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Quelques mystères de la complexité algébique
Pascal KoiranLIP, Ecole Normale Supérieure de Lyon
ENS Cachan, 10 septembre 2013
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Qu’est-ce que la complexité algébrique ?
I But de la complexité algorithmique :déterminer le coût asymptotique du “meilleur algorithme”pour un problème donné.Le coût :temps de calcul, espace mémoire, communication, énergie. . .
I En complexité algébrique :coût = nombre d’opérations arithmétiques.
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Qu’est-ce que la complexité algébrique ?
I But de la complexité algorithmique :déterminer le coût asymptotique du “meilleur algorithme”pour un problème donné.Le coût :temps de calcul, espace mémoire, communication, énergie. . .
I En complexité algébrique :coût = nombre d’opérations arithmétiques.
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Qu’est-ce que la complexité algébrique ?
I But de la complexité algorithmique :déterminer le coût asymptotique du “meilleur algorithme”pour un problème donné.Le coût :temps de calcul, espace mémoire, communication, énergie. . .
I En complexité algébrique :coût = nombre d’opérations arithmétiques.
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Premier mystère :la complexité de la multiplication de matrices
Soient A et B des matrices n × n et C = AB .
cij =n∑
k=1
aikbkj
n3 multiplications, n2(n − 1) additions.
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Multiplication de matrices de taille 2 :algorithme de Strassen
(c11 c12c21 c22
)=
(a11 a12a21 a22
)(b11 b12b21 b22
).
On calcule les 7 produits :p1 = (a11 + a22)(b11 + b22)p2 = (a21 + a22)b11p3 = a11(b12 − b22)p4 = a22(−b11 + b21)p5 = (a11 + a12)b22p6 = (−a11 + a21)(b11 + b12)p7 = (a12 − a22)(b21 + b22).(
c11 c12c21 c22
)=
(p1 + p4 − p5 + p7 p3 + p5
p2 + p4 p1 + p3 − p2 + p6
)
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Multiplication de matrices de taille 2, suite
Vérification :
c12 = p3 + p5 = a11(b12 − b22) + (a11 + a12)b22 = a11b12 + a12b22.
Bilan : 7 multiplications, 18 additions(8 et 4 pour la méthode usuelle).Intérêt ?Les entrées de A et B peuvent appartenir à un anneau,même non commutatif, par exemple un anneau de matrices !Dans ce cas, une multiplication coûte plus cher que 14 additions.
Remarques :I Comme l’algorithme usuel, cet algorithme est bilinéaire
(on ne multiplie les entrées d’une matricequ’avec les entrées de l’autre matrice).
I Contrairement à l’algorithme usuel, il y a des annulations.
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Multiplication de matrices de taille 2, suite
Vérification :
c12 = p3 + p5 = a11(b12 − b22) + (a11 + a12)b22 = a11b12 + a12b22.
Bilan : 7 multiplications, 18 additions(8 et 4 pour la méthode usuelle).Intérêt ?Les entrées de A et B peuvent appartenir à un anneau,même non commutatif, par exemple un anneau de matrices !Dans ce cas, une multiplication coûte plus cher que 14 additions.
Remarques :I Comme l’algorithme usuel, cet algorithme est bilinéaire
(on ne multiplie les entrées d’une matricequ’avec les entrées de l’autre matrice).
I Contrairement à l’algorithme usuel, il y a des annulations.
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Multiplication de matrices de taille 2, suite
Vérification :
c12 = p3 + p5 = a11(b12 − b22) + (a11 + a12)b22 = a11b12 + a12b22.
Bilan : 7 multiplications, 18 additions(8 et 4 pour la méthode usuelle).Intérêt ?Les entrées de A et B peuvent appartenir à un anneau,même non commutatif, par exemple un anneau de matrices !Dans ce cas, une multiplication coûte plus cher que 14 additions.
Remarques :I Comme l’algorithme usuel, cet algorithme est bilinéaire
(on ne multiplie les entrées d’une matricequ’avec les entrées de l’autre matrice).
I Contrairement à l’algorithme usuel, il y a des annulations.
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Multiplication de matrices de taille n :algorithme de Strassen
(C11 C12C21 C22
)=
(A11 A12A21 A22
)(B11 B12B21 B22
).
Les matrices Aij , Bij , Cij sont de taille n/2, a coefficients dans R .Soit T (n) = nombre d’opérations arithmétiques dans R .
T (n) = 18(n/2)2 + 7T (n/2)
On trouve T (n) = O(nlog2 7) ∼ n2,807.
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Après Strassen
Soit ω le meilleur exposant possible.ω ≤ 2, 807 (Strassen, 1968)2,781 (Pan, 1978)2,780 (Bini et al., 1979)2,548 (Schönhage, 1979)2,522 (Pan, 1979)2,498 (Coppersmith - Winograd, 1980)2,479 (Strassen, 1986)2,375 (Coppersmith-Winograd, 1986)
2,3736 (Stothers, 2010)2,3727 (Williams, 2011)
ω = 2 n’est pas impossible.
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Après Strassen
Soit ω le meilleur exposant possible.ω ≤ 2, 807 (Strassen, 1968)2,781 (Pan, 1978)2,780 (Bini et al., 1979)2,548 (Schönhage, 1979)2,522 (Pan, 1979)2,498 (Coppersmith - Winograd, 1980)2,479 (Strassen, 1986)2,375 (Coppersmith-Winograd, 1986)
2,3736 (Stothers, 2010)2,3727 (Williams, 2011)
ω = 2 n’est pas impossible.
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Quelques bornes inférieuresOn ne sait pas montrer que ω > 2 mais...On sait que le nombre de multiplications nécessaire est au moins :
I 2n2 − 1 (Lafon-Winograd, 1978)I 2n2 + n − 3 (Bläser, 1999)
Avec un algorithme bilinéaire il en faut au moins :I 2n2 − 1 (Brockett-Dobkin, 1978)I 5
2n2 − 3n (Bläser, 1999)I 3n2 − 4n3/2 + n (Landsberg, 2012)
Sans soustractions, pas d’annulations :I Il faut n3 multiplications (Paterson, 1975).
Si on ne multiplie que par des constantes ≤ 1 en valeur absolue :I Il faut Ω(n2 log n) opérations arithmétiques (Raz, 2002)
Remarque : Pour montrer de telles bornes inférieures,il faut se donner un modèle de calcul bien défini.
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Quelques bornes inférieuresOn ne sait pas montrer que ω > 2 mais...On sait que le nombre de multiplications nécessaire est au moins :
I 2n2 − 1 (Lafon-Winograd, 1978)I 2n2 + n − 3 (Bläser, 1999)
Avec un algorithme bilinéaire il en faut au moins :I 2n2 − 1 (Brockett-Dobkin, 1978)I 5
2n2 − 3n (Bläser, 1999)I 3n2 − 4n3/2 + n (Landsberg, 2012)
Sans soustractions, pas d’annulations :I Il faut n3 multiplications (Paterson, 1975).
Si on ne multiplie que par des constantes ≤ 1 en valeur absolue :I Il faut Ω(n2 log n) opérations arithmétiques (Raz, 2002)
Remarque : Pour montrer de telles bornes inférieures,il faut se donner un modèle de calcul bien défini.
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Quelques bornes inférieuresOn ne sait pas montrer que ω > 2 mais...On sait que le nombre de multiplications nécessaire est au moins :
I 2n2 − 1 (Lafon-Winograd, 1978)I 2n2 + n − 3 (Bläser, 1999)
Avec un algorithme bilinéaire il en faut au moins :I 2n2 − 1 (Brockett-Dobkin, 1978)I 5
2n2 − 3n (Bläser, 1999)I 3n2 − 4n3/2 + n (Landsberg, 2012)
Sans soustractions, pas d’annulations :I Il faut n3 multiplications (Paterson, 1975).
Si on ne multiplie que par des constantes ≤ 1 en valeur absolue :I Il faut Ω(n2 log n) opérations arithmétiques (Raz, 2002)
Remarque : Pour montrer de telles bornes inférieures,il faut se donner un modèle de calcul bien défini.
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Quelques bornes inférieuresOn ne sait pas montrer que ω > 2 mais...On sait que le nombre de multiplications nécessaire est au moins :
I 2n2 − 1 (Lafon-Winograd, 1978)I 2n2 + n − 3 (Bläser, 1999)
Avec un algorithme bilinéaire il en faut au moins :I 2n2 − 1 (Brockett-Dobkin, 1978)I 5
2n2 − 3n (Bläser, 1999)I 3n2 − 4n3/2 + n (Landsberg, 2012)
Sans soustractions, pas d’annulations :I Il faut n3 multiplications (Paterson, 1975).
Si on ne multiplie que par des constantes ≤ 1 en valeur absolue :I Il faut Ω(n2 log n) opérations arithmétiques (Raz, 2002)
Remarque : Pour montrer de telles bornes inférieures,il faut se donner un modèle de calcul bien défini.
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Quelques bornes inférieuresOn ne sait pas montrer que ω > 2 mais...On sait que le nombre de multiplications nécessaire est au moins :
I 2n2 − 1 (Lafon-Winograd, 1978)I 2n2 + n − 3 (Bläser, 1999)
Avec un algorithme bilinéaire il en faut au moins :I 2n2 − 1 (Brockett-Dobkin, 1978)I 5
2n2 − 3n (Bläser, 1999)I 3n2 − 4n3/2 + n (Landsberg, 2012)
Sans soustractions, pas d’annulations :I Il faut n3 multiplications (Paterson, 1975).
Si on ne multiplie que par des constantes ≤ 1 en valeur absolue :I Il faut Ω(n2 log n) opérations arithmétiques (Raz, 2002)
Remarque : Pour montrer de telles bornes inférieures,il faut se donner un modèle de calcul bien défini.
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Quelques bornes inférieuresOn ne sait pas montrer que ω > 2 mais...On sait que le nombre de multiplications nécessaire est au moins :
I 2n2 − 1 (Lafon-Winograd, 1978)I 2n2 + n − 3 (Bläser, 1999)
Avec un algorithme bilinéaire il en faut au moins :I 2n2 − 1 (Brockett-Dobkin, 1978)I 5
2n2 − 3n (Bläser, 1999)I 3n2 − 4n3/2 + n (Landsberg, 2012)
Sans soustractions, pas d’annulations :I Il faut n3 multiplications (Paterson, 1975).
Si on ne multiplie que par des constantes ≤ 1 en valeur absolue :I Il faut Ω(n2 log n) opérations arithmétiques (Raz, 2002)
Remarque : Pour montrer de telles bornes inférieures,il faut se donner un modèle de calcul bien défini.
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De très nombreux modèles de calcul...
pour étudier les nombreuses facettes du calcul.Exemples :Machines de Turing, circuits booléens, modèles quantiques,circuits arithmétiques.
I Les entrées sont des variables X1, . . . ,Xn,ou des constantes d’un corps K .
I A l’étape i on calcule Ri = Pi + Qi ou Ri = Pi × Qiavec Pi ,Qi : entrées ou résultats déjà calculés.
Un circuit calcule un ou plusieurs polynômes de K [X1, . . . ,Xn].
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De très nombreux modèles de calcul...
pour étudier les nombreuses facettes du calcul.Exemples :Machines de Turing, circuits booléens, modèles quantiques,circuits arithmétiques.
I Les entrées sont des variables X1, . . . ,Xn,ou des constantes d’un corps K .
I A l’étape i on calcule Ri = Pi + Qi ou Ri = Pi × Qiavec Pi ,Qi : entrées ou résultats déjà calculés.
Un circuit calcule un ou plusieurs polynômes de K [X1, . . . ,Xn].
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Représentation graphique d’un circuit arithmétique
Circuit
×+
+ ×
+
x1 x2 x4k
Taille : 9Profondeur : 3
Ce modèle permet d’exprimer de nombreux algorithmes naturels,et de prouver des bornes inférieures.
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Importance de la multiplication de matrices
I Un problème de base de l’algèbre linéaire.I L’exposant optimal ω est le même pour de nombreux
problèmes (inversion, déterminant, décomposition LU. . . ).
Une question plus simple :calcul du déterminant par des circuits de taille polynomiale ?
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Elimination de Gauss
O(n3) opération, y compris des divisions !On obtient :
detA =P(aij)
Q(aij)
avec P,Q des polynômes calculés par des circuits arithmétiquesde taille O(n3).Elimination des divisions (Strassen) :pour diviser par 1− R on remarque que
11− R
=+∞∑k=0
Rk .
Pour R sans terme constant on peut tronquer au degré du résultat(n pour detA).
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Elimination de Gauss
O(n3) opération, y compris des divisions !On obtient :
detA =P(aij)
Q(aij)
avec P,Q des polynômes calculés par des circuits arithmétiquesde taille O(n3).Elimination des divisions (Strassen) :pour diviser par 1− R on remarque que
11− R
=+∞∑k=0
Rk .
Pour R sans terme constant on peut tronquer au degré du résultat(n pour detA).
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Elimination de Gauss
O(n3) opération, y compris des divisions !On obtient :
detA =P(aij)
Q(aij)
avec P,Q des polynômes calculés par des circuits arithmétiquesde taille O(n3).Elimination des divisions (Strassen) :pour diviser par 1− R on remarque que
11− R
=+∞∑k=0
Rk .
Pour R sans terme constant on peut tronquer au degré du résultat(n pour detA).
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Détection des triangles dans un graphe
Dans un graphe G = (V ,E ), 3 sommets distincts i , j , k ⊆ Vforment un triangle si ij , jk , ki ⊆ E .
Problème : G contient-il un triangle ?
Algorithme naif : tester les(|V |
3
)triplets de sommets.
Peut-on faire mieux ?
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Le retour de la multiplication
Matrice d’adjacence de G :Pour chaque couple de sommets (i , j),Aij = 1 si ij ∈ E , Aij = 0 sinon.C’est une matrice symétrique.
(A2)ij =∑n
k=1 AikAkj ≥ 1 ssi il existe k tel que ik ∈ E et kj ∈ E .
Algorithme :1. Calculer A2 par multiplication rapide.2. Pour chaque arête ij ∈ E : vérifier si (A2)ij ≥ 1 ;
si oui, il y a un triangle.
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Le retour de la multiplication
Matrice d’adjacence de G :Pour chaque couple de sommets (i , j),Aij = 1 si ij ∈ E , Aij = 0 sinon.C’est une matrice symétrique.
(A2)ij =∑n
k=1 AikAkj ≥ 1 ssi il existe k tel que ik ∈ E et kj ∈ E .
Algorithme :1. Calculer A2 par multiplication rapide.2. Pour chaque arête ij ∈ E : vérifier si (A2)ij ≥ 1 ;
si oui, il y a un triangle.
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Borne inférieure pour la détection de triangle :le modèle approprié ?
Données booléennes (matrice d’adjacence).
1. Circuits arithmétiques sur Z/2Z.2. Circuits booléens :
les opérations sont ∨,∧,¬ au lieu de +,×.
Ces deux modèles sont équivalents :par exemple, x ∧ y = xy , x ∨ y = x + y + xy , ¬x = x + 1.
3. Circuits booléens monotones : pas de ¬.
Dans ce modèle : borne inférieure en n3/(log n)6 (Razborov, 1985).
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Borne inférieure pour la détection de triangle :le modèle approprié ?
Données booléennes (matrice d’adjacence).
1. Circuits arithmétiques sur Z/2Z.2. Circuits booléens :
les opérations sont ∨,∧,¬ au lieu de +,×.
Ces deux modèles sont équivalents :par exemple, x ∧ y = xy , x ∨ y = x + y + xy , ¬x = x + 1.
3. Circuits booléens monotones : pas de ¬.
Dans ce modèle : borne inférieure en n3/(log n)6 (Razborov, 1985).
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Borne inférieure pour la détection de triangle :le modèle approprié ?
Données booléennes (matrice d’adjacence).
1. Circuits arithmétiques sur Z/2Z.2. Circuits booléens :
les opérations sont ∨,∧,¬ au lieu de +,×.
Ces deux modèles sont équivalents :par exemple, x ∧ y = xy , x ∨ y = x + y + xy , ¬x = x + 1.
3. Circuits booléens monotones : pas de ¬.
Dans ce modèle : borne inférieure en n3/(log n)6 (Razborov, 1985).
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Borne inférieure pour la détection de triangle :le modèle approprié ?
Données booléennes (matrice d’adjacence).
1. Circuits arithmétiques sur Z/2Z.2. Circuits booléens :
les opérations sont ∨,∧,¬ au lieu de +,×.
Ces deux modèles sont équivalents :par exemple, x ∧ y = xy , x ∨ y = x + y + xy , ¬x = x + 1.
3. Circuits booléens monotones : pas de ¬.
Dans ce modèle : borne inférieure en n3/(log n)6 (Razborov, 1985).
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Puissances de matrices
I (A2)ij : nombre de chemins de longueur 2 de i à j .I (Ak)ij : nombre de chemins de longueur k de i à j .I Se généralise aux graphes orientés
(matrice d’adjacence non nécessairement symétrique).I Se généralise aux graphes avec poids sur les arêtes
(poids d’un chemin = produit du poids de ses arêtes).
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Puissances de matrices
I (A2)ij : nombre de chemins de longueur 2 de i à j .I (Ak)ij : nombre de chemins de longueur k de i à j .I Se généralise aux graphes orientés
(matrice d’adjacence non nécessairement symétrique).I Se généralise aux graphes avec poids sur les arêtes
(poids d’un chemin = produit du poids de ses arêtes).
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Puissances de matrices
I (A2)ij : nombre de chemins de longueur 2 de i à j .I (Ak)ij : nombre de chemins de longueur k de i à j .I Se généralise aux graphes orientés
(matrice d’adjacence non nécessairement symétrique).I Se généralise aux graphes avec poids sur les arêtes
(poids d’un chemin = produit du poids de ses arêtes).
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Puissances de matrices
I (A2)ij : nombre de chemins de longueur 2 de i à j .I (Ak)ij : nombre de chemins de longueur k de i à j .I Se généralise aux graphes orientés
(matrice d’adjacence non nécessairement symétrique).I Se généralise aux graphes avec poids sur les arêtes
(poids d’un chemin = produit du poids de ses arêtes).
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Second mystère :la complexité du calcul du permanent
Un petit cousin du déterminant :
per(X ) =∑σ∈Sn
n∏i=1
Xiσ(i)
Un autre problème de borne inférieure :
Conjecture de Valiant : Le permanent n’est pas calculablepar des circuits arithmétiques de taille polynomiale en n(sauf dans un corps de caractéristique 2).
C’est un analogue algébrique de la conjecture P 6= NP.
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Second mystère :la complexité du calcul du permanent
Un petit cousin du déterminant :
per(X ) =∑σ∈Sn
n∏i=1
Xiσ(i)
Un autre problème de borne inférieure :
Conjecture de Valiant : Le permanent n’est pas calculablepar des circuits arithmétiques de taille polynomiale en n(sauf dans un corps de caractéristique 2).
C’est un analogue algébrique de la conjecture P 6= NP.
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Mariages parfaits
Etant donnés n hommes et n femmes qui peuvent se connaître(ou non),peut-on marier les n femmes à n hommes qui les connaissent ?
I On peut répondre à cette question en temps polynomial.I Compter le nombre de solutions est conjecturé difficile
(Valiant).
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Mariage et permanent
# mariage parfaits = 2 = per
1 1 00 1 11 0 1
← Ann← Beth← Carla
(C’est la matrice d’adjacence bipartie du graphe)
Entrées non booléennes ⇔ poids sur les arêtes.
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Mariage et permanent
# mariage parfaits = 2 = per
1 1 00 1 11 0 1
← Ann← Beth← Carla
(C’est la matrice d’adjacence bipartie du graphe)
Entrées non booléennes ⇔ poids sur les arêtes.
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Réduction de profondeur pour les circuits arithmétiquesI Un sujet d’actualité dans les années 1970/80.I Réduction à la profondeur 4 : circuits de la forme ΣΠΣΠ.
Le degré entrant des portes + et × est non borné.
x1 xn
× ×
+ +
× ×
+
×
×
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Réduction de profondeur pour les circuits arithmétiquesI Un sujet d’actualité dans les années 1970/80.I Réduction à la profondeur 4 : circuits de la forme ΣΠΣΠ.
Le degré entrant des portes + et × est non borné.
x1 xn
× ×
+ +
× ×
+
×
×
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Réduction à la profondeur 4
Théorème (Agrawal-Vinay 2008, cas particulier) :Un polynôme multilinéaire en m variablesavec un circuit de taille 2o(m)
est calculable par un circuit de profondeur 4 et de taille 2o(m).
I Application potentielle (directe ou indirecte)aux bornes inférieures.
I Réduction à la profondeur 3 (ΣΠΣ) :Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi 2013.
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Puissance de matrice en profondeur 4
Pour calculer Ad = (A√
d )√
d :
1. Calculer B = Aδ avec δ =√
d . On a :
Bij =∑
1≤i2,i3,...,iδ≤n
Aii2Ai2i3 · · ·Aiδ−1iδAiδ j .
2. Calculer Bδ.
Coût de l’algorithme :1. Chaque Bij : nδ−1 multiplications d’arités δ,
une addition d’arité nδ−1.Profondeur 2.
2. Seconde étape : même chose.
Au total : O(n√
d+1) opérations arithmétiques, profondeur 4.
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Puissance de matrice en profondeur 4
Pour calculer Ad = (A√
d )√
d :
1. Calculer B = Aδ avec δ =√
d . On a :
Bij =∑
1≤i2,i3,...,iδ≤n
Aii2Ai2i3 · · ·Aiδ−1iδAiδ j .
2. Calculer Bδ.
Coût de l’algorithme :1. Chaque Bij : nδ−1 multiplications d’arités δ,
une addition d’arité nδ−1.Profondeur 2.
2. Seconde étape : même chose.
Au total : O(n√
d+1) opérations arithmétiques, profondeur 4.
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Un autre modèle de calcul : les programmes à branchement
Graphe orienté sans cycle avec 2 sommets distingués s, t.
I Arêtes étiquetées par des variables ou des constantes.I Poids d’un chemin = produit des poids de ses arêtes.I sortie = somme des poids de tous les chemins de s à t.
Une représentation du polynôme z(x + 3y) :
3
xy
1
z
s
t
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Puissances de matrices et programmes à branchement
Soit G un programme à branchement, A sa matrice d’adjacence.Supposons que tous les chemins de s à t sont de longueur `.Le polynôme représenté est (A`)st .
Théorème :Soit G un programme à branchement de taille m et de profondeur `.Il existe un circuit de profondeur 4 équivalent à G ,avec m2 + 1 portes d’addition et mO(
√`) portes de multiplication.
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Puissances de matrices et programmes à branchement
Soit G un programme à branchement, A sa matrice d’adjacence.Supposons que tous les chemins de s à t sont de longueur `.Le polynôme représenté est (A`)st .
Théorème :Soit G un programme à branchement de taille m et de profondeur `.Il existe un circuit de profondeur 4 équivalent à G ,avec m2 + 1 portes d’addition et mO(
√`) portes de multiplication.
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Réduction à la profondeur 4 pour les circuits arithmétiques
Théorème :Soit C un circuit arithmétique de taille t et degré d .Il existe un circuit de profondeur 4 équivalent de taille tO(
√d log d).
Principe de la preuve :C → programme à branchement → circuit de profondeur 4.
![Page 51: Quelques mystères de la complexité algébiqueQuelques mystères de la complexité algébique PascalKoiran LIP,EcoleNormaleSupérieuredeLyon ENSCachan,10septembre2013 Qu’est-ce](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071420/6119f38e99cc5560997b090c/html5/thumbnails/51.jpg)
Une amélioration, et une borne inférieure
Théorème (Tavenas 2013) :Soit C un circuit arithmétique de taille t et degré d .Il existe un circuit de profondeur 4 équivalent de taille tO(
√d).
Corollaire :Si le permanent admet des circuits de taille polynomiale en n,il admet des circuits de profondeur 4 de taille nO(
√n).
Théorème (Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi 2013) :Tout circuit(∗) de profondeur 4 pour le permanentest de taille au moins 2Ω(
√n).
(*) Il faut supposer que le circuit est homogène et que les multiplicationsentre entrées sont d’arité O(
√n).
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Une amélioration, et une borne inférieure
Théorème (Tavenas 2013) :Soit C un circuit arithmétique de taille t et degré d .Il existe un circuit de profondeur 4 équivalent de taille tO(
√d).
Corollaire :Si le permanent admet des circuits de taille polynomiale en n,il admet des circuits de profondeur 4 de taille nO(
√n).
Théorème (Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi 2013) :Tout circuit(∗) de profondeur 4 pour le permanentest de taille au moins 2Ω(
√n).
(*) Il faut supposer que le circuit est homogène et que les multiplicationsentre entrées sont d’arité O(
√n).
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Une amélioration, et une borne inférieure
Théorème (Tavenas 2013) :Soit C un circuit arithmétique de taille t et degré d .Il existe un circuit de profondeur 4 équivalent de taille tO(
√d).
Corollaire :Si le permanent admet des circuits de taille polynomiale en n,il admet des circuits de profondeur 4 de taille nO(
√n).
Théorème (Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi 2013) :Tout circuit(∗) de profondeur 4 pour le permanentest de taille au moins 2Ω(
√n).
(*) Il faut supposer que le circuit est homogène et que les multiplicationsentre entrées sont d’arité O(
√n).
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Bornes inférieures et racines réelles : une approche indirecte
Principe : obtenir des bornes inférieures à partir de généralisations(conjecturées) de la règle des signes.
Règle des signes (Descartes, 1596-1650) :
I Soit P(X ) =∑d
i=0 aiX i ∈ R[X ].I Soit Z+(P) le nombre de racines strictement positives.I Soit V (P) le nombre de changements de signes dans la suite
[a0, a1, . . . , ad ].
Alors Z+(P) ≤ V (P).
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La règle de Descartes sans les signes
Un résultat sur les polynômes creux.Théorème :Si f ∈ R[X ] a t monômes non nuls, f a au plus t − 1 racinesstrictement positives.Preuve : Récurrence sur t. Pas de racine > 0 pour t = 1.Pour t > 1 : Soit aαXα le monôme de plus petit degré.On peut supposer que α = 0 (sinon, diviser par Xα). Du coup :
(i) f ′ a t − 1 monômes ⇒ ≤ t − 2 racines strictement positives.(ii) Entre 2 racines strictement positives et consécutives de f :
il existe une racine strictement positive de f ′
(théorème de Rolle).
Corollaire : f a au plus 2t − 1 racines réelles.Cette borne est atteinte.
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La règle de Descartes sans les signes
Un résultat sur les polynômes creux.Théorème :Si f ∈ R[X ] a t monômes non nuls, f a au plus t − 1 racinesstrictement positives.Preuve : Récurrence sur t. Pas de racine > 0 pour t = 1.Pour t > 1 : Soit aαXα le monôme de plus petit degré.On peut supposer que α = 0 (sinon, diviser par Xα). Du coup :
(i) f ′ a t − 1 monômes ⇒ ≤ t − 2 racines strictement positives.(ii) Entre 2 racines strictement positives et consécutives de f :
il existe une racine strictement positive de f ′
(théorème de Rolle).
Corollaire : f a au plus 2t − 1 racines réelles.Cette borne est atteinte.
![Page 57: Quelques mystères de la complexité algébiqueQuelques mystères de la complexité algébique PascalKoiran LIP,EcoleNormaleSupérieuredeLyon ENSCachan,10septembre2013 Qu’est-ce](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071420/6119f38e99cc5560997b090c/html5/thumbnails/57.jpg)
La règle de Descartes sans les signes
Un résultat sur les polynômes creux.Théorème :Si f ∈ R[X ] a t monômes non nuls, f a au plus t − 1 racinesstrictement positives.Preuve : Récurrence sur t. Pas de racine > 0 pour t = 1.Pour t > 1 : Soit aαXα le monôme de plus petit degré.On peut supposer que α = 0 (sinon, diviser par Xα). Du coup :
(i) f ′ a t − 1 monômes ⇒ ≤ t − 2 racines strictement positives.(ii) Entre 2 racines strictement positives et consécutives de f :
il existe une racine strictement positive de f ′
(théorème de Rolle).
Corollaire : f a au plus 2t − 1 racines réelles.Cette borne est atteinte.
![Page 58: Quelques mystères de la complexité algébiqueQuelques mystères de la complexité algébique PascalKoiran LIP,EcoleNormaleSupérieuredeLyon ENSCachan,10septembre2013 Qu’est-ce](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071420/6119f38e99cc5560997b090c/html5/thumbnails/58.jpg)
Des généralisations souhaitables
1. Si f et g ont t monômes :nombres maximum de solutions réelles pour f (x)g(x) = 1 ?Remarque : fg − 1 a au plus t2 + 1 monômes.Le nombre maximum de solutions est il quadratique en t ?linéaire ? intermédiaire ?
2. Idem pour f1f2 · · · fm = 1.3. τ -conjecture réelle
(sur les sommes de produits de polynômes creux) :Soit f (x) =
∑ki=1∏m
j=1 fij(x).Le nombre de racines réelles de f est polynomial en kmt.
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Des généralisations souhaitables
1. Si f et g ont t monômes :nombres maximum de solutions réelles pour f (x)g(x) = 1 ?Remarque : fg − 1 a au plus t2 + 1 monômes.Le nombre maximum de solutions est il quadratique en t ?linéaire ? intermédiaire ?
2. Idem pour f1f2 · · · fm = 1.3. τ -conjecture réelle
(sur les sommes de produits de polynômes creux) :Soit f (x) =
∑ki=1∏m
j=1 fij(x).Le nombre de racines réelles de f est polynomial en kmt.
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Des généralisations souhaitables
1. Si f et g ont t monômes :nombres maximum de solutions réelles pour f (x)g(x) = 1 ?Remarque : fg − 1 a au plus t2 + 1 monômes.Le nombre maximum de solutions est il quadratique en t ?linéaire ? intermédiaire ?
2. Idem pour f1f2 · · · fm = 1.3. τ -conjecture réelle
(sur les sommes de produits de polynômes creux) :Soit f (x) =
∑ki=1∏m
j=1 fij(x).Le nombre de racines réelles de f est polynomial en kmt.
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Permanent et racines réelles
Théorème : Si la τ -conjecture réelle est vraie,pas de circuits de taille polynomiale pour le permanent.
Un ingrédient : réduction à la profondeur 4.
Circuit de profondeur 4 (∑∏∑∏
),avec des entrées constantes ou de la forme X 2i
mSomme de produits de polynômes creux
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Permanent et racines réelles
Théorème : Si la τ -conjecture réelle est vraie,pas de circuits de taille polynomiale pour le permanent.
Un ingrédient : réduction à la profondeur 4.
Circuit de profondeur 4 (∑∏∑∏
),avec des entrées constantes ou de la forme X 2i
mSomme de produits de polynômes creux
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Petit circuit, beaucoup de racines réellesI Soit Tn le polynôme de Tchebychev d’ordre n :
cos(nθ) = Tn(cos θ).
Par exemple : T1(x) = x , T2(x) = 2x2 − 1,T4(x) = 2(2x2 − 1)2 − 1.
I Tn est un polynôme de degré n avec n racines dans [−1, 1].I T2n(x) = T2(T2(· · ·T2(T2(x)) · · · )) : T2 itéré n fois.
Conséquence : circuit de taille O(n) pour T2n .
Graphes de T2 et T4 :
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.5
0
0.5
1
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Un devoir à la maison
Si f et g ont t monômes :nombres maximum de solutions réelles de l’équation f (x)g(x) = 1 ?