programme elements finis pour les poutres en flexion

41
PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION Afin de démystifier définitivement la méthode des éléments finis, vous allez mettre en place, toujours sur un exemple unidimensionnel mais de flexion de poutre, les fonctions de formes spécifiques à la flexion, la formulation matricielle du problème associé et la programmation d’un programme Matlab. Ce travail donnera lieu à une restitution individuelle ou par binôme. Consigne importante : Au-delà du fichier Matlab qui me sera envoyé électroniquement ([email protected] ), un compte rendu apportera les réponses aux questions ci- dessous et montrera les résultats obtenus par votre programme éléments finis. Pour faciliter l’archivage du correcteur, le fichier Matlab portera le nom du ou des apprentis (exemple : MarquoinLecoq.m) et le compte rendu sera envoyé sous le format pdf nommé de la même manière (exemple : MarquoinLecoq.pdf) Poutre en béton en flexion : la poutre sur deux appuis aux extrémités est chargée par deux vérins verticaux. Entre les deux vérins, la flexion est pure (M f = constante) Rappels de flexion et mise en place du PTV Avant la partie questionnement proprement dite, un préambule vous rappelle quelques éléments de cours sur les poutres droites en flexion. L’hypothèse de Bernoulli qui stipule que les sections droites restent droites et perpendiculaires à la ligne moyenne implique que la rotation d’une section droite d’abscisse x est égale à (x) la rotation de la tangente à la déformée. Or, dans le cas de petits déplacements, celle-ci vaut : () () dv x x dx v(x) est le déplacement vertical de la ligne moyenne à l’abscisse x. x v(x) (x) Par ailleurs, les relations d’équilibre d’un tronçon de poutre soumis à de la flexion s’écrivent : MINI PROJET Mécanique des Solides Déformables Luc CHEVALIER Filière Génie Mécanique

Upload: others

Post on 18-Jun-2022

23 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

Afin de démystifier définitivement la méthode des éléments finis, vous allez mettre en place,

toujours sur un exemple unidimensionnel mais de flexion de poutre, les fonctions de formes

spécifiques à la flexion, la formulation matricielle du problème associé et la programmation

d’un programme Matlab. Ce travail donnera lieu à une restitution individuelle ou par binôme.

Consigne importante : Au-delà du fichier Matlab qui me sera envoyé électroniquement

([email protected]), un compte rendu apportera les réponses aux questions ci-

dessous et montrera les résultats obtenus par votre programme éléments finis. Pour faciliter

l’archivage du correcteur, le fichier Matlab portera le nom du ou des apprentis (exemple :

MarquoinLecoq.m) et le compte rendu sera envoyé sous le format pdf nommé de la même

manière (exemple : MarquoinLecoq.pdf)

Poutre en béton en flexion : la poutre sur deux appuis aux extrémités est chargée par deux

vérins verticaux. Entre les deux vérins, la flexion est pure (Mf = constante)

Rappels de flexion et mise en place du PTV

Avant la partie questionnement proprement dite, un préambule vous rappelle quelques

éléments de cours sur les poutres droites en flexion. L’hypothèse de Bernoulli qui stipule que

les sections droites restent droites et perpendiculaires à la ligne moyenne implique que la

rotation d’une section droite d’abscisse x est égale à (x) la rotation de la tangente à la

déformée. Or, dans le cas de petits déplacements, celle-ci vaut :

( )( )

dv xx

dx ! où v(x) est le

déplacement vertical de la

ligne moyenne à l’abscisse x.x

v(x)

(x)

Par ailleurs, les relations d’équilibre d’un tronçon de poutre soumis à de la flexion s’écrivent :

MINI PROJET

Mécanique des Solides Déformables

Luc CHEVALIER

Filière Génie Mécanique

Page 2: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

2

2

( )( ) 0

( )( ) 0

( )( ) 0

f

f

dM xT x

d M xdx q xdxdT x

q xdx

"# ! $$% & !'

$# !$(

où T(x) l’effort tranchant et Mf(x) le moment fléchissant dans la poutre. q(x) est la charge

linéique extérieure répartie. Cette action est complétée par les forces extérieures Fi, les

moments (ou couples) Ci qui s’exercent ponctuellement aux abscisses xi. Ces actions

extérieures sont évidemment en équilibre, ce qui implique :

0 = )i

Fi + *+0

L

q(x) dx et 0 = )i

Ci +)i

xiFi + *+0

L

xq(x) dx

L la longueur de la poutre. Enfin, pour compléter le lot d’équations ci-dessus, la loi de

comportement élastique d’une poutre en flexion, dans le cadre de l’hypothèse de Bernoulli,

s’écrit :

2

2

( )( ) fM xd v x

dx EI!

Notons aussi que E est le module d’élasticité, I est le moment quadratique de la section de la

poutre. Ici on étudie le comportement d’une poutre en béton de caractéristiques :

E = 20000 MPa, , = 2400 kg/m3, L = 2 m ; I = bh

3/12 avec b = h = 20 cm

Question 1 : En vous inspirant de la démarche vue en cours sur le cas de la traction, montrer

que le principe des travaux virtuels (PTV) appliqué à une poutre en flexion s’écrit :

*-+

0

L

EId2v

dx2.d2v*

dx2 dx = )i

Fi vi*+ Ci i

* + *+0

L

q(x) v*(x) dx

où le terme de gauche correspond au travail virtuel des sollicitations internes (ou énergie de

déformation) et le terme de gauche est le travail virtuel des efforts extérieurs.

Mise en forme matricielle et programmation de la matrice de raideur

Pour la mise sous forme matricielle, la démarche est identique au cas de la traction traité en

cours mais avec des fonctions de forme plus complexes. En effet, le déplacement est

représenté par la fonction v(x) mais la rotation de la section par la fonction (x). Pour un

élément de longueur l, on dispose donc de 4 conditions au niveau des nœuds (1) et (2) :

v(0) = v1 et v(l) = v2

dv

dx(0) = 1 et

dv

dx(l) = 2

T1

T2charge linéique : p

(1) (2)v 1

v 2

2

1

Dans ces conditions la fonction déplacement v(x) doit s'écrire à partir de 4 constantes :

Page 3: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

v(x) = a x3 + b x2 + c x + d

Question 2 : Développer les 4 conditions et déterminer les constantes a, b, c et d en fonction

.v1, v2, 1 et 2.

Question 3 : Montrer qu’on peut écrire le déplacement v(x) sous la forme matricielle

suivante :

v(x) = [/(x)][Uloc] avec : [Uloc] =

0112

3445

v1

1

v2

2

On précisera les 4 fonctions de la matrice [N(x)].

Question 4 : Déterminer, par dérivation, la matrice [6(x)] qui permet le calcul de :

d2v(x)

dx2 = [7(x)][Uloc]

Question 5 : Par intégration sur l’élément de longueur l, développer l'expression du travail

virtuel des sollicitations internes sous la forme :

*-+

0

l

EId2v

dx2.d2v*

dx2 dx = T[Uloc][Kloc][U*loc]

Vérifier que l’expression de la matrice de raideur locale [Kloc] est bien :

[Kloc] = EI

l3

0112

3445

12 6 l -12 6 l

6 l 4 l2

-6 l 2 l2

-12 -6 l 12 -6 l

6 l 2 l2

-6 l 4 l2

Question 6 : La poutre de longueur L est découpée en éléments de longueur égale à l. Ce

découpage introduit N nœuds. Après avoir précisé sa taille, expliquer le principe de

l’assemblage de la matrice de raideur globale [Kglob]. Programmer cet assemblage sous

Matlab.

Mise en forme matricielle et programmation de la colonne des « forces »

Concernant le travail virtuel des efforts extérieurs, il convient de distinguer le cas des charges

Fi concentrées aux nœuds (i), le cas des couples Ci concentrés aux nœuds (i) et le cas des

charges réparties q(x) le long du tronçon de poutre. Le travail virtuel des efforts extérieurs se

met sous la forme : T[F].[U*] où [F] est la colonne des forces nodales. Dans les deux premiers

cas : )i

(Fi vi*+ Ci *

i), on remplit directement la colonne [F] en indiquant la valeur de la

force Fi ou du couple Ci à la position correspondant au degré de liberté vi ou i.

Page 4: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

Dans la suite on considérera que la charge répartie correspond au poids propre de la poutre :

elle est verticale descendante, constante et vaut : q(x) = -p = -,gS. Pour un élément, le travail

virtuel des efforts extérieurs s'écrit donc :

- *+0

l

p v*(x) dx = T[Floc].[U*loc]

Question 7 : Calculer les termes de la colonne locale [Floc] des forces nodales et montrer

qu’elle se met sous la forme :

[Floc] =

011112

344445-

pl

2

-pl2

12

-pl

2

pl2

12

Question 8 : Expliquer le principe de l’assembler la colonne des forces globale [Fglob]

appliquée à votre cas d’étude (voir répartition des études en annexe). Programmer cet

assemblage sous Matlab.

Résolution du système et affichage des résultats

Question 9 : Afin de résoudre le système [Kglob][U] = [Fglob], exploiter les conditions limites

en réduisant la taille du problème. On précisera cette nouvelle taille et on programmera cette

résolution Matlab.

Question 10 : Tracer le déplacement v(x) et de la rotation (x).

Question 11 : Afin de valider votre programmation, comparer vos résultats avec la solution

analytique du système d’équations rappelé en préambule ou avec un autre outil numérique à

votre disposition tel que le module « flexion » de RDM6 disponible dans la salle informatique

1B065-69.

On a rappelé en préambule que le moment fléchissant est lié à v(x) par la relation :

2

2

( )( ) fM xd v x

dx EI!

Question 12 : Expliquer comment exploiter les résultats du calcul éléments finis pour

calculer le moment fléchissant. Programmer et tracer Mf(x) ainsi que les contraintes

maximales.

On rappelle que dans une poutre en flexion, les contraintes sont variables dans la hauteur et

maximales (en valeur absolue) sur les surfaces supérieure et inférieure en y = ±h/2. Dans ces

conditions, on a, dans chaque section la contrainte maxi qui vaut :

( )( ) .

2

f

ext

M x hx

I8 ! 9

Page 5: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

Nom & Prénom Cas de Charge

p=,gS et F=2,gSL.ALEX Arnaud

pF FL/4 L/4

AUDOUX Clément

pF

BELOT Guillaume pFL/3

BERTELLI Johanne

pF FL/3 L/3

BOUBARRI Aurélien

pF L/4

BOUCHARD Michaël

pF FL/3 L/3

CHANTALAT Romain

pF

DE GOURCY Nicolas

pFL/4

DE SA MARQUES OLIVEIRA

Alexandre pF

DEMAY Aurélie

pF

DENIS Yoann p

FL/3

Page 6: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

Nom & Prénom Cas de Charge

p=,gS et F=2,gSL.DUBOIS Jérémy

pF L/4

EKBERIAN Gabriel

pF

FOUCOIN Alexandre

pF FL/4 L/4

GASPAR David

pF L/3

GOIX Pierre p F

LABALETTE Pierre-Henri

pF L/3

LAMBERTI Alain

pFL/4

LE COQ Rémy p

FL/4

LEMAL Grégory

pF L/4

LE VERGER Jérôme pFL/3

LOISEAU Antoine

pF FL/3 L/3

Page 7: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

Nom & Prénom Cas de Charge

p=,gS et F=2,gSL.MARQUOIN Thomas

pFL/3

MURGAT Roman

pF L/3

NILSSON Jessica pL/3

NORONHA Anderson

pF

OBJOIS Laurent

pF

REBOUCO Alexandre

pF L/3

ROBARD Gilles

pF FL/4 L/4

RODRIGUES David p

FL/3

ROLLAND Steve

pF L/3

SAINT MARTIN Amaury

pF L/4

SAVIN Kévin

pF FL/4 L/4

Page 8: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

Nom & Prénom Cas de Charge

p=,gS et F=2,gSL.TOMASINI Jimmy

pF FL/3 L/3

TRINH - DO Do Thu Khoa

pF FL/4 L/4

USMATI Lucas pFL/3

VATELOT Charles p

F FL/3 L/3

Page 9: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION
Page 10: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

� � ������������������

���������������������������� � ����������������������� � ������ � ������������������������ � � � � � � � ���������� �����

�����������

��� �������������������������� �����

����� ����������������������������������������������

Page 11: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ��"�#�� �$"�%"�����

����������������������������������������

�&� ��'���()�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�#���&� ��**���+��(��,�-�����)���-�*�����+.�*�/�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�#��

!"!� #����� ����������� $ ���$��������%�����������������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�&��#&� �)�� �-� (����� ���������� ��� *����������-� +�� ��� ������� +����+�.��&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�%��

&!"!� '�$���������������(������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�(��

&! !� ��������������� ������������������� ����������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�)��

&!&!� '������� ��������� �� ������*+,�-.�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�/��

&!(!� '�$���������������0���������������� $ ���!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�/��

&!)!� ����� ���������0 ������ ������� �� ���������� ���������� ���!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�1��

&!)!"!� �������������0 ������ ������� �� ������*2����.�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"4�&!)! !� ����� ����� �� ������0 ������ ������*2����.�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"4�

�%&� �)���-�(���������������&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&�����

(!"!� 5 �������������������� ������������ �������������������� ����!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!""��

(! !� �������������0 ������ ������$�������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ��

(! !"!� 5 �� $��������6 ������� �����3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"&�(! ! !� 5 �� $���� ������������������ ������� ���7���������������6��3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"&�

�0&� ��)��.��-�+.�)1)���������((�2����+�)���).����)�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&��%��

)!"!� ������ ������������������������������������� ���� �� �������������8���!!!!!!!!!!!!!"(��

)!"!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"(�)!"! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"(�)!"!&!� ���6��������� ���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"(�)!"!(!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�")�)!"!)!� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�")�

)! !� � ���������� �������������� ���� �����!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"/��

)! !"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"<�)! ! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"=�

)!&!� >������ �������������� �� $����'�/�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"1��

)!&!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�"1�)!&! !� �������9�5�;�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� "�

)!(!� 5 �������������������6��� ���!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ��

)!(!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� &�)!(! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� )�

)!)!� 5��� � �����������������6�����!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! <��

)!)!"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� <�)!)! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� <�

�$&� ��-��.)�-�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&��3��3&� �--�,�)�4�&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&��5��

<!"!� ��������������� ����� �� ��!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =��

<! !� ������������ ������������$ ����������7���������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =��

<! !"!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� =�<! ! !� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!� 1�<! !&!� �������9#�:���3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�&"�<! !(!� �������9�5�;�3�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!�& �

Page 12: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� #�"�#�� �$"�%"�����

���� �����

#����������?����������������$������� ����6����������������������@��������$���������������� ���� ��������������A��@��������������������������������� �����������������������@��������������� ��� ������� ������������ %� � � �������@� � � ������ ����� � ���������� ��� �����8��� ������� ��� � � ����� �� ����� �0��� ����� ���� � �� �!� 5�� �� $ ��� ������ � ����� %� ��������������������$������������ �����B��!�

� �������������������������������� ���������

� ������������ !"��#�$�%&�$�#�%!�"�'�%�!���%�#!�!��(�!&����

����� ������ ��������@� ����� ��$���� �������� ���� ��� ��������� ���� �� $ ��� $�������� ,�>-� ��������%������������������������0������3��

2 2

2 2

0 0

*. * ( ) *( )

L L

i i i i

i

d v d vEI dx Fv C q x x x dx

dx dxϕ= + +�� � �

������� ��������������� ����@�������������� �������������������������� ��������A���3��

( )( ) 0

fdM xT x

dx+ = � �

( )( ) 0

dT xq x

dx+ = �

������ $������������������3��

2

2

( ). * . * * 0

f

i i i i

i

d M xq v F v C

dxϕ

� �� − + + =� �� ��

� �

������� $���� ����� �0 ����� ��� ��� ���� ����� ���� ������ ����@� ����� $���� �� ����� ���������� ������ ��� ���������0������ ���3��

2 2

2 2

0 0 00

* *. * * . . .

LL L L

f f fd M d M dMdv dxv qv dx

dx dx dx dx dx

�� − = −�

� � �� � � �

������ $��������������� ������������� ������ ��� ���������0������ ����!��

2 2

2 2

00

* *. .

L Lf

f

dM d v d vM dx

dx dx dx

�� −�

� �� �

�5����������������������������� ��3��

22 2

2 2 2

0 00 0

* * *. . *. * * 0

LL L Lf f

f i i i i

i

dM d Md v d v dvM dx qv dx Fv C

dx dx dx dx dxϕ

� �− + + − + + =� �

� � � � ��� � �

2

2

( )( ) 0

fd M xq x

dx� − = �

� ��� ����� ��� �����

Page 13: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� %�"�#�� �$"�%"�����

5��������6�������� ������0����� �� � �����%������������@������������������������������9����4�,����������� �������������� �������-@� �������������������������������������@����?� �����������������6��� �������������!������ ���$��� �������� ��������� ��������A��@����� ����������������������������������6��� ���� ������������ ����������������� ����������������������������������������!�

) ����� ��� ����������� ������ ��� ���*������������� ���

����� �������������

������ ������������������� �����@�� ���� ��6���������������� ��� ������ ��� �������� ���� ��� ������ � ��� $��� ���� ���������� ��� ������ ����� ���������!� �� �����@� ������� ������� ���� ����������� � �� � � ��������� $,�-� � ��� � � ��� ����� ��� � � �������� � �� � ��������������!������������������������������@��������������������(������������ ����$� �������7����,"-����, -�3�

���$,4-C$"������$,�-C$ �

"4 ϕ=����

������ ϕ=���

��

���

���' ������������������� �������������� ������������������0�������%�� ��������(������ �����3��

����������� ������������

) �+$!����!,!��� !"�-���� �����"�

��������������@������ $��������$��� ���������������3��

� �����

�����++= & �

�� 6�!�� ����!�7�4������3��

�����C��������������

"ϕ=��

�������������

9�����������������������������������������!�������3��

ϕ=��

������������������� �������

��

&" −−=

ϕϕ�

�����������������$���� $���������� �����%���������������@����������� $��������� !�������������������@����� ���� ����� ���� ��������3���������������� ���C���������������

Page 14: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� 0�"�#�� �$"�%"�����

�������� ��������� ��� �$ ���������$��� ���������3��

�� ""

&" & ������

��� −−=×�

���

� −−+ ϕ

ϕϕ�

�� ""

&" && ���

���� −−=

��

��

� −−+ ϕ

ϕϕ�

��

""

& && ����

��

ϕϕ+−−=

��

��

� −�

��

""

& ����

� ϕϕ +−−=− �

���

����

" " &

ϕϕ ++

−= �

������ $�����������@��������������$���������������0��� ����� � ������������ ����

��� �� ��������������8��!��

�� " "& "

&&

ϕϕϕϕ

−=+× �

���

++

− ���

��

��

�����

���

����

" "& ϕϕ +−

−−= �

���7�%��� 7!� !�7�7� !���� !� � !�6�8� ��7&�

)� ��#��%#!� %� +����!,!���"�%"�(�#,!�,��#���!��!�

#�����0�������������� ������������������ �������� �������������$ ����3��

[ ][ ]������������ = � $���3� [ ]

����

=

"

"

ϕ

ϕ

� ��� �

�������� @������ $������������ ����������3��

����������� ������������

5������������������������0��������������� D ������������ ���������$�����������������3��

"" " "& " " &

&����

���

�����

���

�������� ++

���

++

−−+

���

++

−= ϕ

ϕϕϕϕ�

��

��

��

�−+

��

��

�+−+

��

��

�+

−+�

���

�+−=

��

��

��

��

��

��

��

��

��

���

������

&

&

&

&

&&

&

"

& "

& " ϕϕ �

#�������� ������������� �������������� ������ �����@������ $�����������

�=γ !�

�������������������� γγϕγγγϕγγγγ −++−+−+−+= &&&& " & & "" �

������

�� 9� �� 6�

Page 15: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� $�"�#�� �$"�%"�����

E������ �������������������������������������������� ������@���� �������3��

[ ] 3 3 3 3 2

1

1( ) 1 3 ² 2 ( 2 ² ) 3 ² 2 ( )

2

2

v

v x l lv

ϕγ γ γ γ γ γ γ γ γ

ϕ

�� � �= − + − + − −� � � � � �

�����������$����������0����������� [ ] [ ]( ) ( ) . locv x N x U= �

)) �+�!#,�������� !����,��#��!�.�/&01�

#������������������ [ ] [ ]² ( )

( ) .²

loc

d v xx U

dxψ= @������ $��������$�!�5������������3�

���

�−+�

���

�−+�

���

�+−+�

���

�−==

���

���

��

���

��

���

��

���

������

���

������ (/

/"

/"

/" "

&&&ϕϕ �

����� $�������A������0�� �����

�=γ !�

5�����������������3��

[ ] ( ) �

���

+−+−−−= ��

�����

���

����� γγγγψ &"

"

/ &

"

/�

�'���������������������� ��3��

( )

����

���

+−+−−−=

"

"

&"

" /

&

" /

ϕ

ϕγγγγ

�����

���

�������

�������

�����������$����������0����������� [ ] [ ]² ( )

( ) .²

loc

d v xx U

dxψ= !�

)- �+$!����!,!��� !��2!&�#!""���� %��#�$����

#���������$�������� �0�������������� �� $ ��� $������������������� ������ ��������@������ $������������������0����������3��

[ ] [ ] [ ] [ ]0

² ² *. . ( ) . . ( ) . *

² ²

l

loc loc

d v d vEI dx x U x U

dx dxψ ψ=� �

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0

² ² *. . . . ( ) . . ( ) . * .

² ²

l l

loc loc

d v d vEI dx E I x U x U dx

dx dxψ ψ=� � �

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0

² ² *. . . . . ( ) . ( ) . * .

² ²

l lT T

loc loc

d v d vEI dx E I U x x U dx

dx dxψ ψ=� � �

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0

² ² *. . . * . . . ( ) . ( ) .

² ²

l lT T

loc loc

d v d vEI dx U U E I x x dx

dx dxψ ψ=� � �

Page 16: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� 3�"�#�� �$"�%"�����

[ ] [ ] [ ]0

² ² *. . . . *

² ²

lT

loc loc loc

d v d vEI dx U K U

dx dx=� �

�'����3���

[ ] [ ] [ ]0

. . ( ) . ( ) .

lT

locK E I x x dxψ ψ= � �

5�������� ������������������0������������������� ����������3��

� � �

���

−+−−−���

���

���

���

� (//" (//" &&

��������

����������

���

�−

���

�+

���

�−

���

�−

"4</(

<1)&

/)=

(& "

"&

" /

&

" /

��

��

�9 �� �������� ����?��������@���� ���� ����������� ���������"�%�"4!�9������������ ���� �� �����@��������������� ������������������ ������� ��������3������!�� � :��4�

3 3 6 5 5 4

0

12 6 12 6 144 ² 72 72 36

² ²

lx x x x x

EIl l l l l l l l

� �� �− − = − − +� �� �

� � � �

���

+−=

���

+−=

���

+−

&&&()/

&

4()/

& &/< (=&/

"((

&

"((&/

"((

&

"((

�����

��

���

��

���

���

�=

&

"

��� �

�����!�� � :��4�

� +−−=�

���

�−�

���

�−

��

����

���

��

4&(()&

((=&/< /" (/�

� �

���

+−=

���

+−=

���

+−

&()

&

4&()

& (( ( (

=(

&

< (

=(

&

<

�����

��

���

��

���

���

�=

/

��� �

��

2����

Page 17: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� 5�"�#�� �$"�%"�����

����!�� � :#�4�

3 3 6 5 5 4

0

12 6 12 6 114 ² 72 72 36

² ²

lx x x x x

EIl l l l l l l l

� �� �− + − = − + + −� �� �� �

� �

3 3

6 5 4 6 5 4 3 3 3

0

144 144 ² 36 144 144 ² 36 48 72 36

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + − = − + − = − + −� � � � �� � � �

3

12EI

l

� �= − � �

� �

����!�� � :%�4�

2 3 5 4 4 3

0

6 2 12 6 72 ² 36 24 12

²

lx x x x x

EIl l l l l l l l

� �� �− − = − + − +� �� �

� � � �

3 3

5 4 3 5 4 3 2 2 2

0

72 60 ² 12 72 60 ² 12 24 30 12

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + = − + = − +� � � � �� � � � �

2

6EI

l

� �= � �

� �

����!�� � :0�4�

2 3 5 4 4 3

0

6 4 12 6 72 ² 36 48 24

²

lx x x x x

EIl l l l l l l l

� �� �− − + = − + + −� �� �

� � � �

3 3

5 4 3 5 4 3 2 2 2

0

72 84 ² 24 72 84 ² 24 24 42 24

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + − = − + − = − + −� � � � �� � � � �

2

6EI

l

� �= − � �

� �

�����!�� � :$�4�

2 2 4 3 3 2

0

6 4 6 2 36 ² 12 24 8l

x x x x xEI

l l l l l l l l

� �� �− − = − − +� �� �

� � � �

3 3

4 3 2 4 3 2

0

36 36 ² 8 36 36 ² 8 12 18 8

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− − + = − + = − +� � � � �� � � �

2EI

l

� �= � �

� �

�����!�� � :3�4�

2 3 5 4 4 3

0

6 2 12 6 72 ² 36 24 12

²

lx x x x x

EIl l l l l l l l

� �� �− − + = − + + −� �� �

� � � �

3 3

5 4 3 5 4 3 2 2 2

0

72 60 ² 12 72 60 ² 12 24 30 12

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + − = − + − = − + −� � � � �� � � � �

2

6EI

l

� �= − � �

� �

Page 18: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ��"�#�� �$"�%"�����

����!�� � :5�4�

2 2 4 3 3 2

0

6 4 6 4 36 ² 24 24 16l

x x x x xEI

l l l l l l l l

� �� �− − = − − +� �� �

� � � �

3 3

4 3 2 4 3 2

0

36 48 ² 16 36 48 ² 16 12 24 16

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + = − + = − +� � � � �� � � �

4EI

l

� �= � �

� �

����!�� �-:��4�

3 3 6 5 5 4

0

12 6 12 6 144 ² 72 72 36

² ²

lx x x x x

EIl l l l l l l l

� �� �− + − + = − − +� �� �� �

� �

3 3

6 5 4 6 5 4 3 3 3

0

144 144 ² 36 144 144 ² 36 48 72 36

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + = − + = − +� � � � �� � � �

���

�=

&

"

��� �

�����!�� � :���4�

2 2 4 3 3 2

0

6 2 6 2 36 ² 12 12 4l

x x x x xEI

l l l l l l l l

� �� �− − = − − +� �� �

� � � �

3 3

4 3 2 4 3 2

0

36 24 ² 4 36 24 ² 4 12 12 4

3 2 3 2

l

x x x l l lEI EI EI

l l l l l l l l l

� � �− + = − + = − +� � � � �� � � �

4EI

l

� �= � �

� �

E�� �0��� ������ ���� ��� ������ � �������� � ��� � � � ������ $��� ������ � �����3

EI

l@� ��� �

������3�

[ ]2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

loc

l l

l l l lEI

l ll

l l l l

− ��

−� =� − − −�

−� �

� �

�-��7���!���;� 7�9�� �<�=���77�� �6������!�����6�����6��������&�

)3 �&���������� !��2�""!,4��5!� !����,��#��!� !�#�� !%#�5��4��!�

9 �� ��������� �� ������*>����.�,� ���������� �����-�F���0��������������������������������F 0�,���� ������������$������������������������7����F�0!������� $����3�

�?-@����=�����4������ ��������������� ��7��������� $�������������� ������(�(����C G C(�

Page 19: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

)3 �#�����!� !��2�""!,4��5!� !����,��#��!�.65��41�7�

�' ���������� �@������ ���������� �� ������*>����.������ $������������� �� ������*>���.���������� $������� ������� ����������� ����������������6 �����7��!�' ��� ��� � ������� �@� ��� � ������ ���� � �� ������������������� ����������� ��� ��������� ����������!���=�����4������(��7���� $��������������������$���������

�����������$������ �������$��������� �����������������������C�G �C�(G �C�=��

-��7��9!� � 7�9�� �� ����!�����5=5&��

)3� �#�5#�,,!������4� !��2�""!,4��5!� !�.65��41�7�

���-�?� ��9���6�� A�67�-���?���?���

����� �� ���������0 ������ ��������� �� ��

Page 20: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

- ������������������� ������

5������ ��� ��� �� $ ��� $������� ���� �������� ����������@� ��� ���$����� ��� ����������� ��� � �� �����6 ������������������� ����7����,�-�H����� ���������������������������� ����7����,�-������� � �� ���� �6 ����� ��� ������ ����� ��� ����� ��� ����D��� ��� ������!� 9�� �� $ ��� $������� ������������ ����������� ��� ���� ����� � � ������3� B(C!B.@C� �I� B(C� ���� � � �������� ���� �������

��� ���!� ' ��� ���� ����� ��������� � ��3� ( )* *i i i i

i

Fv C ϕ+� @� ��� �������� ������������ � �

�������� B(C� ��� ������ ��� � � $ ����� ��� � � ������ ��� ��� ��� ������� ��� %� � � ������������������� ��� �������� ���������������������������!��' ��� � � ������ ��� ���������� � ���� � � �6 ���� ��� ����� ����������� �� ������ ������� ��� � ��������3� ����� ���� $����� ���������� ���@� ����� ������� $ ���3������� ���� � !"!� ����������������$�������������������������������0�����������3�

[ ] [ ]0

*( ) . *

lT

loc locpv x dx F U− =��

- ���%�� !"��!#,!"� !����������!������!�!�� !"�(�#�!"��� ��!"�

����� � ������� ���� ���������� � � �������� ��� ��� *(���.� ���� ���������� ���@� ����� �����������0���������������� $ ���$������������������������������3��

[ ] [ ]0

*( ) . *

lT

loc locpv x dx F U− =� �

����� ����� D���� � ��� ������ ����������� ���� ������������ $ �� ����� ����$���� � ��� ��������������������������3��

3 2 3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 2

0 0

2 3 2 2 3*( ) 1 1 1 2 2

l lx x x x x x x x x

p v x dx p v l vl l l l l l l l l

ϕ ϕ� � � � � � � �

− = − − + + − + + − + + −� � � � � � � �� � � �

� ��

�������8������������������������������3��

4 3 4 3 2 4 3 4 3

3 2 3 2 3 2 2

0 0 0 0

2 3 2 2 31 1 2 2

4 3 4 3 2 4 3 4 3

l l l l

x x x x x x x x xp v x l v

l l l l l l l l lϕ ϕ

� � � � �� = − − + + − + + − + + −� � � � � � � � � � � � �� �

2 221 1 2 2

2 4 3 2 2 4 3

l l l l l l lp v l l l v lϕ ϕ �� �� � � � � �

= − − + + − + + − + + −� � �� � � � � �� � � � � �

2 2

1 1 2 22 12 2 12

l l l lp v vϕ ϕ �� � � �� � � �

= − + + + −� � � � �� � � �� � � � � �

�E��������������������� ���������������������@���������$�����������3��

2 2

1

1

22 12 2 2

2

v

l l l lp

v

ϕ

ϕ

��

� � = − − −� � � �� � �

��

�������������������������������������#$���3�������������*(���.������������*.G���.�

Page 21: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

�'������������$������ ��������������3��

[ ]

2

2

2

12

2

2

loc

pl

pl

Fpl

pl

�−�

� � −�

= � � −� � � � �

-� �#�����!� !��2�""!,4��5!� %�$!��!%#�(�#�!�

9�������������������J������������� �� ������*>����.�� ��������%����$���������������*(����.!��

��

' �������������������@������ $������������$������������������� ������?-@��,C�=�������0�������-� $���� ��6 ������� ���������������� ��������3��

���

���@������ $�������������������%���������8�������� ����������� �����������������!��������@�� ������� ���0����������� �������7���@������� �0�����������������������������������������9K(@�� ������������������������ ������������ ��7���!��

����������������� �������� �����0���� �� ��� ���������� ���������������7���������������6����� ���������������������6 ������� ��������������� ��7���������������!��

����� $���� ����� ����� ���� ���� � � �� � ��� ����� $���� �6����@� ����� � � �����@��0 ���������� ��������������������������7���������������6������������������ ����������,��� ����������������������� � ������� ���������� ��� ������0����������������������7����� ��� �����$������������ ���� ���������������������7������������� ��-!�

��

>�������=�"�.

.

.

.

�� � � � � �

.

.

.

.

�� � � � � �

.

.

.

.

�� � � � � �

5�� ��������$��������������� $���� ��6 ������� ���������� ��������

Page 22: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �#�"�#�� �$"�%"�����

����� $���� ���������� ��� �������@� ��� ��������� ��� ������� ��� �7��� ��� ��� � �������������� ������@�������������0 ��������� ������������������ ����������������������7���������������6�!�E��� ��������0 ��������A����� �������������������� ���������� $�����6��������������������7������$ ��!�

����� $���� �������� A����� ������ �6 ���� ����������� �� $������� ���� ������� �������������������������������*(����.!�

-� �"��$!��%�!��8�#5!�#+��#��!�7�

��

-�� �"��$!�����(�#�!������%!��!��""���+��%��9% ��!���%"��#��8!�7�

���

��� ������� ������ �� ������ �� ����������� �� $��������6 ������� �����

��� ������� ������ �� ������ �� ����������� ������ ������������������ ���7���������������6��

Page 23: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �%�"�#�� �$"�%"�����

3 ���������������:������������� ;�*����������������

3 �&����������� !"���� �����"���,��!"�!��#+ %�"������������!� %��#�4�<,!�

#������� ��������� ��� �?��8�������� $������������ ���� ����������� �������� ���$ ��� �������������3�

3 �&!,��!����������7�

������������������������ $����&� ������3��

L�M����� �!��������C4������$,4-C4�L�M����� �!��������C9K ������$,9K -C4�L�M����� �!��������C9������$,9-C4�

�9 � � ����� ��� � �� ������ *2�����.� ��$����� ������C�G L&� $��� C � ��� �C(� ��� ���� ������3��C)!���

+� ���B>�!��C��7!�6��!����B0=0C��!���;��!����B(�!��C��7!�6��!����B0=�C�

3� �&!,��!���� �=�7�

������������������������ $���� � �����3��

L�M��� ��7!���� !�,���������������� ������������� ������������� ��� ����-��������������������������#�

L�M����� �!����,���������������� ���������������������� ��� ����-�����$��������$��#��9 � � ����� ��� � �� ������ *2�����.� ��$����� ������C�G L&� $��� C � ��� �C(� ��� ���� ������3��C)!���

+� ���B>�!��C��7!�6��!����B0=0C��!���;��!����B(�!��C��7!�6��!����B0=�C��

3)�+�8� !�5+�+#��!�7�

'��� ��8�������� ������ �3��

�?-@�DEE�@ ��9���6<� ��7!���� !F�G�E ��9���6���� �!���FF��

#�� ��$� �� ��� ����� ���� � �� �� ,����� ���� � ��������-� ��� � ��� �� ����� � �� � ����������������� ���������� ������������ *>����.� ��� ���� ���������� *(����.������ ����������� �������� �����������������!����� ���� ���� ���������%�� �������������� �������������� ���������%����������!�

����� $��������� ��������� ���������� ������������� ��������������� �����������!�

Page 24: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �0�"�#�� �$"�%"�����

5������ ���������� ���������������������������� �� ����0 �����������0���$���� ������������������0������6 �����������?���,��� ��������������������-������0���������!�

3- �&!,��!����������7�

���

33 �&!,��!���� �=�7�

����9 ���������� ���������?��8��������*2�����.����*������.��0�����������3��

����9������� �����������?������������� �3��

L���������������� �� ���������� ���������� �� ������� ����!�L�������������� ��������������� ��������0 �������� �0 ������������� �0 ������������ ���

�7���������������6�������������� ������������������L� ��� ������ ��� ���� ������ ����� ���� ��� ���������� ����� ��� ���������� &� � �@� ���

������������0 ������������$�������@���� ���������0 ������������$������$�������������������0 ������������$�� ���������,������������ ����������������8$�� ����������� ��������������*>����.���� �����������*(����.-!�

L���� ������ ��� ���� ������ ��������������������!�#������������������ �����&� � ����������� ���� �J���� ���� ��� ������ ���������� ,����� ���� ������������ ��� ���8$�� "� ������ ��� "�������������*>����.����"�����������*(����.-!�

L�������8$���������������K�������������������� �� ������� ������ �� ������*>����.�����*(����.!��

-��7��9!� � 7����7��7���!����7�B>�!��C���!�B(�!��C&��

��������$����� ����� ����������������?��8������������ ���� ������������$�����3��

��

��� ����������� ����� �� ��

��� ����������� ����� �� ��

��� ����������� ����� �� ��������� ���� ���������� ���������?��8���

��� �������� �� ������ �� ��������� ������� ����� ������������$�����

Page 25: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �$�"�#�� �$"�%"�����

�������������� ���$�������*M�����.!� ��� � ��������� ����� ��� ������������� ���$�������*M����.� ��� ��������� ���� ������� ����������� ��� ��� �0 ������ ������� ��� ��������� ����������������������!��

����������������������$�������*M����.����� A��� �������N���������������������������� �������������� , �N���������� �0��� ������������"�N��������� � �����������-!������ $��������������� ������������������������ ������������������������!��

��

3� �#��+� %� +����!,!���!�� !����#��������

����� ����6��� ���� ������ ��� ����� $���� ���������� ���� ��������� ��� ���� ���������������������������!������ $���������������� �������� ���������� ���� ��������,"-��0�������������������0 ����!��

����� $������ ��������� ��������6 ������0������������������������0���������?C4@����� ������,��� ������$����-� ��������������������� ������������������,��� ���������-!������ $������ ������� ����6����������������������������0 ��!�

���

��������$��������� �������������������������������� � ��@����������0�����������������7��@� ����$� ������ ��������������������� ����$� ������ �����!�5�� �������� ���6����������������������������������������7���������������6�!�

#���� �0 ����6��� ���� ������������ ���� ������������ ���� ��� ����� ����� �������� ����� $������������� ����������H8� 6<�����������������������0���� ���������������������� ���� ������$���������������������������� ��������!�

��� ������� ������ �� ������ �� ��

��� ������� ������ �� ������ �� ��������� ����0 ����6���������������

��� ������� ������ �� ������ �� ��

Page 26: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �3�"�#�� �$"�%"�����

����� ������ �6�����@� � �������� ������ ����������� ������� ������������������������$������ ���� ���������!��

��������� �������������$ �������� $����������C"44��7���!�

3� �&!,��!����������7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3

-2

-1

0

1x 10

-5

longueur de poutre (en mètre)

v(x

) (e

n m

ètr

e)

v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

longueur de poutre (en mètre)

phi(x)

(en m

ètr

e)

phi

décalage

décalage

��� �=�7!�� � � 6����I�� ���� �7!� 6�� J� � � ��9��� 6�� A�67� !���� 8��9�� E����

���F&��5�����������%��0 ������� ��������� ��������������0 �������������7���������������6��

,���������� ��� ���$ ��-� ������0��� ������ ��������� �0��� �7��!� 5�� ��� � ��� ����� $���� 4����������������$�����0������!����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� �������;E=F�7� !�4�9������ �������������������3�

%�&�'���#()()�

*�&�'����#�+,)-���+�

9 ����������������������D�K�0$5&��D0��L!��7�%��K%5%5��L!�������������������!��9������ ������������ ������3�

O$� ��C�"!&1&1�P$� ��C�<!))4=�L44/�

9 ����������������������3K00�5&��D$��L!��7�%��K#�#���L!�������������������!����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� �������ME=F�7� !�4�9������ �������������������3�

%�.�&�'����

*�.�&�'���,#)(��-���+�

9 ����������������������D$K5%��&��L)���6�%��������������!��

Page 27: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �5�"�#�� �$"�%"�����

9������ ������������ ������3�%�.�&����#)�)��

*�.�&���+#,(�/-���+�

9 ����������������������D0K$%��&��L)���6�%��K5�5#��L!�������������������!��

����N������ !�� ��� 7!�!��������6������� !�� ���!�!�� ��7!� ����� 6���6������� !�� �!�� 7�!�� ��!!�� !�6�7�;����7��=!�O��7���7�!�;���!� �I�!�;�&�

3�� �&!,��!���� �=�7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8

-6

-4

-2

0x 10

-5

longueur de poutre (en mètre)

v(x

) (e

n m

ètr

e)

v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2x 10

-4

longueur de poutre (en mètre)

phi(x)

(en m

ètr

e)

phi

����6����I���=�7!�� ��77�� �������7� 7����7��� �;����� I���N����� <�7!���7�

7�I �8���!�;�&����7�����6� ��7�6�7���� !7���=�7��!��� �������;E=F�7� !�4�9������ �������������������3�

%�&�'���#�����

*�&�'���,#�/��-���+�

9 ����������������������D$K#���&��D0��L!��7�%��K������L!�������������������!��

9������ ������������ ������3�%�&������*�&�����

%�&������*�&����

9������ �������������������,������������J�������������0������� ��� �����-!����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� �������ME=F�7� !�4�9������ �������������������3�

%�.�&�'���#�)�)�

*�.�&�'����#�,(�-���(�

9 ����������������������D�K�$%�&��L(���6�%��K#5#5��L!�������������������!��

��

Page 28: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

9������ ������������ ������3�%�.�&�����

*�.�&���#��,0-���(�

9 �����������������������K��$3&��L(���6�%���������������� ��� ��!��

����N������ !�� ��� 7!�!��������6������� !�� ���!�!�� ��7!� ����� 6���6������� !�� �!�� 7�!�� ��!!�� !�6�7�;����7��=!�O��7���7�!�;���!� �I�!�;�&�

3) �+#�(�������� %�#+"%������$!�����>�

����������������������@��������������������������A��@���� �� ����� �������� ��6 �������������������� �����,�-����� �������,�-!������� $���������������������������������������������������8����3��: ������6 ������3���C�6�C�4@ ��8������9������������ ��������3�9�C� ��8��������������0�� ��������,��������0P����-�3��C� 4�444��� ��� ����$���������3�Q�C� (44�R�K�&�

��������0��������,��������� �� �����-�3�3 3

4 40,2 0, 21,33 10

12 12

bhI m−×

= = = × �

�56 �������������������� �����3�

p gSρ= C� (44���1@="���4@4(�C�1("@</��K��

������� ���������3���C� Q�E9�C� ��� (44���1@="���4@4(��� �C�&</<@4(����E����������� ��������3�E�C�4@ ���4@ �C�4@4(����

3) �&!,��!����������7�

���

����������������@������ $�����������)��7���@����&� �������������@� ��� ���� ������������������ �������������� ��������!�9 ��������������� ���%������������ ����%�9K(�����0�������������� �������!�

'�������������� ��������������'�/�

Page 29: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

+�8������6�������!���4��

���

������ �������������� �������@��������������������������������0��� ������$ ������������ ���8�6�!�M������������� ���L @&4=!"4L)��������������$��%�4@(<)�������0�������������� ����������������� ���%�/@1) !"4L/������������� ����$��%�"@&<4������ �0������������� � �������!�

����������������������� ����������������������L4@4 &�������8����������������������������� ������������4@44<�������8�����������������������$ ���!����!�!�� �6�������!���4��

���

����� � � ������ ��� � � ������@� ����� ����� �������� ������� ���� � � $ ����� ����� �������$��%��0�������������� �������!����������� ���%�L<@&)=!"4L)�� �� ��!�������������������� � $ ������ ��� ��@� ����� ���� �� ���%�)@1"(!"4L)� � �� ������ ��� ����$�� %�4@= =��8��������0�������������� �������!�

'������������ ��������������'�/�

���������� ��������������'�/�

Page 30: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

3)� �&!,��!���� �=�

���

����������������@������ $�����������)��7���@������� ���������%��0�������������� �������������� ����������������0 ������B��!�9 ��������������� ���%������������ ����%�9K(�����0�������������� �������!��+�8������6�������!���4��

���

������ �������������� �������@��������������������������������0��� �����$ ����������� � ���8�6�!����������� ���L<@)/ !"4L)�������������$��%�"@4(&�������0�������������� �������!������������������������ ������������������� ��� ���������4@4</�������8�����%�"@4(&��8��������������������!��

'�������������� ��������������'�/�

'������������ ��������������'�/�

Page 31: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

��!�!�� �6�������!���4��

��

������ � � ������ ��� � � ������@� ����� ����� �������� ������� ���� � � $ ����� ����� ���

����$��%�4@&=)��8��������0�������������� �������!����������� ���%�L"@ "&!"4L(�� �� ��!������ ���� ��������� � � $ ������ ��� ��@� ����� ��� ����$�� %� �0���������� ��� ������� ��� ����� ������ ���%�"@ )"!"4L(�� �� ��!�

3- ���%�� %�,�,!���(�+�8�""����

�� ��� �����@� ��� � ������� ���� ��� ������� ����6��� ��� ���� ���� %� ����� � �� � ���� �����3�

2

2

( )( ) fM xd v x

dx EI= �

���������� ������@����������������������$���S,�-���������S,�-������ �����$������$,�-!�' ���� �� ����� �� ����������F����0���������������� �������� ��������$ ���3�

0

( ) ( )'( ) lim

( ) .

( )

f

f

f x f xf x

diff M

diffM

l

avec l

ϕ

ϕ

∆→

+ ∆ −=

= ∆

=

∆ =

������� �������������� �� �������������� ����������������3�

( )( ) .

2

( )( ) .

2

f

ext

f

ext

M x hx

I

M x hx

I

σ

σ

= ±

=

��������������� �$ ����� ������������,�-�������� �������� !��

����� ������� ��������������6��� ���������������� �� ��� ���� ��������, -@� �0����������������� �0 ����@� $��@� ����������� � � ������� ,"-@� �������������� �����������PC4@� � ������� ����������� ������������ � �� ��� ��� ����� ����� ��� ���� ������ ������������ � �� ������� ������$����!��

���������� ��������������'�/�

F����0�

Page 32: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �#�"�#�� �$"�%"�����

��

3- �&!,��!����������7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-500

0

500

1000

longueur de poutre (en mètre)

Mf(

x)

(en N

.m)

Mf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6x 10

5

longueur de poutre (en mètre)

sig

ma m

ax(x

) (e

n P

a)

sigma max

����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� ��������8E=F�7� !�4��9�������������6��� �������� ������3�

%12&����#+�+��

*12&���00�#��()�

9�������������6��� �������� ���������$ ���33��-&��%��K0�0���L!�������0�������������� �������!��9�������������6��� ���������������3�

%12&�'���#�����

*12&�'���(��#�����

;� �����������������6��� ������������ ��%��K������L!�������0�������������� �����������$ ���3�D%���-&�!��

��� ������� ������ �� ������ �� ��

Page 33: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �%�"�#�� �$"�%"�����

��7�����6� ��7�6����� !���=�������7�I�����=�7� !�4��9 ������ ���������� ��� ���3�

%3�!&&����#+�+��

*3�!&&���+#0/��-���+�

9 � ����� ���������� ������%��K0�0���L!��� ��� �0������������� � �������� ��� $ ����K05��*�&������ !�8��N�77� !�7��7��+�$�4��

��

���������������������������������6��� ��@������������ ������������������ �������@�

� ��� ��� ����� ��� �� �� ��$� �� ��� � � ��8�6�� ,= (� �K�-@� �������� �� ���� ���������� ��� � ��������,L("4��K�-!���� !��� !��7��7��+�$�4��

��

' ��� ������ �������@� ����� $���� �������� ���� $ ������ �������@� ����� J���� ��������� ����� $����'�/@������������ �������������$ ������������$���,��������������������4�%�4@= ������������������������4@= �%� -!�

�9 ������ ������ ��� �������%�4@/"=4��� �%�4@)��8��������0�������������� �������!��

�����������6��� ���������'�/�

Page 34: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �0�"�#�� �$"�%"�����

3-� ��&!,��!���� �=�7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2000

-1000

0

1000

longueur de poutre (en mètre)

Mf(

x)

(en N

.m)

Mf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15x 10

5

longueur de poutre (en mètre)

sig

ma m

ax(x

) (e

n P

a)

sigma max

����7�����6� ��7�6�7���� !7���=���!��� ��������8E=F�7� !4��9�������������6��� �������� ������3�

%12&����#,,,0�

*12&���+��#�/)+�

�9�������������6��� �������� ������%��K$$$3��L!�������0�������������� �����������$ ���0��&��50�-&�!��9�������������6��� ���������������3�

%12&�'���#�����

*12&�'����#(0+,-�����

�9�������������6��� ���������������%��K������L!�������0�������������� �����������$ ���D�%30�-&�!����7�����6� ��7�6����� !���=�������7�I�����=�7� !�4��9 ������ ���������� ��� ���3�

%3�!&&����#�����

*3�!&&����#��,0-���,�

�9 � ����� ���������� ������%��K������L!��� ��� �0������������� � �������� ��� $ ����K����*�!�

Page 35: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �$�"�#�� �$"�%"�����

���� !7�8��N�77� !�7��7��+�$�4��

���

������������������ ���������� ����6��� ��� ��� ��� ����$�������� �0��� ������������ � ���8�6�@������������� ��%��0�������������� ��������,L"<4<��!�-����� ��� �� ����$� ������ ���8�6��,)/&��!�-!���� !��� !��7��7��+�$�4��

��

' ��� ������ �������@� ����� $���� �������� ���� $ ������ �������@� ����� J���� ��������� ����� $����'�/@������������ �������������$ ������������$���,��������������������4�%�4@(������������������������4@(�%� -!�

�9 ������ ������ ��� ����������"@ =��� ��%��0�������������� �������!�

��

�����������6��� ���������'�/�

Page 36: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �3�"�#�� �$"�%"�����

33 �,��#��"��� !"� !%&�,+�8� !"�

33 �&!,��!����������7�

�� �� � �� �� �'�/�

+�8����!�� ����!���E� ���F������ L4@4 ")/=� 4@4 &4=�

� ��� 4@44<))4=�4@44/1) �

��!�!�� �6�������!���E� ���6@��PD0F������ L/@=( � L<@&)=�

� ��� )@/(41� )@1"(�

���� !�8��N�77� !�E� �-&�F������ L("4� L("4�

� ��� << � = (�

�� !��� !��E� ����F� � ��� 4@)"� 4@/ ��

33� �&!,��!���� �=�7�

�� �� � �� �� �'�/�

+�8����!�� ����!���E� ���F� ����� L4@4/&1� 4@4<)/ �

��!�!�� �6�������!���E� ���6@��PD%F������ L"@4/("� L"@ "&�

� ��� "@4"/<� "@ )"�

���� !�8��N�77� !�E� �-&�F������ L"(<)� L"<4<�

� ��� )4"@"� )/&�

�� !��� !��E� ����F� � ��� "@""� �"@ =�

������ ��������� ���� � �����@� ��� ��� ����� ����������� �0��� ���$��%����� ������ ���

���N�����6��������� ������������6����!�5�� ��������$������ ������ ��������������7��������� � ��� ��� ����� ����� �� �� ��� � �� ��8��� ,����� �0��� ��� ���� T�� � �-� ��� � ����� ����'�/�, �������� �������� �����@� ������ ������6������������@�U-!�

> �� �������

�� ����������@� ����� $���� ���� ������� ��� �������� ����� ��� � ����� � �� � ����6���� � �?������ ���� ��� ������ ��� �����8��� ��� ��� ���$���� �� ������ � � ����� �� ����� � �� �@���������������� �����������$�������� �������������������������,�'�/-!�

������� ���������������� ������ �� ������ �� �@���������������������������������� ����� ��������� �� ����� ���� ���N� ����������� %� �� ������ ��� � �?�����!� 9 ������ �� ���������� ���������0�$��������� ������ ������ ��������� � ���������� �����!�'������@���� ����������������������? ������ ������ �� ��������������0 � ��������� �����������������!��

����� ��� ����� � �� ��� ����� ������@� ��� ��� ��� ����LJ���� � ���� � �� � � ���6���� � �?�����@� � ��� �� ������� ��� � � �� ��� ����� ���� ��������� ����� ������������0 ���� ��� ������ ��� ������ �� ������ �� ����$���������� �����!�

Page 37: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� �5�"�#�� �$"�%"�����

? ��������7�

? �#+��"�����#�5#�,,!������4�

9������� ����� �� ���� ����������������� ���������� ����������������������� $���"������� ��� ����� ��������� ���� ������ � � ������@� "� ������ ����������� %� �� ���� �I� ��� $���� ��� �� ����0 �����@����������������� ��������@������0���$����%��� �����I����$���!�

��������������� �����@������������0 � ������ �� ���������� ������ ���� �����6 ����!����������� ������� A����������� ���������� ���������������������������� ������ �� ���������������������� �� ��������� �� ������2����,2�-!�9������� ��������� � �����!�

?� �!"�� %��#�5#�,,!�"%#� !"�$��!%#"� !��9% "� �((+#!��"�

*����-?5�4��9����� � ���,������������-@����%��0 ������� ���������7���������������6�@�������8���� ���� �������������!�

?� �&!,��!����������7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-2

0

2x 10

-5

longueur de poutre (en mètre)

v(x

) (e

n m

ètr

e)

v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

longueur de poutre (en mètre)

phi(x)

(en m

ètr

e)

phi

Page 38: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� ���"�#�� �$"�%"�����

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-500

0

500

1000

longueur de poutre (en mètre)

Mf(

x)

(en N

.m)

Mf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80

longueur de poutre (en mètre)

sig

ma m

ax(x

) (e

n P

a)

sigma max

?�� �&!,��!���� �=�7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8

-6

-4

-2

0x 10

-5

longueur de poutre (en mètre)

v(x

) (e

n m

ètr

e)

v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2x 10

-4

longueur de poutre (en mètre)

phi(x)

(en m

ètr

e)

phi

Page 39: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� #��"�#�� �$"�%"�����

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2000

-1000

0

1000

longueur de poutre (en mètre)

Mf(

x)

(en N

.m)

Mf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

longueur de poutre (en mètre)

sig

ma m

ax(x

) (e

n P

a)

sigma max

Page 40: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� #��"�#�� �$"�%"�����

*����-?�����4��9����� � ������%��0 ������� ���������7���������������6����$������������ ����� ���������� ��!�

?�) �&!,��!����������7�

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3

-2

-1

0

1x 10

-5

longueur de poutre (en mètre)

v(x

) (e

n m

ètr

e)

v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

longueur de poutre (en mètre)

phi(x)

(en m

ètr

e)

phi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-500

0

500

1000

longueur de poutre (en mètre)

Mf(

x)

(en N

.m)

Mf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80

longueur de poutre (en mètre)

sig

ma m

ax(x

) (e

n P

a)

sigma max

��

Page 41: PROGRAMME ELEMENTS FINIS POUR LES POUTRES EN FLEXION

����������� � � ����������������

�� ����� �!� #��"�#�� �$"�%"�����

?�- �&!,��!���� �=�7��

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8

-6

-4

-2

0x 10

-5

longueur de poutre (en mètre)

v(x

) (e

n m

ètr

e)

v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2x 10

-4

longueur de poutre (en mètre)

phi(x)

(en m

ètr

e)

phi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2000

-1000

0

1000

longueur de poutre (en mètre)

Mf(

x)

(en N

.m)

Mf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

200

longueur de poutre (en mètre)

sig

ma m

ax(x

) (e

n P

a)

sigma max

�� �7���� 6�����!���;�����7�6��=��=����7K����������7��� ��9���6�� A�67����7��7!������!� !K���7��7���7�!�!7�7� !������7�E�!�7���������N� !�6�����=�6��

�+�$FK����7�����6� ��6�7�!���7�6�������9����������7�� I&�