r {t}= o m(o) - site s2i cpge prépa psi* pierre...
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Le Torseur Le torseur : un outil mathématique
T=RM(o)o
Il représente un champ de vecteur équiprojectif.
Champ des vitesses d'un solide en rotation
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Le Torseur Le torseur : adapté à la mécanique des solides.
Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du programme de S2I : ∗ Cinématique du solide → torseur distributeur des vitesses. ∗ Modélisation des actions mécaniques → torseur des actions mécaniques. ∗ Dynamique → torseur cinétique → torseur dynamique.
Avantages de la notation torsorielle :
elle unifie les notations et permet de définir simplement : le champ des vitesses d'un solide; une action mécanique; une énergie; une puissance
elle permet d'énoncer de manière concise les principes et théorèmes de la mécanique des solides
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Le Torseur Définition
soit E l’espace affine à 3 dimensions et E l’espace vectoriel associé. On appelle torseur que l’on note T , l’ensemble défini dans ces espaces: ∗ d’un vecteur
R appelé résultante du torseur T .
∗ D’un champ vectoriel défini en tous point P de E et noté MP . Ce champ
vectoriel appelé moment au point P du torseur T vérifie la relation suivante:
∀ = + ∧( , ):A B M M AB RA B
Relation de changement de point d’un champ de moment de torseur
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Le Torseur Notations
T=RMo
O
Résultante du torseur T
Moment en O du torseur T
Point de réduction
Vecteur ne dépendant pas du point
Vecteur dépendant du point
Ces deux vecteurs sont les éléments de réduction du torseur T au point O
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Le Torseur Notations
( )
T
A
X LY MZ N
avec R X i Y j Z kM L i M j N k
BA
=
= + += + +
Si l'on désire travailler dans une base orthonormée directe B(i,j,k), on notera le torseur:
Toujours préciser la base de projection
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Le Torseur Torseur distributeur des vitesses:
( ) ( )( )V S R
A
R S RM V A S RA
==
= ∈
Ω
Vecteur vitesse de rotation
Vecteur vitesse de A
Vecteur ne dépendant pas du point
Vecteur dépendant du point
( ) ( ) ( ) V B S R V A S R BA S R∈ = ∈ + ∧ ΩOn a bien la propriété du champ des moments d'un torseur :
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Le Torseur Torseur des actions mécaniques:
( )( )T S S
A
R R S SM M S SA A
( )1 21 2
1 2
→ == →= →
Résultante des actions mécaniques de S
1 sur S
2
Moment résultant des actions mécaniques de S
1 sur S
2
Vecteur ne dépendant pas du point
Vecteur dépendant du point
( ) ( ) ( ) M S S M S S BA R S SB A1 2 1 2 1 2→ = → + ∧ →On a la propriété du champ des moments d'un torseur :
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Le Torseur Propriétés changement de point de réduction Les représentants d’un même torseur en deux points de réduction différents
∧+=
RABMMR
Bet
MR
A ABA
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Le Torseur Propriétés : Equiprojectivité du champ des moments
M AB M ABA B⋅ = ⋅
A
B
MA
MB
||AB|| ||AB||
Projections des moments sur la droite (AB)
Démo évidente
Animation mécamédia
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Le Torseur Propriétés : invariant d'un torseur
R MA⋅
Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur.
R MA⋅=
A BQuelles que soient A et B
Démo évidente
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Le Torseur Propriétés
égalité de 2 torseurs : 2 torseurs sont égaux s’ils ont même éléments de réduction en un point A quelconque.
T TR R
M MA A
= ⇔==
''
'
Egalité des moments au même point
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Le Torseur Propriétés
somme de 2 torseurs: soient 2 torseurs exprimés au même point de réduction A:
TA
RM
TA
RM
A A
11
12
2
2
=
=
;
La somme des 2 torseurs au point A est un torseur et l’on note:
T T TA
R RM M
A A
= + =++
1 2
1 2
1 2
Somme des moments au même point
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Le Torseur Nouvelle écriture de la composition de
mouvement :
La composition des mouvements s'écrit :
)0/1()1/2()0/2( ωωω +=
)0/1,P(V)1/2,P(V)0/2,P(V
+=
Ce qui s'écrit en condensé :
)0/1(V)1/2(V)0/2(V +=Formule de composition des torseurs cinématiques
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Le Torseur Axe centrale d'un torseur
Définition : on appelle axe centrale (∆) d'un torseur, l'ensemble des points de réduction où résultante et moment sont colinéaires
Traduisons cette propriété: Soient (A,B) deux points de ∆ . On a alors
M aR et M bRA B= =
or M M BA R bR aR BA RB A= + ∧ ⇒ = + ∧
d’où ( )a b R AB R− = ∧
↑ ↑ Vecteurs: // à
R ; ⊥ à
R
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Le Torseur Axe centrale d'un torseur
Comme R ≠ 0 ; on a a=b,
le moment est constant sur l’axe central, et AB R
/ / donc l’axe central ∆ est la droite (A,
R ).
√ les 2 membres de l’égalité sont nécessairement nuls.
d’où ( )a b R AB R− = ∧
↑ ↑ Vecteurs: // à
R ; ⊥ à
R
L’axe central est une droite passant par un point où résultante et moment sont colinéaires et de même direction que la résultante. Le moment est constant et minimum sur l’axe central.
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Le Torseur Résultantes et moments sur l' axe centrale (∆)
A
B
R
MB
MA
R
(∆)
Comment est le champ de moment autour de l'axe ?
C
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Le Torseur Détermination de l'axe centraleOn connait le torseur au point O
OA R
∧
Q
O
A
R
M M OA RO A= + ∧
R
M A
Soit Q le plan ⊥ à R et
passant par O. Ce plan coupe
nécessairement ∆ en un point que nous
noterons A.
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Le Torseur Détermination analytique de l'axe centrale
On connait le torseur au point O
OA R
∧
Q
O
A
R
M M OA RO A= + ∧
R
M A
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
M R M M AO RM R OA R
R
R M R OA
R M R AO R
comme R AO R R R AO R AO R
et R AO R
R M R R AO
A A O
O
O
O
O
= = + ∧
+ ∧ =
↓ ∧
⇒ ∧ + ∧ =
⇒ ∧ + ∧ ∧ =
∧ ∧ = ⋅ − ⋅
⋅ =
⇒ ∧ + ⋅ =
αα
et aussid' où
0
0
0
0
d où OA R MR R
O'
= ∧⋅
Grâce à cette formule on connaît un point de l’axe central ∆ , on connaît donc entièrement ∆ =(A,
R ).
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Le Torseur Torseurs particuliers: le glisseur
TA
RMA
==
0
Une torseur est un glisseur si et seulement si il existe un point où son moment est nul.
Il existe A /
Le glisseur est dit passant par A. En A, moment et résultante sont colinéaires donc l’axe central passe par A et en tous points de cet axe le moment est aussi nul. On appelle souvent support du glisseur, son axe central.
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Le Torseur Le glisseur en cinématique: il représente un
mouvement de ROTATION autour de l'axe centrale
=Ω=
0)R/S,A(V)R/S(
A)R/S(V
A
Axe instantané de rotation= ensemble des points de vitesse nulle
P
AP)R/S()R/S,P(V ∧Ω=
)R/S(Ω
)R/S,P(V
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Le Torseur Le glisseur en cinématique
La vitesse est proportionnelle à la distance r à l'axe de rotation et à la vitesse angulaire.Sa direction est orthoradiale. Le sens est
donné par le sens de rotation.
PA
)R/S(Ω
V(P,S/R)=r.Ω(S/R)
Vue suivant l'axe
Attention Ω doit être exprimé en Rad.s-1
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Le Torseur Torseurs particuliers: le couple
Une torseur est un couple si et seulement si sa résultante est le vecteur nul.
En tout point A : TA
MA
=
0
( )∀ =A B M MA B, : Le moment est invariant:
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Le Torseur le couple en cinématique : il représente un
mouvement de translation
=Ω=
)R/S,A(V0)R/S(
A)R/S(V
Pince de robot (mouvements/poignet):L'écrou est en translation rectiligneLes doigts sont en translation circulaire
Pas de rotation=
pas de changement d'orientation=
Translation
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Le Torseur le mouvement de translation
)poignet
/doigt,E(V
)poignet
/doigt,F(V
H
)poignet
/doigt,H(V
Le champ des vitesses est uniforme
)poignet/doigt,H(V)poignet/doigt,F(V)poignet/doigt,E(V
==
Trajectoire du point E dans le poignet.Les trajectoires sont des courbes
parallèles.
E
F
Poignet
doigt
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Le Torseur Mouvement quelconque
Dans le cas générale , le mouvement d'un solide peut se décomposer en:
un mouvement de translation dans la direction de (∆)
et un mouvement de rotation autour de (∆).
Mouvement de « VISSAGE »
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Le Torseur Comment reconnaître un glisseur:
R M le torseur
A
RM
est un glisseur ou un coupleAA
⋅ = ⇔
0 .
Invariant du torseur = 0 Résultante et moment sont ORTHOGONAUX
Théorème
Ce théorème n'a d'intérêt que pour le glisseur, car un couple à la même forme en tout point contrairement au glisseur
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Le Torseur Exemple du mouvement plan sur plan
x
y
P0P1
A
O
+=Ω=Ω=
y.Vx.U)0P/1P,A(Vz.)0P/1P(
A)0P/1P(V
Conséquence : il existe un point appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) qui a une vitesse nulle dans le mouvement de P1/ à P0.
V(CIR, P1/P0) = 0
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Le Torseur Détermination du CIR(2/0) = I
3
21
1 en mouvement de rotation/ à 0, d'où la direction
de la vitesse absolue de A
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Le Torseur Détermination du CIR(2/0) = I
3
21
3 en mouvement de translation/ à 0 d'où la direction
de la vitesse absolue de B
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Le Torseur Détermination du CIR(2/0) = I
3
21
I=CIR(2/0)
IA)0/2(IA)0/2()0/2,I(V)0/2,A(V ∧=∧+= ωω
IB)0/2()0/2,B(V ∧= ω
Ces trois vecteurs sont orthogonaux.Donc (IA) est dans le plan et orthogonaleà la vitesse V(A,2/0)
De même: (IA) est dans le plan et orthogonaleà la vitesse V(B,2/0)
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Le Torseur Mouvement autour du CIR(2/0)
3
21
I=CIR(2/0)A cet instant la bielle 2 est en mouvement de rotation / à 0 autour de l'axe (I,z).
CIR : Utilisé en cinématique graphique
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Le Torseur Détermination d'une vitesse graphiquement
3
21
I=CIR(2/0)Connaissant V(A,2/0) déterminons V(B,2/0)
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Le Torseur Détermination d'une vitesse graphiquement
3
21
I=CIR(2/0)Connaissant V(A,2/0) déterminons V(B,2/0)
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Le Torseur Base et roulante
Attention : le CIR n'est fixe dans aucune pièce.
La trajectoire de I dans 0 est appelé la base
La trajectoire de I dans 2 est appelé la roulante
Propriété : base et roulantes sont tangentes en I et roulent sans glisser l'une sur l'autre
Animation mécamédia
Base
Roulante
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Le Torseur Propriétés : Equiprojectivité du champ des vitesses
A
B
V(A,S/R)
Projections des vitesse sur la droite (AB)
Animation mécamédia
ABAB)..0/1,B(V
ABAB).0/1,A(V
=
V(B,S/R)Physiquement : le solide ne se déforme pas selon la direction (AB)
Utilisé en cinématique graphique
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Le Torseur Torseurs cinématiques des liaisons normalisées:
exemple de la ponctuelle
I
z
V(I,2/1)
Ω(2/1)
( )z,y,x0
VV
I)1/2,I(V)1/2(
I)1/2(V
z
yy
xx
ΩΩΩ
= Ω=
x y
En cinématique du contact, nous avons vu que :
Vitesse de glissementperpendiculaire
à z
Quelconque
QUESTION : dans quelle autre base ce torseur garde-t-il sa particularité?
Particularité
R=(I,x,y,z) est un repère local de la liaison dans lequel le torseur a la forme la plus simple (le plus de particularités)
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Le Torseur la ponctuelle
I
z
V(I,2/1)
Ω(2/1)
x y
Il est possible de choisir toute base orthonormée directe contenant la normale Z
QUESTION : en quel autre point ce torseur garde-t-il sa particularité?
P
( ) ( )z*,y*,x0*
*V**V*
Iz,y,x0VV
I)1/2(V
z
yy
xx
z
yy
xx
ΩΩΩ
=
ΩΩΩ
=
x*
y*La particularitéest toujours là
C'est le vecteurnormale qui compte
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Le Torseur la ponctuelle
I
z
V(I,2/1)
Ω(2/1)
x y
PIP)1/2()1/2,I(V)1/2,P(V ∧Ω+=
On a :
Posons : zcybxaIP ++=
)zcybxa()zyx()1/2,I(V)1/2,P(V zyx
++∧Ω+Ω+Ω+=
z)ab(y)ca(x)bc()1/2,I(V yxxzzy
Ω−Ω+Ω−Ω+Ω−Ω+=
( ) ( )z,y,xab
caVbcV
Pz,y,x0VV
I)1/2(V
yxz
xzyy
zyxx
z
yy
xx
Ω−ΩΩΩ−Ω+ΩΩ−Ω+Ω
=
ΩΩΩ
=
On garde Ωz = 0 quelque soit le mouvement si a=b=0, c'est à dire P est sur l'axe normale (I,Z)
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Le Torseur Repère locale d'une liaison ponctuelle
I
z
V(I,2/1)
Ω(2/1)
P
ConclusionLe repère locale d'une ponctuel est le repère
R=(P,*,*,z)
tel que P appartient à la normale (I,Z)
La base contient la normale Z
EN PRATIQUE: on a une grande liberté de choix pour les repères locaux , il faut s'en servir pour simplifier les calculs.
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Le repère locale est donné dans la caractéristique de la liaison
Le Torseur Torseurs cinématiques des liaisons
normalisées:
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