propagation acoustique en milieu extérieur : méthodes

Propagation acoustique en milieu extérieur : méthodestemporelles

Philippe Blanc-Benon et Didier Dragna

Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’AcoustiqueUMR CNRS 5509 - École Centrale de Lyon

[email protected]

22 Octobre 2013,GdR VISIBLE,

École d’automne “Ville & Acoustique”,École Centrale de Nantes

http://acoustique.ec-lyon.fr

Ph. Blanc-Benon, D. Dragna Méthodes temporelles 1 / 54

http://acoustique.ec-lyon.fr

Contexte

Propagation en milieu extérieur

interaction avec le sol

atmosphère complexe

Bruit des transportsbruit large bande

source en mouvement

distances de propagation jusqu’à 5 km

Environnement urbain

Simulation numérique nécessaire pourprendre en compte toute la physique duproblème

Avion sur l’aéroport de Toulouse

TGV se déplaçant à une vitesse de 320 km/h


Problème considéré

Interaction avec le sol :

réflexion sur sol absorbant

diffraction dû au profil du sol et/ou auxobstacles (écrans, ...)

Atmosphère complexe :

profil de vitesse du vent

profil de température

diffusion par la turbulenceatmosphérique


Méthodes numériques possibles

Profil de Profil Réflexion Diffractiontempérature de vent sur le sol (sol, obstacle)

Méthodes géométriques

Tracé de rayons + Théorie+++ +++ +++ +++

géométrique de la diffractionMéthodes ondulatoires paraxiales

Approximations paraboliques +++ +++ +++ +++

Méthodes ondulatoires

Éléments finis de frontière (BEM) + + +++ +++Transmission Line Matrix (TLM) +++ + +++ +++Équations d’Euler linéarisées (LEE) +++ +++ +++ +++...

Méthodes

géométriques

Méthodes

ondulatoires

paraxiales

Méthodes

ondulatoires

Hypothèse haute

fréquence

Pas de rétro-

diffusion

N N3N4

Complexité

Estimation

du coût


Intérêt des méthodes temporelles

Calcul large bande

1 seule simulation =⇒ résultats sur une bande de fréquences

Prise en compte simple de sources en mouvement

effet Doppler + amplification convective

adapté pour le bruit des transports

Résultats sous forme de signaux temporels

on peut “écouter” les résultats

perception

Adaptées aux signaux impulsionnels (explosion, chocs, ...)

Inclusion des effets non-linéaires


1 Méthodes numériquesMéthodes de différentiation spatialeMéthodes d’intégration temporelleConditions aux limitesAutres méthodes...

2 Interaction avec le solRéflexion des ondes acoustiques sur le solTopographie

3 Interaction avecChamp moyenChamp turbulent

4 Quelques illustrationsDiffraction 3-D par un coin de murComparaison avec des résultats expérimentaux sur site complexeSources en mouvement

5 Conclusions

6 References






5 Conclusions

6 References


Équations d’Euler linéarisées

Équations de propagation acoustique en mileu en mouvement à l’ordre 1 en V/c0 :(Ostashev et al., JASA, 2005)

∂p

∂t+ V.∇p + ρ0c2∇.v = ρ0c2Q,

ρ0∂v

∂t+ ρ0(V.∇)v + ρ0(v.∇)V +∇p = R.

Variables acoustiques

p : pression acoustique

v : vitesse acoustique

Paramètres du milieu

ρ0 : masse volumique

V : vitesse moyenne

c0 : célérité du son

Termes source

Q : débit masse ≈ sourcemonopôlaire

R : forces extérieures ≈source dipôlaire

Obtenues après linéarisation des équations de la mécanique des fluides

Autres versions possibles : 3 équations sur (p, ρ, v), ...

Écrites sous forme conservative pour la résolution numérique :

∂U

∂t+∂E

∂x+∂F

∂y+∂G

∂z+ H = S,


Méthodes numériques pour les équations d’Euler linéarisées

Discrétisation en temps et en espace

t = n∆t t = (n + 1)∆t

méthodes de différentiation spatialedifférences finiesméthodes pseudospectraleséléments finisvolumes finis....

méthodes d’intégration temporelleRunge-KuttaAdams-Bashforth....






5 Conclusions

6 References


Méthodes différences finies (DF) : schémas standards

p p p

∆ x

l−1 l l+1

Développements de Taylor :

pl−1 = pl −∆x∂ p

∂x

∣∣∣∣l

+∆x2

2∂2 p

∂x2

∣∣∣∣∣l

− ∆x3

6∂3 p

∂x3

∣∣∣∣∣l

+ ...

pl+1 = pl +∆x∂ p

∂x

∣∣∣∣l

+∆x2

2∂2 p

∂x2

∣∣∣∣∣l

+∆x3

6∂3 p

∂x3

∣∣∣∣∣l

+ ...

=⇒ schéma standard centré sur 3 points d’ordre 2

∂ p

∂x

∣∣∣∣l

=pl+1 − pl−1

2∆x+ O(∆x2)

Schémas à ordre plus élevé en augmentant l’ordre du développement de Taylor


Méthodes différences finies (DF) : erreurs numériques

p p p

∆ x

l−1 l l+1

Formule générale pour un schéma centré sur 2N + 1 points:

∂ p

∂x

∣∣∣∣l

=1∆x

N∑

j=1

aj(pl+j − pl−j )

Onde harmonique p = exp(ikx)

∂ p

∂x

∣∣∣∣l

︸︷︷︸

ik∗p

=2i

∆x

N∑

j=1

aj sin(jk∆x)p

Nombre d’onde effectif :

k∗∆x = 2N∑

j=1

aj sin(jk∆x)

0 /4 /2 3 /40

4

4

2

3

π

π π π π

π

π

π

k∆k* ∆

— DF ordre 2 — DF ordre 6— DF ordre 4 — DF ordre 8


Méthodes différences finies (DF) : schémas optimisés

Schémas utilisés en aéroacoustique numérique

Ordre élevé

Coefficients aj optimisés pour minimiser les erreurs numériques sur une plage denombre d’onde:

Tam et Webb (JCP, 1993) optimisé pour 0 ≤ k∆x ≤ π/2

Bogey et Bailly (JCP, 2004) ordre 4 optimisé pour π/16 ≤ k∆x ≤ π/2

— DF ordre 2

— DF ordre 4

— DF ordre 6

— DF ordre 8

-•- DF ordre 4sur 11 pointsoptimisé (Bogeyet Bailly, 2004)

0 /4 /2 3 /40

4

4

2

3

π

πππ π

π

π

π

k∆

k* ∆

/16 /8 /4 /2ππππ10−8

10−6

10−4

10−2

100

k∆

|k* ∆−

k∆|/π


Méthodes pseudospectrales (PS)

Approximer la fonction à dériver par une base de fonctions bien choisis

p(x) ≈N∑

j=1

ajφj(x) avec aj obtenus à partir des valeurs de p(xi ).

La dérivée s’obtient alors par :∂p

∂x

∣∣∣∣i

=N∑

j=1

aj

∂φj (x)

∂x

∣∣∣∣i

Méthode globale : les informations à tous les points servent au calcul

Problèmes périodiques

φj(x) = exp(ijx) polynômestrigonométriques

Résolution de deux points parlongueur d’onde

Extension pour les surfaces rigides(Hornikx et al., JASA, 2010)

Problème pour les surfacesimpédantes

Problèmes non-périodiques

Polynômes de Chebyshev (entreautres)

Côut numérique plus important(Dragna et al., JCP, 2013)


Différentiation spatiale - Précision

Erreur sur la phase inférieure à 10 %(|k∆x − k∗∆x| ≤ 0.10π)

Nombre de points par longueur d’onde :

décroit quand l’ordre augmente

très important pour les schémas DF defaible ordre

Ex : f = 340 Hz, λ = 1 mdistance de propagation 100 m

ordre 2 : λ/∆x ≈ 80 =⇒ 8000 points

ordre 4 : λ/∆x ≈ 15 =⇒ 1500 points

ordre 8 : λ/∆x ≈ 7 =⇒ 700 points

ordre 4 optimisé : λ/∆x ≈ 4=⇒ 400 points 1 2 5 10 20 50 100 200 500

2

4

8

16

32

64

nombre max de λ precisλ/

∆ x

— DF ordre 2— DF ordre 4— DF ordre 6— DF ordre 8

-•- DF ordre 4 sur 11 pointsoptimisé (Bogey et Bailly, 2004)

— PS Fourier (périodique)


Différentiation spatiale - Précision

Erreur sur la phase inférieure à 5 %(|k∆x − k∗∆x| ≤ 0.05π)

Nombre de points par longueur d’onde :

augmente quand la précision demandéediminue

augmente d’autant plus vite que l’ordre duDF est faible

Ex : f = 340 Hz, λ = 1 mdistance de propagation 100 m

ordre 2 : λ/∆x ≈ 125 =⇒ 12500 points

ordre 4 : λ/∆x ≈ 20 =⇒ 2000 points

ordre 8 : λ/∆x ≈ 8 =⇒ 800 points

ordre 4 optimisé : λ/∆x ≈ 4=⇒ 400 points

1 2 5 10 20 50 100 200 5002

4

8

16

32

64

nombre max de λ precisλ/

∆ x

Propagation à longue distance :

propagation sur un nombre élevé de λ

schémas d’ordre élevé nécessaires

— DF ordre 2— DF ordre 4— DF ordre 6— DF ordre 8

-•- DF ordre 4 sur 11 pointsoptimisé (Bogey et Bailly, 2004)

— PS Fourier (périodique)






5 Conclusions

6 References


Intégration temporelle : algorithme de Runge-Kutta (RK)

Méthodes itératives pour réaliser l’intégration temporelle :∂p

∂t= F (p)

Discrétisation de u au pas ∆t : u(n∆t) = un

u0 donné

Itérations successives pour avoir un

méthode explicite

Algorithme de Runge-Kutta à p sous-étapes à stockage réduit :

u(0) = un,

u(l) = αl ∆t F(

u(l−1))

, pour 1 ≤ l ≤ p

un+1 = u(p).

Schémas standards d’ordre p

coefficients αl déterminés d’après undéveloppement de Taylor

Ordre 4 couramment utilisé

Schémas optimisés

ordre élevé

optimisation des αl dans l’espace desfréquences : précision + stabilité

Ordre 2 à 6 sous-étapes (Bogey et Bailly,JCP 2004)


Intégration temporelle - Précision

Onde harmonique :u = exp(ikx − iωt)

A deux pas de temps successifs :un+1

un= |G(ω∆t)| exp(−iω∗∆t)

Erreur numérique :

amplitude |G(ω∆t)|phase |ω∗∆t − ω∆t|

— RK ordre 4

— RK ordre 2 à6 sous-étapes(Bogey et Bailly,2004)

— RK ordre 4 à6 sous-étapes(Berland et al.,2006)

pi/8 pi/4 pi/2 pi10

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

ω ∆ t

1-|G

|

Erreur sur l’amplitude

pi/8 pi/4 pi/2 pi10

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

ω ∆ t|ω

* ∆ t -

ω ∆

t|/π

Erreur sur la phase


Intégration temporelle - Stabilité

Onde harmonique :u = exp(ikx − iωt)

A deux pas de temps successifs :un+1

un= |G(ω∆t)| exp(−iω∗∆t)

Relation de dispersion 1-D:ω = k∗c0 =⇒ ω∆t = k∗∆x CFL

avec le nombre de Courant-Friedrichs-Lewy :

CFL =c0∆t

∆x

Instabilité si |G(k∗∆x CFL)| > 1

soit si CFL > CFLmax

avec |G(k∗∆x CFLmax)| = 1

CFLmax dépend de :

la méthode d’intégration temporelle

la méthode de différentiation spatiale

0 pi/4 pi/2 3pi/4 pi 4pi/30

0.5

1

1.25

ω ∆ t

|G|

— RK ordre 4

— RK ordre 2 à 6 sous-étapes(Bogey et Bailly, 2004)

— RK ordre 4 à 6 sous-étapes(Berland et al., 2006)






5 Conclusions

6 References


Perfectly Matched Layers (PML)

Idée : à l’infini, attenuer les ondespropagatives

Changement de variable :

x → x +i

ω

∫ x

x0

σdx

σ > 0 dans la PML et nul ailleurs

Onde harmonique :x

0

σ = 0 σ>0

x

PML

p = exp(ikx − iωt) =⇒ p = exp

(

ikx − iωt − k

ω

∫ x

x0

σdx

)

Ex : équation d’advection 1-D∂p

∂t+ c0

∂p

∂x= 0 =⇒ ∂p

∂t+ c0

∂p

∂x+ σp = 0

Méthode :

très efficace

instable en présence d’écoulement


Conditions de non-rayonnement

Idée : à l’infini, ondes propagativesp ≈ F (r/vg − t)v ≈ F (r/vg − t)er

Solutions des équations :

∂p

∂t+ vg

(∂

∂r+

1r

)

p = 0,

∂v

∂t+ vg

(∂

∂r+

1r

)

v = 0.

Source

r er

r er

r er

0vg

V

Méthode :

très efficace même en présence d’écoulement

nécessite de préciser la position de la source

compliqué si plusieurs sources à des endroits différents ou source en mouvement

Nombreuses autres méthodes possibles ! voir par exemple Mesbah et al. (JCA, 2006)






5 Conclusions

6 References


Autres méthodes temporelles

Transmission Line Matrix (TLM)

méthode basée sur le principe de Huygens : les noeuds du maillage spatial vuscomme des sources(Dutilleux et Kristiansen, 2003)

profil de température

profil de vent pris en compte avec l’approximation de la célérité du son effective(Guillaume et al., App. Acous., 2014)

prise en compte de l’impédance (Guillaume et al., JSV, 2011)

Autres

Éléments finis de frontières en temps

...






5 Conclusions

6 References


Réflexion des ondes acoustiques sur le sol

Deux modélisations utilisées dans la littérature

condition limite d’impédance

θ θI

Z

R

Onde Onde

Onde

Réfléchie

Transmise

Incidente

Impédance

Approximation de la réaction locale≈ valable pour les sols naturels

propagation dans le sol

θ

θ θI R

T

Onde Onde

Onde

Réfléchie

Transmise

Incidente

Sol à support rigide(pas de mouvement de la partie solide)

Modèle de fluide équivalent

Réaction étendue


Transposition de la condition limite d’impédance

Condition limite d’impédance

Domaine fréquentiel Domaine temporel

P(ω) + Z (ω)VN(ω) = 0 =⇒ p(t) = −∫ +∞

−∞

vN(t−t ′)z(t ′)dt ′

Transposition dans le domaine temporel si le modèle d’impédanceest physiquement possible: (Rienstra, AIAA-Paper 2006-2686)

modèle causal :(condition nécessaire)Z (ω) est analytique et non-nul dans Im(ω) > 0

modèle réel : Z∗(ω) = Z (−ω)

modèle passif : Re[Z (ω)] ≥ 0


Modèle d’impédance pour le domaine temporel

Modèles d’impédances classiquement définis dans le domaine fréquentiel pour ω > 0.

→ extension au plan complexe nécessaire pour le calcul temporel.

E.g. : modèle de Delany et Bazley obtenu en fittant des résultats expérimentaux.

=⇒ peut être étendu au plan complexe de différentes façons.

Pour les coefficients proposés par Delany et Bazley, l’extension :

Z1(ω) = ρ0c0

[

1 + a∣∣∣σ0

ω

∣∣∣c+ ib

ω

|ω|

∣∣∣σ0

ω

∣∣∣d]

n’est pas une transformée causale(Miki, JASJ, 1990).

Z2(ω) = ρ0c0

[

1 + a(σ0

ω

)c+ ib

(σ0

ω

)d]

n’est pas une transformée réelle.

Autres coefficients proposés par Miki pour obtenir un modèle physiquement admissible

Modèle d’impédance à 1 paramètre pour des simulations temporelles :

Delany et Bazley

Miki


Condition limite d’impédance dans le domaine temporel

Calcul du produit de convolution p(t) = −∫ +∞

−∞

vN(t − t ′)z(t ′)dt ′

Nécessite pour des calculs longue distance beaucoup de temps de calcul et demémoire

Plusieurs méthodes proposées pour éviter le calcul direct

Forme simple de l’impédance : (Botteldooren, JASA, 95)

Z (ω) =a

−iω+ b + c(−iω) (1)

Approximation par un polynôme (Heutschi et al., Acta Acustica, 2005)

Approximation par une fraction rationnelle + Méthode de convolution récursive

proposée en propagation électromagnétique (Luebbers & Hunsberger, 1992)

introduite en propagation acoustique en conduit par Reymen et al. (AIAA Paper2006-2685)

utilisée largement en propagation extérieure(Cotté et al., AIAA J., 2009 ; Guillaume et al., JSV, 2011 ; Dragna et al., JASA, 2013)


Condition limite d’impédance dans le domaine temporel : Étape I

Approximation de Z (ω) par une fraction rationnelle(Fung & Ju, 2001; Reymen et al., 2007; Cotte et al., 2009)

Z (ω) ≈ Z∞ +N∑

k=1

Zk (ω) +T∑

l=1

Zl(ω),

avec Z∞ = Z (ω → +∞), Zk =Ak

λk − iωet Zl =

Bl + iCl

αl + iβl − iω+

Bl − iCl

αl − iβl − iω.

Réponse impulsionnelle correspondante :

z(t) = Z∞δ(t) +N∑

k=1

zk (t) +T∑

l=1

zl (t),

avec zk = Ak exp(−λk t)H(t) et zl = 2[Bl cos(βl t) + Cl sin(βl t)] exp(αl t)H(t).

Méthodes possibles pour l’approximation : (Cotté et al., AIAA J., 2009)

vector fitting (Gustavsen et Semlyen, IEEE, 1999)

...


Condition limite d’impédance dans le domaine temporel : Étape II

Méthode de convolution récursive (méthode PCRC) au temps discrétisé n∆t:(Luebbers & Hunsberger, 1992)

p(n) = −Z∞v(n)N

+N∑

k=1

Akφ(n)k

+T∑

l=1

2BlRe(ψnl ) + 2Cl Im(ψn

l ),

avec les accumulateurs φ(n)k

et ψnl:

φ(n)k

= −v(n)N

1 − exp(−λk∆t)

λk

+ φ(n−1)k

exp(−λk∆t),

ψ(n)l

= −v(n)N

1 − exp[−(αl − iβl)∆t]

αl − iβl

+ ψ(n−1)l

exp[−(αl − iβl)∆t].

Informations de la convolution portées par les accumulateurs

Seulement deux tableaux à stocker par accumulateur


Propagation dans le sol

Milieu poreux : partie fluide + partie solide

Hypothèse de sol à support rigide dans la littérature

pas de déplacement de la partie solide

modèle de fluide équivalent

Différents choix d’équation de propagation dans le sol dont :

Équations de Zwikker et Kosten :(Salomons et al., 2002,Van Renterghem et Botteldooren, 2003)

∂p

∂t+ρ0c2

0

Ω∇.v = 0,

ρ0q2

Ω

∂v

∂t+∇p + σv = 0.

Équations “simples”

Pas de produit de convolution

Équations de Wilson : (Wilson et al., 2007)

∂p

∂t+ (γ − 1)f (τe , t) ∗

∂p

∂t+ρ0c2

0

Ω∇.v = 0,

∂v

∂t+ f (τv , t) ∗

[

v +∂v

∂t

]

+Ω

ρ0q2∇p +

1τv

v = 0.

avec f (τ, t) =1√πτ t

exp(

− t

τ

)

Difficiles à mettre en oeuvre

Limitées actuellement aux cas 1-D et 2-D


Topographie

Profil du terrain H(x, y)

Changement de variable :(Heimann et Karle, JASA, 2006)

z → z + H(x, y)

∂

∂x→ ∂

∂x− ∂ H

∂x

∂

∂z

∂

∂y→ ∂

∂y− ∂ H

∂y

∂

∂z

∂

∂z→ ∂

∂zx

z

H(x, y)Sol

Généralisation du cas précédent : coordonnés curvilignes (Dragna et al., JASA, 2013)

Domaine physique Domaine numérique(x , y , z) (ξ, ζ, η)

Méthodes utilisées en aéroacoustique (Marsden et al., JCA, 2005)


Coordonnées curvilignes pour la topographie

Maillage

x

z

ξ

ξ

η

η

Sol

Domaine physique Domaine numérique

Équations d’Euler linéarisées sous forme conservative :

cas cartésien cas curviligne

∂U

∂t+∂E

∂x+∂F

∂y+∂G

∂z+ H = S =⇒ ∂U∗

∂t+∂E∗

∂ξ+∂F∗

∂ζ+∂G∗

∂η+ H∗ = S∗

E∗ =ξx E + ξy F + ξz G

J, F∗ =

ζx E + ζy F + ζz G

J, G∗ =

ηx E + ηy F + ηz G

J,

U∗ =U

J, H∗ =

H

Jet S∗ =

S

J.






5 Conclusions

6 References


Champ moyen

Effets des valeurs moyennes de T et V sur le champ acoustique

Champ moyen directement pris en compte dans les équations :

introduit avec des profils analytiques :

profils logarithmiques ou linéaires

lois de la similitude de Monin-Obukhov

introduit à partir de données de simulations numériques

solveurs des équations de la mécanique des fluides (Van Renterghem et Botteldooren,Acta Acustica, 2003)

modèles météorologiques (Aumond et al., App. Acous., 2014)

Exemple : prise en compte de profil moyen de vent sur l’efficacité d’écrans acoustiques(Van Renterghem et Botteldooren, Acta Acustica, 2003)

Sans vent Avec vent


Champ turbulent

Fluctuations :

température T (à travers c0) : scalaire

vitesse V : champ vectoriel

Turbulence synthétique

modes de Fourier

random fluctuations generation (RFG) (Frehlich et al., 2001 ; Cheinet et al., 2012)

Fluctuations de vent générées par algorithme RDG (Ehrhardt et al., 2013)


Exemple : diffusion par une structure turbulente

Onde plane harmonique

f = 100 Hz et λ = 1 m

Fluctuations detempérature au centre dudomaine

Plusieurs réalisations

Spectre de von Kármán

Calcul 2D

Thèse d’Ehrhardt (2013)

Niveau sonore de l’onde diffusée (en dB) relatif á l’ondeincidente 20 log10(|p1|/|p0|)


Exemple : diffusion par une structure turbulente

Directivité instantanéemarquée

Directivité instantanée

lisse

symétrique

Bon accord avec lathéorie

Variations de la sectionefficace avec la distance


Section efficace de diffusion

— solution numérique : 1 seule réalisation— solution numérique : 200 réalisations

- - - théorie en champ lointain

— solution numérique sur des cercles de différents rayons- - - théorie en champ lointain






5 Conclusions

6 References


Diffraction 3-D par un coin de mur

Scénario proposé par Liu et Albert (JASA, 2006)

Coin de mur en béton

Source acoustique :explosion de 280 g de C4

Effets non-linéairesnégligés.

10 microphones autourdu mur

Calcul numérique :

3-D

2-D



Diffraction 3-D par un coin de mur

Comparaison entre solution numérique et mesure

Très bon accord entre numérique 3-D et expérience

Approximation 2-D insuffisante


Formes d’onde en fonction du temps aux microphones (haut) A et (bas) J :— 3-D - - - 2-D mesures






5 Conclusions

6 References


Comparaison avec des résultats expérimentaux sur site complexe

Mesures effectuées sur un site ferroviaire à LaVeuve près de Reims en mai 2010 :

topographie,

impédances de surface,

conditions météorologiques.

Campagne réalisée avec :

l’Agence d’Essai Ferroviaire (AEF),

l’Institut Français des Sciences et Technologiesdes Transports, de l’Aménagement et desRéseaux (IFSTTAR).

Source impulsionnelle : tirs à blanc de pistolet

Microphones positionnés en :7.5 m, 25 m et 100 m

Ligne de propagation

Fossé proche de la source


Modélisation du site : topographie

Mesure de la topographie effectuée par l’AEF

Approximation du profil du sol par des splines quadratiques

0 25 50 75 100-2

-1

0

x, m

z, m

Topographie mesurée

0 25 50 75 100-2

-1

0

x, m

z, m

1

23

45

Topographie implémentée

5 types de sols :

1. ballast

2. plate-forme

3. sol herbeux

4. route

5. champ


Modélisation du site : impédances de surface

Mesure in situ avec la méthode de la fonction de transfert

SourceRécepteur

R1

R2

Sol

T = p (ω,R2)/p (ω,R1)ne dépend que de:

la géometrie,

l’impédance de surface.

102

103

-30

-20

-10

0

10

f, Hz

|T|,

dB

plate-forme

102

103

-30

-20

-10

0

10

f, Hz

|T|,

dB

sol herbeux

102

103

-30

-20

-10

0

10

f, Hz

|T|,

dB

champ

– mesure

– fit avecmodèle de Miki

Route : modélisation par un sol parfaitement réflechissant

Ballast:

mesure réalisée par l’IFSTTAR sur le site de Bouguenais

fit avec modèle d’impédance d’Hamet et Bérengier (JASA, 1997)


Modélisation du site : source


Source positionnée à 4 hauteurs :zS = 0.5 m, zS = 1 m, zS = 1.3 m, zS = 2 m

3 tirs effectués à chaque hauteur(sauf zS = 2 m)

Erreur de positionnement

Résultats pour les trois tirs pour zS = 1 m

22 24 26

0

5

10

x 10-4

t, ms

p/ρ 0c 02

Formes d’onde

2000 4000 6000 800040

50

60

70

f, Hz

Lp, d

B

Niveaux de pression


Modélisation du site : source


Source positionnée à 4 hauteurs :zS = 0.5 m, zS = 1 m, zS = 1.3 m, zS = 2 m

3 tirs effectués à chaque hauteur(sauf zS = 2 m)

Erreur de positionnement

Problème de répétabilité → comparaisonsjusqu’à 3000 Hz

Approximation des formes d’onde p(t) pourles comparaisons dans le domainetemporel

22.5 23 23.5 24

0

5

10

x 10-4

t, ms

p/ρ 0c 02

Forme d’onde de l’onde directe

2000 4000 6000 80000

1

2

3

4

f, Hz

|S(ω

)|, k

g.s-1

Force de la source

– mesure

– approximation


Modélisation du site : conditions météorologiques

Mât météorologique placé à 125 m du centre de la voie ferroviaire :

anémomètres à hélice et capteurs de températures à des hauteurs de 1 m, 3 m et10 m

anémomètre sonique à une hauteur de 10 m

capteur d’humidité à une hauteur de 3 m

Profils de V (z) et T (z) déterminés avec la théorie de la similitude de Monin-Obukhov

6 70

10

20

30

40

T0, °C

z,m

Température

0 2.5 50

10

20

30

40

V, m.s-1

z,m

Vitesse du vent

• mesures

– profils de Monin-Obukhov


Comparaison des résultats

Simulations 2-D avec :

∆ξ = ∆η = 0.01 m avec 11000 et 1500 points dans les directions ξ et η

CFL = 0.6 et 22000 itérations temporelles

temps CPU : 8 heures sur une machine vectorielle NEC SX-8

Correction 2D/3D (Parakkal et al., JASA, 2010)

Source en zs = 1 m - Récepteur en x = 7.5 m

500 1000 1500 2000 2500 3000-50

-45

-40

-35

-30

f, Hz

|p/S

(ω)|

, dB

Niveau de pression normalisé

23 26 29-5

0

5

10

15x 10

-4

t, ms

p/ρ 0c 02

Formes d’onde p(t)

— mesure— solution numérique








Source en zs = 1 m - Récepteur en x = 25 m

500 1000 1500 2000 2500 3000-70

-60

-50

-40

f, Hz

|p/S

(ω)|

, dB


74 77 80 83-2

0

2

4

x 10-4

t, ms

p/ρ 0c 02

0.5 ms










Source en zs = 1 m - Récepteur en x = 100 m

500 1000 1500 2000 2500 3000

-95

-85

-75

-65

-55

f, Hz

|p/S

(ω)|

, dB


297 300 303 306 309

-5

0

5

x 10-5

t, ms

p/ρ 0c 02

7 ms








5 Conclusions

6 References


Rayonnement d’une source monopôlaire au-dessus d’un sol impédant

Solutions analytiques :

expression asymptotique pour le cas le plus simple d’une source à vitesseconstante et à hauteur constante (Norum et Liu, JASA, 1977)

solution heuristique dans le cas général (Attenborough et al., 2007)

hypothèse d’une impédance de surface indépendante de la fréquence, commeremarqué par Ochmann (JASA, 2013)

xy

z

R

R

R

O

1

2

3

V0

Source

ZS

Résolution dans le domaine temporeladapté pour les sources en mouvement :

source large-bande

formulation large-bande pourl’impédance de surface


Exemple d’une source en mouvement à vitesse constante

Vitesse constante V0 = 50 m.s-1 et à hauteur constante z = 2 m

Sol plan impédant

Domaine numérique [-100 m ; 100 m] × [-5 m ; 30 m] × [0 m ; 7 m] avec un pas spatial∆ = 0.1 m

Source large bande S(x, t) = Q(x − V0t)s(t) with M = 0.15

Q(x) distribution spatiale gaussienne avec une demi-largeur B = ∆ = 0.1 m

s(t) évolution temporelle obtenue en filtrant un bruit blanc

10 réalisations

xy

z

R

R

R

O

1

2

3

V0

Source

ZS

Spectre de la source

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f , Hz

Spp(f)


Sol parfaitement réfléchissant - solution numérique

Sol parfaitement réfléchissant

Densité spectrale de puissance (DSP) de la pression,dB/Hz aux deux récepteurs

R1 - x = 0 m, y = 4.9 m et z = 3 m

Time, s

Fre

quen

cy, H

z

dB/Hz

-1 0 1

200

400

600

50

70

90

R2 - x = 0 m, y = 24.9 m et z = 3.5 m

Time, s

Fre

quen

cy, H

z

dB/Hz

-1 0 1

200

400

600

50

70

90

Effet Doppler

Interférences destructives lorsque Re,2 − Re,1 = (1/2 + n)λ pour n entier positif

Re,1 distance entre la source et le récepteur au temps d’émission

Re,2 distance entre la source image et le récepteur au temps d’émission


Sol parfaitement réfléchissant - solution analytique


DSP de la pression, dB/Hz aux deux récepteurs

R1 - x = 0 m, y = 4.9 m et z = 3 m

Time, s

Fre

quen

cy a

t the

obs

erve

r, H

z

dB/Hz

-1 0 1

200

400

600

50

70

90

R2 - x = 0 m, y = 24.9 m et z = 3.5 m

Time, s

Fre

quen

cy a

t the

obs

erve

r, H

z

dB/Hz

-1 0 1

200

400

600

50

70

90

Solution analytique: source + source image

Très bon accord avec la solution numérique


Sol parfaitement réfléchissant - solution analytique


Comparaison des niveaux de pression instantanés (SPL)

−1 0 1

85

95

105

Time, s

Sou

nd p

ress

ure

leve

l, dB

SPL(x, t) =∫ +∞

0DSP(x, f , t)df

solution analytique:— at R1— at R2

solution numérique:• at R1 at R2

Solution analytique: source + source image

Très bon accord avec la solution numérique


Sol herbeux - solution numérique

Sol herbeuxModèle d’impédance de Miki: σ0 = 100 kPa.s.m-2 et d = ∞

DSP de la pression, dB/Hz aux deux récepteurs

R1 - x = 0 m, y = 4.9 m et z = 3 m

Time, s

Fre

quen

cy, H

z

dB/Hz

-1 0 1

200

400

600

50

70

90

R3 - x = 0 m, y = 24.9 m et z = 0.5 m

Time, sF

requ

ency

, Hz

dB/Hz

-1 0 1

200

400

600

30

50

70

Interférences destructives ne sont plus visibles

DSP plus faible que dans le cas parfaitement réflechissant lorsque la source est loin durécepteur






5 Conclusions

6 References


Conclusions

Méthodes temporelles bien adaptées pour l’étude de la propagation acoustique :

calcul large bande

signaux impulsionnels

source en mouvement

Équations d’Euler linéarisées

possible de prendre en compte la plupart des phénomènes physiques

couplage avec d’autres méthodes pour réduire le temps de calcul

=⇒ équations paraboliques pour le calcul longue distance

Extension possible vers le non-linéaire


Perspectives

Ressources informatiques :

calcul sur processeur graphique (GPU)=⇒ étude paramétrique 2-D pour les applications en ingénierie

configuration 3-D : augmenter la bande passante et la distance de propagation

Physique :

propagation dans le sol reste simple ou trop coûteux=⇒ améliorer la résolution des équations dans le sol

turbulence / couplage avec des modèles LES

Applications possibles :

retournement temporel en environnement urbain

scénarios réalistes en bruit des transports






5 Conclusions

6 References


Références : méthodes numériques (I)

Schémas différences finies :

Lele, S. K., (1992). “Compact finite difference schemes with spectral-like resolution”, J.Comput. Phys. 103, 16–42.

Tam, C. K. W. et Webb, J. C., (1993). “Dispersion-relation preserving finite difference schemesfor computational acoustics”, J. Comput. Phys. 107, 262–281.

Bogey, C. et Bailly, C., (2004). “A family of low dispersive and low dissipative explicit schemesfor noise computation”, J. Comp. Phys. 194, 194-214.

Méthodes pseudospectrales :

Boyd, J. P., (2001). Chebyshev and Fourier spectral methods, Dover Publications.

Trefethen, L. N., (2000). Spectral methods in MATLAB, Society for Industrial and AppliedMathematics.

Hornikx, M., Waxler, R. et Forssén J., (2010). “The extended Fourier pseudospectraltime-domain method for atmospheric sound propagation”, J. Acoust. Soc. Am. 128(4),1632–1646.

Dragna, D., Bogey, C., Hornikx, M. et Blanc-Benon, P., (2013), “Analysis of the dissipation anddispersion properties of the multi-domain Chebyshev pseudospectral method”, J. Comp.Phys. 255, 31-47.

Intégration temporelle :

Bogey, C. et Bailly, C., (2004). “A family of low dispersive and low dissipative explicit schemesfor noise computation”, J. Comp. Phys. 194, 194–214.

Berland, J., Bogey, C. et Bailly, C., (2006). “Low-dissipation and low-dispersion fourth-orderRunge-Kutta algorithm”, Computer & Fluids 35(10), 1459–1463.


Références : méthodes numériques (II)

Transmission Line Matrix :

Dutilleux, G. et Kristiansen, U. R., (2004). “Implementation of a boundary with diffusereflection in TLM”, Proceedings of the 10th International Congress on Sound and Vibration,Stockholm, Sweden, 3655–3662.

Guillaume, G., Picaut, J., Dutilleux, G. et Gauvreau, B., (2011). “Time-domain impedanceformulation for transmission line matrix modelling of outdoor sound propagation”, J. Sound.Vib. 330, 6467-6481.

Guillaume, G., Aumond, P., Gauvreau, B. et Dutilleux, G., (2014). “Application of thetransmission line matrix method for outdoor sound propagation modelling – Part 1: Modelpresentation and evaluation”, Appl. Acoust. 76(2), 113–118.

Conditions aux limites :

Bérenger J. P., (1994), “A perfectly matched layer for the absorption of electromagneticwaves”, J. Comp. Phys. 114, 185–200.

Tam, C. K. W. et Dong Z., (1996), “Radiation and outflow boundary conditions for directcomputation of acoustic and flow disturbances in a nonuniform mean flow.”, J. Comput.Acoust. 4, 175–201.

Bogey, C. et Bailly, C., (2002), “Three-dimensional non-reflective boundary conditions foracoustic simulations: far field formulation and validation test cases”, Acta Acustica united withAcustica 88(4), 463–471.

Mesbah, M., Meyers, J. et Baelmans, M., (2008). “Acoustic performance of nonreflectingboundary conditions for a range of incident angles”, J. Comp. Acoust. 16, 11–29.


Références : interaction avec le sol (I)

Condition limite d’impédance dans le domaine temporel :

Botteldooren, D., (1995). “Finite-difference time-domain simulation of low-frequency roomacoustic problems”, J. Acoust. Soc. Am. 98(6), 3302–3308.

Heutschi, K., Horvath M. et Hofmann, J., (2005). “Simulation of ground impedance in finitedifference time domain calculations of outdoor sound propagation”, Acta Acustica united withAcustica, 91, 35–40.

Ostashev, V. E., Collier, S. L., Wilson, D. K., Aldridge, D. F., Symons, N. P. et Marlin, D. H.(2007). “Padé approximation in time-domain boundary conditions of porous surfaces”, J.Acoust. Soc. Am. 122(1), 107–112.

Luebbers, R. J. et Hunsberger, F., (1992). “FDTD for Nth-order dispersive media”, IEEE Trans.Antennas Propag. 40, 1297–1301.

Reymen, Y., Baelmans, M. et Desmet, W., (2006). “Time-Domain Impedance Formulationbased on Recursive Convolution”, Proceedings of the 12th AIAA/CEAS AeroacousticsConference, Cambridge, MA, USA, AIAA Paper 2006-2685.

Cotté, B., Blanc-Benon, P., Bogey, C. et Poisson, F., (2009). “Time-domain impedanceboundary conditions for simulations of outdoor sound propagation”, AIAA J. 47, 2391–2403.

Cotté, B. et Blanc-Benon, P., (2009). “Time-domain simulations of sound propagation in astratified atmosphere over an impedance ground”, J. Acoust. Soc. Am. 125(5), EL 202–207.


Références : interaction avec le sol (II)

Modèles d’impédance de surface :

Miki, Y., (1990). “Acoustical properties of porous materials - Modifications of Delany-Bazleymodels”, J. Acoust. Soc. Jpn. 11(1), 19–24.

Bérengier, M., Stinson, M. R., Daigle, G. A. et Hamet, J. F., (1997). "Porous road pavement:Acoustical characterization and propagation effects“, J. Acoust. Soc. Am. 101, 155–162.

Équations de propagation dans le sol :

Salomons, E., Blumrich, R. et Heimann, D., (2002) “Eulerian time-domain model for soundpropagation over a finite-impedance ground surface. Comparison with frequency-domainmodels”, Acta Acustica united with Acustica 88, 483–492.

Van Renterghem, T. et Botteldooren, D. (2003). “Numerical simulation of the effect of trees ondownwind noise barrier performance”, Acta Acustica united with Acustica 89, 764–778.

Wilson, D. K., Ostashev, V. E., Collier, S. L., Symons, N. P., Aldridge, D. F. et Marlin, D. H.,(2007). “Time-domain calculations of sound interactions with outdoor ground surfaces”, Appl.Acoust. 68(2), 173–200.

Topographie :

Heimann, D. et Karle, R., (2006). “A linearized Euler finite-difference time-domain soundpropagation model with terrain-following coordinates”, J. Acoust. Soc. Am. 119(6),3813–3821.

Dragna, D., Blanc-Benon, P. et Poisson, F., (2013). “Time-domain solver in curvilinearcoordinates for outdoor sound propagation over complex terrain”, J. Acoust. Soc. Am. 133(6),3751-3763.


Références : interaction avec une atmosphère complexe

Champ moyen :

Salomons, E., Blumrich, R. et Heimann, D., (2002) “Eulerian time-domain model for soundpropagation over a finite-impedance ground surface. Comparison with frequency-domainmodels”, Acta Acustica united with Acustica 88, 483–492.

Van Renterghem, T. et Botteldooren, D., (2003). “Numerical simulation of the effect of trees ondownwind noise barrier performance”, Acta Acustica united with Acustica 89, 764–778.

Ostashev, V. E., Wilson, D. K., Liu, L., Aldridge, D. F., Symons, N. P. et Marlin, D., (2005).“Equations for finite-difference, time’domain simulation of sound propagation in movinginhomogeneous media and numerical implementation”, J. Acoust. Soc. Am. 117(2), 503–517.

Dragna, D., Cotté, B., Blanc-Benon, P. et Poisson, F., (2011). “Time-domain simulations ofoutdoor sound propagation with suitable impedance boundary conditions”, AIAA J. 49,1420–1428.

Aumond, P., Guillaume, G., Gauvreau, B., Lac, C., Masson, V. et Bérengier, M., (2014)“Application of the Transmission Line Matrix method for outdoor sound propagation modelling– Part 2: Experimental validation using meteorological data derived from the meso-scalemodel Meso-NH”, Appl. Acoust. 76(2), 107–112.

Champ turbulent :

Frehlich, R., Cornman, L. et Sharman, R., (2001). “Simulation of three-dimensional turbulentvelocity fields”, J. Appl. Meteorol. 40, 246–258.

Cheinet, S., Ehrhardt, L., Juvé, D. et Blanc-Benon, P., (2012), “Unified modeling of turbulenceeffects on sound propagation”, J. Acoust. Soc. Am. 132(4), 2198-2209.

Ehrhardt, L., Cheinet, S., Juvé, D. et Blanc-Benon, P., (2013), “Evaluating a linearized Eulerequations model for strong turbulence effects on sound propagation”, J. Acoust. Soc. Am.133(4), 1922-1933.


Références : applications

Diffraction par un coin de mur :

Liu, L. et Albert, D. G., (2006). “Acoustic pulse propagation near a right-angle wall”, J. Acoust.Soc. Am. 119(4), 2073–2083.

Ehrhardt, L., (2013). Modélisation en domaine temporel de la propagation acoustique, thèsede doctorat École Centrale de Lyon 2013-04.

Comparaison avec des mesures:

Parakkal, S., Gilbert, K. E., Di, X. et Bass, H. E., (2010). “A generalized polar coordinatemethod for sound propagation over large-scale irregular terrain”, J. Acoust. Soc. Am. 128(5),2573–2580.

Dragna, D., Blanc-Benon, P. et Poisson, F., “Impulse propagation over a complex site: Acomparison of experimental results and numerical predictions,”, en cours de révision, J.Acoust. Soc. Am..

Sources en mouvement :

Ochmann, M., (2013). “Exact solutions for sound radiation from a moving monopole above animpedance plane”, J. Acoust. Soc. Am., 133(4), 1911–1921.

Dragna, D., Blanc-Benon, P. et Poisson, F., “The modeling of broadband moving sources fortime-domain simulations of outdoor sound propagation”, Proceedings of the 18th AIAA/CEASAeroacoustics Conference, Colorado Springs, CO, USA, AIAA Paper 2012-2109, en cours derévision, AIAA J.


propagation acoustique en milieu extérieur : méthodes

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