principes généraux de correction

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Principes généraux de correction

par Marcel NOUGARETProfesseur à l’Université de Grenoble, Laboratoire d’Automatique

a sortie du procédé que l’on commande doit évoluer pour suivre la consignedemandée. Il faut donc à tout instant (ou périodiquement en régulation

numérique) appliquer, à l’entrée puissance du procédé, la commande appropriée.Cette commande est calculée par un ensemble de traitements d’informations,le correcteur, qui utilise des opérateurs (sommateurs, gains, intégrateurs,dérivateurs) élaborant la commande à partir du signal d’erreur et des mesuresauxiliaires disponibles.

1. Définition.................................................................................................... R 7 405 - 21.1 Le correcteur ................................................................................................ — 21.2 But de la correction ..................................................................................... — 2

2. Spécifications ........................................................................................... — 22.1 Spécifications temporelles.......................................................................... — 22.2 Spécifications fréquentielles....................................................................... — 22.3 Équivalence des spécifications temporelles ou fréquentielles ................ — 22.4 Précision....................................................................................................... — 3

3. Structure des correcteurs ..................................................................... — 43.1 Fonctions de transfert des correcteurs ...................................................... — 43.2 Structure de commande ............................................................................. — 43.3 Terminologie usuelle ................................................................................... — 4

4. Correction des procédés à dominante du premier ordre ............. — 44.1 Limitations pratiques du réglage par un gain ........................................... — 5

4.1.1 Calculs théoriques .............................................................................. — 54.1.2 Conséquence de l’existence d’une petite constante de temps,

négligée précédemment .................................................................... — 64.2 Correcteur passe-bas................................................................................... — 64.3 Correcteur proportionnel et intégral (PI) ................................................... — 7

5. Correction des procédés à dominante du deuxième ordre .......... — 75.1 Correcteur PI pour un deuxième ordre ...................................................... — 85.2 Correcteur PID pour un deuxième ordre ................................................... — 9

5.2.1 Diverses formes .................................................................................. — 95.2.2 Réglages d’un PID pour un deuxième ordre .................................... — 95.2.3 Remarque : réglages pour un troisième ordre................................. — 9

6. Amortissement par retour dérivé ........................................................ — 106.1 Modification d’un premier ordre par retour dérivé .................................. — 106.2 Retour dérivé sur procédé du deuxième ordre ......................................... — 10

7. Correction par placement des pôles .................................................. — 117.1 Procédé du deuxième ordre ....................................................................... — 117.2 Exemple........................................................................................................ — 11

Références bibliographiques ......................................................................... — 12

L

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PRINCIPES GÉNÉRAUX DE CORRECTION ____________________________________________________________________________________________________

1. Définition

1.1 Le correcteur

Sans mettre en jeu d’énergie appréciable, le correcteur constituela partie « intelligente » de l’asservissement et sa déterminationjudicieuse confère à l’asservissement ses qualités. Aisé à modifier,le correcteur peut être muni d’une variation automatique de ses para-mètres suivant la plage de fonctionnement du procédé, dans le casoù celle-ci évolue lentement.

1.2 But de la correction

Le concepteur de l’asservissement rencontre deux types desituations, auxquelles il doit faire face :

— assurer une réponse acceptable pour des signaux de consignedéfinis en fonction du temps (par exemple : cycle de températurepour un traitement thermique) ;

— fournir des caractéristiques fréquentielles (gain, déphasage)demandées dans une bande de fréquences (par exemple : asservis-sement du mouvement d’un haut-parleur dans un système hautefidélité).

On impose les qualités de l’asservissement en termes de spéci-fications temporelles dans le premier cas, en spécifications fréquen-tielles dans le second cas.

Le but de la correction est de doter l’asservissement des qualitésattendues, par le calcul et l’implantation du correcteur nécessaire.Les opérateurs essentiels du correcteur sont réalisables à partird’amplificateurs à courant continu et d’éléments résistances/capa-cités. La réalisation numérique peut se transposer aisément à partird’un schéma analogique, en conservant la même organisation fonc-tionnelle et en associant un intégrateur numérique à chaqueintégrateur électronique.

2. Spécifications

Les spécifications sont formulées dans le domaine temporel oudans le domaine fréquentiel, avec des règles simples d’équivalenceentre ces deux domaines.

Elles concernent trois aspects :— la précision en régime établi (erreurs de position, de vitesse) ;— la rapidité (temps de réponse, bande passante) ;— l’allure de la réponse (régime transitoire peu oscillant, courbe

de réponse en fréquence plate).

2.1 Spécifications temporelles

Tout système linéaire donne une réponse qui est la somme deréponses élémentaires du premier ou du deuxième ordre. Les modesrapides disparaissant les premiers, l’essentiel de la réponse dépenden général du mode le plus lent, qui peut être soit un premier ordre,soit un deuxième ordre. Il en résulte que les systèmes physiques,même compliqués, ont très souvent une allure de réponse à domi-nante du premier ordre ou à dominante du deuxième ordre. Ons’efforce donc usuellement d’obtenir d’un système asservi, quelleque soit sa complexité, qu’il puisse ressembler soit à un premierordre, soit à un deuxième ordre ; d’où les deux types fondamentauxde réponse suivants (tableau 1).

■ Premier ordre : l’erreur s’atténue exponentiellement. Si τ est laconstante de temps, le temps de réponse à 5 % est :

tr = 3τ

Nota : le temps de réponse à 5 % est défini comme le temps à partir duquel le signalpénètre et demeure à l’intérieur d’une bande de ± 5 % de la valeur asymptotique finale,bande centrée sur cette valeur.

■ Deuxième ordre (amortissement z ; pulsation naturelle ωn ) :l’allure de la réponse varie avec l’amortissement. On a coutume deprendre z = 0,43 ; trois raisons à ce choix :

— tout d’abord, une formule simple donne le temps de réponseà 5 % :

tr = 2π /0,9ωn

— d’autre part, les erreurs de traînage sont plus faibles que pourz = 0,7 (qui donnerait le temps de réponse théorique minimal) ;

— enfin le temps de réponse pratique est voisin de celui que l’onobtiendrait pour z = 0,7.

2.2 Spécifications fréquentielles

Elles peuvent être données directement :— bande passante à – 3 dB ou – 6 dB pour l’asservissement ;— coefficient de surtension QdB (aussi appelé facteur de

résonance) ;— pulsation ou fréquence de résonance.

Elles peuvent également être indiquées en référence à des filtresstandards (ou réponses standards) du premier ou du deuxième ordre(§ 2.3).

2.3 Équivalence des spécifications temporelles ou fréquentielles

Le double aspect, fréquentiel ou temporel, est sous-jacent dansl’étude d’un asservissement et il est important de pouvoir aller alter-nativement de l’un à l’autre.

(0)

Notations et Symboles

Symbole Définition

F (p) fonction de transfertg gain statique de l’ensemble : actionneur,

procédé, capteurK gain statique du correcteurp variable de LaplaceQ facteur de résonance en boucle fermée

R (p) référence ou consigneS (p) signal de sortie du capteur

Ti constante de temps de l’intégrateurTd constante de temps du dérivateurtr temps de réponse à 5 %

u (p) commandez amortissement d’un système

du deuxième ordreα coefficient du correcteur passe-basε0 erreur statique sur l’échelon∆τ petite constante de tempsτ constante de tempsτa constante de temps apparenteωc pulsation de cassureωn pulsation naturelle d’un système

du deuxième ordreωr pulsation de résonance

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.R 7 405 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle

___________________________________________________________________________________________________ PRINCIPES GÉNÉRAUX DE CORRECTION

Les systèmes du premier et du deuxième ordre servent encorede guide et l’on admet que leurs propriétés s’étendent auxsystèmes réguliers (ainsi appelés car leur comportement rappellecelui d’un deuxième ordre).

Ainsi, pour obtenir une réponse temporelle du type premier ordre,on admet que la réponse en fréquence en boucle fermée doit resterplate jusqu’à la pulsation de cassure ωc = 1/τ, puis chuter au-delàavec une pente d’environ – 6 dB/octave (sur une étendue d’environune décade à partir de ωc).

De même, une réponse temporelle du type deuxième ordre, depulsation naturelle ωn et d’amortissement z = 0,43, se traduira parune réponse en fréquence d’abord plate puis présentant unesurtension Q = 2,3 dB (c’est celle que l’on obtiendrait pour unsystème du deuxième ordre strict dont l’amortissement seraitz = 0,43). Cette surtension ayant lieu pour la pulsation de réso-nance ωr pour laquelle on admet que les relations du deuxièmeordre restent vérifiées, soit :

si z = 0,43

au-delà, la courbe de gain chutera de – 12 dB/octave sur une étendued’environ une décade.

Le tableau 1 résume ces relations de passage, qui au sens strictne sont vraies que pour les systèmes du premier et du deuxièmeordre, mais que l’on utilisera néanmoins pour des systèmesquelconques (mais réguliers).

2.4 Précision

La précision s’intéresse à l’état final, après disparition des régimestransitoires. Un raisonnement simple permet de comprendre la situa-tion et d’expliquer le rôle d’un intégrateur, si l’on note quel’intégrateur est capable de fournir une sortie non nulle en présenced’une entrée nulle (article Performances d’un système asservi[R 7 200], dans la présente rubrique Automatique).

Rappelons que l’erreur sur l’échelon unitaire est :

où K est le gain statique, produit de tous les gains statiques ren-contrés le long de la boucle.

Tableau 1 – Équivalence temps-fréquence

Systèmes du premier ordre

Fonction de transfert

Temps Fréquence

réponse indicielletr temps de réponse à 5 %s (t ) sortie

réponse en fréquence (plan de Bode)ωc pulsation de cassure : ωc = 1/ τ

Systèmes du deuxième ordre

Fonction de transfert

Temps Fréquence

réponse en fréquence (plan de Bode)

réponse indicielle (z = 0,43) pour z = 0,43, Q = 2,3 dB

pulsation propre tr ≈ 2π /ωr Q coefficient de surtension

ωn pulsation naturelle ωr pulsation de résonance :

F p( ) 11 τp+------------------=

tr 3τ 3ωc-------- π

ωc--------≈ ≈ ≈

F p( ) 1

1 2z pωn

------- p 2

ωn2--------++

---------------------------------------=

ωp ωn 1 z 2–=

ωr ωn 1 2z2–=

ωr ωn 1 2z 2– 0,8 ωn== ε01

1 K+-----------------=



L’erreur statique est nulle si l’on a une intégration dans lachaîne directe. L’erreur de vitesse ε1 est l’intégrale de ε0.

La précision requise s’obtient en incorporant, si besoin est, un ouplusieurs intégrateurs dans le correcteur et en mettant un gainréglable.

3. Structure des correcteurs

3.1 Fonctions de transfert des correcteurs

L’obtention des spécifications résulte du calcul approprié del’action u (t ) à envoyer à l’actionneur, à partir des informationsdisponibles (la consigne, la sortie, les signaux intermédiairesaccessibles sur le processus).

Dans un schéma de régulation linéaire (opérateurs linéaires), onpeut associer à chaque information utilisée la fonction de transfertqui traduit sa contribution au calcul de l’action u (t ). Le correcteurgénéral comporte donc plusieurs fonctions de transfert reliant lessignaux utilisés (sortie, consigne) à la commande.

3.2 Structure de commande

La figure 1 montre l’organisation générale. On y trouve leclassique comparateur qui calcule l’écart ε (p). Un premier transfertCP (p) agit directement à partir de la consigne ; il réalise unecommande dite prédictive, en quelque sorte il préaccentue l’entrée,en général en forçant par anticipation la commande à se préparerà aller dans la bonne direction sans attendre le résultat effectif desortie.

Nous y avons fait figurer un bloc CA (p ) : ce bloc illustre l’utilisa-tion possible et fréquente de signaux auxiliaires mesurés par descapteurs ; ces signaux, prélevés sur le processus, peuvent amélio-rer le comportement de l’asservissement en participant au calculde l’action. À titre d’exemple usuel, dans l’asservissement de posi-tion d’un mobile, il est souvent possible de disposer, en plus dusignal de position, d’un signal de vitesse fourni par un tachymètre.Il faut remarquer que ces signaux auxiliaires peuvent, s’ils ne sontpas accessibles, être élaborés à partir de la sortie (on rejoint lesméthodes de commande par retour d’état sur observateur [3]).

Le bloc central CE (p), qui calcule l’action à partir du signal d’écart,joue un rôle essentiel. Alors que, dans beaucoup d’asservissements,les blocs CP (p) et CA (p) sont absents, le bloc CE (p) est le cœur del’asservissement. En particulier, c’est lui qui fixe la précision (inté-gration ou gain sur l’écart), le bloc CA (p) n’apportant le plus souventqu’une contribution transitoire (par exemple, dans un asservis-sement de position avec signal auxiliaire de tachymétrie).

3.3 Terminologie usuelle

CE (p) est dit correcteur série ou cascade.

CA (p) est dit correcteur parallèle. Il existe rarement seul, sous saforme usuelle. Il élabore et traite la dérivée de la sortie ou uneapproximation de celle-ci.

Le correcteur CE (p) est calculé en séparant les parties hautes etbasses fréquences ; il utilise habituellement de façon combinée troisformes élémentaires de correction :

— la correction proportionnelle P : u (t ) = K1 ε (t ) ;

— la correction intégrale I : ;

— la correction dérivée D : .

Pour comprendre le rôle de chacun de ces facteurs élémentaires,nous traiterons de leur effet sur les procédés dont la fonction detransfert est à dominante passe-bas du premier ou du deuxièmeordre (§ 4 et 5).

L’expérience montre que, hormis certains cas difficiles (systèmesmécaniques à couplage élastique, systèmes aéronautiques), lesprocédés industriels peuvent très souvent être modélisés approxi-mativement par un gain statique g et une partie dynamiquecomportant une ou deux constantes de temps, soit :

avec τ > 0, τ1 > 0, τ2 > 0.

4. Correction des procédésà dominantedu premier ordre

Nous considérons des procédés pour lesquels le gain g et laconstante de temps τ ont été déterminés expérimentalement (essaien échelon par exemple) ou bien théoriquement, en ayant éventuel-lement négligé une seconde constante de temps, petite devant τ. Ilfaut noter en particulier que la réalité est représentée par le modèle

mais qu’il ne peut s’agir que d’une représentation approxi-

mative, liée à une certaine échelle d’amplitude et de temps.

Il faut en conséquence, quand on veut fixer un temps de réponsedésiré pour un système bouclé, garder à l’esprit que ce temps deréponse (asservi) doit être comparé avec celui du système nonasservi et que leurs échelles de temps doivent être compatibles avecla précision des mesures du modèle dynamique en boucle ouverte.

ε0

u t( ) K 2�0

t

ε t( )dt=

u t( ) K 3dεdt--------=

Figure 1 – Structure de commande

Par exemple, si le modèle d’un processus comprend une constantede temps de 2 s et si les conditions expérimentales sont telles que l’onpuisse ne pas avoir tenu compte d’une constante de temps 50 fois pluspetite (0,04 s), il serait illusoire de vouloir calculer à partir du modèleapproximatif (τ = 2 s) un asservissement dont le temps de réponseserait de l’ordre des constantes de temps négligées ; il est clair que lemodèle serait utilisé ici en dehors de l’échelle de temps avec laquelle ila été établi.

F p( ) g1 τp+------------------= ou g

1 τ1p+( ) 1 τ 2p+( )----------------------------------------------------

g1 τp+-------------------



4.1 Limitations pratiques du réglagepar un gain

Nous nous proposons de montrer qu’un correcteur CE (p) = K ,bien que théoriquement satisfaisant pour un processus modélisé parun premier ordre, présente des risques d’instabilité en présence deconstantes de temps négligées très faibles, et cela particulièrementquand on veut des erreurs faibles. De plus, il entraîne descommandes qui sont, en transitoire, beaucoup plus grandes que lacommande permanente, provoquant ainsi un fonctionnement enrégime saturé qui risque d’être très gênant.

4.1.1 Calculs théoriques (figure 2)

■ Précision sur la réponse à l’échelon :

■ Fonction de transfert en boucle fermée :

Le système bouclé présente une constante de temps apparente τa :

■ Allure de la réponse :

temps de réponse à 5 % :

Notons que si l’on veut une erreur de 1 %, le temps de réponseasservi tr est le 1/100 de celui de la boucle ouverte (3τ) : il y a doncun risque certain qu’il se trouve dans le domaine des constantes detemps que l’on a dû éventuellement négliger.

■ Allure de la commande u (t ) : à l’instant t = 0, l’erreur initiale estε (0) = 1 (la sortie n’ayant pas pu commencer à répondre).

La commande initiale est donc :

u (0) = K ε (0) = K

Quand le système a fini de répondre, l’erreur atteint la valeur

finale .

La commande est alors :

On constate ainsi que la commande u (0) est égale à (1 + Kg) foisla commande finale. Pour une erreur de 0,01, cela correspond à unfacteur 100, et pour ε0 = 0,001 à un rapport 1 000. L’actionneurprésentant des saturations, une partie de la commande risque d’êtresaturée (à moins d’appliquer des échelons très petits). Ce phéno-mène de saturation est d’autant plus gênant que très souvent lesactionneurs présentent un retard à la désaturation. Ainsi, hormis lecas des systèmes à désaturation rapide (certains systèmes purementélectroniques), il faut éviter d’atteindre des régimes de saturation.

En résumé, le correcteur CE (p) = K , satisfaisant théoriquementpour un premier ordre, présente les inconvénients pratiquessuivants :

— il conduit à des commandes très fortes en transitoire dès quel’on veut des précisions correctes (1 % à 0,1 %) ;

— les échelles de temps de réponse que l’on obtient théorique-ment se situent dans des gammes où le modèle utilisé cesse d’êtresuffisamment précis.

11 Kg+------------------- ε0= réglable par K

Kg 100= ε0 0,01≈⇒

S p( )R p( )-------------

Kg1 Kg+( )

------------------------ 1

1 τ1 Kg+------------------- p+

----------------------------------=

τaτ

1 Kg+-------------------=

S t( ) Kg1 Kg+------------------- 1 exp – t/ τa( )–[ ]=

tr3τ

1 Kg+------------------- 3 τ ε0= =

ε01

1 Kg+-------------------=

uFinale K ε0 K 11 Kg+-------------------= =

Figure 2 – Correction d’un procédé du premier ordrepar un correcteur proportionnel seul



4.1.2 Conséquence de l’existenced’une petite constante de temps,négligée précédemment

On se propose ici de déterminer l’effet d’une petite constante detemps, notée ∆ · τ (où ∆, nombre sans dimension supposé petit, estle rapport de la plus petite constante de temps à la plus grandeconstante de temps), si l’on a calculé a priori un gain K en supposantun modèle du premier ordre, alors que la réalité est :

Pour le système réel, la fonction de transfert en boucle fermée est :

si Kg est élevé, ce second ordre risque d’être oscillatoire, on adopteen conséquence l’écriture normalisée du deuxième ordre :

avec

et de même

d’où

et

Alors que l’on s’attend théoriquement à avoir une réponse du pre-mier ordre, on obtient en fait une réponse du deuxième ordre dontl’amortissement z est d’autant plus faible que l’on veut une erreurfaible (ε0 petit), et est de plus fonction du rapport ∆ entre la constantede temps négligée ∆ τ et la constante de temps τ retenue pour lemodèle.

En considérant que, qualitativement, la réponse d’un deuxièmeordre ressemble à celle d’un premier ordre dès que z > 1, il vientalors :

ou, en admettant 1 + ∆ ≈ 1 :

soit ε0 > 4 ∆

ou encore

La relation précédente montre que, si l’on veut utiliser un modèledu premier ordre et calculer une régulation ayant une erreur ε0, touten assurant que l’allure de la réponse asservie reste voisine de celleque l’on pouvait prévoir à partir du modèle, alors les constantes detemps que l’on peut négliger doivent être suffisamment petites.

Pour faciliter le réglage d’un asservissement pour un processusdu premier ordre, il est souhaitable de pouvoir régler séparémentl’erreur et le temps de réponse du système asservi. Nous venons

de voir qu’un régulateur proportionnel seul impose une relationentre le temps de réponse et l’erreur, il faut donc utiliser un schémade régulation plus élaboré pour obtenir le contrôle séparé de laprécision et du temps de réponse. Deux types de correcteurs simplespermettent d’obtenir ce résultat : le correcteur passe-bas et lecorrecteur PI (proportionnel et intégral).

4.2 Correcteur passe-bas

La fonction de transfert d’un tel correcteur est :

avec K gain réglable,

τ1 constante de temps réglable,

α gain réglable > 1.Le réglable le plus simple consiste à prendre τ1 = τ, ce qui permet

de simplifier terme à terme le numérateur de CE (p) et le dénomi-nateur de F (p ) (fonction de transfert du système). Il vient alors(figure 3) :

L’erreur statique ε0 est, comme précédemment (§ 4.1.1) :

(réglable par K )

Par exemple, pour ε0 = 10 % = 0,1, la constante de temps, ∆τ, qui

peut être négligée doit être telle que , c’est-à-dire qu’elle

doit être au moins 40 fois plus petite que la constante de temps domi-nante retenue !

g1 τp+( ) 1 ∆τp+( )

--------------------------------------------------

S p( )R p( )--------------- Kg

1 Kg+( ) 1 ∆+( ) τp τ2 ∆⋅( )p 2+ +------------------------------------------------------------------------------------------=

Kg1 Kg+------------------ 1

1 1 ∆+( ) τp1 Kg+

----------------------------τ2 ∆⋅

1 Kg+----------------- p2+ +

------------------------------------------------------------------------ Kg1 Kg+------------------ 1

1 2z p

ωn

--------- p2

ωn2

---------+ +--------------------------------------------=

1

ωn2

--------- τ2 ∆⋅1 Kg+------------------ ∆ ε0 τ2= =

2zωn-------- 1 ∆+( ) τ

1 Kg+------------------------ 1 ∆+( ) ε0τ= =

ωn1τ----- 1

∆ε0

----------------=

z 12----- 1 ∆+

∆--------------- ε0=

z 1 ⇒ 12----- 1 ∆+

∆--------------- ε0 1>>

ε0 2 ∆>

∆ε0

4-------<

∆ 0,14

-------- 140--------=<

Figure 3 – Correction d’un procédé du premier ordrepar un correcteur passe-bas

CE p( ) K1 τ1p+

1 ατ1p+-----------------------=

S p( )R p( )---------------

Kg1 Kg+------------------- 1

1 ατ1 Kg+------------------ p+

-----------------------------------=

ε01

1 Kg+------------------=



La réponse à l’échelon de référence sera du type « constante detemps » avec une constante de temps apparente τa telle que :

(réglable par α pour ε0 donné)

Le temps de réponse est :

tr = 3τa = 3α τ ε0

Ce schéma permet d’obtenir une très bonne précision ε0 et untemps de réponse réglable ; en particulier, on pourra avoir dessystèmes dont la gamme de temps de réponse asservi est compatibleavec celle du temps de réponse en boucle ouverte.

En pratique, on met le correcteur en place, avec un gain K quiassure la précision requise, et l’on règle sur place le terme α pourobtenir le temps de réponse souhaité (avec de plus τ1 = τ).

On obtient ainsi l’allure de réponse représentée figure 3b. Quandα devient très petit, la réponse du système bouclé cesse deressembler à celle d’un premier ordre car le temps de réponse quel’on souhaiterait (3α τ ε0) devient de l’ordre de grandeur de laconstante de temps, ∆τ, négligée (courbe IV).

4.3 Correcteur proportionnelet intégral (PI)

Très répandu, il permet d’obtenir une erreur nulle (ε0 = 0) grâceà un intégrateur, ainsi qu’un temps de réponse réglable, en donnantde plus à la réponse l’allure d’une évolution exponentielle.

L’action u (t ) est proportionnelle à l’erreur ε (t ) et à l’intégrale del’erreur :

Puisque l’on ajoute ε (t ) et , le coefficient

a nécessairement la dimension de l’inverse d’un temps. On écriradonc :

K2/K1 = 1/Ti

et l’on posera K1 = K

d’où

soit, en prenant la transformée de Laplace :

La fonction de transfert du régulateur CE (p) est donc :

K est réglable,

Ti est réglable et s’exprime en secondes.

■ Réglages du régulateur

La fonction de transfert en boucle ouverte est :

si l’on néglige la petite constante de temps ∆τ.

En choisissant Ti = τ, cette fonction de transfert se simplifie et

donne .

La fonction de transfert en boucle fermée vaut alors :

On constate que le système bouclé va se comporter comme un

premier ordre dont la constante de temps apparente est

réglable par K.

■ Conclusion

Ce régulateur permet d’obtenir une erreur nulle sur l’échelon[ε0 = 0] car il y a un intégrateur dans la fonction de transfert en boucleouverte (article Performances d’un système asservi [R 7 200] dansla présente rubrique Automatique).

L’allure de la réponse est du type exponentielle si l’on choisit :

Ti = τ

Le temps de réponse à 5 % est réglable par K.

En pratique, on choisit Ti = τ, et l’on essaie le système asservi en

réglant le gain K pour obtenir le temps de réponse souhaité.

Quand le temps de réponse souhaité devient trop petit, il risqued’être de l’ordre de grandeur d’une constante de temps ∆τ que l’ona pu négliger. Le système est alors du deuxième ordre car la fonc-tion de transfert en boucle ouverte est en réalité :

Le système bouclé apparaîtra ainsi comme un deuxième ordre quirisque d’être peu amorti dès que Kg est grand (ou dès que le tempsde réponse souhaité est trop petit).

Si l’on peut effectuer l’essai du régulateur sur le processus, enayant choisi Ti = τ, la détermination expérimentale de z et ωn sur laréponse obtenue quand on augmente K permet de déterminer ∆.Disposant ainsi d’un modèle amélioré, on pourra, si nécessaire,obtenir une meilleure régulation à partir du modèle du second ordre

, en utilisant les techniques propres à la

commande des procédés du deuxième ordre.

5. Correction des procédésà dominantedu deuxième ordre

La fonction de transfert du processus est du type :

avec τ2 > τ1 > 0

Exemple

Fixons les spécifications suivantes :● ε0 = 1 %● le temps de réponse du système asservi (3α τ ε0) égal à du

temps de réponse de la boucle ouverte (3τ) :

tr (asservi) = 0,1 tr (BO)

on en tire α = 10.

τaατ

1 Kg+------------------- α ε0 τ= =

110--------

u t( ) K1ε t( ) K2 �0

t

ε t( )dt+=

u t( ) K1�ε t( )K2

K1-------- �0

t

ε t( )dt+ �=

A[ ] �0

t

ε t( ) dt A[ ]K 2

K 1---------=

u t( ) K �ε t( ) 1Ti------ �

0

tε t( )dt+ �=

u p( ) K �1 1Ti p------------+ � ε p( )=

CE p( ) K �1 1Ti p------------+ �=

T p( ) CE p( ) F p( ) K1 Ti p+( )

Ti p-------------------------- g

1 τp+------------------= =

T p( ) Kgτ p---------=

S p( )R p( )---------------- 1

1 τKg---------p+

-------------------------=

τaτ

Kg---------=

tr 3τa3τKg--------= =

T p( ) K 1 τ p+( )τ p

----------------------------- g1 τp+( ) 1 ∆τp+( )

-------------------------------------------------- Kgτp 1 ∆τp+( )-----------------------------------= =

g1 ∆τp+( ) 1 τp+( )

-------------------------------------------------

F p( ) g1 τ1p+( ) 1 τ2 p+( )

---------------------------------------------------=



Les méthodes d’analyse harmonique permettent d’obtenir desmodèles expérimentaux assez précis ; de même des méthodesd’identification permettent, à partir d’un traitement numérique effec-tué sur les entrées et les sorties d’un processus, d’obtenir la réponseimpulsionnelle ou la fonction de transfert d’un processus autour d’unpoint de fonctionnement (article Modélisation et identification desprocessus [R 7 140] dans la présente rubrique Automatique).

Ces méthodes, très puissantes, nécessitent des moyens d’acqui-sition de mesure très importants. En régulation industrielle, on secontente le plus souvent d’un essai en échelon, à partir duquel onobtient un modèle approché, modèle qui peut être corrigé quandon a l’occasion d’essayer la régulation projetée.

La méthode de Strejc offre un moyen commode d’obtenir unmodèle approché du deuxième ordre à partir d’un essai en échelonen boucle ouverte.

■ Méthode de Strejc

De nombreuses variantes de cette méthode existent. Nousdonnerons la version de la méthode qui se prête le mieux àl’exploitation rapide sur enregistrement.

Il faut disposer de l’enregistrement simultané de l’échelond’entrée et de la sortie du capteur (figure 4).

Sur l’enregistrement de la sortie, on cherche à déterminer unetangente d’inflexion. En notant les intersections de celle-ci avec lavaleur de départ et la valeur finale de la sortie, on obtient lesvaleurs de τ1 et de τ2 (figure 4b).

Le modèle obtenu est du type :

● Cas d’un retard : dans le cas où la sortie présente un retard audémarrage, on incorpore le retard et la constante de temps τ1 dansun retard équivalent, ce qui conduit à un modèle du type retard etconstante de temps (figure 5) :

5.1 Correcteur PI pour un deuxième ordre


■ Réglages

On choisit Ti = τ2 (la plus grande des deux constantes de temps) ;la fonction de transfert en boucle ouverte se simplifie et devient :

La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit alors :

Le système bouclé est un deuxième ordre dans lequel on nedispose plus que d’un seul paramètre de réglage, K. Un deuxièmeordre étant caractérisé par son amortissement t et sa pulsationnaturelle ωn , nous utiliserons K pour obtenir l’amortissementz = 0,43.

En adoptant l’écriture normalisée, il vient pour la fonction detransfert en boucle fermée :

d’où

soit

Choisissant z = 0,43, on en déduit le gain K qui assure le bonréglage :

(1)

En reportant cette valeur de K dans l’expression qui donne ωn,on obtient :

F p( ) g1 τ1p+( ) 1 τ2p+( )

--------------------------------------------------=

F p( )g exp τ1p–( )

1 τ2p+------------------------------------≈

T p( )K 1 Ti p+( )

Ti p-------------------------------- g

1 τ1p+( ) 1 τ2p+( )--------------------------------------------------=

T p( )K 1 τ2p+( )

τ2p------------------------------- g

1 τ1p+( ) 1 τ2p+( )-------------------------------------------------- Kg

τ2p 1 τ1p+( )------------------------------------= =

S p( )R p( )------------

Kg/ τ 2 p 1 τ1p+( )[ ]1 Kg/ τ 2p 1 τ1p+( )[ ]+------------------------------------------------------------- Kg

Kg τ2p τ1τ2p 2+ +-------------------------------------------------= =

Figure 4 – Méthode de Strejc

Figure 5 – Méthode de Strejc : cas d’un système présentant un retard

S p( )R p( )------------ 1

1τ 2p

Kg------------

τ1τ2 p 2

Kg---------------------+ +

---------------------------------------------------- 1

1 2z pωn

--------- p2

ωn2

---------+ +--------------------------------------------= =

2zωn--------

τ2

Kg---------= et 1

ωn2

-------τ1τ2

Kg-------------=

ωnKgτ1τ2

--------------------= et z 12-----

τ2

τ1-------- 1

Kg--------=

K 10,86( )2

---------------------τ2

τ1g----------=

ωn1

0,86 τ1--------------------=



Pour z = 0,43, on sait que la réponse du second ordre présente unpremier dépassement d’environ 20 %, le deuxième étant à – 5 %,

avec et ωp ≈ 0,9 ωn . D’où le temps de réponse tr :

■ Conclusion

Un régulateur , réglé pour un second ordre, conduit

à choisir Ti = τ2 ; la valeur du gain K qui donne z = 0,43 est calculéepar la formule (1). Le temps de réponse à 5 % est alors 2πτ1 (celaexplique pourquoi on a choisi Ti = τ2 : si l’on avait éliminé τ1 enprenant Ti = τ1, le temps de réponse à 5 % aurait été 2πτ2 , doncplus élevé). De plus, on a une erreur statique nulle. Ce réglage estsimple.

5.2 Correcteur PIDpour un deuxième ordre

Le régulateur PID (proportionnel, intégral et dérivé) consiste àélaborer une commande qui est la somme de trois termes : un termeproportionnel à l’erreur, un terme proportionnel à l’intégrale del’erreur et une partie proportionnelle à la dérivée de l’erreur. Il esttrès utilisé dans l’industrie, car il permet de régler l’amortissementet le temps de réponse d’une régulation d’un processus modélisépar un deuxième ordre.

5.2.1 Diverses formes

La commande est :

par raison d’homogénéité, les coefficients B /A et C /A sontnécessairement du type 1/T1 et T2 , où T1 et T2 sont des temps, d’oùune première écriture, en prenant la transformée de Laplace :

(2)

On préfère en général utiliser une autre forme, en faisant appa-raître le régulateur PID comme résultant de la mise en série d’unrégulateur PI suivi d’un régulateur PD (l’option dérivée est en généralproposée en complément du régulateur de base PI).

On écrit alors :

(3)

en identifiant, on passe de la première écriture à la seconde, soit :

D’où

5.2.2 Réglages d’un PID pour un deuxième ordre


Elle se simplifie si l’on choisit :

Ti = τ2 et Td = τ1

et se réduit alors à

D’où la fonction de transfert en boucle fermée :

La régulation se comporte comme un premier ordre, la constantede temps apparente étant :

, réglable par K

et le temps de réponse à 5 % tr :

Si l’on diminue trop le temps de réponse, il risque de devenir del’ordre de grandeur d’une troisième constante de temps négligée !(apparition d’une réponse en deuxième ordre qui permettrait sinécessaire de calculer la troisième constante de temps du proces-sus).

5.2.3 Remarque : réglages pour un troisième ordre

Sa fonction de transfert est du type :

Si l’on connaît la troisième constante de temps, on peut choisir :

La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrira alors, aprèssimplification :

d’où la fonction de transfert en boucle fermée :

Le système bouclé se comporte alors comme un deuxième ordredont on peut choisir l’amortissement en calculant la valeur du gain K.De plus, on pourra profiter de l’essai du système asservi pourobtenir ∆.

tr2πωp--------≈

tr2π

0,9ωn--------------- 2π τ1≈=

K �1 1Ti p------------+ �

u t( ) Aε t( ) B �0

tε t( ) dt C dε

dt--------++ A�ε t( ) B

A-----� t

0ε t( )dt C

A----- dε

dt--------++ �= =

CE p( ) A �1 1T1p------------ T2p+ + �=

CE p( ) K �1 1Ti p------------+ � 1 Tdp+( )= écriture usuelle du

correcteur PID

K1 Ti p+( )

Ti p-------------------------- 1 Td p+( ) K

Ti p------------ 1 Ti Td+( ) p TiTd p2+ +[ ]=

AT1 p------------- 1 T1 p T1T2p2+ +[ ]=

KTi------- A

T1--------≡

Ti Td+ T1≡TiTd T1T2≡

T p( ) K1 Tip+( ) 1 Td p+( )

Tip---------------------------------------------------- g

1 τ1p+( ) 1 τ2p+( )--------------------------------------------------=

KG p( ) Kgτ2p-----------=

S p( )R p( )--------------- 1

1τ2

Kg-------- p+

-------------------------=

τaτ2

Kg---------=

tr 3τa3τ2

Kg-----------= =

g1 τ1p+( ) 1 τ2p+( ) 1 ∆τ1p+( )

-------------------------------------------------------------------------------

Ti τ2=

Td τ1=τ2 τ1 ∆τ1> >

Kgτ2p 1 ∆τ1p+( )-----------------------------------------

S p( )R p( )--------------- 1

1τ2pKg

------------∆τ1τ 2

Kg----------------- p 2+ +

----------------------------------------------------------=



6. Amortissementpar retour dérivé

Un signal de correction auxiliaire très fréquemment utilisé estconstitué par la dérivée de la sortie, ou par une approximation decelle-ci dans la bande de fréquence du signal de sortie. De façongénérale, ce retour dérivé (ou retour tachymétrique) permetd’amortir un système et de le stabiliser. Les calculs seront faits icipour des processus du premier et du deuxième ordres, mais lesconclusions que l’on peut en tirer s’étendent à tous les systèmesréguliers.

6.1 Modification d’un premier ordrepar retour dérivé

Pour un procédé du premier ordre de commande u (t ) et de sor-tie s (t), la fonction de transfert est :

(4)

avec τ et g > 0.On établit une entrée extérieure u1 (t ) et on lui retranche la déri-

vée de la sortie avec un gain réglable B, pour fournir la commandeu (t ), soit (figure 6a) :

En prenant les transformées de Laplace, il vient :

U (p) = U1 (p) – BpS (p) (5)

Vis-à-vis de l’entrée extérieure u1 (t ), le nouveau système estéquivalent à [élimination de U (p) entre les équations (4) et (5)] :

On observe que le gain statique g est inchangé, par contre laconstante de temps apparente est augmentée (si Bg > 0). Ainsi lesystème est plus lent, il est davantage amorti. En réponse fréquen-tielle, la nouvelle pulsation de cassure est plus basse :

6.2 Retour dérivé sur procédédu deuxième ordre

Soit le système initial du deuxième ordre :

(6)

Son amortissement z et sa pulsation naturelle ωn vérifient :

Soit la commande u (t) constituée d’une commande extérieureu1 (t ) et d’un signal dérivé de la sortie comme ci-dessus[équation (5)]. Vis-à-vis de l’entrée extérieure u1 (t ), on obtient :

(7)

Ce nouveau système du deuxième ordre présente le même gainstatique g et la même pulsation naturelle ωn (le coefficient duterme en p2 restant égal à α2).

Par contre, l’amortissement est modifié. Si zm est l’amortissementdu nouveau système, on a :

soit

On constate ainsi que le terme B, réglable, permet à volonté dechoisir l’amortissement d’un système. L’emploi d’un retour dérivéen contre-réaction permet donc de stabiliser un système trop peuamorti.

En termes de réponse fréquentielle, la figure 6b illustre, pour undeuxième ordre, l’effet d’un accroissement du coefficient B. On peutpasser progressivement d’un système à fort facteur de résonance(courbe I) à un système du deuxième ordre équivalent à deuxconstantes de temps.

Si B est très élevé, le système du deuxième ordre deviendra unsystème à terme du premier ordre dominant, la fonction de trans-fert définie par l’équation (7) se réduisant à :

S p( )U p( )-------------- g

1 τp+------------------=

u t( ) u1 t( ) B dsdt---------–=

S p( )U1 p( )---------------- g

1 τ Bg+( )p+-------------------------------------=

ωc1

τ Bg+-------------------=

S p( )U p( )--------------- g

1 α1p α2 p 2+ +-------------------------------------------=

α12zωn--------= et α2

1

ωn2

-------=

S p( )U1 p( )---------------- g

1 α1 gB+( )p α2p2+ +--------------------------------------------------------------=

Figure 6 – Amortissement par retour dérivé

2zm

ωn------------ α1 gB 2z

ωn-------- gB+=+=

zm zgBωn

2-----------------+=

g1 α1 gB+( )p α2 p 2+ +---------------------------------------------------------------- g

1 α1 gB+( )p+------------------------------------------≈



7. Correction par placement des pôles

Nota : le lecteur se reportera à la référence bibliographique [3].

Les réglages vus précédemment sont simples, ils procèdent parélimination de la constante de temps dominante du procédé. Pourdes systèmes instables en boucle ouverte, ils ne s’appliquent doncpas. Ces réglages constituent un cas particulier d’une technique plusgénérale dite placement des pôles qui introduit dans le correcteurun nombre suffisant de paramètres permettant de déplacer,arbitrairement, dans le plan complexe la position des racines del’équation caractéristique. On sait (article Analyse temporelle[R 7 150] dans la présente rubrique Automatique) que chaque racineri de cette équation caractéristique contribue au régime transitoirede la réponse à l’échelon par le terme ci exp (rit) (ci étant le résidude la fonction de transfert en boucle fermée, évalué en p = ri). Lesracines ri sont placées afin d’assurer que le régime transitoires’atténue avec la rapidité désirée.

On peut noter que cette technique ne considère pas les zéros dela fonction de transfert en boucle fermée (qui ne jouent que sur lavaleur des résidus ci). Il en résulte quelquefois des dépassements ;on réduit habituellement ceux-ci avec un correcteur prédictif quiatténue les transitions brutales sur la référence.

7.1 Procédé du deuxième ordre

Pour un procédé passe-bas, la fonction de transfert est :

où les coefficients sont quelconques.

En adoptant la structure de commande donnée figure 7, tous lescalculs faits, la fonction de transfert en boucle fermée s’écrit :

avec :

(8)

On constate que les coefficients du dénominateur peuvent êtremodifiés à volonté par le choix des paramètres K1 , K2 , K3 . Lepolynôme du dénominateur peut donc avoir des racines arbitraires.On choisira soit trois constantes de temps, soit une constante detemps et un deuxième ordre, conformes aux spécifications.

7.2 Exemple

Considérons un asservissement de température d’une petiteenceinte.

En faisant varier la commande de la puissance thermique enéchelon et en enregistrant le signal du capteur, on obtient le modèleapproximatif suivant :

Le temps de réponse en boucle ouverte est d’environ 30 s.■ On veut réaliser un asservissement avec :

— une erreur statique nulle ;— un temps de réponse trois fois plus rapide en boucle ouverte ;— une réponse sans dépassement.

■ On ajoute une intégration pour avoir une erreur statique nulle(§ 4.3). On pourrait ici utiliser un régulateur PI en choisissant Ti pouréliminer par une simplification approximative la constante de tempsde 10 s, puis calculer le gain pour obtenir un amortissement supé-rieur ou égal à 1.

Une autre méthode consisterait à régler le régulateur PI parles techniques fréquentielles (article Correction fréquentielleanalogique [R 7 410] dans la présente rubrique Automatique).

■ À titre d’illustration, nous utiliserons un calcul par placement despôles (§ 7.1). On a ici :

b0 = 2 b1 = 0

a0 = 1 a1 = 12 a2 = 20

On choisit des racines conformes aux spécifications ; pour untemps de réponse de 10 s, il faut une constante de temps de l’ordrede 3 s.

Pour simplifier les calculs, nous prendrons une double constantede temps de 3 s et une troisième constante de temps, plus rapide,de 1 s.

Le dénominateur de la fonction de transfert en boucle ferméechoisie est alors :

En utilisant les équations (8), il vient :

α = 7 = (1 + 2K1)/2K3

β = 15 = (12 + 2K2)/2K3

γ = 9 = 20/2K3

En résolvant, on obtient les coefficients du correcteur :

; K2 = 10,7 ; K1 = 7,3

F p( )b0 b1p+

a0 a1p a2 p 2++---------------------------------------------=

S p( )R p( )---------------

�1K1

K3--------p+ ��1

b1

b0-------- p+ �

1 αp βp 2 γ p 3+ + +------------------------------------------------------------=

α a0 b0K1 b1K3+ +( )/ K3 b0( )=

β a1 b0K2 b1K1+ +( )/ K3b0( )=

γ a 2 b1K2+( )/ K3 b0( )=

21 2p+( ) 1 10p+( )

-------------------------------------------------- 21 12p 20 p2+ +-------------------------------------------=

Figure 7 – Placement des pôles

D p( ) 1 3p+( )2 1 p+( ) 1 7p 15p2 9p3+ + +≡=

K3109

-------- 1,1= =



La fonction de transfert en boucle fermée sera donc : Notons que le facteur (1 + 6,6 p) qui apparaît au numérateurrésulte de la position du gain K1, placé après l’erreur. Ce facteur estégal à 1 si le gain K1 est placé comme indiqué en pointillés sur lafigure 7, et n’affecte alors que la sortie.

S p( )R p( )-------------- 1 6,6p+

1 p+( ) 1 3p+( ) 2---------------------------------------------=

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Références bibliographiques

[1] DE CARFORT (F.), FOULARD (C.) et CALVET(J.). – Asservissements linéaires continus.Dunod (1976).

[2] GILLE (J. Ch.), DECAULNE (P.) et PÉLEGRIN(M.). – Dynamique de la commande linéaire.Dunod (1967).

[3] DE LARMINAT (P.) et THOMAS (Y.). – Auto-matique des systèmes linéaires. Tome 3,Commande, Flammarion Sciences (1977).

[4] TAKAHASHI (Y.), RABINS (M.) et AUSLANDER(D.). – Control. Addison Wesley (1970).

[5] DORF (R.). – Modern Control Systems. AddisonWesley (1967).

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principes généraux de correction

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