poly_gourinat_dynamique_m2r1.pdf

M2R Gnie Mcanique de Toulouse

Dynamique des Structures

Notes de Cours

Prof. Y Gourinat

ISAE

Essai sur les quations Constitutives

de la Dynamique des Structures

Prof. Yves Gourinat, ISAE-SUPAERO

I Systmes Discrets

I/1 quations de la Dynamique Rationnelle

I/1.1 Principes de la Dynamique Rationnelle

I/1.1.1 Thormes Gnraux

I/1.1.1.1 Rsultante Gnrale - Proposition de KnigI/1.1.1.2 Moment RsultantI/1.1.1.3 Puissance Dynamique

I/1.1.2 Formes Intgrales des Thormes gnraux

I/1.1.2.1 Conservations CintiquesI/1.1.2.2 Puissance Cintique et nergie Mcanique

I/1.1.3 Classifications des Forces

I/1.1.3.1 Partitions des ForcesI/1.1.3.2 Dissipations

I/1.2 Dynamique Analytique

I/1.2.1 Formalisme de Lagrange

I/1.2.1.1 Paramtrage - Degrs de Libert - Conventions sur les LiaisonsI/1.2.1.2 Puissances Virtuelles et Inconnues de LagrangeI/1.2.1.3 quation de LagrangeI/1.2.1.4 Classification des Forces Appliques au sens de LagrangeI/1.2.1.5 Multiplicateurs de Lagrange

I/1.2.2 Intgrales Premires de Lagrange

I/1.2.2.1 Intgrales Cintiques de RouthI/1.2.2.2 Intgrale de lnergie - Convention sur les Systmes Commands

I/1.2.3 quations de Poisson-Hamilton

I/1.2.4 Formalisation dAppell

I/1.2.5 Exemple du Pendule Sphrique

I/1.2.5.1 NewtonI/1.2.5.2 LagrangeI/1.2.5.3 Systme Command - PainlevI/1.2.5.4 Routh-HamiltonI/1.2.5.5 Appell

I/2 Explicitation au Mouvement du Solide Indformable

I/2.1 Dfinitions Gnrales

I/2.1.1 Vitesses et Acclrations

I/2.1.2 Inerties

I/2.2 Grandeurs Cintiques et Dynamiques

I/2.2.1 Moment et nergie Cintiques

I/2.2.2 Fonction dAppell

I/2.3 Mouvement du Solide autour dun Point Fixe

I/2.3.1 quation dEuler

I/2.3.2 Applications de lquation dEuler

I/2.3.2.1 Mouvement dEuler-PoinsotI/2.3.2.2 Mouvement Axe Fixe - quilibrageI/2.3.2.3 Mouvement de Lagrange-Poisson du Solide de RvolutionI/2.3.2.4 quations du Gyroscope

I/2.3.3 Explicitation Quaternionique

I/2.3.3.1 Rotations et QuaternionsI/2.3.2.4 Explicitation des quations dEuler

I/3 Systmes Linaires

I/3.1 Systme lmentaire

I/3.1.1 Systme 1 Degr de Libert

I/3.1.1.1 Systme Conservatif I/3.1.1.2 Systme Dissipatif - Conventions

I/3.1.2 Linarit des Systmes Dynamiques

I/3.2 Systme n DDL

I/3.2.1 quation Matricielle

I/3.2.2 Rsolution Modale

I/3.2.2.1 Systme Libre - Conventions sur les Pulsations et Vecteurs Propres I/3.2.2.2 Systme Excit - Rsonances

I/3.2.3 LExemple du Systme lmentaire 2DDL

I/3.2.3.1 Mouvement LibreI/3.2.3.2 Mouvement ExcitI/3.2.3.3 Masses Modales Effectives dInterface

II Structures Continues Linaires

II/1 Dfinitions Gnrales - Poutres

II/1.1 Problme lastique

II/1.1.1 Champs Mcaniques

II/1.1.2 quations Dynamiques des Poutres Droites (lments 1D)

II/1.1.2.1 quations et Solutions GnriquesII/1.1.2.2 Modes de Flexion

II/1.2 Surfaces Gauches

II/1.2.1 Courbures Naturelles de la Surface Moyenne - Axes Locaux

II/1.2.2 Surfaces de Rvolution

II/2 quations des Coques

II/2.1 Flux Internes

II/2.1.1 Visseur de Coque

II/2.1.2 Statique Locale

II/2.2 quations aux Dplacements

II/2.2.1 Hypothses de la Thorie des Coques de Reissner

II/2.2.2 quations Dynamiques des Coques (lments 2.5D)

II/2.2.3 Problmes Axisymtriques Mridiens de Coques Isotropes

II/3 Application : Coque Cylindrique sous Pression Variable

II/3.1 lments Statiques et Isothermes

II/3.1.1 Termes Quadratiques de Reissner

II/3.1.2 Solution Gnrale Statique en Flche Transverse

II/3.1.3 Exemple de chargement et Conditions aux Limites

II/3.2 Solution Dynamique

II/3.2.1 quations Dynamiques

II/3.2.2 Modes Dynamiques Axisymtriques

Essai sur les quations Constitutives

de la Dynamique des Structures

Prof. Yves Gourinat, ISAE-SUPAERO

I Systmes Discrets

Notations gnrales relatives aux systmes discrets :

!

O;r x ,

r y ,

r z ( ) : Repre Galilen (de rfrence ou inertiel) dorigine O et Base Orthonorme Directe

!

r x

r y

r z

!

O;r x ,

r y ,

r z ;t( ) : Rfrentiel Galilen

!

A;r X ,

r Y ,

r Z ( ) : Repre Mobile Orthonorm Direct, li au solide tudi

!

r u ( ) : Matrice colonne des composantes du vecteur unitaire

!

r u

!

t r u ( ) : Matrice ligne transpose de

!

r u ( )

!

" : Produit Vectoriel :

!

r b "

r c ( ) # *

r b [ ]

r c ( ) o

!

*r b [ ] #

0 $bz by

0 $bx

antisym 0

%

&

' ' ' '

(

)

* * * *

adjoint du vecteur r b ( )

N : Nombre de particules dun systme matriel

n : Nombre de Degrs de Libert (DDL) dun systme matriel

!

# d

dt: Drive par rapport au temps t dans le rfrentiel Galilen de rfrence

!

r V #

r V P # O

r P : Vitesse Galilenne du point matriel P

!

r V A # O

r A : Vitesse Galilenne du point matriel A

!

r + #

r + r X ,r Y ,r Z ( )/ r x , r y , r z ( ) : Vitesse de rotation absolue de la base

!

r X ,

r Y ,

r Z ( ) par rapport la base

!

r x ,

r y ,

r z ( )

!

,r + ( ) : Matrice adjointe de

!

r + ,

!

0 $+ z +y+z 0 $+ x$+y +x 0

-

.

/ / /

0

1

2 2 2 dans

!

r x r y r z ( ) ,

!

0 $+Z

+Y

+Z 0 $+X$+Y +X 0

-

.

/ / / /

0

1

2 2 2 2

dans

!

r X ,

r Y ,

r Z ( )

!

P #r f .

r V : Puissance mcanique de la force

!

r f applique en P

!

q( ) # qj( ) : Ensemble des Paramtres de Lagrange

!

qk : Paramtre particulier de Lagrange

!

k 3 1,2,...,n0{ }( )

!

Lk #4

4qk

-

. /

0

1 2

$4

4qk: Oprateur de Lagrange associ au paramtre

!

qk

!

5ij : Symbole de Kronecker

!

Ecin ,

!

Epot ,

!

ELag ,

!

EHam : nergie Cintique, Potentielle, de Lagrange (Lagrangien), de Hamilton (Hamiltonien)

!

AHam : Action Hamiltonienne

!

SAppell : Fonction Acclration dnergie dAppell

Sauf mention explicite, la convention de sommation dEinstein, par rptition des indices, nest pas adopte dans ce document. Par ailleurs, dans la reprsentation harmonique des phnomnes, cohrente avec les systmes linaires, on considrera les pulsations 6, dues la mesure des angles en radians. Une autre formulation harmonique pourrait considrer des cycles (ou Hz) mais ncessiterait de rcrire les fonctions angulaires en tours.

Y. Gourinat - quations Constitutives de la Dynamique - 2011 ISAE-SUPAERO p 1 / 83

I/1 quations de la Dynamique Rationnelle

Ce paragraphe rassemble les quations gnrales de la dynamique vectorielle, dans leur criture initiale et dans la recherche des intgrales premires du mouvement au sens de la dynamique gnrale.

I/1.1 Principes de la Dynamique Rationnelle

partir de la dynamique lmentaire du point matriel, les dveloppements un systme quelconque en translation et en rotation permettent dtablir les thormes fondamentaux. Une premire voie de mise en uvre de ces thormes est ouverte par le calcul de la puissance mcanique relle des forces appliques et dinertie.

Deux lments principaux sont dvelopps :

- la dcomposition considrant dune part le mouvement du centre de masse (affect de la masse totale du systme) et dautre part le mouvement relatif au centre de masse ;

- la ncessit de dfinir les nergies et puissances cintiques et dynamiques par rapport un

repre absolu, non-seulement en rotation (exigence gnrale pour toutes les vitesses inertielles de rotation), mais aussi en translation.

Tous ces rsultats sont ensuite explicits pour le cas fondamental du solide indformable.

I/1.1.1 Thormes Gnraux

I/1.1.1.1 Rsultante Gnrale - Proposition de Knig

Considrant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

!

r f "mO

r P #

r 0 ou

!

r f "m

r V #

r 0 , dans

lequel

!

r V dsigne la vitesse Galilenne de la particule de masse m soumise la force

!

r f , le

Thorme de la Rsultante Dynamique (TRD) rsulte de ladditivit en translation sur les N particules dun systme matriel :

!

r R "

r p #

r 0 o :

!

r R #

r f i : Rsul tan te Dynamique des Forces Appliques au Systme Mcanique

i=1

N

$

r p # mi

i=1

N

$r V i : Rsul tan te Cintique du Systme Mcanique

%

&

' '

(

' '

On peut prciser lnonc de ce thorme, tout en restant dans le cadre le plus gnral, en appliquant :

- le principe daction et raction : la rsultante des forces intrieures tant identiquement nulle

!

) r R #

r R ext ;

- le principe de Knig : la rsultante cintique du systme se rduit celle de son Centre De Masse (CDM) G affect de la masse totale du systme

!

) r p #

r p G .

La forme dfinitive du TRD, qui fait appel aux seules forces extrieures, devient donc :

!

r R ext "

r p G

#r 0 o :

!

r R ext #

r f iext : Rsultante des forces extrieures appliques au systme

i=1

N

$

r p G #M

r V G avec M# mi

i=1

N

$ ; r V G # O

r G

%

&

' ' '

(

' ' '


Proposition de Knig

Cette proprit est lorigine de la proposition de Knig, tirant parti du fait que le CDM est le centre des forces dinertie en translation :

Pour tout systme mcanique de centre de masse G, on peut traiter sparment :

- le mouvement de G, par le TRD crit dans le repre Galilen de rfrence ; le CDM G du systme se comporte donc en translation comme un point matriel fictif de Knig, de masse M concentre en G et soumis aux seules forces extrieures ;

- le mouvement par rapport G dans le repre Gxyz : repre de Knig non Galilen en translation (puisque li G) mais Galilen en rotation (puisque de base xyz). On tiendra compte, dans ce mouvement relatif, des forces appliques intrieures et extrieures et des forces dinertie de translation de G.

(RGalilen

)Rfrence

x

Oy

z

Position ettrajectoire du CDM (R

Knig)

du centre de masse

x

Gy

z

Mouvement relatifau CDM

I/1.1.1.2 Moment Rsultant

Considrant prsent lorigine Galilenne O, le PFD appliqu aux vitesses de rotation autour de O (composantes orthoradiales des vitesses Galilennes du systme) donne le Thorme du Moment Cintique (TMC) autour dun point fixe O :

!

r M Oext "

r # O

$r 0 o :

!

r M Oext $ O

r P i %

r f iext : Pseudo-vecteur moment rsultant en Odes forces extrieures appliques au systme

i=1

N

&

r # O $ O

r P i % mi

r V i

i=1

N

& : Pseudo - vecteur moment cintique du systme

'

(

) )

*

) )

Compte tenu de la proprit de Knig, le TMC conserve la mme forme en G, comme si G tait un point fixe vis--vis du moment cintique :

!

r M Gext "

r # G

$r 0 o :

!

r M Gext $ G

r P i %

r f iext

i=1

N

&

r # G $ G

r P i % mi

r V i

i=1

N

&

'

(

) )

*

) )

En revanche, si on souhaite crire le TMC autour dun point A qui nest ni fixe ni le CDM du systme, il faut utiliser la proprit gnrale de transport des moments (

!

r M A.

r R sont indpendants

du point considr, et

!

r M A =

r M B + A

r B %

r R ,

!

r R ). Le TMC autour dun point mobile A scrit :

!

r M Aext "

r # A

+MO r A % O

r G ( ) $

r 0 o :

!

r M Aext $ A

r P i %

r f iext

i=1

N

&

r # A $ A

r P i %

r V i =

r # G + A

r G %

r p =

r # G + M A

r G %

r V G

i=1

N

&

'

(

) )

*

) )


I/1.1.1.3 Puissance Dynamique

Pour rendre scalaire (nergtique) la forme vectorielle lmentaire

!

r f "m

r V #

r 0 du PFD appliqu

une particule de masse m, on peut calculer une puissance en multipliant scalairement par la

vitesses Galilenne relle

!

r V :

!

r f .

r V "m

r V .

r V #0

Le premier terme est la puissance de la force applique

!

r f , et pour faire apparatre le second

comme la puissance des forces dinertie, il suffit de lcrire comme la drive de lnergie cintique :

!

si Ecin #1

2m

r V .

r V alors Ecin

= mr V .

r V

Ainsi, la puissance des forces appliques est gale la puissance cintique :

!

Pf "Ecin # 0

En sommant sur toutes les particules, ce thorme est valable pour tout systme mcanique ; on peut le prciser, tout en traitant le cas le plus gnral, mais en lcrivant dans sa partie utile.

Alors que les deux thormes vectoriels prcdents (rsultante et moment dynamique) sappliquent aux forces extrieures au systme, le thorme de la puissance dynamique sapplique naturellement aux seules forces qui travaillent, quelles soient extrieures ou intrieures. La slection des forces prendre en compte est donc diffrente.

Lcriture complte du thorme, toujours pour un systme absolument quelconque, (vitesses Galilennes), insiste sur le fait que les puissances sont videmment calcules dans le Galilen de rfrence :

!

PGal ext+int "Ecin #0 avec :

PGal ext+int #r f i .

r V i

i=1

N

$

Ecin #1

2mi.

r V i

2

i=1

N

$

%

&

' '

(

' '

I/1.1.2 Formes Intgrales des Thormes gnraux

Les 3 thormes gnraux de la dynamique sont dun emploi dlicat pour les systmes complexes pour au moins 3 raisons :

(i) la sparation des forces intrieures et extrieures, qui ncessite en particulier de dfinir

des sous-systmes pour trouver les actions intrieures au systme initial ;

(ii) la sparation entre forces travaillantes et forces non-travaillantes, qui nest pas vidente a priori ;

(iii) la mise en uvre dquations diffrentielles vectorielles du second ordre

(acclrations). Cependant, il peut arriver que la conservation de telle ou telle quantit mcanique puisse faire merger des quations diffrentielles du premier ordre.

La recherche de ces intgrales premires du mouvement est une premire approche qui rpond assez bien au point (iii), et partiellement au point (ii). Le formalisme de Lagrange permettra quant lui des avances considrables sur les 3 points.


I/1.1.2.1 Conservations Cintiques

Considrant un systme mcanique quelconque, sil existe un vecteur

!

r u fixe unitaire dfinissant

une direction fixe (

!

r u fixe

"r 0 ), et si

!

r u fixe est tel que, pendant un intervalle de temps continu

!

t0; t1[ ] ,

!

r R ext.

r u fixe reste identiquement nul, alors pendant le mme intervalle de temps,

!

r p .

r u fixe reste

constant.

On peut proposer lnonc suivant :

!

si # r u fixe

r R ext.

r u fixe " 0 $t alors

r p .

r u fixe "constante $t ou

r p .

r u fixe( )

"0 $t%

& '

(

) *

Ce thorme exprime la conservation dune composante de la rsultante cintique, lorsque la rsultante des forces relles extrieures appliques au systme est perpendiculaire la direction concerne.

La conservation prcdente exprime en translation peut tre recherche directement en rotation autour du point fixe O ou de G (CDM du systme quelconque considr) :

!

si # r u fixe

r M Oext .

r u fixe "0 $t alors

r + Oext .

r u fixe " constante $t

si # r u fixe

r M Gext .

r u fixe "0 $t alors

r + Gext .

r u fixe " constante $t

,

- .

/ .

En un point mobile A quelconque, ces conditions deviennent :

!

si # r u fixe

r M Aext .

r u fixe "0

etr V A 0

r V G( ).

r u fixe "0

,

-

. .

/

.

.

1

2

. .

3

.

.

$t alors r + Aext.

r u fixe "constante $t

En pratique, la condition sur le produit mixte est remplie lorsque lune des 2 vitesses

!

r V A ou

!

r V G

est et reste porte par

!

r u fixe. Dans tous les cas, ce thorme exprime la conservation dune

composante du moment cintique autour dun axe de direction fixe.

I/1.1.2.2 Puissance Cintique et nergie Mcanique

Le thorme de la puissance cintique sous forme intgrale exprime la conservation de lnergie mcanique au sens de la mcanique rationnelle macroscopique (excluant les puissances thermiques, lectriques, rayonnantes, chimiques, nuclaires). Il peut snoncer comme suit, de manire gnrale et pour un systme quelconque :

!

Si # Epot fonction scalaire PGal ext+int "4Epot $t

drive totale exacte,d'une fonction scalaire,

par rapport au temps

%

& '

(

) *

alors le thorme de la puissance dynamique scrit :

!

Emca " Epot +Ecin "constante $t conservation de

l' nergie mcanique( )Au niveau des thormes gnraux, la condition dexistence dun potentiel mcanique est remplie lorsque les forces connues drivent dun potentiel et les forces (ractions) inconnues ne travaillent pas. Le concept de potentiel sera toutefois dfinitivement dcrit dans le formalisme de Lagrange.

On note cependant ds prsent les deux points suivants :

- le choix du signe - dans la dfinition du potentiel permet de lidentifier thermodynamiquement une nergie apporte au systme par les forces appliques ;

- il existe dans tous les cas une quation de conservation de lnergie totale du systme (mcanique et non-mcanique), mais cette quation nest gnralement pas explicitable analytiquement.


I/1.1.3 Classifications des Forces

I/1.1.3.1 Partitions des Forces

Les noncs prcdents font appel des classifications exhaustives (partitions) des forces - au sens gnral, forces ou moments - indpendantes les unes des autres, qui sont rcapitules dans ce paragraphe.

Sont ainsi schmatises 4 partitions distinctes - indpendantes 2 2 - de lensemble des forces mises en jeu en dynamique rationnelle, donnes par le schma ci-dessous :

!

Critre 1 :

Dfinition Conceptuelle

du Problme

!

" Forces donnes ou Charges

connues a priori

" Ractions

inconnues a priori

!

#

$

% % % %

&

% % % %

!

Critre 2 :Lieu d'application

des forces

!

" Forces de Contact

" Forces distance Forces de Champ ou volumiques

!

#

$

% % % %

&

% % % %

!

" Forces Ponctuelles Surface d'application possdant 2 dimensions trs petites par rapport la taille du systme mcanique

" Forces Liniques Surface d'application possdant 1 dimension trs petite par rapport la taille du systme mcanique

" Forces Surfaciques

!

#

$

% % % % %

&

% % % % %

!

Critre 3 :Dfinition (primtre)

du systme mcanique # $ &

" Forces Intrieures actions entre lments du systme

" Forces Extrieures autres actions

!

Critre 4 :Puissancedes forces

!

- Forces

Non travaillantes

P ' 0

- Forces

Travaillantes

P ( 0(motrices si P > 0

rsistantes si P < 0)

!

#

$ % %

& % %

!

" Dissipatives P ' Pmca + Pnon- mca

" Non - Dissipatives P' Pmca dont certaines drivent d'un potentiel

!

#

$ %

& %


I/1.1.3.2 Dissipations

La dissipation, au sens de la dynamique rationnelle - macroscopique - des solides, est dorigine solidienne et fluide. La dissipation solidienne concerne les contacts entre solides, dont la modlisation la plus simple est celle de Coulomb-Morin.

Ce modle considre une contact entre solides ; lintensit de la dissipation est prise proportionnelle la raction normale de contact, selon un coefficient tribologique.

On distingue :

! pivotement

! roulement

vrelative- le glissement sec, entranant une force tangentielle :

- le pivotement sec, entranant un moment autour de la normale, induit par glissement sec sur une petite surface de contact :

- le roulement solide, entranant un moment tangentiel induit par lgre dformation irrversible au contact :

Le module de la force ou du moment induit est constant ou dcroissant avec la vitesse relative. On observe galement que les moments sont obtenus par drogation au principe de non-dformabilit des solides considrs ; toutefois, cette concession est singulire car le moment est considr comme concentr (appliqu en un point).

Quant aux dissipations liquidiennes au sens de la dynamique rationnelle des solides, elles concernent en premier lieu les lments hydrauliques discrets liant les solides, dont llment linaire est lamortisseur visqueux. Dans ce type damortisseur, lintensit de la force est lie aux cisaillement induits par les gradients de vitesses dans la circulation du fluide ; elle est donc, en premire approximation, linaire par rapport aux vitesses relatives. Il faut y ajouter les efforts externes au solide, dus aux dplacements du fluide dans lequel il baigne. Ces efforts comportent en premire approximation une trane en fluide parfait (dus la pression de Bernoulli) proportionnels au carr des vitesses par rapport au fluide, laquelle sajoute les efforts visqueux

dans le fluide extrieur (dans la couche limite), linaires par rapport aux mmes vitesses.


I/1.2 Dynamique Analytique

I/1.2.1 Formalisme de Lagrange

Dans ce paragraphe, la formulation en dplacement permet, partir du principe scalaire des Puissances Virtuelles, dcrire directement les quations dynamique du mouvement. Ces quations donnent lieu une analyse des liaisons et des intgrales premires qui gnralise lapproche prcdente par les thormes gnraux.

I/1.2.1.1 Paramtrage de Lagrange - Degrs de Libert - Conventions sur les Liaisons

Paramtres et Variables de Lagrange

Un systme dynamique discret est un systme rationnel constitu de solides indformables relis par des lments dformables sans inertie, ou un systme continu reprsent par un nombre fini de degrs de libert.

Les paramtres utiliss par Lagrange pour dcrire sa configuration un instant donn sont les paramtres gomtriques qj(t) (j = 1,...,n0), dfinis comme des distances ou des angles exclusivement, reprant la position des solides dans le cas du systme rationnel :

!

Paramtres de Lagrange : q " qj( )"

q1(t)q2(t )

.

.qn0(t )

#

$

% % % % %

&

'

( ( ( ( (

o : qj(t) est la distance variable entre deux points matriels du systme

ou langle variable form par deux paires de points matriels du systme

n0 ) IN

Les quations dynamiques tant de degr deux, ltat du systme est dcrit par les 2 n0+1 Variables dtat { q

1(t),...,qn0(t) ; q

1(t),...,q

n0(t) ; t } notes {qj(t) ; q

j(t) ; t} ou mme { q ; q

;

t }. Ce sont les Variables de Lagrange, considres comme indpendantes entre elles dans le cadre de la dynamique classique, et dfinissant linformation ncessaire et suffisante linstant t pour prdire lvolution du systme linstant suivant t+dt.

Liaisons Analytiques

Une l iaison analytique est quivalente une restriction sur les tats possibles du systme, qui peut sexprimer laide dune fonction f(q;q;t). En mcanique rationnelle, on considre uniquement des liaisons rigoureuses qui sexpriment par f"0 (liaison bilatrale) ou f!0 (liaison unilatrale). Ce dernier cas ne sera pas considr, car il peut tre tudi en bilatral phase par phase.

De mme que des partitions indpendantes des forces a pu tre dfinie au sens des thormes gnraux, il est ncessaire de dfinir plusieurs partitions indpendantes de lensemble des liaisons analytiques pour la mise en uvre du formalisme de Lagrange.

La premire partition des liaisons analytiques est directement drive des thormes gnraux, et fonde sur un critre de puissance mcanique : une liaison parfaite ne dissipe pas, la puissance des ractions associes (maintenant la liaison) restant mcanique. Il sagit naturellement dune composante de force si la liaison maintient une distance relative, ou dune composante de moment sil sagit dun angle relatif.

La deuxime partition, indpendante de la premire, est propre au formalisme de Lagrange, et fonde sur un critre cinmatique. Une relation de liaison est dite holonme si la fonction f

associe ne fait pas intervenir les drives qj des paramtres (vitesses).


Le caractre holonme est relativement arbitraire, car une relation gomtrique (a priori holonme) peut tre drive et tre formellement exprime comme non-holonme (n-h), et rciproquement, une relation cinmatique peut ventuellement tre intgre, do les 2 dfinitions corollaires :

une relation non-holonme de liaison est intgrable sil est possible de lintgrer analytiquement et explicitement en une relation holonme (de type gomtrique) ;

une relation holonme de liaison est explicite si elle permet dexprimer explicitement lun des paramtres (gomtriques) de Lagrange en fonction des autres.

Ainsi, la condition de contact solide

!

y"a# 0( ) est a priori holonme, et peut tre dcline sous forme n-h

!

y # 0( ) :y

a

Ensuite, la condition de roulement sans glissement

!

x " a$ # 0( ) , a priori n-h, peut tre dcline sous forme holonme

!

x"a$+ constante # 0( ) :

x

$

Degrs De Libert

Le formalisme de Lagrange canonique obit aux 2 conventions locales qui suivent.

C1 : limination initiale de paramtres :

C1.1 toutes les relations holonmes doivent tre utilises initialement pour liminer autant de paramtres de Lagrange.Les relations holonmes et les composantes de ractions correspondantes (qui les maintiennent) disparaissent ainsi initialement et dfinitivement, lors de la formulation-mme du problme. Pour appliquer cette rgle y compris aux liaisons non-explicites, il est ncessaire de driver toute relation de liaison qui ne serait pas explicitable en une relation n-h qui sera conserve telle-quelle comme quation du mouvement (et jointe ultrieurement aux relations supplmentaires).

C1.2 aucune relation n-h de liaison ne doit tre utilise pour liminer un paramtre de Lagrange.Les paramtres impliqus sont ainsi conservs explicitement dans la formulation, ainsi que les relations n-h, incluses dans les quations du mouvement. Les composantes de ractions qui maintiennent les liaisons continuent de mme faire partie des inconnues du problme.

Avec lapplication de C1, les relations holonmes disparaissent dfinitivement du problme, ainsi que les composantes de ractions correspondantes. Subsistent en revanche toutes les relations n-h, qui figurent dsormais parmi les quations dynamiques, et les ractions correspondantes figurent explicitement parmi les inconnues du problme.


Le caractre holonme ou n-h dune relation permet ainsi de slectionner les paramtres et ractions que lon souhaite traiter dans la formulation.

C2 : Dfinition des Degrs de Libert du Systme :

Quand les relations holonmes ou n.-h. ont t formellement slectionnes pour le calcul, il est possible de dfinir :

C2.1 n0 dsigne dsormais le nombre de paramtres de Lagrange indpendants qui restent lorsquon a utilis toutes les relations holonmes de liaisons, selon C1.1 ;

C2.2 p+s dsigne le nombre total de relations n-h indpendantes : p relations n-h principales qui taient naturellement n-h, et qui sont formellement

conserves n-h pour le calcul(soit parce quon souhaite garder linformation ncessaire au calcul par Lagrange de la composante de raction maintenant la liaison, en conservant le paramtre correspondant, soit parce que la relation n-h ntait pas intgrable) ;

s relations n-h supplmentaires naturellement holonmes et formellement drives en n-h pour le calcul(soit parce quon souhaite galement calculer la composante de raction associe, en conservant explicitement le paramtre correspondant, soit parce que la relation holonme dorigine ntait pas explicite et est alors rendue n-h, selon C1.1) ;

C2.3 Le nombre n de Degrs De Libert (DDL) du systme mcanique est par dfinition la diffrence entre le nombre n0 de paramtres indpendants et le nombre total (p+s) de relations de liaisons (toutes n-h, les holonmes ayant disparu en mme temps que les paramtres quelles ont servi liminer) :

!

n " n0 - p+s( )n est intrinsque au systme mcanique ; cest le nombre de paramtres scalaires indpendants ncessaire et suffisant pour dcrire les configurations du systme en tenant compte des liaisons mcaniques.

Partitions des Liaisons

Le formalisme de Lagrange requiert la dfinition dune troisime partition des liaisons, indpendante des 2 premires. Le critre est ici le caractre connu ou inconnu des paramtres ; si un mouvement non-nul (non-bloqu, explicite par rapport t) est impos au systme, cela revient rendre connu chaque instant un paramtre de Lagrange (gomtrique par dfinition). On distingue donc les liaisons avec mouvement impos des autres liaisons. Il est ainsi possible de rcapituler ci-dessous les 3 partitions indpendantes des relations de liaisons.

!

Critre A :Puissance

des ractions

!

# Parfaites P " P

mca

# Dissipatives P" Pmca+ Pnon-mca

!

$

% &

' &

!

Critre B :Vitesses

!

# Holonomes Gomtriques( )

(j=1,..,n0 )f

)qj"0 ; la liaison s'crit : f q ; t( )"0

# Non- Holonomes Cinmatiques( )

*j )f

)q j+0 ; la liaison s'crit : f q, q ; t( )"0

!

$

%

& & & &

'

& & & &

!

# Explicites *g *k f"0 , q k =g q;t( )( )

# Non- Explicites

!

# Intgrables *F f"0 , F q;t( )=constante( )

# Non- Intgrables

!

$

%

& & &

'

& & &

!

$

%

& & &

'

& & &


!

Critre C :Mouvements

Imposs

!

" Mouvement Impos Explicite

" autres liaisons libres ou bloques

!

#

$

% % % %

&

% % % %

!

" Holonomes dpendant explicitement de t

'f

't(0 par exemple : qk" )t+*( )+0 avec )(0( )

" n - h et non- homognes par rapport aux q j

par exemple : qk ")+0 avec ) (0( )!

#

$

% % %

&

% % %

Il faut insister sur la dfinition des relations de liaisons dpendant explicitement du temps,

considrant la drive explicite

!

'

't par rapport la

!

2n0 + 1( ) -me et dernire des variables

indpendante de Lagrange

!

q1,..,qn 0 , q1,..,q

n0 , t( ) . La drive totale

!

d

dt+

est trs diffrente car

elle prend aussi en compte la dpendance par rapport t des paramtres

!

qj t( ) et de leurs drives

!

qj t( ) . Lintgrale de Painlev fournira un exemple concret.

I/1.2.1.2 Puissances Virtuelles et Inconnues de Lagrange

Le Thorme des Puissances Virtuelles (TPV) est fond sur le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), dont il constitue une forme scalaire gnrale quivalente :

!

r f "m

r V +

r 0 , -

r . /

r f .

r . / "m

r V .

r . / +0

De mme que le thorme de la puissance dynamique considrait la puissance relle des forces, le produit scalaire est identifi une puissance virtuelle si le champ vectoriel virtuel est assimil une vitesse virtuelle ; le point de drivation est remplac par une toile, au niveau de la notation.

Si le champ appliqu est un dplacement (infinitsimal afin de conserver le caractre instantan), le produit scalaire est un travail infinitsimal, mais lapproche puissance implique intrinsquement linstantanit, et est donc plus claire en dynamique.

Le TPV indique que dans tout mouvement virtuel (cest dire tout champ de vitesses appliques virtuellement au systme), la puissance virtuelle induite par toutes les forces (appliques et dinertie) est nulle tout instant. Les conventions adoptes pour les paramtres et relations de liaison conduisent de manire naturelle lnonc du TPV adapt au formalisme de Lagrange :

Pour tout systme mcanique, tout instant, pour tout mouvement virtuel au sens des

paramtres de Lagrange

cest dire

!

n0 vitesses virtuelles

!

qj/ qui respectent les liaisons holonmes du systme

mcanique mais peuvent ne pas respecter certaines liaisons n-h.

la puissance virtuelle de toutes les forces travaillant dans ce mouvement virtuel demeure identiquement nulle.

Plus prcisment, les forces qui travaillent (virtuellement) dans ce mouvement virtuel sont :

- les forces dinertie

- les forces donnes

- les ractions de liaisons dissipatives (qui travaillent aussi dans le mouvement rel)

- les ractions de liaisons non-dissipatives dont le travail virtuel dans le mouvement virtuel est d au non-respect par ce mouvement virtuel de certaines relations n-h de liaisons. Ces ractions, qui travaillent dans le mouvement virtuel, ne travaillent pas dans le mouvement rel.


Le choix de mouvements virtuels respectant les relations de liaisons holonmes permet de ne pas faire travailler les ractions correspondantes, et est cohrent avec les paramtres de Lagrange gomtriques. Elles disparaissent de la puissance du mouvement virtuel, ce qui est cohrent avec C1.1. Les seules composantes de ractions qui travaillent, et dont on garde linformation analytique, sont celles qui induisent des relations n-h de liaisons, en cohrence avec C1.2.

Inconnues de Lagrange

Linventaire des grandeurs inconnues donne :

!

n0

!

" n + p + s( )( ) paramtres (gomtriques)

!

qj

r composantes de ractions associes aux liaisons dissipativesPar exemple, composante tangentielle de raction de glissement.

p composantes de ractions associes aux liaisons non-dissipatives n-h principalesPar exemple, composante tangentielle induisant un roulement sans glissement,liaison a priori cinmatique (vitesse de glissement) et conserve sous forme drive.

s composantes de ractions associes aux liaisons non-dissipatives n-h supplmentairesPar exemple composante normale maintenant un contact,liaison a priori gomtrique (contact) et drive sous forme n-h.

En regard de ces

!

n0 + r + p + s( ) = n+ r + 2 p+ s( ) grandeurs inconnues, le formalisme de Lagrange fournit le mme nombre dquations, savoir :

n0

quations de Lagrange, associes aux paramtres

!

qj

r lois de dissipation Par exemple les lois de Coulomb du frottement solide.

p relations n-h principales de liaisons Exprimant par exemple le roulement sans glissement.

s relations n-h supplmentaires de liaisons Exprimant par exemple le contact solide.

Ces quations constituent le systme gnr par le formalisme de Lagrange, avec restructuration canonique des liaisons, les relations holonmes ayant disparu. Le paragraphe suivant explicite le noyau du systme, constitu par les quations de Lagrange elles-mmes.

I/1.2.1.3 quation de Lagrange

Oprateur de Lagrange

Pour tablir lquation de Lagrange du mouvement, on considre les mouvements virtuels particuliers canoniques, dfinis ci-dessous, gnrant canoniquement les mouvements virtuels les plus gnraux :

Le k-ime mouvement virtuel canonique de Lagrange est le mouvement virtuel

!

qj#( )

k des

paramtres de Lagrange dans lequel :

!

qj# " $ jk %

qj# = 0 pour j&k

qk# = 1

' ( )

* )

+

,

- -

.

/

0 0

et qui respecte toutes les liaisons holonmes du systme mcanique.

Le TPV dcompos dans cette base (libre et gnratrice) de mouvements virtuels particuliers scrit, en sommant sur les particules mi du systme :

!

1k = 1,...,n0 miO r P i

2r f i( )

i

3 . qj#( )k" 0


Il est possible dcrire ce thorme selon lexpression quivalente prsente ci-dessous, qui constitue lquation de Lagrange gnrique associe au k-ime paramtre de Lagrange :

!

Lk Ecin( ) " Qk # 0

o :

!

Lk est loprateur de Lagrange associ au paramtre

!

qk

oprateur dfini par :

!

Lk # d

dt

$

$qk

%

& '

(

) * "

$

$qk =

$

$qk

%

& '

(

) *

"$

$qk

!

Ecin est lnergie cintique du systme mcanique, exprime en fonction

des paramtres

!

qj , de leurs drives

!

qj et du temps t :

!

Ecin qj,qj,t( )

!

Lk Ecin( ) est la composante des forces dinertie, qui travaille dans le mouvement virtuel canonique

!

qj+( )

k (contribution la puissance virtuelle dans le mouvement virtuel). Cette

expression ne ncessite que les vitesses (et non les acclrations). Lagrange a ralis un calcul optimal des forces dinertie, partir de la fonction scalaire

!

Ecin des vitesses, reprsentant une avance significative par rapport lapplication directe du TPV, pour laquelle prcisment la prise en compte des forces dinertie ncessite dexpliciter les acclrations.

!

Q k reprsente la composante des forces appliques, qui travaille dans le mme mouvement

canonique. La puissance virtuelle des forces relles dans ce mouvement virtuel canonique

!

qj+( )

k

sexprime, par dfinition, dans le cas le plus gnral, par combinaison linaire dont les

!

Q k sont les coefficients :

!

Pk+( ) # Qkqk

+

Cette expression de la puissance virtuelle est valable pour le mouvement virtuel canonique

!

qj+( )

k,

et elle se gnralise par sommation, en adoptant la convention de sommation dEinstein (indices rpts), considrant la puissance virtuelle totale de tous les mouvements virtuels canoniques :

!

P+( ) = Q(j)qj

+ # Q jqj+

j=1

n0

,

On peut ainsi calculer, de manire lmentaire, les composantes

!

Q k, en explicitant la puissance

virtuelle de chaque mouvement virtuel canonique, pour en extraire directement les facteurs

!

Q k, comme coefficients des vitesses virtuelles. La gnration analytique de ces coefficients sera examine au paragraphe suivant.

Dmonstration de lOprateur de Lagrange

Le TPV, dcompos dans la base des mouvements virtuels canoniques, peut scrire :

!

mi O r P i

%

& '

(

) * --

,$ O

r P i( )

-

$qk "

r f i( )

--

,$ O

r P i( )

-

$qk

%

&

' '

(

)

* *

i, .qk* = 0

o :

!

- = x,y,z (axes de rfrence orientation Galilenne).

En effet, comme le mouvement canonique

!

qj+( )

k induit une vitesse virtuelle unitaire sur le

paramtre

!

qk , la contribution des forces dinertie sexprime par :

!

Q inertie k = mi O r P i

%

& '

(

) * --

,$ O

r P i( )

-

$qki,


Il suffit prsent de montrer que ce terme est calcul en appliquant loprateur de Lagrange la fonction scalaire nergie cintique. On considre la drivation :

!

d

dtmi O

r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

)* O

r P i( )

(

*qk

+

,

- -

.

/

0 0

(a )

1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4

= mi O r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

)* O

r P i( )

(

*qk + mi O

r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

) ddt

* O r P i( )

(

*qk

(b)

1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4

Dans la premire tape, on dmontre que le terme

!

(a) est identique

!

*Ecin*qk

:

!

*Ecin*qk

=*Ecin

* O r P i

"

# $

%

& ' (

* O r P i

"

# $

%

& ' (

*qk() = mi O

r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

)* O

r P i

"

# $

%

& ' (

*qk

Or

!

* O r P i

"

# $

%

& ' (

*qk=* O

r P i( )

(

*qk 1

*Ecin*qk

= mi O r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

)* O

r P i( )

(

*qk 2 (a)

Dans la seconde tape, on dmontre que le terme

!

(b) est identique

!

*Ecin*qk

:

!

*Ecin*qk

=*Ecin

* O r P i

"

# $

%

& ' (

* O r P i

"

# $

%

& ' (

*qk() = mi O

r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

)* O

r P i

"

# $

%

& ' (

*qk 2 (b)

En combinant les deux rsultats prcdents, et en utilisant la formule de drivation initiale, il vient immdiatement :

!

mi O r P i

"

# $

%

& ' ((

)i

)* O

r P i( )

(

*qk=

d

dt

*Ecin*qk

3*Ecin*qk

CQFD( )

Loprateur de Lagrange est donc un moyen pertinent pour calculer la contribution des forces dinertie dans le TPV. Les forces appliques vont galement faire lobjet dun traitement optimis, trait dans le paragraphe suivant.

I/1.2.1.4 Classification des Forces Appliques au sens de Lagrange

Les forces appliques font lobjet de 3 concepts qui compltent la Dynamique Rationnelle de Lagrange : le potentiel, la puissance de Rayleigh, les multiplicateurs de Lagrange. Leur prsentation ncessite tout dabord de dfinir la classification de Lagrange des forces appliques.

La contribution

!

Q k des forces relles la puissance virtuelle du k-ime mouvement virtuel canonique peut tre dcompose selon lnonc du TPV dans sa formulation adapte au formalisme de Lagrange :

!

Q k 2 Q(donn)k + Q (diss)k + Q(n3h)k

o :

!

Q (donn)k est la contribution des forces applique donnes (connues) la Puissance

Virtuelle (PV) du k-ime mouvement virtuel canonique ;

!

Q (diss)k est la contribution ( la mme PV) des ractions (inconnues) dissipatives ;

!

Q (n3h)k est la contribution ( la mme puissance virtuelle) des ractions (inconnues)

non-dissipatives dont la puissance virtuelle dans le mouvement virtuel est due au non-respect par ce mouvement de certaines relations n-h de liaisons.

Lexplicitation analytique de certaines parties de ces termes est possible.


Potentiel Gnralis

La contribution des forces appliques donnes peut, dans le cas le plus gnral, se dcomposer en une partie qui drive dun potentiel, et la partie complmentaire qui ne drive daucun potentiel :

!

Q (donn)k " Q(pot)k + Q(n#pot)k

La partie, de la contribution des forces donnes, qui drive dun potentiel, scrit :

!

Q (pot)k " Lk Epot( )

o

!

Epot est lnergie potentielle du systme mcanique.

Si le systme admet des mouvements imposs, ce potentiel est considr temps constant , et ne prend donc videmment pas en compte les ractions crant les mouvement imposs. Il faut remarquer que la dfinition de Lagrange du potentiel (qui prsente lavantage de faire apparatre loprateur de Lagrange dj rencontr pour la prise en compte des forces dinertie) inclut et

gnralise la dfinition classique du potentiel de position :

!

Q k =#$Epot$qk

Cette dfinition prend galement en compte le cas dun potentiel dpendant des vitesses, comme le potentiel lectromagntique. Ainsi une particule charge voluant dans un champ

lectromagntique

!

r e ,

r b { } est soumise la force lectromagntique :

!

r f el = %

r e +

r V &

r b ( )

o :

!

% est proportionnelle la charge lectrique de la particule

!

r V est la vitesse de la particule

Les champs physiques

!

r e et

!

r b drivent eux-mmes de deux potentiels physiques, le potentiel

scalaire

!

' x, y, z; t( ) et le potentiel vecteur

!

r ( x,y, z;t( ) , tels que :

!

r e = #gra

r d ' -

$r (

$t ;

r b = r o

r t

r (

Loprateur de Lagrange restitue formellement la force lectromagntique, si on en dfinit le

potentiel mcanique dorigine lectromagntique suivant :

!

Epot#el = % ' # r V .

r ( ( )

Lagrangien

Ainsi, le mme oprateur de Lagrange convient, dans le cas le plus gnral, pour exprimer les contributions dune part des forces dinertie (par lnergie cintique) et dautre part des forces donnes drivant dun potentiel (par lnergie potentielle). La forme gnrale de lquation de Lagrange peut donc tre rcrite comme suit :

!

Lk ELag( ) - Q(n-pot)k + Q(diss)k + Q(n#h)k( ) " 0

o

!

ELag " Ecin - Epot

est lnergie de Lagrange ou Lagrangien du systme.

Cette nouvelle fonction scalaire thermodynamique du systme prend en compte lensemble des forces dinertie et les forces donnes conservatives (drivant dun potentiel).

Puissance de Dissipation de Rayleigh

La contribution des ractions dissipatives peut, toujours dans le cas le plus gnral, se dcomposer en une partie visqueuse (ractions linaires par rapport aux vitesses) et la partie complmentaire, dissipative non-visqueuse :

!

Q (diss)k " Q(visq)k + Q(diss#n#v )k


La partie visqueuse de la dissipation peut tre exprime analytiquement comme drivant de la puissance de dissipation

!

Pvisq de Rayleigh :

!

Q (visq)k " - #Pvisq#qk

Celle-ci peut tre exprime par analogie (formelle) avec un potentiel de position. Cette analogie est exclusivement formelle, car la puissance de Rayleigh nest pas un potentiel, mais le paralllisme lmentaire suivant est possible et utile, les vitesses venant la place des positions pour la puissance de Rayleigh :

klmentlastiquelinaire(ressort)

lmentdissipatifvisqueux

(amortisseur)

r

!

flast = $k x = $#Epot#x

avec 2 Epot = k x2

!

k ; x ( ) % r ; x ( )

!

fvisq = $r x = $#Pvisq#x

avec 2 Pvisq = r x2

Il faut remarquer quen dynamique rationnelle, ces lments dformables sont considrs sans masse. Ils reprsentent des liaisons - lastiques pour les ressorts en translation ou rotation, dissipatives pour les amortisseurs en translation - entre les solides auxquels les inerties sont dvolues. Les paramtres de Lagrange reprent les configurations des solides, lallongement des lments dformables sen dduisant alors.

I/2.1.2.5 Multiplicateurs de Lagrange

Pour calculer, toujours dans le cas gnral, la contribution

!

Q (n$h)k des composantes de ractions

inconnues associes aux liaisons n-h qui travaillent dans le mouvement virtuel canonique, il est possible de remplacer ces p+s composantes explicites par p+s de leurs combinaisons, considres comme autant dinconnues mathmatiques auxiliaires ll ( l = 1,...,p+s ) appeles multiplicateurs de Lagrange.

Les relations n-h de liaisons sexprimant, dans le cas gnral,

!

fl qj,qj,t( ) = 0, les contributions

mentionnes plus haut sont :

!

Q (n$h)k " &l #fl#qkl =1

p+s

'

quation Complte de Lagrange

Compte tenu du fait que les termes

!

Q (pot)k ,

!

Q (visq)k et

!

Q (n$h)k peuvent sexprimer analytiquement,

il est possible dexpliciter lquation de Lagrange comme suit :

!

Lk ELag( ) - Q(n-pot)k + #Pvisq#qk

- Q(diss-n-v)k - &l#fl#qkl =1

p+s

' " 0


I/1.2.2 Intgrales Premires de Lagrange

Lquation de Lagrange peut fournir des conservations du premier ordre, gnralisant celles que donne lapproche vectorielle de Newton des Thormes Gnraux.

I/1.2.2.1 Intgrales Cintiques de Routh - Convention sur les Systmes Commands

Il peut arriver que le systme soit non-dissipatif, potentiel et holonme vis--vis dun

certain paramtre

!

qk

!

si " k # 1,2,..,n0{ } Q(n$pot)k = Q(diss)k = Q(n$h)k % 0( ) , alors lquation de Lagrange associe se rduit

!

Lk ELag( ) % 0 .

Si, de plus, il existe une fonction scalaire

!

G qj,t( ) telle que

!

&ELag&qk

% G , alors lquation de

Lagrange donne immdiatement

!

&ELag&qk

$G % constante .

Routh a explicit le cas usuel de conservation cintique, pour lequel

!

G % 0, qui conduit au thorme des Intgrales Premires Cintiques au sens de Lagrange :

!

si " k Lk ELag( ) % 0 et si de plus &ELag&qk

% 0

alors la k-ime quation de Lagrange peut tre remplace, par lIntgrale Premire Cintique de Lagrange :

!

&ELag&qk

% constante % Ck

Comme les intgrales premires cintiques des thormes gnraux, ces formes intgrales de Lagrange reprsentent des conservations de quantits cintiques en translation si

!

qk est une distance ou en rotation sil sagit dun angle. Elles rejoignent les conservations de la mcanique vectorielle Newtonienne (rsultante et moment) mais apparaissent galement si laxe de translation ou de rotation associ

!

qk est seulement localement inertiel.

De plus, dans le cas usuel de Routh o

!

&ELag&qk

% C k , lordre du systme dquations du

mouvement peut tre rduit par le procd de Routh, en remplaant lnergie de Lagrange (ou Lagrangien) par lnergie de Lagrange-Routh, dfinie par :

!

2ELag$Routh % 2ELag - Ckqk

Ce nouveau Lagrangien, utilis formellement comme le prcdent dans les quations, ne contient plus ni

!

qk ni

!

qk . Lintgrale premire cintique pourra tre utilise en fin de calcul, pour dterminer ces variables.

Ce procd peut tre rpt pour chaque intgrale premire cintique, ce qui est implicitement indiqu dans la dfinition de lnergie de Lagrange-Routh, si lon considre que lindice rpt signifie une sommation dEinstein (mais avec un nombre de termes gal au nombre dintgrales premires cintiques).


I/1.2.2.2 Intgrale de lnergie

Intgrale de Painlev - Puissance du Systme Command

Le formalisme de Lagrange fournit galement une intgrale premire de lnergie du mouvement. Considrons prsent le cas o le systme est non-dissipatif et potentiel (mais ventuellement n-h). Cette proprit doit tre considre par rapport tous les paramtres (contrairement au paragraphe prcdent, o un paramtre particulier suffisait). Le systme doit tre considr globalement pour une ventuelle conservation nergtique ; cette conservation ne peut donc tre quunique pour un systme donn.

Si

!

" j# 1,2,..,n0{ } Q(n- pot)j = Q (diss)j $0

et si, de plus, toutes les relations de liaisons (n-h) sont homognes par rapport aux

!

qj , cest

dire si elles sont sans constante indpendante des

!

qj

si, de plus, il existe une fonction scalaire

!

F qj ,t( ) telle que

!

"t %ELag%t

$F , alors le thorme de la

puissance dynamique dans le formalisme de Lagrange scrit :

!

ELag2 &ELag0 + F $ constante

o :

!

ELag2 est la partie de ELag quadratique par rapport aux qj

ELag0 est la partie de ELag indpendante des qj

' ( )

* )

Painlev a explicit le cas usuel pour lequel

!

F $ 0 , et donc

!

ELag2 &ELag0 $ constante ,que lon peut dvelopper :

!

Ecin2 &Ecin0 + Epot & %Epot%qj

qj

j=1

n0

+ $ constante

o :

!

Ecin2 est la partie de Ecin quadratique par rapport aux qj

Ecin0 est la partie de Ecin indpendante des qj

' ( )

* )

Painlev a ainsi pu dmontrer le thorme de la conservation de lnergie de Hami l ton (Hamiltonien du systme) :

Si

!

" j# 1,2,..,n0{ } Q(n- pot)j = Q (diss)j $0 (systme conservatif potentiel)

si de plus, toutes les relations de liaisons sont homognes par rapport aux

!

qj

si de plus,

!

"t %ELag%t

$0

et si de plus, le potentiel du systme est un potentiel de position

!

%Epot%qj

$0

alors le Hamiltonien fournit lintgrale premire de lnergie de Lagrange :

!

EHam $ Ecin2 - Ecin0( ) + Epot $ constante

Ce thorme de Painlev appelle trois remarques importantes :

- la condition sur le Lagrangien

!

%ELag%t

$0,

- . .

/

0 1 1 porte sur la drive partielle explicite par rapport au

temps, mais

!

ELag continue de dpendre de t par lintermdiaire des autres variables

indpendantes : les paramtres

!

qj et leurs drives

!

qj.


- lnergie de Hamilton reprsente lnergie mcanique du systme incluant lnergie fournie par les mouvement imposs, dfinie par :

!

EHam " Ecin/imp + Epot avec : Ecin/imp " Ecin2 - Ecin0

- ainsi, si en plus des conditions prcdentes, le systme nadmet aucun mouvement impos,

alors :

!

Ecin0 "0 et Ecin "Ecin2 ; dans ce cas, le thorme de Painlev rejoint la conservation classique de lnergie mcanique, au sens des thorme gnraux :

!

Emca "Ecin + Epot " constante

Dmonstration de lIntgrale de lnergie

Dmonstration du thorme de la puissance dynamique dans le cadre Lagrangien

Partant de la drive totale exacte :

!

Ecin "dEcin

dt"

#Ecin#qj

qj + #Ecin#qj

qj

(c)1 2 4 3 4

$

%

& & & &

'

(

) ) ) ) j=1

p+s

* + #Ecin#t

Le calcul du terme

!

(c) donne :

!

d

dt

#Ecin#qj

qj$

% & &

'

( ) )

j=1

p+s

* = ddt

#Ecin#qj

$

% & &

'

( ) ) qj

+#Ecin#qj

qj+

,

- -

.

/

0 0

j=1

p+s

*

Do :

!

(c) = d

dt

#Ecin#qj

qj

$

%

& &

'

(

) )

(d)

1 2 4 3 4

1 ddt

#Ecin#qj

qj

$

%

& &

'

(

) )

+

,

- - - - -

.

/

0 0 0 0 0

j=1

p+s

*

Considrant alors lhypothse gnrale selon laquelle lnergie cintique

!

Ecin est un polynme du

second degr par rapport aux

!

qj , considrant les dfinitions de

!

Ecin2 ,

!

Ecin0 et

!

Ecin1 ( ventuelle

partie de

!

Ecin linaire par rapport aux

!

qj), il vient :

!

Ecin " Ecin2 + Ecin1 + Ecin0

#Ecin2#qj

= 2Ecin2 ; #Ecin1#qj

= Ecin1 ; #Ecin0#qj

= 0

2

3 4 4

5 4 4

Le terme

!

(d) est ainsi immdiatement identifi :

!

(d) " 2Ecin2 + Ecin1

Et donc :

!

dEcindt

" d Ecin2 + Ecin1 + Ecin0( )

dt =

d

dt2Ecin2 + Ecin1( ) 1 L j Ecin( )( )qj[ ]

j=1

p+s

* + #Ecin#t

Par identification :

!

d

dtEcin2 1Ecin0( ) 1 L j Ecin( )( )qj[ ]

j=1

p+s

* + #Ecin#t

= 0

En appliquant lquation de Lagrange :

!

d

dtEcin2 1Ecin0( ) 1 Q jqj( )

j=1

p+s

* + #Ecin#t

= 0


Dmonstration de lintgrale premire de lnergie dans le cadre Lagrangien

On explicite la puissance

!

Q jqj( )j=1

p+s

" lorsque toutes les forces appliques qui travaillent dans le

mouvement rel drivent dun potentiel :

!

Q k # Lk Epot( ) .

Le calcul de

!

dEpotdt

donne :

!

Q jqj( )j=1

p+s

" = d

dt

$Epot$qj

qj%

& ' '

(

) * *

j=1

p+s

" + dEpot

dt +

$Epot$t

En reportant dans le thorme de la puissance dynamique, on obtient :

!

d

dtEcin2 +Ecin0 + Epot +

$Epot$qj

qj%

& ' '

(

) * *

j=1

p+s

"%

&

' '

(

)

* * +

$ELag$t

= 0

Si, de plus, on suppose que lventuelle dpendance de

!

Epot vis--vis des

!

qj est quadratique, en

!

qj , alors :

!

ELag # ELag2 + ELag1 + ELag0Epot # Epot2 + Epot1 + Epot0

, - .

/ . ;

$Epot$qj

= 2Epot2 + Epot1

Le thorme de la puissance dynamique scrit alors :

!

d

dtE lag2 +E lag0( ) +

$Elag$t

= 0

On remarque que la dcomposition de lnergie potentielle lectromagntique est naturelle, sans terme quadratique dans ce cas :

!

Epot+el = Epot+el1 + Epot+el 0 avec Epot+el1 # +0

r V .

r 1 = Epot+el1 qj,qj,t( )

Epot+el0 # 02 = Epot+el0 qj ,t( )

,

- .

/ .

I/1.2.3 quations de Poisson-Hamilton

Dans le cas des systmes parfaits (non-dissipatifs), les quations canoniques de Poisson-Hami l ton fournissent un systme efficace de reprsentation. Elles sont fondes sur le principe variationnel de minimisation chaque instant de laction hamiltonienne

!

AHam dfinie par :

!

AHam # Elag t0

t

3 dt 4t 5 t0,t1[ ] (intervalle continu d' tude du mouvement)

Les variables de Hamilton

!

qk , pk ,t( ) sont dfinies partir de celles de Lagrange :

!

pk # $Ecin$qk

Les quations de Poisson-Hamilton du mouvement peuvent scrire de manire symtrique :

!

$EHam$qk

+ pk = 0

$EHam$pk

+ qk = 0

,

-

.

.

/

.

.

et $EHam$t

+ $ELag$t

= 0

Elles sappliquent aux systmes conservatifs, mais ventuellement n-h et mouvement impos et reprsentent une forme nergtique de la mcanique, dans laquelle la notion de force a disparu.


On peut ainsi dfinir une stratgie Newton-Lagrange, proposant de calculer le mouvement (dplacements inconnus) selon une approche Lagrange-Hamilton, et les ractions (forces inconnues) en revenant localement aux thormes gnraux.

En effet, le formalisme de Lagrange ncessite en particulier lartifice des multiplicateurs pour calculer les ractions de liaison n-h ; il est donc bien adapt aux systmes rendu holonmes (gomtriques) en dplacements, lapproche vectorielle tant ensuit utile pour calculer les ractions.

Nanmoins, il existe un systme dquations adapt aux systmes fortement n-h, mis en forme par Paul Appell.

I/1.2.4 Formalisation dAppell

Fonction Dynamique dAppell

Le formalisme de Lagrange met en uvre la fonction scalaire nergie Cintique

!

Ecin qj,qj,t( ) , dpendant de variables de type dplacements et vitesses, pour calculer les contributions dynamiques (forces dinertie).

Pour les systmes fortement n-h, Appell considre la fonction Acclration dnergie

!

SAppell " j," j ,t( ) dpendant de variables de type vitesses et acclrations.

La fonction

!

SAppell est dfinie par :

!

SAppell # 1

2 mi O

r P i

2

# 1

2 mi

r V i

2

i=1

N

$i=1

N

$

Il faut remarquer quelle est invariante lorsquon passe dun rfrentiel Galilen un autre, ce qui nest pas le cas de lnergie Cintique.

quation et Paramtres dAppell

Les quations du mouvement, dans un repre Galilen sont donnes par lquation dAppell :

!

%SAppell%" j

& Q j # 0 j = 1,..,n( )

La difficult provient des acclrations dans le calcul de la fonction

!

SAppell , mais cette difficult est nuance par le fait que lquation dAppell du mouvement ne ncessite en ralit que la partie utile de la fonction

!

SAppell , celle qui dpend des

!

" j.

Les paramtres

!

" j sont, soit directement les

!

qj, soit des combinaisons linaires des

!

qj :

!

"k # C jkqk

j=1

n

$ avec j,k = 1,...,n

C jk fonctions des qj et de t

'

( )

* )

Lorsquune relation n-h est forme dune fonction linaire homogne en

!

qj , il est en particulier

possible de dfinir un

!

" j partir de cette fonction.


I/1.2.5 Exemple du Pendule Sphrique

Ce paragraphe illustre, sur un exemple lmentaire, quelques-unes des quations prsentes dans les paragraphes prcdents.

On considre un point matriel P de masse m maintenu une distance a constante de lorigine Galilenne O, et plac dans le champs de gravit

!

r g .

Concrtement, cela reprsente une tige de masse ngligeable tournant librement autour de O (angles Galilens " et # des coordonnes sphriques) munie dune masse m son extrmit.

On peut aussi imaginer une masse ponctuelle m assujettie glisser sans frotter (ou rouler, si on prend en compte les rayons de giration) sur une surface sphrique.

!

r g

O (fixe)

Pmobilede masse m

a

!

r z

"

#

I/1.2.5.1 Newton

La formulation selon les thormes gnraux conduit immdiatement aux deux intgrales premires :

!

( $ O.

r z % constante

Emca % constante

& ' (

) (

La composante selon

!

r z du moment cintique

peut se calculer trs rapidement par des

considrations gomtriques :

!

( $ O.

r z = ma2 sin"#

asin"

!

asin"#

Quant aux nergies cintique et potentielle, le calcul est lmentaire :

!

O r P = a

r u r ;

!

O r P = a"

r u " + asin"#

r u #

!

* Emca = m 1

2 a2 "( )

2 + a2sin2" #( )

2

+

, -

.

/ 0 + gacos"+cste

& ' (

) (

1 2 (

3 (

Les valeurs de m et a tant des constantes, les quations du mouvement selon Newton sont :

!

N( ) sin" # % C1

a "( )2

+ sin2" #( )2+

, -

.

/ 0 + g cos" % C 2

&

'

( (

)

( (

NB : Le moment cintique pouvait sobtenir par le calcul explicite du Produit Vectoriel :

!

( $ O % O

r P 4 mO

r P = ma2 5sin"#

r u " + "

r u #

6

7 8

9

: ;

Sachant que

!

r u " .

r z = 5sin" et

!

r u # .

r z % 0 , on retrouve le rsultat ci-dessus, mais la technique

gomtrique propose est bien plus rapide.


I/1.2.5.2 Lagrange

Le systme considr est a priori holonme et Lagrangien. Les paramtres considrs sont

!

q1 " # et

!

q2 " $ .

Le double de lnergie de Lagrange du systme scrit, une constante additive prs :

!

2ELag = ma a #( )

2+ sin2 # $( )

2%

& '

(

) * +2gcos#

, - .

/ .

0 1 .

2 .

On constate que

!

3ELag3$

" 0 et

!

3ELag3t

" 0.

La premire condition conduit lintgrale premire cintique de Lagrange

!

3ELag

3$" constante ,

intgrale formellement quivalente la conservation prcdente de

!

( 4 O.

r z (ce qui est vrifiable

immdiatement).

La seconde condition conduit lintgrale de lnergie de Painlev, mais ici il ny a pas de mouvement impos (ou liaison n-h non-homogne) : lnergie cintique est entirement

quadratique par rapport aux

!

qj :

!

ECin0 "0

!

5 ECin "ECin2 5 EHam "EMca . Ainsi, lintgrale

premire de lnergie, qui peut tre explicite, est ici identique

!

EMca " constante , et on retrouve la seconde conservation du paragraphe prcdent... Pour ce systme lmentaire, le formalisme de Lagrange a conduit algbriquement aux mmes quations de conservations que les thormes gnraux.

Toutefois, nous allons maintenant soigneusement expliciter les deux quations de Lagrange pour en tirer des informations, en remarquant que nous sommes dans un cas o chaque quation de

Lagrange sexplicite simplement

!

Lj ELag( ) " 0.

quation en # :

!

3ELag

3#= ma2# 5

d

dt

3ELag

3#= ma 2# ;

!

3ELag3#

= ma asin#cos # $( )2

+ gsin#%

& '

(

) *

!

L# ELag( ) " 0 scrit donc :

!

ma2# + ma #sin#cos# $( )2

+ gsin#%

& '

(

) * " 0

quation en $ :

!

3ELag

3$= ma2 sin2 # $ 5

d

dt

3ELag

3$= ma2 sin# 2cos# #$ + sin# $( ) ;

!

3ELag3$

" 0 dj vu( )

!

L$ ELag( ) " 0 scrit donc :

!

ma2 sin# 2cos# #$ + sin# $( ) " 0

Le systme dquations de Lagrange obtenu est donc :

!

L( ) # + #sin#cos# $( )

2+ gsin#

%

& '

(

) * " 0

2cos# #$ + sin# $ " 0

,

-

.

.

/

.

.

On saperoit quon a retrouv - algbriquement - les composantes selon

!

r u # et

!

r u $ de

lacclration en coordonnes sphriques.


Alors prcisment, imaginons que lon souhaite maintenant calculer par Lagrange la tension inconnue - que Lagrange appelle raction - exerce par la tige (ou laction de contact de la surface sphrique sur la masse). Alors il suffit dintroduire explicitement un troisime paramtre a(t), et on imposera ensuite la condition

!

a(t) "a (qui maintient la distance constante) sous forme

non-holonme - pour conserver le paramtre a dans les quations. On crira donc en ralit

!

a "0 en fin de processus.

Lnergie de Lagrange doit dsormais tenir compte du fait que a est un paramtres, ce qui ajoute

le terme

!

1

2m a# $ % &

' ( 2

lnergie cintique et la variation de a dans lnergie potentielle ; pour tre

tout fait complet il faudrait prcisment crire :

!

2ELag ) t( ),* t( ),a t( ),) t( ),* t( ),a t( );t( ) = m a t( )( )2

) t( )( )2

+ sin2 ) t( ) * t( )( )2+

, -

.

/ 0 + a

t( )( )212ga t( )cos) t( )

2 3 4

5 4

6 7 4

8 4

Les quations en ) et * sont inchanges, ceci prs que a nest plus une constante a priori mais un paramtre, et ne peut plus tre limin ; il faut donc garder la forme initiale et non-simplifie. Ensuite, il faut explicitement crire lquation en a(t) :

!

9ELag

9a= ma :

d

dt

9ELag

9a= ma ;

!

9ELag9a

= m a )( )2

+ sin2 ) *( )2+

, -

.

/ 0 1mgcos)

2 3 4

5 4

6 7 4

8 4

Il y a prsent une relation n-h dont la composante active (au sens des PV) est justement la raction sur la masse m, cest dire la tension de la tige au signe prs (puisque a est oriente vers lextrieur) soit

!

Q (n1h)a = 1Ttige .

Lquation en a scrit donc :

!

ma 1m a )( )2

+ sin2 ) *( )2+

, -

.

/ 0 1mgcos)

2 3 4

5 4

6 7 4

8 4 + Ttige " 0

Les quations du systme complet non-holonme sont donc (aprs simplification par m, qui est, avec g, la seule constante qui reste) :

!

Lnh( )

a2) 1 a )sin)cos) *( )2

+ gsin)+

, -

.

/ 0 " 0

a2 sin) 2cos) )* + sin) *( ) " 0

ma 1m a )( )2

+ sin2 ) *( )2+

, -

.

/ 0 1mgcos)

2 3 4

5 4

6 7 4

8 4 + Ttige " 0

a " 0

2

3

4 4 4 4

5

4 4 4 4

Ces 4 quations correspondent aux 4 inconnues hybrides (caractristique des problmes

modlisation n-h) :

!

) t( ), * t( ), a t( ), Ttige t( ) . La valeur dfinitive de a sera donne aprs lintgration de la 4me quation (dont cest prcisment la constante dintgration).

On a galement reconstitu algbriquement la 3me composante de la raction (acclration radiale) en coordonnes sphriques.


I/1.2.5.3 Systme Command - Painlev

Imaginons maintenant quun asservissement impose une vitesse de rotation

!

" constante, ce qui

revient de manire holonme crire

!

" t( ) #$t + % , et donc dire que

!

" nest plus inconnu, et

nest donc plus un paramtre. Il ne reste alors plus quun paramtre - donc libre car inconnu - du mouvement, savoir

!

q1 # &. Une seule quation du mouvement doit donc suffire, et nous allons lcrire.

Le double de lnergie de Lagrange se rcrit :

!

2ELag = ma a &( )

2+ sin2 & $2

'

( )

*

+ , -2gcos&

. / 0

1 0

2 3 0

4 0

Certes, il ny a plus dintgrale premire cintique au sens de Lagrange, mais en revanche,

lintgrale de lnergie reste explicitable puisquon a toujours

!

5ELag5t

# 0. Examinons lnergie

cintique, qui va cette fois-ci contenir deux termes distincts :

!

Ecin =ma2

2&( )

2+ sin2 & $2

'

( )

*

+ , avec :

!

Ecin2 =ma2

2&( )

2 quadratique par rapport & ( )

Ecin0 =ma2 sin2 & $2

2 indpendante de & ( )

.

/

0 0

1

0 0

Cette dcomposition explicite nous permet dcrire lIntgrale Premire de lnergie de Painlev

!

EHam # Ecin2 -Ecin0 + Epot = constante , savoir :

!

ma2

2&( )

2 -

ma2 sin2 & $2

2 + mgacos& # constante

Soit ici :

!

P( ) a &( )2-sin2 & $2

'

( )

*

+ , + 2gcos& # C3

. / 0

1 0

Cette quation, qui constitue lunique quation du mouvement (ncessaire et suffisante puisquil ny a plus quun seul paramtre inconnu, savoir &) exprime la conservation de lnergie mcanique incluant la puissance du moment dasservissement qui maintient

!

"(t ) #$t +% . Cette intgrale nest pas explicitable telle quelle par les thormes gnraux, qui nautoriseraient au mieux que lcriture du thorme du moment cintique dans un rfrentiel tournant (mcanique dite relative, toujours dlicate dans les rfrentiels tournants).

Cependant, si cette quation a le mrite de rsoudre &, elle ne fournit aucune information sur le

moment de commande qui prcisment impose

!

" t( ) #$t + % , autrement dit sur le moment qui asservit la vitesse angulaire

!

" rester constante et identiquement gale la valeur consigne $.

Pour obtenir cette information sur un moment inconnu (donc un moment de raction selon la dfinition de Lagrange) il suffit de procder comme au paragraphe prcdent : considrer

!

" t( ) #$t + % comme non-holonme

!

" # $( ) afin dajouter explicitement le paramtre

!

" comme une

inconnue, ainsi que le moment dasservissement

!

M" .

NB : On remarque au passage que le fait de rendre la relation non-holonme revient oublier la phase

!

% , cest dire saffranchir de la dfinition de linstant initial.


Le systme de 3 quations correspondant aux 3 inconnues hybrides

!

q1 "# , q2 " $ ; M$ ( ) sont schmatiquement :

!

L# ELag( ) " 0 L$ ELag( ) % M$ " 0 car ici Q n-h( )$ =M$ ( ) $ % & " 0

'

(

) )

*

) )

On peut viter le dveloppement complet en remarquant que la troisime quation substitue dans la premire conduit lIntgrale de Painlev prcdente. On peut aussi dduire la deuxime quation de lquation de Lagrange en $ du systme libre (non-asservi) dans sa forme complte, laquelle il faut ajouter le terme M$ (donc quivalente au thorme du moment dynamique autour de

!

Or z .

On obtient ainsi le systme de Lagrange-Painlev, dans lequel - par prcaution - on a pris soin de distinguer les variables inconnues des constantes connues :

!

LP( ) a #(t)( )

2%sin2 #(t) &2

+

, -

.

/ 0 + 2gcos#(t ) " C3

ma2 sin#(t) 2cos#(t) #(t)$(t) + sin#(t) $(t)( ) % M$ (t) " 0

'

(

) )

*

) )

La relation supplmentaire

!

$(t) % & " 0 intgre sous forme

!

$(t) =&t +1 (avec la constante dintgration adapte lorigine convenable des temps) achve de rsoudre le systme command.

I/1.2.5.4 Routh-Hamilton

Revenons au systme libre, et dans ce paragraphe nous allons proposer des extensions cintiques et nergtiques du formalisme de Lagrange.

Tout dabord par le procd de Routh, fond sur lIntgrale Premire Cintique en $ :

!

2ELag2$

" 0 3 2ELag2$

" constante soit : ma2 sin2 #$ " C$ (quation qui tait quivalente la

premire conservation de Newton

du moment cintique autour de Or z )

Cette constante permet de dfinir une nouvelle nergie de Lagrange :

!

2ELag%Routh " 2ELag - C$$ = ma a #( )2

+ sin2 # $( )2+

, - .

/ 0 %2gcos#

' ( *

4 5 6 % ma2 sin2 # $( )

2

Soit :

!

2ELag%Routh = ma2 #( )2

% 2mgacos #

Ce Lagrangien rduit, qui ne contient plus ni

!

$ ni

!

$ permet de rcrire lquation de Lagrange en # de manire indpendante, et correspond donc une rduction de taille du modle.

Examinons prsent la formulation nergtique globale de Poisson-Hamilton, qui prolonge cette ide mais sur le terrain de lnergie ; commenons par dfinir les variables de Hamilton - qui sont lies aux ventuelles intgrales premires cintiques - partir de lnergie cintique :

!

Ecin =ma2

2#( )

2+ sin2 # $( )

2+

, - .

/ 0

!

3

p# " 2Ecin2#

= ma2 #

p$ " 2Ecin2$

= ma2 sin2 # $

'

(

) )

*

) )


Il faut ensuite considrer lnergie de Hamilton, dj identifie prcdemment - dans le cas du systme libre - lnergie mcanique du systme (dfinie une constante additive prs) :

!

EHam " Ecin2 # Ecin0 + Epot = ma 2

2$( )

2+ sin2 $ %( )

2&

' ( )

* + + mgacos$

On saperoit alors que le systme dquations symtriques de Hamilton

!

H( ) ,EHam,qk

+ pk = 0

,EHam,pk

# qk = 0

-

.

/ /

0

/ /

fournit 4 quations redondantes quivalentes aux 2 quations de Lagrange

!

L$ ELag( ) " 0 L% ELag( ) " 0-

. /

0 / ;

quant lquation complmentaire de Hamilton

!

,EHam,t

+ ,ELag,t

= 0, elle est ici identiquement

vrifie, chaque terme tant sparment nul puisque le systme nest pas command. Sil ltait, on retrouverait un systme quivalent celui des quations de Lagrange dans cette configuration, et lIntgrale de Painlev pour lquation complmentaire.

I/1.2.5.5 Appell

On considre le mme systme (libre) que dans le paragraphe prcdent. Lcriture de la fonction

dAppell

!

SAppell " 1

2 m O

r P

2

ncessite lexplicitation de lacclration ; pour mmoire, on

rappelle quen coordonnes sphriques

!

r,$,%( ) , lacclration sexprime :

!

O r P = r# r $( )

2+ sin2 $ %( )

2&

' ( )

* + - . 0

1 2 3

r u r + r $ #sin$cos$ %( )

2&

' ( )

* + + 2r$

- . 0

1 2 3

r u $ + ...

!

...+ r sin$% +2cos$$ %( )+ 2r sin$ %( )2-

. 0

1 2 3

r u %

Ici :

!

O r P = #a $( )

2+ sin2 $ %( )

2- . 0

1 2 3

r u r + a $#sin$cos$ %( )

2- . 0

1 2 3

r u $ + a sin$% + 2cos$$%{ }

r u %

On peut poser

!

4 j "qj soit :

!

41 "$

42 "%

- . 0

; le carr de lacclration de P scrit donc :

!

O r P

2

= a2 412 + sin2 $41

2( )2

+ 41 #sin$cos $422( )

2+ sin$42 +2cos$4142( )

2&

' (

)

* +

On ne retient ensuite, dans le dveloppement, que la partie utile de la fonction dAppell, savoir les termes o apparaissent les

!

4k :

!

SAppell =ma2

241( )

2#2sin$cos $4142

2 + sin2 $ 42( )2

+ 4sin$cos$515242&

' ( )

* +

Les quations dAppell sont :

!

,SAppell,4 j

#Q j "0 avec

!

Q 1 "Q$ = mgasin$ ; Q2 " Q% = 0.

Si on dveloppe lquation en

!

41 on trouve

!

ma2

2241 #2sin$cos$4 2

2[ ] #mgasin$ " 0 , quation immdiatement identifiable lquation de Lagrange en $ ; il en est de mme de la seconde quation, identifiable lquation de Lagrange en %.


I/2 Explicitation au Mouvement du Solide Indformable

Les thormes prcdents sappliquent un systme matriel quelconque, dont les points O et A sont totalement indpendants ; il est nanmoins utile dexpliciter les grandeurs cintiques dans le cas o le systme considr se rduit un solide indformable que lon considrera li au repre mobile

!

A;r

X ,r

Y ,r Z ( ) : ltude cinmatique du repre mobile est quivalente celle du solide.

I/2.1 Dfinitions Gnrales

I/2.1.1 Vitesses et Acclrations

Les intervalles de temps tant conservs en mcanique classique, on convient de prendre une origine commune du temps pour les deux rfrentiels, et donc :

- le rfrentiel Galilen fixe est not

!

O;r x ,

r y ,

r z ;t( )

- le rfrentiel mobile relatif est not

!

A;r X ,

r Y ,

r Z ;t( )

Le rfrentiel mobile peut tre non-Galilen pour deux raisons distinctes :

- non-Galilen en translation si son origine nest pas en mouvement rectiligne uniforme, et donc

si lacclration Galilenne

!

r V A de A est non-identiquement nulle ;

- non-Galilen en rotation, si la base

!

r X ,

r Y ,

r Z ( ) nest pas fixe, donc si le pseudo-vecteur

!

r " r X

r Y

r Z ( )/

r x

r y

r z ( )

, not

!

r " , est non-identiquement nul.

!

r X tant un vecteur unitaire,

!

r X = #

r " ( )

r X $

r " %

r X (et de mme pour

!

r Y et

!

r Z ). Ds lors, si

!

r b est un

vecteur quelconque, alors :

!

r b $ bx

r x + by

r y + bz

r z $ bX

r X + bY

r Y + bZ

r Z &

r b = bX

r X + bY

r Y + bZ

r Z + b X

r X +bY

r Y +bZ

r Z

On explicite la drive dans le repre fixe par rapport celle dans le repre mobile :

!

d

dt fixe

r b $

d

dt mobile

r b +

r " mobile/ fixe %

r b

Si P est un point quelconque, comme

!

O r P = O

r A + A

r P , sa vitesse Galilenne scrit donc :

!

r V =

r V P =

r V A +

dA r P

dt mobile +

r " % A

r P

Si P est un point du solide auquel le repre mobile est li, alors il est fixe dans le repre mobile ; le terme relatif disparat et sa vitesse se rduit la vitesse dentranement du repre, donnant directement le champ de vitesses dans le solide :

!

r V P'solide $

r V entranement =

r V A +

r " % A

r P

De mme, lacclration Galilenne dun point P quelconque scrit :

!

r V P

= r V A

+ r " % A

r P +

r " %

r " % A

r P ( )( ) + d

2A r P

dtmobile2

+ 2r " %

dA r P

dt mobile

Et de mme, si P est un point du solide, les termes relatifs disparaissent (acclration relative et de Coriolis) et lacclration du point P se rduit au terme dentranement du repre :

!

r V P'solide

= r V A

+ r " % A

r P +

r " %

r " % A

r P ( )


I/2.1.2 Inerties

Linertie du solide est caractrise en translation par sa masse totale M, et en rotation par sa Matrice dInertie.

(S)

A

X

Y

ZOn considre donc un solide indformable (S)cinmatiquement li au repre mobile (A;XYZ) :

le point A est un point matriel du solideles vecteurs unitaires XYZ sont lis au solide

La matrice dinertie du solide (S) autour de son point A et relativement aux axes XYZ qui lui sont lis est dfinie par :

!

I[ ] S( )A;

r X

r Y

r Z ( )

"

jX #$ XY #$ XZjY #$ YZ

sym jZ

%

&

' ' '

(

)

* * *

o :

!

jX " j S( )A

r X " mi Y

2 + Z2( )Pi+(S)

, = Y2 + Z2( )dm : moment d' inertie de (S) autour de l'axe A r X (S)

---

$XY " $ S( )A r X r Y " miXYPi+(S)

, = XYdm : produit d' inertie de (S) dans le plan A r X r Y (S)

---

Dfinitions homologues selon X, Y, Z

.

/

0 0 0

1

0 0 0

La matrice dinertie en A reprsente effectivement lensemble des inerties en rotation autour de A ; elle permet en particulier de calculer le moment dinertie autour dun axe quelconque

!

Ar u

passant par A (

!

r u tant un vecteur unitaire) :

!

jA r u = t r

u ( ) I[ ]A

r u ( )

Les matrices dinertie se transforment en translation (changement dorigine sans changement de base) par la formule de Knig :

Matrice du solide (S)

dans le repre AXYZ

!

I[ ] S( )A;

r X

r Y

r Z ( )

= I[ ] S( )G;

r X

r Y

r Z ( )

+ I[ ] M en G( )A;

r X

r Y

r Z ( )

Matrice du solide de Knig(masse M concentre en G)

dans le repre AXYZ

Matrice du solide (S)

dans le repre GXYZ

Cette transformation ncessite de passer par le centre de masse G du solide : elle nest valable quentre A et G ou entre B et G, mais pas directement entre A et B. Elle gnralise matriciellement la relation scalaire de Huyghens translatant les moments dinertie

!

jA r u = jGr u + Md2( ) .

Les matric

poly_gourinat_dynamique_m2r1.pdf

Documents