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Le Torseur Le torseur : un outil mathématique {T}= R M(o) o Il représente un champ de vecteur équiprojectif. Champ des vitesses d'un solide en rotation S2I Lycée Corneille T.CHIRLE

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Le Torseur Le torseur : un outil mathématique

T=RM(o)o

Il représente un champ de vecteur équiprojectif.

Champ des vitesses d'un solide en rotation

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Le Torseur Le torseur : adapté à la mécanique des solides.

Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du programme de S2I : ∗ Cinématique du solide → torseur distributeur des vitesses. ∗ Modélisation des actions mécaniques → torseur des actions mécaniques. ∗ Dynamique → torseur cinétique → torseur dynamique.

Avantages de la notation torsorielle :

elle unifie les notations et permet de définir simplement : le champ des vitesses d'un solide; une action mécanique; une énergie; une puissance

elle permet d'énoncer de manière concise les principes et théorèmes de la mécanique des solides

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Le Torseur Définition

soit E l’espace affine à 3 dimensions et E l’espace vectoriel associé. On appelle torseur que l’on note T , l’ensemble défini dans ces espaces: ∗ d’un vecteur

R appelé résultante du torseur T .

∗ D’un champ vectoriel défini en tous point P de E et noté MP . Ce champ

vectoriel appelé moment au point P du torseur T vérifie la relation suivante:

∀ = + ∧( , ):A B M M AB RA B

Relation de changement de point d’un champ de moment de torseur

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Le Torseur Notations

T=RMo

O

Résultante du torseur T

Moment en O du torseur T

Point de réduction

Vecteur ne dépendant pas du point

Vecteur dépendant du point

Ces deux vecteurs sont les éléments de réduction du torseur T au point O

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Le Torseur Notations

( )

T

A

X LY MZ N

avec R X i Y j Z kM L i M j N k

BA

=

= + += + +

Si l'on désire travailler dans une base orthonormée directe B(i,j,k), on notera le torseur:

Toujours préciser la base de projection

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Le Torseur Torseur distributeur des vitesses:

( ) ( )( )V S R

A

R S RM V A S RA

==

= ∈

Ω

Vecteur vitesse de rotation

Vecteur vitesse de A

Vecteur ne dépendant pas du point

Vecteur dépendant du point

( ) ( ) ( ) V B S R V A S R BA S R∈ = ∈ + ∧ ΩOn a bien la propriété du champ des moments d'un torseur :

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Le Torseur Torseur des actions mécaniques:

( )( )T S S

A

R R S SM M S SA A

( )1 21 2

1 2

→ == →= →

Résultante des actions mécaniques de S

1 sur S

2

Moment résultant des actions mécaniques de S

1 sur S

2

Vecteur ne dépendant pas du point

Vecteur dépendant du point

( ) ( ) ( ) M S S M S S BA R S SB A1 2 1 2 1 2→ = → + ∧ →On a la propriété du champ des moments d'un torseur :

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Le Torseur Propriétés changement de point de réduction Les représentants d’un même torseur en deux points de réduction différents

∧+=

RABMMR

Bet

MR

A ABA

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Le Torseur Propriétés : Equiprojectivité du champ des moments

M AB M ABA B⋅ = ⋅

A

B

MA

MB

||AB|| ||AB||

Projections des moments sur la droite (AB)

Démo évidente

Animation mécamédia

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Le Torseur Propriétés : invariant d'un torseur

R MA⋅

Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur.

R MA⋅=

A BQuelles que soient A et B

Démo évidente

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Le Torseur Propriétés

égalité de 2 torseurs : 2 torseurs sont égaux s’ils ont même éléments de réduction en un point A quelconque.

T TR R

M MA A

= ⇔==

''

'

Egalité des moments au même point

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Le Torseur Propriétés

somme de 2 torseurs: soient 2 torseurs exprimés au même point de réduction A:

TA

RM

TA

RM

A A

11

12

2

2

=

=

;

La somme des 2 torseurs au point A est un torseur et l’on note:

T T TA

R RM M

A A

= + =++

1 2

1 2

1 2

Somme des moments au même point

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Le Torseur Nouvelle écriture de la composition de

mouvement :

La composition des mouvements s'écrit :

)0/1()1/2()0/2( ωωω +=

)0/1,P(V)1/2,P(V)0/2,P(V

+=

Ce qui s'écrit en condensé :

)0/1(V)1/2(V)0/2(V +=Formule de composition des torseurs cinématiques

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Le Torseur Axe centrale d'un torseur

Définition : on appelle axe centrale (∆) d'un torseur, l'ensemble des points de réduction où résultante et moment sont colinéaires

Traduisons cette propriété: Soient (A,B) deux points de ∆ . On a alors

M aR et M bRA B= =

or M M BA R bR aR BA RB A= + ∧ ⇒ = + ∧

d’où ( )a b R AB R− = ∧

↑ ↑ Vecteurs: // à

R ; ⊥ à

R

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Le Torseur Axe centrale d'un torseur

Comme R ≠ 0 ; on a a=b,

le moment est constant sur l’axe central, et AB R

/ / donc l’axe central ∆ est la droite (A,

R ).

√ les 2 membres de l’égalité sont nécessairement nuls.

d’où ( )a b R AB R− = ∧

↑ ↑ Vecteurs: // à

R ; ⊥ à

R

L’axe central est une droite passant par un point où résultante et moment sont colinéaires et de même direction que la résultante. Le moment est constant et minimum sur l’axe central.

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Le Torseur Résultantes et moments sur l' axe centrale (∆)

A

B

R

MB

MA

R

(∆)

Comment est le champ de moment autour de l'axe ?

C

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Le Torseur Représentation du champ des moments d'un

torseur

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Le Torseur Détermination de l'axe centraleOn connait le torseur au point O

OA R

Q

O

A

R

M M OA RO A= + ∧

R

M A

Soit Q le plan ⊥ à R et

passant par O. Ce plan coupe

nécessairement ∆ en un point que nous

noterons A.

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Le Torseur Détermination analytique de l'axe centrale

On connait le torseur au point O

OA R

Q

O

A

R

M M OA RO A= + ∧

R

M A

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

M R M M AO RM R OA R

R

R M R OA

R M R AO R

comme R AO R R R AO R AO R

et R AO R

R M R R AO

A A O

O

O

O

O

= = + ∧

+ ∧ =

↓ ∧

⇒ ∧ + ∧ =

⇒ ∧ + ∧ ∧ =

∧ ∧ = ⋅ − ⋅

⋅ =

⇒ ∧ + ⋅ =

αα

et aussid' où

0

0

0

0

d où OA R MR R

O'

= ∧⋅

Grâce à cette formule on connaît un point de l’axe central ∆ , on connaît donc entièrement ∆ =(A,

R ).

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Le Torseur Torseurs particuliers: le glisseur

TA

RMA

==

0

Une torseur est un glisseur si et seulement si il existe un point où son moment est nul.

Il existe A /

Le glisseur est dit passant par A. En A, moment et résultante sont colinéaires donc l’axe central passe par A et en tous points de cet axe le moment est aussi nul. On appelle souvent support du glisseur, son axe central.

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Le Torseur Le glisseur en cinématique: il représente un

mouvement de ROTATION autour de l'axe centrale

=Ω=

0)R/S,A(V)R/S(

A)R/S(V

A

Axe instantané de rotation= ensemble des points de vitesse nulle

P

AP)R/S()R/S,P(V ∧Ω=

)R/S(Ω

)R/S,P(V

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Le Torseur Le glisseur en cinématique

La vitesse est proportionnelle à la distance r à l'axe de rotation et à la vitesse angulaire.Sa direction est orthoradiale. Le sens est

donné par le sens de rotation.

PA

)R/S(Ω

V(P,S/R)=r.Ω(S/R)

Vue suivant l'axe

Attention Ω doit être exprimé en Rad.s-1

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Le Torseur Torseurs particuliers: le couple

Une torseur est un couple si et seulement si sa résultante est le vecteur nul.

En tout point A : TA

MA

=

0

( )∀ =A B M MA B, : Le moment est invariant:

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Le Torseur le couple en cinématique : il représente un

mouvement de translation

=Ω=

)R/S,A(V0)R/S(

A)R/S(V

Pince de robot (mouvements/poignet):L'écrou est en translation rectiligneLes doigts sont en translation circulaire

Pas de rotation=

pas de changement d'orientation=

Translation

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Le Torseur le mouvement de translation

)poignet

/doigt,E(V

)poignet

/doigt,F(V

H

)poignet

/doigt,H(V

Le champ des vitesses est uniforme

)poignet/doigt,H(V)poignet/doigt,F(V)poignet/doigt,E(V

==

Trajectoire du point E dans le poignet.Les trajectoires sont des courbes

parallèles.

E

F

Poignet

doigt

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Le Torseur Mouvement quelconque

Dans le cas générale , le mouvement d'un solide peut se décomposer en:

un mouvement de translation dans la direction de (∆)

et un mouvement de rotation autour de (∆).

Mouvement de « VISSAGE »

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Le Torseur Comment reconnaître un glisseur:

R M le torseur

A

RM

est un glisseur ou un coupleAA

⋅ = ⇔

0 .

Invariant du torseur = 0 Résultante et moment sont ORTHOGONAUX

Théorème

Ce théorème n'a d'intérêt que pour le glisseur, car un couple à la même forme en tout point contrairement au glisseur

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Le Torseur Exemple du mouvement plan sur plan

x

y

P0P1

A

O

+=Ω=Ω=

y.Vx.U)0P/1P,A(Vz.)0P/1P(

A)0P/1P(V

Conséquence : il existe un point appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) qui a une vitesse nulle dans le mouvement de P1/ à P0.

V(CIR, P1/P0) = 0

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Le Torseur Détermination du CIR(2/0) = I

3

21

1 en mouvement de rotation/ à 0, d'où la direction

de la vitesse absolue de A

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Le Torseur Détermination du CIR(2/0) = I

3

21

3 en mouvement de translation/ à 0 d'où la direction

de la vitesse absolue de B

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Le Torseur Détermination du CIR(2/0) = I

3

21

I=CIR(2/0)

IA)0/2(IA)0/2()0/2,I(V)0/2,A(V ∧=∧+= ωω

IB)0/2()0/2,B(V ∧= ω

Ces trois vecteurs sont orthogonaux.Donc (IA) est dans le plan et orthogonaleà la vitesse V(A,2/0)

De même: (IA) est dans le plan et orthogonaleà la vitesse V(B,2/0)

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Le Torseur Mouvement autour du CIR(2/0)

3

21

I=CIR(2/0)A cet instant la bielle 2 est en mouvement de rotation / à 0 autour de l'axe (I,z).

CIR : Utilisé en cinématique graphique

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Le Torseur Détermination d'une vitesse graphiquement

3

21

I=CIR(2/0)Connaissant V(A,2/0) déterminons V(B,2/0)

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Le Torseur Détermination d'une vitesse graphiquement

3

21

I=CIR(2/0)Connaissant V(A,2/0) déterminons V(B,2/0)

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Le Torseur Base et roulante

Attention : le CIR n'est fixe dans aucune pièce.

La trajectoire de I dans 0 est appelé la base

La trajectoire de I dans 2 est appelé la roulante

Propriété : base et roulantes sont tangentes en I et roulent sans glisser l'une sur l'autre

Animation mécamédia

Base

Roulante

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Le Torseur Propriétés : Equiprojectivité du champ des vitesses

A

B

V(A,S/R)

Projections des vitesse sur la droite (AB)

Animation mécamédia

ABAB)..0/1,B(V

ABAB).0/1,A(V

=

V(B,S/R)Physiquement : le solide ne se déforme pas selon la direction (AB)

Utilisé en cinématique graphique

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Le Torseur Torseurs cinématiques des liaisons normalisées:

exemple de la ponctuelle

I

z

V(I,2/1)

Ω(2/1)

( )z,y,x0

VV

I)1/2,I(V)1/2(

I)1/2(V

z

yy

xx

ΩΩΩ

= Ω=

x y

En cinématique du contact, nous avons vu que :

Vitesse de glissementperpendiculaire

à z

Quelconque

QUESTION : dans quelle autre base ce torseur garde-t-il sa particularité?

Particularité

R=(I,x,y,z) est un repère local de la liaison dans lequel le torseur a la forme la plus simple (le plus de particularités)

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Le Torseur la ponctuelle

I

z

V(I,2/1)

Ω(2/1)

x y

Il est possible de choisir toute base orthonormée directe contenant la normale Z

QUESTION : en quel autre point ce torseur garde-t-il sa particularité?

P

( ) ( )z*,y*,x0*

*V**V*

Iz,y,x0VV

I)1/2(V

z

yy

xx

z

yy

xx

ΩΩΩ

=

ΩΩΩ

=

x*

y*La particularitéest toujours là

C'est le vecteurnormale qui compte

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Le Torseur la ponctuelle

I

z

V(I,2/1)

Ω(2/1)

x y

PIP)1/2()1/2,I(V)1/2,P(V ∧Ω+=

On a :

Posons : zcybxaIP ++=

)zcybxa()zyx()1/2,I(V)1/2,P(V zyx

++∧Ω+Ω+Ω+=

z)ab(y)ca(x)bc()1/2,I(V yxxzzy

Ω−Ω+Ω−Ω+Ω−Ω+=

( ) ( )z,y,xab

caVbcV

Pz,y,x0VV

I)1/2(V

yxz

xzyy

zyxx

z

yy

xx

Ω−ΩΩΩ−Ω+ΩΩ−Ω+Ω

=

ΩΩΩ

=

On garde Ωz = 0 quelque soit le mouvement si a=b=0, c'est à dire P est sur l'axe normale (I,Z)

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Le Torseur Repère locale d'une liaison ponctuelle

I

z

V(I,2/1)

Ω(2/1)

P

ConclusionLe repère locale d'une ponctuel est le repère

R=(P,*,*,z)

tel que P appartient à la normale (I,Z)

La base contient la normale Z

EN PRATIQUE: on a une grande liberté de choix pour les repères locaux , il faut s'en servir pour simplifier les calculs.

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Le repère locale est donné dans la caractéristique de la liaison

Le Torseur Torseurs cinématiques des liaisons

normalisées:

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Le Torseur Torseurs cinématiques des liaisons

normalisées:

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