propriétés des déterminants - donner un libellé pour...
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Propriétés des déterminantsDonner un libelle pour chacune des proprietes
Document№1
Élise Desgreniers
Professeure de mathématique
Département de mathématiques
Collège Lionel-Groulx
Ressource développée dans le cadre du projet Mathéma-TIC
Financé par le ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de la Science (MESRS)
du Québec dans le cadre du Programme d’arrimage universités-collèges
Financé par le ministère de l‘Économie, de l’Innovation et des Exportations (MEIE)
du Québec dans le cadre du Programme NovaScience – Volet Soutien aux projets: réseau scolaire
Mise en contexte
But: Donner un libellé approprié pour chacune des propriétés des déterminants
relatives aux lignes ou aux colonnes d’une matrice.
Note: Afin d’alléger le document, le travail ne portera que sur les propriétés
relatives aux lignes d’un déterminant. Les résultats dégagés s’appliqueront de
manière analogue aux colonnes des déterminants.
Propriété 1
Analyser l’ensemble des déterminants suivants en faisant un lien entre le contenu
et la valeur du déterminant, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un libellé
pour la propriété 1.
A)
∣∣∣∣0 03 4
∣∣∣∣ = 0
B)
∣∣∣∣a b0 0
∣∣∣∣ = 0
C)
∣∣∣∣∣∣0 0 04 5 63 1 0
∣∣∣∣∣∣ = 0
D)
∣∣∣∣∣∣1 b 10 0 03 2 c
∣∣∣∣∣∣ = 0
Libellé de la propriété 1
Propriété 2
Analyser l’ensemble des déterminants suivants en faisant un lien entre le contenu
et la valeur du déterminant, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un libellé
pour la propriété 2.
A)
∣∣∣∣1 21 2
∣∣∣∣ = 0
B)
∣∣∣∣∣∣1 2 13 1 53 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 0
C)
∣∣∣∣∣∣1 2 12 5 61 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
D)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 45 3 1 62 8 −3 71 2 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Libellé de la propriété 2
Propriété 3
Analyser l’ensemble des déterminants suivants en faisant un lien entre le contenu
et la valeur du déterminant, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un libellé
pour la propriété 3.
A) |A| =∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣3 41 2
∣∣∣∣ = 2.
B) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =
∣∣∣∣∣∣3 1 54 5 61 2 1
∣∣∣∣∣∣ = −4.
Propriété 3
C) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =
∣∣∣∣∣∣4 5 61 2 13 1 5
∣∣∣∣∣∣ = −4.
D) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =
∣∣∣∣∣∣4 5 63 1 51 2 1
∣∣∣∣∣∣ = −4.
Libellé de la propriété 3
Propriété 4
Pour chaque paire de déterminants, identifier la différence entre les
déterminants, comparer leurs valeurs (réponses), dégager la propriété à l’œuvre,
puis rédiger un libellé pour la propriété 4.
A) |A| =∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣2 43 4
∣∣∣∣ = −4.
B) |A| =∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣−1 −23 4
∣∣∣∣ = 2.
Propriété 4
C) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 69 3 15
∣∣∣∣∣∣ = 12.
D) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 12 −1 41 1 3
∣∣∣∣∣∣ = −8 et |B| =
∣∣∣∣∣∣2 4 26 −3 121 1 3
∣∣∣∣∣∣ = −48.
Libellé de la propriété 4
Propriété 5
Pour chaque paire de déterminants, une ou plusieurs opérations ont été
effectuées sur les lignes. À partir des opérations effectuées et des valeurs
(réponses) des déterminants, dégager la propriété à l’œuvre, puis rédiger un
libellé pour la propriété 5.
A) |A| =∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣1 20 −2
∣∣∣∣ = −2,
où B a été obtenu par l’opération élémentaire L2 → L2 − 3L1 à partir de A.
Propriété 5
B) |A| =∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣ = −2 et |B| =∣∣∣∣7 103 4
∣∣∣∣ = −2,
où B a été obtenu par l’opération élémentaire L1 → L1 + 2L2 à partir de A.
C) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 63 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 4 et |B| =
∣∣∣∣∣∣1 2 14 5 6−5 −9 −7
∣∣∣∣∣∣ = 4,
où B a été obtenu par l’opération élémentaire L3 → L3 − 2L2 à partir de A.
Propriété 5
D) |A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 12 −1 41 1 3
∣∣∣∣∣∣ = −8 et |B| =
∣∣∣∣∣∣1 2 16 7 80 −1 2
∣∣∣∣∣∣ = −8,
où B a été obtenu par les opérations élémentaires L2 → L2 + 4L1 et
L3 → L3− L1 à partir de A.
Libellé de la propriété 5
Résumé
Conception du contenu
Élise DesgreniersCollège Lionel-Groulx
Julie TremblayPierre-Olivier Rathé
Révision du contenu
France CaronChristian Larouche
[email protected]@cegep-lanaudiere.qc.ca
Direction de projet
Samuel Bernard
Bruno Poellhuber
Conception graphique
Christine Blais
Production des modèles en LaTeX
Nicolas [email protected]
Vidéo mise à disposition selon les termes de la licence
Creative Commons internationale 4.0
Paternité / Pas d’utilisation commerciale / Partage dans les mêmes conditions
Les autorisations au-delà du champ de cette licence peuvent être obtenues à
Mathema-TIC.ca
Production
Samuel Bernard Bruno Poellhuber