Devoir 1 : Systèmes non-linéaires - Correctif

Question 1Le système dynamique à deux dimensions est caractérisé par les équations différentielles suivantes :(

xy

)=(

1 116 1

)(xy

)

Analyse1- Le système est-il linéaire ? Oui, non pourquoi ?

Oui, aucune fonction non linéaire de x et y2- Calculer et dessiner les nullclines dans le plan de phase (Précision : donner les équations analy-

tiques des courbes | Les dessins peuvent être faits sur Matlab).null-x : y = −xnull-y : y = −16xLes nullclines sont définies par deux droites linéaires passant par l’origine et de pente -1 et -16.

3- Déterminer le(s) point(s) fixe(s) (x∗, y∗) de deux façons :(a) graphiquement (définition d’un point fixe dans un plan de phase) et leur stabilité (de manièregraphique en dessinant le champ de vecteurs)Graphiquement, les deux nullclines s’intersectent en (x∗, y∗) = (0, 0).Pour déterminer sa stabilité, il suffit d’étudier le champ de vecteurs. On voit que les flèchesconvergent selon une direction et divergent dans une autre direction. Le point fixe est un pointde selle.(b) mathématiquement (définition analytique d’un point fixe) et leur stabilité (établir mathé-matique la stabilité) Mathématiquement, un point fixe est défini pour : x = 0 et y = 0 simulta-nément. On obtient (x∗, y∗) = (0, 0). Pour étudier sa stabilité, il suffit de calculer le jacobien etde l’évaluer en (0,0) et de calculer les VaP. On obtient :λ1 = 5λ2 = −3

4- (a) Calculer x(t) et y(t) à l’aide des valeurs propres et vecteurs propres.Il suffit de suivre la même procédure que celle réalisée en classe durant le TP1. On obtient :

x(t) = c1(0)e5t + c2(0)e−3t

y(t) = 4c1(0)e5t − 4c2(0)e−3t

(b) Dessiner les vecteurs propres dans le plan de phase avec le champ de vecteurs et les nullclinesλ1 = 5→ V eP1 = (14)T

λ2 = −3→ V eP2 = (1− 4)T

Rem : les vecteurs propres indiquent une direction, ils sont donc définis à une constante près.(c) Discuter le schéma et interpréter les expressions analytiques de x(t) et y(t).- bassin d’attraction- rôle des vecteurs propres- rôle des nullclines

Matlab

1

5- Vérifier les valeurs propres et vecteurs propres à l’aide de Matlab (indice : utiliser eig). Si vousavez des différences pour les vecteurs propres, expliquez pourquoi.Matlab normalise les valeurs propres.

6- Vérifier vos résultats graphiques via Matlab : dessiner dans le plan de phase les nullclines, lesvecteurs propres et le champ de vecteurs (rem : il s’agit donc d’une vérification des résultatsanalytiques obtenus à la sous-question 4(b)).

7- (a) Tracer (x(t),y(t)) dans le plan de phase (contenant les nullclines, les vecteurs propres et lechamp de vecteurs) pour différentes conditions initiales (CI) :

CI 1 (x(0), y(0)) = (0.5;−3) | CI 2 (x(0), y(0)) = (−0.501; 2) | CI 3 (x(0), y(0)) = (−0.499; 2)

(b) Tracer l’évolution de x(t) et y(t) sur un graphique (avec t en abscisse et x et y en ordonnée)en utilisant l’expression analytique trouvée au point 4 et un solver Matlab (Euler, Ode,...) pourune durée totale de deux secondes. Le graphique contient donc 4 courbes

- x(t) obtenu analytiquement- x(t) obtenu par Matlab- y(t) obtenu analytiquement- x(t) obtenu par Matlab

Organiser les figures de manière lisible ; utiliser des labels, légendes, couleurs pour garantir unecompréhension rapide des résultats.Voir Figure.(c) Expliquer les similitudes ou différences entre les résultats obtenus au point (4), 7(a) et 7(b).Les différences peuvent venir du pas de temps d’intégration choisi par exemple. Comme quoi ilest toujours plus intéressant d’extraire la forme analytique pour garantir une bonne précision denos réponses. Cependant, ce n’est pas toujours possible de tout résoudre analytiquement. Il fautdonc garder à l’esprit comment fonctionne la résolution d’équations différentielles de manièrenumérique.Pour les différentes CI, on a différentes réponses du système. Ces réponses sont guidées par lechamp de vecteur. On note que l’étude du plan de phase permet de prédire les trajectoires enconnaissant uniquement les nullclines, points fixes et vecteurs propres. Cela met en avant lapuissance de cet outil mathématique.

Question 2Le système mécanique masse-ressort classique défini par :

mx+ kx = 0

est légèrement modifié afin de modéliser un amortisseur de voiture :

mx+ k1x+ k2x3 + cx = 0

avec x la position de la masse, m la masse, k1, k2 des constantes de raideur et c (>0) un coefficientd’amortissement.

1- Le système est-il linéaire ? temps-invariant ? Expliquer vos réponses.Le système est non linéaire à cause de la présence du cube de la position du ressort.Le système est bien temps-invariant car aucun coefficient ne dépend du temps. L’entrée est nulleet ne dépend donc pas d’un moment en particulier non plus.

2- Exprimer l’équation différentielle d’ordre 2 sous la forme de deux équations différentielles d’ordre1 : {

x1 = f(x1, x2)x2 = g(x1, x2)

3- Calculer le(s) point(s) fixe(s) (x∗1, x

∗2) (indice : noter les conditions d’existence des résultats).

2

A

B

C

Figure 1 – Évolution de x(t) et y(t) obtenus de manière analytique et via Matlab (méthoded’Euler)(à gauche) et le plan de phase associé (à droite) pour différentes conditions initiales.

A- CI 1 : le système suit le champ de vecteurs et converge vers −∞ selon ses deux variables x et y.Comme l’équation analytique l’indique, y(t) converge plus vite que x(t) car la contribution de

l’exponentielle positive est plus importante.B- CI 2 : Les deux variables se rapprochent du point fixe car elles suivent le vecteur propre 2 (e(2)

associé à la valeur propre négative. Les conditions initiales sont localisées à gauche du vecteur propreagissant comme séparateur de bassin d’attraction, la trajectoire converge vers −∞ selon x et y.C- CI 3 contrairement à B, le point de départ est localisé à droite du vecteur propre et donc latrajectoire est confinée dans l’autre bassin d’attraction. Celle-ci converge vers +∞ pour les deuxvariables.

4- Donner la stabilités de(s) point(s) fixe(s) en menant une discussion en fonction de k1 et k2 (k1et k2 positifs, négatifs et non-nuls) pour garantir que le système ne présente pas d’oscillation.Voir examen Janvier 2019.

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Question 3Un système est caractérisé par les équations suivantes :

x = x+ z2

y = z2 − yz = z + x2

Donner les points fixes et leur stabilité mathématiquement.• point fixe : après avoir donné la définition du PF, on résout le système en annulant toutes les déri-vées. On obtient :PF1 : (x, y, z) = (0, 0, 0)PF2 : (x, y, z) = (−1, 1,−1)• stabilité : mathématiquement, il suffit de calculer le jacobien du système et de l’évaluer au pointfixe. Ensuite, on calcule les valeurs propres du jacobien : PF1 : saddle node –> instablePF2 : saddle node –> instable

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