pour les equations de Saint-Venant sur le plan f ,

α ∈]0, 1] et δx la taille de maille.

Le critere CFL pour le schema de F.Bouchut [17] est :

δtci+1/2 ≤ min(δxi, δxi+1)


Turbulence en declin

1 Cadre des experiences numeriques

1.1 Descriptions des experiences

Les equations utilisees pour cette etude sont les equations de Saint Venant non forcees pour

un fluide tournant (RSW) une couche en regime quasi-geostrophique.

∂u

∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p(−ν∆2u)

∂p

∂t+∇.(pu) = 0

La condition initiale (figure 4.1) est definie a partir du champ de pression. Ce champ suit

des fonctions Gaussiennes. Dans l’espace des vecteurs d’onde, p0(k) est generee de la maniere

suivante :

p0(k) = e−|k|22 (α+ iβ)

avec α et β deux nombres aleatoires appartenant generes par la loi normale.

Pour controler l’ordre de grandeur de la pression p(x) dans l’espace physique :

p(x) = c2 + πp0(x)

max(p0(x))

avec p0(x) la transformee de Fourrier inverse de p0(k), c2 est l’ordre de grandeur de p(x)

(carre de la celerite des ondes de gravite) et π est la deviation de pression.

Le champ de vitesse est deduit, lui, par equilibre geostrophique a partir du champ de

pression : fz ∧ u = −∇p.

14


(a) Champs de vitesse et de pression (b) Champ de vorticite potentielle

Figure 4.1 – Conditions initiales

L’adimensionnement des equations de Saint-Venant permet d’introduire des echelles et des

parametres caracteristiques qui determinent le regime de l’ecoulement.

Ro(∂u∂t

+ (u.∇)u) + z ∧ u+ = −λBu

Ro∇p(− Ro

Re∆2u

)∂p

∂t+∇(pu) = 0

Le regime quasi-geostrophique est defini proche du geostrophisme et donc est valable pour :

Ro → 0, Bu ∼ 1 et λ ∼ Ro.Les echelles de vitesse U ∼ 1 et de longueur L ∼ 1 sont fixees. Par l’equilibre geostrophique

est deduit l’ordre de grandeur de la deviation de pression π ∼ f . En prenantRo = 0.1, les autres

parametres sont fixes par les conditions precedentes (tableau 4.1).

echelle de vitesse U ∼ 1

echelle horizontale L ∼ 1

echelle de pression p = c2 + π ∼ 100 + 10

deviation de pression λ = πc2∼ 0.1

parametre de Coriolis f = 10

nombre de Rossby Ro = UfL = 0.1

nombre de Burger Bu = c2

f2L2 = 1

rayon de deformation de Rossby Rd = c2

f2= 1

nombre de Froude Fr = Uc = 0.1

nombre de Reynols ”Re” = UL3

ν

Table 4.1 – Echelles et nombres caracteristiques

C’est donc la condition initiale qui dicte l’evolution temporel du systeme. Les tourbillons

initiaux evoluent librement au cours des experiences numeriques.

Les phenomenes de la turbulence bidimensionnelle sont visibles [12]. Lorsque deux tour-

billons de memes signes sont suffisamment proches l’un de l’autre, ils tournent l’un autour de



l’autre, dans un mouvement de spiral qui les rapproche progressivement l’un de l’autre. Au

bout de quelques temps de retournement, ils finissent par melanger leur coeur et ne forment

plus qu’un tourbillon isole, de taille substantiellement plus grande que les tourbillons initiaux

(figure 4.2).

La filamentation apparaıt lorsqu’un tourbillon de petite taille, ou de faible circulation, se

trouve dans le champ de vitesse produit par un ou plusieurs gros tourbillons. Ce petit tour-

billon est emporte par le champ de vitesse de ses partenaires, mais du fait de la non uniformite

de ce champ, il tend a se transformer en filament de vorticite. Ce filament est appele a une dis-

parition rapide : en effet, il est tres fin, et genere ainsi de forts gradients de vorticite. Ces forts

gradients vont forcer une decroissance rapide de l’enstrophie. Ainsi, le filament est condamne

a disparaıtre rapidement et les petits tourbillons sont en quelques sortes les maillons faibles

dans les champs turbulents.

(a) (b) (c)

Figure 4.2 – Fusion de deux tourbillons a vorticite potentielle negative

Ensuite, est atteint l’equilibre statistique (figure 4.3) a partir duquel l’evolution de l’energie

et de l’enstrophie devient constante. Tous les tourbillons ont fusionnes et il ne reste donc plus

que deux gros tourbillons de signe oppose.

Figure 4.3 – Equilibre statistique

1.2 Choix de la dissipation

Les schemas faisant intervenir des volumes finis sont intrinsequement dissipatifs et une

dissipation explicite n’est donc pas necessaire.



En revanche, l’utilisation d’un schema en differences finies necessite l’evacuation de l’en-

strophie aux petites echelles pour assurer la stabilite du schema. Cette evacuation n’est pas

permise sans dissipation explicite et une hyperdissipation en bilaplacien est donc couramment

utilisee : ν∆2. La valeur du coefficient ν est choisi de telle maniere a ce qu’il evite une accumu-

lation d’enstrophie dans les plus petites echelles resolues. En effet, physiquement, l’enstrophie

se dissipe au niveau de l’echelle de Kolmogorov [8], qui n’est pas une echelle resolue dans les

simulations numeriques.

Pour determiner l’ordre de grandeur du coefficient de viscosite, on utilise une analyse

dimensionnelle : ν = δx2

τ , τ etant le temps de retournement des tourbillons.

1

τ=

√√√√ 1

N ×M

N∑i=1

M∑j=1

(∂xv(i, j)− ∂yu(i, j))2,

N et M etant le nombre de points de grille suivant les deux directions horizontales.

τ ne depend pas de la resolution. Cette grandeur a ete calcule sur les conditions initiales

des experiences numeriques et a ete estime environ egale a l’unite.

En examinant les spectres d’energie (cf a la partie IV.3, figure 4.12), il semble que c’est a

partir de ν = 0.25 que l’enstrophie est suffisamment dissipee aux plus petites echelles resolues.

A partir de ν = 1, l’energie est identique aux petites echelles limitee par la precision de la

machine. Pour une valeur du coefficient de viscosite inferieur a 1, des oscillations numeriques

semblent se produisent peu apres le debut de la simulation. C’est pourquoi, on choisira ν = 1

pour la valeur du coefficient de viscosite.

1.3 Choix de la simulation de reference

Afin de choisir la simulation numerique qui servira de reference a la comparaison des diffe-

rentes methodes, plusieurs simulations a basse resolution ont ete effectuees (figure 4.4), et ce

pour differentes methodes de resolution. Le schema en differences finies sans dissipation tend

a donner des champs de vorticite potentielle tres bruites. Les schemas incluant des discretisa-

tions en volumes finis sont tres dissipatifs et tendent ainsi a lisser et moyenner les champs de

vorticite, ce qui suppriment les details de petites echelles. Il sera donc retenu comme simulation

de reference un schema de differences finies avec dissipation explicite et ce a haute resolution

(1024× 1024).



Figure 4.4 – Resolution par differentes methodes

2 Comportements vis a vis des invariants

Consernant la turbulence des ecoulements compressibles, la theorie est basee sur l’analogie

avec celle des ecoulements incompressibles [8].

Les equations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible sont donnees par :DuDt = −1

ρ∇p+ ν∆u+ f

∇.u = 0

En prenant le rotationnel de l’equation de la conservation de la quantite de mouvement en

projection suivant l’axe vertical, l’equation de la vorticite potentielle s’ecrit :

Dζ

Dt= g + ν∆ζ

g etant la projection du rotationnel du forcage.

En l’absence de forcage et de dissipation et en dimension 2, la vorticite potentielle se

conserve donc le long des lignes de courant.

Cette loi de conservation implique l’existence de deux invariants quadratiques : l’energie et

l’enstrophie.

L’energie totale est donnee par : E = 12

∫Ω u

2dΩ.



L’enstrophie est donne par Z =∫

Ω ζ2dΩ.

En combinant l’equation de la vorticite potentielle et l’equation de la continuite puis en

integrant sur le domaine, la loi d’evolution de l’enstrophie est :

DZ

Dt= −ν

∫Ω

(∇ζ)2dΩ

Ainsi, l’enstrophie est condamnee a decroıtre dans le temps.

Concernant l’energie, elle est quasi conservee en 2D.

DE

Dt=

1

2

∫Ωu2dΩ =

∫Ωu.udΩ

Et en utilisant les equations du mouvement :

DE

Dt= −νZ

L’enstrophie decroıt au cours du temps et est donc bornee. A fort nombre de Reynols

(faible viscosite), l’energie est donc pratiquement conservee.

Une des consequences importantes est que les systemes bidimensionnels sont incapables

de dissiper l’energie aux petites echelles alors que l’enstrophie dissipe aux petites tant que la

viscosite est negligeable.

La cascade d’energie est donc inversee par rapport a la turbulence 3D.

En effet, dans le cas de la turbulence 3D, les tourbillons de grandes echelles sont instables.

Ils se fractionnent, en quelques temps de retournement, donnant lieu a une nouvelle population

de tourbillons de taille plus petite. Ces tourbillons deviennent instables a leur tour, engendrant

des tourbillons encore plus petits. Un processus de cascade, dirige vers les petites echelles, se

met ainsi en place. La cascade se termine lorsque la derniere generation de tourbillons cesse

d’etre instables, ce sont les tourbillons dissipatifs. C’est au niveau des structures qui sont suffi-

samment petites pour pouvoir etres detruites par l’action du frottement visqueux que l’energie

est dissipee.

Dans le cas de la turbulence 2D, Kraichnan [12], [14] postule l’existence de deux gammes

inertielles differentes concernant la turbulence : une avec le flux constant d’energie transitant

des petites echelles aux plus grandes (cascade inverse de l’energie i.e par rapport a la cascade

en 3D) et l’autre avec le flux constant d’enstrophie transitant des grandes echelles vers les plus

petites (cascade de l’enstrophie).

Concernant la turbulence bidimensionnelle compressible, une analogie a la theorie presen-

tee ci-dessous est faite.

Plusieurs simulations numeriques ont ete menees a bien pour comparer les differentes me-

thodes et ce a plusieurs resolutions. Comme attendu, il a ete observe une conservation meilleure

des invariants integraux a plus hautes resolutions.



L’energie et l’enstrophie sont traces sur les figures ci-dessous et ont ete calculees en retran-

chant leur valeur de repos et en les normalisant par leur valeur initiale :

E =1

2< p(p+ u2) > −1

2< p >2

Z =<(f + ξ)2

p> − f2

< p >

La dissipation des invariants est moindre pour une resolution plus grande, et ce pour

les trois discretisations comparees, resultat compatible avec la theorie de la double cascade

(figure 4.5, tableau 4.2).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.97

0.98

0.99

1

t

E

Energie totale − FD

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.4

0.6

0.8

1

t

Z

Enstrophie − FD

128 − nu=0128 − nu=1256 − nu=0256 − nu=1512 − nu=0512 − nu=1

Figure 4.5 – Influence de la resolution pour le schema en differences finies

Resolution 128 256 512

Pourcentage de perte d’energie par rapport a la reference 2.48% 0.58% 0.48%

Pourcentage de perte d’enstrophie par rapport a la reference 4.83% 4.20% 2.73%

Table 4.2 – Perte d’energie et d’enstrophie pour le schema en differences finies

Concernant l’energie (figure 4.6), elle est bien conservee pour le schema de R.Sadourny en

differences finies sans dissipation [15]. De meme lorsqu’est ajoutee de la dissipation explicite : a

l’etat stationnaire, le systeme a perdu seulement 0.15% de son energie de depart. En revanche,

les discretisations utilisant des volumes finis, sont beaucoup plus dissipatifs atteignant pour

les deux methodes une perte de 8% a l’etat stationnaire.



0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

t

E

Energie totale − résolution 512

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.9985

0.999

0.9995

1

t

E

FD − ν=0FD − ν=1référence

FD − ν=0FD − ν=1PV advectée par FVFVréférence

Figure 4.6 – Energie totale

Concernant la conservation de l’enstrophie (figure 4.7), elle est conservee exactement dans

le cas du schema en differences finies sans dissipation puisque la discretisation utilisee est celle

conservant l’enstrophie.

Dans le cas visqueux, elle decroıt bien au cours du temps. Les deux methodes utilisant des

discretisations en volumes finis presentent des resultats assez proches (perte de 60%). Le schema

de differences finies avec dissipation explicite est moins dissipatif (perte de 55%).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Z

Enstrophie − résolution 512

FD − nu=0FD − nu=1PV advectée par FVFVréférence

Figure 4.7 – Enstrophie

Pour la variante du schema de Sadourny, il peut etre interessant de verifier l’effet des

limiteurs de pente. Dans le cas d’etude, il n’est pas indispensable de s’assurer de la positivite

du schema (dans le cas du transport de polluant, le respect de cette condition est importante

puisqu’il s’agit de concentrations qui ne peuvent etre negatives). C’est pourquoi une etude

comparative a ete effectuee de maniere a connaıtre l’influence des limiteurs de pente (figure 4.8).



0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

E

Energie totale − PV advectée par FV − résolution 256

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

ZEnstrophie − PV advectée par FV − résolution 256

ordre 1ordre 2avec limiteurs de pente

Figure 4.8 – Comparaisons de la dissipation suivant l’ordre d’interpolation de la vorticite po-

tentielle dans le schema de Sadourny utilisant le calcul de l’advection de la vorticite potentielle

par volumes finis

L’interpolation de la vorticite potentielle a l’ordre 2 sans utilisation de limiteurs de pente

limite de maniere consequente la dissipation de l’energie.

Dans le schema de Sadourny en differences finies, la vorticite potentielle est calculee aux

points du champs de vitesse par simple moyenne :

q(i− 1

2, j)fd =

q(i, j) + q(i− 1, j)

2

Dans la variante de ce schema, la vorticite potentielle est reconstruite aux points de vitesse

par une approximation par differences decentrees (upwind) :q(i− 1

2 , j)fv = q(i− 1, j) + δx2δq(i−1,j)

δx si Vxy> 0

q(i− 12 , j)fv = q(i, j)− δx

2δq(i,j)δx si V

xy ≤ 0

Une autre variante de ce schema consiste a coupler les deux reconstructions de la vorticite

potentielle de maniere a tirer les avantages des deux discretisations : utiliser une dissipation

implicite tout en minimisant la dissipation des invariants.

La vorticite potentielle reconstruite est alors egale a :

q(i− 1

2, j) = fd.q(i−

1

2, j)fd + fv.q(i−

1

2, j)fv

Le schema de Sadourny pour une valeur de viscosite de 1 correspond globalement au schema

presente pour des valeurs de fd et fv respectivement de 0.6 et 0.4 concernant en tout cas l’evo-

lution de l’energie.

Le cas ou fd = 0.8 et fv = 0.2, presente l’avantage de dissiper encore moins l’energie

(figure 4.9), il faudrait prendre la precaution d’examiner les spectres pour verifier qu’il n’y a

pas d’accumulation d’enstrophie aux plus petites echelles resolues (cf partie IV.3, figure 4.14).



0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.96

0.97

0.98

0.99

1

t

E


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.2

0.4

0.6

0.8

1

t

ZEnstrophie − résolution 128

FD − ν=0FD − ν=1fd=0.8, fv=0.2

fd=0.6, fv=0.4

fd=0.4, fv=0.6

fd=0.2, fv=0.8

FV

Figure 4.9 – Comparaisons de la dissipation pour plusieurs variantes du schema en differences

finies - ordre 2

3 Les spectres energetiques

Les moyennes dans l’espace physique permettent de decrire l’organisation spatiale des ecou-

lements turbulents. Le passage dans l’espace de Fourier permet de scruter les diverses echelles

du mouvement turbulent. Cette approche, appelee analyse spectrale [8], introduit une notion

importante qui est le spectre d’energie et qui est l’outil qui sera employe pour decrire la cascade

d’echelles.

Partant de l’hypothese que la turbulence est statistiquement stationnaire et homogene, le

tenseur des correlations doubles des vitesses est definit par :

Rij(r) =< ui(x, t)uj(x+ r, t) >

Le tenseur spectral des correlations doubles de la vitesse est definit par la transformee de

Fourrier de Rij(r) :

φij(k) = TF (Rij(r)) =1

(2π)3

∫Rij(r)e

−ik.rd2r

Au meme titre que le tenseur des correlations doubles dans l’espace physique, le tenseur

spectral de correlations doubles dans l’espace de Fourier contient toutes les informations rela-

tives a la structure statistique d’ordre deux en deux points du champ fluctuant. Cette infor-

mation est beaucoup trop riche pour etre exploitable. L’energie cinetique Ec du systeme est

obtenu lorsque i = j et | r |= 0 dans l’expression de Rij(r), transformee inverse de φij(k) :

Ec =1

2< u2 >=

1

2Rii(0) =

1

2

∫φij(k)d2k

L’energie cinetique de la turbulence apparaıt donc sous la forme de l’integrale de l’energie

de l’ensemble des ondes deployees dans l’espace de Fourier. Les structures de la cascade de

taille l peuvent ainsi etre considerees comme la contribution a l’energie cinetique Ec, des modes



de Fourier de nombre d’onde | k |= 2πl .

Le spectre de l’energie E(| k |) est ainsi defini par :

Ec =

∫ ∞0

E(| k |)d | k |

et par comparaison, il vient :

E(| k |) =1

2

∫φii(k)d | k |

Il est courant d’utiliser une decomposition du spectre en une partie divergente et en une

partie rotationnelle [15] afin de pouvoir comparer le spectre rotationnel a celui de la theorie

incompressible.

Le spectre d’energie est E(k) definit par :

Ec =1

2

∫| u(x, t) |2 d2x =

1

2

∫| u(k, t) |2 d2k =

∫E(| k |)d | k |

d’ou E(| k |) = 12 | u(k, t) |2

∇.u = k.u

∇ ∧ u = k ∧ u

et

k2u2 = (∇.u)2 + (∇ ∧ u)2

Dans le cas d’un schema en differences finies, on introduit le pseudo nombre d’onde, relatif

aux valeurs propres de l’operateur Laplacien [15].

K2 = K2x +K2

y =4

dx2sin2kxdx

2+

4

dy2sin2kydy

2

Ainsi :

Erot(K) =| ∇ ∧ u |2

K2=Kxv −Kyu

K2

Ediv(K) =| ∇.u |2

K2=Kxu+Kyv

K2

Dans la theorie de la turbulence bidimensionnelle incompressible, homogene et en de-

clin [12], le spectre d’energie a l’equilibre statistique est en k−3.



101 102

10−15

10−10

10−5

100

105

K

E(K)

FD − ν=0

FD − ν=4

PV advectée par FV

FV

référence

pente K^(-3)

(a) Spectre rotationnel

10110−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

K

E(K)

FD − ν=0

FD − ν=4

PV advectée par FV

FV

référence

(b) Zoom sur les grandes echelles

Figure 4.10 – Spectre energetique a l’equilibre statistique - partie rotationnelle

101 102

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

K

E(K)

FD − ν=0

FD − ν=4

PV advectée par FV

FV

référence

(a) Spectre divergent

10110−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

K

E(K)

FD − ν=0

FD − ν=4

PV advectée par FV

FV

référence


Figure 4.11 – Spectre energetique a l’equilibre statistique - partie divergente

Aux grandes echelles (petits nombres d’onde), la pente du spectre rotationnel (figure 4.11)

est approximativement en k−3. Avec l’ajout de dissipation dans le schema en differences finies,

la cascade est visible, et la dissipation (ν = 1) est suffisante car il n’y a pas d’accumulation

d’enstrophie aux petites echelles (figure 4.12).



100 10110−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

K

E(K)

ν=0

ν=0.25

ν=0.5

ν=1

ν=2

ν=4

ν=8

Figure 4.12 – Spectre divergent pour differentes valeurs de viscosite

100 101 10210−8

10−6

10−4

10−2

100

102

K

E(K)

partie rotationnellepartie divergente

pente K^(-2)

pente K^0

Figure 4.13 – Spectres energetiques a l’equilibre statistique pour le schema en differences

finies sans dissipation

Concernant les spectres pour le schema en differences finies sans dissipation explicite (fi-

gure 4.13), la partie rotationnelle de l’energie est caracterisee par une distribution en k−2 de

l’enstrophie pour les grands nombres d’onde, le spectre dependant de la condition initiale et

contenant le plus d’energie aux plus grandes echelles. Le spectre divergent est un bruit blanc

(en k0) [15].

Concernant le couplage entre le schema en differences finies et celui en volumes finis, le

cas ou fd = 0.8 et fv = 0.2 qui permettait une dissipation moindre de l’energie ne semble pas

dissiper suffisamment l’enstrophie aux plus petites echelles resolues (figure 4.14).



100 10110−20

10−15

10−10

10−5

100

105

K

E(K)

FD − ν=0

FD − ν=1fd=0.8, fv=0.2

fd=0.6, fv=0.4

fd=0.4, fv=0.6

fd=0.2, fv=0.8

FV


100 10110−20

10−15

10−10

10−5

100

K

E(K)

FD − ν=0

FD − ν=1

fd=0.8, fv=0.2

fd=0.6, fv=0.4

fd=0.4, fv=0.6

fd=0.2, fv=0.8

FV

(b) Spectre divergent

Figure 4.14 – Spectres energetiques pour differentes reconstruction de la vorticite potentielle

- ordre 2

4 L’equilibre statistique

Dans [11], P.H. Chavanis et J. Sommeria etudient l’equilibre statistique d’un systeme re-

git par les equations de Saint-Venant et determinent analytiquement les relations qui existent

entre la vorticite potentielle et la fonction de courant massique a l’equilibre statistique et qui

dependent des conditions initiales. Le systeme conserve donc d’une certaine maniere ”en me-

moire” les conditions initiales. Il peut etre interessant de comparer les differentes methodes

numeriques de ce point de vue.

La decomposition de Holmholtz pour le flux massique pu en une partie rotationnelle et

divergente s’ecrit :

pu = −z ∧∇Ψ +∇Φ

Le fonction de courant massique est definie par :

∆Ψ = −∇ ∧ (pu).z

∆Φ = −∇.(pu)

Dans le cas stationnaire, l’equation de conservation de la masse devient ∇(pu) = 0 d’ou

pu = −z ∧∇Ψ.

De plus, par la conservation Lagrangienne de la vorticite potentielle q, pu.∇q = −(z ∧∇Ψ).∇q = 0 ce qui induit la colinearite des gradients de q et de Ψ et prouve l’existence d’une

fonction F telle que q = F (ψ).

Un raisonnement identique conduit a l’existence d’une fonction G telle que B = G(Ψ), B

etant la fonction de Bernoulli definie par : B = p+ 12u.

En effet, l’equation de la conservation de la quantite de mouvement peut se mettre sous

la forme : ∂u∂t + (ξ + f)z ∧ u = −∇B. La projection de cette equation sur u et dans le cas

instationnaire donne pu.∇B = 0 et ainsi B = G(Ψ).



Enfin, −(ξ+ f)z ∧u = qz ∧ (z ∧u) = ∇B d’ou −q∇Ψ = ∇B. On obtient ainsi une relation

simple entre la vorticite potentielle q et la fonction de Bernoulli : q = dBdΨ .

Des grandeurs d’ordre 1 peuvent etre introduites pour q,B et Ψ :

q = pq − f O(1)

En etat stationnaire, pu = −z∧∇Ψ et en utilisant l’equilibre geostrophique : u = − 1f z∧∇p,

il vient p(− 1f z ∧∇p) = −z ∧∇Ψ.

A l’ordre 1, Ψ ∼ −p δpf .

Puisque δp ∼ f ∼ 10, Ψ ∼ p.

Donc B = p+ δp+ u2

2 et B − p = δp+ u2

2 ∼ −fΨp + ∇Ψ2

p2.

B = B − p+fΨ

pO(1)

Ψ =Ψ

pO(1)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Ψ

q

q(Ψ)

. FD sans dissipation

. FD avec dissipation

. PV advectée par FV

. FV

(a) q = f(Ψ)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Ψ

B

B(Ψ)

. FD sans dissipation

. FD avec dissipation

. PV advectée par FV

. FV

(b) B = g(Ψ)

Figure 4.15 – Ψ, q et B a l’equilibre statistique

Les differentes methodes conservent relativement bien en memoire les conditions initiales :

les points correspondant aux differentes methodes a dissipation implicite ou explicite sont

suffisamment serres pour dessiner des courbes. Le nuage de points bleus correspond aux champs

calcules par differences finies sans dissipation explicite. L’etalement du nuage est du a la nature

bruitee des champs obtenus par cette methode.

De plus, il vient :

q = −dBdΨ

Cette relation est verifiee experimentalement en tracant q(Ψ) et B(Ψ) (figure 4.16).



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−4

−2

0

2

4

6

8

Ψq,

B

. q

. B

Figure 4.16 – q = f(Ψ) et B = g(Ψ) pour le schema en differences finies avec dissipation


Turbulence forcee

1 Cadre des experiences numeriques

Pour cette etude, il a ete ajoute un terme de forcage dans les equations de Saint-Venant.

∂u

∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p+ f

u(−ν∆2u)

∂p

∂t+∇.(pu) = fp

La turbulence 2D forcee peut atteindre un etat statistiquement stationnaire si l’energie et

l’enstrophie injectees par une source sont compensees par la dissipation. Pour le schema en

differences finies, une dissipation hyper-visqueuse est utilisee comme pour l’etude de la turbu-

lence en declin.

Pour arreter la cascade inverse de la turbulence forcee 2D et pour empecher l’accumulation

infinie d’energie aux petits nombres d’ondes (grandes echelles), il faut ajouter des mecanismes

de dissipation artificielle. Dans les calculs numeriques, cette dissipation est obtenue de plusieurs

manieres. Un mecanisme relativement commun dans les codes spectraux [1], [16] - car simple

a implenter - consiste a introduire une dissipation aux grandes echelles appele hypo-friction

par l’intermediaire de puissance negative de l’operateur Laplacien (∆−n). Pour des raisons

de commodite, dans cette etude il a ete introduit une friction de Rayleigh, proportionnel au

champ de vitesse, permettant la dissipation a une large gamme d’echelles.

∂u

∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p− ν∆2u+ f

u− αu

Dans cette etude, la relation entre les termes de forcage de pression et de forcage de vitesses

est donnee par l’equilibre geostrophique.

Il existe dans la litterature plusieurs maniere d’introduire un forcage dans les simulations

numeriques.

La plus commune [13], [2], [10], [16], [9] est probablement d’utiliser un forcage dit Markovian

donne dans l’espace des nombres d’onde par :

pn(k) = A(1− r2)1/2eiθ + rpn−1(k)

avec :

– n indice correspondant a l’instant tn,

– θ ∈ [0, 2π] nombre aleatoire,

30


– A amplitude du forcage constante pour k ∈ [kmin, kmax], intervalle correspondant a

l’echelle d’injection,

– r temps de correlation.

Pour des questions de commodite, il a ete utilise un forcage suivant un unique mode.

fp = −1

τ(< p > −A)cos(kx+ ly)

fu

= − 1

fz ∧∇fp

avec :

– k = (k, l) le vecteur d’onde correspondant a l’echelle d’injection,

– A amplitude du forcage constante,

– τ temps de relaxation,

– < p > moyenne spatiale de la pression.

Le reglage des parametres du forcage est une etape peu triviale dans la mise en œuvre des

experiences numeriques. Il faut regler les differents coefficients de viscosite de maniere a assurer

un etat statistiquement stationnaire (une limite bornee de l’energie et de l’enstrophie) tout en

choisissant une amplitude du forcage suffisamment forte pour permettre le developpement de

la turbulence.

De nombreuses simultations ont ete effectuees afin de fixer les parametres de forcage pour

une resolution de 128× 128 (tableau 5.1).

Amplitude A 0.03

α 0.03

ν ∼ 1

Vecteur d’onde (k, l) 2π8 (4, 7)

Temps de relaxation τ → 0

Table 5.1 – Parametres choisis

Le vecteur d’onde determine l’echelle a laquelle est introduite le forcage. Il a ete choisi

d’introduire l’energie a l’echelle du rayon de deformation Rd ∼ 1.

Concernant les conditions initiales, le choix se fait couramment par un champ de vorticite

deja turbulent et issus d’une simulation numerique turbulente. Une turbulence peut se generer

en forcant le systeme par la maniere presente ci-dessous et avec une condition initiale en

pression :

p0 = p+Acos(kx+ ly)

le champ de vitesse etant deduit toujours par l’equilibre geostrophique.

Le systeme est force par le mode choisi puis apres quelques temps, une instabilite apparaıt

permettant ainsi a la turbulence de se developper (figure 5.1, figure 5.2).



(a) Mode force (b) Developpement de la turbulence - t = 120

Figure 5.1 – Simulation numerique pour generer la condition initiale turbulente

(a) Turbulence developpe - t = 150 (b) Etat final statistiquement stationnaire - t = 580

Figure 5.2 – Generation de la condition initiale : etat statistiquement stationnaire

L’equilibre statistique est atteint pour t ∼ 400 (figure 5.3).

0 100 200 300 400 500 6000

100

200

300Enérgie totale

t

E

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8Enstrophie

t

Z

équilibre statistique

compensation de la dissipation et de l'énergie injéctée

début de la turbulence

Figure 5.3 – Equilibre statistique pour generer la condition initiale turbulente



2 Comportements vis a vis des invariants

La condition initiale donne le niveau d’energie et d’enstrophie initiale. Le regime est im-

mediatement statistiquement stationnaire.

0 50 100 150 200 25050

100

150

200

250

300

350

t

E


0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

t

Z

Enstrophie − résolution 512

FD − ν=0.5FD − ν=1fd=0.9, fv=0.1 − ordre 2

fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2

FV − ordre 2FV − ordre 2 avec limiteurs

Figure 5.4 – Evolution temporelle de l’energie et de l’entrophie

Energie moyenne Enstrophie moyenne

FD ν = 0.5 275 0.579

FD ν = 1 283 0.566

fd = 0.9 et fv = 0.1 294 0.584

fd = 0.5 et fv = 0.5 257 0.512

FV ordre 2 261 0.498

FV avec limiteurs 196 0.351

Table 5.2 – Valeurs de l’energie et de l’enstrophie moyenne

Le caractere tres dissipatif de la variante du schema de R.Sadourny est confirme par la

figure 5.4 (tableau 5.2).



3 Les spectres energetiques

La theorie standard de Kraichnan-Batchelor-Leith [13], [14] de la turbulence 2D d’un fluide

predit deux intervalles d’inertie au-dessus et au-dessous de l’echelle de forcage, | k |= kf . Le

flux d’energie dans le domaine des larges echelles spatiales, k < kf doit donner, selon la theo-

rie, une pente du spectre energetique E(k) ∼ k5/3, tandis que le flux de l’enstrophie dans le

domaine des petites echelles spatiales, k > kf doit donner E(k) ∼ k3.

En regime stationnaire, E(k, t)→ E(k) : le forcage est compense globalement par la dissi-

pation.

100 101 10210−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

K

E(K)


fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2


pente K^(-5/3)

pente K^(-3)


101

101

102

K

E(K)


fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2



Figure 5.5 – Spectre energetique - partie rotationnelle

100 101 10210−15

10−10

10−5

100

K

E(K)


fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2


(a) Spectre divergent

100.2 100.3 100.4 100.5 100.6 100.7 100.8 100.9

10−2

10−1

K

E(K)


fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2



Figure 5.6 – Spectre energetique - partie divergente

Aux grandes echelles (petits nombres d’onde), la pente du spectre rotationnel (figure 5.5)

est approximativement en k−5/3. La coupure a la valeur du nombre d’onde correspondant a

l’echelle d’injection de l’energie est nettement visible et modifie la pente k−3 pour les petites

echelles.



4 Les flux spectraux

Pour les equations de Navier-Stokes, le flux spectrale T (k) est definit de la maniere sui-

vante :

DE

Dt=

∫T (k)d2k

E =1

2

∫(| u |2 + | v |2)d2k

T (k) = Re(u∗ û+ v∗ ˆv)

De la meme maniere, pour les equations de Saint-Venant, le flux peut etre definit de la

maniere suivante :

DE

Dt=

∫T (k)d2k =< p(p+

u2 + v2

2) + p(uu+ vv) >=< pH + uU + vV >

E =

∫(ˆp∗H + û∗U + ˆv∗V )d2k

T (k) = Re(H∗ ˆp+ U∗ û+ V ∗ ˆv)

ou x∗ est le conjugue de x.


Conclusions et Perspectives

36

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