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Juin 2013

N° 22

le bulletin du groupe de réflexion

sur l'enseignement des mathématiques

PY-MATH

en Quatrième et Troisième de l’Enseignement Agricole,

Secondes générale et professionnelle, Bac Pro, Bac Techno, filière S et BTSA

ENFA - Bulletin n°22 du groupe PY-MATH - Juin 2013 Contact : Conf [email protected]

Sommaire

4e et 3

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Seco

nde

Pro

Bac

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Seco

nde

GT

Bac

Tec

hno

Filiè

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ants

A maths lesson in English ................................ page 3 Comment amener les élèves de seconde à créer des algorithmes ? .................................. page 11

Sudomaths ........................................................ page 33 Les 10 minutes des mathématiciens ................. page 37 Probabilités et statistique avec GeoGebra........ page 39 Lois de probabilités avec GeoGebra................. page 40 Les tests avec une calculatrice ou GeoGebra ... page 49 Test de Dixon - Recherche de valeurs aberrantes ......................................................... page 57

Correction sujet BTSA remplacement 2012 - (toutes options) ................................................. page 65

Membres du groupe ayant participé à ce bulletin PY-MATH n°22 CHAPUT Brigitte ENFA de TOULOUSE AUZEVILLE FERRER Christelle LEGTA de NÎMES RODILHAN GARCIA Jean-Philippe LEGTA d'AUXERRE GARDIENNET Alain LEGTA de PLOMBIÈRES-LES-DIJON JUGAN Delphine LEGTA de SAINT-HERBLAIN LE BASTARD Yannick LEGTA de MONTPELLIER LECLERCQ Fabrice LEGTA du PAS-DE-CALAIS MASOUNAVE Alice LEGTA de PAU MONTARDON QUET Guillaume LEGTA d'AUBENAS ROLLAND Jeanne LEGTA de MORLAIX ROUGER Valérie LEGTA de BOURG-EN-BRESSE SICRE Nathalie LPA de SAINT-AFFRIQUE SIROT Éric LEGTA de BRESSUIRE THOMAS Emmanuelle LEGTA d'AVIGNON TRONCHE Geneviève LEGTA de BRIVE OBJAT WAGNER Sylvain LEGTA de MIRECOURT

2 ENFA - Bulletin n°19 du groupe PY-MATH - Mars 2010 Contact : Conf [email protected]

ENFA - Bulletin n° 22 du groupe PY-MATH - Juin 2013 3 Contact : Conf [email protected]

A MATHS LESSON IN ENGLISH

Les ingrédients : - Un groupe d'élèves de Seconde GT qui donne envie. - Deux collègues l'une en Mathématiques et l'autre en Anglais qui travaillent ensemble

depuis longtemps et ont œuvré de concert dans un projet COMENIUS il y a quelques années.

- Un établissement qui sollicite une section européenne en filière STAV à la rentrée prochaine.

Et l'aventure est lancée… Let's go!

Voici le compte-rendu de l'expérience menée, l'espace d'une séance d'une heure de Mathématiques, avec l'avant et l'après séance.

Le contexte en Mathématiques La première séquence de Seconde GT Du calcul numérique au calcul algébrique s'achève par des problèmes conduisant à la résolution d'équations des premier et second degrés (voir Annexe 1 : fiche 1, exercices 1, 2 et 3, sachant que d'autres exercices du manuel ont été traités). Il a été beaucoup question au cours de cette leçon du passage entre deux langues : la langue mathématique et la langue française. Pourquoi alors ne pas envisager une troisième langue ? Well, speak English! Je fais donc l’annonce en classe d'une prochaine séance de Maths en Anglais. Quelques élèves expriment alors des réticences « Déjà que c'est pas facile, alors en Anglais… » mais la grande majorité des élèves, positifs et curieux, se disent prêts à relever le défi. Défi auquel je m'associe et cela a l'air de les rassurer !

La préparation en Anglais Après concertation avec ma collègue d'Anglais, il a été convenu de faire travailler les élèves sur plusieurs registres de vocabulaire en Mathématiques :

• vocabulaire lié aux opérations et au thème des équations, • vocabulaire lié aux figures de géométrie plane, • vocabulaire lié aux notions de largeur, longueur, haut, bas, • vocabulaire spécifique autour de la maison et du jardin pour un des exercices.

Comme on peut le voir en Annexe 2, ma collègue d'Anglais a choisi différents supports pour faire réviser ou acquérir ce vocabulaire. À noter le logiciel Eclipse Crossword qui permet de créer facilement des mots croisés ! ou des nombres croisés !!!!! Bien sûr, cet apprentissage s'est déroulé en cours d'Anglais suffisamment tôt pour être assimilé, en sachant que les élèves devaient venir avec ce lexique à la séance Maths en Anglais.

Le déroulement de la séance La séance a été réalisée en présence des deux enseignantes. Le groupe des 14 élèves était installé en U, avec leur enseignante d'Anglais assise parmi eux. Le ton a été donné dès le début, par la collègue angliciste : « Aujourd'hui, nous allons avoir une séance de Maths en Anglais. La règle du jeu est pour tous, enseignantes et élèves, de

4 ENFA - Bulletin n° 22 du groupe PY-MATH - Juin 2013 Contact : Conf [email protected]

parler exclusivement en Anglais. Rassurez-vous ! Vous êtes plus compétents que moi en Maths. Moi je suis là pour apporter mon aide, si besoin, en Anglais à vous les élèves et aussi à votre professeur de Maths. J'interviendrai à la fin de chaque exercice pour faire le point avec vous. ». Nous avions convenu que ma collègue d'Anglais n'interviendrait, au cours de l'exercice, que si la compréhension lui semblait handicapée par la langue et pas pour des raisons d'erreurs d'expression. Maintenant, à moi d'intervenir ! Je rappelle, in English of course, que je ne suis pas professeur d'Anglais mais que l'on va tous essayer ensemble de relever le défi et je les rassure en leur disant que nous avons travaillé sur ce thème la semaine dernière en Français. Je fais rappeler à Gaétan, en les écrivant au tableau, les quatre étapes à suivre :

1°) - choosing the unknown, 2°) - translating the text in an equation, 3°) - solving the equation, 4°) - giving an answer for the problem.

La trame est ainsi donnée pour les différents exercices.

Nous débutons la fiche 2 (voir Annexe 3).

Exercise 1 Mathilde lit l'énoncé, son accent en Anglais me rassure !!! Je m'assure que tous les mots soient compris en particulier square, en prenant quelques exemples : 2², 3², 5². La traduction de l'énoncé sous la forme d'une équation se fait sans souci. Je fais dire la nature de l'équation et la méthode de résolution. Les élèves se souviennent bien de ce qui a été étudié en Maths et Pierre-Yves le résume avec assurance. Louis vient faire la résolution au tableau et je l'aide à factoriser. Complete the equality : x − 2 x² = 0 or x × ... − x × ... = 0. Louis a un peu de mal à dire tous ces symboles en Anglais tout en résolvant l'équation, je l'encourage et on arrive ainsi jusqu'à la dernière étape, où la réponse est à rédiger.

Un point est fait par la collègue d'Anglais : je suis reprise, à juste titre, sur la prononciation du fameux x. Les élèves rassurés d'être arrivés sains et saufs jusque là disent avoir compris l'exercice, je le pense aussi, la séance peut continuer !

Exercise 2 Margaux lit l'énoncé, très concentrée. Je demande à ce que soient précisés les mots : increased et reduced. Gaëtan (the first), à l'aise à l'oral en Anglais, parle d'augmentation et de diminution, as same as in French. Je leur conseille de faire un dessin. Je passe les voir et m'assure de leur compréhension des termes précédents. Jessica, malgré ses difficultés en Anglais, veut bien venir faire le croquis au tableau.

Passons à la traduction de l'énoncé sous la forme d'une équation ! David nous rappelle les formules pour l'aire et le périmètre d'un rectangle. On y est presque... Attention à la présence indispensable des brackets or parentheses ! David est là pour corriger... Have you understood, Sarah? Sarah prétend que oui, je n'en suis pas sûre mais je laisse faire... Il faut dire que Sarah a son caractère...


Et maintenant la résolution ! Gaëtan (the second), qui se débrouille bien en Maths et moins bien en Anglais, ne comprend pas bien que je lui demande s'il a compris, me répond Yes, sur les conseils de ses camarades... Well, Gaetan, go to the blackboard and explain how to solve this equation! Gaëtan, un peu timide, se lance et même se précipite pour résoudre... et retourner vite à sa place. Dommage ! Il va trop vite dans sa résolution. Margaux demande, in English, des explications et avec mon aide, nous devons détailler... Les choses se compliquent, pour lui et pour moi mais nous y parvenons ! Ce n'est pas si aisé de corriger certaines mistakes...

Un point est fait par la collègue d'Anglais : je suis reprise, une nouvelle fois à juste titre. J'aurais dû dire : To help you... et non For help you... Prise dans mes bonnes intentions, j'en oublie mon B-A-BA in English… Les élèves disent avoir compris, je suis déjà moins sûre pour certains...

Mais c'est déjà la fin de la séance et chacun s'en étonne, élèves comme professeurs ! Le défi a été relevé, chacun s'en félicite même si les élèves, et nous deux aussi, sommes déçus de ne pas avoir traité l'exercise 3, où le vocabulaire préparé en Anglais avait été reconnu par les élèves dès la distribution de la fiche !

L'après-séance Un devoir à la maison Maths-Anglais a été donné aux élèves. Il s'agit de l'exercice 4 de la fiche 1 fournie en Annexe, où il est demandé d'inventer, in English, un énoncé correspondant à des équations. Est-ce que c'était trop ambitieux ? Peut-être ! Ce n'est déjà pas si facile en Français. Autant les élèves se sont bien investis en classe, autant leur travail a été décevant pour ces recherches ! Il serait même difficile de montrer quelques productions ici... Nous envisageons de renouveler l'expérience en classe, à raison d'une fois par trimestre, peut-être sous d'autres formes, avec d'autres supports comme les cours-vidéos de la BBC (adresse en fin d'article). À noter aussi que le manuel de Maths utilisé avec ces élèves est le manuel de la collection Didier qui propose en fin de chaque leçon an English corner et qu'ainsi peuvent être proposées quelques recherches mathématiques en Anglais ! L'expérience de cours en Anglais est menée également avec ce groupe d'élèves, à raison d'une fois par trimestre, en Biologie et en Histoire-Géographie. L'idée de se préparer à l'ouverture éventuelle d'une section européenne en filière STAV est, bien sûr, présente dans nos têtes.

Le bilan Les élèves ont été pour la plupart soucieux de relever le défi. Ils ont été extrêmement concentrés et, tout en ayant pleinement conscience de cet effort-là, ont été satisfaits de cette première expérience. Quelques paroles du style « Qu'est-ce qu'elle dit ? », « Je ne comprends pas », « Mais si, regarde le vocabulaire donné en Anglais ! » ont bien été murmurées, mais les élèves ont tâché de respecter la règle du jeu : Parler exclusivement Anglais et moi aussi ! Beaucoup d'énergie dépensée par les élèves et aussi par leur professeur de Maths pour un résultat assez réussi, ma foi ! Il va de soi que pour garantir le succès d'une telle séance, il faut que les notions mathématiques utilisées soient assimilées. Ici, la séance arrivait en fin de leçon et les techniques de résolution des équations étaient dans l'ensemble maîtrisées. Quant à l'aspect traduction d'un énoncé, qui n'est pas forcément aisé pour les élèves dans leur langue maternelle, on pouvait craindre des difficultés. C'était de fait un vrai travail de langue pour cette partie et donc doublement intéressant. Néanmoins, on peut se demander si, pour une première fois, la difficulté n'était pas trop grande.


Ce fût l'occasion de croiser deux disciplines, de faire vivre une langue vivante dans un autre contexte, de surcroît un contexte scientifique et l'on sait que l'Anglais est la langue communément employée de nos jours dans ce domaine.

Quelques impressions de ma collègue d'Anglais « J'ai trouvé cette expérience (qui n'était pas une première) très intéressante. Même si les élèves semblaient un peu intimidés et n'osaient pas toujours s'exprimer (peut-être l'auraient-ils fait plus volontiers si je n'avais pas été là), ils ont bien joué le jeu. Ils étaient très, très attentifs à ce que leur disait leur professeur de Maths et, chose très amusante, certains l'encourageaient "very good!" (très surpris que le prof de math parle aussi anglais). Les plus faibles en anglais mais plus forts en maths sont valorisés dans ce type de séance car lorsqu'un énoncé est écrit au tableau c'est tout de suite clair pour eux (même si ils n'avaient pas tout à fait compris les consignes en anglais qui avaient précédé). Alors que les faibles en maths ont été valorisés en étant capables de poser des questions ou de demander des explications en anglais ! Même si certains ont "soufflé" de soulagement à la fin de la séance qui leur avait demandé beaucoup de concentration (pour le prof d'anglais aussi..., les maths étant un très lointain souvenir !!), la plupart ont pris du plaisir à faire des maths en anglais et ont exprimé le souhait de recommencer. »

Ressources en ligne • Le site de la BBC : www.bbc.co.uk/schools/

• Le site du CNED pour tester son niveau en Anglais : http://www.englishbyyourself.fr/article_test-de-niveau_1151.html

• Le site Euromath d'échange et de mutualisation pour les professeurs de Mathématiques enseignant en section européenne: http://euromath.free.fr

• Le site d'accompagnement pour les sections européennes et de langues orientales Emilangues : http://www.emilangues.education.fr

• Un dictionnaire : http://www.amathsdictionaryforkids.com/dictionary.html

• Des vidéos : http://www.teachers.tv/mathematics

• Des exercices en anglais : http://www.ixl.com/math


Annexe 1 FICHE 1 : Problèmes à mettre en équations et à résoudre En suivant la démarche indiquée ci-dessous, traiter les exercices 1, 2 et 3 :

1°) - Choisir l'inconnue 2°) - Traduire l'énoncé sous la forme d'une équation 3°) - Résoudre l'équation 4°) - Conclure pour le problème posé

Exercice 1 Déterminer le(s) nombre(s) dont le double diminué de 1 est égal au tiers augmenté de 1.

Exercice 2 Déterminer le(s) nombre(s) dont le triple du carré est égal au double.

Exercice 3 Si on diminue la longueur d'un bassin carré de 2 m, son aire diminue de 52 m². Déterminer la longueur initiale du côté de ce bassin.

Exercice 4 Voici deux problèmes à ne pas résoudre :

Problème 1 Un âne porte 15 sacs de sel et 2 kg d'olives. Un mulet porte 2 sacs de sel et 40 kg d'olives. L'âne souffle fort ! « De quoi te plains-tu ? Nous portons la même charge » dit le mulet. Quelle est la masse x, en kg, d'un sac de sel ?

Problème 2 Pour s'entraîner au marathon, Paul part faire un footing à la vitesse de 15 km/h. Son frère, Luc, veut le rejoindre en mobylette. Il part 2 h plus tard et roule à la vitesse de 40 km/h. Quel temps x, en h, mettra-t-il pour le rattraper ?

… et quatre équations ! Équation A : 40x − 15 = 2 Équation B : 15x + 2 = 2x + 40 Équation C : 15 (x + 2) = 40x Équation D : x + 40 = 2 (x + 15)

1°) - Parmi ces 4 équations, retrouver celle qui correspond au problème 1, celle qui correspond au problème 2.

2°) - Inventer, en Anglais, un énoncé correspondant à chacune des 2 équations restantes.


Annexe 2 Mathematics

A/ Match the French words with their equivalents in English: équation • problème • inconnue • solution • résoudre • vérifier • conclure • factoriser • développer • déduire (en conséquence) • augmenter • diminuer • ajouter • soustraire • multiplier • diviser •

• to increase • to substract • to check • equation • to decrease • to divide (by) • problem • to conclude • to add • unknown • solution • to deduce • to expand • to solve • to multiply (by) • to factorise

B/ Read the following operations: 4 and 3 are 7 or 4 plus 3 is 7

4 from 7 is 3 or 7 minus 4 is 3

4 threes are 12 or 4 times 3 is 12

4 into 12 is 3 or 12 divided by 4 is 3

C/ Find the noun corresponding to the following adjectives:

• long → .........

• wide → .........

• high → .........

• deep → .........

D/ Translate in English: • Quelle est la largeur de la pièce ?

• La route a une largeur de 5 m.

• Quelle est la longueur du pont ?

• Quelle est la hauteur du mur ?


E/ Describe the following drawing:

Words to use: tree, ball, door, window, roof, ladder, wall, chimney, on the right, on the

left, in front of, against, on...

Annexe 3

FICHE 2 : Solve problems with equations Exercise 1

Find the number(s) which equals the double of his square.

Exercise 2 A square field is changed on two consecutive sides: one side is increased by 20 m, the another side is reduced by 10 m. We have then a rectangle field with the same area. Find the side of the square field in m.

Exercise 3

Describe the situation (In the first picture..., In the second picture...) Find the length of the ladder.

Exercise 4 A school rents a bus for an outing. Each student must pay 11 €. But 4 students can't come. So each student must pay more: the amount is then 13 € for everyone. Find how many students are registered at the beginning.

70 cm

10 cm


COMMENT AMENER LES ÉLÈVES DE SECONDE À CRÉER DES ALGORITHMES ?

Depuis quelques années, l’algorithmique est au programme des classes de la seconde à la Terminale S. Forts (un peu !) de ces années d’expérience, nous avons mis en commun nos impressions, puis nos idées. Dans cet article, nous vous proposons deux manières différentes de travailler mais avec une progression commune : exécution d’algorithmes, modification d’algorithmes, puis création d’algorithmes.

En effet, dans un premier temps, l’exécution d’algorithmes donnés peut être un moyen d’entrer dans le vif du sujet. Puis, quand les élèves commencent à exécuter facilement à la main des algorithmes, on peut les inciter à les modifier. Cette étape nous paraît une bonne entrée en matière pour la création d’algorithmes.

Il nous paraît important que les élèves exécutent les algorithmes "à la main", mais pour leur donner envie d’aller plus loin et pour donner vie à ces programmes, la programmation des algorithmes sur la calculatrice ou un logiciel nous apparaît essentielle.

Les algorithmes donnés sont écrits en "pseudo-code". Il s’agit d’une forme standardisée qui se rapproche de la syntaxe d’un langage de programmation. Toutefois, le choix des mots-clés est arbitraire, il n’existe pas de règle universelle pour écrire en "pseudo-code".

Des indications de corrections sont données en bleu dans le texte.

Première proposition

Dans cette partie, différents algorithmes sans lien entre eux sont proposés avec, à chaque fois, les trois mêmes questions :

- Quelles sont les données de l’algorithme ? - Quels sont les résultats de l’algorithme ? - Quelles sont les structures informatiques à utiliser ?

Nous donnons une traduction en langages Casio et Texas Instrument de certains des algorithmes. En outre, pour que les élèves comprennent le fonctionnement d’un algorithme, nous leur demandons d’en réaliser une trace de l’exécution pas à pas. Une trace est une marque qui reste d’un événement passé. En algorithmique, il s’agit d’exécuter les instructions de l’algorithme pas à pas comme le ferait un ordinateur.

La présentation dans un tableau, qui peut cependant s’avérer parfois lourde, permet de voir quelle instruction (événement) laisse quelle trace.

I. - Affectation de variables Dans un programme, une variable correspond à un emplacement de la mémoire de la calculatrice ou de l’ordinateur. Elle est repérée par un nom et contient une valeur.

L’instruction d’affectation permet d’attribuer une valeur à une variable. On note, par exemple : « A prend la valeur 2 » ou « Affecter à A la valeur 2 » ou « 2 A » ou « A ← 2 ».


Exercice 1 Voici un algorithme, écrit en français, que les élèves ont appliqué plus d’une fois, ce qui peut être une entrée en matière et qui relativise ce mot si difficile à écrire : al-go-ri-th-me ! Appliquer cet algorithme à un nombre de votre choix.

Langage naturel Langage algorithmique Variables : x, a, b, c, R Entrées

Choisir un nombre Lire x (ou Saisir x) Traitement Le multiplier par 2 a prend la valeur x × 2 Ajouter 1 312 au résultat obtenu b prend la valeur a + 1312 Diviser le résultat par 2 c prend la valeur b ÷ 2 Soustraire le nombre de départ au résultat obtenu R prend la valeur c − x

Sortie Afficher R

Exercice 2 1) Appliquer l’algorithme suivant aux valeurs a = 2 et b = 5.

Algorithme 1 Langage T. I. Langage Casio Variables : a, b, c Entrées 1 Lire a Prompt A “A =” : ? → A 2 Lire b Prompt B “B =” : ? → B Traitement 3 c prend la valeur a A C A C 4 a prend la valeur b B A B A 5 b prend la valeur c C B C B Sortie 6 Afficher a Disp “A ”, A “A ”: A◢ 7 Afficher b Disp “B ”, B “B ”: B◢

2) Appliquer l’algorithme précédent aux valeurs a = 2 et b = 5 en réalisant une trace de son exécution à l'aide du tableau suivant :

Algorithme 1 Variables Ligne Instruction a b c

1 Lire a 2 Lire b 3 c prend la valeur a 4 a prend la valeur b 5 b prend la valeur c

6 et 7 Résultat


On obtient finalement :

Algorithme 1 Variables Ligne Instruction a b c

1 Lire a 2 × × 2 Lire b 2 5 × 3 c prend la valeur a 2 5 2 4 a prend la valeur b 5 5 2 5 b prend la valeur c 5 2 5

6 et 7 Résultat a = 5 et b = 2

3) Expliquer ce que fait cet algorithme.

Exercice 3 1) Appliquer l’algorithme suivant aux valeurs a = 2 et b = 5 en en réalisant une trace.

Algorithme 2 Langage T. I. Langage Casio Variables : a, b Entrées 1 Lire a Prompt A “A = ” : ? → A 2 Lire b Prompt B “B = ” : ? → B Traitement 3 a prend la valeur a + b A + B A A + B A 4 b prend la valeur a − b A − B B A − B B 5 a prend la valeur a − b A − B A A − B A Sortie 6 Afficher a Disp “A ”, A “A ”: A◢ 7 Afficher b Disp “B ”, B “B ”: B◢

2) Expliquer ce que fait cet algorithme.

Exercice 4 Créer un algorithme qui calcule la distance AB où A et B sont deux points donnés par leur coordonnées dans un repère orthonormé.

On n’oubliera pas de répondre aux trois questions essentielles : Quelles sont les données de l’algorithme ? Quels sont les résultats attendus de l’algorithme ? Quelles sont les structures informatiques à utiliser ?


II. Instruction conditionnelle : « Si… Alors… Sinon... » Dans un algorithme, il se peut que, selon qu’une condition est vraie ou fausse, on doive exécuter un bloc d’instructions ou un autre. Pour cela, on utilise les instructions conditionnelles « Si… Alors... Sinon... » et « Si… Alors... ».

Si condition Alors Instructions 1

Sinon Instructions 2

FinSi

Si condition Alors Instructions

FinSi

Exercice 1 On considère la droite d’équation : y = − 2x + 3.

1) Appliquer l’algorithme suivant aux points de coordonnées (0,5 ; 2) et (0 ; 4) en en réalisant une trace dans le tableau donné ci-dessous. Puis expliquer ce que fait cet algorithme.

Algorithme 3 Langage T. I. Langage Casio Variables : x, y, z Entrées 1 Lire x Prompt X “X = ” :? → X 2 Lire y Prompt Y “Y = ” :? → Y Traitement et sortie 3 z prend la valeur − 2 x + 3 − 2X + 3 Z − 2X + 3 → Z 4 Si y = z Alors If Y = Z If Y = Z Then 5 Afficher « Le point est sur

la droite » Disp “Le point est sur la

droite” Then “Le point est sur la

droite”◢ 6 Sinon Else 7 Afficher « Le point n'est

pas sur la droite » Disp “Le point n’est pas

sur la droite” Else “Le point n’est pas

sur la droite”◢ 8 Fin Si End IfEnd

Remarque : Sur T. I., il faut passer à la ligne après les instructions Then et Else.

Algorithme 3 Variables

Lignes Instructions x y z Valeur condition

Ligne suivante

1 Lire x 0,5 × × 2 Lire y 0,5 2 × 3 z prend la valeur − 2 x + 3 0,5 2 2 4 Si y = z Alors 0,5 2 2 VRAI 5 5 Résultat "Le point est sur la droite"

2) Modifier cet algorithme pour qu'il affiche si le point est au dessus ou en dessous de la droite.


Exercice 2 Créer un algorithme qui affiche si un point connu par ses coordonnées dans un repère orthonormé, est sur un cercle de centre A (connu par ses coordonnées) et de rayon R. On peut être amené à utiliser une instruction « Si… Alors... » (sans Sinon).

Exercice 3 1) Appliquer l’algorithme suivant pour p = 350 en en réalisant une trace de l'exécution

dans le tableau ci-dessous.

Algorithme 4 Langage T. I. Langage Casio Variables : p, r Entrée 1 Lire p Prompt P “P = ” : ? → P Initialisation 2 r prend la valeur 0 0 R 0 → R Traitement 3 Si p > 200 Alors If P > 200 If P > 200 Then Then 0,1 × P → R 4 r prend la valeur 0,1 × p 0,1 × P R 5 p prend la valeur p − r P − R P P − R →P 6 Fin Si End IfEnd Sortie 7 Afficher r Disp “R ”, R “R ”: R◢ 8 Afficher p Disp “P ”, P “P ”: P◢

Algorithme 4 Variables

Lignes Instructions p r Valeur condition

Ligne suivante

1 Lire p 350 × 2 r prend la valeur 0 350 0 3 Si p > 200 Alors 350 0 VRAI 4 4 r prend la valeur 0,1 × p 350 35 5 5 p prend la valeur p − r 315 35

Résultat r = 35 et p = 315

2) Qu’afficherait l’algorithme pour p = 50 ? Expliquer ce que fait l'algorithme 4.


III. Boucle « Tant que... » Une boucle « Tant que... » permet de répéter plusieurs fois le même bloc d’instructions tant qu’une certaine condition reste vraie.

Tant que condition Instructions

Fin Tant que

Exercice 1

Algorithme 5 Langage T. I. Langage Casio Variable : f Initialisation 1 f prend la valeur 0 0 F 0 F Traitement 2 Tant que f est différent de 3 While F ≠ 3 While F ≠ 3 3 f prend une valeur aléatoire entière

entre 1 et 6 entAléat(1,6) F Int(Ran# × 6 + 1) F

4 Afficher f Disp F F◢ Pause 5 Fin Tant que End WhileEnd Sortie 6 Afficher "Gagné" Disp “Gagné” “Gagné”◢

1) Programmer, puis faire tourner cet algorithme à l’aide de la calculatrice. Expliquer ce que fait l'algorithme.

2) Réaliser une trace de l'exécution de l'algorithme 5 dans le tableau suivant.

Algorithme 5 Variable Itération

Lignes Instructions f Valeur condition

Rang Itération

1 f prend la valeur 0 0 2 f est différent de 3 0 VRAI 3 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 1 VRAI 1 4 Afficher f 1

2, 3 et 4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 4 VRAI 2 2, 3 et 4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 5 VRAI 3 2, 3 et 4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 2 VRAI 4 2, 3 et 4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 5 VRAI 5 2, 3 et 4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 3 FAUX 6

5 Fin Tant que 6 Afficher « Gagné »


3) Modifier l’algorithme pour qu’il affiche le nombre de coups qu’il a fallu pour gagner.

L’introduction d’un compteur s’avère utile.

Algorithme 6 Langage T. I. Langage Casio Variables : f, k Initialisation 1 f prend la valeur 0 0 F 0 F 2 k prend la valeur 0 0 K 0 K Traitement 3 Tant que f est différent de 3 While F 3≠ While F ≠ 3

4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 entAléat(1,6) F Int(Ran# × 6+1) F

5 afficher f Disp F F◢ 6 k prend la valeur k + 1 K + 1 K K + 1 K Pause 7 Fin Tant que End WhileEnd Sortie 8 Afficher "Gagné en ", k, " coups" Disp “Gagné en ” “Gagné en ”◢ Disp K K◢ Disp “ Coups” “ Coups”◢

4) Modifier l’algorithme pour simuler le lancer de 2 dés D et E jusqu’à l’obtention d’un double. On pourra introduire un compteur qui mettra en évidence le nombre d’essais nécessaires pour gagner.

Algorithme 7 Langage T. I. Langage Casio Variables : D, E Initialisation : 1 D prend la valeur 0 0 → D 0 D 2 E prend la valeur 1 1 → E 1 E Traitement 3 Tant que D est différent de E While D ≠E While D ≠ E

4 D prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 entAléat(1,6) D Int(Ran# × 6+1) D

5 E prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 entAléat(1,6) E Int(Ran# ×× 6+1) E

6 Afficher D Disp D D◢ 7 Afficher E Disp E E◢ Pause 8 Fin Tant que End WhileEnd Sortie 9 Afficher "Gagné" Disp “Gagné” “Gagné”◢

Remarques : 1) Les variables D et E sont initialisées avec des valeurs différentes avant de commencer

la boucle sinon l’algorithme ne peut pas tourner (la condition du Tant que... est fausse).

2) Sur T. I., l’instruction Pause est utile lorsque plusieurs valeurs doivent être affichées ; elle permet de les faire afficher une à une après appui sur la touche Entrée .


Exercice 2 Créer un algorithme qui simule et affiche le lancer de deux dés jusqu’à l’obtention d’un double 5.

L’introduction de l’instruction logique OU est nécessaire ici.

Algorithme 8 Langage T. I. Langage Casio Variables : D, E Initialisation 1 0 → D 0 → D 0 D 2 0 → E 0 → E 0 E Traitement 3 Tant que D ou E est différent de 5 While D ≠ 5 or E ≠ 5 While D ≠ 5 or E ≠ 5 4

D prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 entAléat(1,6) D Int(Ran# × 6+1) D

5

E prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 entAléat(1,6) E Int(Ran# × 6+1) E

6 Afficher D Disp “D ”, D “D ”: D◢ 7 Afficher E Disp “E ”, E “E ”: E◢ Pause 8 Fin Tant que End WhileEnd Sortie 9 Afficher « Gagné » Disp “Gagné” “Gagné”◢

IV. Boucle « Pour... » On pourrait se dispenser de présenter cette instruction aux élèves. En effet, une boucle « Pour... » peut-être remplacée par une boucle « Tant que... » avec compteur. L’inverse n’est pas toujours possible.

Une boucle « Pour... » permet de répéter un certain nombre de fois une suite d’instructions.

Pour variable allant de valeur départ à valeur fin avec un pas donné Instructions

Fin Pour

Remarques : 1) Il est inutile de préciser la valeur du pas lorsqu’il est égal à 1.

2) ALGOBOX ne permet pas de réaliser des boucles « Pour... » avec un pas différent de 1.


Exercice 1

Algorithme 9 Langage T. I. Langage Casio Variables : i, n, p Entrée 1 Lire n Prompt N “N = ” :? → N Initialisation 2 p prend la valeur 1 1 P 1 → P Traitement 3 Pour i allant de 1 à n For(I, 1, N) For 1 → I To N 4 p prend la valeur p × i P × I P P × I → P 5 Fin Pour End Next Sortie 6 Afficher p Disp “P”, P "P " : P ◢

1) Appliquer l’algorithme précédent à n = 4 en réalisant une trace de son exécution dans le tableau ci-dessous. Puis expliquer ce que fait cet algorithme.

Algorithme 9 Variables Lignes Instructions n i p

1 Lire n 4 × × 2 p prend la valeur 1 4 × 1 3 Pour i allant de 1 à n 4 × 1 4 p prend la valeur p × i 4 × 1

3 et 4 Étape1 4 1 1 3 et 4 Étape 2 4 2 2 3 et 4 Étape 3 4 3 6 3 et 4 Étape 4 4 4 24

Résultat p = 24

2) Programmer et faire tourner le programme pour n = 50.

3) Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls.

Remarque : On pouvait rédiger l’algorithme 9 avec une boucle « Tant que... » et un compteur ainsi :

Entrée Lire n

Initialisation p prend la valeur 1 i prend la valeur 1

Traitement Tant que i ≤ n

p prend la valeur p × i i prend la valeur i + 1

Fin Tant que Sortie

Afficher p


Exercice 2 (à réserver aux meilleurs élèves) On veut approcher l’aire sous la courbe de la fonction carrée sur l’intervalle [0 ; 2] par la somme des aires de n rectangles situés au dessus de la courbe (voir dessins ci-dessous). La largeur des rectangles est 2n et leur hauteur est i², i variant de 2n à 2 avec un pas de 2n.

n = 4 n = 10

Algorithme 10 Langage T. I. Langage Casio Variables : i, n, s, pas Entrée 1 Lire n Prompt N “N = ” : ? → N Initialisation 2 pas prend la valeur 2n 2 / N P 2 / N →P

3 s prend la valeur 0 0 S 0 → S Traitement 4 Pour i allant de 0 à 2 de pas en pas For(I, 0, 2, P) For 0 → I to 2 Step P 5 s prend la valeur s + pas × i² S + P × I2 S S + P × I2 S 6 Fin Pour End Next Sortie 7 Afficher s Disp “S”, S “S ” : S ◢

Avec le logiciel LARP


V. Autres exercices Exercice 1

1) Créer un algorithme qui simule n lancers d’un dé à 6 faces.

Algorithme 11 Langage T. I. Langage Casio Variables : i, n, f Entrée 1 Lire n Prompt N “N = ” : ? N Traitement et sortie 2 Pour i allant de 1 à n For(I, 1, N) For 1 I To N 3

f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6

entAléat(1,6) F Int(Ran# × 6+1) F

4 afficher f Disp “F”, F “F” : F ◢ Pause 5 Fin Pour End Next


2) Modifier cet algorithme afin qu’il compte le nombre de fois où f prend la valeur 3 lors de n lancers (nécessité d’introduire un compteur).

Algorithme 11 bis Langage T. I. Langage Casio Variables : i, n, f, k Entrées 1 Lire n Prompt N “N” : ? N Initialisation 2 k prend la valeur 0 0 K 0 K Traitement 3 Pour i allant de 1 à n For(I, 1, N) For1 I To N

4 f prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6 entAléat(1,6) F Int(Ran# × 6+1) F

5 Pause 6 Si f = 3 alors If F = 3 If F = 3 7 Then k prend la valeur k + 1 K + 1 K Then K + 1 K 8 Fin Si End IfEnd 9 Fin Pour End Next Sortie 10 Afficher k Disp “K ”, K “K ”: K ◢

Exercice 2 1) Créer un algorithme qui calcule la somme des inverses des n premiers entiers naturels

non nuls.

Algorithme 12 Langage T. I. Langage Casio Variables : n, s, i Entrées 1 Lire n Prompt N “N = ”:? N Initialisation 2 s prend la valeur 0 0 → S 0 S Traitement 3 Pour i allant de 1 à n For(I, 1, N) For1 I To N 4 s prend la valeur s + 1i S+1 / I → S S + 1/I S 5 Fin Pour End Next Sortie 6 Afficher s Disp “Somme ”, S “Somme ”: S◢

2) Compléter cet algorithme pour calculer aussi la somme des inverses des carrés des n premiers entiers naturels non nuls.

3) Faire tourner ce nouvel algorithme lorsque n prend les valeurs 10, 20, 50 et 100, et compléter le tableau ci-contre.

4) Commenter les résultats obtenus.

n = 10 20 50 100 1 + 12 + 13 + ... + 1n

1 + 122 + 1

32 + ... + 1n2

Ces deux sommes n’ont pas le même comportement. La première semble prendre des valeurs de plus en plus grandes quand n augmente. Tandis que la deuxième semble avoir une limite finie voisine de 1,6.


5) Modifier l’algorithme 12 pour déterminer à partir de quel entier n la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls est supérieure ou égale à L (à choisir).

Algorithme 13 Langage T. I. Langage Casio Variables : L, s, i Entrées 1 Lire L Prompt L ? L Intialisation 2 s prend la valeur 0 0 → S 0 S 3 i prend la valeur 0 0 → I 0 I Traitement 4 Tant que s < L While S < L While S < L 5 i prend la valeur i + 1 I + 1 → I I + 1 I 6 s prend la valeur s + 1i S + 1 / I →S S+1 / I S Pause 7 Fin Tant que End WhileEnd Sortie 8 Afficher “n = ”, i Disp “N ”, I “N ”: I◢

6) Modifier l’algorithme 13 pour déterminer à partir de quel entier n la somme des inverses des carrés des n premiers entiers naturels non nuls est supérieure à L (à choisir).

Puis compléter le tableau suivant :

L = 1,5 2 2,5 3 4 1 + 12 + 13 + ... + 1n > L pour n >

7) Certains savent sans aucun doute que la deuxième somme, quant à elle, tend vers π2

6quand n prend des valeurs de plus en plus grandes.

Modifier l’algorithme pour déterminer à partir de quel entier n, on a :

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪1 + 1

22 + 132 + ... + 1

n2 − π2

6 < ε (ε à choisir)

ε = 0,1 0,01 0,001

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪1 + 1

22 + 132 + ... + 1

n2 − π2

6 < ε pour n ≥


Deuxième proposition

Le document qui suit a été distribué en classe de seconde dès le début de l'année. Nous y avons seulement ajouté des éléments de corrigé en bleu et des commentaires en italiques suite à sa mise en œuvre en classe.

Le but était triple : • pédagogiquement d'abord, marquer la rupture entre le collège et le lycée en passant

deux semaines sur un chapitre souvent considéré à tort, comme n'étant pas réellement des mathématiques ;

• pédagogiquement toujours, faire émerger la notion de modèle par des exercices mettant en œuvre des situations similaires ;

• pédagogiquement enfin, être alors en mesure de passer très rapidement à un langage de programmation pour illustrer les idées mises en œuvre : les élèves, jusqu'alors utilisateurs de nouvelles technologies, se transforment peu à peu en créateurs.

Deux définitions préalables On peut définir un algorithme comme une suite d'instructions, à appliquer dans un ordre précis, pour arriver en un nombre fini d'étapes à un certain résultat.

L'algorithmique est la science des algorithmes (création, amélioration...).

Premiers exercices Dans les deux exercices qui suivent, on peut utiliser les instructions suivantes :

1. Avancer (d'une longueur donnée). 2. Tourner à gauche ou à droite (d'un angle donné en degré).

On suppose que le crayon se déplace par défaut horizontalement et vers la droite au départ.

Exercice 1 Écrire un programme permettant de construire un carré de côté 50 tout en revenant à la position de départ.

Avancer de 50 Tourner à gauche de 90° Avancer de 50 Tourner à gauche de 90° Avancer de 50 Tourner à gauche de 90° Avancer de 50 Tourner à gauche de 90°

Remarque : On aurait tout aussi bien pu écrire : Tourner à droite de 90° à chaque fois.

Le bloc d'instructions qui se répète est : Avancer de 50 Tourner à gauche de 90°

Commentaire pédagogique : Beaucoup d'élèves disent : pourquoi ne pas multiplier ça par 4 ? L'idée de boucle est déjà sous-jacente.


Exercice 2 Écrire un programme permettant de construire un triangle équilatéral de côté 100 tout en revenant à la position de départ.

Avancer de 100 Tourner à gauche de 120° Avancer de 100 Tourner à gauche de 120° Avancer de 100 Tourner à gauche de 120°

Le bloc d'instructions qui se répète est : Avancer de 100 Tourner à gauche de 120°

Commentaire pédagogique : Le piège est de penser immédiatement à tourner de 60°. Le professeur démontre rapidement par un petit dessin au tableau que c'est erroné et laisse trouver aux élèves la bonne mesure d'angle.

Remarque : Dans l'exercice 1 comme dans le suivant, un même bloc d'instructions a été répété plusieurs fois. Cette répétition des mêmes instructions un certain nombre de fois peut être résumée en introduisant une notion très importante en programmation, et très économique au niveau du nombre de lignes à écrire.

Les instructions répétitives : notion de boucle Il existe essentiellement deux méthodes pour écrire une boucle, c'est-à-dire un procédé qui permet la répétition un certain nombre de fois d'un même processus (addition, multiplication, etc.).

Pour les mettre en pratique, nous allons résoudre l'exercice 1 à l’aide d’une boucle.

MÉTHODE 1 Analysons le programme en langage naturel suivant (THE MODEL) :

i ← 0 On affecte à i la valeur 0. Tant que i < 4 (ou i ≤ 3)

avancer de 50 tourner à gauche de 90° i ← i + 1

Tant que la condition annoncée est vraie, on effectue les deux instructions avancer et tourner et on affecte à i sa valeur précédente augmentée de 1.

Fin Tant que

Quel est le résultat obtenu ? Un carré de côté 50.

On peut alors résumer la structure de boucle décrite ici de la manière suivante : Tant que condition vérifiée

Bloc d’instructions Fin Tant que

Remarque : Si la condition n'est pas vérifiée au début, alors le bloc d'instructions ne sera pas exécuté du tout.

Attention ! Pour que l'algorithme soit correct, il est nécessaire que la condition cesse d'être vérifiée au bout d'un nombre fini de répétitions. Sinon, le programme boucle indéfiniment.


Exercice 3 Que fait le programme suivant ?

S ← 80 Tant que S > 20

avancer de S Fin Tant que

Comme la condition du « Tant que... » va rester toujours vraie, ce script va boucler indéfiniment. Si on le programme sur machine, cette dernière va planter.

MÉTHODE 2 Une autre manière courante d'écrire une boucle est :

Pour i variant de 0 à 3 (ou de 1 à 4) La variable i évolue comme indiqué, par défaut de 1 en 1. Les deux instructions suivantes sont effectuées jusqu'à ce que i atteigne la valeur maximum.

avancer de 50 tourner à gauche de 90°

Fin Pour

Le résultat obtenu est exactement le même : le dessin d'un carré de côté 50.

On peut alors résumer la structure de boucle décrite ici de la manière suivante :

Pour i variant de 0 à N faire Bloc d’instructions

Fin Pour

ou Pour i variant de 1 à N faire Bloc d’instructions

Fin Pour

Exercice 4 Écrire deux programmes utilisant chaque type de boucle pour résoudre l'exercice 2.

Avec une boucle Tant que... Avec une boucle Pour... i ← 0 Tant que i < 3

avancer de 100 tourner à gauche de 120° i ← i + 1

Fin Tant que

Pour i variant de 0 à 2 (ou de 1 à 3) avancer de 100 tourner à gauche de 120°

Fin Pour

Commentaire pédagogique : La boucle Tant que..., universelle quel que soit le langage de programmation choisi me semble préférable à celle de Pour..., dont la syntaxe est très variable. Par ailleurs, on y voit mieux l'évolution du compteur i. Aussi, pour débuter, l'utilisation d'un seul type de boucle est amplement suffisant tout au long de l'année. Le modèle du tracé d'un polygone ayant été donné, avec spécification des données nécessaires : ici, la variable i, qui sert à compter les côtés de la figure, et la structure de boucle car on répète plusieurs fois la même action, les élèves sont prêts à chercher des exercices se référant au même modèle.


Exercice 5 Construire la figure suivante en utilisant l'instruction Tant que (longueur d'un côté du quadrillage 50). On partira du point A.

Exercice 6 Dessin d'une spirale dont la mesure des segments varie.

L'idée est d'utiliser une boucle car on répète plusieurs fois le même processus : avancer, puis tourner à gauche de 90°. La différence par rapport à la question précédente est qu'à chaque itération, on avance de 30 unités supplémentaires. D'où l'idée d'utiliser deux variables : i qui va compter le nombre de segments de la spirale et L la longueur du premier segment, qui va s'accroître de 30 à chaque itération. Il y a neuf segments. On avance de L et la longueur L est incrémenté de 30.

i ← 0 L ← 30 Tant que i < 9 faire

Avancer de L Tourner à gauche de 90° L ← L + 30 i ← i + 1

Fin Tant que

Commentaire pédagogique : On peut très bien n'utiliser qu'une seule variable, ce qu'un certain nombre d'élèves font très naturellement. Le script est alors un peu plus court.

Dans les questions qui suivent la longueur du côté du quadrillage est de 30.

1) Construire la figure suivante en utilisant une boucle. On partira du point central.


2) En utilisant toujours une boucle, construire la figure suivante (Le repère n'a aucune importance). On partira encore du point central.

L'idée est d'utiliser une boucle car on répète plusieurs fois le même processus : avancer, puis tourner à gauche de 90°. La différence par rapport à la question précédente est que deux segments consécutifs ont la même longueur. D'où l'idée d'utiliser deux variables : i qui va compter le nombre de segments de la spirale et L la longueur du premier segment, qui va s'accroître de 30 à chaque itération. Le bloc d'instructions Avancer, Tourner sera répété deux fois par rapport à la question 1.

i ← 0 L ← 30 Tant que i < 6 faire

Avancer de L Tourner à gauche de 90° Avancer de L Tourner à gauche de 90° L ← L + 30 i ← i + 1

Fin Tant que

Remarque : Cet aspect visuel est fructueux à mettre en œuvre rapidement à l'aide de l'ordinateur. Et pour faire ça vite, rien de tel que... la tortue ! Oui, oui, comme en LOGO. Un langage moderne, très performant, et à la syntaxe très simple possède cette fonctionnalité : c'est le langage Python. On peut le télécharger à l'adresse suivante : http://www.python.org. Les versions 2.x et 3.x diffèrent par certains points de syntaxe, aussi convient-il de choisir une version stable (2.7 pour les versions 2.x et actuellement 3.3 pour les 3.x) afin de travailler dessus. Pour l'installation de Python et une première initiation, on peut consulter les sites suivants : http://www.univ-irem.fr/videos/ (section environnement Python 3.2 ; ce qui y est dit est également valable pour la dernière version) ou http://code.google.com/p/swfk-fr/downloads/detail?name=swfk-fr_0.0.9.pdf. Cette première approche des boucles via un cadre visuel peut maintenant être travaillée dans un cadre calculatoire. Là encore, un exemple modèle servira de base au travail ultérieur.

Problème type : Calculer la somme S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Analyse : Bien évidemment, on ne va pas saisir à la machine cette longue opération ! Il nous faut donc trouver un moyen pour que cette dernière l'exécute, mais en écrivant le moins de lignes possible. On commence par remarquer que l'opération qui est sans cesse utilisée est l'addition. D'où l'idée d'utiliser une boucle : on répète plusieurs fois le même procédé : ici additionner. Additionner oui, mais quoi ? 1 d'abord, puis 2, puis 3, … , jusqu'à 100. Autrement dit on additionne une suite de nombres qui varient, dans le cas présent de 1 en 1.


L'idée essentielle est de calculer S petit à petit, comme on le ferait à la main en ajoutant peu à peu tous les termes contenus dans l'addition. Comme S va évoluer et les termes qui la composent aussi, on a l'idée d'introduire deux variables : S elle-même et un compteur i, qui devra prendre successivement les valeurs 1, 2, 3, …, 100.

Nous allons résoudre ce problème en créant un algorithme efficace, utilisant (mais ce n'est pas une obligation), le premier type de boucle (Tant que...), qui laisse mieux voir l'évolution des variables.

Mise en œuvre

Instructions Signification S ← 0 On affecte à S la valeur 0 (valeur initiale) i ← 1 On affecte à i la valeur 1 (valeur initiale) Tant que i ≤ 100 La condition est posée: i varie jusqu'à 100

S ← S + i On réaffecte à S sa valeur précédente plus la valeur actuelle de i i ← i + 1 On réaffecte à i sa valeur augmentée de 1

Fin Tant que Afficher S Une fois sorti de la boucle, on affiche S

On va à présent faire tourner l'algorithme à la main, c'est-à-dire regarder, étape par étape l'évolution des variables i et S, et enfin le résultat final. Pour cela, on complète le tableau suivant. On ne donnera pas le résultat du calcul de S à chaque étape, mais seulement l'écriture de S sous la forme d'une somme.

Après l'itération i S 0 1 0 1 2 3 ... 99 100

Quelle est la dernière valeur prise par la variable i ? par la variable S ?

Quel est le résultat affiché par le programme ?

Attention, au vu du script, il est important d'insister sur le fait que S varie en premier et i en second. Le remplissage de ce tableau d'évolution des variables est primordial. Dans le cas présent, tout à la fin du script, i prend la valeur 101 et S la valeur 1 + 2 + ... + 100.

Analyse du problème résolu Ceci permet de compléter pas à pas le tableau donné aux élèves. Situation initiale

Comme i est égal à 1 et que la condition de la boucle est bien vérifiée, cette dernière exécute la suite d'instructions précédente :

• S est remplacé par sa valeur précédente : 0 à laquelle on ajoute la valeur actuelle de i : 1. Ainsi, S = 0 + 1 soit S = 1.

• i est remplacé par sa valeur actuelle : 1 à laquelle on ajoute 1. Ainsi i = 1 + 1 soit i = 2.


Situation après une itération Comme i est égal à 2 et que la condition de la boucle est bien vérifiée, cette dernière exécute la suite d'instructions précédente :

• S est remplacé par sa valeur précédente : 1 à laquelle on ajoute la valeur actuelle de i, 2. Ainsi, S = 1 + 2

• i est remplacé par la somme de sa valeur actuelle 2, et de 1. Ainsi i = 2 + 1 soit i = 3.

Situation après deux itérations Et ainsi de suite... Tant que la condition de la boucle est valide, le bloc d'instructions est exécuté.

Situation après 99 itérations Comme i est égal à 100 et que la condition de la boucle est bien vérifiée, cette dernière exécute la suite d'instructions précédente :

• S est remplacé par sa valeur précédente : 1 + 2 + ... + 99 à laquelle on ajoute la valeur actuelle de i : 100. Ainsi, S = 1 + 2 + … + 100.

• i est remplacé par sa valeur actuelle : 100 à laquelle on ajoute 1. Ainsi i = 101

Situation après 100 itérations Cette fois-ci, i est égal à 101, donc la condition de la boucle n'est plus valide. La boucle s'arrête. Le programme effectue alors la dernière instruction (qui n'était pas dans la boucle) : afficher la valeur de S, c'est-à-dire le résultat de 1 + 2 + … + 100.

On remarque, puisque S évolue en premier dans le bloc d'instructions, qu'il y aura toujours 1 d'écart entre i et la dernière valeur apparaissant dans la somme constituant S. Ceci permet de compléter le tableau après 99 itérations.

Après l'itération i S 0 1 0 1 2 1 2 3 1 + 2 3 4 1 + 2 + 3 ... 99 100 1 + 2 + 3 + ... + 99 100 101 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Exercice 7

Écrire un programme utilisant une boucle Tant que... calculant et affichant le résultat de :

1) S = 3 + 6 + 9 + ... + 201.

2) P = 2 × 4 × 6 × 8 × ... × 40. 3) S = 1 +

12 +

13 + ... +

110.

Corrigé de la question 1) Il s'agit de sommer tous les multiples de 3 compris entre 3 et 201. L'idée est la même que dans le problème résolu : utiliser une boucle (car on répète l'opération addition) et utiliser deux variables :

- i, variable qui va énumérer touts les termes à additionner, - S (la somme recherchée qui va évoluer à chaque itération de i).

Un algorithme possible est donné ci-contre.

S ← 0 i ← 3 Tant que i ≤ 201

S ← S + i i ← i + 3

Fin Tant que Afficher S


Corrigé de la question 2) Cette fois-ci, on multiplie tous les entiers pairs de 2 à 40. On initialise le produit P à 1 (préciser pourquoi pas à 0). On initialise i à 2. On remplace P par sa valeur précédente multipliée par la valeur actuelle de i. i est incrémenté de 2 à chaque itération.

P ← 1 i ← 2 Tant que i ≤ 40

P ← P × i i ← i + 2

Fin Tant que Afficher P

Corrigé de la question 3) Remarquons que l'on peut réécrire la somme cherchée sous la forme S =

11 +

12 +

13 + ... +

110.

L'idée est la même que dans le problème résolu : utiliser une boucle (car on répète l'opération addition). Cette fois encore, on aura besoin de deux variables :

- i qui prend successivement les valeurs des dénominateurs successifs 1, 2, 3, … jusqu'à 10,

- S qui évolue à chaque itération de i.

S ← 0 i ← 1 Tant que i ≤ 10

S ← S + 1i

i ← i + 1 Fin Tant que Afficher S

Exercice 8 En utilisant une boucle Tant que..., écrire un programme permettant de calculer puis d'afficher le résultat de la somme suivante : T = 1 +

12 +

12 × 3

+ 1

2 × 3 × 4 + ... +

12 × 3 × 4 × ... × 10

.

Indication : Bien analyser combien de variables sont nécessaires.

Corrigé de l’exercice 8 Remarquons que l'on peut réécrire la somme cherchée sous la forme T =

11 +

11 × 2

+ 1

1 × 2 × 3 +

11 × 2 × 3 × 4

+ ... + 1

1 × 2 × 3 × 4 × ... × 10..

Cette fois-ci, on aura besoin de trois variables : - i qui prendra successivement les valeurs 1, 2, 3, … jusqu'à 10, - P qui prendra successivement les valeurs 1, 2, 2 × 3,

2 × 3 × 4… jusqu'à 2 × 3 × 4 × … × 10, - T qui évoluera en même temps que les deux autres variables.

L'algorithme ci-contre répond alors au problème posé.

P ← 1 i ← 1 T ← 0 Tant que i ≤ 10 faire

P ← P × i T ← T +

1P

i ← i + 1 Fin Tant que Afficher T

Commentaire pédagogique C'est un exercice difficile. Peu d'élèves définissent correctement le cahier des charges, c'est-à-dire le nombre de variables nécessaires et les structures informatiques (boucles, instructions conditionnelles) nécessaires à sa résolution. Voilà malgré tout une bonne occasion de revenir sur le raisonnement exposé dans le problème type et remis en œuvre dans l'exercice précédent.

Commentaires généraux : Il apparaît au travers de ces quelques années d'expérience du nouveau programme de seconde, que le langage naturel servant à décrire un algorithme, doit rapidement laisser la place à un outil informatique afin que ce cours d'aspect théorique, prenne du sens. Le visuel nous semble devoir y tenir une place centrale. Nos élèves sont en effet friands de toutes ces gourmandises High-Tech : Android, tablettes tactiles, où la vue (et maintenant le toucher) du résultat immédiat est une banalité. Les retours que nous avons pu avoir d'élèves, parfois en grande


difficulté corroborent ce constat. Il ne s'agit en aucun cas de bannir le calcul dans la pratique de l'algorithmique (quitte à prévoir plus d'exercices pour les apprenants les plus à l'aise), bien au contraire, mais d'y arriver en douceur, de revenir sans cesse sur les modèles acquis, afin de pouvoir avancer. C'est en pratiquant le ping-pong entre modèle et exercices que l'esprit se forge et acquière peu à peu sa créativité.

Par ailleurs, même si dans cette proposition, nous insistons sur le fait d'aborder les problèmes un par un (en langage naturel et en programmation sur calculatrice ou ordinateur) :

• structures répétitives (boucles), • structures conditionnelles (Si... Alors... Sinon...) éventuellement imbriquées,

le travail annuel doit permettre de mixer les deux afin d'aboutir à une logique de résolution de problèmes que le lycée permet théoriquement... ou pas !


SUDOMATHS

Comment allier entraînement, jeu et évaluation (individualisée) en ménageant les efforts du professeur ? L’idée de base : trouver des jeux que l’on puisse détourner pour faire des exercices répétitifs de maths. Les mots croisés permettent d’avoir une liste de questions et le Sudoku des chiffres. En combinant les deux, on obtient un Sudomaths, prétexte pour faire une batterie d’exercices de base. Cette idée a déjà été utilisée par l’APMEP :

http://www.apmep.asso.fr/Lycee,4290 ainsi que dans un ancien numéro de Py-Math :

http://r2math.enfa.fr/wp-content/uploads/2010/07/16-4-sudomath.pdf

Voici comment nous avons utilisé le Sudomaths en classe de seconde. Pour être sûr que les élèves sachent faire un Sudoku, une présentation est faite par vidéoprojection (fichier joint : 22-3-presentation.pdf). Les élèves participent à la résolution du Sudoku en argumentant. Pour se remettre dans le coup après les vacances, un premier Sudomaths donné en devoir maison, a permis de revoir les techniques de base du collège (fichiers joints : 22-3-dns.pdf et 22-3-dnscor.pdf). Le Sudomaths a été réinvesti lors d’une courte interrogation de cours (fichiers joints : 22-3-dsa.pdf et 22-3-dsb.pdf).

Bilan Les élèves se sont très bien investis dans ce travail. En effet, les trois quarts des élèves ont rendus les justifications (pourtant non demandées) aux questions. Quelques élèves ont triché et recopié intégralement la grille. Pour éviter cela, on peut créer une grille par élève, mais cela nécessite un énorme travail. Pour y remédier un groupe de passionnés s’est lancé dans la conception d’un logiciel permettant la génération semi-automatique de Sudomaths. Pour les geeks, ce projet utilisant LaTeX et Java est en cours. Tout nouveau volontaire sera chaleureusement accueilli :

https://mail.sesamath.net//info/sudomaths

Vous pouvez trouver quelques Sudomaths de Noël DEBARLE, l’initiateur du projet, sur Mutuamath : http://mutuamath.sesamath.net/

Chers lecteurs, si vous avez des idées, des types de questions que vous souhaiteriez voir un jour dans un Sudomaths, mais que vous ne vous sentez pas l'âme d'un geek pour vous lancer dans l'aventure, envoyez quand même vos idées à la conf. Py-Math :

Conf [email protected] Dans les prochains numéros, nous vous proposerons des réalisations (individualisées) du groupe Sudomaths.


Seconde : ................................ Nom : ................................ Prénom : ............................

Devoir en Temps Libre n° 1

À rendre le ..............................

/40 Rendre le sujet avec les grilles complétées

Exercice 1 (4 points) Le SUDOKU de Pizza-Paï est un sudoku pour enfant que l'on trouve sur le set de table distribué pour les occuper. Dans ce SUDOKU, il faut utiliser les chiffres de 1 à 4. Chacun doit être présent une et une seule fois sur les lignes, les colonnes et les régions. (Les régions sont les 4 carrés de 2 x 2 cases.)

3

2

1

4 3

Exercice 2 (36 points)

a b c d e f g h i

A 1

B − 3

C − 3

D 4

E 4

F − 1

G − 2

H 2

I − 1

Un SUDOKU plus filou : le SUDOKU du professeur de mathématiques pour réviser un peu les maths de Troisième. Avant de pouvoir le faire, il faut répondre à quelques questions et compléter la grille ci-dessus à droite. Dans ce SUDOKU, les chiffres de 1 à 9 ont été remplacés par les nombres entiers de − 4 à 4. Chacun doit être présent une et une seule fois sur les lignes, les colonnes et les régions. (Les régions sont les 9 carrés de 3 × 3 cases.)

1. En Ae, placer la solution de l'équation x + 4 = 2.

2. En Bi, placer la solution de l'équation x2 = − 1.

3. En Ec, placer la solution de l'équation : 3x − 6 = 7x + 2.

4. En Db, placer le seul nombre par lequel il est impossible de diviser.

5. Écrire (− x − 2)(x − 1) sous la forme ax2 + bx + c. En Dh, placer a. En Ga, placer b. En Fh, placer c .

6. Soit f la fonction définie par f (x) = 7x − 25. En Hh, placer le nombre f (3).

7. En De, placer le nombre x, et en Ch le nombre y tels que (x ; y) soit solution du système :

⎩⎨⎧ 2x + y = − 2x − y = − 7

8. Écrire 32 sous la forme a b avec a et b deux nombres entiers tel que b soit le plus petit possible. En Ie, placer a et en Ai, placer b .

9. Écrire (2x − 1)2 sous la forme ax2 + bx + c. En Bb, placer a , en Ei placer b et en Ed placer c .

10. Soit un triangle ABC rectangle en C tel que AB = 5 et BC = 3. En Ff, placer AC .

11. En Hg, placer le carré de − 2.

12. Résoudre l'équation (2x + 4)(5x − 5) = 0. En Fd, placer la solution négative et en Ia la solution positive.

13. En Gg, placer le seul nombre qui est son propre opposé.

14. Écrire la fraction 240180 sous forme irréductible. En

Gc, placer le numérateur et en Ih le dénominateur. 15. Soit f la fonction définie par f (x) = 2x + 3. En

Eb, placer l'image de − 2. 16. Résoudre l'équation x2 − 4 = 0. En Ca, placer la

plus petite solution et en Gf la plus grande . 17. Soit un nombre x dont le carré est égal à

l'opposé. Il y a deux valeurs possibles pour x. En Ac, placer la plus petite et en Hd la plus grande .

18. Mettre ( )1 − 22 sous la forme a + b 2. En

Af, placer a et en lb, placer b .

19. En Ce, placer la solution de l'équation x3 = 0.

20. L'équation x2 = 9 admet deux solutions. En Hb, placer la plus petite et en Ha la plus grande .

21. Écrire 23 × 25

29 sous la forme 2n. En Cd, placer n

Vous pouvez à présent terminer le SUDOKU ! Même si vous n'avez pas répondu à toutes les questions, il est parfois possible de terminer le SUDOKU. Essayez de finir de remplir la grille.


Correction du devoir en Temps Libre n° 1 ___________________________________________________________________________

Exercice 1 2 4 1 3 1 3 2 4

3 1 4 2 4 2 3 1

Exercice 2 1. x + 4 = 2 ⇔ x = 2 − 4. ⇔ x = − 2

2. x2 = − 1 ⇔ x = − 1 × 2 ⇔ x = − 2

3. 3x − 6 = 7x + 2 ⇔ 3x − 7x = 2 + 6 ⇔ − 4x = 8 ⇔ x = − 2

a b c d e f g h i

A − 3 1 − 1 4 − 2 3 − 4 0 2 B 0 4 3 2 − 4 − 3 − 1 1 − 2

C − 2 2 − 4 − 1 0 1 − 3 4 3

D 2 0 1 3 − 3 − 4 − 2 − 1 4 E 4 − 1 − 2 1 2 0 3 − 3 − 4

F − 4 3 − 3 − 2 − 1 4 1 2 0

G − 1 − 4 4 − 3 3 2 0 − 2 1 H 3 − 3 2 0 1 − 2 4 − 4 − 1

I 1 − 2 0 − 4 4 − 1 2 3 − 3

4. Le seul nombre par lequel il est impossible de diviser est 0. 5. (− x − 2)(x − 1) = − x2 − 2x + x + 2 = − x2 − x + 2 donc a = − 1, b = − 1 et c = 2.

6. f (3) = 7 × 3 − 25 = 21 − 25 = − 4.

7. ⎩⎨⎧ 2x + y = − 2x − y = − 7 ⇔

⎩⎨⎧ 3x = − 9

y = x + 7 en ajoutant les deux équations membre à membre

⇔ ⎩⎨⎧ x = − 3y = − 3 + 7 ⇔

⎩⎨⎧ x = − 3

y = 4

8. 32 = 16 × 2 = 4 2 9. (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1 donc a = 4, b = − 4 et c = 1. 10. D'après le théorème de Pythagore, AC2 = AB2 − BC2 = 25 − 9 = 16. Donc AC = 4. 11. (− 2)2 = 4.

12. (2x + 4)(5x − 5) = 0 ⇔ ⎩⎨⎧

2x + 4 = 0ou5x − 5 = 0

⇔ ⎩⎨⎧

2x = − 4ou5x = 5

⇔ ⎩⎨⎧

x = − 2oux = 1

13. x = − x ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0

14. 240180 = 4 × 60

3 × 60 = 43. Le numérateur est 4 et le dénominateur est 3.

15. f(− 2) = 2 × (− 2) + 3 = − 1.

16. x2 − 4 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) = 0 ⇔ ⎩⎨⎧

x = 2oux = − 2

17. x2 = − x ⇔ x2 + x = 0 ⇔ x (x + 1) = 0 ⇔ ⎩⎨⎧

x = 0oux = − 1

18. ( )1 − 2 2 = 1 − 2 2 + 2 = 3 − 2 2 donc a = 3 et b = − 2.

19. x3 = 0 ⇔ x = 3 × 0 ⇔ x = 0

20. x2 = 9 ⇔ x2 − 9 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ ⎩⎨⎧

x = 3oux = − 3

21. 23 × 25

29 = 33+5−9 = 2−1 donc n = − 1.


LES 10 MINUTES DES MATHÉMATICIENS

Parmi les nouveautés du programme de Première S figure l’histoire des mathématiques.

Extraits du programme de mathématique de Première S Diversité de l’activité de l’élève … Des éléments d’épistémologie et d’histoire des mathématiques s’insèrent naturellement dans la mise en œuvre du programme. Connaître le nom de quelques mathématiciens célèbres, la période à laquelle ils ont vécu et leur contribution fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. La présentation de textes historiques aide à comprendre la genèse et l’évolution de certains concepts.

Une mise en œuvre possible ces recommandations Comment intégrer cette partie dans le cours ? De nombreux mathématiciens sont déjà évoqués dans les nouveaux manuels : en introduction de chapitre, au cours d’une activité, d’un travail dirigé ou d’un exercice. Mais comment impliquer concrètement les élèves ?

Un de mes collègues d’histoire-géographie propose depuis quelques années dans ses cours de Seconde et de Première "Les 10 minutes de l’actualité". Chaque élève traite et présente un sujet d’actualité à la classe pendant 10 minutes, puis ensuite ses camarades et le professeur peuvent lui poser des questions. Pourquoi ne pas s’en inspirer ?

Cette année en Première S, j’ai donc proposé à mes élèves "Les 10 minutes des mathématiciens".

Je n’avais que 16 élèves dans ma classe, aussi tous les quinze jours un élève présentait un mathématicien choisi dans une liste donnée en début d’année. Cette liste avait été constituée en fonction de ma progression afin que les exposés soient le plus souvent possible en lien direct avec le chapitre travaillé en cours.

L’élève dispose d’une fiche (en fin d'article) dans laquelle se trouvent les principales consignes :

• L’exposé doit durer au minimum 6 minutes et maximum 8 minutes, suivi d’éventuelles questions.

• L’aisance à l’oral est évaluée. • Le vécu personnel du personnage, son parcours professionnel, ses travaux

mathématiques doivent être évoqués. • Les sources utilisées doivent être précisées. • Le (ou les) lien(s) avec le programme de mathématiques de filière S doi(ven)t être

fait(s). • Une fiche sur une feuille A4 constituera le résumé.

Ainsi, en fin d’année, chaque élève possédera un livret constitué de toutes les fiches.

Cette activité a été évaluée par une note sur 20, reconnaissance de leur travail ; cela a permis à chacun d’avoir une note honorable, ce qui n’est pas toujours le cas dans notre matière ! Les élèves ont apprécié ces exposés : découverte de destins illustres, approche différente des mathématiques …


Quelques remarques toutefois, en guise de prolongements possibles : L’idéal serait de constituer une frise chronologique qui serait placée tant que possible dans leur salle de classe ou leur salle de mathématiques ; chaque mathématicien ayant fait l’objet d’un exposé y trouverait sa place. Une autre idée serait que les autres enseignants (français, histoire-géographie…) puissent aussi utiliser cette frise. Ainsi les élèves pourraient mieux situer les divers personnages qu’ils côtoient au cours de l’année dans les différentes matières. Par ailleurs si l'effectif de la classe est plus important, les élèves peuvent travailler en binôme, car ces exposés prennent du temps en classe. Et pourquoi ne pas les intégrer dans l’accompagnement personnalisé ?

Les 10 minutes des mathématiciens

Nom : ................................................... Prénom :...............................................

Nom du mathématicien choisi : .........................................................................

Interrogation orale du : .....................................................................................

Présentation du mathématicien Son vécu personnel Son parcours professionnel Ses travaux mathématiques

2 2 3

.../7 pts

Développement Sources utilisées Lien avec le programme de mathématiques de filière S

2 3

.../5 pts

Fiche résumé (Fiche A4) 3 .../3 pts Présentation orale Détachement des notes écrites Aisance à l'orale, Capture du public

3 .../3 pts

Durée de l’exposé Entre 6 à 8 minutes : 2 pts Entre 4 et 6 minutes : 1 pt Moins de 4 minutes : 0 pt

2 .../2 pts

Réponses aux questions posées (bonus) Maîtrise du sujet

2 .../2 pts

Note .../20 pts

Commentaires du professeur :


PROBABILITÉS ET STATISTIQUE AVEC GEOGEBRA

La version 4.2 de GeoGebra comporte un module de probabilités et statistique qui permet de : - calculer et de représenter des probabilités liées à une variable aléatoire (onglet

Distribution), - calculer les éléments de décision pour des tests d'hypothèse et l'estimation de

paramètres (onglet Statistiques).

Ce module est accessible de deux façons possibles :

par un bouton de la barre d'outils générale

de Geogebra

par un bouton de la barre d'outils associée

à la sélection de la fenêtre tableur

onglet Distribution onglet Statistiques

Dans l'article qui suit, nous présentons les fonctionnalités accessibles dans l'onglet Distribution.

Nous décrirons les fonctionnalités de l'onglet Statistiques dans un prochain article.


LOIS DE PROBABILITÉ AVEC GEOGEBRA

L'onglet Distribution du module Calculs de probabilités de GeoGebra (version 4.2) permet l'accès à différentes distributions de probabilités discrètes et continues. Nous présentons ici quelques exemples d'utilisation de cette fonctionnalité.

On peut choisir :

Distributions discrètes GeoGebra propose quatre types de distributions discrètes : binomiales, de Pascal, de Poisson ou hypergéométriques dont on choisit le (ou les ) paramètre(s). Une représentation graphique de la distribution s'affiche ainsi que son espérance mathématique, son écart-type et la table des valeurs.

Avec les boutons en haut de la fenêtre, on peut afficher au choix : - un diagramme en bâtons fins de la distribution de probabilité, - un diagramme en bâtons jointifs de la distribution de probabilité, - le contour des bâtons jointifs de la distribution de probabilité.

En outre, on peut choisir de superposer sur la représentation graphique en cours, la densité de la loi normale de même espérance mathématique et de même variance que la loi choisie.

− la loi

− les paramètres de laloi

− le type d'inégalité

− les valeurs de a et bsoit graphiquement, soit numériquement

− la distribution de probabilités ou la fonction de répartition de la loi


Par exemple, pour la loi binomiale de paramètres 10 et 0,3, on obtient

pour P(4 ≤ X ≤ 6) :

et pour P(X ≤ 5) :

Pour les inégalités simples, on peut faire un calcul inverse : pour une probabilité α donnée, on obtient la plus petite valeur de l'entier k tel que P(X ≤ k) ≥ α ou la plus grande valeur de l'entier k tel que P(X ≥ k) ≥ α.

Un exemple pour faire manipuler les élèves : Voici un exercice qui peut être traité lors de l'étude des lois binomiales ou servir d'introduction aux tests d'hypothèse en BTSA.

Énoncé L'épreuve d'un examen consiste en un QCM comportant un certain nombre de questions. Pour chaque question, deux réponses sont proposées dont une seule est exacte.

1°) - Dans cette question, le QCM comporte 12 questions. Un étudiant qui n'a pas appris son cours décide de répondre au hasard à chacune des questions. a) - S'il faut au moins 9 bonnes réponses pour valider l'épreuve, déterminer la probabilité

que cet étudiant la valide. b) - Pensant que cette probabilité est trop forte, l'enseignant envisage d'exiger 10 bonnes

réponses. Déterminer la probabilité de valider l'épreuve pour cet étudiant. 2°) - Dans cette question, le QCM comporte 12 questions. L'enseignant estime raisonnable de

valider l'épreuve pour les étudiants dont la probabilité de fournir une bonne réponse est égale à 0,85. Déterminer la probabilité de ne pas valider l'épreuve pour un tel étudiant dans le cas où l'on exige au moins 10 bonnes réponses.

3° - Pensant que les conditions de validation sont trop exigeantes, l'enseignant choisit de proposer 13 questions.

a) - Déterminer le plus petit nombre de bonnes réponses à exiger pour que la probabilité de valider l'épreuve pour un étudiant qui répond au hasard soit inférieure à 0,05.

b°) - Déterminer la probabilité de ne pas valider l'épreuve pour un étudiant dont la probabilité de fournir une bonne réponse est 0,85.


Réponses

1°) a) - Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses fournies par l'étudiant répondant au hasard. X suit la loi binomiale de paramètres 12 et 0,5. Si on exige au moins 9 bonnes réponses, la probabilité de valider l'épreuve pour l'étudiant répondant au hasard est P(X ≥ 9) ≈ 0,073.

b) - Si on exige au moins 10 bonnes réponses, la probabilité de valider l'épreuve d'un étudiant répondant au hasard est P(X ≥ 10) ≈ 0,0193.

2°) - Soit Y la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses fournies par l'étudiant. Y suit la loi binomiale de paramètres 12 et 0,85. Si on exige au moins 10 bonnes réponses, la probabilité de ne pas valider l'épreuve pour l'étudiant est P(Y ≤ 9) ≈ 0,2642. On peut dans ce cas utiliser la fonction de répartition.

ou

3° a) - Soit Z la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses fournies par un étudiant répondant au hasard. Z suit la loi binomiale de paramètres 13 et 0,5. Le plus petit nombre k de bonnes réponses à exiger pour que la probabilité de valider l'épreuve d'un étudiant répondant au hasard soit inférieure à 0,05 vérifie P(Z ≥ k) ≤ 0,05


On peut procéder par tâtonnement en utilisant le curseur sur le graphique de la distribution. La valeur de k est 10 car P(Z ≥ 10) ≤ 0,05 et P(Z ≥ 9) > 0,05.

Remarque : On peut aussi utiliser la loi inverse et demander a tel que P(Z ≥ a) –∼ 0,05. On obtient alors la plus grande valeur de a, soit 9, telle que P(X ≥ a) ≥ 0,05. a + 1, soit 10, est alors la petite valeur de k telle que P(X ≥ k) < 0,05.

b) - Soit T la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses fournies par l'étudiant. T suit la loi binomiale de paramètres 13 et 0,85.

La probabilité de ne pas valider l'épreuve pour un étudiant dont la probabilité de fournir une bonne réponse est 0,85 est P(T ≤ 9) ≈ 0,118.

ou


Un exemple d'utilisation pour construire un sujet d'évaluation sur le chapitre Lois binomiales en classe de Première S Énoncé On admet que 86,5 % des adolescents de la population française sont uniquement droitiers (les autres sont gauchers ou ambidextres). On suppose que les 60 élèves des classes de première d’un lycée agricole constituent un échantillon d’adolescents de la population française prélevé comme dans un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre d’élèves uniquement droitiers de l'échantillon.

1. Justifier que la variable aléatoire X est de loi de probabilité binomiale de paramètres n = 60 et p = 0,865.

2. Calculer E(X) puis interpréter le résultat.

3. Sur la figure 1 ci-contre se trouvent la représentation graphique de la loi de probabilité de X et un extrait du tableau de ses valeurs. a. Lire la valeur de P(X = 50), puis interpréter

cette probabilité. b. Déterminer P(X = 52). c. Calculer P(53 ≤ X ≤ 55).

Figure 1

4. Sur la figure 2 ci-contre se trouvent la représentation graphique de la fonction de répartition de la variable aléatoire X et un extrait du tableau de ses valeurs. a. Calculer P(X > 48). b. Déterminer P(X ≤ 52). c. Calculer P(47 < X < 55).

5. a. À l’aide de la figure 2, déterminer l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire X au niveau 0,95.

b. Dans le groupe de 60 adolescents, on a observé que 80 % d’entre eux étaient uniquement droitier. Cette répartition vous semble-t-elle surprenante ? Justifier la réponse.

Figure 2


Proposition de correction 1. • Lorsque l’on prend au hasard un adolescent dans la population française, on réalise une

épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,865 avec comme Succès, l’évènement: « l'adolescent choisi est uniquement droitier » de probabilité p = 0,865 et comme Échec : « l'adolescent choisi n’est pas uniquement droitier » de probabilité 1 − p = 0,135.

• Lorsque l’on prélève un échantillon de 60 adolescents comme dans un tirage avec remise, on est en présence d’un schéma de Bernoulli de paramètres n = 60 et p = 0,865.

• La variable aléatoire X prend pour valeur le nombre de succès à l’issue du schéma de Bernoulli donc X est de loi de probabilité binomiale de paramètres n = 60 et p = 0,865.

2. E(X) = n p donc E(X) = 51,9. Dans tous les échantillons de 60 adolescents, il y a en moyenne 51,9 adolescents qui sont uniquement droitiers.

3. a. P(X = 50) –∼ 0,1075 est la probabilité que dans un échantillon de 60 adolescents, il y en ait exactement 50 qui sont uniquement droitiers. b. À l’aide d’une calculatrice, on trouve P(X = 52) –∼ 0,1498.

c. P(53 ≤ X ≤ 55) = P(X = 53) + P(X = 54) + P(X = 55) –∼ 0,1449 + 0,1203 + 0,0841 = 0,3493.

4. a. P(X > 48) = 1 − P(X ≤ 48) –∼ 1 − 0,1033 = 0,8967. b. A l’aide d’une calculatrice, on trouve P(X ≤ 52) –∼ 0,5720. c. P(47 < X < 55) = P(X ≤ 54) − P(X ≤ 47) –∼ 0,8372.

5. a. Par lecture du tableau de valeurs de la fonction de répartition, on trouve que : - Le plus petit entier k tel que P(X ≤ k) > 0,025 est 46. - Le plus petit entier k tel que P(X ≤ k) > 0,975 est 57. On en déduit que l’intervalle [46 ; 57] est l’intervalle de fluctuation de X au niveau 0,95.

b. L’intervalle de fluctuation de la fréquence d'échantillonnage de droitiers uniquement au

niveau 0,95 est ⎣⎡

⎦⎤46

60 ., 5760 et 0,8 appartient à cet intervalle, il n’y a donc rien de

surprenant.


Distributions continues GeoGebra propose dix types de distributions continues : normales, de Student, du Khi-Carré, de Snédécor, exponentielles, de Cauchy, de Weibull, Gamma, log-normale ou logistiques dont on choisit le (ou les ) paramètre(s). La représentation graphique de la densité de la distribution s'affiche ainsi que son espérance mathématique et son écart-type.

Par exemple, pour la loi du Khi-Carré à 6 degrés de liberté, on obtient pour P(9,6 ≤ X ≤ 14,4) :

et pour P(X ≥ 8,5) :

Pour les inégalités simples, on peut faire un calcul inverse : pour une probabilité α donnée, on obtient une valeur approchée du réel a tel que P(X ≤ a) = α ou P(X ≥ a) = α. Avec le bouton en haut de la fenêtre, on peut superposer sur la représentation graphique en cours, la densité de la loi normale de même espérance mathématique et de même variance que la loi choisie.

Un exemple pour faire manipuler les élèves : Voici un exercice qui peut être traité lors de l'étude de l'échantillonnage ou servir d'introduction aux tests d'hypothèse en BTSA.

Énoncé Un grand distributeur reçoit un lot de barquettes de framboises d'un producteur. Il effectue un contrôle de réception sur ce lot visant à confirmer l'annonce du producteur d'une masse moyenne de 300 g pour les barquettes du lot. Il travaille à partir d'un échantillon de 15 barquettes prélevées au hasard dans le lot et adopte la règle de décision suivante : − si la masse moyenne des barquettes de l'échantillon est inférieure à une valeur V, il

rejette le lot et le renvoie au producteur, − sinon, il accepte le lot et le commercialise. On suppose que la masse des barquettes se distribue selon une loi normale d'écart-type 20 g.

1°) - On considère que le producteur a livré des barquettes de masse moyenne 300 g et donc que la masse des barquettes se distribue selon la loi normale d'espérance mathématique 300 et de variance 400. a) - Le distributeur opte pour V = 295 g. Déterminer la probabilité que le lot soit rejeté. b) - Le distributeur juge cette probabilité trop forte. Déterminer V pour que la probabilité

de rejet du lot soit égale à 5 %.


2°) - Le distributeur opte finalement pour V = 291 g. Le fournisseur détecte un dysfonctionnement de son système de pesage et prévient le distributeur que les barquettes de son lot ont une masse moyenne de 285 g. Déterminer la probabilité que le lot ait été accepté lors de la réalisation du test.

Réponses 1° a) - Population : L'ensemble des barquettes du lot.

Caractère : Masse (quantitatif continu). La masse des barquettes se distribuant selon la loi normale d'espérance mathématique 300 et de variance 400, la variable aléatoire

⎯X qui à chaque échantillon de 15 barquettes

associe sa masse moyenne des échantillons se distribue selon la loi normale d'espérance mathématique 300 et de variance 400

15 . Son écart-type est donc 2015

–∼ 5,164.

La probabilité que le lot soit rejeté est P( )⎯X ≤ 295 –∼ 0,1665 que l'on trouve

avec la densité de la loi ou avec la fonction de répartition de la loi

b) - La probabilité que le lot soit rejeté est P( ) ⎯X ≤ V et on cherche V pour que

P( ) ⎯X ≤ V = 0,05.

ou

On trouve V –∼ 291,506 g.


2°) - La masse des barquettes se distribuant selon la loi normale d'espérance mathématique 285 et de variance 400, la variable aléatoire

⎯X qui à chaque échantillon de

15 barquettes associe sa masse moyenne des échantillons se distribue selon la loi normale d'espérance mathématique 285 et de variance 400

15 .

La probabilité que le lot soit accepté est P( )⎯X ≥ 291 –∼ 0,1226.


LES TESTS STATISTIQUES AVEC UNE CALCULATRICE OU GEOGEBRA

- Partie 1 -

La plupart des calculatrices permettent de traiter des tests statistiques. La dernière version 4.2 de Geogebra permet aussi d'effectuer des tests à partir de données.

Notre intention, avec cet article est, d'une part, de faire le lien entre nos calculs habituels et ceux de la machine ou de GeoGebra, et d'autre part, de réaliser une fiche pratique d'utilisation des calculatrices.

Nous traiterons successivement dans deux articles trois types de tests : tests de conformité (partie 1), tests de comparaison et tests du Khi-deux (partie 2).

Test de conformité d'une moyenne Exemple :

On souhaite contrôler un lot de pré-emballages de quantité nominale 1 000 mL. Le caractère volume de ces pré-emballages est distribué selon la loi normale de moyenne µ et d'écart-type σ. On cherche à savoir, au vu d'un échantillon aléatoire simple de 19 pré-emballages, si la contenance moyenne du lot n'est pas inférieure à 1 000 mL. Les contenances, en mL, des pré-emballages de l’échantillon sont : 999,49 – 997,83 – 1 000,42 – 1 002,17 – 1 002,95 – 996,26 – 999,60 – 1 001,86 – 998,15 – 997,13 – 999,83 – 996,86 – 998,34 – 998,69 – 996,40 – 999,03 – 999,31 – 1 000,23 – 999,38. On veut élaborer un test permettant de conclure si le lot est conforme, au seuil de risque de 0,05.

Travail papier/crayon Rédigeons nos calculs habituels et énonçons notre règle de décision

Population : Ensemble des pré-emballages de la fabrication.

Caractère observé : Volume, de moyenne µ et d'écart-type σ dans le population.

On réalise un test unilatéral de conformité d'une moyenne à l'aide d'un échantillon aléatoire simple de taille 19.

Choix des hypothèses : H0 : "µ = 1 000 mL" et H1 : "µ < 1 000 mL"

Variable de décision : Le caractère est distribué normalement, σ est inconnu et la taille de l'échantillon, 19, est

inférieure à 30 ; alors la variable de décision est T =

X − 1 000S

18

qui s'écrit aussi

X − 1 000

S ^

19

qui a pour loi de probabilité, sous l'hypothèse H0, la loi de Student à 18 degrés de liberté. On désigne par

X, S et S ^ les variables aléatoires, qui à chaque échantillon de taille 19, associent respectivement la moyenne, l'écart-type et l'écart-type corrigé des 19 volumes de l'échantillon.


Seuil de risque fixé : α = 0,05

Détermination de la zone d'acceptation : Soit tα la valeur critique associée à α.

P(T < tα) = 0,05 ⇔ P(T < – tα) = 0,95 ⇔ – tα –∼ 1,73 ⇔ tα –∼ – 1,73

Règle de décision n° 1 : Soit tobs la valeur observée de T sur l'échantillon.

Si tobs < – 1,73, on rejette l'hypothèse H0. Si tobs > – 1,73, on n'est pas en mesure de rejeter l'hypothèse H0.

Avec une calculatrice On sait que l'on va devoir réaliser un test de Student de conformité d'une moyenne, unilatéral à gauche. On a préalablement entré les données de l'échantillon dans une liste statistique (ici List 1).

sur CASIO 85 sur TI 83

touche MENU , option STAT

touche F3 : onglet TEST

touche F2 : onglet t

puis touche F1 1-S

(Test de conformité)

touche stats , onglet TESTS

2:T-Test (test de conformité d'une moyenne)

On complète la fenêtre en fonction de : - l'échantillon (ici, Data, données

entrées dans la liste 1) - l'hypothèse H0 (ici, µ0 = 1 000) - l'hypothèse H1 (ici, µ < µ0)


Remarque : Si on n'avait connu de l'échantillon que sa moyenne x –∼ 999,15 et son écart-

type σ –∼ 1,827, on aurait modifié la fenêtre précédente ainsi :


Attention ! : xσn–1 ou Sx désignent l'écart-type corrigé, à calculer au préalable

Les résultats obtenus peuvent dans ce cas différer alors un peu des précédents du fait de la saisie arrondie de la moyenne et de l'écart-type corrigé.

Et on obtient les résultats suivants, en sélectionnant DRAW ou CALC :

DRAW sur CASIO CALC sur CASIO CALCULATE sur TI DRAW sur TI

Le t affiché est la valeur de T observée sur l'échantillon : tobs = 999,154 − 1 000

1,877

19

–∼ − 1,96

Le p affiché est la probabilité que, sous l'hypothèse H0, la variable aléatoire T prenne une valeur inférieure à tobs. Ici, p = P(T < – 1,96) –∼ 0,33 quand la loi de probabilité de T est la loi de Student à 18 ddl.

Exploitons les résultats donnés par la calculatrice pour rédiger une règle de décision:

Règle de décision n° 2 :

Si α > 0,033, on refuse l'hypothèse H0 (alors tobs sera inférieure à la valeur critique associée à α). Si α < 0,033, on n'est pas en mesure de rejeter H0 (alors tobs sera supérieure à la valeur critique associée à α.).

Il ne reste plus qu'à comparer la valeur de p avec le seuil de risque α fixé, risque de rejeter H0 à tort.

Si α = 0,01 :

α < p, on n'est pas en mesure de refuser l'hypothèse H0.

Si α = 0,05 :

α > p, on refusera l'hypothèse H0.


Affichage de la liste des commandes

Avec Geogebra

On saisit les valeurs dans le tableur de GeoGebra. (Attention à ne pas mettre de séparateur de milliers et de prendre le point comme séparateur décimal !!).

On affiche la liste des commandes et dans la rubrique Statistiques, on choisit la commande TTest. Ici, on travaille avec les données brutes, on utilise la première option proposée.

La syntaxe est TTest[<Liste Données Échantillon>,<Moyenne attendue>,<Symbole>] � Liste Données Échantillon désigne la liste des n valeurs de l'échantillon qui peut être une liste

(entre accolades séparées par des virgule) ou une plage du tableur ; � Moyenne attendue est la valeur m0 de la moyenne de référence ; � Symbole prend une des trois formes : "<", ">" ou "≠" selon que H1 est µ < m0, µ > m 0 ou

µ ≠ m 0

Le résultat est retourné sous la forme d'une liste : {p-value,tobs} où p-value est l'une des trois probabilités P(T ≤ tobs) P(T ≥ tobs) ou P(|T| ≥ tobs) selon que H1 est µ < m0, µ > m0 ou µ ≠ m0 où T suit la loi de Student avec n − 1 degré de liberté.

Ici, la formule est TTest[A1:A19,1000,"<"] . On peut la saisir dans la ligne de saisie ou dans une cellule du tableur. On obtient la liste {0.0326 , −1.9643}. Il reste à comparer α avec p-value :

� Si α > 0,0326, on rejette l'hypothèse H0 (tobs est inférieure à la valeur critique associée à α). � Si α < 0,0326, on n'est pas en mesure de rejeter H0 (tobs est supérieure à la valeur critique).

Ici, on rejette l'hypothèse H0 au seuil de 5 %. La contenance moyenne des pré-emballages semble inférieure à 1 000 mL.


Dans le cas où on ne connaît l'échantillon par la moyenne et l'écart-type du caractère, on peut aussi utiliser l'onglet Statistiques proposé dans le module Calculs de probabilités.

Remarque :

Dans ce cas, on peut utiliser la deuxième option proposée pour la commande TTest, mais elle est moins pratique que le module Calculs probabilités !!.

Test de conformité d'une proportion – Cas des grands échantillons Exemple :

Sur un échantillon aléatoire simple de 200 individus d'une commune, 90 sont favorables à l'implantation d'un centre commercial. Au vu de cet échantillon et au risque de 0,05, peut-on refuser l'hypothèse que la moitié des habitants de la commune est favorable à l'implantation du centre commercial ?

Et là, on ne panique plus, car on a suivi assidûment les cours et on a déjà réalisé l'étude préalable...

Travail papier/crayon Population : Ensemble des habitants d'une commune

Caractère observé : Le fait d'être favorable à l'implantation d'un centre commercial, de proportion p dans la population.

Choix des hypothèses : H0 : p = 0,5 et H1 : p ≠ 0,5

Variable de décision : n = 200 donc n > 30 alors la variable de décision est Z = F − 0,5

0,5 × 0,5200

,

dont la loi de probabilité, sous l'hypothèse H0, est approchée par la loi normale centrée réduite.


Avec une calculatrice


touche MENU , option STAT

touche F3 : onglet TEST

touche F1 : onglet Z

puis touche F3 1-P

(Test de conformité)

touche stats , onglet TESTS

5:1-PropZTest

(test de conformité d'une proportion)

On complète la fenêtre en fonction de : - l'hypothèse H1 - l'hypothèse H0

- les données de l'échantillon (en effectifs)

On obtient les résultats suivants :

DRAW sur CASIO CALC sur CASIO CALCULATE sur TI DRAW sur TI

Le z affiché est la valeur observée de Z, soit ici zobs =

90200

− 0,5

0,5 × 0,5200

–∼ − 1,414236.

Le p affiché est la probabilité, sous l'hypothèse H0, que la variable aléatoire Z soit hors de l'intervalle [− |zobs| ; |zobs|].


Ici, p = 1 − P(− 1,4142 ≤ Z ≤ 1,4142) quand la loi de probabilité de Z est la loi normale centrée réduite. Finalement, p = 2 − 2 × P(Z ≤ 1,4142). En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on obtient p –∼ 0,1586 du fait des arrondis. Cette valeur p est aussi appelée p-value ou probabilité critique.

Il ne reste plus qu'à comparer cette valeur de p avec le seuil de risque α fixé.

Ici α = 0,05 et donc α < p : on n'est pas en mesure de rejeter l'hypothèse H0.

Avec Geogebra

On peut utiliser l'onglet Statistiques proposé dans le module Calculs de probabilités.

Il est évident que la bonne compréhension des résultats affichés par la calculatrice ou Geogebra (ou même un tableur) ne peut se faire qu’après une bonne compréhension du principe des tests.

Nous en resterons là pour cet article et vous proposerons la suite très bientôt.


TEST DE DIXON RECHERCHE DE VALEURS ABERRANTES

Extrait du référentiel du BTSA ANABIOTEC, module M53 : Objectif 4.5 : Repérer des valeurs aberrantes, test de Dixon. Recommandation pédagogique : ce test permet d’écarter des valeurs aberrantes. On traitera le cas d’une valeur aberrante ou de plusieurs.

Préambule Quiconque voulant découvrir le test de Dixon va vite se trouver confronté à un obstacle : la multiplicité des sources, des méthodes, notations et tables. L'objectif de cet article est de proposer une méthode simple à comprendre et à utiliser au niveau BTSA, afin d’uniformiser les pratiques pédagogiques à ce niveau.

Un petit peu d’histoire En 1951, R. B. DEAN, and W. J. DIXON dans leur article Simplified Statistics for small Numbers of Observations s’intéressent à ce qu’ils appellent les "extraneous values". Traduisons "extraneous" : "sans grande portée", "superflu", "étranger". Ces "extraneous values" sont ce que nous appelons de nos jours les valeurs aberrantes. Quelques années plus tard (1969), dans les travaux de Grubbs, nous pouvons trouver une définition de cette notion, "outlier " dans le texte : Valeur aberrante : observation qui semble dévier de façon marquée par rapport à l’ensemble des autres membres de l’échantillon dans lequel elle apparaît.

Le contexte Au cours d'une expérimentation, il peut arriver qu'un des résultats semble s'écarter notablement des autres. Un graphique peut être d’une grande utilité pour s’en apercevoir. Une attitude classique, que l'on rencontre trop souvent, consiste à éliminer cette valeur en la considérant comme aberrante. Une bonne attitude à avoir est d’essayer de trouver la cause de l'écart (erreur de lecture, faute de calcul, etc) ; dans ce cas, il est tout à fait normal de l'éliminer. En revanche, si aucune cause accidentelle n'a pu être détectée, on s’abstiendra d'éliminer brutalement la valeur incriminée. Pour cela, il faut avoir recours à un test statistique permettant de justifier l'élimination de la valeur aberrante avec un risque de se tromper choisi au préalable. Le test de Dixon, que nous allons exposer, permet de réaliser cela, sous condition de normalité du caractère.

Principe du test Notons tout d’abord qu’il peut s’appliquer aussi bien pour une série statistique à une variable (xi) que pour une série statistique bivariée (xi ; yi). Dans le premier cas, les valeurs xi étant rangées dans l’ordre croissant, le test de Dixon va détecter la (ou les) valeur(s) aberrante(s), aux extrémités de la distribution.

x1

?

x2 x3 x4 x5 xn


Si la valeur aberrante suspectée est très supérieure aux autres (à droite du graphique), les valeurs peuvent être alors classées dans l’ordre décroissant. Dans le second cas, les observations sont représentées par un nuage de points dispersés autour de la droite de régression de y en x d'équation y = a x + b (obtenue par la méthode des moindres carrés), le test est basé sur la distribution des résidus.

Ces derniers sont notés, pour tout entier i, ei = yi − yi∧, c’est-à-dire ei = yi − (a xi + b).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

I. Cas d’une seule valeur aberrante Les valeurs observées sont classées par ordre croissant et notées x1, x2, ..., xn.

Hypothèses H0 : "La valeur douteuse n’est pas une valeur aberrante." H1 : "La valeur douteuse est une valeur aberrante."

Variable de décision utilisée Il faut comparer la distance entre la valeur suspectée aberrante et une valeur des plus proches, avec la distance entre la valeur suspectée aberrante et une des valeurs les plus éloignées de l'échantillon. Notons R la variable aléatoire prenant pour valeur le rapport de ces distances. Sa valeur observée est donnée dans le tableau ci-dessous selon la valeur de n et la position de la valeur suspectée aberrante :

la valeur suspectée aberrante est x1 la valeur suspectée aberrante est xn

n ≤ 10 Robs = x2 − x1

xn − x1 Robs =

xn − xn − 1

xn − x1

n > 10 Robs = x3 − x1

xn − 2 − x1 Robs =

xn − xn − 2

xn − x3

Remarque - Plus la valeur observée de R est élevée, plus la valeur suspectée est aberrante. - On distingue n ≤ 10 et n > 10 pour détecter les cas où il y a plus d'une valeur

aberrante (voir troisième exemple suivant).

?

x1 x2 x3 x4 x5 xn


Valeur critique On se fixe un seuil de risque α. La valeur critique est notée r1 − α, elle est définie par : P(R ≤ r1 − α) = 1 − α et elle est donnée par la table en fin d'article.

Exemple d’utilisation de la table : n = 8 et α = 0,01. Dans le cas de la recherche d’une valeur aberrante, la table de Dixon indique que pour n = 8 et α = 0,01, la valeur critique est r0,99 = 0,59. Cela signifie que si l’on prélève aléatoirement un échantillon de taille 8 dans une population dans laquelle les données sont distribuées normalement alors la probabilité que R prenne une valeur inférieure ou égal à 0,59 est 0,99.

Règle de décision Si Robs > r1 − α, on rejette H0, donc la valeur suspectée est aberrante. Si Robs ≤ r1 − α, on n'est pas en mesure de rejeter H0.

II. Un peu de pratique Voici trois exemples d’application.

- Un premier sur une situation classique dans laquelle la valeur la plus élevée apparaît aberrante.

- Un second montrant un point aberrant au sein d’un nuage. - Puis un troisième exemple dont le but est de montrer une situation dans laquelle on

justifie la distinction entre n ≤ 10 et n > 10 et qui montre qu’il peut exister deux valeurs aberrantes (cas traité dans la seconde partie de l’article).

Exemple 1 Dans la fabrication de comprimés effervescents, il est prévu que chaque comprimé doit contenir 1 625 mg de bicarbonate de sodium. Afin de contrôler la fabrication de ces médicaments, on a prélevé un échantillon de 10 comprimés et on a mesuré la quantité de bicarbonate de sodium en mg pour chacun d’eux. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant:

1 620 1 621 1 623 1 628 1 633 1 635 1 637 1 641 1 643 1 659 On peut demander aux étudiants de réaliser un graphique sur un axe gradué pour détecter quelle(s) valeur(s) semble(nt) aberrante(s). On effectue un test de Dixon au seuil de risque 0,05 pour tester si la valeur supérieure 1 659 est aberrante. On teste les deux hypothèses :

H0 : "1 659 n’est pas une valeur aberrante." H1 : "1 659 est une valeur aberrante."

n = 10 donc on utilise la variable aléatoire R qui prend comme valeur observée

Robs = xn − xn − 1

xn − x1, soit Robs =

x10 − x9

x10 − x1 qui est égale à 0,410.

D’après la table, la valeur critique est r0,95 = 0,412. Comme 0,41 < 0,412 : on n'est pas en mesure de rejeter H0. La valeur 1 659 ne peut pas être considérée comme aberrante, au seuil de 0,05.


Exemple 2 Lors d’un dosage de sodium par photométrie de flamme, on a procédé à un étalonnage (fond de flamme à 0 et solution concentrée à 100). Les mesures figurent dans le tableau suivant :

Concentration de sodium (en mg/L) : X 0 5 10 15 20 25 30 Indication du photomètre : Y 0 18 34 55 70 70 100

La valeur observée pour une concentration de 25 mg/L peut-elle être considérée comme aberrante ? Un petit coup d’œil sur le graphique :

y = 3,1429x + 2,4286

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30

Concentration de sodium (en mg/L)

Indi

catio

n ph

otom

ètre

On détermine l’équation de la droite d’ajustement de Y en X par la méthode des moindres carrés : y = 3,1 x + 2,4.

X 0 5 10 15 20 25 30 Y 0 18 34 55 70 70 100

Estimation : Y∧

2,4 17,9 33,4 48,9 64,4 79,9 95,4

Résidus : e − 2,4 0,1 0,6 6,1 5,6 − 9,9 4,6

Classons les résidus par ordre croissant : i 1 2 3 4 5 6 7 ei − 9,9 − 2,4 0,1 0,6 4,6 5,6 6,1

Valeur observée de R : Robs = e2 − e1

e7 − e1 –∼ 0,75.

Valeur critique au seuil de 0,05 : r0,95 = 0,507. Décision : 0,75 > 0,507, on rejette H0 au seuil de 0,05 ce qui justifie que la valeur

suspectée est aberrante.


Exemple 3 Une entreprise étudie la possibilité de lancer sur le marché un yaourt à la rhubarbe. Elle réalise des mesures de pH sur un échantillon de 11 pots. Les mesures observées sont les suivantes :

5,40 5,70 6,15 6,16 6,18 6,25 6,43 6,45 6,45 6,60 6,75

Existe-il une valeur aberrante ? Dans un premier temps, nous allons effectuer un test de Dixon au seuil de risque 0,05 sur la valeur x1 = 5,40 de manière ensuite à justifier la distinction qui doit être faite entre n ≤ 10 et n > 10 pour la valeur observée de R. Le nombre d'observations est ici 11 qui est supérieur à 10, que se passerait-il si on utilisait la valeur observée du cas n ≤ 10 ? x2 − x1

x11 − x1 –∼ 0,222 (à 10− 3 près).

Bien que nous ne disposions pas de la valeur tabulée pour n = 11, il semble évident que la valeur critique r0,95 serait largement supérieure à 0,222. Il faudrait donc en conclure que 5,40 n’est pas une valeur aberrante. Cependant, si on élimine cette valeur de l’échantillon et que l’on effectue un test de Dixon au seuil 0,05 sur la valeur x2 = 5,70 en considérant les 10 valeurs restantes, on observe alors que 5,70 est une valeur aberrante (Robs –∼ 0,429 et r0,95 = 0,412) Cette situation invite les étudiants à s’interroger sur cette anomalie car il parait évident que si la deuxième valeur est aberrante, la première l’est tout autant. L’erreur de décision

qui est faite en utilisant x2 − x1

x11 − x1 se justifie par le fait que les deux premières valeurs sont

proches et toutes deux aberrantes.

On vérifie alors que l’utilisation de x3 − x1

x10 − x1 permet de conclure à l’aberration de la

première valeur (Robs –∼ 0,714 et r0,95 = 0,637).

Pour des échantillons de taille strictement supérieure à 10, le calcul de Robs = x3 − x1

xn − 2 − x1

prend en compte la possibilité d’avoir deux valeurs aberrantes inférieures (x1 et x2). Cette situation est plus rare avec des tailles d’échantillon faibles (n ≤ 10).

III. Cas de deux valeurs aberrantes Pour appliquer la méthode, il faut dans ce cas que n > 10. Plusieurs situations sont possibles :

1) Si les résultats douteux sont x1 et xn, on applique successivement le test de Dixon aux deux valeurs séparément.

2) Si les deux résultats douteux sont "du même côté", on applique le test à l’avant dernière, après avoir éliminé provisoirement la dernière (comme dans l’exemple 3). Concrètement, s’il s’agit de x1 et x2, après avoir éliminé x1, on applique le test à x2 en

prenant Robs = x4 − x2

xn − 2 − x2


S’il s’agit de xn − 1 et xn, après avoir éliminé xn, on applique le test à xn − 1en prenant

Robs = xn − 1 − xn − 3

xn − 1 − x4.

Si le test conduit à considérer x2 (respectivement xn − 1) comme aberrantes, alors x1 (respectivement xn) l’est aussi. Sinon on lui applique le test à son tour.

Complément : Test de Grubbs (hors programme) C’est un test beaucoup plus puissant dans le cas des petits échantillons. Il permet de rejeter deux valeurs aberrantes dans une série de mesures, ou encore de rejeter une ou deux moyennes par rapport à la moyenne générale.

Il est basé sur le calcul des résidus normalisés : G = ⎯x − x1

s ou G = xn −

⎯xs .

Mais ceci est une autre histoire…

Une idée, pour finir On peut proposer ce test dans le cadre de l'objectif 4.1 du module M42 : Explorer et mettre en œuvre les fonctions avancées du tableur pour résoudre un problème, notamment dans le domaine professionnel de l'option du BTSA. Cette séance de TD pourrait être l’occasion d'utiliser les fonctions RECHERCHEV(), NBVAL et SI, ainsi que des commandes de tri. En guise d’exemple, vous pouvez trouver le fichier nous ayant permis de faire les calculs dans cet article, à l’adresse suivante : http://www.enfa.fr/r2math

Bibliographie Article de Dean et Dixon :

http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/ac1951_23_636_13353.pdf


Table de la loi de Dixon

Valeur de r1 − α α

n 0,01 0,05

3 0,988 0,941 4 0,889 0,765 5 0,780 0,642 6 0,698 0,560 7 0,637 0,507 8 0,590 0,468 9 0,555 0,437 10 0,527 0,412

11 0,745 0,637 12 0,704 0,600 13 0,670 0,570 14 0,641 0,546 15 0,616 0,525 16 0,595 0,507 17 0,577 0,490 18 0,561 0,475 19 0,547 0,462 20 0,535 0,450 21 0,524 0,440 22 0,514 0,430 23 0,505 0,421 24 0,497 0,413 25 0,489 0,406 26 0,486 0,399 27 0,475 0,393 28 0,469 0,387 29 0,463 0,381 30 0,457 0,376


BTSA TOUTES OPTIONS / REMPLACEMENT 2012 Métropole Réunion

Exercice 1 (9 points) Une entreprise fabriquant des jus de fruits réalise une étude de filtrabilité pour évaluer sa capacité de production. Après pressage des fruits, le jus de fruit brut filtré permet d'obtenir le filtrat. On note T le temps de filtrage et V le volume de filtrat recueilli. Le temps est exprimé en secondes et le volume en centilitres.

Les résultats obtenus figurent dans le tableau suivant :

Volume vi 7,7 11,9 14,8 17,3 19,5 21,5 23,6 25,3 27,1 28,6 Temps ti 9 20 29 37 47 54 63 75 85 95

1. Le nuage de points de la série (vi , ti) et la droite d'ajustement de T en V obtenue par la méthode des moindres carrés sont représentés ci-après :

Nuage de points de coordonnées (v i , t i )

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30

Expliquer pourquoi l'ajustement linéaire est mal adapté à cette situation.

2. On pose Z = VT

Dans cette question, les résultats seront arrondis à 10− 3 près. a. Construire le tableau de la nouvelle série (vi , zi). b. Construire le nuage de points de cette série dans un plan muni d'un repère orthogonal. c. Donner, à l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire entre les

variables V et Z. d. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement

de Z en V.

e. Pour tout entier i de 1 à 10, calculer les résidus ei définis par ei = zi − zi∧, où zi

∧ est une estimation de zi obtenue à l'aide du modèle obtenu en d.

f. Dans la suite de l'exercice, on retient l'ajustement linéaire entre les variables V et Z. Justifier ce choix.


3. Déduire de la question 2d. une relation entre t et v sous la forme t = f (v).

4. L'entreprise souhaite commercialiser son jus de fruit en bouteilles de 33 cL. Déterminer une estimation du temps de filtrage pour une de ces bouteilles.


Un industriel recherche un mélange de variétés de pommes donnant un jus adapté au marché. Pour cela, il réalise trois mélanges différents et les fait évaluer par 200 consommateurs. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

Mélange Appréciation Médiocre Bon Très bon

Mélange A 35 25 15 Mélange B 5 10 47 Mélange C 4 13 46

Peut-on considérer, au seuil de risque 0,05, que l'appréciation des consommateurs dépend de la nature du mélange ?


Les parties A et B sont indépendantes. L'entreprise souhaite réaliser un contrôle sur le remplissage des bouteilles de 33 cL. On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le volume, exprimé en centilitres, d'une bouteille. On admet que la variable aléatoire X est distribuée suivant une loi normale de moyenne µ et d'écart-type σ.

Partie A Afin d'obtenir une estimation du volume moyen µ de la population, on prélève sur la production un échantillon aléatoire simple de 16 bouteilles pour lesquelles on détermine le volume.

Les résultats, exprimés en centilitres, sont les suivants :

32,8 31,8 34,6 33,9 34,1 32,9 32,4 32,9 32,7 33,3 33,7 34 32,5 32,8 33,1 33,2

Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis à 10− 1 près.

1. Déterminer une estimation ponctuelle du volume moyen µ.

2. Déterminer une estimation par intervalle de confiance de µ au niveau de confiance 0,95.

Partie B On considère dans cette partie que µ = 33 et σ = 2.

On note ⎯X la variable aléatoire prenant pour valeur le volume moyen des bouteilles dans les

échantillons de taille 16 extraits de la production.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire ⎯X ? Préciser les paramètres de

⎯X.

2. Quelle est la probabilité que le volume moyen de 16 bouteilles soit inférieur à 31,8 cL ?


ÉLÉMENTS DE CORRIGÉ

Exercice 1

1. Le nuage de points est certes étiré autour de la droite d’ajustement mais la répartition des points par rapport à cette droite ne paraît pas aléatoire (2 points au-dessus de la droite, puis 5 points au-dessous, puis 3 points au-dessus). Cela vient du fait que le nuage a une allure incurvée pouvant faire penser à une relation fonctionnelle non affine. L’ajustement linéaire est donc mal adapté étant donné qu’il semblerait qu’un ajustement d’une autre nature soit plus pertinent.

2. a) iv 7,7 11,9 14,8 17,3 19,5 21,5 23,6 25,3 27,1 28,6

iz 1,169 1,681 1,959 2,139 2,410 2,512 2,669 2,964 3,137 3,322

b) Nuage de points de la série (v i , z i )

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 5 10 15 20 25 30

v i

z i

c) Le coefficient de corrélation linéaire entre V et Z est r = σVZ

σV σZ –∼ 0,997.

d) Par la méthode des moindres carrés, on obtient l’équation de la droite de régression de Z en V : z = 0,999 v + 0,452.

e) Calcul des résidus :

zi 1,169 1,681 1,959 2,139 2,410 2,512 2,669 2,964 3,137 3,322

zi∧

1,214 1,630 1,917 2,165 2,383 2,581 2,788 2,957 3,135 3,283

ei − 0,045 0,051 0,042 − 0,026 0,027 − 0,069 − 0,119 0,007 0,002 0,039

f) Au regard des résultats obtenus dans les questions précédentes, on peut mettre en avant deux points :

• Le coefficient de corrélation linéaire entre les variables V et Z est très proche de 1. • Les résidus changent plus souvent de signe, leur répartition semble aléatoire.

Ces deux constats justifient le choix de l’ajustement linéaire entre les variables V et Z.

2. z = 0,999 v + 0,452 ⇔ tv = 0,999 v + 0,452 ⇔ t = 0,999 v2 + 0,452 v pour v ≠ 0.


3. Pour v = 33, on peut estimer le temps de filtrage à l’aide de la relation précédente. Cette estimation est : t = 0,999 × 332 + 0,452 × 33 soit t = 122,727 s. Le temps de filtrage nécessaire pour des bouteilles de 33 cL est estimé à 2 min 3 s .

Exercice 2 L’énoncé suggère d’effectuer un test d’indépendance du Khi-deux, au seuil de risque 0,05.

Hypothèses du test : H0 : "L’appréciation des consommateurs ne dépend pas de la nature du mélange." H1 : "L’appréciation des consommateurs dépend de la nature du mélange."

Effectifs théoriques sous l'hypothèse H0 : • On calcule les effectifs marginaux :

Ligne 1 : 75 consommateurs ont goûté au Mélange A, etc. Colonne 1 : 44 consommateurs ont évalué le mélange goûté comme Médiocre, etc.

• On peut alors calculer les effectifs théoriques sous l’hypothèse d’indépendance H0 :

Médiocre Bon Très bon Total Mélange A 16,5 18 40,5 75 Mélange B 13,64 14,88 33,48 62 Mélange C 13,86 15,12 34,02 63

Total 44 48 108 200

Exemple de calcul : Si H0 est vraie, la répartition des 75 personnes qui ont goûté le mélange A devrait se faire proportionnellement à la distribution marginale des appréciations. On devrait avoir 44 × 75

200 = 16,5 consommateurs ayant trouvé le

mélange A médiocre.

Variable de décision : Si H0 est vraie, comme l’effectif total est grand et que les effectifs théoriques des classes

sont tous supérieurs à 5, la variable aléatoire K définie par : K = ∑(i , j)

( )Ni,j − ni,j

∧ 2

ni,j∧ suit

approximativement la loi de Khi-deux à ν = (3 − 1) (3 − 1) = 4 degrés de liberté. (Ici Ni,j est la variable aléatoire qui prend pour valeur l’effectif observé de la catégorie de la ième ligne de la jème colonne qui a pour effectif théorique le réel ni,j

∧ ).

Règle de décision : Par lecture de table, ou à l’aide d’une calculatrice, on trouve que le 95ème centile de la distribution de la loi du Khi-deux à 4 degrés de liberté est égal à 9,49. On note k la réalisation de K obtenue avec l'échantillon étudié :

- Si k < 9,49 : on ne peut pas rejeter l’hypothèse H0. - Si k ≥ 9,49 : on rejette H0.

Conclusion : Un calcul à la calculatrice donne : k = 63,58. Comme 63,58 ≥ 9,49, on peut considérer, au seuil de risque de 0,05 que l’appréciation des consommateurs dépend de la nature du mélange.


Remarque de la rédaction Dans le contexte de cet exercice on s’étonne de l’expérience aléatoire : un consommateur goûte un seul mélange (comment est-il choisi ?) et donne son appréciation. Dans la pratique on ferait goûter les trois mélanges à chaque consommateur qui les classerait par exemple par ordre croissant de qualité gustative. Ensuite, on procède au test non paramétrique de Friedman dont la variable aléatoire de décision est de loi de probabilité proche d’une loi du Khi-deux à (3 − 1) degrés de liberté, c’est-à-dire 2 degrés de liberté.

Exercice 3 Partie A

1. Comme estimation ponctuelle µ∧ du volume moyen µ, on prendra la moyenne ⎯x de l’échantillon. Autrement dit : µ∧ =

⎯x . ⎯x =

530,716 = 33,16875 donc on peut prendre µ∧ = 33,2 cL.

2. X étant distribué normalement dans la population, on sait que la variable aléatoire

T =

⎯X − µ

Sn − 1

, c'est-à-dire T =

⎯X − µ

S15

, suit la loi de Student à 15 degrés de liberté

avec et S les variables aléatoires qui, à chaque échantillons de 16 bouteilles, associent sa moyenne et son écart-type.

Ainsi un intervalle de confiance de la moyenne µ au niveau de confiance 0,95 est :

IC0,95 = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤⎯x − t0,975

s15

., ⎯x + t0,975 s15

Dans la table de la loi de Student, on lit : t0,975 = 2,13. Avec les valeurs : ⎯x = 33,2, s = 0,7, on obtient : IC0,95 = [32,8 ; 33,6].

Partie B

1. X étant distribué selon la loi normale d'espérance mathématique 33 et d'écart-type 2 dans la population, on sait que la variable aléatoire

⎯X suit la loi normale de moyenne 33 et

d’écart-type 216

, c'est la loi normale d'espérance mathématique 33 et d'écart-type 0,5.

2. On pose U =

⎯X − 33

0,5 , cette variable aléatoire est de loi normale centrée réduite.

P( )⎯X < 3,18 –∼ P(U < − 2,4) = 1 − Φ(2,4) –∼ 1 − 0,9918 donc P( )

⎯X < 3,18 –∼ 0,0082.

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