probabilit´es conditionnelles exercices...

Terminale S1 Probabilites conditionnelles − exercices

Probabilites conditionnelles

Exercices corriges

Exercice 1 : (solution)Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de lacirculation.85% des dossiers entraınent des frais de reparation materielle. 20% des dossiers entraınent des frais de dommagescorporels. Parmi les dossiers entraınant des frais de reparation materielle, 12% entraınent des frais de dommagescorporels.

Soit les evenements suivants : R : « le dossier traite entraıne des frais de reparation materielle » ;D : « le dossier traite entraıne des frais de dommages corporels ».

On choisit un dossier au hasard.Dans tout l’exercice, les resultats seront donnes sous forme decimale, arrondis au millieme pres.

1. a. Recopier et completer le tableau.

R R Total

D

D

Total 85 100

b. Recopier et completer l’arbre pondere.

R0,85D

0,12

D. . .

R. . .

D. . .

D. . .

2. On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilite pour qu’un dossier :

a. entraıne des frais de reparation materielle et des frais de dommages corporels ;

b. entraıne seulement des frais de reparation materielle ;

c. entraıne seulement des frais de dommages corporels ;

d. n’entraıne ni frais de reparation materielle ni frais de dommages corporels ;

e. entraıne des frais de reparation materielle sachant qu’il entraıne des frais de dommages corporels.

3. On constate que 40% des dossiers traites correspondent a des exces de vitesse et parmi ces derniers 60%entraınent des frais de dommages corporels.On note E : « le dossier traite correspond a un exces de vitesse ».

a. On choisit un dossier. Quelle est la probabilite p pour que ce dossier corresponde a un exces de vitesse etentraıne des frais de dommages corporels ?

b. On choisit cinq dossiers de facon independante. Quelle est la probabilite pour qu’au moins un dossiercorresponde a un exces de vitesse et entraıne des frais de dommages corporels ?

c. Soit n un entier (n > 1). On choisit n dossiers de facon independante. Determiner la valeur minimale den pour que la probabilite qu’au moins un dossier corresponde a un exces de vitesse et entraıne des fraisde dommages corporels, soit superieure ou egale a 0,9. Attendre l’etude de la fonction logarithme neperien pour resoudre

cette question.

Exercice 2 : (solution)Un jeu consiste a lancer des flechettes sur une cible. La cible est partagee en quatre secteurs, comme indique surla figure ci-dessous.

http://mathematiques.ac.free.fr 1/10 15 decembre 2013

http://mathematiques.ac.free.fr


0 point

5 points

0 point

3 points

On suppose que les lancers sont independants et que le joueur touche la cible a tous les coups.

1. Le joueur lance une flechette.

On note p0 la probabilite d’obtenir 0 point.

On note p3 la probabilite d’obtenir 3 points.

On note p5 la probabilite d’obtenir 5 points.

On a donc p0 + p3 + p5 = 1.

Sachant que p5 =1

2p3 et que p5 =

1

3p0 determiner les valeurs de p0, p3 et p5·

2. Une partie de ce jeu consiste a lancer trois flechettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtientun total (pour les 3 lancers) superieur ou egal a 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total superieur ouegal a 8 points, il ne lance pas la troisieme flechette.

On note G2 l’evenement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».


On note P l’evenement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilite d’un evenement A.

a. Montrer, en utilisant un arbre pondere, que p (G2) =5

36.

On admettra dans la suite que p (G3) =7

36b. En deduire p(P ).

3. Un joueur joue six parties avec les regles donnees a la question 2.

Quelle est la probabilite qu’il gagne au moins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixee a 2 e.

Si le joueur gagne en deux lancers, il recoit 5 e. S’il gagne en trois lancers, il recoit 3 e. S’il perd, il nerecoit rien.

On note X la variable aleatoire correspondant au gain algebrique du joueur pour une partie. Les valeurspossibles pour X sont donc : −2, 1 et 3.

a. Donner la loi de probabilite de X.

b. Determiner l’esperance mathematique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Exercice 3 : (solution)Une entreprise confie a une societe de sondage par telephone une enquete sur la qualite de ses produits.On admet que lors du premier appel telephonique, la probabilite que le correspondant ne decroche pas est 0,4 etque s’il decroche, la probabilite pour qu’il reponde au questionnaire est 0,3.On pourra construire un arbre pondere.

1. On note :• D1 l’evenement : « la personne decroche au premier appel » ;• R1 l’evenement : « la personne repond au questionnaire lors du premier appel ».Calculer la probabilite de l’evenement R1.




2. Lorsqu’une personne ne decroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilite pour quele correspondant ne decroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilite pour qu’il reponde au questionnairesachant qu’il decroche est 0,2. Si une personne ne decroche pas lors du second appel, on ne tente plus de lacontacter.On note :• D2 l’evenement : « la personne decroche au second appel » ;• R2 l’evenement : « la personne repond au questionnaire lors du second appel » ;• R l’evenement : « la personne repond au questionnaire ».Montrer que la probabilite de l’evenement R est 0,236.

3. Sachant qu’une personne a repondu au questionnaire, calculer la probabilite pour que la reponse ait ete donneelors du premier appel. (on donnera la reponse arrondie au millieme)

4. Un enqueteur a une liste de n personnes a contacter (n > 1). Les sondages aupres des personnes d’une memeliste sont independants.

a. Calculer en fonction de n, la probabilite qu’au moins une personne de la liste reponde au questionnaire.

b. Determiner le nombre minimal de personnes que doit contenir la liste pour que la probabilite qu’au moinsl’une d’entre elles reponde au questionnaire, soit superieure a 0,9. Attendre l’etude de la fonction logarithme neperien

pour resoudre cette question.

Exercice 4 : (solution)Dans un pays imaginaire, on admet qu’un jour donne soit il fait beau, soit il pleut !S’il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilite egale a 1

2. S’il pleut un jour, alors il

pleuvra encore le lendemain avec un probabilite egale a 2

3.

Aujourd’hui il pleut.On s’interesse a la probabilite qu’il fasse beau demain, dans 2 jours, dans 3 jours, . . . , dans n jours.

1. Pour n > 1, on designe par Bn l’evenement « il fera beau dans n jours ».

a. Illustrer par un arbre pondere l’evolution possible de la meteo pour demain et apres demain. Donner P (B1)et calculer P (B2) .

b. Donner, pour n > 1, les valeurs de PBn(Bn+1) et PBn

(Bn+1).

Exprimer P (Bn+1 ∩ Bn) et P(

Bn+1 ∩ Bn

)

en fonction de P (Bn) .

Prouver que, pour n > 1, P (Bn+1) =1

6P (Bn) +

1

3.

2. On suppose desormais, pour n > 1, pn = P (Bn) et un = pn −2

5.

a. Prouver que (un) est une suite geometrique.

b. En deduire l’expression de un, puis de pn en fonction de n, pour n > 1.

c. Etudier le sens de variation de la suite (pn) et montrer que cette suite admet une limite que l’on calculera.Peut-on interpreter ces resultats ?




Solution n 1 :

Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de lacirculation.85% des dossiers entraınent des frais de reparation materielle. 20% des dossiers entraınent des frais de dommagescorporels. Parmi les dossiers entraınant des frais de reparation materielle, 12% entraınent des frais de dommagescorporels.

Soit les evenements suivants : R : « le dossier traite entraıne des frais de reparation materielle » ;D : « le dossier traite entraıne des frais de dommages corporels ».

On choisit un dossier au hasard.Dans tout l’exercice, les resultats seront donnes sous forme decimale, arrondis au millieme pres.

1. a.

R R Total

D 10,2 9,8 20

D 74,8 5,2 80

Total 85 15 100

b.

R0,85

D0,12

D0,88

R0,15

D0,653

D0,347

La probabilite d’une branche est egale au produit des poids situes sur cette branche.

2. On utilise l’arbre pondere.

a. P (D ∩R) = PR(D)× P (R) = 0,12 × 0,85 = 0,102

La probabilite que le dossier entraıne des frais de reparation materielle et des frais de dommages cor-porels est 0,102.

b. P (D ∩R) = PR

(

D)

× P (R) = 0,88 × 0,85 = 0,748

La probabilite que le dossier entraıne seulement des frais de reparation materielle est 0,748.

c. P (D ∩R) = PR(D)× P (R) = 0,653 × 0,15 = 0,098

La probabilite que le dossier entraıne seulement des frais de dommages corporels est 0,098.

d. P (D ∩R) = PR

(

D)

× P (R) = 0,347 × 0,15 = 0,052

La probabilite que le dossier n’entraıne ni frais de reparation materielle ni frais de dommages corporels0,052.




e. PD (R) =P (D ∩R)

P (D)=

0,102

0,2= 0,51

La probabilite que le dossier entraıne des frais de reparation materielle sachant qu’il entraıne des fraisde dommages corporels est 0,51.

3. a. p = P (D ∩ E) = PE(D)× P (E) =60

100×

40

100= 0,24

p = 0,24La probabilite pour que ce dossier corresponde a un exces de vitesse et entraıne des frais de dommagescorporels est p = 0,24.

b. On choisit cinq dossiers de facon independante. On est donc dans une situation d’independance.La probabilite qu’aucun des 5 dossiers ne corresponde a « un exces de vitesse et entraıne des frais dedommages corporels » est (1−p)5. Donc la probabilite pour qu’au moins un dossier corresponde a un excesde vitesse et entraıne des frais de dommages corporels est 1− (1− p)5, soit 0,746.

c. Soit n un entier (n > 1). On choisit n dossiers de facon independante. On est donc dans une situationd’independance.La probabilite qu’aucun des n dossiers ne corresponde a « un exces de vitesse et entraıne des frais dedommages corporels » est (1 − p)n. Donc la probabilite pour qu’au moins un dossier corresponde a unexces de vitesse et entraıne des frais de dommages corporels est 1 − (1 − p)n, soit 1 − (0,76)n. D’ou,1− (0,76)n > 0,9.

1− (0,76)n > 0,9

⇐⇒ (0,76)n 6 0,1

⇐⇒ ln (0,76)n 6 ln 0,1

⇐⇒ nln 0,76 6 ln 0,1

⇐⇒ n >ln 0,1

ln 0,76car ln 0,76 < 0

Or,ln 0,1

ln 0,76≈ 8,39. La valeur minimale de n pour que la probabilite qu’au moins un dossier corresponde

a un exces de vitesse et entraıne des frais de dommages corporels, soit superieure ou egale a 0,9, est 9 (9dossiers).

Solution n 2 :

Un jeu consiste a lancer des flechettes sur une cible. La cible est partagee en quatre secteurs, comme indique surla figure ci-dessous.

0 point

5 points

0 point

3 points

On suppose que les lancers sont independants et que le joueur touche la cible a tous les coups.

1. On sait que p5 =1

2p3 donc p3 = 2p5. De plus, p5 =

1

3p0 donc p0 = 3p5.




Comme p0 + p3 + p5 = 1, on en deduit que 3p5 + 2p5 + p5 = 1 ⇐⇒ 6p5 = 1 ⇐⇒ p5 =1

6

Ainsi, p0 =1

2, p3 =

1

3et p5 =

1

6.

2. Une partie de ce jeu consiste a lancer trois flechettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtientun total (pour les 3 lancers) superieur ou egal a 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total superieur ouegal a 8 points, il ne lance pas la troisieme flechette.



On note P l’evenement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilite d’un evenement A.

a.

0 point

1

2

0 point1

2

3 points1

3

5 points1

6

3 points1

3

0 point1

2

3 points1

3

5 points1

6 G2 est realise

5 points

1

6

0 point1

2

3 points1

3

G2 est realise

5 points1

6 G2 est realise

Dans un arbre pondere, la probabilite d’une branche est egale au produit des probabilites constituantcette branche. D’ou,p(G2) =

1

3×

1

6+ 1

6×

1

3+ 1

6×

1

6=⇒ p (G2) =

5

36.

On admettra dans la suite que p (G3) =7

36

b. P est l’evenement « le joueur gagne en 2 ou 3 lancers ». Ainsi, p(P ) = p(G2)+p(G3) car les evenementsG2 et G3 sont incompatibles. On a donc p(P ) = 1

3. D’ou, p(P ) = 2

3.

3. Un joueur joue six parties avec les regles donnees a la question 2.En considerant l’evenement contraire, puisque les lancers sont independants, la probabilite de perdre les six

parties est(

2

3

)6. On en deduit que la probabilite de gagner au moins une des six parties est 1−

(

2

3

)6.

4. Pour une partie, la mise est fixee a 2 e.

Si le joueur gagne en deux lancers, il recoit 5 e. S’il gagne en trois lancers, il recoit 3 e. S’il perd, il nerecoit rien.

a. D’apres les probabilites calculees dans les questions precedentes, la loi de probabilite de X est :k −2 1 3

p(X = k) 2

3

7

36

5

36




b. L’esperance mathematique de X estE(X) = −2× p(X = −2) + 1× p(X = 1) + 3× p(X = 3) = −

13

18≈ −0,72. Si le joueur jouait un tres

grand nombre de parties alors son gain moyen serait de −0,72 e. On peut dire que le jeu est defavorableau joueur. (Le joueur peut « esperer » perdre)

Solution n 3 :

1. En utilisant les donnees de l’exercice, on peut construire l’arbre pondere suivant :

D10,6

R10,3

R1

0,7

D1

0,4


L’evenement R1 correspond a l’evenement « la personne decroche au premier appel et repond au questionnairelors du premier appel ».P (D1 ∩ R1) = PD1

(R1)× P (D1) = 0,6× 0,3 = 0,18La probabilite de l’evenement R1 est 0,18.

2. On complete l’arbre precedent :

D1

0,6

R10,3

R1

0,7

D1

0,4

D20,7

R20,2

R2

0,8

D2

0,3


L’evenement R correspond a l’evenement « la personne decroche au premier appel et repond au questionnairelors du premier appel ou la personne ne decroche pas au premier appel mais decroche au second et repond auquestionnaire lors du second appel ».P (R) = P (D1∩R1)+P (D1∩D2∩R2) car les evenements D1∩R1 et D1∩D2∩R2 sont disjoints. Ces deuxderniers evenements correspondent chacun a une branche de l’arbre. Pour calculer la probabilite correspondanta une branche, on multiplie les poids de cette branche.

D’ou P (R) = 0,6 × 0,3 + 0,4× 0,7 × 0,2 = 0,236La probabilite de l’evenement R est 0,236.




3. Sachant qu’une personne a repondu au questionnaire, la probabilite pour que la reponse ait ete donnee lorsdu premier appel correspond a PR(R1).

PR(R1) =P (R ∩ R1)

P (R)=

P (R1)

P (R)=

0,18

0,236≈ 0,763

Sachant qu’une personne a repondu au questionnaire, la probabilite pour que la reponse ait ete donnee lorsdu premier appel est 0,763.

4. a. On calcule dans un premier temps la probabilite qu’aucune des n personnes ne reponde au questionnaire.La probabilite qu’une personne ne reponde pas au questionnaire est P (R) = 1− P (R).Les sondages aupres des personnes d’une meme liste sont independants. Donc, la probabilite qu’aucune desn personnes ne reponde au questionnaire est (1− P (R))n.Ainsi, par passage a l’evenement contraire, la probabilite qu’au moins une personne reponde au question-

naire est 1−(

1− P (R))n

, soit 1− 0,764n.

b. On est ramene a resoudre dans cette question, l’inequation 1− 0,764n > 0,9.

1− 0,764n > 0,9

⇐⇒ −0,764n > −0,1

⇐⇒ 0,764n 6 0,1

⇐⇒ ln (0,764n) 6 ln0,1 car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[

⇐⇒ nln0,764 6 ln0,1

⇐⇒ n >ln0,1

ln0,764car ln0,764 < 0

Or,ln0,1

ln0,764≈ 8,55

On en deduit que la liste doit contenir au moins 9 personnes pour que la probabilite qu’au moins l’uned’entre elle reponde au questionnaire, soit superieure a 0,9.

Solution n 4 :

1. a. A l’aide des informations donnees dans l’enonce, on construit l’arbre pondere suivant sachant qu’il pleutaujourd’hui :

B11

3

B21

2

B21

2

B1

2

3

B21

3

B22

3


On a P (B1) =1

3.

B1 et B1 forment une partition de l’univers. D’apres la formule des probabilites totales,




P (B2) = P (B2 ∩ B1) + P(

B2 ∩ B1

)

= PB1(B2)× P (B1) + PB1

(B2)× P(

B1

)

=1

2×

1

3+

1

3×

2

3

P (B2) =7

18b. Soit n > 1 :

on a PBn(Bn+1) =

1

2et PBn

(Bn+1) =1

3.

Donc P (Bn+1 ∩ Bn) = PBn(Bn+1)× P (Bn), soit P (Bn+1 ∩ Bn) =

1

2P (Bn).

et P(

Bn+1 ∩ Bn

)

= PBn

(Bn+1)× P(

Bn

)

= PBn

(Bn+1)×(

1− P (Bn))

,

soit P (Bn+1 ∩ Bn) =1

3

(

1− P (Bn))

.

Bn et Bn forment une partition de l’univers. D’apres la formule des probabilites totales,

P (Bn+1) = P (Bn+1 ∩ Bn) + P(

Bn+1 ∩ Bn

)

=1

2P (Bn) +

1

3

(

1− P (Bn))

=1

6P (Bn) +

1

3

Ainsi, pour tout entier n > 1, P (Bn+1) =1

6P (Bn) +

1

3.

2. Pour n > 1, pn = P (Bn) et un = pn −2

5.

a. Soit n > 1 :

un+1 = pn+1 −2

5

=1

6pn +

1

3−

2

5d’apres la question 1.b

=1

6pn −

1

15

=1

6pn −

2

30

=1

6

(

pn −2

5

)

=1

6un

Ainsi, pour tout entier n > 1, un+1 =1

6un. la suite (un) est une suite geometrique de raison q =

1

6et de

premier terme u1 = p1 −2

5=

1

3−

2

5= −

1

15.

b. Puisque (un) est une suite geometrique de raison q =1

6et de premier terme u1 = −

1

15, on a un = u1×qn−1

soit un = −1

15×

(

1

6

)n−1

, ∀n > 1.

Comme un = pn −2

5,∀n > 1, on a pn = un +

2

5soit pn = −

1

15×

(

1

6

)n−1

+2

5, ∀n > 1.

c. Soitn > 1 :

pn+1− pn = −1

15×

(

1

6

)n

+2

5−

(

−1

15×

(

1

6

)n−1

+2

5

)

=1

15×

(

1

6

)n−1

×

(

1−1

6

)

=1

18×

(

1

6

)n−1

On en deduit que pn+1 − pn > 0, ∀n > 1. La suite (pn) est donc croissante.




On sait que limn→+∞

qn = 0 si −1 < q < 1. Comme −1 <1

6< 1, on a lim

n→+∞

(

1

6

)n−1

= 0. Ainsi,

limn→+∞

pn =2

5par somme et produit.

L’interpretation est sujette a discussion.



probabilit´es conditionnelles exercices...

Documents