pour un suivi en arithmétique de la troisième à la … · 1 voir en annexe 1 les classes pour...

I.R.E.M. de Toulouse

Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale

Groupe Second Cycle :

Bernard Destainville, Sophie Dupuy - Touzet, Marc Ducret, Jean-Marc Gibert,

Alain Viet, Bernard Vinter.

Sommaire

PRÉLIMINAIRE...................................................................................................1 Arithmétique, maths hermétiques ?.....................................................................1

INTRODUCTION.................................................................................................3

Partie 1 - Constats ..............................................................................................5 1. Analyse de tests..............................................................................................6

A. Premier test : à propos du PGCD....................................................... 6 B. Second test : raisonnements en arithmétique .................................. 13

2. Erreurs classiques.........................................................................................15 A. Erreurs liées à un problème de langage........................................... 15 B. Erreurs liées au statut des nombres................................................. 16 C. Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu............................... 16 D. Autres erreurs .................................................................................. 17

3. Pratique arithmétique ....................................................................................18 A. Les « matériaux »............................................................................. 18 B. Les techniques ................................................................................. 19 C. La logique......................................................................................... 22 D. Apprendre à réfléchir........................................................................ 24

Partie 2 - Les raisonnements en arithmétique...................................................27 1. Un problème de sensibilisation .....................................................................27 2. La diversité des formes de raisonnement .....................................................29

A. Raisonnement exhaustif ................................................................... 29 B. Raisonnement par disjonction des cas............................................. 31 C. Raisonnement par récurrence.......................................................... 34 D. Raisonnement par l’absurde ............................................................ 35 E. Raisonnement par contraposition..................................................... 37 F. Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple et recherches

complémentaires....................................................................................... 37

Partie 3 - Des algorithmes en arithmétique .......................................................41 1. Ranger n nombres dans l’ordre croissant .....................................................42 2. Comparer des nombres ................................................................................43

A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43 B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45

3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46 4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47

A. Des algorithmes ............................................................................... 47 B. Trois applications classiques de l’algorithme d’Euclide .................... 50

Partie 4 - Des problèmes pour améliorer la situation ........................................51 1. Calculs simples .............................................................................................51

A. Calculs sur les fractions, retombées algébriques. ............................ 51 B. Réflexion sur la notion de diviseur et de multiple. ............................ 52

2. Problèmes liés à la numération décimale......................................................52 3. Parité.............................................................................................................54

A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs. ........................... 54 B. D’autres exercices à propos de la parité .......................................... 56

Irem de Toulouse

4. Division euclidienne...................................................................................... 57 5. Divisibilité - Approche du théorème de Gauss.............................................. 58 6. Apprendre à reconnaître une situation arithmétique..................................... 60 7. Triplets pythagoriciens.................................................................................. 62 8. À propos de l’équation diophantienne ax + by = c ...................................... 63

CONCLUSION.................................................................................................. 69

Bibliographie..................................................................................................... 71

Annexes............................................................................................................ 73

1

PRÉLIMINAIRE

ARITHMETIQUE, MATHS HERMETIQUES ?

On associe parfois l’arithmétique à la cryptographie et son domaine d’expression se réduit souvent à quelques problèmes « réalistes » de carreleur ou autres métiers d’assemblage. Cela ne paraît ni vraiment pertinent ni très stimulant.

Par ailleurs, quel enseignant ne constate pas tous les jours les difficultés de ses élèves à maîtriser des fondamentaux comme le calcul algébrique, la rigueur des raisonnements, pourtant nécessaires à la structuration des savoirs et savoir-faire ?

Or nous pensons que l’arithmétique, loin d’être un art hermétique, pourrait par la diversité des problèmes qu’elle propose, prolonger l’activité sur les nombres, engagée en primaire, et ancrer solidement chez l’élève les règles de calcul dont la connaissance est devenue trop souvent approximative peut-être par un usage précoce et généralisé de machines auxquelles les élèves délèguent de façon abusive l’intelligence des calculs. Alors, quand ces dernières ne sont plus utilisables, comme pour un calcul littéral, l’élève, révélant ses carences, commet de nombreuses erreurs, décourageantes et nuisibles à son travail de fond.

Mais nous croyons aussi que l’arithmétique a d’autres vertus. En effet, il est possible dans ce champ d’aborder de façon relativement

empirique, et ludique, les principales méthodes de raisonnement telles que le maniement du contre-exemple, la disjonction des cas, la récurrence, le raisonnement par l’absurde et contraposition ou encore le raisonnement par équivalences. Bien évidemment, cela n’est pas le privilège de l’arithmétique.

Il n’en demeure pas moins que l’arithmétique ouvre ces possibilités et qu’elle apparaît dans une certaine continuité des acquisitions du primaire, où un travail important est fait sur les nombres, jetant les bases du calcul. La place historique qu’elle occupe dans la construction des mathématiques peut être un motif supplémentaire de lui donner un rôle plus conducteur dans l’enseignement de notre discipline et l’acquisition par l’élève de certains fondamentaux. Mais pour le stimuler, il faut aussi permettre à l’élève de répondre aux questions soulevées par ses recherches et d’aborder une grande diversité de problèmes. Pourquoi alors ne pas envisager de lui donner assez tôt des notions clés : nombres premiers et premiers entre eux, PGCD et PPCM ainsi que les théorèmes de Bézout et de Gauss ?

Nous voulons illustrer dans cette brochure en quoi et comment l’arithmétique peut être un outil pour aider les élèves à progresser en algèbre et en logique.

3

INTRODUCTION De la lecture des programmes du secondaire, il ressort le choix d’accorder

une place non négligeable à l’enseignement de l’arithmétique. Sa forte présence dans les classes d’examen (en Troisième et en spécialité de Terminale S) traduit la volonté de valoriser son apprentissage.

On remarque toutefois un suivi chaotique : dans le programme de Seconde l’arithmétique est réduite à la portion congrue ; elle disparaît du programme en Première S, revient « en force » en spécialité de Terminale S et a une place importante dans les programmes de l’option mathématiques en série L.

Nous voulons à travers cette brochure mettre en évidence les lacunes de nos

élèves en arithmétique, leurs conséquences, et la nécessité d’une pratique régulière afin de les combler.

Nous voulons également montrer les enjeux pédagogiques de l’enseignement de l’arithmétique. Celui-ci peut être profitable à d’autres domaines des mathématiques. En particulier, l’arithmétique, à l’instar de la géométrie, est une bonne école pour apprendre à raisonner.

Une pratique régulière ne peut être que bénéfique pour favoriser l’apprentissage de nombreuses démarches mathématiques, logiques et algorithmiques.

La première partie de cette brochure est celle des constats. Nous commençons par analyser des tests posés dans des classes de

Troisième, Seconde générale, et Première S, qui mettent en évidence la volatilité des acquis, et la précarité des méthodes utilisées par défaut par les élèves.

Nous voulons ainsi montrer la nécessité d’un enseignement « continu » en arithmétique, tout au long de la scolarité.

Techniques et méthodes doivent être entretenues. Plus on pratique, plus on acquiert des habitudes, de l’expérience, et plus on peut espérer développer des acquis durables et familiers.

Nous analysons ensuite des erreurs « classiques », imputables à une

mauvaise pratique de l’arithmétique. Enfin, nous présentons et illustrons de quelques exemples, les

connaissances minimales en arithmétique que les élèves doivent acquérir et savoir réinvestir.

La seconde partie concerne l’ensemble des raisonnements que

l’arithmétique permet de mettre en œuvre.

Pour un suivi en arithmétique

Irem de Toulouse 4

A partir d’un test exposé dans la première partie, nous explicitons différentes formes de raisonnement. Elles ne sont évidemment pas propres à l’arithmétique, mais l’arithmétique est un moyen de les mettre en œuvre.

Le choix d’un mode de raisonnement n’est pas fortuit et l’apprentissage est progressif ; il sera utile dans tous les domaines des mathématiques.

Les différentes formes de raisonnement doivent être pratiquées régulièrement : un exercice ne suffit pas pour apprendre ; un entraînement est nécessaire tout au long de la scolarité, pour entretenir les acquis.

Nous proposons dans cette seconde partie des exercices d’arithmétique qui illustrent chaque type de raisonnement. Ils sont délibérément simples, afin que d’autres difficultés mathématiques ne masquent pas le raisonnement visé.

La troisième partie est consacrée aux algorithmes. Sans parler de la programmation (programmer, même sur une calculatrice,

commence, en général, par la conception d’un algorithme), les élèves sont, consciemment ou non, confrontés fréquemment à l’utilisation d’un algorithme. Déjà avec les quatre opérations en numération décimale, chaque technique correspond à un algorithme. Les élèves devraient les connaître, même si la calculatrice leur fournit la réponse !

Aborder un problème d’un point de vue algorithmique est une démarche intellectuelle souvent implicite. On peut l’expliciter à l’aide d’exercices d’arithmétique simples. Nous en proposons dans cette troisième partie qui nécessitent la réalisation d’un algorithme, plus ou moins raffiné, pouvant aller jusqu’à une programmation.

La quatrième partie est un recueil d’exercices variés. Si elle est bien présentée, l’arithmétique est un bon support pour éveiller la

réflexion et développer la rigueur mathématique à tous les niveaux. Les exercices de cette quatrième partie, abordables pour une majorité

d’entre eux dès la Troisième, permettent d’assurer un suivi que nous jugeons indispensable, en exploitant les richesses de l’arithmétique.

Constats

5

PARTIE 1 - CONSTATS L’observation des programmes de la Sixième à la Terminale laisse perplexe

quant au suivi en arithmétique1. Cette première partie présente un certain nombre de constats sur les

compétences de nos élèves en arithmétique à différents moments de leur cursus, et propose un inventaire de pratiques en arithmétique qu’ils devraient entretenir tout au long de leur scolarité.

Dans un premier paragraphe, nous présentons et analysons les résultas de

tests. Le premier test a été posé à des classes de Troisième et de Seconde. Il

s’intéresse à la notion de PGCD de deux nombres, et à son calcul. Les besoins évoluent au cours de la scolarité, et il faut permettre une

ouverture vers d’autres niveaux de difficultés. Ainsi, l’algorithme d’Euclide ou l’algorithme de différence pour la recherche du PGCD de deux nombres étudiés en Troisième, font place en Seconde à l’utilisation de la décomposition d’un entier en produit de nombres premiers. On peut espérer que cette nouvelle méthode ne s’apprend pas au détriment des précédentes, mais l’analyse des résultats du test présenté nous montre le contraire. Cela est d’autant plus regrettable que l’on retrouvera l’algorithme d’Euclide en spécialité de Terminale S, notamment pour faciliter la recherche des coefficients de Bézout ; tout sera alors à reprendre.

Le second test a été posé dans une classe de Première S, où l’arithmétique ne figure pas au programme. L’analyse des réponses montre que les élèves présentent de réelles lacunes en matière de raisonnement : ils ne savent pas élaborer une argumentation rigoureuse pour justifier un résultat qui leur apparaît pourtant clairement.

Dans un second paragraphe, nous présentons des erreurs fréquemment

rencontrées et mettons en évidence le lien entre certaines difficultés et le manque de « pratique arithmétique ».

Dans un dernier paragraphe, nous proposons un inventaire, illustré de

quelques exercices, de savoirs et savoir-faire indispensables afin d’acquérir au mieux cette « pratique arithmétique ».

1 Voir en annexe 1 les classes pour lesquelles les programmes ou leurs accompagnements

font référence à des notions d’arithmétique.


Irem de Toulouse 6

1. ANALYSE DE TESTS

A. Premier test : à propos du PGCD

En fin de Troisième les élèves doivent connaître au moins un algorithme donnant le PGCD de deux nombres. En Seconde, ils apprennent à décomposer un entier en produit de nombres premiers, et utilisent cette décomposition dans la recherche du PGCD de deux entiers.

Afin d’évaluer dans quelle mesure les apprentissages en arithmétique en classe de Seconde complètent ou supplantent ceux des années antérieures, nous avons élaboré un test à partir d’un problème posé en 2000 au brevet des collèges.

Ce test a été posé simultanément à 10 classes de Seconde d’un lycée

d’enseignement général (322 élèves au total), à l’occasion d’un contrôle commun de mathématiques.

Le chapitre sur les nombres premiers a été traité par l’ensemble des classes au mois de septembre. Après discussions avec les collègues, il est apparu qu’il n’a été fait, dans aucune classe, de révision sur les supposés acquis du collège en arithmétique. Le devoir a eu lieu mi-décembre, soit plus de deux mois après le chapitre traitant des nombres premiers.

Le test a été distribué après 1h30 de devoir, indépendamment du reste du sujet2. Les élèves ont disposé de 30 minutes pour y répondre. Les machines à calculer étaient autorisées.

Sujet :

1- a) Décomposer les entiers 1320 et 825 en produits de nombres premiers, en déduire leur PGCD. b) Citer au moins une autre méthode de calcul du PGCD de deux entiers, et l’appliquer pour 1320 et 825. 2- Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. a) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser. b) Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ? 3- Résoudre le problème de la question 2 avec 17017 timbres français et 1183 timbres étrangers.

2 L’énoncé du test tel qu’il a été posé figure en annexe 2.

Constats

7

Analyse3 :

Question 1a :

Énoncé : Décomposer les entiers 1320 et 825 en produits de nombres premiers, en déduire leur PGCD.

Réponses : 1320 = 11 × 5 × 3 × 2 × 2 ×2 825 = 11 × 5 × 5 × 3 PGCD(1320 ; 825) = 11 × 5 × 3 = 165

L’objectif de cette question est d’évaluer le niveau d’acquisition de la

technique de décomposition en produit de nombres premiers, et son utilisation pour le calcul du PGCD de deux entiers.

La décomposition en produit de nombres premiers est le « noyau dur » de

l’arithmétique en classe de Seconde. Les élèves sont amenés au collège à décomposer des entiers pour réduire des fractions, mais ce n’est qu’en Seconde que le procédé est formalisé.

o 77% des élèves ont correctement décomposé les entiers en produits de

nombres premiers. o 16% ont commis des erreurs dans la décomposition (1% par

méconnaissance de la technique, les autres ayant fait des erreurs de calcul ou n’ayant pas mené la décomposition jusqu’à son terme.)

o 7% n’ont pas traité la question.

Le pourcentage de réponses correctes traduit la bonne acquisition du

procédé par les élèves. Le recours à la décomposition en produit de nombres premiers dans la

recherche du PGCD de deux entiers est une technique nouvelle. On peut se demander dans quelle mesure les élèves y adhèrent, ayant à leur disposition d’autres procédés acquis les années antérieures.

o 41,5% des élèves ayant effectué correctement la décomposition savent

l’utiliser dans le calcul du PGCD de deux entiers. On peut déplorer un si faible pourcentage que l’on peut vraisemblablement

imputer à un « blocage » des élèves face à un procédé radicalement différent de ceux étudiés précédemment. Sans doute l’utilité d’un tel procédé ne leur apparaît-elle pas clairement, entraînant une réticence à apprendre cette méthode.

3 Les données statistiques figurent en annexe 3.


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La recherche du PGCD de deux entiers à partir de leurs décompositions en produit de nombres premiers fait apparaître des erreurs spécifiques au procédé :

o 26% des élèves confondent le PGCD de deux nombres avec leur plus

grand diviseur premier commun ;

o 10% parlent du PGCD d’un nombre. Dans les techniques pratiquées au collège, la recherche du PGCD de deux

nombres se fait en travaillant simultanément sur les deux entiers. Avec la décomposition, on fait apparaître une étape préparatoire qui consiste à travailler séparément sur chaque nombre, ce qui peut générer une confusion dans la signification du PGCD.

Question 1b :

Énoncé : Citer au moins une autre méthode de calcul du PGCD de deux entiers, et l’appliquer pour 1320 et 825. Réponses : algorithme de différence :

1320 – 825 = 495 825 – 495 = 330 495 – 330 = 165 330 – 165 = 165

algorithme d’Euclide : 1320 = 825 × 1 + 495 825 = 495 × 1 + 330 495 = 330 × 1 + 165 330 = 165 × 2 + 0

L’objectif de cette question est de dresser un bilan des acquis de collège sur

les techniques du calcul du PGCD de deux nombres (sans révision). Avec les entiers choisis, l’algorithme de différence est aussi rapide et de

même difficulté numérique que l’algorithme d’Euclide car les quotients (hormis le dernier) valent 1. Cela n’apparaît qu’au fil des calculs, et n’est donc pas un argument dans le choix de la méthode.

o 14,5% des élèves ont recours à la différence;

o 41% font référence à la division euclidienne ;

o 44,5% n’ont pas traité la question.

La division euclidienne est la méthode que les élèves privilégient. Ils en ont

une bonne pratique, car 70,5% de ceux qui y recourent parviennent à l’appliquer.

Les élèves ayant utilisé l’algorithme de différence sont tous parvenus au

résultat, ce qui traduit la maîtrise du procédé dans un cas relativement simple, pour ceux qui le connaissent.

Constats

9

Parmi les élèves qui ont su calculer le PGCD avec une méthode de collège,

40,7% n’avaient pas correctement traité la question 1a. On peut juger ainsi de la difficulté pour un certain nombre d’élèves à

s’approprier une nouvelle technique alors qu’ils en maîtrisent déjà une.

Question 2 :

Énoncé : Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. a) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser. b) Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ?

Réponses : a) Il pourra réaliser 165 lots. b) Il y aura 8 timbres français, et 5 timbres étrangers par lot.

Cette question est inspirée d’un exercice posé au brevet des collèges. Les élèves de Troisième sont familiarisés avec des problèmes de ce type,

qui constituent la majorité des exercices d’arithmétique au collège, mais sont quasiment absents des manuels de Seconde.

Nous avons voulu à travers cette question évaluer la capacité des élèves à

réinvestir un savoir-faire acquis au collège et non exploité au lycée. o 52% des élèves ont donné une réponse en cohérence avec la valeur du

PGCD déterminée dans les questions précédentes ; o 36% ont donné une réponse fausse ;

o 12% n’ont pas traité la question.

Question 3 :

Énoncé : Résoudre le problème de la question 2 avec 17017 timbres français et 1183 timbres étrangers.

Réponses : Recherche du PGCD de 17017 et 1183 :

En utilisant la décomposition en produit de nombres premiers : 17017 = 7 × 11 × 13 × 17 1183 = 7 × 13 × 13

En utilisant l’algorithme d’Euclide 17017 = 1183 × 14 + 455 1183 = 455 × 2 + 273


Irem de Toulouse 10

455 = 273 × 1 + 182 273 = 182 × 1 + 91 182 = 91 × 2 + 0

L’algorithme de différence comporte 20 étapes !

Le PGCD de 17017 et 1183 est 91 ; il doit donc y avoir au maximum 91 lots. 17017 = 91 × 1877 ; 1183 = 91 × 13 ; chaque lot doit donc contenir 187 timbres français et 13 timbres étrangers.

L’objectif de cette question est de placer les élèves face à un choix de

méthode. Les entiers ont été choisis de telle sorte qu’aucune des méthodes ne puisse

être préférable aux autres a priori. Nous avons exclu les diviseurs 2, 3, 5 et 10 afin que la décomposition en facteurs premiers ne soit pas « attirante », mais choisie pour elle-même parmi les différentes techniques.

o 26% des élèves ont opté pour la décomposition en produit de nombres

premiers ; 45% d’entre eux parvenant au résultat ;

o 17% ont opté pour la division euclidienne ; 91% d’entre eux parvenant au résultat;

o 3% ont opté pour la différence ; 56% d’entre eux parvenant au résultat;

o 54% des élèves n’ont pas traité la question.

La méthode privilégiée par les élèves est la dernière étudiée bien que n’étant

pas correctement maîtrisée. Cela peut être dû au fait que les méthodes de collège n’ont pas fait l’objet de révisions.

La division euclidienne reste la méthode la plus sûre pour les élèves qui y

recourent, même après plusieurs mois sans pratique. On peut constater que plus de la moitié des élèves de seconde ne sait pas,

ou plus, résoudre ce type d’exercice dans son intégralité.

Prolongement :

Il nous est apparu important, afin de corroborer les conclusions faites à l’issu du test posé en Seconde, de proposer les questions 2 et 3 en fin de Troisième et à l’entrée en Seconde (avant d’aborder les nombres premiers).

La classe de Troisième à laquelle le test a été proposé était composée de 21

élèves, dont 2 redoublants. A l’issue du conseil du troisième trimestre, 3 élèves sont partis en apprentissage, 1 est sorti de tout système scolaire ou d’apprentissage, 6 ont intégré une Seconde professionnelle et 12 une Seconde générale ou technologique.

Constats

11

Le test a été posé 2 mois après le chapitre d’arithmétique. La classe de Seconde (options SES ou LV3) à laquelle le test a été proposé

avant d’aborder le chapitre sur les nombres premiers était composée de 33 élèves, dont 7 redoublants qui avaient effectué le test complet l’année précédente.

Énoncé : 1- Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. a) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser. b) Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ? 2- Résoudre le même problème avec 17017 timbres français et 1183 timbres étrangers.

Dans les deux classes, l’exercice est assez bien traité4. Seuls trois élèves de Troisième ont expliqué pourquoi ils calculaient le PGCD

de 1320 et 825, aucun des élèves de Seconde n’a justifié son emploi. Pourtant, la majorité des élèves ayant trouvé le PGCD a su l’utiliser en tant que diviseur pour trouver la répartition.

Sans doute le caractère concret et les nombres raisonnables ont-ils contribué à cela.

Le recours au PGCD semble donc être plus une recette que réellement pensé comme moyen d’obtenir un diviseur commun de plusieurs nombres, c’est pourquoi la justification de son emploi nous semble indispensable dans ce type d’exercice.

Seuls deux élèves de Troisième et trois élèves de Seconde ont correctement

calculé le PGCD de 1320 et 825, mais n’ont pas su l’utiliser et ont donné un mauvais nombre de lots.

Pour le calcul du PGCD, les élèves des deux niveaux ont privilégié

l’algorithme d’Euclide, un seul élève n’est pas parvenu au résultat avec cette méthode.

Tous les élèves qui ont abordé la dernière question ont appliqué le même

algorithme de calcul du PGCD que celui qu’ils avaient utilisé dans la question précédente. Aucun de ceux qui ont eu recours à l’algorithme de différence n’est parvenu au résultat.

Parmi les redoublants de Seconde, un seul a tenté (sans succès) de

décomposer 1320 et 825 en produit de nombres premiers. L’année précédente,

4 Les données statistiques figurent en annexe 4.


Irem de Toulouse 12

il était parvenu à faire la décomposition mais n’avait pas su en déduire le PGCD. Il n’avait pas proposé d’autre méthode.

Trois redoublants n’ont pas su traiter l’exercice. L’année précédente, les trois avaient correctement effectué la décomposition en produit de nombres premiers, aucun n’avait su en déduire le PGCD, il n’est donc pas surprenant qu’ils n’aient pas été tentés d’appliquer cette méthode l’année suivante.

Deux d’entre eux n’avaient pas proposé d’autre méthode pour le calcul du PGCD, le troisième avait utilisé avec succès l’algorithme d’Euclide.

Deux autres redoublants ont correctement appliqué l’algorithme d’Euclide.

L’année précédente l’un avait su effectuer la décomposition en produit de nombres premiers, et en déduire le PGCD de 1320 et 825, l’autre pas ; aucun des deux n’avait proposé d’autre méthode.

Peut-être la correction du test lors de leur première Seconde et la mise en évidence de leur lacune leur ont-elles permis de fixer plus durablement la notion.

Une redoublante a correctement appliqué l’algorithme de différence pour le

calcul du PGCD de 1320 et 825, mais elle n’a pas mené l’algorithme à son terme pour le PGCD de 17017 et 1183.

L’année précédente, elle avait correctement utilisé l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD de 1320 et 825, ainsi que pour le PGCD de 17017 et 1183. Sa justification est que lors de sa première Seconde les différentes méthodes de Troisième étaient encore présentes à son esprit, alors que l’année suivante, elle ne se souvenait plus de l’algorithme d’Euclide.

Conclusion

On peut constater qu’à l’issue de la Troisième, une large majorité d’élèves maîtrise un algorithme de calcul du PGCD de deux nombres, principalement l’algorithme d’Euclide.

Après l’introduction des nombres premiers en Seconde, environ un élève sur deux connaît encore un des algorithmes étudiés au collège, mais n’a pas toujours su s’approprier la technique du calcul du PGCD à l’aide de la décomposition en produit de nombres premiers.

Il semblerait par ailleurs que l’utilisation du PGCD relève d’avantage d’un

automatisme que de la perception réelle de son utilité. Une plus grande diversité dans les exercices proposés suffirait à y remédier. L’intérêt de l’apprentissage d’une nouvelle méthode en Seconde peut, par

exemple, être mis en évidence à l’occasion du calcul du PGCD de plus de deux nombres, dépassant ainsi les méthodes de Troisième.

Ainsi, sur le principe du « carreleur » (exercice incontournable en Troisième qui consiste à paver à l’aide de carrés une surface rectangulaire), on peut proposer le pavage d’un parallélépipède rectangle par des cubes.

Constats

13

B. Second test : raisonnements en arithmétique

Comme évoqué précédemment, il ne figure pas d’arithmétique au programme de Première S. Nous avons voulu tester la capacité d’élèves de ce niveau à construire un raisonnement pour la résolution d’un problème d’arithmétique qui peut sembler élémentaire, mais avec lequel ils ne sont pas familiarisés.

Le test a été proposé à une classe de 29 élèves. Ils ont eu dix minutes pour répondre.

Sujet :

n étant un entier naturel5, le nombre 1 + 3n est-il toujours pair ?

Analyse6 :

o 22 élèves (réponses 1 à 22) soit 76 % affirment que 3n est impair : 10 élèves (réponses 1 à 10) soit 34,5 % sans justification ; 12 élèves (réponses 11 à 22) soit 41,5 %, avec une ‘‘pseudo-

justification’’ du type :« quand on multiplie deux impairs, on obtient un impair », ou par l’exhibition de quelques exemples.

o 5 élèves (réponses 23 à 27) soit 17 %, tentent de bâtir une réelle

démonstration : la réponse 23 montre une ébauche intuitive d’un raisonnement par

récurrence (on peut voir aussi cette ébauche dans la réponse 2) ; les réponses 24 et 25 montrent une mise en œuvre de la notion de

divisibilité, mais comportent des erreurs ou omissions qui ruinent la tentative de démonstration ;

la réponse 26 utilise un critère pertinent, mais la justification reste incomplète ; la réponse 27, qui lui est proche, est plus aboutie.

o 2 réponses sont grossièrement erronées (28 et 29) soit 7 % :

la réponse 28 affiche une double erreur : une de calcul et une de raisonnement (exemple généralisé) ;

on peut toutefois remarquer le maniement correct du contre-exemple de la réponse 29.

Certaines erreurs sont dues à la méconnaissance d’une notion

mathématique : réponse 15 : « 1 + 30 = 1 »; réponse 27 : « un chiffre est impair s’il est multiple de 1 ».

Il semble que l’erreur de raisonnement qui consiste à généraliser à partir de

quelques exemples ait été commise 10 fois (réponses 6, 12, 13, 14, 16, 18, 21, 22, 25 et 28).

5 La définition d’un entier naturel a été rappelée oralement. 6 L’intégralité des réponses obtenues, numérotées de 1 à 29 figure en annexe 5.


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A y regarder de plus près, on peut nuancer ce constat en remarquant les précautions prises par certains élèves (réponses 6, 14, 16, 18, 21, 22 et 25) : les exemples viennent après coup, comme pour illustrer.

Dans la réponse 13, le « apparemment » laisse penser que l’élève a conscience que ses exemples ne tiennent pas lieu de démonstration.

La faute ne paraît vraiment caractérisée que dans les réponses 12 et 28. La plupart des élèves évite la difficulté de l’exercice (démontrer que 3n est

impair) en se limitant à la justification qu’un nombre impair plus 1 est un nombre pair.

A cet égard, le test est révélateur de l’approche confuse que fait l’élève de la démonstration : « que dois-je justifier ? » est une question qui, si elle se pose, s’avère d’une grande difficulté à partir du moment où l’exercice traité n’est pas un des stéréotypes étudiés en classe (et même dans ce cas…). Elle renvoie aux références de l’élève : ce que j’ai le droit d’utiliser sans avoir à le justifier, dans la mesure où j’en montre la pertinence.

De façon plus approfondie, cela renvoie à la manière dont ce référentiel est construit avec l’élève au cours de sa scolarité, et avec laquelle il sera utilisé.

Cette question de la démonstration, souvent débattue, est de fait laissée à l’initiative des enseignants, ce qui explique la multiplicité de ses réponses.

L’usage par les élèves de nombreuses formulations approximatives ou

impropres dénote un manque de rigueur laissant penser que les notions utilisées sont méconnues et le savoir de l’élève mal construit. Par exemple :

• rép. 2 : « polynôme de degré n » ; • rép. 3 : « en multipliant 3 par n’importe quel exposant n » ; • rép. 4 : « p ⇒ nombre pair » ; • rép. 5 : « + 1 annule l’imparité » ; • rép. 11 : « un chiffre un nombre pair » ; • rép. 15 : « car il y a un décalage de pair à impair » ; • rép. 16 : « quand on multiplie 3 par une puissance » ; • rép. 17 : « en l’additionnant avec 1 il deviendra forcément pair » ; • rép. 18 : « le nombre devient donc pair » ; • rép. 23 : « les pairs et les impairs se suivent avec un intervalle de +1 » ; • rép. 24 : « un chiffre est impair » : confusion de chiffre et nombre ; • rép. 27 : « le dernier chiffre de 3n est une suite qui fait = {3,9,7,1} et

qui répète ces 4 chiffres. » La rigueur dans les justifications est d’un accès difficile et sa nécessité

n’apparaît pas spontanément à l’élève. Le risque de voir l’élève minimiser la portée de toutes les remarques qu’on

pourrait lui adresser dans la mesure où il a fourni la bonne réponse, est manifestement important.

Notons bien qu’environ 90% des élèves donnent la bonne réponse et en sont satisfaits. Pourtant, en toute rigueur, aucun élève n’a réussi ce test !

Constats

15

2. ERREURS CLASSIQUES

A. Erreurs liées à un problème de langage

Les erreurs évoquées dans ce paragraphe sont les premières difficultés rencontrées par les élèves. Elles résultent essentiellement d’une mauvaise maîtrise du vocabulaire de l’arithmétique.

La notion de nombre entier est rencontrée dès le plus jeune âge, ce qui

confère à ces nombres un statut particulier. Des expressions du langage courant leur sont associées. Certains élèves ont des difficultés à y renoncer. Ils qualifieront par exemple les entiers de « nombres ronds », alors que les décimaux seront appelés « nombres composés ». Les entiers étant considérés comme des « vrais nombres », on pourra entendre : « la division tombe juste », lorsque le quotient est un entier.

Ces expressions, dénuées de sens mathématique, perturbent la perception des différents ensembles de nombres et génèrent des erreurs. Nous en donnerons des exemples plus loin.

Le vocabulaire de l’arithmétique est abondant et précis :

Nombre, chiffre, multiple, diviseur, divisible, produit, facteur, somme, terme… Souvent les élèves confondent les différentes notions qui correspondent à ces termes.

Viennent s’ajouter à cela des expressions semblables qui désignent des objets différents, comme par exemple les nombres premiers et les nombres premiers entre eux, ou la division décimale et la division euclidienne.

L’expression de « langage mathématique » prend toute sa signification en

arithmétique. Voici quelques exemples de phrases correctes qui relèvent, pour bon

nombre d’élèves, d’une langue étrangère non maîtrisée : • « Ce nombre est un décimal, car il admet un nombre fini de chiffres

après la virgule. » • « Les termes de cette somme possèdent un facteur commun. » • « Si a est un multiple de b, alors a est divisible par b, et b est un diviseur

de a. » • « Un entier est un diviseur de ses multiples. » • « La divisibilité par 0 n’a pas de sens. La divisibilité de 0 est évidente. » • « Deux nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement

premiers ; mais deux nombres premiers distincts sont nécessairement premiers entre eux. »

A contrario, voici quelques phrases lues sur des copies d’élèves de Seconde, qui traduisent leur mauvaise maîtrise du vocabulaire :

• « Ce nombre est un décimal car il est fini. » • « 0 ne peut pas être divisé. »


Irem de Toulouse 16

• « Ce nombre est premier car il n’est pas divisible. » • « Ces nombres sont premiers entre eux, car ils ne sont pas des

diviseurs. » • « 2n est pair, car il est multiplié par 2. » • …

La première étape dans la lecture de consignes, ou dans la résolution de

certains problèmes d’arithmétique, consiste en un véritable exercice de version de l’énoncé. C’est le premier obstacle que les élèves ont à franchir.

B. Erreurs liées au statut des nombres

La méconnaissance du statut des nombres est un autre obstacle rencontré par les élèves.

Ils considèrent que les caractéristiques des ensembles de nombres (entiers, décimaux, rationnels, réels) sont incompatibles les unes avec les autres. Le fait que ces ensembles soient inclus les uns dans les autres leur est souvent incompréhensible.

Comme évoqué précédemment, le statut particulier dont bénéficient les

nombres entiers incite les élèves à les dissocier des autres réels. Ainsi, pour certains d’entre eux, un entier n’est pas considéré comme un

décimal, ni même comme un rationnel. Cela entraîne, entre autres, des difficultés lors de conversions : comment

« décaler la virgule » sur un entier ? Une même erreur de perception se retrouve pour les nombres décimaux : D’une part, ils ne sont pas toujours considérés comme des rationnels, ce qui

génère des difficultés pour additionner un nombre en écriture décimale avec un nombre en écriture fractionnaire.

D’autre part, certains élèves considèrent la plupart des réels comme des décimaux, confondant valeur approchée et valeur exacte. Sans doute l’utilisation des calculatrices contribue–t–elle à entretenir la confusion.

Si la plupart des élèves (conditionnés par leurs enseignants) admettent volontiers qu’un nombre décimal ayant peu de chiffres après la virgule est une valeur approchée d’un irrationnel (par exemple 3,14159 est bien perçu comme une valeur approchée de π), ce n’est plus forcément le cas pour une valeur décimale approchée dont le nombre de chiffres après la virgule atteint le maximum proposé par la machine.

A contrario, un nombre décimal ayant un grand nombre de chiffres après la virgule ne sera pas toujours identifié comme un décimal.

C. Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu

Le caractère intuitif de nombreux résultats d’arithmétique fait que certains élèves proposent des justifications approximatives.

Constats

17

Il arrive même fréquemment qu’ils contournent la difficulté, considérant que le résultat qu’ils omettent de démontrer est « évident ».

L’exemple « +n3 1 est pair pour tout n » présenté précédemment en est une illustration. On peut également citer l’implication « si a² est pair, alors a est pair ».

De plus, le contexte des nombres entiers ayant été le cadre de nombreuses

activités à caractère « expérimental » dans les classes antérieures au lycée (et ce dès l’école primaire), on retrouve en arithmétique l’erreur qui consiste à argumenter à l’aide d’exemples.

La méconnaissance de l’utilité de certaines notions peut entraîner un blocage

de la part des élèves qui n’en comprennent pas l’enjeu. Dans certains exercices (comme la recherche d’un nombre), ils ne

parviennent pas à mettre en oeuvre des notions qu’ils ont acquises de façon intrinsèque.

Considérons le problème suivant :

Si l’on divise 4294 et 3521 par un même entier naturel, les restes sont respectivement 10 et 11. Quel est cet entier naturel ?

La résolution de cet exercice ne requiert que la connaissance de la division euclidienne et la notion de diviseur. On peut donc le considérer comme réalisable dès la Troisième. Pourtant des élèves en spécialité de Terminale S ne savent pas le démarrer.

D. Autres erreurs

Les erreurs répertoriées dans ce paragraphe mettent en évidence de mauvais réflexes acquis par certains élèves.

• « 6 et 8 divisent n, donc 48 divise n. »

Il s’agit d’une généralisation erronée du théorème de Gauss à des entiers qui

ne sont pas premiers entre eux. Cela peut en partie s’expliquer par le fait que la notion de diviseur commun

n’est pas acquise. Le fait que le diviseur 2 soit comptabilisé deux fois lorsque l’on considère 48 comme un diviseur de n, ne peut être perçu qu’après avoir assimilé la notion de diviseur commun.

• « 17 × 5 est premier. »

Face à l’écriture 17 × 5 ce n’est pas le résultat du produit que les élèves

considèrent, mais les facteurs premiers mis en évidence. Le rapprochement n’est pas toujours fait entre la décomposition d’un nombre

en produit de nombres premiers, et les diviseurs de ce nombre. De plus, les élèves ont une conscience intuitive du fait que la multiplication

est une loi interne sur chacun des ensembles de nombres (entiers, décimaux, rationnels, réels).


Irem de Toulouse 18

Il est tentant d’extrapoler à l’ensemble des nombres premiers : « le produit de deux nombres premiers est un nombre … premier ».

• Oubli de 1 et n dans les diviseurs de n.

La recherche des diviseurs d’un nombre est un exercice qui ne génère pas

d’obstacle technique majeur, mais qui demande une grande vigilance, afin de n’oublier aucun cas. L’oubli précisément des diviseurs 1 et n traduit la méfiance des élèves face à ce type d’activité : soucieux de n’oublier aucun cas, ils se concentrent sur les moins triviaux, et finissent par oublier les diviseurs systématiques.

D’autre part, en Seconde, la décomposition en produit de facteurs premiers ne fait pas apparaître l’entier 1, puisqu’il n’est pas considéré comme un nombre premier. Il est donc facilement oublié dans la liste des diviseurs.

On peut également penser qu’il y dans la perception des élèves de la notion de diviseur, l’idée de partage. Or la division de n par 1 donne n « tout entier », et la division de n par n donne « un seul morceau ». C’est pourquoi 1 et n peuvent ne pas être perçus comme de « vrais » diviseurs de n.

Les erreurs mises en évidence dans ce paragraphe relèvent principalement

d’une connaissance diffuse et approximative des notions en arithmétique (du vocabulaire jusqu’à la mise en œuvre des théorèmes).

Le paragraphe suivant propose une liste des savoirs et savoir-faire à acquérir en arithmétique au lycée. Elle donne un aperçu des différents types de raisonnements que l’arithmétique permet de mettre en œuvre, que nous développerons dans la partie 2.

3. PRATIQUE ARITHMETIQUE

A. Les « matériaux »

1. Connaître les premiers nombres premiers, ou savoir les retrouver

Dans la plupart des sujets d’examen, la liste des nombres premiers utiles pour résoudre le problème est fournie. Cela ne dispense pas de connaître les premiers nombres premiers (jusqu’où ? c’est à définir) et la méthode permettant de prouver qu’un nombre est premier7.

On peut remarquer que certaines calculatrices donnent la liste des diviseurs

d’un nombre : il n’est pas difficile d’en déduire qu’il est, ou n’est pas, premier !

7 Voir à ce sujet l’exercice donné au baccalauréat série S en juin 1999, figurant en annexe 6.

Constats

19

Dans la partie 3 de cette brochure, nous proposons un algorithme (pouvant aller jusqu’à une programmation sur la calculatrice) permettant de tester si un nombre est premier.

2. Critères de divisibilité

Depuis les petites classes les élèves connaissent certains critères de divisibilité (par 10, 2, 3, 9, 4, 5, etc.…).

Ces critères sont justifiés en Terminale avec les congruences. L’utilisation de ces congruences est parfois plus simple avec des grands

nombres ou dans un cas général. On peut aussi définir des critères de divisibilité par 11, par 7, etc.

3. Liste des diviseurs d’un entier

On demande souvent de donner la liste des diviseurs d’un entier. A partir de la décomposition en produit de facteurs premiers étudiée en

Seconde, sur quelques exemples et sans aller jusqu’au cas général, il est important de montrer aux élèves comment, à l’aide d’un arbre, on peut compter le nombre de diviseurs positifs d’un entier donné et les retrouver tous dans des cas simples.

Il peut être aussi utile de parler de « diviseurs associés » pour résoudre des

exercices comme : Déterminer tous les couples (x ; y) d’entiers naturels non nuls tels que : x² – y² = 60.

Dans cet exercice, il est préférable de repérer des conditions nécessaires pour limiter le nombre de cas (au minimum x + y > x – y !).

B. Les techniques

1. Quotients

De nombreux exercices portent sur la recherche de conditions sur un ou plusieurs entiers pour qu’une fraction donnée soit irréductible.

Considérons l’exercice suivant :

Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, non nul, la fraction n² + 3n+ 2

est-elle

irréductible ? Trouver n pour que ce quotient soit un entier. Après une écriture simplifiée (que l’on peut donner ou préparer), un tel exercice ne comporte que de simples problèmes de divisibilité et peut être abordé dès le collège.


Irem de Toulouse 20

On remarque parfois au lycée, des utilisations de quotients d’entiers considérés comme des entiers, sans justification. Il est donc nécessaire de montrer que cette assimilation est erronée.

D’autre part, le PPCM apparaît seulement dans le programme de spécialité

de Terminale S. Ainsi, la simplification d’une somme de fractions reste aléatoire dans le second cycle actuel, alors qu’avec de bonnes habitudes acquises numériquement dès le Collège, la technique de réduction au même dénominateur le plus simple serait sûre et éviterait des encombrements inutiles dans les expressions numériques et littérales. Il est tout de même regrettable d’être tributaire du logiciel de calcul formel d’une calculatrice!

2. Puissances

« = ×n2 2 ? ». Cette question, posée « brutalement » dans une classe de Terminale S a donné quelques réponses plutôt angoissantes pour un professeur de mathématiques, par exemple : 2n = 2 × 10n , 2n = 2 × 1n, ou 2n = 2 × 1n-1 . On rencontre aussi : 2n + 2n = 4n.

Nous rencontrons de plus en plus de difficultés avec les calculs « de

puissances » et un entraînement régulier, dès le collège, est plus qu’indispensable. Même l’étude des fonctions exponentielles en terminale ne suffit pas à corriger de mauvais acquis antérieurs.

De façon plus générale, dans de nombreux exercices la manipulation des

entiers naturels est un bon moyen pour développer des habitudes algébriques et préparer aux calculs littéraux. Souvent, le passage de l’entier n à l’entier n + 1 est l’occasion de pratiquer des règles opératoires, tout en préparant le principe de raisonnement par récurrence.

3. Calcul du PGCD : décomposition en produit de facteurs premiers ; algorithme d’Euclide, algorithme de différence, domaine d’application des techniques

Pour déterminer un PGCD, les élèves de Seconde disposent de plusieurs méthodes et le choix de l’une d’entre elles est important (« choix imposé » lorsqu’il s’agit en plus de déterminer une solution particulière de l’équation ax + by = c).

L’exercice du premier test figurant dans le premier paragraphe de cette partie

nécessite un calcul de PGCD qui, par un algorithme de différence, requiert de nombreuses étapes.

Un tel exercice peut permettre à certains élèves de remettre en cause « un acharnement calculatoire » dans lequel ils ont parfois tendance à s’enfermer. Savoir s’arrêter, changer de méthode est important.

Constats

21

4. Lien entre la division euclidienne et les congruences

Il s’agit de savoir, par exemple, que tout entier s’écrit sous la forme 5p ou 5p + 1 ou …, pour amener la congruence modulo 5.

Dans les précédents programmes de Terminale, les congruences étaient

marginales voire hors programme et on utilisait la théorie des restes. Dans les programmes actuels, on utilise essentiellement les congruences mais, surtout au début, le lien avec les restes des divisions euclidiennes ne doit pas être occulté, car un abus de congruences peut masquer certaines notions. De plus, les « sous-entendus » liés à l’efficacité des congruences compliquent parfois la compréhension (et la correction !).

Il ne faut pas non plus être trop systématique sur les restes car, en particulier, le fait qu’un nombre peut-être congru à « – 1 » n’est pas toujours bien accepté.


Montrer que si a et b sont des entiers impairs, alors a2 + b2 est divisible par 2 mais pas par 4.

Il s’agit d’utiliser les deux techniques (congruences modulo 1 et 2, et théorie des restes) et d’insister sur le passage de l’une à l’autre. Pour démontrer que a² + b² est divisible par 2, le plus rapide est la congruence modulo 2 : a et b étant impairs, ils sont tous deux congrus à 1 donc leurs carrés aussi, et donc a² + b² est congru à 0. On peut aussi, ce qui est un peu plus long, poser a = 2n+1 et b = 2p+1, puis en déduire a² + b² en fonction de n et de p et mettre 2 en facteur dans le résultat. Pour démontrer que a² + b² n'est pas divisible par 4, on peut utiliser la congruence modulo 4 : a et b peuvent être congrus à 1 ou à 3, ce qui donne 4 cas à étudier. Dans chaque cas on obtient a² + b² congru à 2, donc ce nombre n'est pas divisible par 4. Pour cette question, la théorie des restes est plus rapide ; après avoir exprimé a² + b² en fonction de n et de p, on démontre facilement (par l’absurde par exemple) que a² + b² n'est pas divisible par 4.

Un tel exercice peut permettre de comprendre plus facilement des problèmes

dans lesquels interviennent deux congruences différentes ; par exemple :

Déterminer selon l’entier naturel n non nul le reste de la division par 7 de 3n. En déduire le reste de la division par 7 de 2000211074 (ou, plus généralement, les restes des divisions par 7 de 20002n ).

On remarque que 36 est congru à 1 modulo 7 ; pour les exposants, on peut donc utiliser la congruence modulo 6 ou, ce qui paraît préférable pour éviter des confusions, se servir des écritures de divisions euclidiennes de ces exposants par 6.


Irem de Toulouse 22

Dans cet exemple, 20002 est congru à 3 modulo 7 et 11074 peut s’écrire 1845 × 6 + 4. Le nombre donné est donc congru modulo 7, à 34 soit à 4.

Remarque : pour montrer que 36 est congru à 1 modulo 7, on peut en spécialité en Terminale S utiliser le petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier, et si p ne divise pas a, alors ap-1≡1 [p]. »

5. Si un nombre divise a et b, il divise au + bv (pour tout couple (u ;v) d’entiers relatifs

Cette propriété est, dans des cas particuliers, à la base d’algorithmes (Euclide, différence).

Elle intervient dans de nombreux exercices8. Il est souhaitable, même en Troisième, de ne pas en rester au cas particulier où le nombre divise la différence (algorithme de différence).

Il est tout aussi important de connaître que de comprendre cette propriété (à

utiliser comme connue et aussi à re-démontrer à partir de la notion de divisibilité).

6. Méthode de recherche de 2 entiers en la ramenant à celle de 2 entiers premiers entre eux

Dans beaucoup d’exercices le nombre de cas à considérer est important. C’est une des causes de difficultés des élèves qui se « bloquent » devant un grand nombre de possibilités à étudier.

Considérons, par exemple, le problème suivant :

Trouver tous les couples d’entiers naturels (x ; y) tels que m = 7d + 392, sachant que d = PGCD(x ; y) et m = PPCM(x ; y).

Dans un tel exercice, rechercher les couples (x’ ; y’) d’entiers tels que : x = d x’, y = d y’ et PGCD (x’ ; y’) = 1 permet de réduire le nombre de cas de manière significative.

C. La logique

1. Du particulier au général

Les réponses au test effectué auprès d’élèves de Première S concernant l’entier « 3n + 1 »9 sont significatives de généralisations abusives que l’on ne rencontre pas qu’en arithmétique (mais aussi pour les suites, par exemple).

8 Voir par exemple l’exercice du baccalauréat série S juin 1999, figurant en annexe 6. 9 Figurant en annexe 5.

Constats

23

Il n’est pas inutile d’expliquer à ce sujet, que de grands mathématiciens ont envisagé de telles généralisations, pour être corrigés ensuite.

Fermat par exemple, a supposé, sans l’affirmer, que les nombres = +

n2nF 2 1

sont premiers, et Euler a montré que F5 = 4294967297 ne l’est pas (il est divisible par 641).

Par contre, le génie de Fermat a été confirmé par Andrew Wiles pour son

« grand théorème » : l’équation + =n n nx y z n’a pas de solutions entières non triviales en x, y, z pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3.

2. Raisonnement par analyse-synthèse

Dans certains problèmes, l’analyse conduit à des solutions et les conditions conduisent à « faire un tri » parmi les solutions trouvées, c’est la synthèse.

On peut citer, à ce sujet, l’exercice « classique » :

Au VIIIe siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe?

ANALYSE : On suppose que ce problème admet une solution. Si x est le nombre d'hommes, y celui de femmes, on est amenés à résoudre l'équation E: 8x + 5y = 100. Comme 8 et 5 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout montre l'existence d'un couple (u; v) tel que 8u + 5v = 1. (On remarque, par exemple, que le couple (-3; 5) convient.) On en déduit que (-300; 500) est solution de E ; on obtient ensuite toutes les solutions sous la forme (5k – 300; 500 – 8k), où k est un entier relatif.

SYNTHESE : Dans ce problème, on doit avoir x et y strictement positifs. Cette étude conduit à deux valeurs possibles de k : 61 et 62. On en tire alors deux solutions au problème: 5 H et 12 F ou 10 H et 4 F

Pour un autre exemple, on peut voir en annexe 7 l’exercice de baccalauréat

« Amérique du Sud 1982 ». Un raisonnement par analyse-synthèse intervient lorsqu’on ne peut, ou ne

veut, enchaîner les étapes d’une démonstration par équivalences. Il est nécessaire d’insister auprès des élèves sur le fait que la synthèse fait

partie du raisonnement. Dans le cas où il y a équivalence, la synthèse assure la réciproque.


Irem de Toulouse 24

3. Contre exemple

Le contre-exemple d’Euler cité précédemment est célèbre ! Nous traiterons dans la partie 2 l'exercice suivant :

Montrer que si a est un nombre premier supérieur à 3, il est de la forme 6n – 1 ou 6n + 1.

On peut s’interroger sur une réciproque : Les nombres de la forme 6n + 1 sont premiers : vrai ou faux ? n = 4 fournit un contre exemple.

D. Apprendre à réfléchir

Faire une analyse sans « a priori », tâtonner, faire des essais, ne sont pas des habitudes toujours acquises et pourtant, lorsqu’on est démuni, ceci peut permettre d’éclaircir un problème, d’envisager des méthodes, ou de renoncer à une conjecture défaillante.


Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’entier B (n) = 4n – 3. B(n) peut-il être un carré parfait ? Si oui, déterminer les valeurs de n pour lesquelles B(n) est un carré parfait.

Il est simple de montrer que c’est possible (pour n = 1 ou 3). Il est aussi simple de repérer des valeurs de n avec une calculatrice (ou un tableur). On remarque que l’on ne trouve que des carrés impairs (d’où une première idée de considérer n impair, mais avec n = 5, on constate que ce n’est pas suffisant). Comme B(n) est nécessairement impair, on pose B(n) = p² avec p = 2k +1, car si le carré d’un entier est impair, cet entier est impair (démonstration par l’absurde ou par contraposition). On pose alors p = 2k + 1, où k est un entier naturel, ce qui conduit à : B(n) = 4 k² + 4 k + 1 soit n = k² + k + 1. Une réciproque simple permet de vérifier que l’on obtient ainsi tous les entiers cherchés, le raisonnement ayant été conduit par conditions nécessaires.

Il peut être également intéressant de donner les problèmes suivants :

1) Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont trois entiers consécutifs. Calculer ces mesures.

En appelant n le plus « petit » des côtés de l’angle droit, les trois mesures sont n, n + 1 et n + 2 (le côté le plus « grand » étant l’hypoténuse). Le théorème de Pythagore conduit à résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’équation : n ( n – 2 ) = 3. 3 étant un nombre premier, on a n = 3.

Constats

25

Les trois côtés mesurent donc 3 , 4 et 5 (solution unique ).

Remarque : en appelant n – 1 le plus petit des côtés de l’angle droit, le théorème de Pythagore conduit à résoudre l’équation n (n – 4) = 0.

2) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels les équations d’inconnue n : (n + 1) (n + 2) = 132 ; (n + 1) (n + 2) = 131.

Ces exercices peuvent permettre de montrer que des solutions « second

degré » ne sont pas toujours les plus efficaces, en particulier en arithmétique, du fait que l’inconnue est un entier.

Les raisonnements en arithmétique

27

PARTIE 2 - LES RAISONNEMENTS EN

ARITHMETIQUE

1. UN PROBLEME DE SENSIBILISATION

N = 1 + 3 n est-il pair pour tout entier naturel n ?

La question peut être posée dès le Collège, et faciliter un début de réflexion sur les méthodes de raisonnement. Il peut être enrichissant d’observer les différentes réactions suivant la classe10.

Une première approche peut être faite avec la calculatrice. Le résultat n’est

pas évident car 3 n devient très vite grand lorsque n augmente. On peut donc considérer que cette démarche échoue.

Les démarches que nous allons proposer mettent en valeur la diversité des

raisonnements que l’on peut rencontrer en arithmétique. Les trois premières seront développées et complétées dans le paragraphe

suivant, à travers d’autres exemples. Les deux suivantes sont plus spécifiques à cet exercice.

Démarche 1 : Raisonnement exhaustif Cette démarche consiste à considérer le chiffre des unités de N. Elle est

envisageable dès le collège.

Les chiffres des unités possibles pour les puissances de 3 sont 1, 3, 7 ou 9. En ajoutant 1, les chiffres des unités possibles du nombre N sont donc 2, 4, 8 ou 0 . A l’issue de cette démarche exhaustive (qui considère tous les cas possibles) nous pouvons conclure que N est pair.

10 Voir à ce propos le second test de la partie 1.


Irem de Toulouse 28

Démarche 2 : Raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence n’est formalisé qu’en Terminale S, mais il

peut faire l’objet d’une approche intuitive plus tôt, avec l’utilisation de points de suspensions.

Nous allons proposer deux résolutions faisant intervenir un raisonnement par

récurrence :

Approche directe du problème : 3° + 1 = 2 est pair. Si 3 n + 1 est pair, c’est-à-dire de la forme 2k, alors 3 n = 2k – 1. Par suite 3 n × 3 +1 = (2k - 1)×3 +1 = 2 (3k - 1) est bien lui aussi un nombre pair.

Une autre approche : Le produit de deux nombres impairs est impair (c’est bien sûr à justifier !), et 3 est impair, donc 3² est impair, 3³ = 3² × 3 est impair, .... , "il en est toujours ainsi" donc le nombre 3n est aussi impair, l’entier suivant, N, est donc pair.

Démarche 3 : Raisonnement par l’absurde Dans cette démarche, on utilise la décomposition d’un entier en produit de

nombres premiers. Elle est donc envisageable dès la Seconde.

N ne peut pas être de la forme 2k + 1, avec k entier naturel. En effet, s’il en était ainsi, on aurait 3 n = 2k, donc 2 apparaîtrait dans la décomposition en produit de nombres premiers de 3 n . Or 3 n est la décomposition en produit de nombres premiers de 3 n . Par unicité de cette décomposition, il y contradiction. N est donc pair.

Démarche 4 : Avec la congruence modulo 2

3 ≡ 1 [2] donc 3 n ≡ 1 [2] , par suite 3 n + 1 ≡ 0 [2]. 3 n + 1 est donc pair pour tout n.

Démarche 5 : A l’aide d’une factorisation

3 n + 1 et 3n - 1 ont la même parité. 3 n - 1, de la forme an - b n , peut être factorisé. Le premier facteur est 3 - 1 = 2 donc 3 n - 1 est pair; il en est donc de même de 3n + 1.


29

2. LA DIVERSITE DES FORMES DE RAISONNEMENT

Nous avons pu observer dans l’exemple précédent la variété des raisonnements à propos d’un même exercice d’arithmétique. On peut également rencontrer des problèmes pour lesquels, dans une seule solution, interviennent plusieurs types de raisonnements.

Dans ce paragraphe, nous présentons les différents raisonnements que des

problèmes d’arithmétique permettent de mettre en œuvre.

A. Raisonnement exhaustif

Dans un raisonnement exhaustif, il y a nécessité d’étudier tous les cas. Une première étude consiste à faire un tri afin, si possible, de restreindre cet inventaire.

Premier exemple : (proposable dès la Troisième)

Trouver une fraction d’entiers naturels sachant que la somme du numérateur et du dénominateur est 96, et que leur PGCD est 8.

Éléments de solution :

Formulation algébrique de l’énoncé:

Soient ab

la fraction recherchée, a’ et b’ premiers entre eux tels que a = 8 a’ et

b = 8 b’. a + b = 96, donc a’ + b’ = 12.

a’ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 b’ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a 8 ///// ///// ///// 40 ///// 56 ///// ///// ///// 88 b 88 ///// ///// ///// 56 ///// 40 ///// ///// ///// 8

Il y a donc 4 solutions deux à deux symétriques qui conviennent Note : en principe, les élèves de Troisième savent que le PGCD sert à « simplifier au maximum » une fraction. Remarque : (qui peut faire l’objet d’un prolongement) Dans le cas où le PGCD n’est pas un diviseur de la somme, il n’y a pas de solution. En effet : "si un nombre divise a et b, il divise a + b ".


Irem de Toulouse 30

Deuxième exemple :

Trouver deux nombres entiers naturels a et b inférieurs à 100 sachant que leur différence est 63 et que leur PGCD est 7.


Avec a = 7 m, b = 7 n et a - b = 63, on obtient m - n = 9. Il existe 5 couples (a ; b) possibles: ( 70 ; 7 ), ( 77 ; 14 ), ( 84 ; 21 ) , ( 91 ; 28 ) et ( 98 ; 35 ) . 84 et 21 ont pour PGCD 21, donc le couple ( 84 ; 21 ) est à rejeter. Les autres couples ont pour PGCD 7 ; il y a 4 solutions.

Troisième exemple : Des triplets pythagoriciens

Parmi les triangles rectangles dont les trois côtés sont mesurés par des nombres entiers, on cherche ceux dont un côté de l’angle droit mesure 12. Soit a la mesure de l’hypoténuse et b celle du troisième côté. a) Expliquer pourquoi a + b et a – b ont nécessairement la même parité. b) Trouver toutes les valeurs possibles de a et b, en utilisant l’égalité : 12² = (a + b) (a – b).


Le problème se ramène à trouver parmi les diviseurs de 12² les couples qui peuvent être les valeurs de a + b et de a – b. La question a) sert à restreindre les cas.

a) On peut raisonner par l’absurde (voir D) : si a + b et a – b n’avaient pas même parité, alors avec a = ½ [(a + b) + ( a – b)] et b = ½ [(a + b) – (a – b)], (a + b) + (a – b) et (a + b) – (a – b) étant impairs, a et b ne seraient pas entiers.

b) Dans l’arbre des 15 diviseurs de 12², la question a) permet de supprimer pour (a + b) et (a – b) les trois couples (1 ; 144), (3 ; 48) et (9 ; 16) . Il y a quatre solutions possibles : a = 37 et b = 35 ; a = 15 et b = 9 ; a = 13 et b = 5 ; a = 20 et b = 16. Dans ces quatre cas, a² – b² = 12². Les quatre solutions conviennent.

Quatrième exemple :

Deux carrés ont pour longueurs de leurs côtés des nombres entiers de centimètres. La différence de leurs aires est 156 cm². Quelle est la longueur des côtés de ces carrés ? (Rallye Seconde - Toulouse 2004)


31


L’exercice est analogue au précédent. Avec a² – b² = 156 = 2² × 3 × 13, parmi les six couples possibles seuls (40; 38) et (16; 10) sont solutions.

Cinquième exemple : Des équations diophantiennes très simples

Trouver les nombres entiers de trois chiffres c, d et u (centaines, dizaines, unités), multiples de 5 dont la somme des chiffres est 21.


u = 0 ou u = 5, et c + d + u = 21 . Le cas où u = 0 est impossible car la somme des deux chiffres est au plus égale à 18. Lorsque u = 5, c + d = 16, qui est une équation diophantienne; il n’y a que trois possibilités : 975 , 885 et 795 .

Il est souhaitable d’habituer très tôt les élèves au raisonnement exhaustif.

Comme illustré dans ce paragraphe, une telle démarche s’avère efficace dans de nombreux cas. Elle évite par exemple en Terminale S un recours systématique au théorème de Bézout dans des cas simples.

B. Raisonnement par disjonction des cas

A la différence d’une étude exhaustive, dans un raisonnement par disjonction des cas les situations sont différenciées à l’aide d’un ou de plusieurs paramètres.

En arithmétique, ces paramètres sont généralement des entiers, résultant par exemple d’une division euclidienne.

Des essais permettent de conjecturer et de faire apparaître une formulation paramétrée.

Par sa rapidité, un tableur peut être une aide efficace pour découvrir une structure des résultats, par exemple une période.

Premier exemple :

n est un entier naturel, a = 5 n + 4 et b = 7 n + 5. On cherche pour quelles valeurs de n les entiers a et b sont premiers entre eux. a) Observer les valeurs de a et b pour n < 15 et faire une conjecture. b) Calculer 7a – 5b; en déduire les diviseurs communs à a et b possibles. c) Calculer les restes de la division de a et b par 3 dans chacun des trois cas: n = 3 k, n = 3 k + 1 et n = 3 k + 2, où k est un entier naturel) . d) Conclure.


Irem de Toulouse 32


a) On découvre une périodicité; un tableur permet d’amplifier les observations et de mieux découvrir la période : 3

b) Si a et b ne sont pas premiers entre eux, leur diviseur commun est nécessairement 3. D’où les trois cas pour n, proposés au c).

c) Pour n = 3k : a = 3 (5k + 1) + 1 ; b= 3 (7k + 1) + 2 ; pour n = 3k + 1 : a = 3 (5k + 3) ; b = 3 (7k + 4) ; pour n = 3k + 2 : a = 3 (5k + 4) + 2 ; b = 3 (7k + 6) + 1.

d) Dans la division euclidienne par 3, le reste 0 est commun à a et b si et seulement si n = 3 k + 1. Conclusion : 5n + 4 et 7n + 5 sont premiers entre eux si et seulement si le reste de la division euclidienne de n par 3 est 0 ou 2.

Deuxième exemple :

Démontrer que pour tout entier naturel a il existe au moins un entier naturel b tel que a² + b² soit un multiple de 5.


On utilise la division euclidienne par 5: tout entier naturel peut être écrit sous la forme 5 n + r, avec n entier naturel, et r ∈ {0;1;2;3;4}. Ce paramétrage va permettre la mise en place des cinq cas disjoints.

On veut que les restes des divisions euclidiennes de a² et de b² par 5 aient pour somme 0 ou 5. Plusieurs essais permettent de découvrir une période de 5 pour la somme des deux restes.

Tableau des restes pour x² :

x 5n 5n + 1 5n + 2 5n + 3 5n + 4 reste de la division de x² par 5

0 1 4 4 1

Notons au passage le résultat suivant: "Le carré d’un entier naturel est de l’une des trois formes 5k, 5k + 1 ou 5k + 4 (où k est un entier naturel)." Autrement dit, il n’est jamais de l’une des formes 5k + 2 ou 5k + 3.

Étude des cas : • Si a est multiple de 5, le reste de a² est 0, le reste de b² doit être 0, b doit donc être multiple de 5.

• Si a est d’une des formes 5n + 1 ou 5n + 4, le reste de a² est 1, le reste de b² doit être 4, b doit donc être d’une des formes 5p + 2 ou 5p + 3.


33

• Symétriquement, si a est d’une des formes 5n + 2 ou 5n + 3, b doit être d’une des formes 5p + 1 ou 5p + 4.

On constate que, quel que soit a, il y a une infinité de valeurs possibles pour b.

Troisième exemple : (dans le même esprit que le précédent)

a) Démontrer que pour tout entier naturel a il existe au moins un entier naturel b et un entier naturel c tels que a² + b² + c ² soit un multiple de 6. b) Démontrer que pour tout entier naturel a il existe au moins un entier naturel b tel que a³ + b³ soit un multiple de 7.


a) 4 + 1 + 1 = 6 et 3 + 3 + 0 = 6.

b) 1 + 6 = 7.


Montrer que, a étant un entier naturel, il n’existe pas toujours un entier naturel b tel que a² + b² soit multiple de 4.


b n’existe pas lorsque a est de la forme 2n + 1 ou de la forme 2n + 3.

Cinquième exemple :

Si p est un nombre premier supérieur à 3, il est de la forme 6n – 1 ou 6n + 1.


Considérons le reste de la division de p par 6. Si le reste est 0 , 2 , 3 ou 4 , alors ce nombre est divisible respectivement par 6, 2 , 3 ou 2. Donc si p est premier, le reste ne peut être que 1 ou 5. La forme 6n – 1, congrue à 6n + 5 modulo 6, permet de ne traiter à part que la divisibilité éventuelle de p par 2 ou par 3, et non par 5.

Remarque : Cette propriété est seulement nécessaire.


Irem de Toulouse 34

C. Raisonnement par récurrence

Premier exemple :

Démontrer que A(n) = 4n³ - n est multiple de 3 quel que soit l’entier naturel n.


A(0) = 0 et A(1) = 3. L’hypothèse de récurrence est: « A(n) est multiple de 3 ». Avec A(n + 1) = 4 (n + 1)³ – (n + 1) = A(n) + 3 (2n + 1)², A(n + 1) est aussi multiple de 3. Complément : Une autre démonstration est possible par disjonction des cas: en remarquant que A(n) = n (2n - 1) (2n + 1), suivant que n = 3k, n = 3k – 1 ou n = 3k + 1, n, 2n + 1 ou 2n – 1 est multiple de 3.

Deuxième exemple :

Démontrer que B(n) = 25 1n − est multiple de 24 quel que soit l’entier naturel n.


B(0) = 0 et B(1) = 24. L’hypothèse de récurrence est : « B(n) est multiple de 24 », qui se traduit par « il existe k entier tel que B(n) = 24k , c’est-à-dire 2n5 = 1 + 24k ». B(n + 1) = (1 + 24 k) × 5² - 1 = 24 ( 25 k + 1) est aussi multiple de 24 . Complément : L’écriture décimale de B(n) se termine par 24 quel que soit n non nul. En effet l’écriture décimale de C(n) = 2n5 se termine toujours par 25 . Nous pouvons ici encore le démontrer par récurrence : C(1) = 25. L’hypothèse de récurrence est : « l’écriture décimale de C(n) se termine par 25 », c’est-à-dire « il existe un entier naturel k tel que C(n) = 100 k + 25 ». C(n + 1) = C(n) × 5² = (25k + 6) × 100 + 25, qui est effectivement un nombre dont l’écriture décimale se termine par 25 .

Troisième exemple :

Quel que soit l’entier naturel n, D(n) = 2n+35 – n+43 est divisible par 11 .


35


D(0) = 44, qui est divisible par 11 . L’hypothèse de récurrence est: « D(n) est divisible par 11 ». Alors il existe un entier k tel que + += +2n 3 n 45 3 11k , d’où, après calculs,

+ + + + +− = × + ×2(n 1) 3 (n 1) 4 n 45 3 3 22 11k 25 qui est bien multiple de 11.

Quatre autres exercices classiques :

1) La somme des cubes des n premiers nombres entiers est S(n) = [ ½ n ( n + 1)] ²


S(n+1) = S(n) + (n + 1) ³ = ¼ (n + 1)² (n² + 4n + 4) = ¼ (n + 1)² (n + 2)²

2) Pour tout entier naturel n, n2 > n.

3) Pour tout entier naturel n, n³ + 2n est divisible par 3.

4) Pour tout entier naturel n, + + + =× × − + +1 1 1 n...

1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 2n 1

D. Raisonnement par l’absurde

On veut prouver que la proposition C est vraie sous certaines hypothèses. Si la négation de C entraîne une contradiction avec les hypothèses, alors

cette négation n’est pas possible. C est donc vraie. Ce raisonnement est basé sur le « principe du tiers exclu ».

Premier exemple :

Trois entiers naturels a, b et c sont tels que a² + b² = c². Prouver que a et b ne sont pas tous les deux impairs.


Supposons que a et b sont impairs, c’est-à-dire qu’il existe deux entiers m et p tels a = 2m + 1 et b = 2p + 1. Alors c² = 4 (m² + p² + m + p) + 2 [1]; donc c² est pair. Par suite c est pair (voir paragraphe E, deuxième exemple), donc c² est multiple de 4, ce qui est contradictoire avec [1]. Ainsi, a ou b est pair


Irem de Toulouse 36

Note : Si a et b sont pairs, alors c est pair; en divisant a, b et c par 2 autant de fois qu’il est nécessaire, on peut se ramener au cas a’² + b’² = c’² avec un seul des deux nombres a’ ou b’ pair.

Deuxième exemple :

Lorsque a ≠ b ; ab

– ba

n’est pas un entier.


Sans perte de généralité, on peut supposer a et b premiers entre eux (sinon, les deux fractions se simplifient identiquement, et l’on s’y ramène donc).

−−=a b a² b²

b a ab. Si −a b

b a est un entier, alors a divise a² – b². Comme a divise

a², il divise b². a et b étant premiers entre eux, c’est impossible.


Deux nombres entiers y et z sont premiers entre eux et leur produit est le carré d’un nombre x. Alors y et z sont eux-mêmes des carrés parfaits.


Propriété utilisée : dans la décomposition en facteurs premiers d’un carré, tous les exposants des facteurs sont pairs.

Deux autres exercices classiques :

1) 2 est un nombre irrationnel.

2) L’ensemble des nombres premiers est infini.


1) Il n’est pas possible que 2 soit le quotient de deux entiers premiers entre eux (exemple historique).

2) Avec n obtenu en ajoutant 1 au produit des nombres premiers jusqu’à p : n = 2 х 3 х 5 х … х p + 1, il n’est pas possible qu’un diviseur premier de n (qui existe nécessairement) soit inférieur ou égal à p.


37

E. Raisonnement par contraposition

Lorsqu’il s’agit de démontrer une implication, on suppose le contraire de la conclusion et on prouve que la conclusion est la négation de l’hypothèse. C’est un raisonnement par l’absurde particulier.

non B implique non A est équivalent à A implique B

Premier exemple :

Si a + b est premier, alors a et b sont premiers entre eux.


Si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors ils admettent au moins un diviseur commun d distinct de 1. d diviserait a + b.

Deuxième exemple :

Si a² est pair, alors a est pair.

Note : c’est la base de la preuve de l’irrationalité de 2 .


Si a est impair, alors a² est impair : (2n +1)² = 2 (2n² + 2n ) + 1 est impair.

Troisième exemple : Une préparation au théorème de Bézout.

Si deux nombres entiers a et b ne sont pas premiers entre eux, alors il n’existe pas deux entiers x et y tels que a x + b y = 1.


S’il existe deux entiers x et y tels que a x + b y = 1, alors le PGCD d, de a et b divise 1. On a alors d = 1, et a et b sont premiers entre eux.

F. Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple et recherches complémentaires

La négation de « ∀n, P(n) » est « ∃n / non P(n) ». Si l’on veut prouver qu’une propriété quantifiée ( ∀n P(n) ) est fausse ce

serait une erreur de vouloir prouver qu’elle est fausse quel que soit n. Il suffit de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire une valeur de n pour laquelle P(n) est fausse.

Il peut être intéressant de chercher pour quelles valeurs de n cette propriété est vraie; c’est un autre problème.


Irem de Toulouse 38

Premier exemple :

Un nombre entier n est à la fois multiple de 4 et de 6. Est-il multiple de 24 ?


Il suffit de prendre le contre-exemple n = 36. Un seul contre-exemple suffit ! Un habillage possible : « Dans une présentation collective sur un stade, tous les participants font d’abord un exercice quatre par quatre et aucun n’est exclu. Ensuite, tous les participants font un exercice six par six et aucun n’est exclu. Les participants peuvent-ils faire un nouvel exercice 24 par 24 sans qu’aucun ne soit exclu ? » Note : En général, le problème est posé avec deux nombres premiers entre eux ; par exemple 3 et 4. n est de la forme 3m; le théorème de Gauss permet de dire que m est de la forme 4p; donc n est de la forme 12p.

Deuxième exemple :

a) Prouver que si a et b sont deux impairs consécutifs, alors leur somme a + b est divisible par 4. b) La réciproque est-elle vraie?


a) Le successeur impair de 2n + 1 est 2n + 3. 2n + 1 + 2n + 3 = 4(n + 1).

b) Contre-exemple : 1 + 7 est multiple de 4, et pourtant 1 et 7 ne sont pas deux impairs consécutifs. Complément : 1 + 5 n’est pas non plus multiple de 4. Plus généralement, la somme de deux impairs, que l’on note [2n + 1] + [2 (n + p) + 1] est multiple de 4 si et seulement si 4n + 2(p + 1) est multiple de 4, c’est-à-dire si p est impair.


a) Démontrer que si p est un nombre premier supérieur à 5, p² – 1 est multiple de 24. b) Réciproquement, si p² – 1 est multiple de 24, p est-il premier ?


a) p² – 1 = (p – 1) (p + 1). Parmi les trois entiers p – 1, p et p + 1, un (et un seul) est multiple de 3 (par disjonction des cas, écrire successivement p = 3k,


39

p = 3k + 1, p = 3k + 2) ; p étant un nombre premier supérieur à 5, il n’est pas multiple de 3, donc 3 divise soit p – 1, soit p + 1, il divise donc p² – 1. p étant un nombre premier supérieur à 5, il est impair ; notons le p = 2n + 1, où n est un entier naturel. p² – 1 = 4n (n + 1) ; donc comme soit n, soit n + 1, est pair, p² – 1 est multiple de 8 . Ainsi pour p ≥ 5 et p premier, p² - 1 est multiple de 3 × 8 = 24.

b) La réciproque est fausse ; contre-exemple : si p = 25, alors 25² - 1 = 24×26.


n est un entier. Les nombres 2n + 3 et 3n – 1 sont-ils premiers entre eux ? (On peut aussi poser la question en termes de fraction irréductible).

Éléments de solution:

La recherche d’un contre-exemple n’est pas immédiate. L’idée clé consiste à travailler sur une combinaison linéaire de 2n + 3 et 3n – 1. Si d divise 2n + 3 et 3n – 1, alors il divise 3(2n + 3) – 2(3n – 1) qui vaut 11; on peut donc essayer d = 11. Effectivement avec 2n + 3 = 11, n = 4, et 3n – 1 = 11. On a donc un contre-exemple. Complément : On peut déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles les nombres 2n + 3 et 3n – 1 ne sont pas premiers entre eux. L’analyse ci-dessus n’est pas terminée !

En effet si, par exemple, 2n + 3 = 11k, n = −11k 32

et 3n – 1 = −11(3k 1)2

est

multiple de 11 (qui est premier) si et seulement si 3k – 1 est pair, c’est-à-dire si k est impair (à développer).

Conclusion : n = −11k 32

avec k impair. Si k = 1, on retrouve n = 4.

Des algorithmes en arithmétique

41

PARTIE 3 - DES ALGORITHMES EN

ARITHMETIQUE Par algorithme, nous entendons "une suite finie de règles à appliquer, dans

un ordre déterminé, à un nombre fini de données, pour arriver en un nombre fini d’étapes, à un certain résultat, et cela indépendamment des données."11

Nous sommes loin de la définition restrictive: "Tout procédé systématique de calcul" (Grand Larousse Encyclopédique), définition que l’on rencontre même dans plusieurs dictionnaires scientifiques.

Cette restriction s’explique historiquement par la nature des premiers travaux des arithméticiens grecs puis arabes, essentiellement centrés sur des problèmes de calcul.

On peut en particulier citer l’œuvre d’Al Khowarismi (IXº siècle), dont le nom est à l’origine du mot algorithme. Son idée fondamentale est le remplacement de dix unités d’un ordre par une unité de l’ordre immédiatement supérieur, ce qui est un prémice du système décimal.

On peut également citer les textes chinois des "neuf chapitres sur les procédures mathématiques", vieux de deux mille ans. Les bureaucrates chinois utilisaient déjà des boucles itératives.

Les pratiques à caractère algorithmique ne sont donc pas nées avec l’apparition de l’informatique.

Aujourd’hui encore, l’utilisation de bouliers ou le comptage sur les doigts que l’on enseignait en Europe de la Renaissance sont autant de démarches qui nécessitent implicitement un algorithme de fonctionnement.

De nombreux exercices seraient abordés de façon plus performante si dès la

lecture de l’énoncé « une suite finie de règles à appliquer, dans un ordre déterminé, à un nombre fini de données » se mettaient en place dans l’esprit des élèves, « pour arriver en un nombre fini d’étapes [au] résultat » ; c’est-à-dire si l’algorithme spécifique de la résolution du problème leur apparaissait clairement.

La conception d’un algorithme oblige à mieux approfondir une démarche.

Elle apprend aux élèves à structurer leur pensée, en particulier si l’on opère sur un support : tableau, arbre, graphique ….

La syntaxe algorithmique leur permet également de mieux utiliser des expressions telles que « si… alors, sinon », « tant que »…

L’approfondissement dépend de la nature de l’exercice. Dans l’enseignement

secondaire, la démarche algorithmique ne nécessite pas toujours un "raffinage"

11 J.Hebenstreit - Encyclopædia Universalis-vol 8 p 1013


Irem de Toulouse 42

informatisable. Toutefois, lorsque le problème s’y prête, le développement d’un algorithme incite à un approfondissement des données et des objectifs, des points de réflexion et des conclusions, des procédures et des enchaînements (inférence, boucles…).

Lorsque l’on fait fonctionner un algorithme, le succès est une réelle

motivation. Bien entendu, lorsqu’elle est possible, la réalisation informatique est l’aboutissement de la démarche algorithmique.

Dans l’enseignement secondaire, la calculatrice programmable permet de mettre en valeur l’efficacité d’algorithmes courts.

Dans cette partie, nous proposons des exercices d’arithmétique qui

consistent en la mise en forme d’algorithmes simples, pouvant aller jusqu’à une programmation sur la calculatrice.

1. RANGER N NOMBRES DANS L’ORDRE CROISSANT

Ce problème de tri a de nombreuses solutions, toutes basées sur la comparaison de deux réels.

Nous approfondirons dans le paragraphe suivant les activités de comparaison de deux nombres.

Propriété utilisée :

« a > b équivaut à (a – b) est un nombre strictement positif ». Cette propriété permet, en calculant leur différence, de comparer deux réels, avec une calculatrice par exemple, à l’aide de valeurs approchées, dans le cas où la comparaison directe est impossible ou longue. On peut imaginer que les n nombres sont écrits sur des étiquettes que l’on dispose en lignes. On peut matérialiser cet alignement par un tableau :

Nombre 2,3 0,9 4/3 π 5 3/7

Rang 1 2 3 4 5 6

Appelons C(a) la case de rang a . L’algorithme choisi est :

mettre le plus petit des nombres dans la case C(1) puis le plus petit de ceux qui restent dans la case C(2) ceci jusqu’à l’avant dernier.

On peut noter que le plus grand est nécessairement dans la case la plus à droite.


43

Une manipulation avec des étiquettes, une pour chaque nombre, se fait rapidement à condition, comme nous l’avons dit au début, que l’on sache comparer les nombres deux par deux. Un algorithme plus raffiné peut s’écrire :

pour i = 1 jusqu’à n – 1 faire pour j = i + 1 jusqu’à n faire

si C(i) > C(j) alors échanger C(i) et C(j)

2. COMPARER DES NOMBRES

A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale

Exemple :

Soient à comparer deux à deux les trois entiers naturels A = 523 710 084, B = 85 324 139, et C = 526 190 077.

B a moins de chiffres que A et que C, donc B < A et B < C ; A et C ont le même nombre de chiffres. Comme 6 > 3, A est le plus petit des deux nombres A et C. Conclusion : B < A < C. (On rencontre des débutants qui comparent les chiffres des unités!)

Vers une démarche algorithmique :

On peut demander à une classe de Collège de rédiger entièrement la méthode de comparaison d’un point de vue algorithmique.

On est alors conduit à une formulation comparable à celle-ci :

Soient n et n’ les nombres de chiffres de chacun des deux entiers N et N’. L’ordre d’un chiffre est son rang compté à partir de la droite : par exemple, le chiffre des dizaines est d’ordre 2, celui des millions est d’ordre 7 …. En particulier, lorsque n = n’, le parcours des chiffres de même ordre se fait vers la droite, à partir des chiffres d’ordre supérieur. Un support comme le tableau ci-dessous permet de visualiser la comparaison :


Irem de Toulouse 44

nombre A 5 2 3 7 1 0 0 8 4 nombre C 5 2 6 1 9 0 0 7 7 Ordre 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Un algorithme :

si n > n’, alors N > N’ si n < n’, alors N < N’ si n = n’, alors

mettre n dans r tant que les deux chiffres d’ordre r sont égaux et r ≠ 0 faire mettre r – 1 dans r si r = 0 alors N = N’

sinon N et N’ sont rangés dans le même ordre que les chiffres d’ordre r

Nous avons déjà signalé que la formulation de l’algorithme n’est pas

indispensable ; l’utilisation d’un tableau comme celui utilisé ci-dessus, où l’on met en correspondance les chiffres de même ordre, est une méthode à caractère algorithmique.

La démarche peut paraître compliquée, mais lorsque les nombres sont trop

grands et que l’on ne peut pas les entrer dans la calculatrice sans approximation, l’étude du signe de la différence peut ne pas être efficace, à moins de découper chacun d’eux en sections moins longues, mais ce n’est pas notre sujet.

Compléments :

• La démarche est de même nature pour deux décimaux : Commencer par mettre les virgules en correspondance dans un tableau; comparer les parties entières comme ci-dessus, et, si elles sont égales, continuer vers la droite à partir des virgules …

• La pratique d’un tableau est plus générale encore.

Ainsi pour convertir les mesures d’aires en mesures agraires, ou inversement.

Exemple : pour convertir 3,20527 hm²

hm² dam² m²

ha a ca 3 2 0 5 2 7

On obtient 3 ha 20 a 52,7 ca.


45

B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire

Une visualisation géométrique peut aider à mémoriser la démarche.

Dans un repère du plan d’origine O, à chaque

nombre d’écriture fractionnaire ab

, on peut

associer le point M de coordonnées (b; a), et

la droite a,bD d’équation =a

y xb

.

Il est équivalent de dire que a cb d= ou que les droites a,bD et c,dD sont

confondues, c’est-à-dire, sur le graphique ci-dessus, que les points O, M(b ; a), et N(d ; c) sont alignés.

Si deux quotients cd

et c 'd

ont le même dénominateur, alors les points associés

N(d ; c) et N’(d ; c’) ont la même abscisse.

Il est équivalent de dire que cd

< c 'd

ou que le point N et sous le point N’, ou

encore que la droite c,dD est au-dessous de la droite c ',dD .

Le graphique ci-dessus permet de visualiser la démarche algorithmique de comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire. si les dénominateurs sont égaux,

alors les nombres sont dans le même ordre que leurs numérateurs

sinon, pour comparer ab

et c'd

, on remplace ab

par le rapport égal cd

;

ab

et c'd

sont dans le même ordre que c et c’.

Compléments : Un prolongement vectoriel :

On peut aussi établir graphiquement un lien entre la colinéarité des

vecteurs OM et ON et l’égalité a cb d= (ad - bc = 0).


Irem de Toulouse 46

3. TESTER SI UN NOMBRE EST PREMIER

Vers une démarche algorithmique :

Nous cherchons si le nombre a admet au moins un diviseur d (différent de 1), et nous nous arrêtons là, sinon, nous affichons qu’il est premier.

Propriété utilisée :

« Si p est un nombre premier supérieur à 3, il est de la forme 6n - 1 ou 6n + 1. » (Cette propriété a été développée dans la partie 2.) Un tableau peut faciliter les explications et la compréhension pour le cas général (au-delà de 3) :

Diviseurs éventuels 6n - 1 6n 6n +1 6n +2 6n +3 6n +4

n = 1 5 6 7 8 9 10

n = 2 11 12 13 14 15 16

n = 3 17 18 19 20 21 22

n = 4 23 24 25 26 27 28

n = 5 29 30 31 32 33 34

n = 6 35 …

D’une part l’apparition de nombres premiers uniquement dans les colonnes

« 6n – 1 » et « 6n + 1 », et l’existence de nombres non premiers dans ces colonnes peuvent être constatées.

D’autre part, pour les autres colonnes, après avoir constaté que les nombres ne sont pas premiers, on peut être incité à généraliser le résultat pour justifier la restriction du balayage aux deux cas précédents.

Notons que si un entier d de la forme 6n – 1 ou 6n + 1 est diviseur de a, et

s’il n’est pas premier, il ne peut pas apparaître comme diviseur dans notre recherche: c’est un diviseur de d qui sera le révélateur.

Un critère d’arrêt :

Comme dans le crible d’Ératosthène, dans la recherche de diviseurs successifs d éventuels de a, on peut arrêter la recherche lorsque d2 > a.


47

Les paramètres :

p : vaut 1 si a est premier et 0 si a n’est pas premier. n : le rang de paramétrage. b = 6n - 1 et c = 6n + 1 nous initialiserons c à 1 pour rentrer dans le premier test c a2 ≤ .

Un algorithme : commentaires

p ← 1 ; n ← 1 ; c ← 1 entrer a si a est divisible par 2 ou par 3 alors p ← 0 ; d ← diviseur sinon tant que c a2 ≤ et p = 1 faire b ← 6n - 1 ; c ← 6n + 1 si a n’est divisible ni par b ni par c alors n ← n + 1 sinon p ← 0 si p = 1 alors afficher : a est premier sinon afficher : a n’est pas premier si a est divisible par b alors d ← b si a est divisible par c alors d ← c afficher: un diviseur de a est d

Initialisations 2 ou 3 est diviseur 2 et 3 non diviseurs essais pour les deux suivants pas de diviseur il existe un diviseur

sinon d = 2 ou d = 3 Exemples : 23456789 est premier ; 203456789 = 6947 × 29287

Pour une éventuelle programmation, on est amené à utiliser la fonction

partie entière. Pour un élève de Seconde ou de Première, la programmation de cet

algorithme sur une calculatrice met à sa disposition un outil de recherche pour des nombres de taille importante.

Évidemment, cela ne résout pas le problème pour des nombres trop grands pour la capacité de la machine.

4. DES ALGORITHMES DU PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS ET LEURS APPLICATIONS

A. Des algorithmes

Nous n’insisterons pas ici sur le calcul du PGCD après décompositions en facteurs premiers qui apparaît en classe de Seconde; cette démarche n’est évidemment pas à négliger, mais elle suppose que les nombres premiers de la décomposition ne sont pas trop grands.


Irem de Toulouse 48

• Il est intéressant de remarquer la démarche élémentaire qui consiste à chercher tous les diviseurs des deux nombres à l’aide de divisions successives, et à prendre le plus grand des diviseurs communs. On la trouve dans des manuels de la classe de Troisième.

Un algorithme très élémentaire pour la recherche des diviseurs d’un entier a

peut s’écrire :

entrer a mettre 1 dans d tant que le quotient de a par d est supérieur à 1 faire diviser a par d s’il existe un entier q tel que a = d х q

alors afficher d et mettre q dans a mettre d + 1 dans d

• Une présentation géométrique de l’algorithme d’Euclide (que l’on trouve dans certains manuels de la classe de Troisième), se fait à l’aide de rectangles. L’activité se présente comme une recherche d’un carré d’aire maximale qui permet de recouvrir le rectangle de départ. C’est ce que certains appellent l’algorithme du paveur.

Par exemple, à propos de 18 et 5, on peut proposer une présentation comme

ce qui suit pour la recherche du PGCD :

Les divisions successives sont : 18 = 5 × 3 + 3 ; 5 = 3 × 1 + 2 ; 3 = 2 × 1 + 1.

Les nombres écrits en gras correspondent au nombre de carrés extraits

du rectangle, les nombres soulignés correspondent aux mesures des côtés du rectangle restant.

L’algorithme d’Euclide pour les entiers a et b peut s’écrire, en supposant a > b :

tant que le reste n’est pas nul

faire la division euclidienne de a par b mettre b dans a mettre le reste dans b

afficher le dernier reste non nul


49

Une démarche plus élémentaire

Cet algorithme peut être présenté différemment, en détaillant le retrait de chaque carré élémentaire de la surface.

La seule règle utilisée ici est : « si un entier divise deux entiers, alors il divise leur différence ».

C’est pourquoi certains auteurs parlent de l’algorithme de la différence.

En appelant m et n les deux entiers :

tant que m ≠ n

si m > n alors mettre m – n dans m sinon mettre n – m dans n

afficher m Sur l’exemple précédent, on peut mettre en évidence le lien entre les

deux algorithmes.

m n a b 18 5 13 5 18 = 5 × 3 + 3 18 5 8 5 3 5 5 = 3 × 1 + 2 5 3 3 2 3 = 2 × 1 + 1 3 2 1 2 2 = 1 × 2 + 0 2 1 1 1 1 0

Un exemple simple où les deux entiers ne sont pas premiers entre eux :

Pour 8 et 6, on a les divisions suivantes :

8 = 6 × 1 + 2 6 = 2 × 3 + 0

Le dernier reste non nul est 2, donc le PGCD de 8 et de 6 est 2.

Le carré final n’a pas pour côté 1 : 8 et 6 ne sont pas premiers entre eux.


Irem de Toulouse 50

B. Trois applications classiques de l’algorithme d’Euclide

1. La simplification des fractions

Pour simplifier 1435111413 , la recherche du PGCD du numérateur et du

dénominateur est plus simple par l’algorithme d’Euclide.

On obtient 113 comme PGCD ; d’où A = 127101 .

2. L’écriture d’un quotient d’entiers en fraction continue

Reprenons l’exemple avec 18 et 5. Avec 18 = 5 × 3 + 3 ; 5 = 3 × 1 + 2 et 3 = 2 × 1 + 1,on obtient

3513

533

518

+=+= ;

2311

321

35

+=+= et 211

23

+= ; finalement par substitutions :

= ++

+

18 13 15 1 112

. Ce résultat est évidemment fini car 5

18 est un rationnel.

3. Le calcul de coefficients de Bézout

Toujours avec le même exemple, 18 et 5 étant premiers entre eux, il existe au moins deux entiers x et y tels que 18x – 5y = 1.

18 = 5 × 3 + 3 ; 5 = 3 × 1 + 2 et 3 = 2 × 1 + 1. En ″remontant″ les trois écritures de la droite vers la gauche : Avec 2 = 5 – 3 × 1 ; 3 = (5 – 3 × 1) х 1 + 1, d’où 3 × 2 – 5 × 1 = 1 . Avec 3 = 18 – 5 × 3, on a (18 - 5 × 3) × 2 – 5 × 1 = 1, et finalement 18 × 2 – 5 × 7 = 1. Ainsi, x = 2 et y = 7. On peut alors calculer les autres entiers qui conviennent.

La méthode est générale.

A partir de la forme a = b q + r dans laquelle nous appelons a le dividende et r le reste, un algorithme simplifié peut s’écrire :

écrire les n équations de l’algorithme d’Euclide dans l’ordre d’apparition pour i = n jusqu’à 2 faire

extraire le reste de l’équation de rang i – 1 reporter son expression dans l’équation de rang i simplifier les coefficients des deux dividendes restant dans cette équation diminuer i de 1

Des problèmes pour améliorer la situation

51

PARTIE 4 - DES PROBLEMES POUR

AMELIORER LA SITUATION

Nous avons essayé, dans cette partie, de suivre une progression dans la

scolarité, sans pour autant perdre de vue les retombées ultérieures. Les méthodes de raisonnement inventoriées dans la partie 2 apparaissent

progressivement.

1. CALCULS SIMPLES

Niveau : Collège – Seconde

A. Calculs sur les fractions, retombées algébriques.

L’exercice proposé ci-dessous doit être résolu sans calculatrice. Outre la pratique du calcul mental, cela permet de mettre en évidence la

nécessité de travaux préliminaires pour simplifier au maximum les calculs (comme la réduction d’une fraction, ou la recherche du meilleur dénominateur possible pour additionner des fractions).

Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles : 147 285 187 437; ; ; ;42 228 221 391

39 12 3 7 15 3; 8; ;

15 18 4 21 9 6× ÷ ÷ ;

21 2 1 5 12; ;28 3 6 6 4

− + − ; 35

1961142

− .

Rendre une fraction irréductible est l’occasion de manipuler les différentes

méthodes pour calculer le PGCD de deux entiers naturels: l’algorithme d’Euclide et l’algorithme de différence dès la Troisième ; la décomposition en facteurs premiers dès la Seconde.


Irem de Toulouse 52

Le PPCM ne figure actuellement que dans le programme de spécialité de Terminale S. Il est indispensable de montrer plus tôt que le produit des dénominateurs n’est que rarement la méthode la plus simple pour réduire des fractions au même dénominateur. On facilite ainsi des calculs littéraux comme, par exemple :

Étudier le signe de f(x) = −− +

2

2 2

x 4xx 1 x x

.

Dans les séries scientifiques, ce type d’exercice est courant.

B. Réflexion sur la notion de diviseur et de multiple.

1) Les nombres suivants sont-ils pairs ou impairs : 112 ; 215 ; 15×12 ; 15 + 12 ? 2) Dire si les nombres suivants sont multiples de 3 : 271 ; 153 ; 5547. Dire si les nombres suivants sont multiples de 6 : 312 ; 5547 ; 774. 3) Un multiple de 7 peut-il avoir n’importe quel chiffre des unités ?

2. PROBLEMES LIES A LA NUMERATION DECIMALE

Niveau : Collège. Les exercices qui suivent peuvent être abordés dès la classe de Troisième,

après avoir éventuellement rappelé le codage qui suit : A = 358 signifie que A = 3×10 2 + 5×10 + 8, ou encore A = 3×100 + 5×10 + 8.

Ces exercices nécessitent un raisonnement par analyse-synthèse.

Premier exercice :

Trouver un nombre A de deux chiffres sachant que la somme de ses chiffres est 11 et qu’en échangeant ces deux chiffres le nombre diminue de 27.


On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités. Les systèmes suivants sont équivalents :

+ =

+ − + =⎧⎨⎩

u d 11(10d u) (10u d) 27

; + =

− =⎧⎨⎩

u d 11d u 3

; =

=⎧⎨⎩

u 4d 7

; A = 74. Ce nombre convient.


53

Deuxième exercice :

Un nombre A de deux chiffres est égal à 7 fois la somme de ses chiffres ; calculer A.


On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités. 10 d + u = 7 (d + u), c’est-à-dire 3 d = 6 u ou d = 2 u. d est donc pair ; par une étude exhaustive , d ∈ { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } ; il y a donc quatre solutions possibles pour A : 21 , 42 , 63 et 84 ; toutes ces valeurs conviennent.

Troisième exercice :

Un nombre A de deux chiffres est égal à la somme de son chiffre des dizaines et du carré de son chiffre des unités ; calculer A.


On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités. La condition 10 d + u = d + u 2 est équivalente à 9 d = u (u – 1). u ou (u – 1) est un nombre pair (voir 3-A de cette partie, page 54), donc d est un nombre pair non nul. Par une étude exhaustive, d vaut 2 , 4 , 6 ou 8 • il n’existe pas deux chiffres consécutifs u et u – 1 dont le produit est 9 × 2 = 18 ou 9 × 4 = 36 ou 9 × 6 = 54 ; • par contre, il existe deux chiffres consécutifs dont le produit est 9 × 8 = 72. Donc la seule solution possible est 89. Cette solution convient (89 = 8 + 81).

Quatrième exercice :

Parmi les nombres de trois chiffres, trouver les multiples de 11 dont la somme des chiffres est 13.


On note c le chiffre des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités. On effectue un raisonnement par disjonction des cas. Il y a deux cas pour un nombre de trois chiffres, multiple de 11 :

Premier cas : il n’y a pas retenue dans la multiplication par 11, c’est-à-dire

c + u < 10 ; u , d et c satisfont à : = +

+ + =⎧⎨⎩

d c uu d c 13

ou =

+ =⎧⎨⎩

2d 132u 2c 13

.

Ce système n’admet pas de solutions entières.


Irem de Toulouse 54

Second cas : il y a retenue, c’est-à-dire 10 ≤ c + u ≤ 18,

u , d et c satisfont à + − = +

+ + =⎧⎨⎩

u c 1 10 du d c 13

ou =

+ =⎧⎨⎩

d 1u c 12

.

Par une étude exhaustive, on obtient sept solutions : 319 ; 418 ; 517 ; 616 ; 715 ; 814 et 913. Toutes ces solutions conviennent.

Complément : un autre mécanisme de la multiplication.

Cette pratique généralisée notamment dans les « Écoles d’Abaques » de la Renaissance, fait appel à un algorithme aussi simple que celui que nous utilisons de nos jours12. Un exemple permet de comprendre ce procédé général qui a le mérite de limiter le nombre de difficultés sur les retenues. Les différentes étapes du calcul ci-dessous mettent en valeur les codages du tableau : Soit A = 36 × 29 A = (30 + 6) × (20 + 9) = 600 + 120 + 270 + 54 = (6 + 1 + 2) × 100 + (2 + 7 + 5) × 10 + 4 = 9 × 100 + 14 × 10 + 4 = (9 + 1) × 100 + 4 × 10 + 4 = 1 × 1000 + 0 × 100 + 4 × 10 + 4 = 1044 résultat que l’on lit en bas et à droite.

1

2

1

2

7

4

4

4

0

06

5

10

100

6

2

1

9

1000

3

Les calculs pour chaque puissance de 10 se font suivant les

diagonales, avec d’éventuelles retenues uniquement dans les sommations, en commençant par le chiffre des unités, en haut à droite.

La méthode s’applique pour toute multiplication de deux entiers.

3. PARITE

A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs.

Les problèmes de parité apparaissent souvent à l’occasion d’exercices simples liés à la divisibilité par 2 ; en voici un exemple :

Démontrer que, quel que soit l’entier naturel n, n (n+1) est divisible par 2.

Pour un débutant, la résolution n’est pas immédiate et il est possible de

repérer différentes démarches plus ou moins formalisées qui méritent toutes d’être présentées.

12 Voir une reproduction d’une présentation historique sur la couverture de cette brochure.


55

Démarche 1 : En observant le successeur d’un entier naturel.

- Quand le chiffre des unités d’un entier naturel est 0 , 2 , 4 , 6 ou 8, celui du successeur est respectivement 1 , 3 , 5 , 7 ou 9 . - Quand le chiffre des unités d’un entier naturel est 1 , 3 , 5 , 7 ou 9, celui du successeur est respectivement 2 , 4 , 6 , 8 ou 0. L’observation suffit. On peut même énoncer : « tout nombre pair est suivi d’un nombre impair et tout nombre impair est suivi d’un nombre pair. » Un des facteurs, n ou n + 1, est donc multiple de 2, quel que soit l’entier naturel non nul n; il en est de même pour leur produit qui est donc divisible par 2.

Démarche 2 : Avec la division euclidienne.

Dans la division de n par 2, le reste est soit 0 soit 1. - Si le reste est 0, n est divisible par 2, donc n ( n + 1) est divisible par 2. - Si le reste est 1, 1 + 1 = 2, donc le reste de la division de n + 1 par 2 est 0, et par suite n ( n + 1) est divisible par 2. Nous abordons déjà une démarche dans l’esprit des congruences.

Démarche 3 : Avec les écritures 2 k et 2 k + 1.

Les réflexions de la démarche précédente sont ici menées simultanément. En effet les écritures 2k (= 2k + 0) et 2k + 1 ne font que coder la division euclidienne d’un entier naturel par 2. Cette formalisation peut être plus simple à comprendre pour certains élèves. En particulier, pour le cas n = 2k + 1, l’écriture n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2 ( k + 1) évite tout commentaire supplémentaire. Dans les deux cas, 2 peut être mis en facteur dans le produit n (n + 1).

Il peut être intéressant de proposer les trois démarches à différents

niveaux de la Troisième à la Terminale pour observer les réactions : compréhension, comparaison des difficultés, liens entre les démarches, intérêt de la formalisation...

D’autres exercices utilisant en particulier cette démarche :

- Le produit de trois entiers consécutifs non nuls est toujours multiple de 6. - Pour tout entier naturel n, le produit n (n + 1) (n + 2) est divisible par 6.

Démarche 4 : Avec la forme développée n²+n et les règles sur la parité.

n² et n sont de même parité; leur somme est donc paire.


Irem de Toulouse 56

Un tel raisonnement s’apprend par la pratique. Est-il nécessaire de donner une preuve des propriétés employées ? En tout cas, elles ne sont pas évidentes pour un débutant, même en classe de Terminale !

Démarche 5 : Avec les suites.

Cette démarche, dans un esprit très différent des précédentes, est abordable dès la Première, en utilisant la somme S des entiers de 1 à n : S = ½ n ( n + 1) est un entier, donc n ( n + 1) est multiple de 2.

Pour un bilan sur la parité le plus tôt possible :

Définitions (en liaison avec la division euclidienne par 2) :

- Un nombre pair est un entier multiple de 2; donc de la forme 2k (avec k entier).

- Un nombre impair est un entier qui n’est pas pair; donc de la forme 2 m + 1 (avec m entier)

Propriétés (justifiées par les écritures 2k et 2m+1) : - Le successeur d’un entier pair est impair ; le successeur d’un

entier impair est pair.

- La somme de deux entiers de même parité est paire ; la somme de deux entiers de parités différentes est impaire.

- Le produit de deux entiers est impair si et seulement si les deux nombres sont impairs.

Conséquence : pour tout entier n, n et n² ont la même parité.

B. D’autres exercices à propos de la parité

1) n est un entier naturel. a = 2n ; b = 5n ; c = 2n – 1 ; d = 4n + 1 ; e = 6n ; et f = 6n - 3. Parmi les nombres a, b, c, d, e et f, dire quels sont ceux qui sont impairs pour tout n, ceux qui sont pairs pour tout n.

2) A est un nombre pair. A² est-il multiple de 2 ? de 4 ? de 8 ?

3) A et B sont deux nombres impairs. N = A² + B². N est-il impair ou pair ?

4) Montrer que si a est impair ; alors a² – 1 est un multiple de 8.


(2n + 1) ² – 1 = 4 (n² + n).


57

5) Existe-t-il des entiers naturels n tels que 4n – 3 soit un carré parfait ?


En remarquant que 4n – 3 est impair, s’il y a des solutions, 4n – 3 est nécessairement le carré d’un entier impair ; il existe donc un entier naturel k tel que 4n – 3 = (2k + 1)² ; d’où n = k² + k + 1 . La condition est suffisante. Les premières valeurs de n sont 1 , 3 , 7 , 13 , 21 , 31 … correspondant respectivement à 4n – 3 égal à 1 , 9 , 25 , 49 , 81 , 121 …

6) Jean dit : «Si je monte deux à deux les marches de mon escalier, il me reste une marche à monter.» Marc lui répond : «Eh bien moi, j’ai descendu ton escalier quatre à quatre exactement.» Est-ce possible ?


D’après Jean, le nombre de marches est impair, d’après Marc il est multiple de 4, donc de 2. Il y a donc contradiction entre les deux affirmations.

4. DIVISION EUCLIDIENNE

Niveau : Troisième et lycée

Les exercices présentés permettent une première sensibilisation aux congruences, cela dès la Troisième.

Premier exercice :

Si on divise un nombre n par 171, le reste est 2; si on le divise par 153, le quotient entier augmente de 1, et le reste est 119. Calculer n.


On est amené à résoudre le système − =

− + =⎧⎨⎩

n 171q 2n 153(q 1) 119

; n = 2567.


Un entier naturel n n’est pas multiple de 3. Quel est le reste de la division de a 2 par 3 ?


Irem de Toulouse 58


Le reste de la division euclidienne de n par 3 est 1 ou 2. n est donc de la forme 3k + 1 ou 3k + 2. (3k + 1) 2 et (3k + 2) 2 sont de la forme 3q +1, le reste est donc 1.


n est un entier naturel et N =½ n (n + 1). Calculer le reste de la division de N par 3.

Remarque : le premier exercice sur la parité permet de justifier le fait que N est un entier.


On raisonne par disjonction des cas : n = 3k , n = 3 k + 1 ou n = 3k + 2. Lorsque k est pair, on note k = 2k’ ; lorsque k est impair, on note k = 2k’ + 1.

Si n = 3k, N = 3k (3k + 1)/2. - Si k est pair, alors N = 3 k’ (3k + 1). Le reste de la division de N par 3 est 0. - Si k est impair, alors N = 3k (3k’ + 2). Le reste est 0.

Si n = 3k + 1, N = (3k + 1) (3k + 2)/2. - Si k est pair, alors N = (3k + 1) (3k’ + 1) = 3 (3kk’ + k + k’) + 1. Le reste vaut 1. - Si k est impair, alors N = (3k’ + 2) (3k + 2) = 3 (3kk’ + 2k + 2k’ + 1) + 1. Le reste vaut 1.

Si k = 3k + 2, N = (3k + 2) (3k + 3)/2 = 3 (3k + 2) (k + 1)/2. - Si k est pair, alors N = 3 (k’ + 1) (k + 1). Le reste est nul. - Si k est impair, alors N = 3 (3k + 2)(k’ + 1). Le reste est nul.

5. DIVISIBILITE - APPROCHE DU THEOREME DE GAUSS.

Niveau: Lycée

Premier exercice :

a) L’entier naturel n est divisible par 15 et par 16. Est-il divisible par 15 × 16 ? b) L’entier naturel n est divisible par 42 et par 30. Est-il divisible par 42 × 30 ?


a) On applique successivement la propriété suivante aux deux hypothèses : « si b divise n, alors il existe q tel que n = b q. » 15 et 16 étant premiers entre eux, la réponse est oui.


59

b) 42 et 30 n’étant pas premiers entre eux, la réponse est non. Il s’agit de trouver un contre-exemple. Pour cela on décompose en produits de facteurs premiers 42 et 30. Leur PPCM est 210, qui fournit un contre-exemple. 420 et 630, multiples de 210, sont d’autres contre-exemples.


Calculer l’entier naturel n sachant que n – 1 divise n + 5.


Analyse : Si n – 1 divise n + 5, alors il divise (n + 5) – (n – 1), c'est-à-dire 6. En effet, en écrivant n + 5 = k (n – 1), avec k entier différent de 1, on a : (n + 5) – (n – 1) = (k – 1) (n – 1). Les diviseurs de 6 sont 1 , 2 , 3 et 6. Cela conduit à quatre valeurs possibles pour n: 2 , 3 , 4 et 7. Synthèse : Ces quatre solutions conviennent


Calculer l’entier naturel n sachant que n – 5 divise 3n + 21


Analyse : Si n – 5 divise 3n + 21, alors il divise 3n + 21 – 3(n – 5), c’est-à-dire 36. (La démonstration est analogue à celle de l’exercice précédent.) Les diviseurs de 36 sont 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 et 36. Il y a neuf valeurs possibles pour n : 6 , 7 , 8 , 9 , 11 , 14 , 17 , 23 et 41. Synthèse : ces neuf solutions conviennent.

Quatrième exercice :

On range un lot de n timbres de trois façons : a) par 5, il en reste 3; b) par 4, il en reste 1; c) par 3, il en reste 2; 1) A l’aide des hypothèses a) et b), déterminer le chiffre des unités de n. 2) Calculer n, en considérant d’abord le cas où n est inférieur à 100.


1) n – 3 divise 5, son chiffre des unités est donc 0 ou 5. Le chiffre des unités de n est donc 3 ou 8. n – 1 est pair, n est donc impair. Son chiffre des unités est 3.

2) L’hypothèse c) s’écrit : n – 2 = 3k ( k entier). Le chiffre des unités de n – 2 est 1, donc celui de k est 7.


Irem de Toulouse 60

Lorsque n est inférieur à 100, une démarche exhaustive (suivant les valeurs de k) donne la solution n = 53. Lorsque n est supérieur à 100 : si n et n’ sont deux solutions, n’ – n est à la fois multiple de 5, de 4, et de 3, donc de 5 × 4 × 3 = 60 (car 5 , 4 et 3 sont premiers entre eux) , donc les solutions sont de la forme 53 + 60k ( k entier naturel), et ces solutions conviennent toutes.

6. APPRENDRE A RECONNAITRE UNE SITUATION ARITHMETIQUE

Niveau : Troisième et lycée

Premier exercice : Les bouquets de la fleuriste.

Une fleuriste a reçu 385 roses blanches et 462 roses rouges. Elle désire réaliser des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. 1) Dans ces conditions, est-il possible que la fleuriste réalise 55 bouquets ? 42 bouquets? 2) Soit n le nombre de bouquets. Traduire les hypothèses à l’aide de n. 3) a) Calculer tous les diviseurs communs à 385 et à 462. b) En admettant qu’aucune fleur n’est abîmée, donner toutes les situations dans lesquelles les bouquets sont identiques. 4) Quel est le nombre maximal de bouquets identiques et la composition de chacun de ces bouquets?

Remarque : Cet exercice est à rapprocher du problème de timbres

étudié dans la partie 1.


1) 55 n’est pas un diviseur de 462 ; 42 n’est pas un diviseur de 385.

2) n est un diviseur de 385 et de 462.

3) a) En Troisième, l’algorithme d’Euclide permet de déterminer le PGCD des deux nombres. Les diviseurs du PGCD sont les diviseurs communs des deux nombres. En Seconde, la décomposition en facteurs premiers donne le résultat. Les diviseurs communs à 385 et 462 sont : 1 , 7 , 11 , et 77. b) nombre de bouquets nombre de roses blanches nombre de roses rouges 1 385 462 7 55 66 11 35 42 77 5 6

4) Le PGCD 77 donne la réponse finale.


61

Deuxième exercice : Les trois filles

Dans une famille il y a 3 filles. La somme de leurs âges est 13 et le produit 36. 1) Étudier la parité des âges. 2) Quels sont les âges ?


1) En utilisant la somme (impaire), et le produit (pair), on montre, par disjonction des cas, qu’un âge et un seul est impair. 2) On peut, au choix, commencer par utiliser la somme ou le produit. Un raisonnement exhaustif, « allégé » par la première question conduit au résultat : les âges possibles sont (1 ; 6 ; 6) ou ( 2 ; 2 ; 9)

Troisième exercice : Triangles rectangles

Dans un triangle rectangle, les nombres entiers a et b sont les mesures des deux côtés de l’angle droit. 1) Premier cas : l’hypoténuse mesure c (c entier). a) Démontrer que a et b ne peuvent être impairs ensemble. b) Expliquer pourquoi si a est impair, alors c est aussi impair. 2) Deuxième cas : l’hypoténuse mesure c 2 (c entier). a) Démontrer que a et b sont pairs ensemble ou impairs ensemble. b) Démontrer que c a la même parité que a et b . c) Justifier l’égalité : n² + (n + 2k)² = 2 [ (n + k)² + k² ], avec n et k entiers. En utilisant l’égalité 3² + 4² = 5² , trouver un exemple numérique pour chaque cas lorsque a et b sont pairs, puis lorsque a et b sont impairs. Faire de même avec l’égalité 5² + 12² = 13².


1) On a : a² + b² = c². a) voir partie 2 - 2.D premier exemple, page 35. b) Si a est impair, b est pair. On raisonne par l’absurde : si c était pair, a serait pair.

2) On a : a² + b² = 2c². a) Par l’absurde : si a et b n’avaient pas même parité, 2 c² serait impair b) On utilise la propriété suivante (vue dans le paragraphe 3 sur la parité) : « c et c² ont la même parité. » On raisonne par disjonction des deux cas possibles : soit a et b sont pairs, soit ils sont impairs. c) Partir de (n + a)² + a² = 5², on trouve a = 3 et n = 1. Avec 3² + 4² = 5² 5² + 12² = 13² on obtient 1² + 7² = 2 × 5²

puis 2² + 14² = 2 × 10² 7² + 17² = 2 × 13² puis 14² + 34² = 2 × 26²


Irem de Toulouse 62

Note : pour prolonger cet exercice, voir le paragraphe 7 (triplets pythagoriciens)

Quatrième exercice : Un achat en euro.

Pour un achat de 27 euro, je donne des billets de 5 euro et le caissier ne me rend que les pièces de 2 euro. On appelle x le nombre de billets de 5 euro et y celui de pièces de 2 euro. 1) Vérifier que x = 27 et y = 54 est une solution possible. Nous allons découvrir que ce n’est pas la plus simple. 2) Justifier que x et y doivent vérifier l’équation 5x – 2y = 27 (1). En retranchant membres à membres (1) et l’égalité obtenue en remplaçant dans (1) x par 27 et y par 54, justifier que 5 (x – 27) = 2 (y - 54) (2). 3) Déduire de (2) qu’il existe au moins un entier k (positif ou négatif) tel que :

= +⎧⎨ = +⎩

x 27 2ky 54 5k

.

4) Démontrer que k est supérieur ou égal à -10; en déduire les valeurs minimales de x et de y.

Remarque : cet exercice est une initiation aux démarches de résolution d’équations diophantiennes du type ax – by = c. (Ces équations sont au programme de TS/spécialité.) Nous ne jugeons pas utile d’aborder la méthode familière aux TS qui consiste à découvrir successivement que 5 × 1 = 2 × 2 + 1 (à l’aide d’une division euclidienne), puis que 5 × 27 – 2 × 54 = 27.


3) 5 étant impair, x – 27 est multiple de 2. On n’est pas obligé dans ce cas de citer le théorème de Gauss avant la Terminale S (c’est une initiation). De même, y – 54 est multiple de 5. 4) On cherche un couple d’entiers naturels; il faut donc que les solutions soient positives et entières; d’où la minoration de k ( k ≥ -10) en résolvant dans le système 27 + 2k ≥ 0 et 54 + 5k ≥ 0. x et y sont deux fonctions affines croissantes de k ; les valeurs minimales sont x = 7 et y = 4.

7. TRIPLETS PYTHAGORICIENS

Trouver tous les triplets d’entiers naturels a, b et c tels que a² + b² = c²

1) a et b ne peuvent pas être impairs tous les deux. Par un raisonnement par l’absurde (partie 2 - 2.D premier exemple, page 35).

Supposons pour la suite de la recherche que a est pair.


63

2) On peut se ramener au cas où b et c sont premiers entre eux. Soit d le PGCD de b et c. Avec b = k d et c = k’ d, on peut écrire a² = c² - b² = (k’² - k²) d² . Ainsi d² divise a², donc d divise a. (Pour le prouver, on utilise la décomposition d’un entier en facteurs premiers.) Il est donc possible de diviser a, b et c par le nombre d . Avant de poursuivre la recherche … Nous continuons à appeler a, b et c les trois nombres; à présent a est pair, et b et c sont premiers entre eux. De plus, b et c sont impairs. En effet, si b ou c était pair, a étant pair, le troisième entier serait également pair ; b et c ne seraient alors plus premiers entre eux.

3) Les formules.

A partir de l’égalité = −2 2 2a c b , on peut écrire : 2a

4 = −c b

2 х +c b

2.

D’une part, c et b étant impairs, −c b2

et +c b2

sont entiers.

D’autre part, b et c étant premiers entre eux, −c b2

et +c b2

sont aussi

premiers entre eux (raisonnement par l’absurde). Leur produit est un carré, donc chacun de ces deux nombres est un carré (voir partie 2 – 2.D troisième exemple, page 36).

Ainsi, il existe deux entiers α et β tels que α < β, −c b2

= α² et +c b2

= β²

D’où a = 2 αβ, b = β² – α² et c = β² + α² .

4) Réciproquement, on vérifie immédiatement que (2 αβ ; β² – α² ; β² + α²) est un triplet pythagoricien. Enfin, pour obtenir toutes les autres solutions, il suffit de multiplier chacune des solutions précédentes par un entier k quelconque.

8. À PROPOS DE L’EQUATION DIOPHANTIENNE AX + BY = C

Niveau : Terminale S/ Spécialité

Premier exercice : Un problème de Bézout13

On demande en combien de manières on peut payer 542 livres, en donnant des pièces de 17 livres et en recevant en échange des pièces de 11 livres.

13 Cours de Mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon de la Marine. Histoire

d’algorithmes – Belin.


Irem de Toulouse 64


En notant x et y respectivement le nombre de pièces de 17 livres et de 11 livres, x et y sont solutions de l’équation : 17 x – 11 y = 542.

Résolution de 17 x – 11 y = 1 : - Il existe des solutions car 17 et 11 sont premiers entre eux. - Dans la division euclidienne de 17 par 11, nous avons les étapes successives: 17 = 11 + 6 ; 11 = 6 + 5 ; 6 = 5 + 1 D’où, en « remontant » dans les égalités précédentes, 1 = 6 - 5 = 6 - (11 - 6) = 6 × 2 - 11 = (17 - 11) × 2 – 11 = 17× 2 - 11 × 3. - Une solution de 17 x – 11 y = 1 est donc (2; 3).

On a donc : 17 × 2 × 542 – 11 × 3 × 542 = 542 ; c’est-à-dire : 17 × 1084 – 11 × 1626 = 542. Avec 17 x – 11 y = 542 et en retranchant membres à membres, on obtient : 17 (x – 1084) = 11 (y – 1626). 11 et 17 sont premiers entre eux, donc 11 divise (x – 1084) ; il existe donc un entier k tel que x – 1084 = 11k, et par suite x = 11k + 1084 et y = 17k + 1626. x et y sont des entiers naturels, d’où k ≥ - 95. Il existe une infinité de solutions. (Pour k = - 95, x = 39 et y = 11.)

Deuxième exercice : Un problème d’Euler14

Une caravane composée d’hommes et de femmes fait halte dans une auberge. Les hommes y dépensent 19 sous chacun, les femmes 13. La recette de l’aubergiste est de 1000 sous.

Combien y avait-il d’hommes et combien de femmes ?


En notant x et y respectivement le nombre d’hommes et de femmes, x et y sont solutions de l’équation : 19 x + 13 y = 1000 (1) Par la même procédure que ci-dessus on trouve ( -2 ; 3 ) comme solution de 19 x + 13 y = 1. ( -2000 ; 3000) est donc une solution de (1), d’où 19 (x + 2000) + 13 (y – 3000) = 0. 19 et 13 sont premiers entre eux, donc il existe un entier k tel que x + 2000 = 13k, et par suite x = 13k – 2000 et y = –19k + 3000. x et y sont des entiers naturels, donc k est un entier qui vérifie : 13k – 2000 ≥ 0 et –19k + 3000 ≥ 0. k∈{ 154 ; 155 ; 156 ; 157}. Il existe donc seulement 4 solutions : 2 hommes et 74 femmes ; 15 hommes et 55 femmes ; 28 hommes et 36 femmes ou 41 hommes et 17 femmes.

14 Traité d’Algèbre.


65

Troisième exercice : L’escalier énigmatique

Lorsqu’on descend cet escalier deux marches par deux marches, il en reste une à la fin ; si on le descend trois par trois, il en reste deux ; quatre par quatre, il en reste trois ; cinq par cinq, il en reste quatre ; six par six, il en reste cinq ; et sept par sept, il n’en reste point. Combien de marches a l’escalier ?


1) Une condition nécessaire. Soit x le nombre de marches. Il existe 6 entiers a , b , c , d , e et f tels que : x = 7a , x = 6 b + 5 , x = 5 c + 4 , x = 4 d + 3 , x = 3 e + 2 et x = 2 f + 1 (1) (schémas de divisions euclidiennes). Si x’ est une autre solution, il existe un entier e’ tel que x’= 3 e’ + 2, d’où x’ – x = 3 (e’ – e) , donc x’ – x est un multiple de 3. Par des raisonnements identiques x’ – x est multiple de 4, de 5 et de 7. De plus 3 et 4 sont premiers entre eux ; il existe donc un entier k tel que x’ – x = 12k. (Théorème de Gauss) 5 et 12 sont premiers entre eux ; il existe donc un entier m tel k = 5 m; donc x’ – x = 12 × 5 m = 60 m. 7 et 60 sont premiers entre eux ; il existe donc un entier n tel que m = 7 n donc x’ – x = 60 × 7 n = 420 n Conclusion: S’il existe deux solutions x et x’, alors il existe un entier n tel que x’ = x + 420n ; en particulier, l’écart entre deux solutions étant supérieur ou égal à 420, il existe au plus une solution dans 1;420 .

2) Recherche d’une solution dans ;1 420 . • Une méthode exhaustive peut consister à essayer tous les multiples de 7 dans l’intervalle. C’est fastidieux, mais on y parvient !

• On peut aussi remarquer que les équations (1) conduisent à : 7a = 6b + 5 (équation simple de Bézout). Avec 7 × 5 = 6 × 5 + 5, on a : 7 (a – 5) = 6 (b – 5). 7 et 6 sont premiers entre eux, donc a – 5 est multiple de 6 ; ainsi, il existe un entier k tel que a – 5 = 6k. D’où x = 7 a = 7 ( 6 k + 5). Pour k = 1, x = 77, qui ne convient pas : 77 – 4 n’est pas multiple de 5. Pour k = 2, x = 119, qui convient: 119 = 7 × 17 ; 119 = 6 × 19 + 5; 119 = 5 × 23 + 4 ; 119 = 4 × 29 + 3 ; 119 = 3 × 39 + 2 et 119 = 2 × 59 + 1.

3) Synthèse. 420 est multiple de 7 , 6 , 5 , 4 , 3 et 2 , donc, quel que soit l’entier n, les restes des divisions de 119 + 420n par 7 , 6 , 5 , 4 , 3 et 2 sont respectivement 0 , 5 , 4 , 3 , 2 et 1. Ainsi l’ensemble des solutions est l’ensemble des entiers x de la forme : x = 119 + 420n (n désignant un entier naturel.)


Irem de Toulouse 66

Quatrième exercice : Pas si sot !

On dispose de deux seaux non gradués contenant l’un a litres et l’autre b litres (a et b sont des entiers naturels, et a ≤ b). Les possibilités et les contraintes sont :

on peut puiser ou jeter de l’eau à volonté ; aucune mesure exacte de volume n’est possible sans les seaux.

Le but est de préparer exactement n litres d’eau, n ≤ b, dans l’un des deux seaux, l’autre étant vide. A quelle condition peut-on préparer cette quantité ? Concevoir un algorithme optimisant le processus de préparation : le moins de puisages, rejets et transferts possibles pour avoir exactement les n litres.


1) On note pa et rb (respectivement pb et ra) le nombre de puisages de a litres et le nombre de rejets de b litres (respectivement le nombre de puisages de b litres et le nombre de rejets de a litres). En puisant systématiquement avec le même seau, on a donc : pa a – rb b = n ou pb b – ra a = n. D’où l’équation diophantienne (E) à résoudre : ax + by = n, avec x et y entiers relatifs de signes contraires.

2) Condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe des solutions : le PGCD δ de a et b divise n. On ne traite que le cas où δ = 1. Si δ ≠ 1, il suffit de résoudre le problème en considérant a’ = a/δ , b’ = b/δ et n’ = n/δ.

3) Le théorème de Bézout prouve l’existence d’un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que : au + bv = 1. Donc : n a u + n b v = n. On pose x1 = n u et y1 = n v. (x1 , y1) est donc une solution de (E). Soit (x2 , y2) une autre solution, alors : a(x1 – x2) + b (y1 – y2) = 0. Le théorème de Gauss permet alors d’établir : a divise (y1 – y2).

On en déduit l’existence d’un entier relatif k tel que = −⎧

⎨ = +⎩

2 1

2 1

y y kax x kb

.

Réciproquement, il est clair qu’un tel couple (x2 , y2) est solution de (E).

4) Optimisation : On cherche ici à minimiser le nombre M de manipulations (puisage, rejet ou transfert). Le puisage se faisant avec un seul seau, chaque action (puisage ou rejet) est suivie d’un transfert. Minimiser M équivaut donc à minimiser |x2| + |y2|, c’est-à-dire | x2 – y2 |, car x2 et y2 sont de signes contraires. Soit M = min

k∈Z| n(u – v) + k (a + b) |.


67

Ce minimum est atteint pour le ou les entier(s) k le ou les plus proche(s) de −+

n(v u)a b

, c’est-à-dire k = −⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

n(v u) 1Ea b 2

, si −+

+n(v u) 1

a b 2n’est pas entier, sinon

pour k = −+

+n(v u) 1

a b 2 et k’ = −

−+

n(v u) 1a b 2

.

La solution optimale est alors : (x2 , y2) = (n u + M b , n v – M a) ; si x2 < 0 alors ra = – x2 et pb = y2 ; si x2 > 0 alors pa = x2 et rb = – y2. Remarque : lorsqu’il y a deux valeurs possibles pour k, il faut puiser avec le seau de plus grande contenance. L’algorithme correspondant à cette optimisation, ainsi que deux exemples numériques figurent en annexe 8.

69

CONCLUSION A travers cette brochure, nous avons voulu exprimer notre certitude que

l’arithmétique peut et doit tenir une place importante dans l’apprentissage des mathématiques. A l’aide de nombreux exemples, nous nous sommes efforcés de montrer comment elle permet de placer l’élève comme au cœur des raisonnements. De plus, elle offre de nombreux aspects ludiques et motivants qui peuvent faciliter l’assimilation de notions et méthodes.

Nous sommes convaincus de ne pas avoir exploré toutes les possibilités

qu’offre l’arithmétique. Cependant nous croyons que son efficacité dans l’apprentissage et la

consolidation des acquis ne seront réels que si un meilleur suivi de ce domaine est réalisé à travers les programmes des classes du collège et du lycée.

Or nous observons aujourd’hui un bien maigre saupoudrage et un suivi pour le moins fragmentaire de l’arithmétique. Nous le déplorons.

Par l’analyse de la situation actuelle de l’apprentissage de l’arithmétique à

partir des tests réalisés dans nos classes, par les conséquences que nous en avons tirées, et par la diversité des exercices présentés et commentés, nous espérons avoir ouvert de nouvelles perspectives et proposé de nouveaux leviers aux enseignants.

Notre conviction, forgée par la longue réflexion qui a permis de réaliser cette

brochure, est que la place de l’arithmétique dans l’enseignement secondaire doit être repensée, et cela dans l’intérêt des élèves et des professeurs.

71

BIBLIOGRAPHIE La découverte des mathématiques – Georges POLYA 1967 – Dunod Histoire d’algorithmes – Jean-Marc CHABERT 1994 – Belin Exercices d’arithmétique – COMMISSAIRE 1925 – Masson Algèbre – CONDAMINE 1971 – Delagrave Arithmétique – Mathieu SAVIN Brochure APMEP N° 129 – 2000 Tests sur dix énoncés tirés du livre de Gérard Charrière : « L’algèbre mode d’emploi » – Yolande NOEL-ROCH Bulletin de la Société Belge des Professeurs de Mathématiques N°137 – mai-juin 2002 Raisonnements et nombres entiers – Laetitia RAVEL Article du Bulletin APMEP N° 447 Arithmétique en Terminale S – Laetitia RAVEL Article de la revue REPERE N°49 - 2002 L’arithmétique : un sujet d’enseignement Bulletin d’information de l’IREM de Rennes N°41 – Sept 1999 Rallye 2002 en Terminale S Bulletin de l’IREM de Strasbourg – L’ouvert 2002-2003

Annexes

73

ANNEXES


Irem de Toulouse 74

AANNNNEEXXEE 11

L’ARITHMETIQUE DE SIXIEME EN TERMINALES (où l’on voit les notions qu’il faudrait au moins entretenir)

Programmes Accompa- gnements

Nombres entiers numération décimale comparaison opérations à la main calcul mental puissances division euclidienne PGCD PPCM algorithme de la différence algorithme d’Euclide congruences, théorie des restes (dans )

6ème ; 5ème 6ème à 2de 6ème à Tles Collège dès la 4ème dès la 6ème TS/spé 3ème ; TS/spé ;1ère L/opt TS/spé ; TL/opt

4ème 3ème ; 2 de TS/spé 3ème

Nombres fractionnaires écriture du quotient de deux entiers simplifications élémentaires simplification complète (PGCD) notion de fraction irréductible comparaison (des exemples au Collège) addition, soustraction, addition, soustraction avec PPCM multiplication division

6ème dès la 6ème 3ème 3ème ; TS/spé 5ème ; 2de

4ème 5ème 4ème

Divisibilité multiples-diviseurs diviseurs communs – multiples communs divisibilité par 2, 3, 5 ... dans théorème de Gauss

dès la 6ème dès la 6ème TS/spé

3ème ; 2de

Nombres premiers entre eux définition et utilisation critère de Bézout

3ème ; TS/spé ;1ère L/opt TS/spé

Nombres premiers définition décomposition en facteurs premiers existence et unicité de la décomposition petit théorème de Fermat

2de 2de TS/spé TS/spé

Système de numération 1ère L/opt ; TS/spé

Annexes

75

AANNNNEEXXEE 22

SUJET DU TEST DE SECONDE

NOM Classe :

EXERCICE D’ARITHMETIQUE 1- a) Décomposer les entiers 1320 et 825 en produits de nombres premiers, en

déduire leur pgcd. b) Citer au moins une autre méthode de calcul du pgcd de deux entiers, et

l’appliquer pour 1320 et 825. 2- Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il

souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers.

a. Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser. b. Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ?

3- Résoudre le problème de la question 2 avec 17017 timbres français et 1183

timbres étrangers.


Irem de Toulouse 76

AANNNNEEXXEE 33

DONNEES STATISTIQUES DU TEST DE SECONDE

Le test a été réalisé auprès de 322 élèves d’un lycée d’enseignement général de Toulouse. Les nombres présents dans les tableaux représentent des effectifs.

QUESTION 1a QUESTION 1b

Division euclidienne (i) (ii) (iii) pas de réponse

pgcd faux pgcd juste

Différence

1a faux

1b juste

105 143 51 23 39 93 47 57

(i) décomposition et pgcd corrects.

(ii) décomposition correcte, pgcd faux

(iii) erreur dans la décomposition

QUESTION 2

Résultat cohérent Résultat faux pas de réponse

167 117 38

QUESTION 3

DECOMPOSITION DIVISION EUCLIDIENNE DIFFERENCE

pgcd faux pgcd juste pgcd faux pgcd juste pgcd faux pgcd juste

méthode non détaillée

45 37 5 50 4 5 13

Erreurs courantes

pgcd d’un entier pgcd = 11

32 83

Annexes

77

AANNNNEEXXEE 44

DONNEES STATISTIQUES DU TEST POSE EN TROISIEME ET SECONDE

CLASSE DE TROISIEME

calcul pgcd méthode interpretation pgcd comme

nombre de lots

répartition pgcd vu

comme un diviseur

question 2 résolue non

resolu

Ecriture correcte

pgcd(a,b)

Justification de l'utilisation du

pgcd

correct faux division soustraction


Irem de Toulouse 78

CLASSE DE SECONDE

calcul pgcd méthode interpretation pgcd comme

nombre de lots

répartition pgcd vu

comme un diviseur

question 3 résolue non

resolu

Ecriture correcte

pgcd(a,b)

Justification de l'utilisation du

pgcd

correct faux division soustraction

produit

Reboublants

Annexes

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AANNNNEEXXEE 55

TEST DE PREMIERE S : REPONSES DES ELEVES


Irem de Toulouse 80

Annexes

81


Irem de Toulouse 82

Annexes

83


Irem de Toulouse 84

Annexes

85

AANNNNEEXXEE 66

SUJET DU BACCALAUREAT S ; NATIONAL, JUIN 1999 L’énoncé est à peine modifié. On donne la liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres : an = 4×10n –1 , bn = 2×10n –1 , cn = 2×10n + 1. 1. Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3 et c3 . 2. Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres ?

Montrer que an et cn sont divisibles par 3. 3. Montrer que b3 est premier (utiliser la liste donnée) 4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul , bn × cn = a2n .En déduire la

décomposition en produit de facteurs premiers de a6 . 5. Montrer que PGCD(bn ; cn) = PGCD(cn ; 2) . En déduire que bn et cn sont premiers

entre eux. 6. On considère l’équation b3 x + c3 y = 1, d’inconnue le couple (x ;y) d’entiers relatifs. a) Montrer que cette équation a au moins une solution. b) A l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de cette

équation. c) Résoudre cette équation.


Irem de Toulouse 86

AANNNNEEXXEE 77

SUJET DU BACCALAUREAT S ; AMERIQUE DU SUD, 1982

1. Soit a et b deux entiers naturels dont la somme et le produit ont pour PGCD. le carré d’un nombre premier p. a. Montrer que p²

divise a²

(on pourra remarquer que a² = a (a + b) – ab).

En déduire que p divise a. Montrer que p divise b. b. Démontrer que le PGCD de a et b est soit p, soit p². 2. On cherche à déterminer les entiers naturels a et b tels que : PGCD(a + b, ab) = 49 et PPCM(a , b) = 231 . a. Soit a et b deux tels entiers. Montrer que leur PGCD est 7. b. Quelles sont les solutions du problème posé ?


1.a) Le PGCD de a + b et de ab est p² donc p² divise a + b et ab. Comme a² = a (a + b) – ab, alors p² divise a². On en déduit que p divise a² et comme p est premier alors p divise a. En écrivant b = b (a + b) – ab, on démontre de même que p² divise b² puis que p divise b. 1.b) Soit d = PGCD (a ; b). d divise a et b donc d divise a + b et ab donc d divise leur PGCD : p². p étant premier, les diviseurs entiers naturels de p² sont 1 , p et p². On a démontré que p divise a et b donc p divise d. d est donc soit p soit p². 2.a) On cherche a et b tels que p² = 49 et que PPCM ( a ; b) = 231 D’après les questions précédentes, le PGCD de a et de b est soit 7 soit 49. Si ce PGCD est 49, en posant a = 49 a’ et b = 49 b’, et sachant que le produit du PGCD par le PPCM est égal au produit des deux nombres, on obtient : 49 × 231 = ab = 49² a’ b’ donc 49 a’ b’ = 231. Ceci entraîne que 49 divise 231 ce qui est une contradiction. * Le PGCD de a et de b est donc 7. 2.b) Analyse : Sachant que le PGCD de a et de b est 7, on pose a = 7 a’ et b = 7 b’ (le PGCD de a’ et de b’ est donc 1) Avec la propriété des produits utilisée au a) on obtient 7 × 231 = 49 a’ b’ donc a’ b’ = 33.

Annexes

87

Les diviseurs entiers naturels de 33 étant 1, 3, 11 et 33 , les couples (a’ ; b’) possibles sont donc : (1 ; 33) , (33 ; 1) , (3 ;11) et (11 ; 3) donc pour (a ; b) les couples (7 ; 231), (231 ; 7) , (21 ; 77) et (77 ; 21). Synthèse : Les couples (7 ; 231) et (231 ; 7) sont rejetés après vérification car, dans ces cas, a + b = 238 et a b = 1617. Le PGCD de a + b et de a b n’est pas 49. Les entiers cherchés sont donc 21 et 77.

Annexes

89

AANNNNEEXXEE 88

PAS SI SOT : EXEMPLES

1) (a ; b ; n) = (5 ; 7 ; 3). Par exemple (u ; v) = (– 4 ;3) et (u2 ; v2) = (–12 + 7 k ; 9 – 5 k). Alors | u2 – v2 | = | – 21 + 12 k | d’où m = 2, donc (u2 ; v2) = (2 ; –1) pour 5

manipulations :

Puisage/Rejet/Transfert Seau de 5 litres Seau de 7 litres P 5 0 T 0 5 P 5 5 T 3 7 R 3 0

2) (a ;b ;n) = (5 ;7 ;6). Alors (u2; v2) = (–24 + 7 k;18 – 5 k) et | u2 – v2 | = | – 42 + 12 k |. Ici, on a deux valeurs possibles pour m : 3 ou 4. On a donc : a) (u2 ; v2) = (– 3 ;3) et 11 manipulations si on puise avec le grand seau :

Puisage/Rejet/Transfert Seau de 7 litres Seau de 5 litres P 7 0 T 2 5 R 2 0 T 0 2 P 7 2 T 4 3 R 4 0 T 0 4 P 7 4 T 6 5 R 6 0

b) (u2 ; v2) = (4 ;– 2) et 12 manipulations si on puise avec le petit seau :

Puisage/Rejet/Transfert Seau de 5 litres Seau de 7 litres P 5 0 T 0 5 P 5 5 T 3 7 R 3 0 T 0 3 P 5 3 T 1 7 R 1 0 T 0 1 P 5 1 T 0 6


Irem de Toulouse 90

PAS SI SOT : ALGORITHME

1) Entrées a, b, n Vérification : a ≤ b , n ≤ b

2) Calcul de δ = a ∧ b : IMPOSSIBLE 3) Changement de données : a / δ → a ; b / δ → b ; n / δ → n. 4) Détermination de (u , v) : sous algorithme…

Calcul de n(v u)a b−+

= h.

Puis détermination de m : h – 12 ≤ m ≤ h + 12

et détermination de r et p : à partir du calcul des signes de u2 = nm + mb et v2= nv – ma

Si h – 12 ∈ on puise avec le seau de b litres donc m tel que v2 > 0.

On note : P le seau puiseur ou sa contenance ; R l’autre seau ou sa contenance ;

R le volume de remplissage de R ;

T → un transfert : on vide P dans R ou on remplit R avec P ; R → un rejet : on vide R ; P → un puisage : on remplit P

!

oui

FIN

non T

PDébut P vide ?

non

P > R ?

oui

T

R

P = n ?

oui

non

oui

non δ / n

oui

non δ = 1

Titre Auteurs Public Date Mots clefs Résumé

Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale Groupe Second Cycle de l’IREM de Toulouse : Bernard Destainville, responsable ; Sophie Dupuy - Touzet, co-responsable ; Marc Ducret ; Jean - Marc Gibert ; Alain Viet ; Bernard Vinter. Professeurs de Collèges et de Lycées Novembre 2OO5 Suivi en arithmétique – Formes de raisonnement – Algorithmes L’arithmétique, présente de façon sporadique dans les programmes du secondaire, ne présente pas seulement un intérêt en soi. Elle permet aussi de pratiquer l’algèbre, de mettre en valeur de nombreuses formes de raisonnement et de sensibiliser aux démarches algorithmiques. A chaque niveau, des situations spécifiques simples sont possibles. Cet apprentissage de la rigueur ne peut être efficace que si les connaissances et les méthodes sont régulièrement entretenues.

N° 172

Edition : IREM de Toulouse Université Paul Sabatier 118 route de Narbonne 31062 Toulouse Cedex Prix : 3€

pour un suivi en arithmétique de la troisième à la … · 1 voir en annexe 1 les classes pour...

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