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Mcanique des milieux continus

Tome I. Concepts gnraux

Avant-propos

Chapitre I. Le milieu continu : une modlisation

Chapitre II. tude des dformations du milieu continu

Chapitre III. Cinmatique du milieu continu

Chapitre IV. Les puissances virtuelles et la modlisation des eorts

Chapitre V. Modlisation des eorts pour le milieu continu

Chapitre VI. tude des contraintes

Annexe I. lments de calcul tensoriel

Annexe II. Oprateurs direntiels : formules essentielles

Index alphabtique

Tome II. Thermolasticit

Chapitre VII. Le comportement thermolastique

Chapitre VIII. volutions et quilibres thermolastiques

Chapitre IX. Quelques thmes classiques en lasticit tridimensionnelle

Chapitre X. Approches variationnelles en thermolasticit linarise

Annexe III. lments dlasticit plane

Index alphabtique

Tome III. Milieux curvilignes

Chapitre XI. Statique des milieux curvilignes

Chapitre XII. Structures curvilignes thermolastiques

Glossaire

Bibliographie

Index alphabtique

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Sommaire

VII Le comportement thermolastique 71 De lexprience la loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Constatations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 lments de thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . 184 Loi de comportement thermolastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Thermolasticit linaire en labsence de liaisons internes . . . . . . . 396 Aperu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

VIII volutions et quilibres thermolastiques 711 volution thermolastique quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . 792 Linarisation du problme dvolution thermolastique quasi-statique 873 volution thermolastique quasi-statique linarise . . . . . . . . . . . 924 Rsolution du problme dquilibre thermolastique . . . . . . . . . . 975 Mthode des dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 Mthode des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077 Torsion dune barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128 Principe de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

IX Quelques thmes classiques en lasticit tridimensionnelle 1391 Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452 Traction-compression dune barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . 1453 Flexion normale dune barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524 Flexion dvie dune barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605 Flexion compose dune barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . 1636 quilibre lastique dune sphre creuse sous pression . . . . . . . . . . 1657 quilibre lastique dun tube cylindrique sous pression . . . . . . . . . 169Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

X Approches variationnelles en thermolasticit linarise 1891 Mthodes directes et mthodes variationnelles . . . . . . . . . . . . . 1972 Minimum de lnergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

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63 Minimum de lnergie complmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124 Approches variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195 tat initial naturel, quilibre isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266 Champs dautocontrainte. Thorme du potentiel minimum . . . . . . 2337 Problme paramtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388 Thormes de lnergie pour les problmes paramtrs . . . . . . . . . 2479 Pour conclure : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25610 Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Annexe

III lments dlasticit plane 2771 Problmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2832 quilibre thermolastique en dformation plane . . . . . . . . . . . . . 2833 quilibre thermolastique en contrainte plane . . . . . . . . . . . . . . 296Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Index alphabtique 307

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Chapitre VII

Le comportementthermolastique

MOTS CLS

Loi de comportement. Principe daction locale.nergie interne. quation de lnergie.Entropie. nergie libre. Dissipation.Ingalit de Clausius-Duhem.Potentiel thermodynamique.Symtries de la matire. Isotropie.Linarisation.Coecients de Lam. Module de cisaillement.Module de Young. Coecient de Poissontat initial naturel. tat initial prcontraint.

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Chapitre VII Le comportement thermolastique 9

En bref...

Lexprience met en vidence le comportement thermolastique desmatriaux, caractris par la rversibilit (section 2).

La construction du modle correspondant sappuie sur les principes g-nraux qui simposent toute loi de comportement, parmi lesquels lesprincipes de la thermodynamique des milieux continus exprims par :lquation de lnergie pour le premier principe, lingalit fondamentalepour le deuxime principe (section 3).

Le modle de comportement thermolastique est obtenu partir delhypothse que les valeurs actuelles de la temprature et du tenseur desdformations de llment de matire susent dnir ltat de celui-ci.Lingalit fondamentale fournit alors la loi de comportement thermolas-tique en reprsentation lagrangienne. Lnergie libre apparat comme lepotentiel thermodynamique, fonction des valeurs actuelles de la tempra-ture et du tenseur des dformations. Le tenseur des contraintes sen dduitpar drivation par rapport au tenseur des dformations (section 4).

Lorsque la dformation est innitsimale et la variation de tempraturepetite, cette loi de comportement peut tre linarise : cest la linarisa-tion physique de la relation entre contraintes, dformations et variation detemprature. Si, de plus, la transformation est innitsimale, la linarisa-tion peut tre poursuivie : cest la linarisation gomtrique. Elle aboutit une relation linaire entre le tenseur des contraintes de Cauchy, le tenseurdes dformations linaris et la variation de temprature (section 5).

La loi de comportement linarise fait intervenir des modules lastiqueset des coecients de dilatation thermique, caractristiques physiques in-trinsques du matriau, dont le nombre est rduit par les symtries mat-rielles et qui vrient la condition de stabilit du matriau. La thermolas-ticit linaire du matriau isotrope est ainsi caractrise par deux moduleslastiques et un coecient de dilatation thermique (section 5).

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10 Chapitre VII Le comportement thermolastique

Principales notations

Notation Signication 1re formule

E nergie interne du systme (3.1)Q taux de chaleur reue (3.1)

r(x; t) densit volumique de chaleur reue (3.5)

e(x; t) nergie interne massique (3.9)

q(x; t) courant de chaleur sortant dans t (3.14)

T (x; t) temprature absolue (3.21)

S entropie du systme (3.21)

s(x; t) entropie massique (3.23)

nergie libre massique (3.25)

dissipation volumique (3.27)

q0(X; t) courant de chaleur sortant dans 0 (3.35)

transforme de Legendre-Fenchel de (4.20)

p(e) =0 , liaison interne (4.28)

p multiplicateur de Lagrange (4.36)associ une liaison interne

I 01; I 02; I 03 invariants de e (4.42)

A tenseur dlasticit (5.3)

k tenseur des coecients thermiques (5.3)

variation de temprature (5.3)

constante de Lam (5.12)

;G module de cisaillement (5.12)

E module de Young (5.15)

coecient de Poisson (5.15)

coecient de dilatation thermique linique (5.15)

K module lastique de compression (5.39)

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Chapitre VII Le comportement thermolastique 11

1 De lexprience la loi de comportement . . . . . . . . . 132 Constatations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Exprience de traction simple . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Autres rsultats exprimentaux . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 lments de thermodynamique des milieux continus . . 183.1 Premier principe : quation de lnergie . . . . . . . . . 183.2 Deuxime principe : ingalit fondamentale . . . . . . . 233.3 Expressions lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Loi de comportement thermolastique . . . . . . . . . . . 264.1 Hypothses de llasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Loi de comportement thermolastique . . . . . . . . . . 284.3 Loi de comportement thermolastique avec liaisons internes 324.4 Respect des symtries de la matire . . . . . . . . . . . 364.5 Matriau thermolastique isotrope dans la conguration

de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.6 Les liaisons internes du point de vue eulrien . . . . . . 38

5 Thermolasticit linaire en labsence de liaisons internes 395.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Linarisation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Matriau thermolastique linaire isotrope . . . . . . . . 435.4 Transformation innitsimale : linarisation gomtrique 465.5 Stabilit du matriau thermolastique . . . . . . . . . . 515.6 Quelques valeurs typiques pour des matriaux usuels . . 545.7 Exemples de matriaux thermolastiques anisotropes . . 54

6 Aperu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . 60Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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1 De lexprience la loi de comportement 13

Le comportement thermolastique

1 De lexprience la loi de comportement

Le comportement thermolastique des matriaux nous est rvl par des exp-riences quotidiennes : dilatations ou contractions liniques et volumiques sous leetde variations de temprature, utilisation des proprits lastiques des mtaux, maisaussi de polymres, pour la fabrication de ressorts, clavettes et clips en tousgenres : : : Ainsi, du point de vue phnomnologique, le concept de thermolasticitest-il associ une notion de rversibilit : la rponse du matriau la sollicitationthermique et mcanique qui lui est impose est instantane et lannulation de la sol-licitation entrane le retour du matriau son tat initial sans aucun eet rmanent.

Lobjet du prsent chapitre est, dans le cadre de la modlisation du milieu continuclassique construite dans les chapitres prcdents, de formuler pour un milieu tridi-mensionnel les relations existant localement entre le champ de dformation, le champdes eorts intrieurs et le champ de temprature, lorsque le matriau considr estthermolastique. En dautres termes on se propose dcrire la loi de comportementdu matriau thermolastique.

On a dj voqu, au chapitre VI ( 4.2), certains principes qui rgissent lcrituredes lois de comportement : isotropie de lespace, respect des symtries de la matire ;mais lnonc prcdent fait maintenant apparatre un principe essentiel, le prin-cipe daction locale : les eorts intrieurs reprsents dans la modlisation par lescontraintes, qui correspondent des actions purement locales (cf. chapitre V, 3.4),ne sont relis par la loi de comportement thermolastique qu des grandeurs qui nefont intervenir que la particule considre et les particules voisines.

En outre il va de soi que la formulation de la loi de comportement thermolastique,comme celle de toute loi de comportement, devra tre en accord avec les principesde la thermodynamique, cest--dire avec lingalit introduite par le second principe.Pour mettre prot cette information on introduira quelques notions sur la thermo-dynamique des milieux continus, renvoyant le lecteur des ouvrages plus spcialisspour lapprofondissement de ce domaine.

2 Constatations exprimentales

2.1 Gnralits

Mme si, comme on vient de le rappeler, elle doit obir des principes gnrauxqui en codient, en quelque sorte, lcriture, une loi de comportement est avant toutissue de constations exprimentales.

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On a vu au chapitre V ( 3.3) que les quations de la dynamique scrivent comme :

trois quations aux drives partielles du 1er ordre pour les quations de champs, trois quations au contour qui fournissent les conditions aux limites sur la frontiredu systme,

alors que la dtermination de correspond celle de six champs scalaires indpendants(composantes indpendantes de (x; t) symtrique). On voit que ces quations, ensupposant les champs F ; a ; T connus, par exemple dans le cas de la statique (ouquasi-statique) o a(x; t) = 0 ; 8x 2 t, ne permettent pas de dterminer le champde contrainte dans le systme tudi (prouvette ou corps dpreuve). De la mmefaon dailleurs, les conditions aux limites imposes en dplacements ne permettentpas dy dterminer le champ de dformation.

Ainsi le problme pos nest pas, proprement parler, celui de la dterminationde la loi de comportement partir de lexprience, mais se prsente plus prcismentcomme lidentication dune loi locale, dans le cadre dune modlisation gom-trique et mcanique, fonde sur des rsultats exprimentaux caractre global. Ilapparat dans toute sa gnralit, dune trs grande complexit, sinon inextricable.Aussi lon cherche, dans la pratique, raliser des expriences o lon puisse retenirlhypothse dhomognit des champs concerns. Lhomognit, lchelle macro-scopique considre , du matriau constitutif du corps dpreuve doit videmmenttre assure et, par des conditions au contour susamment contraignantes, notam-ment par la gomtrie choisie pour lprouvette, et par la forme des sollicitations, onespre imposer lhomognit du champ de contrainte et du champ de dformation ou,du moins, ne leur permettre que de faibles variations autour de ltat homogne. Parexemple, dans cet esprit, de nombreuses expriences classiques essaient de raliser deschamps de contraintes homognes dans lesquels ltat de contrainte en chaque pointest un des tats simples tudis au chapitre VI, 3.5 : expriences de traction simple,de compression simple, de cission simple : : :

Figure 1 Torsion dun tube mince

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2 Constatations exprimentales 15

Lexprience de torsion dun tube mince de section circulaire (gure 1) vise ainsi raliser en chaque point de lprouvette un tat de cission simple dont les composantesdans la base orthonorme des coordonnes cylindriques soient constantes (1) : z =z = constante, autres ij = 0. Des champs de contrainte plus complexes peuventaussi tre obtenus : exprience de traction-torsion dun tube mince par exemple (gure4).

noter que lon doit, dans toutes ces expriences, porter attention aux condi-tions thermiques. En rgle gnrale on considre que les expriences sont faites temprature constante dans le temps et homogne dans lprouvette.

2.2 Exprience de traction simple

La gure 2 reprsente une prouvette typique constitue dun mtal homognepour une exprience de traction simple. Elle est caractrise par :

des extrmits surdimensionnes (pour viter les eets dextrmits ), des congs de raccordement entre la partie mdiane et les extrmits (pour viterles eets de concentration de contrainte que provoquent les angles vifs),

une partie mdiane cylindrique dans laquelle le champ de contrainte est supposhomogne, de traction simple paralllement laxe de lprouvette (2).

Figure 2 prouvette pour une expriencede traction

Figure 3 Diagramme de traction pour unacier inox

Lexprience dans sa forme la plus simple consiste enregistrer, en fonction delallongement relatif de la longueur initiale 0 marque sur la partie utile de lprou-vette

( 0)=0 = =0 ;(1)Une telle exprience devra toutefois tre analyse trs prcisment en fonction des proprits de

symtrie (isotropie, anisotropie, cf. 5.7) du matriau constitutif.(2)Le matriau constitutif (mtal) est suppos isotrope. Pour les matriaux anisotropes lexprience

de traction simple hors axes ncessite des prcautions particulires concernant notamment lemontage de lprouvette.

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lvolution de la force de traction F ou du rapport F=S0, o S0 dsigne laire initialede la section mdiane.

La gure 3 donne un exemple dun tel enregistrement ralis pour un acier inox, propos duquel on observe, en premire analyse, les proprits suivantes :

a) indpendance du diagramme vis--vis de la vitesse de chargement, cest--dire

de ( _=0) ;

b) rversibilit de la partie OA du diagramme de charge : dans une dchargetotale ou partielle eectue aprs une charge jusqu un niveau infrieur auseuil 0 correspondant au point A sur la courbe, on parcourt, dans le sensinverse, le mme segment de la partie OA du diagramme de charge ;

c) linarit de cette partie rversible du diagramme ;

d) au-del du seuil 0, cest--dire lorsque la charge initiale dpasse le point A, ladcharge ultrieure est reprsente sur le diagramme par une courbe direntede la courbe de charge : courbe OAB la premire charge, courbe BC ladcharge ; notamment aprs dcharge totale, cest--dire lorsque F est ramene zro, lprouvette prsente un allongement rmanent.

La partie rversible du diagramme de traction est, par dnition, reprsentativedu comportement lastique du matriau. Le point A et la valeur 0 correspondent la limite initiale dlasticit dans cette exprience (cf. chapitre VI, 4.1).

La linarit observe pour le segment OA caractrise le comportement lastiquelinaire .

Une autre constatation exprimentale doit galement tre rapporte qui napparatpas sur le diagramme de la gure 3 : au cours de la traction on observe une rductionde la section de lprouvette, qui volue linairement quand on parcourt le segmentOA du diagramme de charge ; cette variation de la section est elle aussi rversible surOA.

2.3 Autres rsultats exprimentaux

Dautres expriences mettent en vidence les mmes caractristiques de compor-tement : la compression simple dune prouvette ou la torsion simple dun tubemince, pour citer des exemples o le chargement ne dpend que dun paramtre(force ou couple). Dans la traction-torsion dun tube mince le chargement dpendde deux paramtres (force et couple simultanment) et induit dans lprouvetteun champ de contrainte dont les composantes dans la base orthonorme des coor-donnes cylindriques sont supposes de la forme : zz = constante ; z = z =constante ; autres ij nulles . On y met en vidence le domaine initial dlasticit dumatriau (cf. chapitre VI, 4.1) lintrieur duquel il y a rversibilit des dforma-tions subies par lprouvette ; la gure 4 donne lexemple dun domaine ainsi dtermin(exprience de traction-compression et torsion).

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2 Constatations exprimentales 17

Figure 4 prouvette pour lexprience de traction-compression et torsion dun tubemince ; exemple de domaine initial dlasticit dtermin exprimentalement(H.D. Bui, 1970)

2.4 Commentaires

Historiquement la dcouverte du comportement lastique linaire est attribue Robert Hooke (mcanicien, physicien, astronome et naturaliste anglais, 1635-1703)dans les annes 1660, partir dexpriences sur des ressorts boudin et spirales etsur la traction dun l mtallique.

Ut tensio sic vis

est la phrase par laquelle Hooke nona cette proprit dans un ouvrage paru en 1678(3)(4).

Il convient aussi ce propos de citer Edme Mariotte (abb, physicien franais,1620-1684), qui t la mme dcouverte que Hooke, indpendamment de celui-ci, vers1680.

(3)Extrait du livre The New Science of Strong Materials par J.E. Gordon : Hooke, like Horace,did not suer unduly from modesty and he staked his claim to priority in a number of elds bypublishing in 1676 A decimate of the centesme of the inventions I intend to publish among whichwas The true theory of elasticity or springiness . This heading was followed simply by the anagram ceiiinosssttuu . The scientic public were left to make what they could of this until, in 1679, Hookepublished De potentia restitutiva, or of a spring where the anagram was revealed as Ut tensio *sicuis - As the extension, so the force .* Tensio means, generally, not tension but extension inLatin. The truth seems to be that the Romans muddled up the two ideas. Literary writers probablynever thought about the matter at all .

(4)On peut rappeler que Galileo Galilei lui-mme avait eu recours une anagramme pour informersecrtement Johannes Kepler de sa dcouverte des phases de Vnus : Haec immatura a me iamfrustra leguntur o y pour Cynthiae guras aemulatur mater amorum ( En vain ces chosessont lues par moi prmaturment pour La mre des amours imite les phases de Diane ).

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Figure 5 Planche extraite de Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring, Explainingthe Power of Springing Bodies, R. Hooke, (1678)

3 lments de thermodynamique des milieuxcontinus

3.1 Premier principe : quation de lnergie

On considre un systme S occupant, dans la conguration actuelle t, le domaineD de volume t et de frontire @t, transports convectivement de D0; 0; @0 dansla conguration de rfrence 0.

On suppose ltat thermodynamique de ce systme dtermin par la connaissancede certains champs dnis sur t (ou sur 0) .

Pour simplier lexpos on se restreint au cas o le systme S nchange aveclextrieur que du travail et de la chaleur.

Le premier principe de la thermodynamique postule lexistence dune fonction deltat thermodynamique du systme, appele nergie interne, note E, ayant ladimension dun travail telle que :

chaque instant, la somme de la drive particulaire de lnergie interne E deS, et de la drive particulaire de lnergie cintique K de S, est gale la somme de la puissance des eorts extrieurs exercs sur le systme dans le

mouvement rel, P(e)(U), et du taux de chaleur reue par le systme,Q :

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3 lments de thermodynamique des milieux continus 19

_E + _K = P(e)(U ) +Q(3.1)

Cet nonc est galement valable pour tout sous-systme S0 de S :

_E0+ _K 0 = P 0(e)(U) +

Q0 :(3.2)

Dans les formules (3.1) et (3.2) le signe pour le taux de chaleur reue indiqueque cette grandeur nest pas la drive particulaire au sens du chapitre III (section 4)dune fonction quantit de chaleur reue qui serait dnie explicitement en fonctionde variables caractrisant ltat du systme et son volution linstant t ; cela signieaussi que dans lcriture direntielle, peut-tre plus familire au lecteur, lquation(3.1) se traduit par :

dE + dK = d0W + d0Q

(W dsignant le travail), o les deux termes du second membre ne sont pas desdirentielles exactes.

Pour le milieu continu tridimensionnel, la description des eorts extrieurs a tdonne au chapitre V ( 2.2 et 3.1), en supposant que les particules du systme nexer-cent entre elles aucune action distance :

forces de volume dnies par une densit massique F (x; t), forces de surface sexerant sur le contour de S, ou de S0, et dnies par unedensit surfacique T(x; t) pour S; T0(x; t) pour S0.

On en a dduit lexpression de la puissance virtuelle des eorts extrieurs, en sorteque pour le mouvement rel on a, pour un sous-systme quelconque :

P 0(e)(U) =Z0t

F (x; t) : U dt +Z@0t

T0(x; t) : U da :(3.3)

Lnergie cintique a lexpression donne au chapitre IV ( 7.5) :

K 0 =Z0t

12(x; t)U2(x; t)dt :(3.4)

PourQ , taux de chaleur reue par le systme S , on fait lhypothse quil rsulte

de laddition de deux contributions :

lune volumique , qui exprime le taux de chaleur fournie distance aux particulesde S par lextrieur de S et la production locale de chaleur par dventuellestransformations physiques, chimiques, : : : ; elle se met sous la forme de lintgralesur t dune densit volumique r(x; t) ;

lautre surfacique , intgrale sur la frontire de S dune densit surfaciqueh(x; t) .

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Ainsi :Q =

Z@t

h(x; t)da+Zt

r(x; t)dt :(3.5)

PourQ0 , relatif un sous-systme S0 quelconque, on fait lhypothse quil ny a

pas dchange de chaleur distance entre les particules de S, et lon postule unedcomposition semblable.

La contribution volumique pour S0 est donc lintgrale sur 0t de la mme densitvolumique r(x; t) dnie pour S , quel que soit le sous-systme S0 , puisquil ny apas dchange de chaleur distance entre les particules de S . La contribution surfacique pour S0 est lintgrale sur @0t dune densit surfa-cique h0(x; t). Celle-ci, napparaissant pas dans (3.5), ne provient que des parti-cules de (S S0) : les changes de chaleur distance entre particules du systmetant exclus, h0(x; t) ne dpend que des lments locaux du premier ordre de@0t , cest--dire que h0(x; t) ne dpend de 0t qu travers n(x) :

h0(x; t) = h(x; t; n(x)) :(3.6)

Do :Q0 =

Z@0t

h(x; t; n(x)) da+Z0t

r(x; t) dt :(3.7)

On suppose ladditivit de lnergie interne E. Plus prcisment on suppose quepour deux sous-systmes S01 et S02 complmentaires dans S, on a :

_E01 + _E

02 = _E(3.8)

que lon crit aussi :E01 +E

02 = E

puisque seules les variations (ici drives particulaires) interviennent dans les for-mules.

On introduit alors la densit massique dnergie interne e(x; t), appele aussi ner-gie interne spcique, et lon a :

E0 =Z0t

(x; t)e(x; t)dt et _E0=Z0t

(x; t) _e(x; t)dt :(3.9)

La formule (3.2) sexplicite en simpliant les notations(5) :

8>:8S0 S ;ddt

Z0t

(e+U2

2) dt =

Z0t

(F : U + r) dt +Z@0t

(T0 : U + h(n)) da :

(3.10)

(5)On supprime, sous les signes intgrales , les dpendances des diverses grandeurs en fonctionde x et de t

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Si le champ de vitesse rel U est continu et continment direntiable on peut,dans (3.1) et (3.2), appliquer le thorme de lnergie cintique (chapitre IV, 7.5),qui scrit : 8S0 S ;

P 0(e)(U) + P 0(i)(U) = _K 0do, par substitution dans (3.1) et (3.2) :

_E =Q P(i)(U)(3.11)

_E0

=Q0 P 0(i)(U) :(3.12)

On peut alors remplacer P 0(i)(U) par son expression au moyen de la reprsentationdes eorts intrieurs par les contraintes de Cauchy et lon obtient :

8


que lon retiendra sous la forme

_e = : d+ r div q(3.16)

Remarques

La formule (3.14) est parfois connue sous le nom de lemme du ttradre en raison desa dmonstration classique, apparente celle de la tensorialit des contraintes (chapitreV, 3.6). Lquation (3.13), valable 80t , est applique un sous-systme innitsimalentourant un point M quelconque intrieur t : ce sous-systme a la forme dun t-tradre construit sur les trois axes de coordonnes orthonormes, dont les artes ontrespectivement pour longueur dx1; dx2 et dx3 (gure 6).

Figure 6 Lemme du ttradre

Pour ce sous-systme innitsimal, lintgrale de volume dans (3.13) est du 3me ordre endxi. Lintgrale de surface est la somme de quatre termes qui correspondent aux quatrefaces MA1A2;MA2A3;MA3A1 et A1A2A3 du ttradre : lquation (3.13) impose quela somme de ces quatre termes soit, elle aussi, du 3me ordre, cest--dire que la sommedes termes du 2me ordre soit nulle. Il vient ainsi, en simpliant :

8


q(x; t) : n(x) = h(x; t) :(3.20) Ce rsultat (3.14) repose sur lhypothse dadditivit de lnergie interne. Physiquement,

en se reportant la formule (3.8), on voit que ladditivit de lnergie interne nintroduiten fait quune hypothse supplmentaire en plus de celles dj faites qui excluent la foisles actions et les changes de chaleur distance entre les particules de S : la frontireentre deux sous-systmes complmentaires, le bilan global des changes de travail etde chaleur entre les deux sous-systmes est nul cest--dire que la puissance dveloppepar les actions intrieures de contact entre les deux sous-systmes dans une ventuellediscontinuit du champ de vitesse rel est compense localement par un taux de chaleurquivalent reu par les deux sous-systmes.Une dmarche dirente aurait pu tre adopte : poser comme hypothse que les changesde chaleur entre les particules du systme se font uniquement par conduction selon (3.14),en dduire ladditivit de lnergie interne et nalement lquation de lnergie (3.16).

3.2 Deuxime principe : ingalit fondamentale

Le deuxime principe de la thermodynamique des milieux continus postule lexis-tence dun reprage universel de temprature, appel temprature absolue note T ,positive, et dune fonction de ltat thermodynamique du systme, additive, appeleentropie, note S, tels que :

chaque instant, pour le systme S, et pour tout sous-systme S0 de S on ales ingalits fondamentales :

dSdt

= _S Zt

r(x; t)T (x; t)

dt Z@t

q(x; t) : n(x)T (x; t)

da(3.21)

et 8>:8S0 S ;_S0

Z0t

r(x; t)T (x; t)

dt Z@0t

q(x; t) : n(x)T (x; t)

da :(3.22)

On dsigne par s lentropie massique (ou spcique), do :

S0 =Z0t

(x; t) s(x; t) dt et _S0=Z0t

(x; t) _s(x; t) dt :

Par application du thorme de la divergence, (3.21) et (3.22) se transforment enallgeant les notations :8>:

8S0 S ;Z0t

( _s+ div(q=T ) r=T )dt 0

dont on dduit la forme locale de lingalit fondamentale :

_s+ div(q=T ) r=T 0 :(3.23)En tenant compte, dans cette formule, de lquation de lnergie (3.16) on obtient

(puisque T > 0) :

: d+ (T _s _e) qT: gradT 0 :(3.24)

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Cette ingalit essentielle peut tre transforme en introduisant la fonction ther-modynamique appele nergie libre (de Helmoltz) ; lnergie libre massique estdnie par :

= e T s :(3.25)

On obtient lingalit dite de Clausius-Duhem(7) :

: d ( _ + s _T ) qT: gradT 0(3.26)

Le premier membre de (3.24) et (3.26) est souvent not ; cest la dissipationvolumique dans la conguration actuelle. On la dcompose sous la forme :

= 1 + 2(3.27)

o

1 = : d ( _ + s _T )(3.28)et

2 = q

T: gradT(3.29)

sont respectivement la dissipation intrinsque volumique et la dissipation ther-mique volumique dans la conguration actuelle.

Lingalit fondamentale snonce donc : la dissipation est non-ngative.

On dnit la rversibilit thermodynamique dune volution du systme S : tout instant, en tout point du systme, on a

1 = 0 et 2 = 0 :(3.30)

On peut remarquer que pour les volutions adiabatiques, o q = 0 en tout point et chaque instant, et pour les volutions isothermes o T est constante dans le systmeet dans le temps, on a 2 = 0. (Ce ne sont videmment pas les seuls cas o 2 = 0).

3.3 Expressions lagrangiennes

Tous les raisonnements des paragraphes prcdents ont t mens sur la congu-ration actuelle t. Les formules (3.16) et (3.24), ou (3.26), sont les expressions locales,eulriennes du premier et du deuxime principe de la thermodynamique des milieuxcontinus.

La formulation lagrangienne de ces principes sobtient, du point de vue globaldu systme ou dun sous-systme, en transportant dans la conguration de rfrence

(7)R. Clausius (1822-1888) ; P. Duhem (1861-1916).

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les intgrales de lgalit (3.10) et de lingalit (3.22). Les expressions locales sendduisent alors par des raisonnements semblables ceux qui prcdent.

Plus simplement, on remarque que les premiers membres des expressions localeseulriennes (3.16), (3.24) et (3.26) ne sont autres que les densits volumiques desintgrales exprimant (3.10) et (3.22) sur la conguration actuelle. Les expressionslocales lagrangiennes sont les mmes galit et ingalits que (3.16) (3.24) et (3.26)pour les densits volumiques des mmes grandeurs sur la conguration de rfrence,quil convient dexprimer en variables lagrangiennes.

On sintresse dabord lingalit fondamentale (3.24) et lingalit de Clausius-Duhem (3.26). La densit volumique lagrangienne homologue de (3.24) rsulte delexpression de la conservation de la masse dm = 0(X) d0 = (x; t) dt ; il vientainsi :

0 : d+ 0(T _s _e) 0

q

T: gradT 0 ;(3.31)

que lon doit exprimer en variables lagrangiennes.

Le deuxime terme de (3.31) est, de ce point de vue, le plus simple. Les fonctionsT; e et s sont des grandeurs physiques lies la matire ; les expressions lagrangiennes8>>>:

T (X; t) = T (x; t) ; x = (X; t)

e(X; t) = e(x; t) ; x = (X; t)

s(X; t) = s(x; t) ; x = (X; t)

(3.32)

sont celles de la temprature et des densitsmassiques dnergie interne et dentropiedans la conguration de rfrence linstant t. La drivation particulaire est conservedans le passage de la description eulrienne la description lagrangienne.

Lexpression lagrangienne du premier terme de (3.31) rsulte de la dnition dutenseur des contraintes de Piola-Kirchho (chapitre V, 4.1). On rappelle en eet quelon a, en des points homologues de 0 et t :8>:

(X; t) : _e(X; t)0(X)

=(x; t) : d(x; t)

(x; t)

x = (X; t) :(3.33)

Enn, pour le troisime terme de (3.31), la correspondance entre gradients lagran-gien et eulrien en des points homologues(8) permet dcrire avec (3.32) :

0(X)(x; t)

q(x; t)T (x; t)

: gradT (x; t) =1

T (X; t)(J(X; t)F1(X; t) : q(x; t)) :rT (X; t)(3.34)

(8)On rappelle les relations tablies au chapitre II en des points homologues :x = (X; t) ; F (X; t) = r(X; t) ; 0(X)=(x; t) = detF (X; t) = J(X; t) ;rT (X; t) = grad T (x; t) : F (X; t) ; da = J(X; t) tF1(X; t) :dA .

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qui conduit introduire, dans 0 , le vecteur q0(X; t) dni par

q0(X; t) = J(X; t)F1(X; t) : q(x; t) :(3.35)

Ce vecteur q0(X; t) sinterprte comme le vecteur courant de chaleur sortant dans

la conguration de rfrence linstant t car on vrie que, pour des lments dairedA et da homologues par transport convectif, on a :

q0(X; t) : dA = q(x; t) : da :(3.36)

Finalement lexpression lagrangienne de lingalit fondamentale (3.24) est :

: _e + 0(T _s _e)q

0

T:rT 0 :(3.37)

De mme lexpression lagrangienne de lingalit de Clausius-Duhem (3.26) scrit :

: _e 0( _ + s _T )q0

T:rT 0(3.38)

Lexpression lagrangienne de lquation de lnergie (3.16) ncessite de complterla description lagrangienne du taux de chaleur reue (3.15) en introduisant r0(X; t)dni par :

r0(X; t) = J(X; t) r(x; t) ; x = (X; t)(3.39)

doQ0 =

Z@00

q0(X; t) : dA+

Z00

r0(X; t) d0 :(3.40)

On remarque que (3.36) implique que

divXq

0(X; t) = J(X; t) div q(x; t) ; x = (X; t)(3.41)

et lexpression lagrangienne de lquation de lnergie scrit :

0 _e = : _e+ r0 divX q0(3.42)

4 Loi de comportement thermolastique

4.1 Hypothses de llasticit

La dnition du comportement thermolastique est donne en description lagran-gienne. On pose que, pour la particule X du matriau considr, linstant t , lesvaleurs de lnergie interne massique e(X; t) , de lentropie massique s(X; t) et dutenseur des contraintes de Piola-Kirchho (X; t) sont entirement dtermines par

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4 Loi de comportement thermolastique 27

la connaissance de la temprature T (X; t) et du tenseur des dformations e(X; t)pour cette particule, cet instant. Il en va videmment de mme pour lnergie libremassique (X; t) . 8>>>>>:

e(X; t) = e(T (X; t); e(X; t))s(X; t) = s(T (X; t); e(X; t))(X; t) = (T (X; t); e(X; t)) (X; t) = (T (X; t); e(X; t))

(4.1)

On adoptera dans la suite, pour simplier lcriture, les notations :

= (T; e) ; = (T; e) ; etc :(4.2)

Du point de vue mathmatique, les critures (4.1) ou (4.2) ne sont pas totalementcorrectes. En eet, considrant titre dexemple la fonction dans (4.2), celle-cinest pas, sauf dans le cas particulier du matriau isotrope ( 4.5), une fonction duseul tenseur e (au sens indiqu au chapitre VI, 2.7 et 4.2) comme le laisseraitpenser la lecture stricte de (4.2) ; elle dpend aussi de lorientation dans lespace dunrepre signicatif pour la particule de matriau considre linstant de rfrence. Unecriture complte ncessiterait de faire gurer cette information dans les argumentsde (4.2), ou dutiliser une criture matricielle telle que (4.3) tout en conservant auxformules leur caractre intrinsque dans les changements de repres. On y reviendraau paragraphe 4.4.

Motives par les rsultats exprimentaux tels que ceux dcrits au paragraphe 2.2sur lexprience de traction simple, les hypothses (4.1) sont formules de faon satisfaire le principe disotropie de lespace .

En eet, si lon considre titre dexemple la fonction e, lexprience, qui ne fait pas appa-ratre de dpendance vis--vis du temps, suggre a priori dcrire e comme une fonction dela temprature T et du gradient F de la transformation subie par llment considr. Unrepre R tant choisi dans le rfrentiel on calcule e partir des composantes de F :

e = eR(T; ~F )(4.3)

o ~F dsigne la matrice de F dans le repre R suppos, pour simplier, orthonorm.

Le principe disotropie de lespace dj introduit au chapitre VI ( 4.2) implique ici quelnergie interne massique de llment ne dpend pas de son orientation dans lespace. Plusprcisment, si lon fait subir, partir de la mme conguration initiale, au mme lmentde matire, deux transformations qui ne dirent que par une isomtrie les valeurs de e dansles deux congurations actuelles correspondantes sont gales. Ainsi la fonction eR possde laproprit mathmatique :

8~F ; 8~ telle que t~ : ~ = ~1leR(T; ~F ) = eR(T; ~ : ~F ) :

(4.4)

En rappelant la dcomposition polaire de F tablie au chapitre II ( 3.4 et 4.5) :F = R :StR :R = 1l ; detR = +1 ; tS = S ;

(4.5)

on voit que lon peut, dans (4.4), choisir ~ =t ~R, on met alors en vidence que eR(T; ~F ) ne

dpend que de ~S matrice de la dformation pure, ou encore de ~C ou de ~e :

eR(T; ~F ) = eR(T; ~S) :(4.6)

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Le rsultat obtenu est videmment valable de la mme manire pour les fonctions s et .En ce qui concerne la contrainte le raisonnement est analogue. La dpendance naturellementsuggre par lexprience est, dans le repre R :

~ = ~R(T; ~F ) :(4.7)

Le principe disotropie de lespace fournit la proprit mathmatique satisfaire par la fonc-tion matricielle ~R dans le repre R :

8~F ; 8~ telle que t~ : ~ = ~1l~R(T; ~ : ~F ) = ~ : ~R(T; ~F ) :

t~(4.8)

do en choisissant ~ =t~R dni par (4.5), la relation :

~F1: ~R(T; ~F ) :

t ~F1

= ~S1: ~R(T; ~S) : ~S

1

ou encore, en introduisant le tenseur des contraintes de Piola-Kirchho

~R(T; ~F ) = (det S) ~S1: ~R(T; ~S) : ~S

1= ~R(T; ~S)(4.9)

o lon retrouve le rsultat annonc en (4.1).

4.2 Loi de comportement thermolastique en labsence deliaisons internes

Potentiel thermodynamique

On reprend lingalit de Clausius-Duhem dans sa formulation lagrangienne (3.38).Cette ingalit rgit toutes les volutions thermolastiques relles de la particule consi-dre : partir de son tat dni par les variables T et e dans lequel le courant dechaleur sortant est q

0avec le gradient de temprature rT , ces volutions sont dnies

par _T et _e .

Lingalit (3.38) fait apparatre la drive particulaire _ de (T; e) . Celle-ci sex-plicite en base quelconque en fonction des composantes eij de e :

_ =@ (T; e)@T

_T +@ (T; e)@eij

_eij :(4.10)

De faon gnrale, f(t) tant une fonction scalaire, direntiable, des composantes

dun tenseur t = tij ei ej quelconque, on dnit le tenseur dordre deux@f(t)@t

par

les relations :

@f(t)@t

=@f(t)@tij

ej ei(4.11a)

do

_f =@f(t)@tij

_tij =@f(t)@t

: _t :(4.11b)

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Cette dnition gnrale, applique (T; e) introduit le tenseur@ (T; e)@e

@ (T; e)@e

=@ (T; e)@eij

ej ei(4.12a)

et la drive particulaire (4.10) scrit :

_ =@ (T; e)@T

_T +@ (T; e)

@e: _e :(4.12b)

On suppose ici que le matriau est sans liaisons internes. Cela signie que lesvolutions gomtriques de llment de matire ne sont soumises aucune restrictiontelle que lincompressibilit, linextensibilit dans une ou plusieurs directions, etc., quipourraient tre dues sa microstructure ou sa constitution chimique, etc. (Celles-ciseront examines au paragraphe 4.3). Le tenseur e peut tre un tenseur symtriquequelconque et toutes les volutions sont dcrites par _T et _e symtrique quelconques.

Lingalit de Clausius-Duhem (3.38) devient ainsi :8>>>>>>>>>>>:

8T ; 8e symtrique ;8 _T ; 8 _e symtrique ; (T; e) : _e 0

@ (T; e)@T

_T +@ (T; e)

@e: _e+ s (T; e) _T

q0T:rT 0 :

(4.13)

La premire ligne de cette ingalit, qui reprsente la dissipation intrinsque vo-lumique, ne dpend que de T ; e ; _T et _e . La seconde ligne reprsente la dissipationthermique volumique : avec la loi de Fourier q

0= K0 (T; e) :rT on voit quelle

dpend de T; e et rT . Le premier membre de lingalit (4.13) est donc une formelinaire sur les variables _T et _e symtrique

Il rsulte alors de (4.13), en y faisant _T = 0 et _e = 0, que la dissipation thermiqueest non-ngative, do :

8T ; 8e symtrique ;q

0:rT 0(4.14)

cest lingalit de la conduction .

La forme linaire en _T et _e au premier membre de (4.13) doit conserver un signeconstant, on en dduit quelle est constante. La dissipation intrinsque est donctoujours nulle :8>:

8T ; 8e symtrique ; 8 _T ; 8 _e symtrique ; (T; e) 0

@ (T; e)@e

: _e 0

s (T; e) +

@ (T; e)@T

_T = 0 :

(4.15)

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Do :

8T ; 8e symtrique ;

s (T; e) = @ (T; e)@T

(4.16)

Puisque _e = 0 est arbitraire symtrique la nullit du premier terme de (4.15)conduit au rsultat :

(T; e) 0@ (T; e)@e

antisymtrique :

Il en rsulte, compte tenu de la symtrie de (T; e), que :

(T; e) = 0(@ (T; e)

@e

s ;(4.17)

partie symtrique du tenseur 0(@ (T; e)

@e

.

La prsence dans (4.17) de la seule partie symtrique du tenseur@ (T; e)@e

nest pas

surprenante. Elle rsulte dun artefact introduit par la dnition (4.12a). En eet lafonction thermodynamique (T; e) nest dnie physiquement que sur lensemble destenseurs e symtriques. En appliquant la dnition gnrale (4.11a), seule la partie

symtrique de@ (T; e)@e

est physiquement dtermine par (4.12a), puisque, dans les

volutions de llment de matire, _e est symtrique (9). La partie antisymtrique de@ (T; e)@e

na quune signication mathmatique : elle correspond au prolongement,

arbitraire sous rserve de conditions de continuit et de direntiabilit, de la fonctionphysique (T; e) sur lensemble des tenseurs e du second ordre quelconques, cest--dire lcriture de la fonction (T; e) en fonction des neuf composantes de e supposesindpendantes. Cette dicult articielle est leve en adoptant, comme dnition de (T; e) pour e tenseur euclidien du deuxime ordre quelconque, la formule :

8 e ; (T; e) = (T; es) = (T; (e+ te)=2) ;(4.18)

qui implique que les composantes eij et eji pour i 6= j jouent le mme rle danslcriture de : criture symtrique de . On a alors :

(@ (T; e)@e

s

@ (T; e)@e

(9)On a en eet, en dcomposant (4.11) :@f(t)

@t: _t = (

@f(t)

@t)s : _ts

+ (@f(t)

@t)a : _ta

:

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et la formule (4.17) prend la forme simple :

8T ; 8e symtrique ;

(T; e) = 0@ (T; e)

@e

(4.19)

Ces formules (4.16) et (4.19) montrent que, partir des hypothses (4.1), laconnaissance de la fonction dnit la loi de comportement du matriau thermolas-tique. Par leur forme, elles justient le nom de potentiel thermodynamique donn (T; e). La nullit de la dissipation intrinsque exprime par lquation (4.15) impliqueque les volutions adiabatiques ou isothermes (cf. 3.2) du matriau thermolastiquesont thermodynamiquement rversibles.

On verra au paragraphe 5.5 dans le cas du modle thermolastique linaire, que lastabilit du matriau implique que la fonction est strictement convexe(10) parrapport e symtrique. Cette stricte convexit entrane qu T x la correspondanceentre e et est biunivoque, do la rversibilit des dformations au sens indiqudans lanalyse du diagramme de la gure 3.

Transformation de Legendre-Fenchel

Ce rsultat de convexit permet dintroduire la fonction transforme dniepar la transformation de Legendre-Fenchel.

Pour des valeurs de T; e et lies par la loi de comportement thermolas-tique (4.19), la fonction des arguments T et est dnie par :

(T; ) =10 : e (T; e) :(4.20)

La drive particulaire de (T; ) scrit :

_ =@ (T; )

@T_T +

@ (T; )@

: _(4.21)

et sobtient aussi en drivant (4.20) :

_ =10

_ : e+10 : _e _ :(4.22)

Compte tenu de (4.12), (4.16) et (4.19), lquation (4.22) devient

_ = s _T +10e : _ :(4.23)

Le rapprochement de (4.23) et de (4.21) montre que, si lon dnit ltat thermo-dynamique par T et on a, avec (T; ), les formules homologues de (4.16) et (4.19)

(10)Cf. chapitre X ( 1.5) pour la dnition de la convexit.

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qui scrivent(11) : 8>>>>>:s(T; ) =

@ (T; )@T

e(T; ) = 0@ (T; )

@:

(4.24)

La fonction est dailleurs elle-mme convexe en (cf. chapitre X, 1.6).

Symtrie

Sous forme explicite, en composantes, la formule (4.19) scrit :

ij = 0@ (T; e)@eij

:(4.25)

Il sensuit que lon a la formule de symtrie remarquable :

@ij(T; e)@ek

=@k(T; e)@eij

;(4.26)

qui nest valable que sous lhypothse (4.18), cest--dire si les ij sont crites sym-triquement en ek et ek.

4.3 Loi de comportement thermolastique avec liaisonsinternes

Dnition des liaisons internes

On dit que le comportement du matriau est assujetti des liaisons internes si sesvolutions thermomcaniques sont, du point de vue gomtrique, astreintes respectercertaines conditions restrictives. Ces conditions font partie intgrante de la loi decomportement du matriau. Elles ont pour origine la microstructure du matriausous-jacente la modlisation macroscopique du mcanicien. Elles sexpriment parune ou plusieurs relations indpendantes portant sur le gradient de la transformationF (X; t) . Elles doivent satisfaire le principe disotropie de lespace (cf. 4.1) et neportent donc sur F (X; t) qu travers le tenseur des dformations e(X; t) ou le tenseurdes dilatations C(X; t) . Le nombre de ces relations indpendantes ne peut dpasser6 (si n = 6, le matriau est indformable).

Lexemple le plus frquent dune telle liaison interne est la liaison dite din-compressibilit qui exprime linvariance du volume de llment de matire danstoute transformation relle pour le matriau considr. Elle scrit en allgeant lesnotations :

det F = 1 ou det (1l + 2e) = 1 :(4.27)

(11)Mme convention pour lcriture symtrique de en fonction de , que pour en fonction dee.

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Un autre exemple pourra tre linextensibilit dans une direction donne, signi-cative pour le matriau, qui exprime linvariance de longueur dans cette direction.

On supposera ici plus particulirement que les liaisons internes se traduisent parn relations indpendantes portant sur e que lon crira :

p(e) = 0 ; p = 1; : : : ; n (1 n 6) :(4.28)

De mme que (T; e) au paragraphe 4.2, les fonctions p(e) ne sont physiquementdnies que sur lensemble des tenseurs e symtriques. On convient de les crire enconsidrant les 9 composantes de e comme distinctes et en adoptant des formes sym-triques en eij et eji satisfaisant ainsi lquation homologue de (4.18). Il sensuit que

les tenseurs@p(e)@e

, qui interviendront dans la suite, sont symtriques.

Lcriture (4.28) pour les liaisons internes appelle les mmes remarques que celles dj faitesau paragraphe 4.1 propos de lecriture de sous la forme (4.2). Elles sont illustres par lesdeux exemples cits. La liaison dincompressibilit est videmment isotrope ; elle sexprimeauthentiquement sous la forme (4.28) o est une fonction du seul tenseur e :

(e) = det (1l + 2e) 1 = 0 :(4.29)En revanche la liaison dinextensibilit dans une direction dnie par le vecteur unitaire Udans 0 scrit :

(e) = e : (U U) = 0(4.30)

qui met en vidence que nest pas proprement parler une fonction du seul tenseur e. Lanotation (4.28), bien comprise, ninduit nanmoins pas de confusion.

Obtention de la loi de comportement

Lingalit de Clausius-Duhem (3.38) est crite partir dun tat quelconque dela particule dni par les variables T et e vriant les liaisons internes (4.28) : elleconcerne les volutions thermomcaniques dnies par T et _e symtrique qui vrientles liaisons internes, cest--dire telles que :

_p =@p(e)@e

: _e = 0 ; p = 1; : : : ; n (1 n 6) :(4.31)

Ainsi, au lieu de (4.13), il vient :

8>>>>>>>:8T ; 8 e symtrique tel que (4.28) ;8 _T ; 8 _e symtrique tel que (4.31) ;

(T; e) : _e 0

@ (T; e)@T

_T +@ (T; e)@e

: _e+ s(T; e) _T

q0T:rT 0 :

(4.32)

On peut reprendre les raisonnements du paragraphe prcdent. Le premier membrede (4.32) est une forme linaire sur les variables _T et _e symtrique telle que (4.31).

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Cette forme linaire doit conserver un signe constant et est donc constante. On re-trouve ainsi lingalit de la conduction sous la forme :(

8T ; 8 e symtrique tel que (4.28) ;q

0:rT 0

(4.33)

et la nullit de la dissipation intrinsque dont on dduit dabord lexpression delentropie : 8>>>>>>>>:

8T ; 8 e symtrique tel que (4.28) ;8 _e symtrique tel que (4.31) ;(T; e) 0

@ (T; e)@e

: _e = 0

(4.35)

dont on dduit (12), compte tenu de la symtrie de , de@ (T; e)@e

et des@p(e)@e

,

que le tenseur (T; e) 0@ (T; e)@e

est une combinaison linaire quelconque des n

tenseurs@p(e)@e

.

On en dduit les formules homologues de (4.19) qui expriment la loi de compor-tement thermolastique avec liaisons internes :8>>>:

8T ; 8 e symtrique tel que p(e) = 0 ; p = 1; : : : ; n (1 n 6) ;

(T; e) = 0@ (T; e)@e

+ p@p(e)@e

(13)(4.36)

o les p sont n scalaires arbitraires (multiplicateurs de Lagrange associs chaque

liaison interne). On voit que est indtermin par les n termes p@p(e)@e

qui sont n

(12)Lgalit (4.35) exprime lorthogonalit de 0 @

@e

avec tous les tenseurs _e symtriques

respectant (4.31). 0 @

@e

est donc un lment de lespace vectoriel engendr par les tenseurs

@p(e)

@e.

(13)On rappelle la sommation sur lindice rpt p.

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tenseurs symtriques. Lindpendance des liaisons internes implique que les n tenseurs

symtriques@p(e)@e

sont, pour toute valeur de e respectant les liaisons internes (4.28),

linairement indpendants.

La formule (4.36) qui exprime la loi de comportement du matriau insiste sur lefait que les liaisons internes (4.28) font partie intgrante de celle-ci. Dans cette loi de

comportement les n termes p@p(e)@e

viennent compenser, au niveau des contraintes,

les restrictions imposes aux dformations. Cette ide de compensation dans laloi de comportement sclaire ds que lon considre lanalyse dun systme constitudun tel matriau, cest--dire que lon se place du point de vue global dun problmedvolution thermolastique tels quils seront poss et tudis au chapitre VIII. La for-mule (4.36) crite en chaque point du systme introduit alors n champs scalaires pindtermins. Pour un problme dvolution quasi-statique bien pos et dont les don-nes aux limites cinmatiques sont compatibles avec les liaisons internes, ces champssont dtermins, dans la construction dune solution, par lensemble des quationsde champs et des conditions aux limites du problme comme on le verra au chapitreVIII ( 1.3).

Par ailleurs quelques prcisions peuvent tre apportes quant aux quations (4.36).

Il est clair que, pour une liaison interne donne, la reprsentation sous la forme(4.28) nest pas unique : il en rsulte que des jeux distincts de fonctions p sontquivalents pour lcriture de (4.28). Cet arbitraire est sans consquence sur lex-

pression (4.36) de la loi de comportement car les tenseurs@p(e)@e

, avec p(e) = 0,

fournis par les dirents jeux de p sont proportionnels entre eux et conduisentdonc la mme indtermination.

On doit aussi remarquer que, bien que lexistence des liaisons internes (4.28),restrictions imposes e , introduise maintenant un arbitraire dans lcriture sy-mtrique de (T; e) en fonction des 9 composantes de e considres comme ind-pendantes, la formule (4.36) qui exprime la loi de comportement est insensible cette indtermination dont les eets sont absorbs par la prsence des termes

p@p(e)@e

(14).

Si lon considre deux tenseurs 1 et 2 satisfaisant la loi de comportement(4.36) pour les mmes valeurs de T et de e , et un taux de dformation _e satisfaisant

(14)Si lon dsigne par (T; e) et 1(T; e) deux telles critures symtriques quivalentes travers lesliaisons internes cest--dire telles que :

(T; e) = 1(T; e) ; 8 e symtrique tel que p(e) = 0 ; p = 1; :::; n

on a, entre les drives de et de 1 par rapport aux 9 composantes de e considres comme

indpendantes, la relation@ 1(T;e)

@e=

@ (T;e)

@e+ p

@p(e)

@e(sommation sur p), 8 e symtrique tel

que p(e) = 0; p = 1; :::; n; o les p sont n scalaires dtermins pour chaque valeur de (T; e).

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les liaisons internes (4.31), on a videmment :

1(T; e) : _e = 2(T; e) : _e ;(4.37)

autrement dit les puissances des eorts intrieurs dans un taux de dformationcompatible avec les liaisons internes sont identiques. Le tenseur (1 2) est untenseur inoprant dans toute volution respectant les liaisons internes partirde ltat actuel. Ainsi la loi de comportement (4.36) dnit les liaisons internes dumatriau et dtermine les contraintes un tenseur inoprant prs.

La nullit de la dissipation intrinsque, dont on a dduit (4.34) et (4.35), impliqueque les liaisons internes sont parfaites, ce qui est une consquence des hypothses(4.1) de la thermolasticit.

4.4 Respect des symtries de la matire

Dj introduit au chapitre VI ( 4.2) propos de lcriture de la fonction de charge,le principe du respect des symtries de la matire simpose la loi de comportementthermolastique : il exprime linvariance de cette loi dans toute transformation iso-mtrique appartenant au groupe des symtries du matriau.

La loi de comportement thermolastique est crite, par les formules (4.19) ou(4.36) en reprsentation lagrangienne : les symtries du matriau sont dnies dansla conguration de rfrence correspondante.

Le groupe G des symtries matrielles dans la conguration 0 peut tre caractrispar les deux noncs quivalents :

il nest pas possible, dans la conguration 0, de discerner deux lments qui sedduisent lun de lautre par une isomtrie appartenant au groupe G ; ils ragissentidentiquement lun et lautre, sous une mme sollicitation quelconque ;

si lon applique un lment donn deux sollicitations distinctes dduites lune delautre au moyen dune isomtrie du groupe G, les rponses sont distinctes mais sedduisent lune de lautre au moyen de la mme isomtrie.

Il est utile ici dexpliciter lcriture de en supposant choisi un repre R, ortho-norm pour simplier (comme dans la formule (4.3)) :

= R(T;~e)(4.38)

o ~e dsigne la matrice de e dans ce repre.

Le respect des symtries du matriau dans la conguration 0 impose lacondition mathmatique :

8~e ; 8 ~ 2 G ; R(T;~e) = R(T; t~ :~e : ~) :(4.39)On vrie alors que lon a bien, par la loi de comportement (4.19), la relation :8


Selon les cas il sera commode pour exprimer et exploiter le principe du respectdes symtries de la matire, soit de raisonner sur la fonction et dappliquer (4.39)comme on le fera au paragraphe 4.5, soit dcrire (4.40) au niveau des tenseurs desdformations et des contraintes (cf. 5.7).

Les considrations homologues des prcdentes valent videmment pour lexpres-sion des liaisons internes.

4.5 Matriau thermolastique isotrope dans la congurationde rfrence

Pour le matriau isotrope (au sens de Cauchy) dans la conguration de rfrence,le groupe G est le groupe de toutes les isomtries, directes et indirectes. Cela signieque lon ne peut distinguer par leurs rponses des sollicitations identiques, ni deuxlments dorientations direntes, ni un lment et son image dans une glace.

On retrouve alors largumentation dj dveloppe au chapitre VI ( 4.2) proposde la fonction de charge. Ainsi :8


Lisotropie correspondant videmment au groupe de symtries matrielles le plusvaste (toutes les isomtries), lexpression (4.43) reprsente la forme la plus rduitepossible pour (sans lintroduction dhypothses supplmentaires).

On dduit sans dicult de (4.42) les formules suivantes :

@I 01@e

= 1l ;@I 02@e

= e ;@I 03@e

= e2 = e : e(4.44)

do par (4.19), pour le matriau sans liaisons internes (en allgeant les notations) :

= 0

@

@I 011l+

@

@I 02e+

@

@I 03e2

(4.45)

dans laquelle@

@I 01;@

@I 02et

@

@I 03sont des fonctions de T; I 01; I

02; I03.

Cette expression de la loi de comportement du matriau thermolastique isotropemet notamment en vidence le rsultat remarquable :

pour le matriau thermolastique isotrope dans la conguration de r-frence, les directions principales de e sont principales pour .

Pour le matriau avec liaisons internes, si lhypothse disotropie est physiquementvalide, elle concerne toutes les fonctions qui expriment le comportement du matriauet donc, en particulier, les liaisons internes. Les fonctions p(e) ne dpendent, ellesaussi, que des invariants I 01; I 02; I 03 et lon obtient pour :8>: = 0

@

@I 011l+

@

@I 02e+

@

@I 03e2

+ p

@p@I 01

1l+@p@I 02

e+@p@I 03

e2

p(I 01; I02; I03) = 0 ; p = 1; : : : ; n 1 n 3 :

(4.46)

Le rsultat de concidence des directions principales de et de e est conserv.

On peut enn signaler quil ny a pas de contradiction mathmatique exprimer lecomportement thermolastique dun matriau au moyen dun potentiel (T; e) fonc-tion isotrope de e avec des liaisons internes anisotropes ; le matriau correspondant estvidemment anisotrope. Des modles physiquement ralistes de matriaux compositesrenforcs ont cette forme.

4.6 Les liaisons internes du point de vue eulrien

partir de ltat actuel satisfaisant (4.28), les liaisons internes sexpriment, du point de vueeulrien, par les conditions portant sur le taux (eulrien) de dformation dduites de (4.31)en appliquant la formule de correspondance donne au chapitre III :(

_e(X; t) =tF (X; t) : d(x; t) : F (X; t)

x = (X; t) :

(4.47)

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5 Thermolasticit linaire en labsence de liaisons internes 39

Il vient ainsi : 8>>>>>:F (X; t) :

@p(e(X; t))

@e: tF (X; t)

: d(x; t) = 0

x = (X; t)

p = 1; : : : ; n (1 n 6) :

(4.48)

La loi de comportement (4.36) fournit lexpression du tenseur des contraintes de Cauchy(x; t) en appliquant la formule de correspondance donne au chapitre V :8>>>>>>>>>>>>:

8T ; 8 e(X; t) symtrique tel que (4.28) ;

(x; t) = (x; t)F (X; t) :@ (T; e(X; t))

@e: tF (X; t)

+0p F (X; t)@p(e(X; t))

@e: tF (X; t)

p = 1; : : : ; n (1 n 6)

(4.50)

o les 0p sont les scalaires arbitraires lis aux p de (4.36) par 0p = p (x; t)=0(X) .En rapprochant (4.48) et (4.50) on obtient le rsultat (attendu) : lindtermination intro-duite dans lexpression (4.50) du tenseur des contraintes de Cauchy consiste en un tenseurinoprant dans les volutions respectant (4.48). titre dexemple, pour la liaison interne din-compressibilit (4.29), lexpression eulrienne (4.48) nest autre que tr d(x; t) = 0 ; il sensuitque lindtermination sur (x; t) dans (4.50) est un tenseur inoprant, donc de la forme 0 1l .

5 Thermolasticit linaire en labsence de liaisonsinternes

5.1 Prsentation

Les constatations exprimentales voques dans la section 2 de ce chapitre ontmis en vidence deux points essentiels : la rversibilit du diagramme de charge et salinarit dans tout ou partie de la phase lastique ( 2.2) pour des dformations quidemeurent faibles.

On a vu au paragraphe 4.2 que la loi de comportement (4.19) rend compte defaon prcise de la rversibilit. On se propose maintenant dexaminer la linarisationde cette loi, de faon rendre compte aussi de la linarit observe.

5.2 Linarisation physique

criture de la loi de comportement linarise

On prend comme conguration de rfrence la conguration dite initiale 0, partir de laquelle on se restreint ltude des dformations innitsimales

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chapitre II ( 7.1) dnies par :

k e k 1(5.1)et des petites variations de temprature :

= (T T0) petit :(5.2)Lide est alors que, sous ces hypothses, en labsence de liaisons internes, il est

lgitime de linariser la loi de comportement (4.19), cest--dire de lcrire sous laforme dune expression linaire (ane) en e et . Cette criture sobtient pardrivation de lexpression de 0 (T; e) limite son dveloppement polynomial ausecond degr en fonction de et des composantes de e.

En laissant de ct la constante additive sans importance dans la drivation,0 (T; e) se met ainsi sous la forme (5.3) qui doit, en outre, respecter la conven-tion dcriture symtrique (4.18) soit :

0 = 0 : e 0 s0 + 12 e : A : e k : e 120 b

2(5.3)

Dans cette formule, s0 et b sont des constantes physiques scalaires. Les termescorrespondants ne posent aucun problme dinterprtation.

Le terme 0 : e est linaire en fonction des composantes de e. Pour satisfaire la condition (4.18) dcriture symtrique de , le tenseur physique constant 0 doit tresymtrique.

Le terme k : e est bilinaire en fonction de et des composantes de e . Poursatisfaire (4.18) le tenseur physique constant k doit, lui aussi, tre symtrique.

Le terme 12e : A : e est quadratique en fonction des composantes de e . Le tenseur A

est un tensur physique du quatrime ordre constant et lcriture12e : A : e dsigne

la contraction totale, sur les indices 1 et 4, 2 et 3, 5 et 8, 6 et 7, du produit tensoriel12eA e , cest--dire quen base orthonorme le terme quadratique scrit :

12e : A : e =

12ejiAijk ek :(5.4)

On remarque videmment que lcriture explicite (5.4) du produit doublementcontract fait apparatre la somme de 81 termes : 9 termes carrs et 72 termes rectangles alors que lcriture la plus gnrale dune forme quadratique en fonctiondes 9 composantes de e nen requiert que 45 (=9+36). Le procd est classique ; ilsagit du ddoublement des termes rectangles : pour (i; j) 6= (k; ) on distingue leterme ejiAijkek et le terme ekAkijeji et lon pose

8(i; j) 6= (k; ); Aijk = Akij(5.5)

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cest--dire quil y a symtrie entre les groupes dindices (i; j) et (k; ).

Cette procdure permet la fois lcriture compacte (5.4) de la forme quadratiqueet, grce la convention (5.5), une expression simple de sa drive (5.7).

Pour satisfaire la condition (4.18) dcriture symtrique de , le tenseur A doit tresymtrique sur les indices i et j dune part, k et de lautre :

Aijk = Ajik = Aijk = Ajik :(5.6)

Ainsi, au total, compte tenu des 60 relations de symtrie indpendantes exprimespar (5.5) et (5.6) les 81 composantes de A ne dpendent plus que de 21 paramtres

indpendants(16).

La loi de comportement thermolastique linaire sobtient en appliquant (4.16) et(4.19) exprim par (5.3), o la drive de la forme quadratique prend la formesimple :

@

@e

12e : A : e

= A : e (17):(5.7)

Il vient alors :

(5.8) = 0 +A : e k

(5.9) s = s0 +10k : e+ b

ou, en composantes : 8>:ij = 0ij +Aijk ek kij

s = s0 +10kij eji + b :

(5.10)

Il est intressant de commenter cette expression linaire des composantes de en fonction de et des composantes de e. On aurait videmment pu lcrire directement, par dnition mmede la linarisation, et y imposer les symtries ncessaires. La symtrie sur les indices i et japparat immdiatement en raison de la symtrie de . La sommation complte sur toutes lescomposantes de e symtrique distingue le terme en Aijk ek et le terme en Aijkek ; seulesles sommes de composantes (Aijk + Aijk) sont indpendantes, ce qui permet dimposer lasymtrie sur les indices k et , cest--dire dobtenir pour ij , une criture symtrique en eket ek. Alors la formule de symtrie (4.26), qui provient de lexistence du potentiel 0 dont drive , est applicable et amne la symtrie entre les groupes dindices (i; j) et (k; ).On retrouve bien ainsi les symtries nonces dans (5.6).

(16)Cette rduction na rien de magique ! Il sagit simplement du nombre des termes dune formequadratique sur un espace 6 dimensions (les composantes indpendantes de e), qui est aussi lenombre de coecients indpendants dun tableau 6 6 symtrique.(17)Avec la condition (5.5) on a : 8t ; A : t = t : A . Il en rsulte, avec la dnition (4.11) que :

8t ; @@t

1

2t : A : t

=

1

2

t : A+ A : t

= A : t :

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Interprtation physique des coecients

Ces rsultats permettent dinterprter physiquement les constantes introduitesdans lexpression (5.3), et de prciser la notion de petites variations de tempra-ture.

Valeurs initiales.Le tenseur symtrique 0 apparat comme le tenseur des contraintes initiales :

ce sont les contraintes qui correspondent une dformation nulle et un cart detemprature nul par rapport la conguration de rfrence. La formule linaire (5.8)exprime que, en reprsentation lagrangienne, la contrainte rsulte de la superposi-tion de la contrainte initiale 0, de la contrainteA : e induite temprature constante

par la seule dformation e et de celle k induite par lcart de temprature d-formation constante (18).

s0 est lentropie massique initiale dnie de la mme manire.

Coecients dlasticit.Le tenseur A est le tenseur dlasticit qui, temprature constante, lie les

contraintes aux dformations. Le dcompte eectu plus haut montre que, dans unrepre quelconque, le tenseur A correspond 21 coecients indpendants. Il sagit l

du cas gnral du matriau qui ne possde aucune symtrie matrielle particulire,appel aussi matriau aelotrope . Les 21 coecients sont dnis partir de 18modules lastiques proprement dits, constantes physiques du matriau, et des 3angles dEuler qui dnissent lorientation de celui-ci dans le repre utilis.

Ceci est rapprocher des dveloppements donns au chapitre VI ( 4.2) propos de lafonction de charge et du principe de lisotropie de lespace. Dans un repre orthonorm Rsignicatif pour le matriau, la fonction R(T;~e) de la formule (4.38) sexprime en thermo-lasticit linaire en fonction de 18 coecients qui sont des constantes physiques du matriau.Lexpression de dans un repre R0 orthonorm quelconque sobtient alors partir de Rpar :

R0 (T;~e0) = R(T; t~ :~e : ~)

o la matrice ~ de changement de repres est dnie par les angles dEuler qui caractrisentlorientation du matriau par rapport R0.

Les modules lastiques ont les dimensions dune contrainte : ils sexpriment enpascal (Pa) mais pour les matriaux courants on aura plus souvent recours au mga-pascal (MPa).

(18)Ce rsultat nest pas conserv pour le tenseur des contraintes de Cauchy : le tenseur des

contraintes initiales 0 induit dans lexpression de le terme additif

0F : 0 : tF qui nest pas

constant. Ce point sera repris au paragraphe 5.4 o lon traitera plus particulirement le cas o ceterme peut tre considr comme constant en transformation innitsimale.

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Coecients thermiques.On a videmment, partir de (5.9) :

T _s =10T k : _e+ T b _(5.11)

Le premier membre de cette galit, qui a les dimensions dune puissance massique,est, irrversibilits thermiques mises part, le taux massique de chaleur reue pourdes vitesses de dformation et dcart de temprature _e et _ ; ainsi :

10T k est le tenseur des chaleurs latentes massiques de dformation.

(6 coecients indpendants dnis partir de 3 constantes physiques et des 3angles dEuler caractrisant lorientation du matriau).T b est la chaleur massique dformation constante.

Petite variation de temprature.La notion de petite variation de temprature peut tre prcise partir de (5.8) :

les contraintes k engendres par la variation de temprature doivent tre dumme ordre de grandeur que des contraintes A : e engendres par une dformation e

vriant la condition (5.1) des dformations innitsimales.

5.3 Matriau thermolastique linaire isotrope

La loi de comportement du matriau thermolastique linaire, isotrope dans laconguration de rfrence sobtient en combinant les rsultats des paragraphes 4.5 et5.2.

Le dveloppement polynomial au second degr de 0 (T; e) en fonction de etdes composantes de e, ne doit plus faire intervenir que les invariants de e dnis par(4.42). Il en rsulte, compte tenu de lordre de I 01; I

02; I03, lexpression la plus gnrale

de 0 pour le matriau thermolastique linaire isotrope :

0 = 0 I 01 0 s0 +

2I 01

2 + 2 I 02 k I 01 120 b

2(5.12)

On remarque que dans cette formule 0; s0; ; ; k et b sont toutes des constantesscalaires.

On en dduit, par application de (4.16), (4.19) et (4.45) :

= 0 1l+ I 01 1l+ 2 e k 1l

s = s0 +10k I 01 + b

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ou encore

(5.13) = 0 1l+ (tr e) 1l+ 2 e k 1l

(5.14) s = s0 +10k tr e+ b

On voit sur cette loi de comportement que le tenseur des contraintes initiales 0

de (5.8) est ici ncessairement, en raison de lhypothse disotropie du matriau, untenseur isotrope quelconque : 0 = 01l.

Le tenseur dlasticit A ne dpend que de deux coecients indpendants et

(19).

Ces deux coecients sont authentiquement des modules lastiques, constantesphysiques du matriau, car lisotropie du matriau implique que son orientation nin-tervient pas.

Llasticit linaire du matriau isotrope est caractrise par deuxmodules lastiques.

Les coecients et de (5.12) et (5.13) sont appels coecients dlasticitde Lam(20) en particulier est le module de cisaillement.

Enn on remarque que le tenseur k est lui aussi ncessairement isotrope : k = k 1l.Il ny a donc plus quun seul coecient thermique dans le passage de (5.8) (5.13).

Linversion de la loi de comportement (5.13), exprimant e en fonction de et ,est aise. Il est dusage de mettre la formule inverse sous la forme :

(e e0) = 1 + E

E

(tr ) 1l+ 1l(5.15)

qui fait intervenir 3 coecients lastiques et thermiques E; ; .

E est lemodule dlasticit de Young qui a les dimensions dune contrainte (21),

est le coecient de Poisson , nombre sans dimension (22),

est le coecient de dilatation thermique linique .

(19)On a : Aijk = (ij k) + (ik j + i jk).(20)G. Lam (1795-1870). Dans la littrature anglo-saxonne notamment, le module de cisaillement est souvent not G et porte le nom de constante de Lam .(21)Mdecin, physicien (franges de Young), mcanicien, T. Young (1773-1829) tait galement un re-marquable spcialiste des langues modernes et anciennes qui sintressa lgyptologie et notammentau dchirement des hiroglyphes.(22)D. Poisson (1781-1840).

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e0 apparat comme la dformation dans ltat de contrainte nulle ( = 0) et pourun cart de temprature nul, par rapport la conguration (ou tat) de rfrence.Elle vaut :

e0 = 1 2 E

0 1l (23) :(5.16)

Il est utile dcrire les formules permettant de passer des coecients dlasticitde Lam au module de Young et au coecient de Poisson :8>>>:

E = (3+ 2)

(+ )

= E

(1 + )(1 2 )

=

2(+ )

=E

2(1 + )

(5.17)

k =E

1 2 =k

3+ 2(5.18)

Lquation (5.15) adopte pour exprimer linverse de la relation linaire (5.13) peut surprendrepar la complication de son criture. Lexplication de ce choix rside dans la signication, etdonc dans laccessibilit exprimentale, des coecients lastiques E et . Le rsultat quivient dtre obtenu pour le matriau isotrope est en eet particulirement remarquable silon se rfre lexprience de traction-compression. Il signie quune seule exprience detraction (ou compression) simple, eectue en dformation innitsimale selon une directioneX

quelconque pour le matriau, dans laquelle on impose le tenseur des contraintes de la forme = XX eX eX partir de ltat initial 0 = 0 avec lcart de temprature = 0 permet,par la mesure de e , de dterminer compltement le comportement lastique du matriauisotrope. En eet e apparat de la forme : e = eXX eXeX +(eY Y = eZZ ) (eY eY +eZeZ )o e

Yet e

Zforment avec e

Xun tridre orthonorm quelconque. On a ainsi :

E = XX =eXX et = eY Y =eXX = eZZ =eXX ;

o eXX ; eY Y et eZZ sont les allongements unitaires selon eX ; eY et eZ linariss en dforma-tion innitsimale (chapitre II, 7.1). La ralisation et linterprtation de cette expriencesont videmment facilites dans le cas de la transformation innitsimale qui sera tudi auxparagraphes 5.4 et 5.5.

Par ailleurs une exprience de dilatation (ou de rtraction) thermique, o lon impose avec = 0 = 0 permet de dterminer :

= tr e =3 = eXX = ;

o tr e nest autre que la dformation volumique linarise, tr e (dt d0)=d0, endformation innitsimale.

On doit ajouter que ce rsultat, tabli ici en exploitant le principe des symtries de la ma-tire sous la forme (4.39) partir de lcriture du potentiel thermodynamique 0 , peut aussisobtenir en appliquant ce principe sous la forme (4.40) lquation (5.10) (comme au para-graphe (5.7)). On constate alors que le raisonnement sappuie videmment sur les symtriesentre les indices i et j et entre les indices k et mais ne ncessite pas de faire intervenir lasymtrie entre les groupes dindices (i; j) et (k; ).

(23)La similitude des notations peut tre trompeuse : 0 et e0 ne correspondent pas au mme tatdu matriau, sauf lorsquelles sont toutes deux nulles (tat de contrainte nul dans la congurationde rfrence).

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5.4 Transformation innitsimale : linarisation gomtrique

On rappelle la correspondance entre les tenseurs des contraintes de Cauchy et dePiola-Kirchho (chapitre V, 4.1) :

=

0F : : tF avec F = (1l +r) :(5.19)

On dduit alors de la loi de comportement thermolastique linaire (5.8) lexpres-sion de :

=

0F : 0 : tF +

0F : (A : e) : tF

0F : k : tF :(5.20)

On se propose maintenant dexaminer quelques circonstances, essentielles pour lesapplications pratiques, dans lesquelles cette formule est linarisable. La linarisationcorrespondante est dite gomtrique.

Transformation innitsimale

Lhypothse commune ces diverses circonstances est celle de la transformationinnitsimale (chapitre II, 5.1)

kr k 1(5.21)

qui permet, en ngligeant les termes du deuxime ordre en kr k , dcrire e sous saforme linarise " et de confondre les gradients lagrangien r et eulrien grad dudplacement aux points homologues X et x de la conguration de rfrence et dela conguration actuelle (24) :

e " = (r +tr)=2 (grad +tgrad )=2 ;(5.22)

on a aussi, au mme ordre :

=0 = d0=d (1 + tr ")1 (1 tr ") :(5.23)Compte tenu de cette hypothse, il vient en ne retenant que les termes du premier

ordre dans (5.20)

0(1 tr ") + grad : 0 + 0 : tgrad +A : " k (5.24)

qui sexplicite en fonction des parties symtrique " et antisymtrique w de grad

grad = " + w(5.25)

sous la forme :

0 + [w : 0 0 : w] + f0 tr "+ " : 0 + 0 : "+A : "g k :(5.26)(24)Comme dans la section 4.6, il pourrait tre opportun dexpliciter la dpendance spatiale ettemporelle de chacune des grandeurs qui interviennent dans les quations. Il est malheureusementvident que les formules deviendraient alors vite inextricables et il parat prfrable de se satisfaire dela dpendance implicite qui apparat travers les notations choisies, sans risque majeur dambigut.

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Dans cette formule, le terme entre [ ::: ] exprime quen labsence de dformation dellment de matire et de variation de temprature une transformation rigidiantemodie le tenseur qui correspond un mme tenseur 0. Les termes entre f ::: greprsentent une application linaire en " que lon peut crire

0 tr "+ " : 0 + 0 : "+A : " = (A+B 0 1l) : "(5.27)

o les Bijk ont les mmes symtries que les Aijk et sont dnis partir de 0 par

Bijk = (0ik j + 0j ik +

0i kj +

0kj i)=2 :(5.28)

On obtient ainsi, pour , lexpression :

0 + [w : 0 0 : w] + (A+B 0 1l) : " k :(5.29)

De nouvelles hypothses permettent den poursuivre la linarisation.

tat initial naturel

Par dnition, ltat initial, pris comme tat de rfrence, est dit naturel si letenseur des contraintes y est nul :

= 0 pour e = 0 et = 0(5.30)

cest--dire, par (5.8),

0 = 0 :(5.31)

En reprenant lexpression (5.29) de il vient alors :

A : " k ;(5.32)

que dans la suite, selon lusage, on crira en remplaant le signe par le signe dgalitstricte :

= A : " k (5.33)

On aboutit ainsi une formulation eulrienne en ; " ; identique lcriturelagrangienne (5.8) en ; e ; avec 0 = 0.

Pour le matriau isotrope :

= (tr ") 1l+ 2 " k 1l(5.34)

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inverse en

" =1 + E

E

(tr ) 1l+ 1l(5.35)

qui sont homologues de (5.13) et (5.15).

Il se rvle commode, pour certaines applications, de transformer ces expressionsen introduisant le dviateur s de dni au chapitre VI ( 2.8) et le dviateur "d de" dni de la mme faon : 8


tat initial quasi-naturel

Ltat initial quasi-naturel est dni physiquement en exprimant que lescontraintes initiales sont trs petites devant les modules dlasticit dumatriau considr (cette comparaison a un sens puisquil sagit de grandeursphysiques qui ont les mmes dimensions). Cette hypothse est trs frquemment sa-tisfaite dans la pratique, notamment pour les structures et les matriaux usuels de laconstruction mcanique, en sorte que lon a, en se rfrant (5.27, 5.28 et 5.29) :

k 0 1lk kA k et kB k kA k :(5.41)

Si, de plus, on suppose que

k " k et k grad k sont du mme ordre(5.42)

les termes entre [:::] dans (5.29) sont ngligeables et se rduit :

0 +A : " k :(5.43)

En remplaant comme prcdemment le signe par le signe dgalit stricte onaboutit ainsi, sous les hypothses nonces, une formulation eulrienne en ; " ; identique lcriture lagrangienne (5.8) en ; " ; , o 0 apparat comme le tenseurdes contraintes initiales 0. On crira ainsi :

= 0 +A : " k :(5.44)

Pour le matriau isotrope la formule (5.44) devient :

= 01l+ (tr ") 1l+ 2 " k 1l(5.45)inverse en

" "0 = 1 + E

E

(tr ) 1l+ 1l avec "0 = 1 2 E

01l :(5.46)

On remarque que ltat initial naturel est un cas particulier dtat initial quasinaturel ; la formule (5.44) contient la formule (5.33) mais celle-ci ne ncessite paslhypothse (5.42).

Lhypothse (5.42) est trs gnralement satisfaite dans la pratique en choisissantde faon pertinente le rfrentiel dans lequel est observ le matriau. Ltude de pro-blmes poss sur des corps lancs peut nanmoins prsenter des dicults de ce pointde vue.

tat de rfrence prcontraint

On remarque que, dans la formule (5.44), le tenseur des contraintes initiales 0 =0 est videmment astreint (cf. 5.2) respecter les symtries de la matire dans laconguration 0. Cest ce que traduit par exemple lexpression 0 = 0 1l dans laformule (5.45) qui concerne le matriau isotrope.

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Dans la pratique on tend la validit de la formule (5.44) en y supprimant larestriction impose 0 par les symtries de la matire. Ceci revient considrerque les symtries de la matire concernent, dans lexpression linarise de la loi decomportement en formulation eulrienne, non plus mais 0 = ( 0).

Cest ainsi notamment que lon crit cette loi de comportement dans le cas ola conguration de rfrence est une conguration p prcontrainte thermolas-tiquement dans une transformation innitsimale partir de ltat initialnaturel :

0 = ( p) = A : "0 k 0(5.47)

o p, tenseur de prcontrainte, nest soumis aucune restriction, et o 0; "0 et 0 sontrapports la conguration prcontrainte p, les transformations tant innitsimaleset devant respecter la condition (5.42).

Pour le matriau isotrope :

(5.48) 0 = ( p) = (tr "0) 1l+ 2 "0 k 0 1l

(5.49) "0 =1 + E

0 E

(tr 0) 1l + 0 1l

On peut donner, de la formule (5.47), la justication suivante qui en prcise la signication.Dsignant par 0 la conguration du matriau dans laquelle ltat est naturel on a, en appli-cation de (5.20) :

=

0(1l +r) : (A : e k ) : (1l +tr)(5.50)

p =p

0(1l +rp) : (A : ep k p) : (1l +trp) :(5.51)

Il vient en introduisant le gradient rp par rapport la conguration p : =

p

p

0(1l +rp0) : (1l +rp) : (A : e k p k 0) : (1l +trp) : (1l +trp0)

o lon a, puisque les transformations considres sont innitsimales,e " = (r +tr)=2 ; ep "p = (rp +trp)=2 ;" "p + "0 avec "0 = (rp0 +trp0)=2 :On en dduit, compte tenu de (5.51),

0

(1l +rp0) : p : (1l +trp0)

+

p(1l +rp0) :

np

0(1l +rp) : (A : "0 k 0) : (1l +trp)

o: (1l +trp0)

(5.52)

o lon retrouve la structure de lquation (5.20), p jouant le rle de 0 et p celui de 0.

Le caractre innitsimal de la transformation de 0 p implique que les prcontraintessont trs petites devant les modules dlasticit du matriau : la condition homologue de

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(5.41) pour p est donc satisfaite. De plus le terme entre f:::g dans (5.52) est quivalent (A : "0k 0). On obtient ainsi, sous la condition homologue de (5.42) pour la transformationinnitsimale de p t, lquation homologue de (5.44)

= p + A : "0 k 0(5.53)

qui montre que les tenseurs A et

polytechnique - unknown - mécanique des milieux continues(2).pdf

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