problèmes numériques à l’école : comprendre et...

Problèmes numériques à l’école : comprendre et résoudre

Catherine HOUDEMENTMC Didactique des MathématiquesLDAR, Universités Paris Diderot et Rouen, IUFM

Bourges 30 novembre 2011

1. L’inhibition des élèves de cycle 3Vers des problèmes pour « désinhiber »

2. Des aides pour apprendre à résoudre

• Les contresens• Les contresens

• Comment apprend-t-on ?

• Se représenter un problème

3. Des problèmes pour apprendre une notion spécifique

2Catherine HOUDEMENT 30-11-11

Un extrait des évaluations ‘sixième’ 2002 et 2003

Exercice 32Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.Chaque page contient 6 photos.a) Combien y aura-t-il de pages complètes?b) Combien y-a-t-il de photos sur la page b) Combien y-a-t-il de photos sur la page

incomplète? Bonnes réponses : 58,0 % et 55,9 %

Pourtant diverses démarches possibles : * une division : quotient de 50 par 6 * utilisation de la multiplication : table de 6* utilisation de l ’addition 6+6+6 ….


� Un problème comprend toujours des nombres.

� Il faut faire une opération pour trouver la solution

� Il faut utiliser tous les nombres•

Les élèves se sont construit des idées Les élèves se sont construit des idées fausses sur les problèmes fausses sur les problèmes

� Il faut utiliser tous les nombres� Pour trouver la solution, il n’y a qu’une

démarche possible.� Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.� Pour trouver la solution, il faut trier les

informations, souligner les informations utiles….

•


1. Des problèmes pour « désapprendre… »

• Ils ne visent pas a priori de nouveau contenu notionnel

• Les élèves ont a priori les connaissances pour les résoudre.

• Mais la résolution n’est pas automatique, pas • Mais la résolution n’est pas automatique, pas immédiate, pas réduite à une opération.

• L’entrée dans la tâche est facile, les élèves peuvent déclencher des actions, des essais.

• Si possible, les élèves peuvent contrôler eux-mêmes leur réponse.


Mais pas n’importe quels problèmes!

� La situation induit chez l’élève une activité de type résolution de problème

� L’objet de cette activité a un « intérêt » du point de vue mathématique : elle réinvestit des connaissances acquisesréinvestit des connaissances acquises

� L’élève réussit à élaborer une procédure de résolution

� Ces problèmes sont proposés plusieurs fois avec des variantes


Il s’agit de répartir des jetons dans des boîtes grises et blanches. Il doit y avoir le même nombre de jetons dans des boîtes de la même couleur.

a) 17 jetons, 2 boîtes grises et 3 boîtes blanches

Premier exemple : les boites

blanches

b) 17 jetons, 2 boîtes grises et 4 boîtes blanches

a) Plusieurs solutions b) Aucune solution : preuve par parité 7

Catherine HOUDEMENT 30-11-11

Second exemple : des poules et des lapins….

Des poules et des lapins

Jojo, un peu farfelu, compte les têtes et trouve 8 têtes. Puis il compte les pattes et trouve 26 pattes.Saurais tu trouver le nombre de poules et celui de lapins ?

Des voitures et des motosJojo compte 19 véhicules et 52 roues.Combien de voitures? Combien de motos ?

Deux contextes différents pour le même problème

Pour chaque contexte, des variantes numériques


Quelques exemples de productions d’élèves de cycle 3

Réponse attendue pour 8 têtes et 26 pattes : 5 lapins et 3 poules

Anaïs CE2


Agnès CE2

Réponse attendue pour 8 têtes et 26 pattes : 5 lapins et 3 poules


Paul CE2


CM : 19 véhicules et 52 roues (réponse exacte 7 voitures et 12 motos )


� La mise en communDes stratégies différentes validées par contrôle des

résultatsDes stratégies jugées collectivement plus ou moins

rapides �vers un projet personnel de raccourcir le temps de recherche

à condition de refaire le même problème avec d’autres à condition de refaire le même problème avec d’autres nombres

• La trace écrite sur le cahier de problèmesTexte du problème : choix collectif de 1 ou 2 méthodes. Insistance sur contrôle des résultats par relation avec texte de départ.


Autres exemples

� Problèmes sans calcul et pourtant avec des nombres

Pierre est plus grand que Paul ; Paul est plus grand que Jacques. L’un mesure 135 cm, l’autre 127 cm, le 3ème 142 cm. Quelle est la taille de Jacques ?

A partir d’Un Rallye pour débattre de mathématiques CDDP Angers 1993

Ali est plus grand que Thibault ; Ali est plus petit qu’Eloi. L’un mesure 140 cm, l’autre 1,35 m, le 3ème

1,15 m. Quelle est la taille de Jacques ?

Claude habite sur une île reliée au continent par un pont. Depuis qu’il s’est levé ce matin il a traversé 7 fois le pont. Est-il sur l’île ou sur le continent ?

Idem 10 fois, 16 fois, 23 fois, 165 fois…. 14Catherine HOUDEMENT 30-11-11

� Problèmes numériques CE2 : Sur une cible (à trois zones) on lance des fléchettes : on

marque 5 points dans la zone A, 3 dans la zone B et 2 dans la zone C. Paul a lancé quatre fléchettes cela lui fait 13 points. Dans quelles zones a-t-il lancé des fléchettes ?

CM : Sur une cible à deux zones, Pierre lance 3 fléchettes, deux dans le disque A et une dans la couronne B ; il marque 17 points. Eric lance aussi 3 fléchettes, une dans le disque A et deux dans la couronne B et marque 22 points. Combien rapporte une fléchette pour chacune des zones ?

CE2 Alix est sur l’escalier d’une haute tour, sur la neuvième marche à partir du bas. Elle monte 3 marches puis en descend 5 et remonte de 7 marches. Il lui reste encore 6 marches à escalader avant d’arriver en haut. Quel est le nombre de marches de l’escalier ?

CM Alix est sur l’escalier d’une haute tour, sur la trente septième marche à partir du bas. Elle monte 34 marches puis en descend 18 et remonte de 42 marches. Il lui reste encore 6 marches à escalader avant d’arriver en haut.Quel est le nombre de marches de l’escalier ?


2. Des aides pour apprendre à résoudre des problèmes

� Des propositions à contresensApprendre à résoudre des problèmes ?� Apprendre à résoudre des problèmes ?

� Revisiter l’enseignement de la résolution de problèmes …

.. vers un seul but : que l’élève termine toujours la résolution !


Des propositions à contresens

• chercher si le texte proposé est un problème, • chercher les informations utiles (ou inutiles) sans résoudre le problème,• chercher les informations manquantes,• chercher une question pour le texte (qui se résout par • chercher une question pour le texte (qui se résout par simple lecture ou par calcul ou sans réponse…)

� Tâches dont rien ne dit qu’elles aident à mieux résoudre un problème !!!!

et qui sont pourtant proposées par bon nombre de manuels scolaires


Comment réussit-on ces 4 problèmes?

Calculez le nombre de tulipes dans UN massifdans les configurations a b c d :

a) C’est un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et de 15 tulipes jaunes.

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b) Voici un massif de 60 rangées de 15 tulipes.

c) C’est un massif de 60 fleurs, formé de tulipes et de 15 jonquilles.

d) Il y a 60 tulipes disposées en 15 massifs réguliers


Comment réussit-on un problème : deux types de processus cognitifs en jeu

� Processus opératoires

L’élève « ne reconnait » pas le problème : il lui faut

construire, inventer, bricoler une stratégie.

Exemple : poules et lapins

Jean Julo 2002 Grand N n°69

Exemple : poules et lapins

� Processus représentationnelsL’élève « reconnait » d’une certaine façon le problème,

qui lui évoque quelque chose de connu. L’élève peut

alors appliquer un traitement connu.

Exemple : massif de tulipes19


Processus représentationnels « Une représentation : une construction mentale élaborée dans un contexte particulier pour servir un but spécifique. Elle peut être provisoire, circonstancielle, donc transitoire, si élaborée dans une tâche déterminée et à cette seule fin. Elle peut être permanente, si elle est stable et durablement stockée en mémoire ; on parle alors de connaissance » (Baligand, 29-3-11)

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Il existerait une mémoire des problèmes (Julo 1995) : structures imprimées dans la pensée du sujet et liées à une interprétation personnelle de la réalité


Expliquer comment on a fait ?

« la vraie compréhension n’a pas de mémoire. Dès que nous avons compris quelque chose, nous oublions comment nous sommes parvenus à cette compréhension ou plus exactement nous interprétons la démarche qui nous a conduits à

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interprétons la démarche qui nous a conduits à l’état actuel de notre compréhension à la lumière de ce nouvel état.». JULO (1995, p.86)

� Il est plus facile de faire que d’expliquer comment on a fait


Dans la pensée des élèves (Houdement 2011)

C.H. Comment tu sais pour un problème que c’est moins / plus / fois ?Victor Bah, quand j’ai la question, je sais moins / plus / fois.

C.H. Et comment tu sais tout de suite l’opération que tu peux faire ? Qu’est-ce qui se passe quand tu sais tout de suite l’opération que tu

Trois élèves de CM2

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Qu’est-ce qui se passe quand tu sais tout de suite l’opération que tu peux faire ?Clémence Bah / quand je lis l’énoncé ça me vient comme ça / Quand je le lis.

CH Et comment tu sais que dans ce problème là il va y avoir une multiplication / ou une division Marie Bah / parce que quand / bah / enfin / je sais pas trop / je lis tout / et après je vois si je dois faire une multiplication ou une division


Face à un problème, le sujet a deux possibilités1. se le représenter comme ressemblant à un problème de

sa mémoire� idée d’un traitement inféré de mémoire

2. Le voir comme un problème inconnu� construction d’une stratégie (nouvelle)

Plus l’élève a réussi à résoudre des problèmes, plus il réussira à en résoudre d’autres !

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il réussira à en résoudre d’autres !

Enjeux de l’enseignement des problèmes :* enrichir la mémoire des problèmes : nécessaire d’entraîner les élèves sur la résolution de problèmes « basiques »

*permettre l’invention de procédures : nécessaire de proposer aux élèves des problèmes « a-typiques »


Des hypothèses

•Ils ne sont pas assez entraînés à chercher des

problèmes « basiques ».

•Ils « zappent la représentation »

Les élèves « ont du mal » avec les problèmes.

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•Ils « zappent la représentation »

•La correction se fait de façon magistrale, sans

impact sur ceux qui n’ont pas su comment faire.

Alors qu’ils apprennent essentiellement lorsqu’ils

réussissent eux-mêmes !


� Aider les élèves à comprendre la nécessité de se re-présenter le problème

� Aider les élèves à se représenter le problème : – le faire raconter (importance de la question !)– le faire mimer

Des propositions pour l’enseignant

– le faire mimer – le faire dessiner

� Éviter les présentations solution / opération

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ATTENTION : il existe des dessins d’élèves qui font obstacle à la résolution �� certains enfants doivent aussi apprendre à schématiser Catherine HOUDEMENT 30-11-11

dans le 2è colis

il doit y avoir

35 livres

Nadia a-t-elle raison ?

Pour expédier 85 livres à l'école, le libraire a fait deux colis.

Les enfants comptent 40 livres dans le premier colis.

Explique pourquoi.

Un problème en CE1

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Réponse de Paul


ACTIVITE DISCUTABLE Indispensable que l’élève ait cherché AVANT Distinguer la recherchede la réponse

27Extrait de J’apprends les maths CE2 Retz 2010 page 66


� Un autre exemple de dessin et réponse

50 5 €10 c

• Représentation de la situation,

pas nécessairement

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50 c

5 €5 c

Il lui reste 3 €

pas nécessairement fonctionnelle pour le problème

• Réponse 3 € qui donne, par hasard?, l’ordre de grandeur


CM novembre : Aude, une bonne élève


Camille CM2 novembre Réponse

30

Brouillon

Merci à Mme Poullain (76)


� Choisir des contextes dans les domaines d’expérience des élèves

Laurine CM1 novembre Réponse

31

Brouillon

Merci à Mme Poullain (76)


Des propositions pour l’enseignant(suite)

� Assurer la réussite des problèmes « basiques » :

ceux dont on souhaite que les élèves ceux dont on souhaite que les élèves sachent les résoudre automatiquement en fin de cycle

� Faire travailler d’abord sur des problèmes où la représentation est facilitée


3. Les problèmes «basiques»� Un contexte, deux données numériques, trouver la

troisième� Problèmes pour apprendre de nouvelles

connaissances : le sens � Problèmes pour continuer d’apprendre: entraîner

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Apprendre aussi à l’élève •Ce qu’on attend de lui •Comment il peut y parvenir •Comment il peut être sûr •Pourquoi on lui fait faire cela

nécessaires pour éviter les malentendus

Viser l’apprentissage, PAS la réussite immédiate !


A l’enseignant de :� Assurer la réussite des problèmes « basiques »� Les choisir de façon à ce

– Qu’ils apprennent quelque chose à l’élève – Que la représentation soit facilitée…... Savoir qu’il existe différents types de « problèmes � Savoir qu’il existe différents types de « problèmes basiques »• pour addition soustraction (*) • pour multiplication division

donc différents raisonnements à faire rencontrer aux élèves…..

34(*) Le nombre au cycle 2 : document ministériel 2010


Par exemple : toujours 17 x 25 …..A. Nombre d’objets si

1. 17 paquets de 25 objets :2. 25 paquets de 17 objets

B. Nombre de fenêtres sur une façade avec 25 étages et 17 fenêtres à chaque étage

C. Une distance 17 fois plus longue que 25 km C. Une distance 17 fois plus longue que 25 km D. Une distance telle que 25 km est 17 fois plus

courteE. Nombre de menus à 2 plats (salade+dessert) si

17 salades différents et 25 desserts différents F. ….

35….. mais des raisonnements différents en jeu !


Mêmes types de raisonnementsA. 3 paquets de 5 biscuits. Combien de biscuits ?B. 3 paquets avec le même nombre de bonbons :

en tout il y a 15 bonbons. Combien dans un paquet ?

Multiplication et division : des raisonnements proches

Écritures arithmétiques proches 3 x 5 = ? 3 x ? = 15

15 : 3 = ? Multiplication et division inverses l’une de l’autreFaire utiliser des écritures à trous et connaître

l’équivalence des deux écritures rouges36Catherine HOUDEMENT 30-11-11

Des outils pour l’enseignant

1. Typologie des problèmes additifs (Vergnaud 1997,

Pfaff 2005, Graff &t al 2009, etc. )

2. Typologie des problèmes multiplicatifs (Vergnaud

1997, Graff &t al 2011 etc. )

Certains manuels et guides de l’enseignant

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Certains manuels et guides de l’enseignant prennent cela en charge

Suivent des exemples de scenarii pour introduire multiplication, division avec des temps : •pour que l’élève prévoit «le réel » …•pour confronter les réponses « au réel »•pour écrire (au moins collectivement) les écritures arithmétiques associées


Objectif : multiplication CE2

Etape 1 : appui possible sur le contexte

� Faire prévoir le contenu de 5 sachets de 12 objets12+12+12+12+12 12 répété 5 fois 5 fois 12 � Valider la réponse par le décompte effectif du matériel� Conclure avec réponse ET écriture mathématique� Conclure avec réponse ET écriture mathématique

(courte) 5 x 12 = 60 12 x 5 = 60

Etape 1 bis : recommencer plusieurs fois 6 sachets de 12 // 4 sachets de 20 // 3 sachets de 80Conclure avec réponse et écriture mathématique


Etape 2 : nombre de carreaux du quadrillage D

Accepter toutes les formulations : 4+4+4+4+4+4 / 4 répété 6 fois / 6+6+6+6 / 6 répété 4 fois / 4x6 / 6x4. Valoriser celle visée.

Réponse…….

Écriture mathématique …….

6+6+6+6 / 6 répété 4 fois / 4x6 / 6x4. Valoriser celle visée.

Etape 2 bis : recommencer avec autres nombres

– Autres tableaux : idem

– Tableaux avec cache : Toujours exiger Réponse ET écriture mathématique (soit pour trouver, soit en conclusion)4x6 ou 6x4 étant l’écriture ad hoc


Etape 3 : l’écriture multiplicative aide à calculerP1 Quel est le prix de 3 chocolats à 50 cruzeiros chacun?

P2 Quel est le prix de 50 chocolats à 3 cruzeiros chacun?

Enfants de 12 ans non scolarisés de Recife (Schliemann 1998)

P1 75% de réussite P2 0%

Les étapes 1 et 2 installent des références pour la mémoire : seront- elles prises comme cela par tous les élèves ?

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P1 75% de réussite P2 0%

Combien de bonbons dans14 paquets de 10 bonbons ?

Combien de bonbons dans 10 paquets de 14 bonbons ?


Etape 4Problèmes d’entraînement écrits et oraux des

deux types dans autres contextes Toujours plusieurs problèmes dans le même

contexteExiger toujours réponse ET écriture arithmétiqueExiger toujours réponse ET écriture arithmétiqueEntremêler de problèmes additifs (soustractifs)Question sur produit et quotient


Etape 5Paul a 12 billes. 1. Zoé a 4 fois plus de billes que Paul. Combien de billes

a Zoé ?2. René a 4 fois moins de billes que Paul. Combien de

billes a René ?

Mots inducteurs en enseignement Expressions et règles : fois plus = X ????Expressions et règles : fois plus = X ????

Brian a des billes1. Alexis a 10 billes. C’est 2 fois plus que Brian.

Combien de billes a Brian?2. Quentin a 12 billes. C’est 2 fois moins que Brian.

Combien de billes a Brian?


Etape 1 : Problèmes = fabriquer des rubans jaunes (6 cm), rouges (15 cm) à partir de longues bandes A, puis B…

A 75 cm / B 123 cm / C 150 cmDispositifUne bande A affichée au tableauTous les groupes de 2 doivent prévoir ce que ça va donner Un SEUL groupe de 2 élèves est chargé de faire effectivement

exemple dans Cap maths CM1 Hatier 2003Objectif : division CM1 ou CM2

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Un SEUL groupe de 2 élèves est chargé de faire effectivementle partage à partir d’une autre bande A.

Recherche puis mise en commun puis conclusion sur• procédures différentes, plus ou moins économiques• chercher « combien de fois 6 dans 75 » = diviser 75 par 3• existence de deux nombres résultats : quotient ET reste• écriture qui rend compte du résultat 75 = (6 x 12) + 3

Poursuite : rubans rouges avec bande A, puis idem avec bande B, bande C


Etape 2 : problèmes écritsDes chercheurs d’or qui se partagent des pépites185 pépites et 12 chercheurs // 618 pépites et 25 chercheurs

� valeur d’une part

Recherche puis mise en commun puis conclusion sur

Etape 1 bis : pour s’exercer en individuel : encore des problèmes de bandes � nombre de parts (partage)

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Recherche puis mise en commun puis conclusion sur

• procédures différentes• existence de deux nombres résultats : quotient reste• écriture qui rend compte du résultat 185 = (15 x 12) + 5• cela revient à chercher « combien de fois 12 dans 185 »

Vers le lien avec situations de partage

Etape 2 bis Exercices individuels : encore des partages de pépites


de questions décontextualisées(calcul immédiat ou réfléchi) :

1. en 40, combien de fois 5 ?

2. Si je partage 28 en 4

3. Quel est le quotient de 25 par 5 ?

Ces résolutions de problèmes ne dispensent pas

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4. en 50, combien de fois 7 ?

5. Si je partage 35 en 8


7. En 68 combien de fois 4?


Conclusion

� Entraîner les élèves à réussir des problèmes « basiques » (mimés avec matériel, schématisés, verbaux..) relevant de raisonnements différents (pour chaque opération)

� Apprendre aux élèves la nécessité de se construire Apprendre aux élèves la nécessité de se construire une représentation (imaginer ce qui se passe, repérer ce qu’on cherche) pour avancer, en choisissant certains problèmes « a-typiques »

� Entraîner à la planification grâce à des problèmes « complexes » (qui combinent plusieurs raisonnements basiques)


Bibliographie Coppé & Houdement (2001) Réflexions sur les activités concernant la résolution

de problèmes à l’école primaire Grand N n°69Fagnant A., Demonty I. (2004) Résoudre des problèmes : pas de problème. 8-10

ans De Boeck Houdement (1999) Le choix des problèmes pour « la résolution de problèmes ».

Grand N n°63Houdement C.(2011) Des connaissances cachées en résolution de problèmes

ordinaires à l’école. Annales de didactique et de sciences cognitives n°16.Graff & al (2009) Problèmes additifs et soustractifs CP-CE1. Scéren. Graff & al (2011) Situations multiplicatives : multiplication et division .Scéren. Julo (2002) Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes? Julo (2002) Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes?

Grand N n°69. Pfaff (2003) Différencier par les procédures : un exemple pour la proportionnalité

au cycle 3. Grand N n°71 Pfaff (2005) Une séquence sur les problèmes additifs au cycle 2: le cas des

comparaisons de mesures. Grand N n°75Vergnaud (1997 ; nv 2001). Le Moniteur de Mathématiques cycle 3. Résolution de

problèmes. Nathan

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Documents institutionnels, guides pédagogiques• MEN (2010) Le nombre au cycle 2. En lignehttp://www.eduscol.education.fr/cid52720/mathematiques-a-l-ecole.html• Euro Maths (édition Hatier, post 2008) : Introduction du guide de l’enseignant
