psychologie du développement: acquisition des habiletés...

Psychologie du Développement: Acquisition des habiletés numériques

Lucie Corbin

[email protected]

Bureau 208

Planning

Séances 1 à 6 : José FAVREL

Apprentissage de la lecture et de l’écriture

Séance 7 à 12 : Lucie CORBIN

Acquisition des habiletés numériques Mercredi : 5, 12, 19 et 26 Novembre

Pas cours le 03 Décembre

Mercredi : 10 & 17 Décembre

Le poète, même le plus réfractaire aux mathématiques, est bien obligé de compter jusqu’à douze pour composer un alexandrin

Raymond Queneau

- Dans notre quotidien - Permettent de nous situer - Permettent de nous identifier - "Computer" = machine à compter

- La capacité des enfants à comprendre et utiliser les nombres a donc un rôle décisif dans : • la qualité des premiers apprentissages scolaires • l’insertion sociale et professionnelle

Mais comment nos connaissances numériques se développent-elles ?

Les Nombres

Plan

1- Le nombre chez l’animal et chez le bébé 2- La chaîne numérique 3- La quantification 4- Les opérations

Références - Barrouillet, P., & Camos, V. (2006). La cognition mathématique

chez l’enfant. Solal

- Barrouillet, P., & Camos, V. (2003). Savoir et savoir-faire arithmétiques et leur déficiences. In M. Kail et M. Fayol (Eds.), Les sciences cognitives et l’école. La question des apprentissages (pp. 307-351). Paris : PUF.

- Dehaene, S. (2010). La bosse des maths, quinze ans après. Paris : Odile Jacob.

- Donlan, C. (1998). The development of mathematical skills. Hove: Psychology Press.

- Fayol, M. (2012), L’acquisition du nombre, Que sais-je ?

- Pesenti, M., & Seron, X. (2000). Neuropsychologie des troubles du calcul et du traitement des nombres. Marseille : Solal.

Chapitre 1:

Le nombre chez l’animal et le bébé

Plan chapitre 1

1- Introduction sur l’histoire des Nombres 2- Origines des compétences : Les animaux 3- Origines des compétences : Les bébés

Histoire de l’ Écriture des chiffres

Symboles : changement vers 4

Histoire des chiffres

Distinction entre les 3 premiers chiffres et les suivants

=> capacités de discrimination numérique IIII vs. IIIII

=> limite du focus attentionnel

A l’écrit et à l’orale

Warlpiris : un, deux, quelques et bcp

Comment dépasser la limite de 3 ?

=> comptage des différentes parties du corps

Parties du corps En Nouvelle-Guinée « poignet » = 6 « sein gauche » = 9 Les indiens Lengua du Chaco au Paraguay 6 = « un sur l’autre main » = 5 + 1

11 = « deux mains et un doigt » = 2 x 5 + 1 principes de notations modernes

Histoire des chiffres

• Notre système = fruit de l’évolution (Ifrah, 1994)

• Reflet de notre capacité cognitive • capacité du cerveau humain à inventer des

principes nouveaux de numération • adaptation aux capacités perceptives et

mnésiques humaines

Notre héritage

Ex: Evolution de la Numération Ecrite

Notre héritage

Problème : Comment conserver une trace permanente des quantités ? Solution : Gravure de marques sur l’os, le bois, etc. (7 = IIIIIII) Pb : Cette représentation n’est pas aisément lisible. Sol : regroupement des traits (7 = IIII II). Remplacement de ces groupes par un

symbole unique (7 = VII) Pb : Exprimer de grands nb exige de nombreux symboles (37 = XXXVII) Sol : expression des nb par une combinaison de multiplications et d’additions

(437 = 4 centaines, 3 dizaines et 7) Pb : cette notation souffre d’une répétition des symboles « centaines » et

« dizaine ». Sol : Invention d’une notation abrégée : notation positionnelle (437)

Origines de nos compétences l’Animal

Les compétences numériques ont été mises en évidence dans 3 grandes catégories :

– La discrimination des numérosités (savoir lequel des deux ensembles a le plus ou le moins d’éléments)

– La cardinalité (savoir qu’un nombre désigne la quantité d’une collection) et l’ordinalité (savoir qu’un nombre vient après le nombre précédent et avant le nombre suivant)

– Calculs (arithmétique sur les quantités)

Origines de nos compétences


Animaux

Expérience Scientifiques : Mechner (1958) : Rats appuyant sur leviers

levier A : appuis n fois levier B : système de récompense

Débuts difficiles : Fables Hanz le cheval !

Mechner (1958) : Rats appuyant sur leviers 4 3 à 7 appuis 16 12 à 24 appuis


Animaux

Estimation de quantités SURVIE

Mais estimation peu précise

Discrimination de quantité

Apprentissage avec des sons: 2 ou 4 sons Transfert à 2 ou 4 flashs lumineux Et si 2 sons et 2 flashs??

Church & Meck (1984) : Chez le rat

Généralisation

Le rat compte chaque élément sensoriel qu’il soit visuel au auditif comme une seule et même unité.

Effet de distance

Effet de taille

Plus facile quand la distance est plus grande

4 vs 8 est mieux réussi que 4 vs 5

Plus facile quand la taille est plus petite

4 vs 5 est mieux réussi que 10 vs 11

Thomas et al. (1980) : Chez le singe présente simultanément deux collections et choisir la collection la plus petite

Cardinalité / Ordinalité Matsuzawa : Chimpanzé capable d’associer le symbole en chiffre arabe associé à la taille d’une collection

- entre 1 et 6 chiffres (1985) - entre 1 et 9 chiffres (1991)

Cardinalité

Davis & Bradford (1986) : Rats entrainés à choisir le 3ème, 4ème ou 5ème tunnel d’un labyrinthe Brannon et Terrace (1998) : Singes capables de ranger en ordre croissant des collections comportant entre 1 et 9 objets

Ordinalité

Additions ? Calculs

Church & Meck (1984) : Chez le rat (2 sons + 2 flashs) Boysen & Bernston (1989) : Sheba capable de choisir le chiffre arabe correspondant à la somme des oranges cachés dans sa cage

avec les symboles.... Le singe Sheba (Boysen & Berntson, 1989)

Quantité Symbole

2

Apprentissage

5

5 2 3

2 4 Le plus grand?

Additions ?

ou

Et encore plus.....

Calculs

Church & Meck (1984) : Chez le rat (2 sons 2 flashs) Boysen & Bernston (1989) : Sheba capable de choisir le chiffre arabe correspondant à la somme des oranges cachés dans sa cage Rumbaugh, Savage-Rumbaugh, & Hegel (1987) : Chez le singe

Les Fractions

Wooddruff & Premack (1981) : Chez le singe

Origines de nos compétences les bébés


Bébés

Deux courants théoriques opposés :

Constructivisme

Nativisme


Bébés


Constructivisme • Piaget ; Simon

• Langage qui permet l'émergence des compétences numériques


Bébés


Constructivisme

Nativisme : • Gallistel et Gelman ; Wynn ; Dehaene et Changeux

• Enfants capables d’activités numériques avant le langage

Paradigme d’Habituation

Bébés de 5 mois (Starkey & Cooper, 1980)

1ère phase

2ème phase


-Mêmes résultats avec Bébés de 1 à 3 JOURS (Antell & Keating, 1983) - Très nombreuses études ont répliquées avec :

- objets de taille, forme et position variables - objets différents - objets en mouvement

- Bébés aussi capables de discriminer : - le nb de sauts d’une poupée (2 vs. 3) - des mots de 2 vs. 3 syllabes


Les représentations numériques des bébés sont suffisamment abstraites pour être appliquées à différentes situations et objets

Xu & Spelke (2000) Bébés de 6 mois Visuelle

16 8 12

≠ =

Strauss et Curtis (1981) : bébés de 10-12 mois pas capables de discriminer 4 de 5


Lipton & Spelke (2003) Bébés de 6 et 9 mois Auditif 6 mois : discrimine 8 sons de 16 mais pas 8 de 12 9 mois : discrimine 8 sons de 16 et 8 de 12

"bip"

"bip"

"bip"

"bip"

"bip"

Bébés de 6 à 9 mois (Starkey, Spelke & Gelman, 1983; 1990)

Appariement de collections

Bébés capables d’apparier un

stimulus visuel et un stimulus auditif

sur la base du nombre

Appariement de collections

Bébés de 4-5 mois peuvent apparier stim tactile - stim visuel (Féron, Gentaz & Streri; 2006)

Discrimination intermodale des petites numérosités

L’appréhension du nb est amodale

Deux mécanismes pour discriminer le 1er traiterait les petites quantités (1 à 3)

Le 2ème traiterait les grandes quantités (à partir de 4)

Cardinalité / Ordinalité

Cooper (1984) bébés de 10 à 16 mois

1ère phase : présentation de paires avec tjrs même relation ordinale. Ex: 1er plus grand que le 2nd.

Phase test : paires dont l’ordre est inversé ou paires équivalentes 10-12 mois : pas de réaction à l’inversion de l’ordre réaction aux paires équivalentes 13 mois : réaction au changement d’ordre

Wynn (1992) Bébés de 5 mois

1 + 1 = 2 1 + 1 = 1

Arithmétique bébés capables de calculer ?

Événement possible Événement impossible

Wynn (1992) : Réussite pour 1 + 1 et 2 – 1 Procédure de l’évènement impossible

- Mesure des temps de fixation - Fixation plus longue pour l’évènement imp

l’enfant possède des capacités numériques innées

qui lui permettent de calculer

Est-ce vraiment du calcul ?


Hypothèse d’un traitement des propriétés spatio-temporelles Or, réussite si les objets sont en mouvements

(Koechlin, Dehaene, & Mehler, 1996) Hypothèse d’un traitement perceptif

Distinction entre impossible mathématiquement / physiquement 1/ cond identique à Wynn : Elmo + Elmo = 2 Elmo (possible) / Elmo + Elmo = 1 Elmo (impossible)

2/ cond poss math – imposs physique : Elmo + Elmo = 2 Elmo (possible) / Elmo + Elmo = Elmo + Erni (impossible)

3/ cond imposs math et physique : Elmo + Elmo = 2 Elmo (possible) / Elmo + Elmo = Erni (impossible)


Hypothèse d’un traitement des propriétés spatio-temporelles Or, réussite si les objets sont en mouvements

(Koechlin, Dehaene, & Mehler, 1996) Hypothèse d’un traitement perceptif Or, réussite si les objets sont physiquement différents

(Simon, Hespos & Rochat, 1995) Les bb regardent plus longtemps les évènements impossible sur le plan

arithmétique !

Répliqué chez le singes (Hauser, MacNeilage & Ware, 1995)


Capacités limitées aux petites quantités inférieures à 4

Capacités proches de celles des animaux

2 + 2 = environ 4 (3, 4, 5) Mais pas à 8!


- Très tôt, le bébé semble être capable de quantifier, d’estimer et peut-être même de faire des opérations simples.

- Les données chez l’animal rejoignent celle du bébé humain Il existerait bien une capacité non liée au langage (et non apprise) de représentation et de manipulation des numérosités qui serait commune à toutes les espèces.

Conclusions

2 interprétations principales L’accumulateur (Meck et Church, 1983 pour le rat et étendu au bébé par Gallistel & Gelman, 1992)

- But : Rendre compte des capacités numériques non verbales

- Métaphore du réservoir d’eau

- Variabilité dans la quantité d’eau

- Effet de distance et Effet de taille

Le subitizing (Mandler et Shebo, 1982) - Perception immédiate et très précise d’une petite numérosité

- Capacités numériques limitées à 4

Grâce aux mots nombres, la quantification apparaît

1- l’acquisition de la chaîne numérique verbale et écrite 2- les processus de quantification: Subitizing Dénombrement Estimation

Fin chapitre 1

Chapitre 2:

La chaîne numérique verbale et écrite

Plan chapitre 2

1- Chaîne numérique verbale: - acquisition d’un lexique et d’une syntaxe - distinguer les mots-nombres - structures des séquences incorrectes - élaboration de la chaîne verbale - différences inter-langues

2- Chaîne numérique écrite - notation positionnelle - comparaison inter-langues - transcodage du verbal au digital

3- Comparaison des nombres

4- La ligne numérique

• 1er apprentissages numériques – Font appel au système verbal – Obéissent à une chronologie

• Vers 2 ans : repère que certain mots

désignent une quantité

• L’enfant doit comprendre que « le langage encode la numérosité » => intervention d’un tiers

La chaîne numérique verbale et écrite

La chaîne numérique verbale

Acquisition d’un lexique fini et d’une syntaxe

Lexique

Unités: Un à Neuf Particuliers: Onze à Seize

Dizaines: Dix, Vingt… Séparateurs: Cent, Mille, Millions…

Combinatoire

Additive Multiplicative

Exemple : 84 = quatre vingt quatre = (4 x 20) + 4

Fuson, 1988 : Chez les enfants de 3, 4 et 5 ans, aucun n’utilisent d’autres mots lorsqu’ils doivent énoncer la chaîne ou compter. A 2 ans, seulement 3 enfants sur 40 introduisent des lettres de l’alphabet (seules ou mélangées avec les mots-nombres)

Distinguer les mots-nombres des autres mots

Gelman et Gallistel (1978): même résultat aux mêmes âges

Structure des séquences incorrectes

Fuson, Richards, & Briars, 1982: Stabilité des séquences incorrectes Organisation des séquences: 1- portion correcte (chaîne conventionnelle) 2- portion incorrecte mais stable (de 2 à 6 mots-nombres) 3- portion finale incorrecte et non-stable

Exemple: Enfant âgé de 3 ans 10 mois 1 2 3 ….. 12 14 18 19 15 19 1 2 3 ….. 12 14 18 19 16 17 18 1 2 3 ….. 12 14 18 19 15 17 18 19 17 1 2 3 ….. 12 14 18 19 15 16 17 18 19 15 17 1 2 3 ….. 12 14 18 19 16 17 12 14 18 19 1 2 3 ….. 12 14 18 19 16 17 18 19 16 17 18 1 2 3 ….. 12 14 18 19 16 17 18 19 16 17 18 1 2 3 ….. 12 14 18 19 13 1 2 3 ….. 12 14 18 19 17 15

Portion correcte Incorrecte et stable

Incorrecte et non-stable

Chaîne Conventionnelle

S’accroît grandement à partir de 4 ans (Fuson, Richards, & Briars, 1982)

Ages Meilleur essai Essai avec omission

3;6 à 3;11 14.17 (6.51) 16.56 (6.51)

4;0 à 4;5 17.17 (8.71) 18.71 (8.52)

4;6 à 4;11 28.59 (28.19) 36.47 (26.94)

5;0 à 5;5 40.19 (25.76) 44.81 (23.13)

5;6 à 5;11 38.17 (22.44) 43.00 (19.64)

Disparité en fonction des classes sociales À 4 ans: taille moyenne de la chaîne numérique

Classes sociales Ages Moyenne Défavorisée 4 ans 19.89 15.52 5 ans 36.03 37.86

Cependant, la scolarisation fait disparaître ces disparités (Ginsburg & Russel, 1981)

Chaîne incorrecte mais stable

L’enfant doit inventer la suite de la chaîne pour pouvoir compter des collections de grandes tailles

Et parce qu’il n’a pas encore acquis les règles de construction de la chaîne

Chaîne incorrecte et non-stable

Contrairement à la précédente, l’enfant a un défaut de mémorisation

Jusqu’à 4 ans ½, Construction progressive de la suite numérique => apprentissage par cœur de type sériel Apprentissage lent et difficile =>différences interind faibles

A partir de 4 ans ½ Les enfants découvrent la structure de ces mots-nombres Certains commencent à utiliser les règles combinatoire Les différences interindividuelles se creusent entre les enfants utilisant la combinatoire / ceux encore à l'apprentissage par cœur.

Élaboration de la chaîne numérique verbale Fuson, Richards, & Briars, 1982

Élaboration de la chaîne numérique verbale Fuson, Richards, & Briars, 1982

De 4 à 7/8 ans: 5 niveaux d’élaboration de la chaîne

-Chapelet: Un tout indifférencié (« undetroicatresink »)

-Liste non-sécable : Récitation toujours depuis le début (de 1 jusqu’à n)

-Chaîne sécable: Les enfants peuvent compter à partir de x, compter de x à y

-Chaîne numérique : Les mots sont des unités numériques

-Chaine bidirectionnelle: Récitation dans les deux sens (compter à rebours)

Différences inter-langues

Les langues européennes sont peu transparentes

Différences inter-langues

Les langues européennes sont peu transparentes D’où des performances inférieures aux jeunes chinois lorsqu’il faut compter au delà de 10 (Miller & al, 1995)

0102030405060708090

100

3 ans 4 ans 5 ans

USAChine

La chaîne numérique écrite

La notation positionnelle

Plus la correspondance oral/écrit est régulière Plus l’apprentissage est facile

La valeur du chiffre dans le nombre dépend de sa position

Exemple: 2152 2x1000 2x1

Exemple: en Chinois Shi Yi = « dix un » = 11 Er Shi San = « deux dix trois » = 23

Les langues asiatiques rendent la base 10 transparente

Comparaison inter-langues

Miura et al. (1994): 5 ans Représenter avec des réglettes (valant 10) et des cubes (1)

Pays USA France Suède Japon Corée Canonique 0.38 0.39 0.57 3.58 4.83 Un par un 4.13 3.96 4.44 0.88 0.04

Scores sur 5

Langues Européennes Langues Asiatiques

Transcodage de la forme verbale à la forme digitale: la dictée de nombres

Code verbal écrit (seize) Code arabe (16) ex: "293" en 20042013

Types d’erreurs : (Power & Dal Martello, 1990; 7ans)

• Lexicales : vingt-huit 27 / cent quarante 104 • Syntaxiques : vingt-quatre 204 / trois cent 3100

87% syntaxiques ajout de 0 supplémentaires Ex : trois cent soixante-cinq 30065 ou 3065

Transcodage de la forme verbale à la forme digitale: la dictée de nombres

Modèles sémantiques : => obligation de passer par le sens - Mc Closkey, Caramazza & Basili (1985) sur la base 10 : « mille cinq cent trois » active <1> 103, <5> 102, <3> 100 - Power & Dal Martello (1990) relations additives et multiplicatives : « mille cinq cent trois » active <1000> + [<5> x <100>] + <3>

Modèles asémantiques : => pas besoin du sens - Deloche & Seron (1982) processus de transcodage : système de règles appliquées aux formes d’entrées sans nécessiter l’élaboration de la représentation sémantique

- Barrouillet, Camos, Perruchet & Seron (2004) rend compte des changements développementaux

3 Codes

76%

82% Chiffres Verbal

Analogique

65% 63%

81%

84%

Un exemple d’étude: Jarlegan, Fayol & Barrouillet (1996)

Chez des enfants de CE1

Code verbal écrit (seize) Code arabe (16) Code analogique (6 carrés 1x1 pour les unités et 1 bande 10x1 pour les dizaines)

Comparaison de nombres

71 65 7 > 6 Donc 71 > 65

Ordinateur : OUI Pas les humains!!!

Humain Ordinateur

(1) 71 vs 65 (2) 79 vs 65

(1) 71 vs 65 (2) 69 vs 65

1 = 2

1 < 2

1 > 2

1 ≈ 2

La ligne numérique

Compressée

Orientée 0 10 100 1000

« 1 vs 9 » comparé à « 1 vs 9 »

Transformation automatique en quantité : effet Stroop !

4 4

4

Combien y a-t-il de chiffres dans le carré ?

Fin chapitre 2

Chapitre 3:

La quantification

Plan chapitre 3

1- Dénombrement: Principes

- « principes en premier » - « principes après »

Fonctionnement - coordination - facilitation

Stratégies 2- Subitizing:

Définition 4 modèles

3- Estimation

0102030405060708090

100

1 2 3 4 5 6 7 8

Pourcentage d’erreurs en fonction de la taille de la collection

Très peu d’erreurs Taux d’erreurs augmente

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Dénombrement = Comptage Subitizing

Mandler & Shebo, 1982

Le dénombrement

2 types de recherches sur le dénombrement: - sur les principes - sur le fonctionnement

Les principes

Deux courants théoriques s’opposent: « Les principes-en-premier » « Les principes-après »

La théorie des « principes-en-premier » Gelman & Gallistel, 1978

Les principes :

- seraient innés

- permettraient de reconnaître les activités de dénombrement comme des activités ayant du sens

- permettraient d’acquérir et de contrôler ses propres procédures de dénombrement

- développement = meilleure gestion de l’activité

1- Correspondance terme à terme : 2- Ordre stable 3- Cardinalité 4- Abstraction 5- Non-pertinence de l’ordre

Les 5 principes Gelman & Gallistel, 1978

1- Le principe de correspondance terme à terme (ou de correspondance un à un)

Chaque élément de la collection à dénombrer est associé à une et une seule étiquette

1 2 3 4 5

2- Le principe d’ordre stable

La suite des étiquettes constitue une liste fixe, ordonnée

1 2 3 4 5

3- Le principe de cardinalité

La dernière étiquette utilisée = le cardinal de la collection Elle a donc une double fonction

1 2 3 4 5

4- Le principe d’abstraction

L'hétérogénéité des éléments de la collection n’a pas d’impact sur leur dénombrement

1 2 3 4 5

5- Le principe de non-pertinence de l’ordre

L’ordre n’a pas d’incidence sur le cardinal de la collection

2 5 3 1 4

Abstraction des principes se fait à partir d’une pratique répétée des procédures de dénombrement acquises par imitation (Briars & Siegler, 1984; Fuson & Hall, 1983) Le dénombrement est d’abord une routine sans but

La théorie des « principes-après » Fuson, 1988

Acquisition du principe de cardinalité

La sensibilité au nombre = fondement des apprentissages numériques Le lien entre dénombrement et cardinalité trouverait son origine dans le subitizing En appliquant une routine (à l’origine non porteuse de sens) à des collections pouvant être subitizées (ie, petites collections) Le dernier mot-nombre énoncé = le cardinal obtenu grâce au subitizing

Le principe de cardinalité

Quelle que soit l’approche théorique, Il faut comprendre - la mise en œuvre du dénombrement - les contraintes qui affectent les performances

Dénombrement = Pointage + Énonciation + Coordination

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Le fonctionnement Camos (1999)

Le fonctionnement

Dénombrement : activité complexe qui nécessite la mise en œuvre d’au moins 3 habiletés :

1/ récupérer en mémoire et énoncer les noms de nombres

2/ distribuer l’attention spatiale de manière à distinguer les éléments déjà traités de ceux qui ne l’ont pas encore été => souvent par le biais du pointage

3/ coordonner le déroulement séquentiel de ces deux activités pour éviter les doubles comptages ou les omissions

Les facteurs influençant le dénombrement

Tous facteurs influençant le pointage ou l’énonciation

- Taille des collections

- Disposition des objets

- L’âge

La coordination

Enfants à scolarité normale

100

200

300

400

500

600

700

MSM CE2 Adultes

EnoncerDénombrer

EnoncerDénombrer

Camos, Fayol, & Barrouillet (1999)

Petite (11-18) Grande (24-36)

Taille de la collection

La coordination

Le pointage facilite le dénombrement !

Hypothèses explicative :

• Gelman et Gallistel (1978) : le pointage sépare les

« déjà-comptés » de ceux « qui-restent-à-compter »

• Alibali et Dirusso (1999) : le pointage allège la MdT

Adultes comptant en langues étrangères

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Français Anglais Tahitien

EnoncerDénombrer

EnoncerDénombrer

Camos, Barrouillet & Fayol (2001)

Petite (11-18) Grande (24-36)

Taille de la collection

En début d’apprentissage Facilitation lorsque le comptage profite d’un support

La facilitation chez des Dyspraxiques

Le pointage est facilité par l’énonciation de la chaîne numérique

De même chez des enfants déficients (Camos et al., 1998)

Chez des Héminégligents (Ishiai et al, 1990)

Tâche de Barrage

Oubli la moitié des objets

Tâche de Dénombrement

Aucun oubli !

11 10

9 8

7

6

5

4

3

1

2

10 = 2 + 3 + 2 + 3 =

Utilisation d’autres connaissances arithmétiques

Aoki (1977); Newman, Friedman & Gockley (1987)

Les stratégies

Étude des stratégies de 5 ans à l’âge adulte

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5 ans 7ans 9 ans 11 ans 13 ans 15 ans adultes

1 par 1

n par n

additions

multiplications

Camos (2003)

Le subitizing

Définition: Kaufman, Lord, Reese and Volkmann (1949) Aperception globale d’une quantité sans recours au comptage

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mandler & Shebo (1982)

Le subitizing

- 2 Processus de quantification différents : 1 pour les quantités inférieures à 4 et 1 pour celles supérieures à 4

- Se met en place à partir de 6 ans - À rapprocher de l’histoire des notations numérique (cf. cours1)

Impossible avec des objets superposés

Ni avec des objets mélangés

Etudes cliniques => confirment la distinction Subitizing / Dénombrement

Double dissociation : 1/ Pas de difficultés de Dénombrement mais pb de Subitizing : Enfants avec retard mental => max à 2 objets

2/ Difficultés de Dénombrement mais pas de pb de Subitizing :

Chez des patients (Dehaene & Cohen, 1994)

" Douze " 75% d ’erreurs

2 processus distincts

8% d ’erreurs

Gallistel & Gelman (1991)

Le subitizing = dénombrement très rapide avec des étiquettes non-verbales

=> demande de l’attention

4 modèles pour expliquer le subitizing

Mais : Pasini et Tessari (2001) Spécialisation hémisphérique des processus de quantification en

fonction de la taille des collections

=> 2 processus distincts

Mandler & Shebo - 1982

Le subitizing reposerait sur la reconnaissance de configurations canoniques

Idem pour Anderson (1993), Peterson & Simon (2000)

1= un point 2 = une ligne 3 = un triangle

Le subitizing demande de l’attention


Trick & Pylyshyn – 1991, 1994

nombre limité d’index spatiaux = FINSTs La limite à 4 est la conséquence du nombre limité de FINSTs

Le subitizing ne nécessite donc pas d’allocation attentionnelle


Subitizing et Dénombrement : deux effets de la construction de notre système visuel - Le Subitizing se déroulerait au cours d’une étape pré-attentionnelle de la vision - 1 étape sérielle (attentionnelle) qui dirigerait le dénombrement.

FINSTs (Finger of Instantiation) Theory

Meck & Church – 1983 L’accumulateur

Idem pour Dehaene - 1997

Subitizing : application d’un processus général d’estimation

Métaphore du réservoir d’eau Les quantités discrètes sont transformées en quantités continues

L’accumulation des erreurs fait qu’à partir de 4, l’évaluation de la quantité est de moins en moins fiable

Le subitizing se fait sans attention


L ’Estimation

La numérosité serait évalué par une simple relation entre des quantités physiques :

=> le produit de l’aire visuelle par la densité des objets.

En général : nos estimations sont à peu près justes

Mais : certaines situations où l’estimation dévie systématiquement

Tendance à surestimer lorsque les objets sont répartis régulièrement

L ’Estimation

Peu valorisée mais utile .... Et assez précise Dépend des caractéristiques perceptives

Perception des grands nombres similaires aux animaux

• Effet de distance 81/82 plus difficile que 80/100 • Effet de taille 10 plus loin de 20 que 90 de 100

L ’Estimation

Loi de Weber

Régularités mathématiques :

- Distinction de 13 points / 10 points => écart de 3 unités

- Si on passe à 20 points (double) => il faudra 26 points pour pouvoir discriminer aussi bien = 6 unités

=> soit une distance numérique double de la précédente

Conclusions

Fin chapitre 3

L’acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante pour les apprentissages arithmétiques ultérieurs.

Ces habiletés ne sont pas de simples routines dénuées de sens. Elles sont à la base des acquisitions ultérieures.

C’est à partir de leurs habiletés de dénombrement que les enfants élaborent spontanément des stratégies de résolution des opérations arithmétiques.

Chapitre 4:

Les opérations

Plan chapitre 4 1- Addition et soustraction:

Addition simple - stratégie de comptage - le développement - le modèle de Siegler

Soustraction simple - choix pertinent - soustraction écrite 2- Multiplication et division

Lien entre multiplication et addition - effet de taille - effet d’interférences - structures des faits

Division

Addition et Soustraction

Avant tout enseignement formel, résolution d’opérations simples à l’aide du comptage (Baroody & Ginsburg, 1986)

Exemple: dès 3 ans, « combien font 3 gâteaux et 2 gâteaux? » Fuson, 1982

1 2

1 2

3

Addition et Soustraction

Avant tout enseignement formel, résolution d’opérations simples à l’aide du comptage (Baroody & Ginsburg, 1986)

Contrairement à ce que pensait Piaget, le dénombrement fournit des habiletés et des connaissances

permettant la construction du nombre

Exemple: dès 3 ans, « combien font 3 gâteaux et 2 gâteaux? » Fuson, 1982

L’addition simple

5 classes générales de stratégies :

Utilisation d’objets Comptage sur les doigts Comptage verbal Décompositions Récupération en mémoire

Plusieurs stratégies de comptage

Il existe plusieurs stratégies pour effectuer des additions simples

Addition de nombres à 1 chiffres (ex: 2+3)

Tout commence par « un, deux, trois... »

2 + 4

Compter Tout Dite aussi Sum, ou Count all

= 1 2 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

Compter à partir du premier

Compter à partir du plus grand (Stratégie min)

2 3 4 5 6

4 5 6 Commutativité de l ’addition

Stratégies de comptage

Stratégies de comptage

Passage du compt. sur les doigts au compt. verbal est progressif => dépend de la capacité de l’enfant à contrôler mentalement le

déroulement du calcul Mat. utilisent plus freq la stratégie du « compter tout » Stratégie « min » privilégiée par les enfants de CP et CE1

Stratégies pas enseignées à l’enfant mais découvertes par eux-mêmes.

Strat. la plus efficace et la plus sûre : récupération directe du résultat en mémoire.

Confrontation répétée => association en MLT du pb avec le résultat Nb de résultats en mémoire restreint => recours aux strats

Le développement de la résolution des additions simples

Groen & Parkman (1972): le modèle min

Chez les jeunes enfants Enfant de 6/7 ans Adultes

Tout compter

Stratégie min

Récupération

Modèles dev des strats => constructions ? processus de sélection ? Le dev de l’arithmétique peut être conçu comme une succession de stades caractérisés chacun par un type de stratégie => conception dominante dans le passé mais abandonnée


Résolution des additions "m + n" dont la somme < 9

Groen & Parkman (1972): le modèle min

Le temps de résolution des additions est

proportionnel à la taille du plus petit

des opérandes

Ashcraft (1982): étude en CP, CE, CM et adultes

CP: min (m, n)

CM: m2+ n2 Adulte: m2 + n2

m2 + n2 reflète la stratégie de récupération directe du résultat dans un réseau, une sorte de table d’addition mentale

Stratégie min

Récupération en mémoire



1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Le TR des adultes est prédit par la distance de déplacement dans la table (= somme des carrés / cf. théorème de Pythagore).


CP: min (m, n)

CE: les deux ! min (m, n) et m2 + n2

CM: m2+ n2 Adulte: m2 + n2


Développement = passage d’un algorithme à la récupération Logan (1988)

Stratégie min

Étape transitoire


- Toutefois, à un même âge, il existe différentes stratégies Fuson, Richards & Briars, 1982

- Siegler (1987) chez les enfants de GSM, CP, CE1 des additions entre 4+1 et 17+6

Stratégies Maternelle CP CE1 Récupération 14 44 45 Stratégie min 30 38 40 Décomposition 2 9 11 Tout compter 22 1 0 Deviner 30 8 5

% d’utilisation

Utilisation de la vidéo et des témoignages des enfants

Temps toujours prédits par min (m, n)


En résumé :

On ne peut pas décrire le développement par des étapes claires

La freq d’utilisation de certaines stratégies va augmenter et d’autres diminuer avec l’âge

A chaque âge plusieurs stratégies sont disponibles à des fréq différentes.

Le modèle de Siegler (1996)

Son originalité : Ne considère pas la variabilité comme du « bruit » expérimental ou le reflet de retards/avances de développement

Mais, la variabilité est un facteur explicatif du développement cognitif

Le problème sera donc de comprendre comment les enfants sélectionnent les stratégies

Le modèle de Siegler (1996) 5 phénomènes fondamentaux dans le choix des stratégies:

- la variabilité : variété de stratégies même pour un même pb

- l’adaptabilité : utiliser la stratégie la plus efficace et la moins coûteuse pour un problème donné

- le changement : - nouvelles stratégies acquises - la fréquence d’utilisation des stratégies se modifie - les stratégies deviennent plus précises et plus rapides - il existe un meilleur choix entre les stratégies disponibles

- les différences individuelles : ne reflètent pas simplement des différences de niveau de développement ou de performance

- la généralisation : aux problèmes et situations nouvelles les leçons tirées des expériences passées

Le modèle de Siegler (1996)

En résumé :

Les Modèles en Stades supposent que chaque étape du développement est caractérisée par un type de stratégie ou de conduite

Au contraire, Siegler propose qu’à tous les âges les enfants disposent d’un éventail de stratégies.

=> Le changement : amélioration de ces diverses stratégies et modification progressive de leur fréquence d’utilisation.

La soustraction simple

Wood, Resnick & Groen (1975): étude en CE1 et CM1 Soustraction du type m – n = x avec

0 < m < 9 et 0 < n < 8

Résultats similaires à ceux de l’addition

Sauf pour les doubles (eg, 6 – 6) Ou les doubles inverses (eg, 8 – 4)


Les temps sont prédits par min (n, x)

Même type de classe que pour l’Addition

La soustraction simple

Même type de classe que pour l’Addition

Dès 4-5 ans : résolution de soustractions simples à l’aide de matériel manipulable.

=> 3 stratégies principales avec l’utilisation d’objets : - « separate from » : ôte 3 objets de 5 et compte le reste

- « adding on » : place 3 objets et en ajoute 5

- correspondance terme à terme et compte ceux isolés

Choix pertinent

8 - 2 Débute à 8 8 7 6

8 - 5 Débute à 5 5 6 7 8

m = 8 n = 2 x = 6 donc min (n, x) = 2 = n

décrémente de 2

m = 8 n = 5 x = 3 donc min (n, x) = 3 = x

incrémente de 3

Possible si l’enfant peut évaluer le résultat

6

3

Siegler (1989)

Strat « Counting down »

Strat « Counting up »

L’addition et la soustraction simple

En résumé :

Additions et Soustractions simples résolues par les jeunes enfants à l’aide de stratégies de comptage

Strat. d’abord sur du matériel manipulable, puis sur les doigts

Strat. dérivées des habiletés de dénombrement sont progressivement intériorisées en stratégies de comptage verbal

Ces strat. laissent ensuite la place à une strat. de récupération directe du résultat en mémoire.

Mais, récupération plus fréquente pour l’addition que pour la soustraction.

On relève des erreurs systématiques (Young & O’Shea, 1981)

Face à des impasses, l’enfant devient imaginatif (Van Lehn, 1983)

2 Sources majeures d’erreurs: - soustraire un grand nombre d’un petit nombre

Soustractions écrites

345 -129

224

345 -129

220

207 -169

162

207 -169

100

L’enfant n’exerce aucun contrôle de type sémantique sur le déroulement de la procédure

- "Emprunter" à la colonne de gauche

207 - 9

108

621 - 2 529

Différences entre pays: USA / France

Différence dans les algorithmes enseignées

2 0 7 - 1 6 9

2 0 7 - 1 6 9

1 1 9

1

8 3 0

1

1

8

1

1

3 0

De ce fait, il existe des erreurs différentes selon les pays

=> Méthode Française la plus efficace car pas accès au sens

Multiplication et Division

Contrairement à l’addition et à la soustraction, pas de développement spontané

Bien que des stratégies de comptage récursif ou grâce aux chaînes par 2 ou 5 ont été observés (Lemaire & Siegler, 1995)

Les multiplications simples sont acquises par apprentissage par cœur des tables (Geary, 1994)

Les adultes récupèrent les résultats en mémoire

La récupération des faits dépend de la taille des nombres comme pour l’addition 2 x 3 ou 2 + 3 dure 1s 8 x 9 ou 8 + 9 dure 1s3

Temps de réponse pour Additions ≈

Temps de réponse pour Multiplications

En effet, chez l’adulte

Liens entre multiplication et addition

Pourquoi un effet de taille ?

1- Difficulté avec les grands quantités Voir recherches sur bébés 2- Ordre d ’apprentissage Les petites opérations apprises en premier 3- Fréquence des nombres Dehaene & Mehler (1992) 4- Fréquence des opérations Les petites opérations sont plus utilisées comme exemple

Distribution des additions (a + b) composées par les parents (Siegler et Shrager, 1984)

b 1 2 3 4 5

a

1 15 6 1 1 0 2 14 12 1 0 0 3 14 3 0 0 0 4 9 5 0 1 1 5 4 0 1 0 3

Les effets d’interférence

Interférence entre Addition et Multiplication

En faveur d’un modèle de récupération en mémoire des faits multiplicatifs

- Tâche de production => erreurs de type 6 x 3 = 9

- Tâche de décision => plus long pour dire si 4 + 3 = 12 est vrai ou faux

L ’entrée en primaire marque un bouleversement

Connaissances intuitives Stratégies de comptage

Engranger de grandes quantités d’informations

Apparition des Difficultés

Et pourtant que 45 additions et 36 multiplications !

Les effets d’interférence

Structure des faits additifs et multiplicatifs

Si vous deviez mémorisez :

Charles David habite rue Guillaume Charles Guillaume habite rue Albert-Zoé Guillaume Etienne habite rue Albert-Bertrand

Charles David travaille rue Albert-Bertrand Charles Guillaume travaille rue Bertrand-Albert Guillaume Etienne travaille rue Charles-Etienne

3 + 4 = 7 3 + 7 = 10 7 + 5 =12

3 x 4 = 12 3 x 7 = 21 7 x 5 = 35

Dehaene (1997)

Notre mémoire est associative

Force Faiblesse

Réminiscence Interférence

Évocation automatique des informations associées

5 3 6

6 2 4

5 3 6

6 2 4

TR plus long pour dire Non !

Fin chapitre 4

La division

L’opération la moins étudiée

Trois stratégies: 1/ Récupération directe en mémoire 2/ Récupération de faits multiplicatifs associés (Vergnaud, 1983) ex : 15/3 = 5 car 5*3 =15

3/ Addition récursive du diviseur jusqu’à atteinte du dividende (Campbell, 1997) ex : 12/3 => décompose en gp de 3

psychologie du développement: acquisition des habiletés...

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