Qu’est-ce que le bayésianisme objectif?

Federica RussoUniversité catholique de

Louvain

Dans cet exposé:Le calcul de la probabilité

Axiomes, Conséquences, et Théorème de Bayes

Interprétations du calculClassique/LogiqueFréquentiste/PropensionnelleBayésienne

Le bayésianismeComme position épistémologiqueComme interprétation de la probabilité

BayésianismessSubjectifEmpiriquement baséObjectif

ApplicationsEn epidemiologie du cancerEn modélisation causale

Le calcul de la probabilité

AxiomesSoit S un ensemble d’énoncés et P une fonction qui satisfait aux axiomes de Kolmogorov:

1. P(A)02. P(A) =1

si A est vrai dans tout modèle3. P(AB)= P(A) + P(B)

si A, B sont mutuellement exclusifs

Conséquences:a. P (A) = 1 P (A)b. P (A) = P (B) si dans tout modèle A Bc. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

Probabilité Conditionnelle:P (A | B) = P (A B) / P (B) if P (B) 0

Théorème de Bayes:P (B | A) = P (A | B) P (B) / P (A)

Indépendence unconditionnelle:A et B sont unconditionnellement indépendents ssi

P (A | B) = P (A) ou P (A | B) = P (B) ouP (A | B) = P (A) P (B)

Indépendence conditionnelle:

A est conditionnellement independent de B si C ssiP (A | B C) = P (A | C)

Interprétations de la probabilité

Classique/LogiqueProba: rapport entre le nombre de cas

favorableset le nombre de cas possibles

SubjectiveProba: expression quantitative du degréede croyance, support ou confirmation

ObjectiveProba: expression quantitative d’unecharactéristique objective du monde

Interprétations de la probabilitéUne classification alternative

Classique/Logique

PhysiqueFréquentistePropensionnelle

Bayésienne Subjective Empiriquement basée Objective

Interprétation classique

Laplace, Pascal, Bernoulli (Jakob)

La proba est le rapport entrele nombre de cas favorables etle nombre de cas possibles.

Pensez au jeu de dés

Proba assignée en absence de «evidence»

Equipossibilité, ou le Principe d’indifférencede Keynes

Interprétation logique

Généralisation del’interprétation classique

Basée sur le principe d’indifférence

Donne un « account » le plus généralpossible du degré de supportou de confirmation

Pensez à la fonction c de Carnap

Interprétation fréquentiste

La proba d’un attribut A dans une classe de référence finie B est la fréquence rélative de la recurrence de A en B (Venn)

Extension aux classes de références infinies par la limite de la fréquence (von Mises, Reichenbach)

Interprétation propensionnelle

La probabilité est dans le monde, non pas dans notre tête …

La proba est une propension, dispositionou tendence d’une situation physiquede délivrer un certain résultat ouune fréquence

Popper voulez rendre comptedes probabilités en mécanique quantique

Bayésianisme

Une position épistémologique sur le raisonnement scientifique

Le raisonnement scientifique se fait en accordavec le calcul de la probabilité

Cette position permet d’apprendrede l’expérience (par conditionnalisation)

Le système formel impose des contraintessur les probabilités

Bayésianisme

Une interprétation de la probabilité

Les probas sont des degrésde croyance rationnelle

Differents bayesianimes sonten désaccord sur comment formerces degrés de croyance

Bayésianisme subjectifProbabilités et paris:

Les probas sont les quotients de pari Un pari hollandais est une serie de paris:

(i) singulièrement acceptables par le parieur(ii) collectivement portent à une perte, quoi qu’il arrive

Statique de l’opinion:Si les degrés de croyance du parieur ne respettent pas les

axiomes, le parieur est susceptible du pari hollandaisSi les degrés de croyance du parieur respettent les axiomes, le

parieur n’est pas susceptible du pari hollandais

Cinématique de l’opinion:La conditionnalisation est la seule règle cohérente pour mettre à

jour les probas

Obéissance au calcul est condition nécessaire et suffisante Obéissance au calcul est condition nécessaire et suffisante pour la rationnalitépour la rationnalité

Problème…

Aribitrarieté: Deux sujets avec les mêmes infosPeuvent choisir des probas différentes,tout en étant rationnels

Solution…Le bayésianisme empiriquement baséet objectif imposent d’autres contraintessur les probas

Bayésianisme empiriquement basé

Ajouter la contrainte « empirique »:

Les degrés de croyance se formentà partir des fréquences connues

Bayésianisme objectif

Ajouter la contrainte empirique etla contrainte logique:

En présence d’infos empiriques, e.g. fréquences,celles-ci doivent être incorporées

En absence de toute infos, il faut êtrele plus ambigu possible, c-à-d,les probas tendent vers la valeure moyenne

Contraintes empiriques

Principe de véritéSi un sujet sait que u est vrai, son degréde croyance en u, P(u) = 1

Principe de calibrationSi un sujet connaît que la « chance » de u est P*(u),son degré de croyance en u devrait être P(u)=P*(u)

Connaissance des fréquencesSi un sujet sait que la fréquence relatived’un événement est r, son degré de croyanceque le prochain cas se produira est r

Contraintes logiques

Une extension du principe d’indifférence

Principe d’entropie maximale

Un sujet doit adopter, parmi toutes les fonctions

de probabilité qui satisfont aux contraintes

imposées par sa connaissance d’arrière plan,

une fonction P qui maximise l’entropie

Quels avantages?

Pas d’arbitrarieté

Contenu empirique

Plusieurs source de « evidence »

En résumé:

Selons les bayésiens les probas doivent

satisfaires aux axiomes du calcul

Example:A= demain il va plevoir à Paris

P(A) est un degré de croyance en A

Alors, P(A)+P(A)=1

Je connais seulement la probabilité physique

(fréquence ou propension) de A,

disons que cette proba est entre .2 et .3

En résumé:Bayésien subjectif

Je peux choisir toute valeur de proba entre 0 et 1

Bayésien empiriquement baséMon degré de croyance doit être basésur ma connaissance empirique,donc je dois choisir entre .2 et .3, toute valeur sera acceptée

Bayésien objectifMon degré de croyance doit être basésur la connaissance empirique etdoit être les plus ambigu possible. .3 est la valeure qui approche le plus .5

Desiderata:que voulons-nous d’une inteprétation?

ObjectivitéRendre compte de l’objectivité de la proba

CalculiExpliquer comment raisonner sur la proba

Épistémologie Expliquer comment connaître la proba

VariétéFaire face à la grande varieté d’énoncés probabilistes

ParcimonieÊtre ontologiquement parcimonieux

Application:épidémiologie du cancer

Problème: l’épidémiologie a un double objectif

Établir un énoncé génériqueLes non-fumeurs ont un risque majeur (25%) de

développer le cancer du poumon si leurs épouses sont des fumeurs

Établir un énoncé singulierMichelle a un cancer du sein métastatique et elle

survivra plus de 5 ans avec un probabilité de 0.4

Ces deux énoncés sont probabilistes

On marchande …

Class/Log

Prop Freq BayesSubj

BayesEmp-Basé

BayesObj

Objectivité Calculi Epistémologie Variété Parcimonie

Vendu!

Fréquentisme-cum-Bayésianisme objectif

Le pluralisme est une option faisableÉnoncés génériques requièrentune interprétation fréquentisteÉnoncés singuliers requièrentune interprétation bayesienne objective

Le bayésianisme objectif a des vertuspragmatiques

54

4

13

34

12

2

X1

Economic development

X2

Social development

X3

Sanitary infrastructures

X4

Use of sanitary

infrastructures X5

Age structure

YMortality

45543344

31133

21122

14422

XXX

XX

XX

XXY

Application:modélisation causale

Probas bayésiennes objectives

Intuitivement: Les résultats d’un modèle causal expriment une croyance (rationnelle) « evidence-based » sur des relations causales

Bayésianisme, basé empiriquement ou bayésianisme objectif

Test d’hypothèse

Idée de base:comparer l’hypothèse avec les observations

Éléments du test:Hypothèse nulle: la variation observée est aléatoireHypothèse alternative: la variation observée est

réelleStatistique de test

L’hypothèse nulle est acceptée ou rejetéeselon la valeur-p chosie

Interprétation des probas

D’un point de vue fréquentiste:Nous évaluons la proba d’obtenirl’échantillon si l’hypothèse est vraie

« la probabilité de l’hypothèse » n’a pas de senscar c’est un événement unique

D’un point de vue bayésien:Nous pouvons évaluer la probabilitéd’une hypothèse

Example

« le paramètre inconnu se trouve dans l’intervalle(1, 2) , niveau de confiance 95%»

Ce n’est pas la proba du paramètre!

Si on tire nombreux échantillons de la même taille eton construit les mêmes intervalles autour de ,on peut s’attendre que 95% des intervalles contiennent

Le fréquentiste ne peut pas évaluer la probade l’hypothèse elle-même

Hypothèse nulle contre hypothèse alternative

On test l’hypothèse nulle contre

l’hypothèse alternative

Acceptation ou rejet concernent directement

l’hypothèse nulle et indirectement

l’hypothèse alternative

Sous l’interprétation bayésienne objective

les 2 hypothèses sont tout aussi probable,

au moins que « evidence » n’indique le contraire

La réponse du fréquentiste

Les 2 hypothèses ne peuvent pas être traitéesde la même manière:

Il est plus grave d’accepter l’hypothèse alternativequand elle est fausse que de rejeter l’hypothèse nulle quand elle est

vraie

Le fréquentiste doit limiter sa région de rejetpour restreindre la probabilitéd’une erreur de type II

La contre-réponse du bayésien

Il n’y a pas de région de rejet a construire,mais de probabilités a posteriori à calculer

Le choix entre l’hypothèse nulle etl’alternative est faite sur la base des a

posteriori

Guide pour l’action

Décisions pour les résultats des testsProbas bayésiennes objectives permettentde décider entre les a posteriori des hypothèses

Décisions en matière de politique publique(sciences sociales)

Décisions en matière d’individus (sciences médicale)

Pourquoi des probas bayésienne objectives?

Parce que:

1) elles ont du sens dans le cas unique

2) elles ne laissent pas de place à l’arbitrarieté

En résuméJ’ai rappelé

Le formalisme du calcul de la probabilitéLes majeures interprétations

J’ai présenté le bayésianismeEn tant que position épistémologiqueEn tant qu’interprétation de la

probabilité

J’ai distinguéLe bayésianisme subjectifLe bayésianisme empiriquement baséLe bayésianisme objectif

J’ai appliqué le bayésianisme objectifEn épidémiologie du cancerEn modélisation causale

Et en suite …?

Le pluralisme est-il une position tenable ?

Dans quels autres contextes peut-onappliquer le bayésianisme objectif?

…